西华县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

西华县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设i 是虚数单位，若z=cos θ+isin θ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限2． 已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为5，则
{}n a 12a =114
n n n n a a a a ++-=
+11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
n （ ）
n =A ． B ．
C ．
D ．3536120
121
3． 若a=ln2，b=5
，c=
xdx ，则a ，b ，c 的大小关系（
）
A ．a ＜b ＜c
B B ．b ＜a ＜c
C C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜b ＜a 4． 在△ABC 中，若A=2B ，则a 等于（ ）A ．2bsinA
B ．2bcosA
C ．2bsinB
D ．2bcosB
5． 已知P （x ，y ）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是
（ ）A ．6
B ．0
C ．2
D ．2
6． cos80cos130sin100sin130︒︒-︒︒等于（ ）
A
B ．
1
2 C ．1
2
-
D
．7． 已知是虚数单位，若复数（）的实部与虚部相等，则（ ）
)(3i a i +-R a ∈=a A ． B ． C ． D ．
1-2-8． 设函数
，则“
”是“函数
在
上存在零点”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
9． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在内的人数分别为（
）
[]90,100
A ．20，2
B ．24，4
C ．25，2
D ．25，4
10．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．以过椭圆+
=1（a ＞b ＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定
12．下列四组函数中表示同一函数的是（ ）
A ．，
B ．，()f x x
=2
()g x =2
()f x x =2
()(1)g x x =+C ．，D ．，
1111]
()f x =
()||g x x =()0f x
=()g x =
二、填空题
13．等差数列中，，公差，则使前项和取得最大值的自然数是________.{}n a 39||||a a =0d <n S 14．命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是 ．
15．设函数()()()31
321x a x f x x a x a x π⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩
，，，若()f x 恰有2个零点，则实数的取值范围是
．
16．考察正三角形三边中点及3个顶点，从中任意选4个点，则这4个点顺次连成平行四边形的概率等于 ．
17．某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人.如果在全
19.0
校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取
100人，则应在高三年级中抽取的人数等于.
三、解答题
18．（本小题满分12分）菜农为了蔬菜长势良好，定期将用国家规定的低毒杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防
止害虫的危害，待蔬菜成熟时将采集上市销售，但蔬菜上仍存有少量的残留农药，食用时可用清水清洗干净，
下表是用清水x（单位：千克）清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残存的农药y（单位：微克）的统计表：
x i12345
y i5753403010
（1）在下面的坐标系中，描出散点图，并判断变量x与y的相关性；
（2）若用解析式y＝cx2＋d作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程，求其解析式；（c，a精确到0.01）；
附：设ωi＝x，有下列数据处理信息：＝11，＝38，
2iωy
（ωi－）（y i－）＝－811，（ωi－）2＝374，
ωyω
对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线方程y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估
计分别为
（3）为了节约用水，且把每千克蔬菜上的残留农药洗净估计最多用多少千克水．（结果保留1位有效数字）
19．如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC=，M 为BC 的中点．
（Ⅰ）证明：AM ⊥PM ； （Ⅱ）求点D 到平面AMP 的距离．
20．（本小题满分12分）
已知函数()
23cos cos 2
f x x x x =++
.（1）当6
3x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，时，求函数()y f x =的值域；
（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间236ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦，上是增函数，求ω的最大值．
21．某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h）的变化近似满足函数关系；
(1) 求实验室这一天的最大温差；
(2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？
22．【南通中学2018届高三10月月考】设，，函数，其中是自然对数的底数，曲线
在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数、的值；
（Ⅱ）求证：函数存在极小值；
（Ⅲ）若，使得不等式成立，求实数的取值范围.
23．设函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值．
西华县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：∵z=cos θ+isin θ对应的点坐标为（cos θ，sin θ），且点（cos θ，sin θ）位于复平面的第二象限，∴，∴θ为第二象限角，
故选：B ．
【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．　
2． 【答案】C
【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前项和．由n 114n n n n
a a a a ++-=
+得，∴是等差数列，公差为，首项为，∴，由得
2
2
14n n a a +-={}
2
n a 442
44(1)4n a n n =+-=0n a >
．
，∴数列的前项和为
n a
=111
2n n a a +==+11n n a a +⎧⎫⎨
⎬+⎩⎭
n ，∴
，选C
．1111
1)1)52222
+++=-= 120n =3．
【答案】C 【解析】解：∵ a=ln2＜lne 即，
b=5=，c=
xdx=
，
∴a ，b ，c 的大小关系为：b ＜c ＜a ．故选：C ．
【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．　
4． 【答案】D 【解析】解：∵A=2B ，
∴sinA=sin2B ，又sin2B=2sinBcosB ，∴sinA=2sinBcosB ，根据正弦定理==2R 得：
sinA=
，sinB=
，
代入sinA=2sinBcosB得：a=2bcosB．
故选D
5．【答案】A
解析：解：由作出可行域如图，
由图可得A（a，﹣a），B（a，a），
由，得a=2．
∴A（2，﹣2），
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．
故选：A．
6．【答案】D
【解析】
=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=︒+︒=-︒
试题分析：原式()()
cos80cos130sin80sin130cos80130cos210cos30180cos30
=．
考点：余弦的两角和公式.
7．【答案】A
考点：复数运算．
8．【答案】A
【解析】【知识点】零点与方程
【试题解析】因为
所以若，则函数在上存在零点；
反过来，若函数在上存在零点，则
则故不一定。

故答案为：A
9．【答案】C
【解析】
考点：茎叶图，频率分布直方图．
10．【答案】A
【解析】解：由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为1，高为2，
∴母线长为，
圆锥的表面积S=S底面+S侧面=×π×12+×2×2+×π×=2+．
故选A．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．
11．【答案】C
【解析】解：设过右焦点F的弦为AB，右准线为l，A、B在l上的射影分别为C、D
连接AC、BD，设AB的中点为M，作MN⊥l于N
根据圆锥曲线的统一定义，可得
==e，可得
∴|AF|+|BF|＜|AC|+|BD|，即|AB|＜|AC|+|BD|，
∵以AB为直径的圆半径为r=|AB|，|MN|=（|AC|+|BD|）
∴圆M到l的距离|MN|＞r，可得直线l与以AB为直径的圆相离
故选：C
【点评】本题给出椭圆的右焦点F ，求以经过F 的弦AB 为直径的圆与右准线的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、圆锥曲线的统一定义和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．　
12．【答案】C 【解析】
试题分析：A 定义域值域均不相同，B 对应法则不相同，D 定义域不相同，故选C. 考点：定义域与值域．
二、填空题
13．【答案】或【解析】
试题分析：因为，且，所以，所以，所以，所以
0d <39||||a a =39a a =-1128a d a d +=--150a d +=，所以，所以取得最大值时的自然数是或．
60a =0n a >()15n ≤≤n S 考点：等差数列的性质．
【方法点晴】本题主要考查了等差数列的性质，其中解答中涉及到等差数列的通项公式以及数列的单调性等知识点的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据数列的单调性，得出，所以是解答的关键，同时结论中自然数是或是结论的一个150a d +=60a =易错点．14．【答案】 ．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题所以，命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是：
．
故答案为：．
15．【答案】11[3)
32⎡⎤
+∞⎢⎥⎣⎦
，，【解析】
考点：1、分段函数；2、函数的零点.
【方法点晴】本题考查分段函数，函数的零点，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想、数形结合思想和转化化归思想，综合性强，属于较难题型.首先利用分类讨论思想结合数学结合思想，对()3x
a≥且
x<时也轴有一个交点式，还需31 =-于轴的交点个数进行分情况讨论，特别注意：1.在1
g x a
x a
x a
=，两交点横坐标均满足1
x≥.
h x中3
=和2
g x与轴无交点，但()
a<；2. 当()130
21
=-≤时，()
g a
16．【答案】 ．
【解析】解：从等边三角形的三个顶点及三边中点中随机的选择4个，共有=15种选法，
其中4个点构成平行四边形的选法有3个，
∴4个点构成平行四边形的概率P==．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，是基础题．确定基本事件的个数是关键．
17．【答案】25
【解析】
考点：分层抽样方法．
三、解答题
18．【答案】【解析】解：（1）
根据散点图可知，x 与y 是负相关．
（2）根据提供的数据，先求数据（ω1，y 1），（ω2，y 2），（ω3，y 3），（ω4，y 4），（ω5，y 5）的回归直线方程，y ＝cω＋d ，
＝
≈－2.17，
－811374
＝y －ω＝38－（－2.17）×11＝61.87.a ^ c ^
∴数据（ωi ，y i ）（i ＝1，2，3，4，5）的回归直线方程为y ＝－2.17ω＋61.87，
又ωi ＝x ，2
i ∴y 关于x 的回归方程为y ＝－2.17x 2＋61.87.
（3）当y ＝0时，x ＝＝≈5.3.估计最多用5.3千克水．
61.872.176187217
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：取CD 的中点E ，连接PE 、EM 、EA ∵△PCD 为正三角形
∴PE ⊥CD ，PE=PDsin ∠PDE=2sin60°=∵平面PCD ⊥平面ABCD ∴PE ⊥平面ABCD ∵四边形ABCD 是矩形
∴△ADE 、△ECM 、△ABM 均为直角三角形由勾股定理得EM=
，AM=
，AE=3
∴EM 2+AM 2=AE 2，∴∠AME=90°
∴AM ⊥PM
（Ⅱ）解：设D 点到平面PAM 的距离为d ，连接DM ，则V P ﹣ADM =V D ﹣PAM ∴而
在Rt △PEM 中，由勾股定理得
PM=∴∴∴
，即点D 到平面PAM 的距离为
20．【答案】（1）332⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，；（2）．
【解析】
试题分析：（1）化简()sin 226f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭，结合取值范围可得1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭⇒值域为332⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；
（2）易得()sin 22123x g x f x ωππω⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和233363x πωππωππω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，，由()g x 在236ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦，上是增函数⇒222Z 336322k k k ωππωππππππ⎡⎤⎡⎤-
++⊆-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，，，⇒22332
2632k k ωππ
ππωππππ⎧-+≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩
⇒534112k k ωω⎧≤-⎪⎨
⎪≤+⎩⇒151212k -<<，Z k ∈⇒0k =⇒1ω≤⇒ω的最大值为.
考点：三角函数的图象与性质.
21．【答案】
【解析】（1）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），
∴≤t+＜，故当t+=时，函数取得最大值为10+2=12，
当t+=时，函数取得最小值为10﹣2=8，
故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃。

（2）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），
由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，
解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温。

22．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）利用导函数研究函数的切线，得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）中求得的函数的解析式首先求解导函数，然后利用导函数讨论函数的单调性即可确定函数存在极小值；
试题解析：
（Ⅰ）∵，∴，由题设得，∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴，∴函数在
是增函数，∵，，且函数图像在上不间断，∴，使得，结合函数在是增函数有：
）
递减极小值递增
∴函数存在极小值；
（Ⅲ），使得不等式成立，即，使得不等式成立……
（*），令，，
则，
∴结合（Ⅱ）得，其中，满足，
即，∴，，∴，∴，，∴在内单调递增，
∴，
结合（*）有，即实数的取值范围为．23．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】（Ⅰ）因为
．
所以函数的最小正周期为．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得．
因为，
所以，
所以．
所以．
且当时，取到最大值；
当时，取到最小值．。