备战2021年中考训练专题九 图形的初步认识与三角形

专题九图形的初步认识与三角形
一、单选题
1.（2020·衢州）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（）
A. B. C. D.
2.（2020·衢州）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（）
A. B. C. D.
3.（2020·台州）把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位:cm）为（）
A. 7+3
B. 7+4
C. 8+3
D. 8+4
4.（2020·绍兴）将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.（2020·绍兴）如图，等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(0°<θ<90°)，得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（）
A. 随着θ的增大而增大
B. 随着θ的增大而减小
C. 不变
D. 随着θ的增大，先增大后减小
6.（2020·宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE=BC，连结DE，F为DE中点，连结BF.若AC=8，BC=6，则BF的长为（）
A. 2
B. 2.5
C. 3
D. 4
7.（2020·宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内.若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）
A. △ABC的周长
B. △AFH的周长
C. 四边形FBGH的周长
D. 四边形ADEC的周长
8.（2020·金华·丽水）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（）
A. 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C. 在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
9.（2019·衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。

则原来的纸带宽为（）
A. 1
B.
C.
D. 2
10.（2019·金华）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 8
11.（2019·衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。

借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。

这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C 点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（）
A. 60°
B. 65°
C. 75°
D. 80°
二、填空题
12.（2020·衢州）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图.已知O，P两点固定，连杆PA=PC=140cm，AB=BC=CQ=QA=60cm，OQ=50cm，O，P两点间距与OQ长度相等。

当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动。

当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）。

（1）点P到MN的距离为________cm。

（2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为________cm。

13.（2020·台州）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD. 则正方形ABCD的面积为________. （用含a，b的代数式表示）
14.（2020·台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点. 分别过点E，F 沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是________.
15.（2020·绍兴）如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结BD。

若BD的长为2 ，则m的值为________。

16.（2020·绍兴）将两条邻边长分别为，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片)，各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的________(填序号)。

①，②1，③-1，④，⑤
17.（2020·绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为________。

18.（2020·杭州）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F，若∠E=30°，∠EFC=130°，则∠
A=________。

19.（2020·宁波）如图，⊙O的半径OA=2，B是⊙O上的动点(不与点A重合)，过点B作⊙O的切线BC，BC=OA，连结OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为________.
20.（2020·宁波）如图，经过原点O的直线与反比例函数(a>0)的图象交于A，D两点(点A在第一
象限)，点B，C，E在反比例函数(b<0)的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的
面积为56，四边形ABCD的面积为32，则的值为________，的值为________.
21.（2020·金华·丽水）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm，CE=DF，CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动.
（1）当E，F两点的距离最大值时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是________cm.
（2）当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，A，B两点的距离为________cm.
22.（2019·温州）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为________分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为________分米．
23.（2019·金华）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪。

量角器的O刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是________ ．
三、作图题
24.（2020·温州）如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段(端点在格点上)，且线段的端点均不与点A，B，C，D重合。

注：图1，图2在答题纸上。

（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF=GH，EF不平行GH。

（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ= MN。

四、综合题
25.（2020·衢州）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y= x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（-2，0）。

点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F 两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF。

设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：
①线段EF长度是否有最小值。

②△BEF能否成为直角三角形。

小明尝试用“观察--猜想--验证--应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题。

（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2），请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别。

（2）小明结合图1，发现应用二角形和函数知识能验证（1）中的猜想.请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值。

（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形。

请你求出当△BEF为直角三角形时m的值。

26.（2020·衢州）【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E。

作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G。

（1）判断△AFG的形状并说明理由。

（2）求证：BF=2OG。

（3）【迁移应用】
记△DGO的面积为S1，△DBF的曲积为S2，当时，求的值。

（4）【拓展延伸】
若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF。

当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值。

27.（2020·衢州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6。

连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点。

（1）求证：∠CAD=∠CBA。

（2）求OE的长。

28.（2020·台州）如图，已知ABAC，AD=AE，BD和CE相交于点O.
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）判断△BOC的形状，并说明理由.
29.（2020·温州）如图，在△ABC和△DCE中，AC=DE，∠B=∠DCE=90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE。

（1）求证：△ABC≌△DCE
（2）连结AE，当BC=5，AC=12时，求AE的长。

30.（2020·绍兴）如图，点E是ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F。

（1）若AD的长为2，求CF的长。

（2）若∠BAF=90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数。

31.（2020·绍兴）如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图。

遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF=EF=FG=1m。

(结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
（1）若移动滑块使AE=EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长。

（2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？
32.（2020·绍兴）问题：如图，在△ABD中，BA=BD，在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA=EC。

若∠BAE=90°，∠B=45°，求∠DAC的度数。

答案：∠DAC=45°。

思考：
（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由。

（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数。

33.（2020·宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.
（1）如图1，∠E是△ABC中A的遥望角，若，请用含a的代数式表示∠E.
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.
（3）如图3，在(2)的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径.
①求∠AED的度数；
②若AB=8，CD=5，求△DEF的面积.
34.（2020·金华·丽水）如图，在△ABC中，AB= ，∠B=45°，∠C=60°.
（1）求BC边上的高线长.
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF.
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数.
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长.
35.（2019·温州）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．
（1）求点B的坐标和OE的长；
（2）设点Q2为(m，n)，当tan∠EOF时，求点Q2的坐标；
（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF 的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．
36.（2019·温州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．
（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；
（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．
答案解析部分
一、单选题
1. D
【解答】解：A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．
B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．
C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，
D、无法判断两直线平行，
故答案为：D．
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
2. A
【解答】由折叠补全图形如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB，
由第一次折叠得：∠DAE＝∠A＝90°，∠ADE＝∠ADC＝45°，
∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∴AE＝AD＝1，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得，DE＝AD＝，
故答案为：A．
【分析】先判断出∠ADE＝45°，进而判断出AE＝AD，利用勾股定理即可得出结论．3. D
【解答】解：如图，过点M作MH⊥A′R于H，过点N作NJ⊥A′W于J．
由题意△EMN是等腰直角三角形，EM＝EN＝2，MN＝，
∵四边形EMHK是矩形，
∴EK＝A′K＝MH＝1，KH＝EM＝2，
∵△RMH是等腰直角三角形，
∴RH＝MH＝1，RM＝，同法可证NW＝，
由题意AR＝RA′＝A′W＝WD＝4，
∴AD＝AR+RM+MN+NW+DW＝4+ + + +4＝8+ ，
故答案为：D．
【分析】如图，过点M作MH⊥A′R于H，过点N作NJ⊥A′W于J．想办法求出AR，RM，MN，NW，WD即可解决问题．
4. D
【解答】解：、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断即可。

5. C
【解答】解：将绕点顺时针旋转，得到，
，
，，
，，
，
，
，
，
的度数是定值，
故答案为：C．
【分析】利用旋转的性质，可知BC=BP=BA，∠BCP=∠BPC，∠BPA=∠BAP，再求出∠CPA的度数，继而可求出∠PAH的度数。

6. C
【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴AB=，
∵CD为中线，
∴CD=AB=5，
∵BE=BC，F为DE中点，
∴BF为△CDF的中位线，
∴BF=CD=2.5，
故答案为：B.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半求出CD的长，最后结合三角形的中位线定理即可求出BF的长.
7. A
【解答】解：∵△BDE和△FGH是等边三角形，△BDE≌△FGH，
∴DE=FH=BE,
∴DE+EC=BE+EC=BC，FH+FD=BD+DF=BF，
∵∠EHG=60°，
∴∠AHF+∠GHC=120°，
∵∠A=60°，
∴∠AFH+∠AHF=120°，
∴∠AFH=∠GHC，
∵FH=GH，∠A=∠C，
∴△AFH≌△CHC（AAS），
∴HC=FA，
∴FH+FD+HC=BF+FA=BA，
∴五边形DECHF的周长=DE+EC+HC+FH+FD=BC+BA=△ABC的周长，
故答案为：A.
【分析】根据等边三角形的性质，结合全等三角形的性质和等式的性质可得DE+EC=BC，FH+FD=BF，再利用角角边定理证明△AFH≌△CHC可得HC=FA，推出FH+FD+HC=BA，最后可得五边形DECHF的周长是△ABC的周长的，据此可知答案.
8. B
【解答】解：∵a⊥AB，b⊥AB，
∴a∥b（在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行）.
故答案为：B.
【分析】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，据此解答即可.
9. C
解：如图，作BG⊥AC，
依题可得：△ABC是边长为2的等边三角形，
在Rt△BGA中，
∵AB=2，AG=1,
∴BG= ，
即原来的纸宽为.
故答案为：C.
【分析】结合题意标上字母，作BG⊥AC，根据题意可得：△ABC是边长为2的等边三角形，在Rt△BGA 中，根据勾股定理即可求得答案.
10. C
【解答】解：∵三角形三边长分别为：a，3，5，
∴a的取值范围为：2＜a＜8，
∴a的所有可能取值为：3，4，5，6，7.
故答案为：C.
【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此得出a的取值范围，从而可得答案.
11. D
【解答】解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
设∠O=∠ODC=x，
∴∠DCE=∠DEC=2x，
∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x，
∵∠BDE=75°，
∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，
即x+180°-4x+75°=180°，
解得：x=25°，
∠CDE=180°-4x=80°.
故答案为：D.
【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x，∠CDE=180°-4x，根据平角性质列出方程，解之即可的求得x值，再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案.
二、填空题
12. （1）160
（2）
【解答】(1)如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OH⊥PQ于H．
由题意：OP＝OQ＝50cm，PQ＝PA﹣AQ＝14﹣＝60＝80（cm），PM＝PA+BC＝140+60＝200（cm），PT⊥MN，
∵OH⊥PQ，
∴PH＝HQ＝40（cm），
∵cos∠P＝，
∵，
∴PT＝160（cm），
∴点P到MN的距离为160cm，
故答案为160．
( 2 )如图4中，当O，P，A共线时，过Q作QH⊥PT于H．设HA＝xcm．
由题意AT＝PT﹣PA＝160﹣140＝20（cm），OA＝PA﹣OP＝140﹣50＝90（cm），OQ＝50cm，AQ＝60cm，
∵QH⊥OA，
∴QH2＝AQ2﹣AH2＝OQ2﹣OH2，
∴602﹣x2＝502﹣（90﹣x）2，
解得x＝，
∴HT＝AH+AT＝（cm），
∴点Q到MN的距离为cm．
故答案为: ．
【分析】（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OH⊥PQ于H．解直角三角形求出PT即可．（2）如图4中，当O，P，A共线时，过Q作QH⊥PT于H．设HA＝xcm．解直角三角形求出HT即可．
13. a+b
【解答】解：如图，
正方形ABCD是由4个直角三角形和一个小正方形组成，4个直角三角形的面积和等于大正方形的面积a．故正方形ABCD的面积＝a+b．
【分析】如图，正方形ABCD是由4个直角三角形和一个小正方形组成，4个直角三角形的面积和等于大正方形的面积a，由此即可解决问题．
14. 6
【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF＝2，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．
故答案为：6．
【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．
15. 2或
【解答】解：由作图知，点在的垂直平分线上，
是等边三角形，
点在的垂直平分线上，
垂直平分，
设垂足为，
，
，
当点、在的两侧时，如图，
，
，
，
；
当点、在的同侧时，如图，
，
，
，
，
综上所述，的值为2或，
故答案为：2或．
【分析】根据作图可知点D和点B在AC的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质及等边三角形的性质，利用解直角三角形求出BE的长，再分情况讨论：当点D，B在AC的两侧时；当点B，D在AB的同侧时，分别求出m的值即可。

16. ①②③④
【解答】解：如图所示：
则其中一个等腰三角形的腰长可以是①，②1，③，④，不可以是．
故答案为：①②③④．
【分析】利用有两边相等的三角形是等腰三角形，分情况画出图形，可得答案。

17.
【解答】解：由题意可得，
直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，
故直角三角形的另一条直角边长为：，
故阴影部分的面积是：，
故答案为：．
【分析】由题意可知直角三角形的斜边长为3，一直角边长为2，利用勾股定理求出另一条直角边，再利用三角形的面积公式就可求出阴影部分的面积。

18. 20°
【解答】解：∵AB∥CD
∴∠ABE=∠EFC=130°
∵∠E=30°
∴∠A=180°-130°-30°=20°
故答案为：20°.
【分析】利用平行线的性质可求出∠ABE的度数，再利用三角形内角和定理求出∠A的度数。

19. 2 或2
【解答】解：如图，连接OB，
∵OA=OB，OA=BC，
∴BC=OC=2，
∵BC为切线，
∴OB⊥BC，
∴OC=，
当AC为斜边，
∠AOC=90°，
∴AC=，
当OC为斜边，
OC=2.
故答案为：2 或2 .
【分析】连接OB，利用切线的性质，结合同圆的半径相等，利用勾股定理求出OC的长，然后在△AOC 中，分别设OC和AC为斜边求值即可.
20. 24；
【解答】解：1、如图，作EH⊥x轴，DK⊥x轴，连接KD交x轴于点M，
∵△ADE的面积=五边形ABCDE的面积-四边形ABCD的面积=56-32=24，
∴△ADE的面积=S△AON+S矩形ONEH+S△EHM+S△MDO
S△AON+S矩形ONEH+S△EHM+S△DOK-S△DMK
=
=a-b+S△EHM+a-S△DMK,
∵A、D关于原点对称，
∴DK=y A,
∵AE∥x轴，
∴EH=y A，
∴EH=DK，
∵∠EHM=∠DKM=90°，∠KMH=∠KMD，
∴△DKM≌△EHM（AAS），
∴S△EHM=S△DMK,
∴△ADE的面积=a-b=24；
2、∵A，D关于原点对称，
∴A，D的纵坐标的绝对值相等，
∵AE∥CD，
∴E，C的纵坐标的绝对值相等，
∵E，C在反比例函数y＝的图象上，
∴E，C关于原点对称，
∴E，O，C共线，
∵OE＝OC，OA＝OD，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴S△ADE＝S△ADC＝24，
∴S△AOE＝S△DEO＝12，
∵S△AOC＝S△AOB＝12，
∴BC∥AD，
∴，
∵S△ACB＝S四边形ABCD-S△ACD=32﹣24＝8，
∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝1：3，
∴BC：AD＝1：3，
∴QB：QA＝1：3，
设QB＝k，则QA＝3k，
∴AP＝QP＝1.5k，BP＝0.5k，
∴AP：BP＝3：1，
∴，
∴．
【分析】（1）作EH⊥x轴，DK⊥x轴，连接KD交x轴于点M，由△ADE的面积=五边形ABCDE的面积-四边形ABCD的面积求得△ADE的面积为24，然后根据反比例函数图象点的坐标特点列出△ADE的代数式，由于A、D关于原点对称，结合AE∥CD，利用角角边定理可证△DKM≌△EHM，即此两个三角形面积相等，最后推得△ADE的面积=a-b=24；
（2）连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于Q，设AB交x轴于P．根据反比例函数图象关于原点对称的特点，结合AE∥CD，求出证明四边形ACDE是平行四边形，从而推出S△ADE＝S△ADC，推出S△AOC＝S△AOB，可得BC∥AD，根据平行线分线段成比例的性质可得AD＝3BC，从而推出QB：QA＝1：3，，可求AP＝3BP，根据面积的关系可求的值．
21. （1）16
（2）
【解答】解：（1）当点E、O、F三点共线时，E、F两点的距离最大，此时四边形ABDC是矩形，
∴AB=CD=EF=2cm，
∴以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长为：2+6+2=6=16cm;
（2）当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，如图，连接CO并延长交AB于点H，
∴CH⊥AB，AH=BH，
∵AC=BD=6cm，CE:AE=2:3，∴CE=cm，
在Rt△OEF中，CO==，
∵sin∠ECO==，∴AH=，
∴AB=2AH=.
【分析】（1）当点E、O、F三点共线时，E、F两点的距离最大，此时四边形ABDC是矩形，可得
AB=CD=EF=2cm，根据矩形的性质求出周长即可；
（2）当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，如图，；连接CO并延长交AB于点H，可得CH⊥AB，AH=BH，利用已知先求出CE=cm，在Rt△OEF中利用勾股定理求出CO的长，由sin∠ECO==，求出AH，从而求出AB=2AH的长.
22. 5+5 ；4
【解答】解：（1）作OP⊥CD，OQ⊥AM，∵∠AOQ+∠QOC=∠POC+QOC=90°，得∠AOQ=∠COP，又OA=OC，故△AOQ≌△COP，所以AQ=CP，AM=AQ+QM=OP+CP= 。

（2）在OE上取一点M，使，
∵OE∥CD，∴，故是等边三角形，得，根据旋转图形的特点，，故是等边三角形，得,又，由上可知：，得ME=OF=4。

∵。

【分析】（1）要求AM的长度，∵AM是垂线段，可以联想到作垂线段，把AM分割，∵平行线间的垂线段相等，最后问题集中在求剩下的一段长度，由∠AOC=90°出发，构造三角形，证明全等即可。

（2）
根据旋转图形的特点，先理清旋转以后哪些线段相等，哪些是旋转角。

本题关键是把转化为，构造三角形，证明全等，问题就能得到解决。

23. 40°
【解答】如图,
依题可得：∠AOC=50°,
∴∠OAC=40°，
即观察楼顶的仰角度数为40°.
故答案为：40°.
【分析】根据题意可得∠AOC=50°,由三角形内角和定理得∠OAC=40°，∠OAC即为观察楼顶的仰角度数.
三、作图题
24. （1）解：如图1，线段FE和线段GH即为所求；
（2）解：画法不唯一，如图3或图4等
【分析】（1）利用勾股定理分别作出线段EF和HG，且EF=GH，EF不平行GH。

（2）根据格点的特点画出线段PQ和MN，且满足PQ= MN。

四、综合题
25. （1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．
（2）解：如图1，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，则∠FGK=∠DHK=90°
记FD交y轴于点K.
∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，
∴KF=KD。

∵∠FKG=∠DKH，
∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），
∴FG=DH。

∵直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
∴x＝0时，y＝4，
∴A（0，4），
又∵B（﹣2，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4，
过点F作FR⊥x轴于点R，
∵D点的橫坐标为m，
∴F（﹣m，﹣2m+4），
∴ER＝2m，FR＝﹣2m+4，
∵EF2＝FR2+ER2，
∴l＝EF2＝8m2﹣16m+16＝8（m﹣1）2+8，
令﹣+4＝0，得x＝，
∴0≤m≤ ．
∴当m＝1时，l的最小值为8，
∴EF的最小值为2 ．
（3）解：①∠FBE为定角，不可能为直角．
②∠BEF＝90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m＝0．
③如图3，∠BFE＝90°时，有BF2+EF2＝BE2．
由（2）得EF2＝8m2﹣16m+16，
又∵BR＝﹣m+2，FR＝﹣2m+4，
∴BF2＝BR2+FR2＝（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2＝5m2﹣20m+20，
又∵BE2＝（m+2）2，
∴（5m2﹣20m+8）+（8m2﹣16m+16）2＝（m+2）2，
化简得，3m2﹣10m+8＝0，
解得m1＝，m2＝2（不合题意，舍去），
∴m＝．
综合以上可得，当△BEF为直角三角形时，m＝0或m＝．
【分析】（1）根据描点法画图即可；（2）过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），由全等三角形的性质得出FG＝DH，可求出F（﹣m，﹣2m+4），根据勾股定理得出l＝EF2＝8m2﹣16m+16＝8（m﹣1）2+8，由二次函数的性质可得出答案；（3）分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出m的方程，解方程求出m的值，则可求出答案．
26. （1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．
理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠AHF＝∠AHG＝90°，
∵AH＝AH，
∴△AHF≌△AHG（ASA），
∴AF＝AG，
∴△AFG是等腰三角形．
（2）解：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．
∵AF＝AG，
∴∠AFG＝∠AGF，
∵∠AGF＝∠OGL，
∴∠OGL＝∠OLG，
∴OG＝OL，
∵OL∥AB，
∴△DLO∽△DFB，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2OD，
∴BF＝2OL，
∴BF＝2OG．
（3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，
∵∠DAK＝∠CAD，
∴△ADK∽△ACD，
∴，
∵S1＝•OG•DK，S2＝•BF•AD，
又∵BF＝2OG，，
∴，
设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝2 x，
∴．
（4）tan∠BAE的值为或
【解答】（4）设OG为a，AG为k。

①如图4，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在线段OA上
∵AF=AG，BF=2OG，
∴AF=AG=k，BF=2a，
∴AB=k+2a，AC=2（k+a），
∴AD2=[2（k+a）]2-（k+2a）2，∴AD²=3k2+4ka，
由∠ABE=∠DAF-90°，∠BAE=∠ADF，得△ABE∽△DAF，
∴，
∴，BE=
根据题意得，10××2a×=AD（k+2a），
∴AD2=10ka，
即10ka=3k2+4ka，
∴k=2a，
∴AD=2 a，
∴BE= ，AB＝4a，
tan∠BAE= =
②如图5，当点F在线段AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．
∵AF=AG，BF=2OG，
∴AF=AG=k，BF=2a，
∴AB=k-2a，AC=2（k-a）
∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2＝3k2﹣4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴，
∴，
∴BE＝，
根据题意得，10××2a×=AD（k-2a），
∴AD2=10ka
即10ka=3k²-4ka，
∴k= a，
∴AD＝a，
∴BE= = a，AB= a
∴tan∠BAE= =
综上可知，tan∠BAE的值为或。

【分析】（1）如图1中，△AFG是等腰三角形．利用全等三角形的性质证明即可．（2）如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．首先证明OG＝OL，再证明BF＝2OL即可解决问题．（3）如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，利用相似三角形的性质解决问题即可．（4）设OG＝a，AG＝k．分两种情形：①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．分别求解即可解决问题．
27. （1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，
∴，
∴∠CAD=∠CBA
（2）解：AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵AE＝DE，
∴OC⊥AD，
∴∠AEC=90°.
∴∠AEC=∠ACB
又∵∠CAD=∠CBA，
∴△ACE∽△BAC，
∴，
∴
∴CE=3.6
又∵OC= AB=5，
∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．
【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出，求出EC即可解决问题．
28. （1）证明：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）△BOC是等腰三角形，
理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴BO＝CO，
∴△BOC是等腰三角形．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论．
29. （1）证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC=∠D
∵∠B=∠DCE=90°，AC=DE
∴△ABC≌△DCE(AAS)
（2）解：∵△ABC≌△DCE，
∴CE=BC=5
∵AC=12，∠ACE=90°，
【分析】（1）利用平行线的性质，可证得∠BAC=∠D，再利用AAS可证得结论。

（2）利用全等三角形的对应边相等，可求出CE的长，再利用勾股定理求出AE的长。

30. （1）解：四边形是平行四边形，
，
，，
点是的中点，
，
在和中，，
，
；
（2）解：，
添加一个条件：当时，（答案不唯一）．
【分析】（1）利用平行四边形的性质，可证得AD∥CF，利用平行线的性质，去证明∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE，利用线段的中点的定义可证得DE=CE，利用AAS证明△ADE≌△FCE，利用全等三角形的性质，可求出CF的长。

（2）要求∠F的度数，利用三角形的内角和定理，可知添加∠B的度数即可。

31. （1）解：，
是等边三角形，
，
连接并延长交于，
则，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
答：当由变为时，棚宽是减少了，减少了．
【分析】（1）由题意可知△AEF是等边三角形，利用等边三角形的性质，可证得∠AFE的度数，连接MF并延长交AE于点K，可得FM=2FK，可得到AK的长，再利用勾股定理求出FK的长，从而可求出FM的长，然后求出BC的长。

（2）利用已知求出∠AFK的度数，利用解直角三角形求出KF，FM的长，再求出BC的长，然后求差即可。

32. （1）解：的度数不会改变；
，
，①
，
，
，②
由①，②得，；
（2）解：设，
则，，
，
，
，
．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，可证得∠AED=2∠C，由∠BAE=90°，可以推出∠BAD=45°+∠C，由此可得到∠DAE=45°-∠C，然后可求出∠DAC的度数。

（2）设∠ABC=m，用含m的代数式表示出∠BAD，∠AEB，由此可得∠DAE，利用等腰三角形的性质，可得到∠CAE，然后根据∠DAC=∠DAE+∠CAE可求出∠DAC的值。

33. （1）解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD
∴∠E=∠ECD-∠EBD
= ∠ACD- ∠ABC
= (∠ACD-∠ABC)
= ∠A= α
（2）解：如图，延长BC到点T，
∵四边形FB CD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠BC=180°，
又∵∠FDE+∠FDC=180°，
∴∠FDE=∠FBC，
∵DF平分LADE，
∴∠ADF=∠FDE，
∵∠ADF=∠ABF，
∴∠ABF=∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵，
∴∠ACD=∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD=180°，∠DCT+∠BCD=180°，∴∠DCT=∠BFD，
∴∠ACD=∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角
（3）解：①如图，连结CF
∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
∴∠BAC=2∠BEC，
∴∠BFC=∠BAC，
∴∠BFC=2∠BEC，
∵∠BFC=∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC=∠FCE，
∵∠FCE=∠FAD，
∴∠BEC=∠FAD，
又∵∠FDE=∠FDA，FD=FD，
∴△FDE≌△FDA(AAS) ，
∴DE=AD，
∴∠AED=∠DAE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠AED+∠DAE=90°，
∴∠AED=∠DAE=45°
②如图，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点Ｍ
∵AC是⊙的直径，
∴∠ABC=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FAC=∠EBC= ∠ABC=45°
∵∠AED=45°，
∴∠AED=∠FAC，
∴∠FED=∠FAD，
∴∠AED-∠FED=∠FAC-∠FAD，
∴∠AEG=∠CAD，
∵∠EGA=∠ADC=90°，
∴△EGA∽△ADC，
∴
∵在Rt△ABG中，
AG= AB=4 ，
在Rt△ADE中，AE= AD，
∴
在Rt△ADC中，AD²+DC2=AC2，
∴设AD=4x，AC=5x，则有(4x)2+52=(5x)2，
∴x=
∴ED=AD=
∴CE=CD+DE=
∵∠BEC=∠FCE，
∴FC=FE，
∵FM⊥CE，
∴EM= CE=
∴DM=DE-EM=
∵∠FDM=45°，
∴FM=DM=
∴S△DEF= DE·FM=
【分析】（1）由三角形的外角的性质把∠E转化为∠ECD-∠EBD，结合角平分线的性质可得
∠E= (∠ACD-∠ABC)，于是根据外角的性质可得∠E=∠A，则∠E和α的关系可知；
（2）用圆内接四边形的一个外角等于它的内对角可得∠FDE=∠FBC，再由DF平分∠ADE，
结合同弧所对的圆周角相等，可得∠ABF=∠FBC，于是BE是∠ABC的平分线，然后由同弧所对的圆周角相等，结合圆内接四边形对角互补和角平分线的定义得出CE是△ABC的外角平分线，于是由题（1）可得∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角；
（3）①连结CF ，由遥望角的性质可得∠BAC=2∠BEC，再由同弧所对的圆周角相等，结合三角形的外角的性质可得∠BEC=∠FCE，再结合∠FCE=∠FAD，得出∠BEC=∠FAD，于是利用角角边定理可证△FDE≌△FDA ，则对应边DE=AD，结合直径所对的圆周角是直角可得△ADE是等腰直角三角形，则∠AED的度数可知；
②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点Ｍ，由直径所对的圆周角是直角，结合BE平分∠ABC，可得∠FAC=45°，于是推得∠AEG =∠CAD，结合∠EGA=∠ADC=90°，可证△EGA∽△ADC，根据三角形的性质列比例式，结合AE= AD，求得AD和AC的比值，设AD=4x，AC=5x，在Rt△ADC中，根据勾股定理列式求出x，则ED、CE的长可求，从而求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，最后根据三角形面积公式求面积即可.
34. （1）解：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，。