2018年中考数学专题复习《三角形》综合训练题含答案

合集下载

中考数学总复习《三角形的综合题》专项测试卷-附参考答案

中考数学总复习《三角形的综合题》专项测试卷-附参考答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共12题；共24分)1．如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使⊥CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．保持不变2．如图，△ABC中BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①∠DFB=∠DBF；②△EFC为等腰三角形；③△ADE的周长等于△BFC的周长；④∠BFC= 90∘+12∠A.其中正确的是（）A．①②B．①③C．①②④D．①②③④3．如图，在⊥ABC中，已知⊥1＝⊥2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝（）A．3B．4C．5D．64．如图，在5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）．A．2B．3C．4D．55．有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2√2，AD=4，上面有一个以AD为直径的半圆（如图1），E 为边AB上一点，将纸片沿DE折叠，A点恰好落在BC上，此时半圆还露在外面的部分（如图2，阴影部分）的面积是（）A．π−2B．2−π2C．43π−√3D．23π−16．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A．7，24，25B．12，412，512C．3，4，5D．4，712，8127．给出下列说法：①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；②三角形的三边a、b、c满足a2+c2＝b2则⊥C＝90°；③⊥ABC中，若⊥A：⊥B：⊥C＝1：5：6则⊥ABC是直角三角形；④⊥ABC中，若a：b：c＝1：2：√3则这个三角形是直角三角形.其中，错误的说法的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PC=CQ.连接PD、AQ则PD+AQ的最小值为（）A．4√5B．√89C．2√5+5D．7√29．如图，点D是⊥ABC外的一点，BD，CD分别平分外角∠CBE，∠BCF连接AD交BC于点O．下列结论一定成立的是（）A．DB＝DC B．OA＝ODC．⊥BDA＝⊥CDA D．⊥BAD＝⊥CAD10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点PE⊥BC，PF⊥CD垂足分别为E，F连接AP，EF下列结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD与四边形PEFD的面积相等.其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．如图，在矩形ABCD中AB=2，∠AOB=60°则BD的长为（）A．1B．2C．3D．412．如图，点D是⊥ABC内一点AD=CD，∠ADB=∠CDB则以下结论①∠DAC=∠DCA；②AB= AC；③BD平分⊥ABC；④BD与AC的位置关系是互相垂直，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题(共6题；共7分)13．如图，△ABC是直角三角形∠ACB=90°，分别以AC、CB为边向两侧作正方形.若图中两个正方形的面积和S1+S2=36，则AB=.14．如图，DE是⊥ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE，AF交于点O.现有以下结论：①DE⊥BC；②OD=14BC；③AO=FO；④S⊥AOD=14S⊥ABC，其中正确结论的序号为。

【中考复习】2018届甘肃中考数学《专题聚焦》总复习练习题含答案

题型一规律探索类型一数与式规律探索 1．(2017·百色)观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16，25，…，则第11个数是(B )A ．－121B ．－100C ．100D ．121 2．(2017·武汉)按照一定规律排列的n 个数：－2、4、－8、16、－32、64、…，若最后三个数的和为768，则n 为(导学号 35694235)(B )A ．9B ．10C ．11D ．123．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x 1，第二个三角形数记为x 2，…，第n 个三角形数记为x n ，则x n ＋x n＋1＝__(n ＋1)2__．4．若x 是不等于1的实数，我们把11－x 称为x 的差倒数，如2的差倒数是11－2＝－1，－1的差倒数为11－（－1）＝12，现已知x 1＝－13，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，…，以此类推，则x 2018＝__34__．5．观察下列等式：1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…，则1＋3＋5＋7＋…＋2015＝__1016064__．6．小明写出如下一组数：15，－39，717，－1533，…，请用你发现的规律，猜想第2014个数为__－22014－122015＋1__．7．(2017·云南)观察下列各个等式的规律：第一个等式：22－12－12＝1，第二个等式：32－22－12＝2，第三个等式：42－32－12＝3，…请用上述等式反映出的规律解决下列问题： (1)直接写出第四个等式；(2)猜想第n 个等式(用n 的代数式表示)，并证明你猜想的等式是正确的．解：(1)第四个等式为：52－42－12＝4；(2)第n 个等式为：（n ＋1）2－n 2－12＝n;证明如下：∵（n ＋1）2－n 2－12＝n 2＋2n ＋1－n 2－12＝2n 2＝n ，∴左边＝右边，等式成立．类型二图形规律探索 1．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图①)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图②，图③…)，则图⑥中挖去三角形的个数为(导学号 35694236)(C )A ．121B ．362C ．364D ．7292．如图，在△ABC 中，BC ＝1，点P 1，M 1分别是AB ，AC 边的中点，点P 2，M 2分别是AP 1，AM 1的中点，点P 3，M 3分别是AP 2，AM 2的中点，按这样的规律下去，P n M n 的长为__12n__(n 为正整数)．3．如图，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2016BC 和∠A 2016CD 的平分线交于点A 2017，则∠A 2017＝__m22017__°.4．如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图⑤中三角形的个数是(C )A ．8B ．9C ．16D ．17 5．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，依此规律，第11个图案需(B )根火柴．A ．156B ．157C ．158D ．1596．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有点的个数为__(n ＋1)2__(用含n 的代数式表示)．(导学号 35694237)类型三与坐标系结合的规律探索1．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺指针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…，若点A (53，0)，B (0，4)，则点B 2016的横坐标为(D )A ．5B ．12C ．10070D ．100802．如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，1)，(3，0)，(3，－1)…，根据这个规律探索可得第100个点的坐标为(D )A ．(14，0)B ．(14，－1)C ．(14，1)D ．(14，2)3．如图，已知菱形OABC 的两个顶点O (0，0)，B (2，2)，若将菱形绕点O 以每秒45°的速度逆时针旋转，则第2017秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为．4．(2017·赤峰)在平面直角坐标系中，点P (x ，y )经过某种变换后得到点P ′(－y ＋1，x ＋2)，我们把点P ′(－y ＋1，x ＋2)叫做点P (x ，y )的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…，若点P 1的坐标为(2，0)，则点P 2017的坐标为__(2，0)__．(导学号 35694238)5．如图，在平面直角坐标系中有一菱形OABC，且∠A＝120°，点O、B在y轴上，OA ＝1，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转60°，点B的落点依次为B1、B2、B3…，连续翻转2017次，则B2017的坐标为__(1345.5，2)__．题型二尺规作图类型一作与两条直线距离有关的点1．(2017·陕西)如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D.请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．(保留作图痕迹，不写作法)(导学号35694239)解：如解图，点P即为所求．2．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论)解：如解图所示，作CD的垂直平分线，∠AOB的平分线的交点P即为所求，此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等．P和P1都是所求的点．3．(2017·绥化)如图，A、B、C为某公园的三个景点，景点A和景点B之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭P，使景点B、景点C到凉亭P的距离之和等于景点B到景点A的距离，请用直尺和圆规在所给的图中作出点P.(不写作法和证明，只保留作图痕迹)解：如解图，连接AC，作线段AC的垂直平分线MN，直线MN交AB于点P.点P即为所求的点．4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在边BC上找一点D，使D到AB的距离等于CD.(保留作图痕迹，不写作法)解：如解图，点D即为所求．类型二作角平分线和垂直平分线1．(2017·福建)如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP＝AQ.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)解：BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点．证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BPD＋∠PBD＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠AQP＋∠ABQ＝90°.∵∠ABQ＝∠PBD，∴∠BPD＝∠AQP.∵∠BPD＝∠APQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴AP＝AQ.2．(2017·赤峰)已知平行四边形ABCD.(1)尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)的条件下，求证：CE＝CF.(1)解：如解图所示，AF即为所求；(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵AF平分∠BAD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠4，∴CE＝CF.3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°.(1)作边AB的垂直平分线MN；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在已知的图中，若MN交AC于点D，连接BD，求∠DBC的度数．(导学号35694240)解：(1)如解图①即为所求垂直平分线MN；(2)如解图②，连接BD，∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴AD＝BD，∵∠A＝40°，∴∠ABD＝∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC ＝∠C ＝12(180°－∠A)＝70°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°. 4．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°.(1)尺规作图：按下列要求完成作图(保留作图痕迹，请标明字母)①作线段AC 的垂直平分线l ，交AC 于点O ；②连接BO 并延长，在BO 的延长线上截取OD ，使得OD ＝OB ； ③连接DA 、DC ；(2)判断四边形ABCD 的形状，并说明理由． (1)①②③如解图所示； (2)四边形ABCD 是矩形，理由：∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BO 是AC 边上的中线， ∴BO ＝12AC ，∵BO ＝DO ，AO ＝CO ，∴AO ＝CO ＝BO ＝DO ，∴四边形ABCD 是矩形．类型三作圆1．如图，在图中求作⊙P ，使⊙P 满足以线段MN 为弦且圆心P 到∠AOB 两边的距离相等．(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)解：如解图所示，⊙P 即为所作的圆．2．如图，已知在△ABC 中，∠A ＝90°.(1)请用圆规和直尺作出⊙P ，使圆心P 在AC 边上，且与AB ，BC 两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)若∠B ＝60°，AB ＝3，求⊙P 的面积．解：(1)如解图所示， ⊙P 为所求作的圆； (2)∵∠B ＝60°， BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝30°， ∵tan ∠ABP ＝AP AB， ∴AP ＝3， ∴S ⊙P ＝3π.3．(2017·舟山)如图，已知△ABC ，∠B ＝40°.(1)在图中，用尺规作出△ABC 的内切圆O ，并标出⊙O 与边AB ，BC ，AC 的切点D ，E ，F(保留痕迹，不必写作法)；(2)连接EF ，DF ，求∠EFD 的度数．解：(1)如解图①，⊙O 即为所求；(2)如解图②，连接OD ，OE ， ∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC ， ∴∠ODB ＝∠OEB ＝90°， ∵∠B ＝40°，∴∠DOE ＝140°，∴∠EFD ＝70°.4．已知△ABC 中，∠A ＝25°，∠B ＝40°.(1)求作：⊙O ，使得⊙O 经过A 、C 两点，且圆心O 落在AB 边上(要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)；(2)求证：BC 是(1)中所作⊙O 的切线． (1)解：作图如解图①；(2)证明：如解图②，连接OC ，∵OA ＝OC ，∠A ＝25°，∴∠BOC ＝50°，又∵∠B ＝40°，∴∠BOC ＋∠B ＝90°， ∴∠OCB ＝90°，∴OC ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．5．如图，在直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°. (1)先作∠ACB 的平分线，设它交AB 边于点O ，再以点O 为圆心OB 为半径作⊙O(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)证明：AC 是所作⊙O 的切线；(3)若BC ＝3，sin A ＝12，求△AOC 的面积．(1)解：作图如解图所示：(2)证明：过点O 作OE ⊥AC 于点E ， ∵FC 平分∠ACB ，∴OB ＝OE ，∴AC 是所作⊙O 的切线；(3)解：∵sin A ＝12，∠ABC ＝90°，∴∠A ＝30°，∴∠ACO ＝∠OCB ＝12∠ACB ＝30°，∵BC ＝3，∴AC ＝23，BO ＝BC tan 30°＝3³33＝1， ∴S △AOC ＝12AC·OE ＝12³23³1＝ 3.题型三与三角形、四边形有关的证明与计算类型一与三角形有关的证明与计算 1．(2017·黄冈)已知：如图，∠BAC ＝∠DAM ，AB ＝AN ，AD ＝AM ，求证：∠B ＝∠ANM.证明：∵∠BAC ＝∠DAM ，∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ，∠DAM ＝∠DAC ＋∠NAM ， ∴∠BAD ＝∠NAM ，在△BAD 和△NAM 中，⎩⎨⎧AB ＝AN ，∠BAD ＝∠NAM ，AD ＝AM ，∴△BAD ≌△NAM(SAS )，∴∠B ＝∠ANM. 2．(2017·孝感)如图，已知AB ＝CD ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，BF ＝DE ，求证：AB ∥CD.证明：∵AE ⊥BD ， CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°， ∵BF ＝DE ，∴BF ＋EF ＝DE ＋EF ， ∴BE ＝DF.在Rt △AEB 和Rt △CFD 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BE ＝DF ，∴Rt △AEB ≌Rt △CFD(HL )， ∴∠B ＝∠D ，∴AB ∥CD. 3．(2017·连云港)如图，已知等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD ＝AE ，连接BE 、CD ，交于点F.(1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A 、F 的直线垂直平分线段BC.(1)解：∠ABE ＝∠ACD ；理由如下：在△ABE 和△ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△ACD(SAS )，∴∠ABE ＝∠ACD ； (2)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，由(1)可知∠ABE ＝∠ACD ， ∴∠FBC ＝∠FCB ， ∴FB ＝FC ， ∵AB ＝AC ，∴点A 、F 均在线段BC 的垂直平分线上，即直线AF 垂直平分线段BC. 4．(2017·荆门)已知：如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，点E 是CD 的中点，过点C 作CF ∥AB 交AE 的延长线于点F.(1)求证：△ADE ≌△FCE ；(2)若∠DCF ＝120°，DE ＝2，求BC 的长．(1)证明：∵点E 是CD 的中点， ∴DE ＝CE ， ∵AB ∥CF ，∴∠BAF ＝∠AFC ，在△ADE 与△FCE 中，⎩⎨⎧∠DAF ＝∠AFC ，∠AED ＝∠FEC ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE(AAS )； (2)解：由(1)得，CD ＝2DE ， ∵DE ＝2，∴CD ＝4.∵点D 为AB 的中点，∠ACB ＝90°， ∴AB ＝2CD ＝8，AD ＝CD ＝12AB.∵AB ∥CF ，∴∠BDC ＝180°－∠DCF ＝180°－120°＝60°， ∴∠DAC ＝∠ACD ＝12∠BDC ＝12³60°＝30°，∴BC ＝12AB ＝12³8＝4.5．(2017·重庆A )在△ABM 中，∠ABM ＝45°，AM ⊥BM ，垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC.(1)如图①，若AB ＝32，BC ＝5，求AC 的长；(2)如图②，点D 是线段AM 上一点，MD ＝MC ，点E 是△ABC 外一点，EC ＝AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF ＝∠CEF.(导学号 35694241)(1)解：AC ＝13；(2)证明：如解图，延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连接BG. ∵DM ＝MC ，∠BMD ＝∠AMC ， BM ＝AM ，∴△BMD ≌△AMC(SAS )， ∴AC ＝BD ，又∵CE ＝AC ，∴BD ＝CE ， ∵BF ＝FC ，∠BFG ＝∠CFE ， FG ＝FE ，∴△BFG ≌△CFE(SAS )，∴BG ＝CE ，∠G ＝∠CEF ，∴BD ＝CE ＝BG ，∴∠BDG ＝∠G ＝∠CEF. 6．(2017·呼和浩特)如图，等腰三角形ABC 中，BD ，CE 分别是两腰上的中线． (1)求证：BD ＝CE ；(2)设BD 与CE 相交于点O ，点M ，N 分别为线段BO 和CO 的中点，当△ABC 的重心到顶点A 的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN 的形状，无需说明理由．(1)证明：由题意得，AB ＝AC ， ∵BD ，CE 分别是两腰上的中线， ∴AD ＝12AC ，AE ＝12AB ，∴AD ＝AE ，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS )．∴BD ＝CE ； (2)解：四边形DEMN 是正方形，证明：略7．△ABC 的三条角平分线相交于点I ，过点I 作DI ⊥IC ，交AC 于点D. (1)如图①，求证：∠AIB ＝∠ADI ；(2)如图②，延长BI ，交外角∠ACE 的平分线于点F. ①判断DI 与CF 的位置关系，并说明理由； ②若∠BAC ＝70°，求∠F 的度数．(1)证明：∵AI 、BI 分别平分∠BAC ，∠ABC ， ∴∠BAI ＝12∠BAC ，∠ABI ＝12∠ABC ，∴∠BAI ＋∠ABI ＝12(∠BAC ＋∠ABC)＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB ，∴在△ABI 中，∠AIB ＝180°－(∠BAI ＋∠ABI)＝180°－(90°－12∠ACB)＝90°＋12∠ACB ，∵CI 平分∠ACB ，∴∠DCI ＝12∠ACB ，∵DI ⊥IC ，∴∠DIC ＝90°，∴∠ADI ＝∠DIC ＋∠DCI ＝90°＋12∠ACB ，∴∠AIB ＝∠ADI ；(2)解：①结论：DI ∥CF.理由：∵∠IDC ＝90°－∠DCI ＝90°－12∠ACB ，∵CF 平分∠ACE ，∴∠ACF ＝12∠ACE ＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB ，∴∠IDC ＝∠ACF ，∴DI ∥CF ；②∵∠ACE ＝∠ABC ＋∠BAC ，∴∠ACE －∠ABC ＝∠BAC ＝70°， ∵∠FCE ＝∠FBC ＋∠F ， ∴∠F ＝∠FCE －∠FBC ，∵∠FCE ＝12∠ACE ，∠FBC ＝12∠ABC ，∴∠F ＝12∠ACE －12∠ABC ＝12(∠ACE －∠ABC)＝35°.8．(8分)(2017·北京)在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，P 是线段BC 上一动点(与点B 、C 不重合)，连接AP ，延长BC 至点Q ，使得CQ ＝CP ，过点Q 作QH ⊥AP 于点H ，交AB 于点M.(1)若∠PAC ＝α，求∠AMQ 的大小(用含α的式子表示)；(2)用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明．(导学号 35694242)解：(1)∠AMQ ＝45°＋α；理由如下：∵∠PAC ＝α，△ACB 是等腰直角三角形， ∴∠BAC ＝∠B ＝45°，∠PAB ＝45°－α， ∵QH ⊥AP ， ∴∠AHM ＝90°， ∴∠AMQ ＝180°－∠AHM －∠PAB ＝45°＋α；(2)PQ ＝2MB.理由如下：如解图，连接AQ ，作ME ⊥QB ， ∵AC ⊥QP ，CQ ＝CP ， ∴∠QAC ＝∠PAC ＝α， ∴∠QAM ＝45°＋α＝∠AMQ ，∴AP ＝AQ ＝QM ，在△APC 和△QME 中，⎩⎨⎧∠MQE ＝∠PAC ，∠ACP ＝∠QEM ，AP ＝QM ，∴△APC ≌△QME(AAS )，∴PC ＝ME ， ∴△MEB 是等腰直角三角形，∴12PQ ＝22MB ，∴PQ＝2MB.类型二与四边形有关的证明与计算1．在▱ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且AE ＝CF. (1)求证：△ADE ≌△CBF ；(2)若DF ＝BF ，求证：四边形DEBF 为菱形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，∠A ＝∠C ，在△ADE 和△CBF 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠A ＝∠C ，AE ＝CF ，∴△ADE ≌△CBF(SAS )；(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∵AE ＝CF ，∴DF ＝EB ，∴四边形DEBF 是平行四边形，又∵DF ＝FB ，∴四边形DEBF 为菱形．2．如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ，E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE ＝∠BAD ，AE ⊥AC.(1)求证：四边形ABDE 是平行四边形；(2)如果DA 平分∠BDE ，AB ＝5，AD ＝6，求AC 的长． (导学号 35694243)(1)证明：∵AE ⊥AC ，BD 垂直平分AC ， ∴AE ∥BD ，∵∠ADE ＝∠BAD ， ∴DE ∥AB ，∴四边形ABDE 是平行四边形； (2)解：∵DA 平分∠BDE ， ∴∠BAD ＝∠ADB ， ∴AB ＝BD ＝5，设BF ＝x ，则52－x 2＝62－(5－x)2，解得x ＝75，∴AF ＝AB 2－BF 2＝245，∴AC ＝2AF ＝485. 3．(2017·上海)已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA ＝E C .(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)如果BE ＝BC ，且∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，求证：四边形ABCD 是正方形．证明：(1)在△ADE 和△CDE 中，⎩⎨⎧AD ＝CD ，DE ＝DE ，EA ＝EC ，∴△ADE ≌△CDE(SSS )， ∴∠ADE ＝∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBD ， ∴∠CDE ＝∠CBD ，∴BC ＝CD ， ∵AD ＝CD ，∴BC ＝AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AD ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形； (2)∵BE ＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC ， ∵∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3， ∴∠CBE ＝180°³22＋3＋3＝45°，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE ＝45°， ∴∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形．4．如图，在▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接BE ，∠F ＝45°.(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)若AB ＝14，DE ＝8，求sin ∠AEB 的值．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠DAF ＝∠F ＝45°.∵AE 是∠BAD 的平分线， ∴∠EAB ＝∠DAE ＝45°， ∴∠DAB ＝90°，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形；(2)解：如解图，过点B 作BH ⊥AE 于点H ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AD ＝BC ， ∠DCB ＝∠D ＝90°，∵AB ＝14，DE ＝8，∴CE ＝6. 在Rt △ADE 中，∠DAE ＝45°， ∴AD ＝DE ＝8，∴BC ＝8. 在Rt △BCE 中，由勾股定理得BE ＝BC 2＋CE 2＝10，在Rt △AHB 中，∠HAB ＝45°， ∴BH ＝AB·sin 45°＝72， ∵在Rt △BHE 中，∠BHE ＝90°， ∴sin ∠AEB ＝BH BE ＝7210.5．(2017·大庆)如图，以BC 为底边的等腰△ABC ，点D ，E ，G 分别在BC ，AB ，AC 上，且EG ∥BC ，DE ∥AC ，延长GE 至点F ，使得BE ＝BF.(1)求证：四边形BDEF 为平行四边形； (2)当∠C ＝45°，BD ＝2时，求D ，F 两点间的距离．(导学号 35694244) (1)证明：∵△ABC 是等腰三角形， ∴∠ABC ＝∠C ，∵EG ∥BC ，DE ∥AC ， ∴∠AEG ＝∠ABC ＝∠C ，∴四边形CDEG 是平行四边形， ∴∠DEG ＝∠C ， ∵BE ＝BF ，∴∠BFE ＝∠BEF ＝∠AEG ＝∠ABC ， ∴∠F ＝∠DEG ，∴BF ∥DE ， ∴四边形BDEF 为平行四边形； (2)解：∵∠C ＝45°，∴∠ABC ＝∠BFE ＝∠BEF ＝45°， ∴△BDE 、△BEF 是等腰直角三角形，∴BF ＝BE ＝22BD ＝2，作FM ⊥BD 于点M ，连接DF ，如解图所示，则△BFM 是等腰直角三角形， ∴FM ＝BM ＝22BF ＝1， ∴DM ＝3，在Rt △DFM 中，由勾股定理得： DF ＝12＋32＝10，即D ，F 两点间的距离为10. 6．(2017·张家界)如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 的垂直平分线交AD 于点E ，交CB 的延长线于点F ，连接AF ，BE.(1)求证：△AGE ≌△BGF ；(2)试判断四边形AFBE 的形状，并说明理由.(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠AEG ＝∠BFG ， ∵EF 垂直平分AB ， ∴AG ＝BG ，在△AGE 和△BGF 中，⎩⎨⎧∠AEG ＝∠BFG ，∠AGE ＝∠BGF ，AG ＝BG ，∴△AGE ≌△BGF(AAS )；(2)解：四边形AFBE 是菱形，理由如下： ∵△AGE ≌△BGF ，∴AE ＝BF ，∵AD ∥BC ，∴四边形AFBE 是平行四边形，又∵EF ⊥AB ，∴四边形AFBE 是菱形.7．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，且∠ABC ＋∠ADC ＝180°.(1)求证：四边形ABCD 是矩形．(2)若∠ADF ∶∠FDC ＝3∶2，DF ⊥AC ，则∠BDF 的度数是多少？(1)证明：∵AO ＝CO ，BO ＝DO∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ABC ＝∠ADC ，∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°， ∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形；(2)解：∵∠ADC ＝90°，∠ADF ∶∠FDC ＝3∶2， ∴∠FDC ＝36°，∵DF ⊥AC ，∴∠DCO ＝90°－36°＝54°， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴OC ＝OD ，∴∠ODC ＝54°，∴∠BDF ＝∠ODC －∠FDC ＝18°. 8．(2017·娄底)如图，在▱ABCD 中，各内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H. (1)求证：△ABG ≌△CDE ；(2)猜一猜：四边形EFGH 是什么样的特殊四边形？证明你的猜想； (3)若AB ＝6，BC ＝4，∠DAB ＝60°，求四边形EFGH 的面积．(1)证明：∵GA 平分∠BAD ，EC 平分∠BCD ， ∴∠BAG ＝12∠BAD ，∠DCE ＝12∠DCB ，∵在▱ABCD 中，∠BAD ＝∠DCB ，AB ＝CD ，∴∠BAG ＝∠DCE ，同理可得，∠ABG ＝∠CDE ，∵在△ABG 和△CDE 中，⎩⎨⎧∠BAG ＝∠DCE ，AB ＝CD ，∠ABG ＝∠CDE ，∴△ABG ≌△CDE(ASA )； (2)解：四边形EFGH 是矩形．证明：∵GA 平分∠BAD ，GB 平分∠ABC ， ∴∠GAB ＝12∠BAD ，∠GBA ＝12∠ABC ，∵在▱ABCD 中，∠DAB ＋∠ABC ＝180°，∴∠GAB ＋∠GBA ＝12(∠DAB ＋∠ABC)＝90°，即∠AGB ＝90°，同理可得，∠DEC ＝90°，∠AHD ＝90°＝∠EHG ， ∴四边形EFGH 是矩形；(3)解：依题意得：∠BAG ＝12∠BAD ＝30°，∵AB ＝6，∴BG ＝12AB ＝3，AG ＝33＝CE ，∵BC ＝4，∠BCF ＝12∠BCD ＝30°，∴BF ＝12BC ＝2，CF ＝23，∴EF ＝33－23＝3，GF ＝3－2＝1， ∴S 矩形EFGH 的面积＝EF·GF ＝ 3.题型四解直角三角形的实际应用1．(2017·镇江)如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15 m，求实验楼的垂直高度即CD长．(精确到1 m，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)解：作AE⊥CD于E，如解图，∵AB＝15 m，∴DE＝AB＝15 m，∵∠DAE＝45°，∴AE＝DE＝15 m，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝CE AE，则CE＝AE·tan37°＝15³0.75≈11 m，∴CD＝CE＋DE＝11＋15＝26 m.答：实验楼的垂直高度CD长为26 m.2．(2017·宜宾)如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α＝30°，∠β＝45°，量得BC长为100米，求河的宽度．(结果保留根号)解：过点A作AD⊥BC于点D，如解图，∵∠β＝45°，∠ADC＝90°，∴AD＝DC，设AD＝DC＝x m，则tan 30°＝x x ＋100＝33，解得x ＝50(3＋1)．答：河的宽度为50(3＋1) m . 3．(2017·宿迁)如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A 处测得正前方小岛C 的俯角为30°，面向小岛方向继续飞行10 km 到达B 处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度．(结果保留根号)(导学号 35694245)解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，如解图，设CD ＝x ， ∵∠CBD ＝45°， ∴BD ＝CD ＝x ，在Rt △ACD 中， ∵tan ∠CAD ＝CDAD，∴AD ＝CD tan ∠CAD ＝x tan 30°＝x33＝3x ，由AD ＋BD ＝AB 可得3x ＋x ＝10，解得x ＝53－5.答：飞机飞行的高度为(53－5) km . 4．(2016·菏泽)南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B 处时，测得该岛位于正北方向20(1＋3)海里的C 处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A 处的渔监船前往C 处护航，已知C 位于A 处的北偏东45°方向上，A 位于B 的北偏西30°的方向上，求A 、C 之间的距离．解：如解图，作AD ⊥BC ，垂足为D ，由题意得，∠ACD ＝45°， ∠ABD ＝30°.设CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x，在Rt△ABD中，可得BD＝3x，又∵BC＝20(1＋3)，CD＋BD＝BC，即x＋3x＝20(1＋3)，解得：x＝20，∴AC＝2x＝202(海里)．答：A、C之间的距离为20 2 海里．5．(2017·荆门)金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度．(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：如解图，过点C作CM⊥AB于M.则四边形MEDC是矩形，∴ME＝DC＝3，CM＝ED，在Rt△AEF中，∠AFE＝60°，设EF＝x，则AF＝2x，AE＝3x，在Rt△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°，∴DF＝33，在Rt △AMC 中， ∠ACM ＝45°，∴∠MAC ＝∠ACM ＝45°，∴MA ＝MC ， ∵ED ＝CM ，∴AM ＝ED ，∵AM ＝AE －ME ，ED ＝EF ＋DF ， ∴3x －3＝x ＋33，解得x ＝6＋33， ∴AE ＝3(6＋33)＝63＋9，∴AB ＝AE －BE ＝9＋63－1≈18.4米．答：旗杆AB 的高度约为18.4米． 6．(2016·贺州)如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC 是10米，坡面10米处有一建筑物HQ ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角∠BDC ＝30°，若新坡面下D 处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(导学号 35694246)解：由题意得，AH ＝10米，BC ＝10米，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°， ∴AB ＝BC ＝10，在Rt △DBC 中，∠CDB ＝30°， ∴DB ＝BCtan ∠CDB＝103，∴DH ＝AH －AD ＝AH －(DB －AB)＝10－103＋10＝20－103≈2.7(米)， ∵2.7米＜3米，∴该建筑物需要拆除．7．(2017·鄂州)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M 处出发，向前走3米到达A 处，测得树顶端E 的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C 处，测得树的顶端E 的仰角是60°，再继续向前走到大树底D 处，测得食堂楼顶N 的仰角为45°.已知A 点离地面的高度AB ＝2米，∠BCA ＝30°，且B 、C 、D 三点在同一直线上．(1)求树DE 的高度；(2)求食堂MN 的高度．解：(1)如解图，设DE ＝x ，∵AB ＝DF ＝2，∴EF ＝DE －DF ＝x －2， ∵∠EAF ＝30°， ∴AF ＝EFtan ∠EAF ＝x －233＝3(x －2)，又∵CD ＝DE tan ∠DCE ＝x 3＝33x ，BC ＝AB tan ∠ACB ＝233＝23，∴BD ＝BC ＋CD ＝23＋33x ，由AF ＝BD 可得3(x －2)＝23＋33x ，解得：x ＝6，∴树DE 的高度为6米；(2)延长NM 交DB 延长线于点P ，如解图，则AM ＝BP ＝3，由(1)知CD ＝33x ＝33³6＝23，BC ＝23， ∴PD ＝BP ＋BC ＋CD ＝3＋23＋23＝3＋43，∵∠NDP ＝45°，且MP ＝AB ＝2， ∴NP ＝PD ＝3＋43，∴NM ＝NP －MP ＝3＋43－2＝1＋43， ∴食堂MN 的高度为1＋4 3 米．题型五与圆有关的证明与计算类型一与切线判定有关的证明与计算1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC 、AC 交于点D 、E ，过点D 作DF ⊥AC 于点F.(1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为2，BC ＝22，求DF 的长． (导学号 35694247)(1)证明：连接OD ，如解图，∵OB ＝OD ，∴∠ABC ＝∠ODB ， ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ， ∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴DF ⊥OD ，∴DF 是⊙O 的切线；(2)解：连接AD ，如解图， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC ，又∵AB ＝AC ，∴BD ＝DC ＝2，∴AD ＝AB 2－BD 2＝42－（2）2＝14， ∵DF ⊥AC ，∴△ADC ∽△DFC ，∴AD DF ＝AC DC ，∴14DF ＝42，∴DF ＝72. 2．如图，在△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AC 于点D ，∠ABD ＝∠ACB. (1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)若点E 是BC 上一点，已知BE ＝4，tan ∠AEB ＝53，AB ∶BC ＝2∶3，求⊙O 的直径．(1)证明：∵BC 是直径， ∴∠BDC ＝90°，∴∠ACB ＋∠DBC ＝90°，∵∠ABD ＝∠ACB ， ∴∠ABD ＋∠DBC ＝90°， ∴∠ABC ＝90°， ∴AB ⊥BC ， ∴AB 是⊙O 的切线；(2)解：在Rt △AEB 中，tan ∠AEB ＝53，∴AB BE ＝53，即AB ＝53BE ＝203，在Rt △ABC 中，AB BC ＝23，∴BC ＝32AB ＝10，∴⊙O 的直径为10.3．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，点D 是BC ︵的中点，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F.(1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若OF ＝2，求AC 的长度．(导学号 35694248)(1)证明：如解图①，连接OD 、AD ， ∵点D 是BC ︵的中点，∴BD ︵＝CD ︵，∴∠DAO ＝∠DAC ， ∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ODA ，图①∴∠DAC ＝∠ODA ，∴OD ∥AE ， ∵DE ⊥AE ，∴∠AED ＝90°， ∴∠AED ＝∠ODE ＝90°， ∴OD ⊥DE ， ∴DE 是⊙O 的切线；图②(2)解：如解图②，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥AE，∴∠DOB＝∠EAB，∵∠DFO＝∠ACB＝90°，∴△DFO∽△BCA，∴OFAC＝ODAB＝12，即2AC＝12，∴AC＝4.4．(2017·张家界)在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)分别延长CB，FD，相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．(1)证明：连接OD，如解图所示，∵AC＝BC，OB＝OD，∴∠ABC＝∠A，∠ABC＝∠ODB，∴∠A＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；(2)解：∵AC＝BC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD ＝60°，∵DF ⊥OD ，∴∠ODG ＝90°，∴∠G ＝30°， ∴DG ＝3OD ＝63，∴S 阴影部分＝S △ODG －S 扇形OBD ＝12³6³63－60π³62360＝183－6π.5．(2017·安顺)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连接BE.(1)求证：BE 与⊙O 相切；(2)设OE 交⊙O 于点F ，若DF ＝1，BC ＝23，求阴影部分的面积．(1)证明：连接OC ，如解图， ∵CE 为切线，∴OC ⊥CE ， ∴∠OCE ＝90°，∵OD ⊥BC ，∴CD ＝BD ，即OD 垂中平分BC ， ∴EC ＝EB ，在△OCE 和△OBE 中，⎩⎨⎧OC ＝OB ，OE ＝OE ，EC ＝EB ，∴△OCE ≌△OBE ，∴∠OBE ＝∠OCE ＝90°， ∴OB ⊥BE ，∴BE 与⊙O 相切；(2)解：设⊙O 的半径为r ，则OD ＝r －1，在Rt △OBD 中，BD ＝CD ＝12BC ＝3，∴(r －1)2＋(3)2＝r 2，解得r ＝2， ∵tan ∠BOD ＝BDOD ＝3，∴∠BOD ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BOD ＝120°，在Rt △OBE 中，BE ＝3OB ＝23， ∴S 阴影部分＝S 四边形OBEC －S 扇形BOC ＝2S △OBE －S 扇形BOC＝2³12³2³23－120π³22360＝43－43π.类型二与切线性质有关的证明与计算 1．(2017·绵阳)如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，与AC 平行的⊙O 的一条切线交CD 的延长线于点M ，交AB 的延长线于点E ，切点为F ，连接AF 交CD 于点N.(1)求证：CA ＝CN ；(2)连接OF ，若cos ∠DFA ＝45，AN ＝210，求⊙O 的直径的长度．(1)证明：连接OF ，则∠OAF ＝∠OFA ，如解图①所示， ∵ME 与⊙O 相切， ∴OF ⊥ME. ∵CD ⊥AB ，∴∠M ＋∠FOH ＝180°.∵∠BOF ＝∠OAF ＋∠OFA ＝2∠OAF ，∠FOH ＋∠BOF ＝180°， ∴∠M ＝2∠OAF. ∵ME ∥AC ，∴∠M ＝∠C ＝2∠OAF.∵CD ⊥AB ，∴∠ANC ＋∠OAF ＝∠BAC ＋∠C ＝90°， ∴∠ANC ＝90°－∠OAF ，∠BAC ＝90°－∠C ＝90°－2∠OAF ， ∴∠CAN ＝∠OAF ＋∠BAC ＝90°－∠OAF ＝∠ANC ， ∴CA ＝CN ；(2)解：连接OC ，如解图②所示． ∵cos ∠DFA ＝45，∠DFA ＝∠ACH ， ∴CH AC ＝45. 设CH ＝4a ，则AC ＝5a ，AH ＝3a ， ∵CA ＝CN ，∴NH ＝a ，∴AN ＝AH 2＋NH 2＝（3a ）2＋a 2＝10a ＝210， ∴a ＝2，AH ＝3a ＝6，CH ＝4a ＝8. 设⊙O 的半径为r ，则OH ＝r －6，在Rt △OCH 中，OC ＝r ，CH ＝8，OH ＝r －6， ∴OC 2＝CH 2＋OH 2，r 2＝82＋(r －6)2，解得：r ＝253，∴⊙O 的直径的长度为2r ＝503.2．(2017·大连)如图，AB 是⊙O 直径，点C 在⊙O 上，AD 平分∠CAB ，BD 是⊙O 的切线，AD 与BC 相交于点E.(1)求证：BD ＝BE ；(2)若DE ＝2，BD ＝5，求CE 的长． (导学号 35694249)(1)证明：设∠BAD ＝α，∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠BAD ＝α，∵AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∴∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝90°－2α，∵BD 是⊙O 的切线，∴BD ⊥AB ，∴∠DBE ＝2α，∠BED ＝∠BAD ＋∠ABC ＝90°－α， ∴∠D ＝180°－∠DBE －∠BED ＝90°－α， ∴∠D ＝∠BED ，∴BD ＝BE ；(2)解：设AD 交⊙O 于点F ，CE ＝x ，则AC ＝2x ，连接BF ，如解图， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AFB ＝90°，∵BD ＝BE ，DE ＝2，∴FE ＝FD ＝1，∵BD ＝5，∴BF ＝2， ∵∠BAD ＋∠D ＝90°，∠D ＋∠FBD ＝90°， ∴∠FBD ＝∠BAD ＝α，∴tan α＝FD BF ＝12，∴AB ＝BF sin α＝255＝25，在Rt △ABC 中，由勾股定理可知(2x)2＋(x ＋5)2＝(25)2，解得x ＝－5(舍去)或x ＝355，∴CE ＝355.3．(2017·南京)如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，连接AO 并延长，交PB 的延长线于点C ，连接PO ，交⊙O 于点D.(1)求证：PO 平分∠APC ； (2)连接DB ，若∠C ＝30°，求证：DB ∥AC.证明：(1)如解图，连接OB ， ∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，又OA ＝OB ，∴PO 平分∠APC ；(2)∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ， ∴∠CAP ＝∠OBP ＝90°，∵∠C ＝30°， ∴∠APC ＝90°－30°＝60°， ∵PO 平分∠APC ，∴∠OPC ＝12∠APC ＝12³60°＝30°，∴∠POB ＝90°－∠OPC ＝90°－30°＝60°，又∵OD ＝OB ，∴△ODB 是等边三角形， ∴∠OBD ＝60°，∴∠DBP ＝∠OBP －∠OBD ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBP ＝∠C ，∴DB ∥AC.4．如图，直线l 经过点A(4，0)，B(0，3)．(1)求直线l 的函数表达式；(2)若圆M 的半径为2，圆心M 在y 轴上，当圆M 与直线l 相切时，求点M 的坐标．(1)∵A(4，0)，B(0，3)，∴直线l 的解析式为：y ＝－34x ＋3；(2)作MH ⊥AB ，垂足为H ，如解图所示， ∵M 在y 轴上，∴设M(0，t)，2S △ABM ＝BM·AO ＝AB·MH ， ∴|3－t|³4＝5³2，解得t 1＝12，t 2＝112，∴M 1(0，12)，M 2(0，112)．题型六二次函数与几何图形综合题类型一探究特殊三角形的存在性问题 1．(2017·乌鲁木齐)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与直线y ＝x ＋1相交于A(－1，0)，B(4，m)两点，且抛物线经过点C(5，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上的一个动点(不与点A 、点B 重合)，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，交直线AB 于点E.①当PE ＝2ED 时，求P 点坐标；②是否存在点P ，使△BEC 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(导学号 35694250)解：(1)∵点B(4，m)在直线y ＝x ＋1上， ∴m ＝4＋1＝5，∴B(4，5)，把A 、B 、C 三点坐标代入抛物线解析式可得 ⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝5，25a ＋5b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝5，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；(2)①设P(x ，－x 2＋4x ＋5)，则E(x ，x ＋1)，D(x ，0)，则PE ＝|－x 2＋4x ＋5－(x ＋1)|＝|－x 2＋3x ＋4|，DE ＝|x ＋1|， ∵PE ＝2ED ，∴|－x 2＋3x ＋4|＝2|x ＋1|，当－x 2＋3x ＋4＝2(x ＋1)时，解得x ＝－1或x ＝2，但当x ＝－1时，P 与A 重合不合题意，舍去，∴P(2，9)；当－x 2＋3x ＋4＝－2(x ＋1)时，解得x ＝－1或x ＝6，但当x ＝－1时，P 与A 重合，不合题意，舍去，∴P(6，－7)；综上可知，P 点坐标为(2，9)或(6，－7)；②点P 的坐标为(34，11916)或(4＋13，－413－8)或(4－13，413－8)或(0，5)时，△BEC 为等腰三角形．2．(2017·阜新)如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A(－5，0)，B(1，0)两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图①，点E(x ，y)为抛物线上一点，且－5<x<－2，过点E 作EF ∥x 轴，交抛物线的对称轴于点F ，作EH ⊥x 轴于点H ，得到矩形EHDF ，求矩形EHDF 周长的最大值；(3)如图②，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在点P ，使以点P ，A ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把A(－5，0)，B(1，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得到⎩⎨⎧－25－5b ＋c ＝0，－1＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝5.∴抛物线的函数表达式为y ＝－x 2－4x ＋5；(2)如解图①，∵抛物线的对称轴为直线x ＝－2，E(x ，－x 2－4x ＋5)， ∴EH ＝－x 2－4x ＋5， EF ＝－2－x ，∴矩形EFDH 的周长＝2(EH ＋EF)＝2(－x 2－5x ＋3)＝－2(x ＋52)2＋372，∵－2<0，∴x ＝－52时，矩形EHDF 的周长最大，最大值为372；(3) 如解图②，设P(－2，m)，①当∠ACP ＝90°时， AC 2＋PC 2＝PA 2，∴(52)2＋22＋(m －5)2＝32＋m 2，解得m ＝7， ∴P 1(－2，7)．②当∠CAP ＝90°时， AC 2＋PA 2＝PC 2，∴(52)2＋32＋m 2＝22＋(m －5)2，解得m ＝－3，∴P 2(－2，－3)．③当∠APC ＝90°时，PA 2＋PC 2＝AC 2，∴32＋m 2＋22＋(m －5)2＝(52)2，解得m ＝6或m ＝－1，∴P 3(－2，6)，P 4(－2，－1)，综上所述，满足条件的点P 坐标为(－2，7)或(－2，－3)或(－2，6)或(－2，－1)． 3．(2017·重庆A )如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝33x 2－233x －3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E(4，n)在抛物线上．(1)求直线AE 的解析式；(2)点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE.当△PCE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是CP 上的一点，点N 是CD 上的一点，求KM ＋MN ＋NK 的最小值；(3)点G 是线段CE 的中点，将抛物线y ＝33x 2－233x －3沿x 轴正方向平移得到抛物线y′，y ′经过点D ，y ′的顶点为点F.在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q ，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)直线AE 的解析式为y ＝33x ＋33.(2)设直线CE 的解析式为y ＝mx －3， ∴直线CE 的解析式为y ＝233x － 3. 过点P 作PF ∥y 轴，交CE 于点F.如解图①，设点P 的坐标为(x ，33x 2－233x －3)，则点F(x ，233x －3)，则FP ＝－33x 2＋433x.∴△EPC 的面积＝－233x 2＋833x.∴当x ＝2时，△EPC 的面积最大．∴P(2，－3)．如解图②，作点K 关于CD 和CP 的对称点G 、H ，连接G 、H 交CD 和CP 于N 、M.∵K 是CB 的中点，∴K(32，32)．∴tan ∠KCP ＝33.∵OD ＝1，OC ＝3， ∴tan ∠OCD ＝33. ∴∠OCD ＝∠KCP ＝30°. ∴∠KCD ＝30°.∵K 是BC 的中点，∠OCB ＝60°， ∴OC ＝CK.∴点O 与点K 关于CD 对称． ∴点G 与点O 重合． ∴点G(0，0)．∵点H 与点K 关于CP 对称，∴点H 的坐标为(32，－332)．∴KM ＋MN ＋NK ＝MH ＋MN ＋GN.当点G 、N 、M 、H 在一条直线上时，KM ＋MN ＋NK 有最小值，最小值＝GH. ∴GH ＝（32）2＋（332）2＝3. ∴KM ＋MN ＋NK 的最小值为3.(3)点Q 的坐标为(3，－43＋2213)或(3，－43－2213)或(3，23)或(3，－235)．类型二探究特殊四边形的存在性问题1．(2017·宜宾)如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴分别交于A(－1，0)，B(5，0)两点． (1)求抛物线的解析式；(2)在第二象限内取一点C ，作CD 垂直x 轴于点D ，连接AC ，且AD ＝5，CD ＝8，将Rt △ACD 沿x 轴向右平移m 个单位，当点C 落在抛物线上时，求m 的值；(3)在(2)的条件下，当点C 第一次落在抛物线上记为点E ，点P 是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q ，使以点B 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(导学号 35694251)解：(1)抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5； (2)∵AD ＝5，且OA ＝1，∴OD ＝6，又∵CD ＝8，∴C(－6，8)，设平移后的点C 的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8＝－x 2＋4x ＋5，解得x ＝1或x ＝3，∴C ′点的坐标为(1，8)或(3，8)， ∵C(－6，8)，∴当点C 落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，∴m 的值为7或9；(3)Q 点的坐标为(－2，－7)或(6，－7)或(4，5)时，以点B 、E 、P 、Q 四点为顶点的四边形为平行四边形．。

5.14三角形综合题(第4部分)-2018年中考数学试题分类汇编(word解析版)

第五部分图形的性质5.14 三角形综合题【一】知识点清单三角形综合题【二】分类试题汇编及参考答案与解析一、选择题1．（2018年湖北省孝感市-第10题-3分）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【知识考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．【思路分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH 即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP= =x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断．【解答过程】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，∴∠ADC=15°，故①正确；∵AE⊥BD，即∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，∴∠AGF=75°，由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；记AH与CD的交点为P，由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，则∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，∵△ADF≌△BAH，∴BH=AF=2x，△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，∴BE=AE=AF+EF=a+2x，∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，∴△PAF∽△EAH，∴=，即=，整理，得：2x2=（﹣1）ax，由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确；故选：B．【总结归纳】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．2．（2018年湖北省荆门市-第11题-3分）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A B C．1 D．2【知识考点】轨迹；等腰直角三角形【思路分析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，利用等腰直角三角形的性质得AC=BC=，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再证明Rt△AOP≌△COQ得到AP=CQ，接着利用△APE和△BFQ都为等腰直角三角形得到PE=AP=CQ，QF=BQ，所以PE+QF=BC=1，然后证明MH为梯形PEFQ的中位线得到MH=，即可判定点M到AB的距离为，从而得到点M的运动路线为△ABC的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M所经过的路线长．【解答过程】解：连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC=×=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=（PE+QF）=，即点M到AB的距离为，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1．故选：C．【总结归纳】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．也考查了等腰直角三角形的性质．3．（2018年江苏省扬州市-第8题-3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC 和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③【知识考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【思路分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【解答过程】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选：A．【总结归纳】本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．二、填空题1．（2018年江苏省泰州市-第14题-3分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为（用含α的式子表示）．【知识考点】三角形中位线定理；角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．【思路分析】根据直角三角形的性质得到∠DAC=90°﹣α，根据角平分线的定义、三角形的外角的性质得到∠CEB=180°﹣2α，根据三角形中位线定理、平行线的性质得到∠CEF=∠D=α，结合图形计算即可．【解答过程】解：∵∠ACD=90°，∠D=α，∴∠DAC=90°﹣α，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC=90°﹣α，∵∠ABC=90°，EAC的中点，∴BE=AE=EC，∴∠EAB=∠EBA=90°﹣α，∴∠CEB=180°﹣2α，∵E、F分别为AC、CD的中点，∴EF∥AD，∴∠CEF=∠D=α，∴∠BEF=180°﹣2α+90°﹣α=270°﹣3α，故答案为：270°﹣3α．【总结归纳】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．三、解答题1．（2018年湖北省荆门市-第19题-9分）如图，在Rt△ABC中，（M2，N2），∠BAC=30°，E为AB 边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．（1）求证：△ADE≌△CDB；（2）若AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．【知识考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【思路分析】（1）只要证明△DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明；（2）如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．【解答过程】（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，E为AB边的中点，∴BC=EA，∠ABC=60°．∵△DEB为等边三角形，∴DB=DE，∠DEB=∠DBE=60°，∴∠DEA=120°，∠DBC=120°，∴∠DEA=∠DBC∴△ADE≌△CDB．（2）解：如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°．∴∠EAE'=60°，∴△EAE'为等边三角形，∴，∴∠AE'B=90°，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，，∴，，∴，∴BH+EH的最小值为3．【总结归纳】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．2．（2018年湖北省江汉油田/潜江市/天门市/仙桃市-第24题-10分）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根据勾股定理计算即可．【解答过程】解：（1）BC=DC+EC，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∴BC=BD+CD=EC+CD，故答案为：BC=DC+EC；（2）BD2+CD2=2AD2，理由如下：连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ACE=∠B，∴∠DCE=90°，∴CE2+CD2=ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，∴BD2+CD2=2AD2；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAE 中，，∴△BAD ≌△CAE （SAS ）， ∴BD=CE=9，∵∠ADC=45°，∠EDA=45°， ∴∠EDC=90°， ∴DE==6，∵∠DAE=90°， ∴AD=AE=DE=6．【总结归纳】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．（2018年湖南省岳阳市-第23题-10分）已知在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB 沿CD 所在的直线对折，使点B 落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD 交BB'于点E ，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．（1）如图1，若AB=AC ，求证：CD=2BE ；（2）如图2，若AB≠AC ，试求CD 与BE 的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC 绕点C 逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC ，连结EF 交BC 于点O ，设△COE 的面积为S 1，△COF 的面积为S 2，求12S S （用含α的式子表示）．【知识考点】几何变换综合题．【思路分析】（1）由翻折可知：BE=EB′，再利用全等三角形的性质证明CD=BB′即可；（2）如图2中，结论：CD=2•BE•tan2α．只要证明△BAB′∽△CAD ，可得==，推出=，可得CD=2•BE•tan2α；（3）首先证明∠ECF=90°，由∠BEC+∠ECF=180°，推出BB′∥CF，推出===sin（45°﹣α），由此即可解决问题；【解答过程】解：（1）如图1中，∵B、B′关于EC对称，∴BB′⊥EC，BE=EB′，∴∠DEB=∠DAC=90°，∵∠EDB=∠ADC，∴∠DBE=∠ACD，∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90°，∴△BAB′≌CAD，∴CD=BB′=2BE．（2）如图2中，结论：CD=2•BE•tan2α．理由：由（1）可知：∠ABB′=∠ACD，∠BAB′=∠CAD=90°，∴△BAB′∽△CAD，∴==，∴=，∴CD=2•BE•tan2α．（3）如图3中，在Rt△ABC中，∠ACB=90°﹣2α，∵EC平分∠ACB，∴∠ECB=（90°﹣2α）=45°﹣α，∵∠BCF=45°+α，∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°，∴∠BEC+∠ECF=180°，∴BB′∥CF，∴===sin（45°﹣α），∵=，∴=sin（45°﹣α）．【总结归纳】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．4．（2018年江苏省南通市-第26题-12分）如图，△ABC中，AB=6cm，AC=，BC=，点P以1cm/s的速度从点B出发沿边BA→AC运动到点C停止，运动时间为t s，点Q是线段BP 的中点．（1）若CP⊥AB时，求t的值；（2）若△BCQ是直角三角形时，求t的值；（3）设△CPQ的面积为S，求S与t的关系式，并写出t的取值范围．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）如图1中，作CH⊥AB于H．设BH=x，利用勾股定理构建方程求出x，当点P 与H重合时，CP⊥AB，此时t=2；（2）分两种情形求解即可解决问题；（3）分两种情形：①如图4中，当0＜t≤6时，S=×PQ×CH；②如图5中，当6＜t＜6+4时，作BG⊥AC于G，QM⊥AC于M．求出QM即可解决问题；【解答过程】解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．设BH=x，∵CH⊥AB，∴∠CHB=∠CHB=90°，∴AC2﹣AH2=BC2﹣BH2，∴（4）2﹣（6﹣x）2=（2）2﹣x2，解得x=2，∴当点P与H重合时，CP⊥AB，此时t=2．（2）如图2中，当点Q与H重合时，BP=2BQ=4，此时t=4．如图3中，当CP=CB=2时，CQ⊥PB，此时t=6+（4﹣2）=6+4﹣2．（3）①如图4中，当0＜t≤6时，S=×PQ×CH=×t×4=t．②如图5中，当6＜t＜6+4时，作BG⊥AC于G，QM⊥AC于M．易知BG=AG=3，CG=．MQ=BG=．∴S=×PC×QM=••（6+4﹣t）=+6﹣t．综上所述，s=．【总结归纳】本题考查三角形综合题、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（2018年江苏省连云港市-第27题-14分）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC 是边长为2的等边形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明．（2）当点E在线段上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC AE的长．（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系．并说明理由．S 时，求AE的长．（4）如图2，当△ECD的面积16【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）结论：△ABE≌△CBF．理由等边三角形的性质，根据SAS即可证明；（2）由△ABE≌△CBF，推出S△ABE=S△BCF，推出S四边形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=，由S四边形ABCF=，推出S△ABE=，再利用三角形的面积公式求出AE即可；（3）结论：S2﹣S1=．利用全等三角形的性质即可证明；（4）首先求出△BDF的面积，由CF∥AB，则△BDF的BF边上的高为，可得DF=，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+，推出CD=x﹣，由CD∥AB，可得=，即=，求出x即可；【解答过程】解：（1）结论：△ABE≌△CBF．理由：如图1中，∴∵△ABC，△BEF都是等边三角形，∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，∴∠ABE=∠CBF，∴△ABE≌△CBF．（2）如图1中，∵△ABE≌△CBF，∴S△ABE=S△BCF，∴S四边形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=，∵S四边形ABCF=，∴S△ABE=，∴•AE•AB•siin60°=，∴AE=．（3）结论：S2﹣S1=．理由：如图2中，∵∵△ABC，△BEF都是等边三角形，∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，∴∠ABE=∠CBF，∴△ABE≌△CBF，∴S△ABE=S△BCF，∵S△BCF﹣S△BCE=S2﹣S1，∴S2﹣S1=S△ABE﹣S△BCE=S△ABC=．（4）由（3）可知：S△BDF﹣S△ECD=，∵S△ECD=，∴S△BDF=，∵△ABE≌△CBF，∴AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，∴∠ABC=∠DCB，∴CF∥AB，则△BDF的BF边上的高为，可得DF=，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+，∴CD=x﹣，∵CD∥AB，∴=，即=，化简得：3x2﹣x﹣2=0，解得x=1或﹣（舍弃），∴CE=1，AE=3．【总结归纳】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．（2018年江苏省扬州市-第27题-12分）问题呈现如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN 的值．方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．问题解决（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；思维拓展（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．那么∠CPN就变换到等腰Rt△DMC中．（3）利用网格，构造等腰直角三角形解决问题即可；【解答过程】解：（1）如图1中，∵EC∥MN，∴∠CPN=∠DNM，∴tan∠CPN=tan∠DNM，∵∠DMN=90°，∴tan∠CPN=tan∠DNM===2，故答案为2．（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．∵CD∥AN，∴∠CPN=∠DCM，∵△DCM是等腰直角三角形，∴∠DCM=∠D=45°，∴cos∠CPN=cos∠DCM=．（3）如图3中，如图取格点M，连接AN、MN．∵PC∥MN，∴∠CPN=∠ANM，∵AM=MN，∠AMN=90°，∴∠ANM=∠MAN=45°，∴∠CPN=45°．【总结归纳】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．7．（2018年江苏省常州市-第27题-10分）（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE=∠CFD．（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M=90°，P为MN的中点．①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？【知识考点】线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；作图—复杂作图．【思路分析】（1）只要证明FC=FB即可解决问题；（2）①作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．②结论：Q是GN的中点．想办法证明∠N=∠QMN=30°，∠G=∠GMQ=60°，可得QM=QN，QM=QG；【解答过程】（1）证明：如图1中，∵EK垂直平分线段BC，∴FC=FB，∴∠CFD=∠BFD，∵∠BFD=∠AFE，∴∠AFE=∠CFD．（2）①作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．②结论：Q是GN的中点．理由：设PP′交GN于K．∵∠G=60°，∠GMN=90°，∴∠N=30°，∵PK⊥KN，∴PK=KP′=PN，∴PP′=PN=PM，∴∠P′=∠PMP′，∵∠NPK=∠P′+∠PMP′=60°，∴∠PMP′=30°，∴∠N=∠QMN=30°，∠G=∠GMQ=60°，∴QM=QN，QM=QG，∴QG=QN，∴Q是GN的中点．【总结归纳】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

中考数学总复习《三角形的综合题》练习题及答案

中考数学总复习《三角形的综合题》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中直线y=−x与双曲线y=kx交于A、B两点，P是以点C(2，2)为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点.若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）A．−12B．−32C．−2D．−142．如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE.若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°3．如图，在Rt△ABC中AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB垂足为E．若BC=8cm,BD=5cm则DE的长为（）A．2√3cm B．3cm C．4cm D．5cm4．如图，矩形纸片ABCD中AD=8cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=10cm，则AB的长为（）A．12cm B．14cm C．16cm D．18cm5．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．15°6．如图，锐角∠ABC的两条高BD，CE相交于点O，且CE=BD，若∠CBD=20°，则∠A的度数为()A．20°B．40°C．60°D．70°7．下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，28．如图，在∠ABC中AB=AC，BE=CD，BD=CF，若∠A=40°，则∠EDF等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°9．若点O是等腰∠ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则∠ABC的面积为() A．2＋√3B．2√3C．2＋√3或2－√3D．4＋2√3或2－√3310．如图，等边ΔABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°11．如图，在△ABC中∠A=30°，∠ABC=100°，观察尺规作图的痕迹，则∠BFC的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°12．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（）A．5厘米B．6厘米C．2厘米D．12厘米二、填空题13．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线段BF上取两点C、D，使BC=CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，若测得DE的长为20米，则河宽AB长为米．14．如图1，点P从△ABC的项点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→A的方向匀速运动到点A.图2是点P运动时线段AP的长度y随时间t（s）变化的关系图象，其中点M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是.15．如图，在正方形ABCD中AC为对角线，E为AC上一点，连接EB，ED，BE的延长线交AD于点F，∠BED=120∘，则∠EFD的度数为.16．如图，△ABC中∠A=40°，D、E是AC边上的点，把△ABD沿BD对折得到△A′BD，再把△BCE沿BE对折得到△BC′E，若C′恰好落在BD上，且此时∠C′EB=80°，则∠ABC=．17．如图，测量三角形中线段AB的长度为cm.判断大小关系：AB+AC BC（填“ >”，“ =”或“ <”）．18．如图，已知AB是∠O的弦，AB=8，C是∠O上的一个动点，且∠ACB=45°．若M，N分别是AB，BC的中点，则线段MN长度的最大值是三、综合题19．已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为∠ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断∠ABC的形状，并说明理由；（2）如果∠ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20．如图，在Rt∠OAB中∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将∠OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到∠OA1B1．（1）线段OA1的长是，∠AOB1的度数是；（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．21．已知一次函数y=2x−2的图像为l1，函数y=12x−1的图像为l2．按要求完成下列问题：（1）求直线l1与y轴交点A的坐标；求直线l2与y轴的交点B的坐标；（2）求一次函数y=2x−2的图象l1与y=12x−1的图象l2的交点P的坐标；（3）求由三点P、A、B围成的三角形的面积．22．在图中利用网格点和三角板画图或计算：（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）图中AC与A′C′的关系怎样？（3）记网格的边长为1，则△A′B′C′的面积为多少？23．如图，在∠ABC中点D在AB上，且CD=CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD 于点M，连接AM.（1）求证：EF= 12AC；（2）若EF∠AC，求证：AM+DM=CB.24．如图①，Rt△ABC中∠C=90°，AC=6cm.动点P以acm/s的速度由B出发沿线段BA 向A运动，动点Q以1cm/s的速度由A出发沿射线AC运动.当点Q运动2s时，点P开始运动；P点到达终点时，P、Q一起停止.设点P运动的时间为ts，△APQ的面积为ycm2，y与t的函数关系图像如图②所示.（1）点P运动的速度a=cm/s，AB=cm；（2）当t为何值时，△APQ的面积为12cm2；（3）是否存在t，使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】D13．【答案】2014．【答案】1215．【答案】105º16．【答案】60°17．【答案】2.0；>18．【答案】4√219．【答案】（1）解：ΔABC是等腰三角形；理由：把x=−1代入方程得a+c−2b+a−c=0，则a=b，所以ΔABC为等腰三角形（2）解：∵ΔABC为等边三角形∴a=b=c∴方程化为x2+x=0解得x1=0，x2=−1．20．【答案】（1）6；135°（2）证明：∵∠OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到∠OA1B1∴∠AOA1＝90°，∠OA1B1＝90°，OA1＝A1 B1＝OA＝6∴∠AO A1＝∠O A1B1∴OA∠A1B1∵A1B1＝OA∴四边形OAA1B1是平行四边形．21．【答案】（1）解：当x =0时，y= -2，即直线l 1与y 轴交点A 的坐标为(0，−2)当x =0时，y= -1，即直线l 2与y 轴交点B 的坐标为(0，−1)；（2）解：∵一次函数y =2x −2的图象l 1与y =12x −1的图象l 2相交∴2x −2=12x −1∴x =23∴y =2×23−2=−23∴交点P 的坐标为(23，−23)；（3）解：三点P 、A 、B 围成的三角形，如下图，作PD ⊥AB 交y 轴于点DAB =|−1−(−2)|=1△ABP 的高DP 为：23∴S △ABP =12AB ×DP =12×1×23=13即由三点P 、A 、B 围成的三角形的面积：13．22．【答案】（1）解：如图，∠A′B′C′为所作；（2）解：线段AC 与A′C′的位置关系是平行，数量关系是相等（3）解：∠A′B′C′的面积＝12×4×4＝8．23．【答案】（1）证明：连接CE∵CD=CB，点E为BD的中点∴CE⊥BD∵点F为AC的中点∴EF=12AC；（2）解：∵点F是AC中点∴AF=FC，又EF⊥AC∴∠AFM=∠CFM，且AF=FC∴ΔAFM≅ΔCFM(SAS)∴AM=CM∵BC=CD=DM+CM=DM+AM.24．【答案】（1）1；10（2）解：当运动时间为t时，AQ=t+2，BP=t，AP=10−t 如图，作PH⊥AC，则△APH∽△ABC∴PH=APAB·BC=4(10−t)5∴S△APQ=12AQ·PH=12(t+2)4(10−t)5=2(t+2)(10−t)5∴△APQ的面积为12cm2时，解方程12=2(t+2)(10−t)5，得t1=4+√6∴当t=4+√6或4−√6时，△APQ的面积为12cm2；（3）解：∵S△ABC=24cm2，C△ABC=6+8+10=24cm∴12S△ABC=12cm2①当0<t≤4时由（2）可知，当t=4−√6时，△APQ的面积为12cm2此时，AQ=4−√6+2=6−√6∴AP+AQ=6+√6+6−√6=12，即AP+AQ=12C△ABC∴t=4−√6时，直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；②当4<t≤10时设PQ与BC交于点N，作PM⊥BC则有：△PBM∽△ABC∴PM AC=BPBA=BMBC，∴PM=3t5，BM=4t5，MC=8−4t5∵PM QC=MNCN，∴MN=3t2−30t25−10t当BN+BP=12时，解方程4t5+3t2−30t25−10t+t=12，得t=5或t=4（舍去）此时，PM=3，BM=4，BP=5∴BN=4+3=7∴当4<t≤10时，不存在t使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；∴综上，当t=4−√6时，直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；当4<t≤10时，不存在t使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分.第11页共11页。

(完整word版)2018年中考数学试题汇编------三角形

1. （2018?长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ B ）2018年中考数学汇编三角形2.3. A . 4cm, 5cm, 9cm B. 8cm, 8cm, 15cm C. 5cm, （2018?福建）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（A. 1 , 1, 2B. 1 , 2, 4C. 2, 3, 4 （2018?贵阳）如图，在△ ABC 中有四条线段DE , 该线段是（B ）A .线段DEB .线段BEC .线段EF4. （2018?常德）已知三角形两边的长分别是A . 1 B. 2 C. 8 乙115cm, 10cmC ）D. 6cm, 7cm, 14cmD . 2,BE , EF,3, 5FG,其中有一条线段是△ ABC的中线，则D .线段FG则此三角形第三边的长可能是（C ））C ,D ”6. （2018?柳州）如图，图中直角三角形共有（ C ）A . 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. （2018?毕节市）已知一个三角形的两边长分别为8和2,则这个三角形的第三边长可能是（C ）A . 4 B. 6 C. 8 D . 108. （2018?昆明）在厶AOC中，OB交AC于点D,量角器的摆放如图所示，则/ CDO的度数为（B ）A. 90 °B. 95 °C. 100 °D. 120 °9. （2018?眉山）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30。

角的三角板的一条直角边和含45 °角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则/ a的度数是（C ）A. 45 °B. 60 °C. 75 °D. 85 °10.（2018?宿迁）如图，点D在厶ABC边AB的延长线上，DE // BC.若/A=35°, /C=24 °则/ D的度数是（ B ）A . 24 °B . 59 °C. 60 °D . 69 °第15题图1 6（2018?北京）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（ C ）A . 360 °B. 540 °C. 720°D.900°1 7（2018?乌鲁木齐）一个多边形的内角和是720 °，这个多边形的边数是（ C ）A . 4 B . 5 C . 6D.71 8（2018?台州）正十边形的每一个内角的度数为（ D ) A . 120 °B. 135 °C. 140°D.144°1 9(2018?云南)一个五边形的内角和为（A) A . 540 °B. 450 ° C . 360°D.180°2 0(2018?大庆)一个正n边形的每一个外角都是36°，则n= ( D ) A . 7 B . 8 C . 9D.102 1（2018?呼和浩特）已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（ B ）A .九边形 B .八边形C.七边形D.六边形11. (2018?德阳)如图，直线a// b, c, d是截线且交于点A，若/仁60 °, / 2=100 °,则/ A= ( A )A . 40 ° B. 50 o第12题图c3第13题图的一角折叠，使点A落在△ ABCA ）第11题图12. （2018?聊城）如图，将一张三角形纸片ABC果/ A= a,/ CEA ' =3,Z BDA'= 丫，那么下列式子中正确的是（第14题图外的A'处，折痕为DE .如A . Y =2 a + 3B . Y = a +2 3C . Y = a + 3D . Y =180 °- a - 313. （2018?青海）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中/A=45 °，/ D=30 °，则/ 1+ / 2 等于（A. 150 °B. 18014. （2018?广西）如图，/等于（C ）A . 40°15. （2018?黄石）/ BAC=50 °，A . 75°C. 210°ACD >△ ABCC ）D .的外角，270°CE 平分/ ACD，若/ A=60 °E=90° ，/ C=90° ，/，/ B=40 ° ，则/ ECDB . 45°如图，△ ABC / ABC=60 ° , B . 80°C.中，则/50°AD是BC边上的高,EAD+85°55°AE、BF 分别是/ BAC、/ ACD= ( A )D . 90°/ ABC的平分线,22.23. （2018?宁波）A . 6 （2018?福建）A . 3 已知正多边形的一个外角等于B . 7C . 8一个n 边形的内角和为 360 °,则n 等于（ B . 4 C . 5 40°,那么这个正多边形的边数为（D . 9 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. （2018?铜仁市）如果一个多边形的内角和是外角和的 3倍，则这个多边形的边数是（ A . 8 B . 9 C . 10 （2018?曲靖）若一个正多边形的内角和为A . 60°B . 90°C . 108° （2018?济宁）如图，在五边形 ABCDE 中，则/P 的度数是（CD . 11 720 °，则这个正多边形的每一个内角是（ D . 120° / A+ / B+ / E=300 ° , DP 、CP 分别平分/ EDC 、/ BCD ,第29题图 55° D . 65° 第26题图三角形三边长分别为 3, 2a-1, 已知三角形两边的长分别为 C . 60° 第30题图 4. 则a 的取值范围是1 v a v 4. 5, 第三边长为整数，则第三边的长为（2018?绥化）（2018?泰州）（2018?永州）（2018?巴中）（2018?滨州）在厶 ABC 中，若/ A=30。

2018届中考数学复习专题25 等腰三角形、等边三角形试题(B卷,含解析)

等腰三角形、等边三角形一、选择题 1. ．（广东省广州市，13，3分）如图，△ABC 中，AB =AC ，BC =12cm ，点D 在AC 上，DC =4cm ，将线段DC 沿CB 方向平移7cm 得到线段EF ，点E ，F 分别落在边AB ，BC 上，则△EBF 的周长为 cm ．【答案】13【逐步提示】利用平移的性质可以求得EF 与FC 的长，进而可得BF 的长；再根据等腰三角形的判定可得BE =EF ，这样求得了△EBF 的三边长，其和即为△EBF 的周长．【详细解答】解：根据平移的性质，将线段DC 沿着CB 的方向平移7cm 得到线段EF ，则EF =DC =4cm ，FC =7cm ，∠EFB =∠C ．∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∴∠B =∠BFE ，∴BE =EF =4cm ．又BF =BC －FC =12－7=5cm ，∴△EBF 的周长=4+4+5=13（cm ）．故答案为13．【解后反思】图形平移后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，这样往往存在平行四边形与全等三角形或等腰三角形，给我解决问题提供了重要途径．【关键词】平移的性质；等腰三角形的判定2. （河北省，16，2分）如图，∠AOB =120°，OP 平分∠AOB ，且OP =2.若点M ，N 分别在OA ，OB 上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．3个以上【答案】D【逐步提示】先找出符合要求的特殊点，如点M 与点O 重合，点N 与点O 重合等，不难发现以上特殊情形都满足OM+ON=2，再研究一般情形下△PMN 是否为等边三角形，问题得解. 【详细解答】解：如图，在OA 上截取OC=OP=2，∵∠AOP =60°，∴△OCP 是等边三角形，∴CP=OP ，∠OCP=∠CPO=60°.在线段OC 任取一点M ，在OB 上截取ON ，使ON+OM=2，连接MN ，PM ，PN.∵MC+OM =2，∴CM=ON.在△MCP 和△NOP 中，∵CM=ON,∠MCP =∠NOP =60°，CP=OP ，∴△MCP ≌△NOP （SAS ），∴PM=PN ，∠MPC=∠NPO ，∴∠MPC+∠MPO=∠NPO+∠MPO ，即∠CPO =∠MPN，∴∠MPN =60°，∴△PMN 是等边三角形.故满足条件的△PMN 有无数个，答案为选项D.A B CE D F【解后反思】如图所示，本题是含有60°内角的菱形问题的变式，掌握其中等边三角形和全等三角形的判定有助于我们解决此题.【关键词】等边三角形的判定和性质；全等三角形的判定；存在性问题3.（湖南省怀化市，8，4分）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）A. 16cmB. 17cmC. 20cmD. 16cm或20cm【答案】C.【逐步提示】此题考查等腰三角形的定义和三角形三边的关系.题中给出了等腰三角形的两条边长，而没有明确其腰长或底边长，因此需要分腰为4cm长或腰为8cm长两种情况讨论等腰三角形的周长即可.【详细解答】解：若4cm的边长为腰，8cm的边长为底，4＋4＝8，由三角形三边的关系知，该等腰三角形不存在；若8cm的边长为腰，4cm的边长为底，则等腰三角形的周长为20cm，故选择C.【解后反思】此题考查等腰三角形的定义和三角形三边的关系，解此题的关键是能根据题意，考虑到需要分类讨论等腰三角形的周长.此题的易错点是审题不认真，忽略分类讨论.【关键词】等腰三角形的定义；三角形三边的关系4.（湖南湘西，14，4分）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是A.13cm B .14cm C. 13 cm或14cm D.以上都不对【答案】C【逐步提示】本题考查了三角形的三边关系及等腰三角形的性质，解题的关键是应用三角形三边关系定理讨论．分4cm为等腰三角形的腰和5cm为等腰三角形的腰，先判断符合不符合三边关系，再求出周长．【详细解答】解：①当等腰三角形的腰为4，底为5时，等腰三角形的周长为2×4＋5=13；②当等腰三角形的腰为5，底为4时，等腰三角形的周长为2×5＋4=14，∴这个等腰三角形的周长是13 cm或14cm，故选择C . 【解后反思】在解有关等腰三角形边长问题时，通常要进行讨论，注意分类讨论后一定要运用三边关系检验，所求的结果若能够组成三角形后，才能继续进行有关的计算.【关键词】三角形三边的关系；等腰三角形的性质5.（山东滨州6，3分）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE 的度数为（）A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°【答案】D ．【逐步提示】先根据AC =CD ，∠A =50°，计算出∠ADC 的度数，再由CD =BD ，可知∠B=∠BCD ，从而求出∠B 的度数，BD =BE ，∠BDE =∠BED ，求出∠BDE 的度数，最后根据∠ADC +∠CDE +∠BDE =180°，计算出∠CDE 的度数．【详细解答】解：∵AC =CD ，∴∠ADC=∠A =50°，又∵CD =BD ，∴∠B=∠BCD ，∠ADC=∠B+∠BCD ，∴∠B=25°，∵BD =BE ，∠BDE =∠BED=77.5°，∠ADC +∠CDE +∠BDE =180°，∴∠CDE =52.5°．【解后反思】根据“等腰三角形两底角相等”得到角的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的2个内角的度数之和．【关键词】等腰三角形三角形的外角和定理6.（江苏省扬州市，8，3分）如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是 ( )A ．6B ．3C ．2．5D ．2(第8题)BC【答案】C【逐步提示】本题考查了操作活动中的估算和大小比较，解题的关键是合理构造等腰直角三角形，使得剩余部分面积的最小，此时每次都要考虑以最大边做斜边才使得剪去的等腰直角三角形面积最大．【详细解答】解：如图所示，剩余三角形的面积为24—1442创—12—1332创=2．5，故选择C ．【解后反思】本题属于数学实验的简单类的问题，在构造等腰直角三角形时，学生可能会构造出如图所示的方法，剩余三角形的面积为24—1442创—12创—12创，错选答案B ．【关键词】三角形；等腰三角形与直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理；四边形；特殊的平行四边形；矩形的性质；面积最小化；化归思想二、填空题1. （甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，17，4分）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB =6cm ，则AC =_____________cm ．第17题图【答案】6【逐步提示】本题考查轴对称变换的性质，解题的关键是画出折叠之前的矩形纸片，画出折叠之前的矩形纸片之后，一目了然，通过角度之间代换得到△ABC 是等腰三角形，得解．【详细解答】解：由折叠得∠1=∠2，再由矩形纸片对边平行得到∠1=∠3，从而得到∠2=∠3，所以△ABC 是等腰三角形且AB =AC =6cm ，故答案为6.【解后反思】折叠也就是翻折或轴对称，它连同平移、旋转一样是全等变换，即不改变图形的形状和大小，所以看到折叠就要想到全等，进一步得到对应角相等、对应边相等为进一步解题提供条件．【关键词】折叠；矩形的性质；等腰三角形的判定；2. （河北省，19，4分）如图，已知∠AOB =7°，一条光线从点A 出发后射向OB 边.若光线与OB 边垂直，则光线沿原路返回到点A ，此时∠A =90°-7°=83°.当∠A <83°时，光线射到OB 边上的点A 1后，经OB 反射到线段AO 上的点A 2，易知∠1=∠2.若A 1A 2⊥AO ，光线又会沿A 2→A 1→A 原路返回到点A ，此时∠A =_____°. ……若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值=_______°.【答案】76 6 【逐步提示】本题属于规律探究题，对于（1）先在Rt△A1A2O中根据三角形内角和定理求出∠2的度数，由此得到∠1和∠AA1A2的度数，再在△AA1A2中根据三角形内角和定理求出∠A的度数；（2）由（1）可知当光线垂直于OA时光线会沿原路返回，画出符合题意的图形，分别求出有公共顶点的光线夹角的度数，从而找出夹角变化的规律，问题可解.【详细解答】解：（1）∵A1A2⊥AO，∴∠A1A2A=∠A1A2O=90°.在Rt△A1A2O中，∠O=7°，∴∠2=90°－7°=83°，∴∠1=83°，∴∠AA1A2=180°－2×83°=14°.在Rt△AA1A2中，∴∠A=90°－14°=76°.（2）如图，当A n－1A n ⊥OA时，易求得∠A n A n-1A n-2=14°=1×14°，∠A n-1A n-2A n-3=28°=2×14°,∠A n-2A n-3A n-4=42°=3×14°，……，由此可知当∠A1AC=12×14°=168°时，∠A1AO=12×（180°－168°）=6°，且此时∠A1AO最小.【解后反思】对于规律探究题，解决问题的一般思路是从特殊情形中发现一般规律，进而应用一般规律求解. 【关键词】规律探究题3.（湖北省黄冈市，12，3分）如图，⊙O是ΔABC的外接圆，∠AOB=700，AB=AC,则∠ABC= 。

5.14三角形综合题(第5部分)2018年中考数学试题分类汇编(山东四川word解析版)

第五部分图形的性质5.14 三角形综合题【一】知识点清单三角形综合题【二】分类试题汇编及参考答案与解析一、选择题1．（2018年山东省东营市-第10题-3分）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④【知识考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．【思路分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；【解答过程】解：∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠DAB=∠EAC∵AD=AE，AB=AC，∴△DAB≌△EAC，∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，故①正确，∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故②正确，∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，∴∠CEB=90°，即CE⊥BD，故③正确，∴BE2=BC2﹣EC2=2AB2﹣（CD2﹣DE2）=2AB2﹣CD2+2AD2=2（AD2+AB2）﹣CD2．故④正确，故选：A．【总结归纳】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．2．（2018年四川省绵阳市-第11题-3分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若的面积为（）A B．3C1D．3【知识考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【思路分析】如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．想办法求出△AOB 的面积．再求出OA与OB的比值即可解决问题；【解答过程】解：如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．∵∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ECA=∠DCB，∵CE=CD，CA=CB，∴△ECA≌△DCB，∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD=，∵∠EDC=45°，∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°，在Rt△ADB中，AB==2，∴AC=BC=2，∴S△ABC=×2×2=2，∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，∴OM=ON，∵====，∴S△AOC=2×=3﹣，故选：D．【总结归纳】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系，属于中考选择题中的压轴题．3．（2018年四川省达州市-第8题-3分）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC 的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）A．32B．2 C．52D．3【知识考点】等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【思路分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．【解答过程】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，在△BNA和△BNE中，∴△BNA≌△BNE，∴BA=BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），∴MN是△ADE的中位线，∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12，∴DE=BE+CD﹣BC=5，∴MN=DE=．故选：C．【总结归纳】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．二、填空题1．（2018年四川省绵阳市-第18题-3分）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=．【知识考点】三角形的重心；勾股定理．【思路分析】利用三角形中线定义得到BD=2，AE=，且可判定点O为△ABC的重心，所以AO=2OD，OB=2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2=4，OE2+AO2=，等量代换得到BO2+AO2=4，BO2+AO2=，把两式相加得到BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可计算出AB的长．【解答过程】解：∵AD、BE为AC，BC边上的中线，∴BD=BC=2，AE=AC=，点O为△ABC的重心，∴AO=2OD，OB=2OE，∵BE⊥AD，∴BO2+OD2=BD2=4，OE2+AO2=AE2=，∴BO2+AO2=4，BO2+AO2=，∴BO2+AO2=，∴BO2+AO2=5，∴AB==．故答案为．【总结归纳】本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．2．（2018年四川省泸州市-第16题-3分）如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为．【知识考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【思路分析】如图作AH⊥BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长；【解答过程】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+DF，∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵•BC•AH=120，∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=10，∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF===13，∴DF+DC的最小值为13．故答案为13．【总结归纳】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．3．（2018年四川省德阳市-第16题-3分）如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB=2CE，②tan∠B=34，③∠ECD=∠DCB，④若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是（填写正确结论的番号）．【知识考点】角平分线的性质；等边三角形的性质；解直角三角形．【思路分析】由题意可得△BCE是含有30°的直角三角形，根据含有30°的直角三角形的性质可判断①②③，易证四边形PMCN是矩形，可得d12+d22=MN2=CP 2，根据垂线段最短，可得CP的值即可求d12+d22的最小值，即可判断④．【解答过程】解：∵D是AB中点∴AD=BD∵△ACD是等边三角形，E是AD中点∴AD=CD，∠ADC=60°=∠ACD，CE⊥AB，∠DCE=30°∴CD=BD∴∠B=∠DCB=30°，且∠DCE=30°，CE⊥AB∴∠ECD=∠DCB，BC=2CE，tan∠B=故①③正确，②错误∵∠DCB=30°，∠ACD=60°∴∠ACB=90°若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，∴四边形PMCN是矩形∴MN=CP∵d12+d22=MN2=CP2∴当CP为最小值，d12+d22的值最小∴根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12+d22的值最小此时：∠CAB=60°，AC=2，CP⊥AB∴CP=∴d12+d22=MN2=CP2=3即d12+d22的最小值为3故④正确故答案为①③④【总结归纳】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质和判定，利用垂线段最短求d12+d22的最小值是本题的关键．三、解答题1．（2018年山东省日照市-第22题-13分）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=12 AB．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=12AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为．（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论．拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】探究结论：（1）只要证明△ACE是等边三角形即可解决问题；（2）如图2中，结论：ED=EB．想办法证明EP垂直平分线段AB即可解决问题；（3）结论不变，证明方法类似；拓展应用：利用（2）中结论，可得CO=CB，设C（1，n），根据OC=CB=AB，构建方程即可解决问题；【解答过程】解：探究结论（1）如图1中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∵AC=AB=AE=EB，∴△ACE是等边三角形，∴EC=AE=EB，故答案为EC=EB．（2）如图2中，结论：ED=EB．理由：连接PE．∵△ACP，△ADE都是等边三角形，∴AC=AD=DE，AD=AE，∠CAP=∠DAE=60°，∴∠CAD=∠PAE，∴△CAD≌△PAE，∴∠ACD=∠APE=90°，∴EP⊥AB，∵PA=PB，∴EA=EB，∵DE=AE，∴ED=EB．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证：ED=EB，故答案为ED=EB．拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA．∵A（﹣，1），∴∠AOH=30°，由（2）可知，CO=CB，∵CF⊥OB，∴OF=FB=1，∴可以假设C（1，n），∵OC=BC=AB，∴1+n2=1+（+2）2，∴n=2+，∴C（1，2+）．【总结归纳】本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．2．（2018年山东省淄博市-第23题-9分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是；位置关系是．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；（2）同（1）的方法即可得出结论；（3）同（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．【解答过程】解：（1）连接BE，CD相较于H，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°∴∠CAD=∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，∴∠BHD=90°，∴CD⊥BE，∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MG CD，同理：NG BE，∴MG=NG，MG⊥NG，故答案为：MG=NG，MG⊥NG；（2）连接CD，BE，相较于H，同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；（3）连接EB，DC，延长线相交于H，同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，∴∠DHE=90°，同（1）的方法得，MG⊥NG．【总结归纳】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．3．（2018年四川省自贡市-第25题-12分）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【知识考点】几何变换综合题．【思路分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出OD=OC，同OE=OC，即可得出结论；（2）同（1）的方法得OF+OG=OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°，在Rt△OCD中，OD=OE•cos30°=OC，同理：OE=OC，∴OD+OD=OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC．【总结归纳】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．4．（2018年四川省阿坝州/甘孜州-第27题-10分）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在AB，BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点．（1）求证：DE=EF；（2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由；（3）若AB=3，BD的长．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）只要证明EA=ED，EA=EF即可解决问题；（2）结论：BD=CF．如图2中，在BE上取一点M，使得ME=CE，连接DM．想办法证明DM=CF，DM=BD即可；（3）如图3中，过点E作EN⊥AD交AD于点N．设BD=x，则DN=，DE=AE=，由∠B=45°，EN⊥BN．推出EN=BN=x+=，在Rt△DEN中，根据DN2+NE2=DE2，构建方程即可解决问题；【解答过程】（1）证明：如图1中，∵∠BAC=90°，∴∠EAD+∠CAE=90°，∠EDA+∠F=90°，∵∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠F，∴EA=ED，EA=EF，∴DE=EF．（2）解：结论：BD=CF．理由：如图2中，在BE上取一点M，使得ME=CE，连接DM．∵DE=EF．∠DEM=∠CEF，EM=EC．∴△DEM≌△FEC，∴DM=CF，∠MDE=∠F，∴DM∥CF，∴∠BDM=∠BAC=90°，∵AB=AC，∴∠DBM=45°，∴BD=DM，∴BD=CF．（3）如图3中，过点E作EN⊥AD交AD于点N．∵EA=ED，EN⊥AD，∴AN=ND，设BD=x，则DN=，DE=AE=，∵∠B=45°，EN⊥BN．∴EN=BN=x+=，在Rt△DEN中，∵DN2+NE2=DE2，∴（）2+（）2=（）2解得x=1或﹣1（舍弃）∴BD=1．【总结归纳】本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．（2018年四川省乐山市-第25题-12分）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：（1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为；（2）如图2，若k=试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE 的度数．（3）如图3，若k=D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；（2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE∽△ACD，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；（3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△ACD∽△HEA，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；【解答过程】解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，∴BD=AF，BF=AD，∵AC=BD，CD=AE，∴AF=AC，∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE≌△ACD，∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC，∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD，∵AD∥BF，∴∠EFB=90°，∵EF=BF，∴∠FBE=45°，∴∠APE=45°，故答案为：45°．（2）（1）中结论不成立，理由如下：如图2，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，∴BD=AF，BF=AD，∵AC=BD，CD=AE，∴，∵BD=AF，∴，∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE∽△ACD，∴=，∠FEA=∠ADC，∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD，∵AD∥BF，∴∠EFB=90°，在Rt△EFB中，tan∠FBE=，∴∠FBE=30°，∴∠APE=30°，（3）（2）中结论成立，如图3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，连接AH，∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH是平行四边形，∴BE=DH，EH=BD，∵AC=BD，CD=AE，∴，∵∠HEA=∠C=90°，∴△ACD∽△HEA，∴，∠ADC=∠HAE，∵∠CAD+∠ADC=90°，∴∠HAE+∠CAD=90°，∴∠HAD=90°，在Rt△DAH中，tan∠ADH==，∴∠ADH=30°，∴∠APE=30°．【总结归纳】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．6．（2018年四川省攀枝花市-第23题-12分）如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=814．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cosA的值；（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=94S△QCN时，求t的值；（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=S△QCN构建方程即可解决问题；（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可；【解答过程】解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．∵S△ABC=•AC•BE=，∴BE=，在Rt△ABE中，AE==6，∴coaA===．（2）如图2中，作PH⊥AC于H．∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC﹣AH﹣CQ=9﹣9t，∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9﹣9t）2，∵S△PQM=S△QCN，∴•PQ2=×•CQ2，∴9t2+（9﹣9t）2=×（5t）2，整理得：5t2﹣18t+9=0，解得t=3（舍弃）或．∴当t=时，满足S△PQM=S△QCN．（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．易知：PM∥AC，∴∠MPQ=∠PQH=60°，∴PH=HQ，∴3t=（9﹣9t），∴t=．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．同法可得PH=QH，∴3t=（9t﹣9），∴t=，综上所述，当t=s或s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．【总结归纳】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．。

中考数学三角形专题训练50题含答案

中考数学三角形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图，一块玻璃碎成三片，小智只带了第③块去玻璃店，就能配一块一模一样的玻璃，你能用三角形的知识解释，这是为什么？（）A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS【答案】A【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【详解】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故选A．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．2．有下列长度的三条线段，其中能组成三角形的是()A．3cm、6cm、10cm B．10cm、4cm、6cmC．3cm、1cm、1cm D．4cm、6cm、9cm【答案】D【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，进行分析．【详解】解：A、3+6＜10，不能组成三角形；B、4+6=10，不能组成三角形；C、1+1＜3，不能组成三角形；D、4+6＞9，9-6＜4，能组成三角形；故选D.【点睛】本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．3．如图，点A ，D ，C ，E 在一条直线上，AB EF ∥，AB EF =，B F ∠=∠，10AE =，7AC =，则CD =（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【分析】由题意易得A E ∠=∠，然后可证ABC EFD ≌△△，则有7AC DE ==，进而问题可求解．【详解】解：③AB EF ∥， ③A E ∠=∠，③AB EF =，B F ∠=∠， ③()ABC EFD ASA ≌， ③7AC DE ==， ③10AE =，③4CD AC DE AE =+-=；故选A ．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．4．已知三角形三边长为a ，b ，c ()21080b c -+-=，则ABC 是（）A ．以a 为斜边的直角三角形B ．以b 为斜边的直角三角形C ．以c 为斜边的直角三角形D ．不是直角三角形5．如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不确定6．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中③α+③β的度数是（）A ．180︒B ．220︒C ．240︒D ．300︒【答案】C【分析】本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根据四边形的内角和为360°，求出③α+③β的度数．【详解】③等边三角形的顶角为60°， ③两底角和=180°-60°=120°， ③③α+③β=360°-120°=240°，故选：C ．【点睛】本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°，四边形的内角和是360°等知识，难度不大，属于基础题.7．到三角形三条边距离相的的点是（） A ．三条角平分线的交点 B ．三边中线的交点C ．三边上高所在直线的交点D ．三边的垂直平分线的交点【答案】A【分析】利用角平分线的性质可确定三角形中到三边距离相等的点满足的条件．【详解】解：三角形三个内角的平分线的交点到三角形三边距离相等．故选A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．8．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点都在方格的格点上，则cos C =（）A ．13B C D 【答案】B9．下列说法错误的是（）A．到点P距离等于1cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆B．等腰ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线C．到直线l距离等于2cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线D．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线【答案】B【分析】根据圆的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，角平分线的性质，对选项逐个判断即可．【详解】解：A、到点P距离等于1cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆，说法正确，不符合题意；B、等腰ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线（线段BC中点除外），说法错误，符合题意；C、到直线l距离等于2cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线，说法正确，不符合题意；D 、在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，说法正确，不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了轨迹，圆的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．10．如图，ABC AED ≌△△，点E 在线段BC 上，160∠=，则AEC ∠等于（）A ．100B ．110C ．120D ．12560，可得18060602-=，从而可得120．【详解】解：ABC △≌△，,B AE AB EAD =∠， 60=，B ∠ABE ∴中，18060602B -∠== 120AEC B BAE ∴∠=+∠= 故选：C【点睛】此题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形外角定理，综合掌握相关知识点是解题关键．11．如图，③ABC 中，AB ＝AC ，③ABC ＝36°，D 、E 为BC 上的点，且③BAD ＝③DAE ＝③EAC ，则图中共有等腰三角形( )个．A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【答案】C【详解】试题分析：由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏：③AB=AC ，③ABC=36°，③③BAC=108°. ③③BAD=③DAE=③EAC=36°.③等腰三角形③ABC ，③ABD ，③ADE ，③ACE ，③ACD ，③ABE ，共有6个. 故选C ．考点：1. 三角形内角和定理；2. 角平分线的性质；等腰三角形的判定．12．如图，AB ，AM ，BN 分别是③O 的切线，切点分别为 P，M ，N ．若 MN③AB ，③A ＝60°，AB ＝6，则③O 的半径是（）A ．32B ．3C ．32D 【答案】D【分析】根据题意可判断四边形ABNM 为梯形，再由切线的性质可推出③ABN=60°，从而判定③APO③③BPO ，可得AP=BP=3，在直角③APO 中，利用三角函数可解出半径的值.【详解】解：连接OP ，OM ，OA ，OB ，ON ③AB ，AM ，BN 分别和③O 相切， ③③AMO=90°，③APO=90°， ③MN③AB ，③A ＝60°， ③③AMN=120°，③OAB=30°， ③③OMN=③ONM=30°， ③③BNO=90°， ③③ABN=60°， ③③ABO=30°，在③APO 和③BPO 中，OAP OBP APO BPO OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ③APO③③BPO （AAS ），13．如图，ABC 、DBE 和FGC △均为正三角形，以点D E F G ，，，在ABC 的各边上，DE 和FG 相交于点H ，若HGE ADHF S S =四边形△，BC a =，BD b =，CF c =，则a b c ，，满足的关系式为（）A ．2a c b +=B ．222b c a +=C =D ．a =【答案】B【分析】分别用含a b c ，，的代数式表示ADHF S 四边形与HGE S △，根据HGE ADHF S S =四边形△得到关于a b c ，，关系式，化简整理关系式即可．【详解】解： 60EDB A ==︒∠∠，∴DE AF ∥ ，同理：FG AB ∥ ，∴四边形ADHF 为平行四边形，在HGE 中60HGE HEG ==︒∠∠， ∴ HGE 为等边三角形，GE b c a =+-，AD a b =-，AF a c =-，ADHFS=HGE =(32a -14．如图，等腰Rt ABC △中，90BAC AD BC ∠=︒⊥，于D ，ABC ∠的平分线分别交AC AD 、于E 、F 两点，M 为EF 的中点，延长AM 交BC 于点N ，连接DM MC 、；下列结论：③DF DN =；③ABM NBM △≌△；③CMN 是等腰三角形；③AE CN =；其中正确的结论个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个，再证明AFB CNA ≌得到AF ，得到CN AM MN >=，又是钝角，则CMN 不是等腰三角形，即可判断【详解】解：BAC ∠=45ACB BD CD ∠=︒==， 45CAD ∠︒=BE 平分ABC ，12ABE CBE ∠∠∠∴=BFD ∠∴AFE ∠∴AF ∴=M 为EF 的中点，AM BE ∴⊥，90AMF AME ∠∠∴==︒，9067.522.5DAN MBN ∠∠∴=︒-︒=︒=，在FBD 和NAD 中，FBD NADBD ADFDB NDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ASA FBD NAD ∴≌，DF DN ∴=，故③正确；在ABM 和NBM 中，ABM NBM BM BMAMB NMB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ③()ASA ABM NBM △≌，故③正确； ③AM MN =，AD BC AD CD ⊥=，， 45CAD ∠∴=︒， AF AE =， 22.5CAN ∠∴=︒， ABF CAN ∠∠∴=，在AFB △和CNA 中，ABF CANAB CA BAF ACN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()SAS AFB CNA ∴≌， AF CN ∴=， AF AE =，AE CN ∴=，故③正确；③AE AM >， ③CN AM MN >=，又③MNC ∠是钝角，③CMN 不是等腰三角形，故③错误；故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．15．已知等腰梯形的大底等于对角线的长，小底等于高，则该梯形的小底与大底的长度之比是（）A ．3:5B ．3:4C ．2:3D ．1:2a b 、为线段的长，53a b ∴=，即:3:5a b =故选：A ．【点睛】本题考查了等腰梯形、勾股定理及十字相乘法的应用，熟练运用等腰梯形辅助线的作法作出正确的辅助线是解决本题的关键．16．如图，ACB △和ECD 都是等腰直角三角形，90ACB ECD ∠=∠=︒，ACB △的顶点A 在ECD 的斜边DE 上，若3AD AE =，则AC AE的值为（）ABCD③BDC ，就可以得出90ADB ∠=【详解】解：ACB 与ECD 都是等腰直角三角形，90ACB =︒ ，E ADC ∠=∠，EC DC =2AB ，.ECD ACD ACB ∠-=∠BCD ．和BDC 中，BC BCD DC ， AEC ∴≌(BDC SAS △AE BD ∴=，E BDC ∠=∠BDC ∴∠=BDC ∴∠+∠即ADB ∠=23AD AE =210AE ∴=1AC AE ∴=故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质的运用，直角17．如图，在四边形ABCD中，③DAB=90°，③DCB=90°，E、F分别是BD、AC的中点，AC=6，BD=10，则EF的长为（）A．3B．4C．5D18．如图所示，D 为BC 上一点，且AB＝AC＝BD，则图中③1 与③2 的关系是（）A ．③1＝2③2B ．③1+③2＝180°C ．③1+3③2＝180°D ．3③2﹣③1＝180° 【答案】D 【分析】根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．【详解】解：③2∠是ACD 的外角， ③12C ∠+∠=∠，③③C=③2-③1，③AB AC =，③B C ∠=∠，③AB BD =，③2BAD ∠=∠，③112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，③180BAC B C ∠+∠+∠=︒，③122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角．19．如图的实线部分是由Rt③ABC 经过两次折叠得到的，首先将Rt③ABC 沿BD 折叠，使点C 落在斜边上的点C′处，再沿DE 折叠，使点A 落在DC′的延长线上的点A′处，若图中③C=90°，③A=30°，BC=5cm ，则折痕DE 的长为（）A ．3cmB ．cmC ．cmD ．cm【答案】D二、填空题20．如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 在AC 边上，//DE BC ，若1140∠=︒，则B ∠的度数为__________．【答案】50°【分析】先根据补角的定义求出③CDE 的度数，由平行线的性质求出③C 的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【详解】③③1＝140°，③③CDE ＝40°．③DE③BC ，③③C ＝③CDE ＝40°．③③A ＝90°，③③B ＝90°−40°＝50°．故答案为：50°．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等． 21．如图所示，在③ABC 中，OB 、OC 分别为③ABC 和③ACB 的角平分线，OD 为③OBC 的BC 边上的高线，OD ＝5，设③ABC 的面积为y ，③ABC 的周长为x （x ＞0），那么③ABC 的面积y 与③ABC 的周长x 的关系式为 __________________．③22．国古代数学家赵爽在《周髀算经》中用弦图给出了勾股定理的证明，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个大正方形．如图所示，如果小正方形的面积记为1S ，大正方形的面积记为2S ，满足2125=S S ，则tan ABC ∠=___________．【答案】43##113 【分析】直接利用一元二次方程的解法和三角函数的值的应用求出结果．【详解】解：③小正方形的面积记为1S ，大正方形的面积记为2S ，满足2125=S S ，故设11S =，225S =，③大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，23．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，4AB =，点E 为BC 上任意一点，连接EA ，以EA ，EC 为邻边作EAFC ，连接EF ，则EF 的最小值为______．四边形【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质；熟练掌握平行四边形的性质，垂线段最短是解题的关键．24．已知菱形两条对角线的长分别为4cm 和8cm ，则这个菱形的面积是______，周长是___25．如图，ABC 沿EF 折叠使点A 落在点A '处，BP 、CP 分别是ABD ∠、ACD ∠平分线，若30P ∠=︒，20A EB '∠=︒，则A FC '∠=_____︒．【答案】140【分析】欲求A FC ∠'，因为1A FC A A A A EB ∠'=∠+∠=∠+∠'+∠'，所以仅需求A ∠．根据三角形外角的性质，得A ABD ACB ∠=∠-∠．因为BP 、CP 分别是ABD ∠、ACD ∠平分线，所以222()260A PBD PCB PBD PCB P ∠=∠-∠=∠-∠=∠=︒，进而可求出A FC ∠'．【详解】解：如图，BP 、CP PBD ∴∠=又PBD ∠=P PBD ∴∠=∠又ABD ∠=ABD ∴∠-∠12P ∴∠=∠2A P ∴∠=∠由题意得：26．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，以BC 为边在BC 的右侧作等边BCD △，点E 为BD 的中点，点P 为CE 上一动点，连结AP ，BP ，当AP BP +的值最小时：③CBP ∠的度数为___________；③若32AC =，则ACD 的面积为__________．27．如图，在③ABC中，③B＝③C，D是BC的中点，DE③AB，DF③AC，E，F是垂足，现给出以下四个结论：③③DEF＝③DFE；③AE＝AF；③AD垂直平分EF；③③BDE＝③CDF．其中正确结论的个数是_____．【答案】4【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定与性质对各个选项进行分析即可得答案．【详解】解：③③B＝③C，③AB＝AC，又③D是BC的中点，③AD平分③BAC，③DE③AB，DF③AC，③DE＝DF，③DA＝AD，③Rt③ADE③Rt③ADF（HL），③AE＝AF，③EDA＝③FDA③AD垂直平分EF，故③③正确，③③DEF＝③DFE，故③正确，③③BED＝③DFC＝90°，③③BDE＝③CDF．故③正确．故答案为：4．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质及角平分线性质的综合运用．28．如图，在③ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．若AB = 10cm，③ABC的周长为27cm，则③BCE的周长为_________cm．【答案】17【分析】根据线段的垂直平分线性质得：AE=BE，从而求得BE+EC=10cm，再由③ABC的周长为27cm求BC=7cm，则相加可得③BCE的周长．【详解】③DE是AB的垂直平分线，③AE=BE，③AE+EC=BE+EC=AC，③AB=AC=10cm，③BE+EC=10cm，③③ABC的周长为27cm，③AB+AC+BC=27cm，10+10+BC=27，BC=7cm，③③BCE的周长=BE+EC+BC=10+7=17cm，故答案是：17cm．【点睛】考查了等腰三角形的性质和线段的垂直平分线性质，明确垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，从而利用相等的线段将AC的长转化为BE+EC=10cm，因此计算出结果．∥∥，各与其对边或其延长线相交于点29．如图，从ABC各顶点作平行线AD EB FCD，E，F．若ABC的面积为5，则DEF的面积为______．【答案】10【分析】根据平行线间的距离处处相等得到：③ADE和③ABD在底边AD上的高相等，③ADF和③ADC在底边AD上的高相等，③BEF和③BEC在底边BE上的高相等，所以由三角形的面积公式和图形间的面积的数量关系进行证明即可．【详解】证明：③AD//BE，AD//FC，FC//BE，③③ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，③S△ADF=S△ADC，S△BEF=S△BEC，S△AEF=S△BEF-S△ABE=S△BEC-S△ABE=S△ABC ③S△DEF=S△ADE+S△ADF+S△AEF=S△ABD+S△ADC+S△ABC=2S△ABC．即S△DEF=2S△ABC．③S△ABC=5，③S△DEF=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了平行线间的距离和三角形的面积．两平行线之间的距离的定义，即两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离．30．如图，RtΔABC中，③BAC = 90°，③C = 20°，点D为斜边BC的中点，连接AD，AE ③ BC于点E，则③DAE为________度．【答案】50【分析】根据点D为斜边BC的中点，得到DA=DC，③DAC=③C，根据三角形外角性质，得③ADC=③DAC+③C，最后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．【详解】③③BAC = 90°，点D为斜边BC的中点，③C = 20°，③DA=DC，③③DAC=③C= 20°，③③ADB=③DAC+③C，③③ADB=40°，③AE ③ BC，③③DAE=90°-③ADB=90°-40°=50°，故答案为：50．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．31．如图，长方形纸片ABCD中，1==，将它沿对角线BD折叠，使点CBC DC落在点F处，则图中AE的长度为______．Rt ABE中根据勾股定理计算即可；ABCD是矩形，EBD DBC=∠Rt ABE中，(23x+=解得：33 x=故答案为：3 3【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理的应用，翻折变换，平行线的性32．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则图中阴影部分面积为____．ACD AFE S S S --扇形190··2CD AF EF -- 33．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，E 是AB 上一个定点，点F 是BC 上一个动点，把矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点B 的对应点B '落在矩形内部．若DB '的最小值为3，则AE ＝___．34．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE ③AB ，垂足为E 点，若AD ＝BD ，则③BOE ＝________．【答案】30°##30度【分析】由菱形邻边相等结合AD ＝BD ，可判断ABD △是等边三角形，继而得到60ABD ∠=︒，再由直角三角形的两个锐角互余解答．【详解】解：在菱形ABCD 中，AD =ABAD BD =AD AB BD ∴==∴ABD △是等边三角形，∴60ABD ∠=︒OE ③AB ，90906030BOE ABD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为：30°．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，掌握相关知识是解题关键．35．如图，矩形ABCD 中，2AB =，AD =P 从点A 出发向终点D 运动，连BP ，并过点C 作CH BP ⊥，垂足为H ．③ABP HCB △∽△；③AH 的最小值为③在运动过程中，BP 扫过的面积始终等于CH 扫过的面积；③在运动过程中，点H ，其中正确的有______（填写序号）【答案】③③③【分析】由四边形ABCD 是矩形，CH BP ⊥，得90BAP CHB ABC ∠=∠=∠=︒，则90ABP HCB CBH ∠=∠=︒-∠，即可证明ABP ③HCB ，可判断③正确；取BC 的中ABD S =120BEH =ECH S =ABD ECH BEH S S S ≠+扇形，可判断23BH l π=，则点的运动路径的长为233π，可判断③正确，于是得到问题的答案．【详解】解：ABD S=223=BCH S=1122ECH BCH S S ==⨯CH 扫过的面积为ECH S S=扇形ABD ECH BEH S S S ≠+扇形，BP 扫过的面积不是始终等于CH 扫过的面积，③错误；120BH l =点H 的运动路径的长为36．如图，已知ABC 中，③ACB ＝90°，AC ＝x ，BC ＝6，点M 为边AB 的中点， C 关于AB的对称点是D，联结DM，若直线DM与③ABC的一条边垂直．则AC＝_______37．有一张三角形纸片ABC，68∠=，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角A∠的度数为______．形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则C38．如图，点G是Rt③ABC的重心，过点G作矩形GECF，当GF：GE=1：2时，则③ B的正切值为___．【答案】.考点：三角形的重心．39．在△ABC中，③C＝90°，D是边BC上一点，连接AD，若③BAD＋3③CAD＝90°，DC＝a，BD＝b，则AB＝________. （用含a，b的式子表示）【答案】2a+b.【分析】延长BC至点E，使CE=CD=a，连接AE，利用③BAD＋3③CAD＝90°，③CAB+③B＝90°，证得③B=2③CAD，再利用CE=CD,AC③CD,证得③AED是等腰三角形，推出③E=③EAB,由此得到AB=EB=2a+b.【详解】如图，延长BC至点E，使CE=CD，连接AE，③③ACB＝90°，③③CAB+③B＝90°，AC③CD,③③BAD＋3③CAD＝90°，③BAD+③CAD=③BAC,③③B=2③CAD,③CE=CD,AC③CD,③AC垂直平分ED,③AE=AD,即③AED是等腰三角形，③③EAC=③CAD,③③EAD=2③CAD=③B,③③EAB=③B+③BAD,③③E=③ADE=③B+③BAD,③③E=③EAB,③AB=EB,③EB=EC+CD+BD=a+a+b=2a+b，③AB=2a+b.故填：2a+b.【点睛】此题考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质，延长BC至点E，使CE=CD是关键的辅助线，由此将直角三角形转化为等腰三角形来证明.三、解答题40．如图所示，甲车从A处沿公路a向右行驶，同时乙车从B处出发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度相同，乙车要在最短的时间在公路a的点C上截住甲车，请你用尺规作图找出点C（保留作图痕迹，不写作法），并说明乙车行驶的方向．【答案】解：连接AB，作线段AB的垂直平分线，交直线a于点C，根据线段垂直平分线的性质可知CA=CB甲、乙两车行驶速度相同，行驶时间相同，因此行驶路程相同所以乙车沿BC方向行驶在公路C处截住甲车．……………………14分【详解】先根据题意画出图形，作出AB的垂直平分线即可得出答案．解：连接AB，作线段AB的垂直平分线，交直线a于点C，根据线段垂直平分线的性质可知CA="CB" 甲、乙两车行驶速度相同，行驶时间相同，因此行驶路程相同所以乙车沿BC方向行驶在公路C处截住甲车．41．如图，一木杆原来垂直于地面，在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部5米处，已知木杆原长25米，求木杆断裂处离地面多少米？【答案】木杆断裂处离地面12米．【分析】设木杆断裂处离地面x米，根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：设木杆断裂处离地面x米，由题意得：x2＋52＝（25−x）2，解得x＝12，答：木杆断裂处离地面12米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合思想的应用．42．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b=+的图象与y轴交于点A（0，4），与直线113y x=--在第四象限相交于点B，连接OB，AOB的面积为6．（1）求点B 的坐标及直线AB 的解析式；（2）已知点M 在直线AB 右侧，且③MAB 是以AB 为直角边的等腰直角三角形．请求出符合条件的点M 的坐标．，且AOB 的面积为的坐标是：（3，2-）1M A AB =且角三角形；过点B 作2M B ，则2M AB 是以，延长EB ，作容易证得1AGM BEA ≅，得GM AE OA ==的坐标；同理可证2M FB BEA ≅，得BF 2M 的坐标．作BE y ⊥轴，交y 轴于点E，且AOB的面积为6OA BE=，，即点B的横坐标是1 3x=--2，，则2M AB是以EB，③190M AB ∠=︒，180GAE ∠=︒ ③190GAM EAB ∠+∠=︒ 又③190M GA ∠=︒ ③1190GAM GM A ∠+∠=︒ ③1EAB GM A ∠=∠③1M A BA =，190AGM BEA ∠=∠=︒ ③1AGM BEA ≅③1426GM AE OA OE ==+=+=，3GA EB == ③347GO GA AO =+=+= ③点1M 的坐标是：（6，7）；同理可证：2M FB BEA ≅ ③6==BF AE ，23M F EB == ③369EF EB BF =+=+=③点2M 的纵坐标是：2321M F OE -=-=， ③点2M 的坐标是：（9，1）；综上所述，以AB 为直角边的等腰直角三角形，符合条件的点M 的坐标是：（6，7）或（9，1）．【点睛】本题考查的是一次函数的应用，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．43．已知：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BC AC =，点D 在直线AB 上，连接CD ，在CD 的右侧作CE CD ⊥，CD CE =．(1)如图1，③点D 在AB 边上，线段BE 和线段AD 数量关系是______，位置关系是______；③直接写出线段AD ，BD ，DE 之间的数量关系______．(2)如图2，点D 在B 右侧．AD ，BD ，DE 之间的数量关系是______，若AC BC ==1BD =．直接写出DE 的长______． (3)拓展延伸如图3，90DCE DBE ∠=∠=︒，CD CE =，BC =1BE =，求出线段EC 的长．244．如图，在ABCD中，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧交于点M；连接AM并延长交DC于点F，连接EF．(1)根据以上尺规作图的过程，判断四边形AEFD的形状是______；(2)若四边形AEFD的周长为8，AF=B∠的大小．【答案】(1)菱形(2)120°【分析】(1)根据平行四边形的性质及作法，即可证得四边形AEFD是菱形；(2)连接DE，根据菱形的性质及勾股定理，即可证得AED△为等边三角形，据此即可求得．(1)解：四边形ABCD是平行四边形，AB CD∴∥，=FAE AFD∴∠∠，由作法可知：AD=AE，AF是DAE∠的平分线，=FAE FAD∴∠∠=FAD AFD∴∠∠，=AD DF∴，==AE AD DF∴，∴四边形AEFD是平行四边形，又=AE AD，∴四边形AEFD是菱形，故答案为：菱形；(2)45．如图，在Rt③ABC中，③ACB＝90°，③A＝60°，CD平分③ACB．(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l；（要求：保留作图痕迹，不写作法）(2)记直线l与AB，CD的交点分别是点E，F，当AC EF的长．46．在③ABC中，③ACB＝90°．现给出以下3个关系：③CD垂直于AB，③BE平分③ABC，③③CFE＝③CEF，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．【答案】③③作为条件，③作为结论，证明见解析【分析】结合题意，得③CDA＝③ACB＝90°，根据直角三角形两锐角互余的性质，得③BCF+③DCA＝90°，③DCA+③A＝90°，根据角平分线性质，计算得③EBC＝③EBA，根据三角形外角的性质，通过计算得③CFE＝③CEF，即可得到答案．【详解】③CD③AB，③③CDA＝③ACB＝90°，③③BCF+③DCA＝90°，③DCA+③A＝90°，③③BCF＝③A，③BE平分③ABC，③③EBC＝③EBA，③③CFE＝③BCF+③EBC，③BEC＝③A+③EBA，③③CFE＝③CEF③③③作为条件，③作为结论成立．【点睛】本题考查了直角三角形、角平分线、三角形外角、命题的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质，从而完成求解．47．在③ABC中,③ACB=900，AC=BC=4，M为AB的中点,D是射线BC上一个动点, 连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转900，得到线段AE,连接DE,N为DE的中点, 连接AN,MN.(1)如图1，当BD=2时,AN= ,NM= ,MN与AB的位置关系是.(2)当4<BD<8时.③依题意补全图2：③判断(1)中MN与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论.(3)连接ME，在点D运动的过程中，当BD/的长为何值时，ME的长最小，最小值是多少？请直接写出结果.点睛：本题考查三角形综合题、旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质的那个知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或全等三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题.48．已知：在Rt△ABC中，③ACB＝90°，AC＝BC，点D在直线AB上，连接CD，并把CD绕点C逆时针旋转90°到CE．（1）如图1，点D在AB边上，线段BD、BE、CD的数量关系为．（2）如图2，点D在点B右侧，请猜想线段BD、BE、CD的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，点D在点A左侧，BC AD＝BE＝1，请直接写出线段EC的长．。

中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)

中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。

中考数学专题复习卷三角形(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

三角形一、选择题1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为故答案为：A．【分析】根据在直角三角形中，勾是最短的直角边，股是长的直角边，弦是斜边，知道勾和股利用勾股定理，即可得出答案。

2.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值X围是（）A.8<BC<10B.2<BC<18C.1<BC<8D.1<BC<9【答案】D【解析】：如图∵▱ABCD，AC=8，BD=10，∴OB=BD=5，OC=AC=4∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9故答案为：D【分析】根据平行四边形的性质求出OB、OC的长，再根据三角形三边关系定理，建立不等式组，求解即可。

3.如图所示,∠A=50°,∠B=20°,∠D=30°,则∠BCD的度数为（）A. 80°B. 100°C. 120°D. 140°【答案】B【解析】如图，延长BC交AD于点E，∵∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，∴∠BCD=∠A+∠B+∠D，∵∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，∴∠BCD=50°+20°+30°=100°，故答案为：B.【分析】延长BC交AD 于点E，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，所以∠BCD=∠A+∠B+∠D，由已知可得∠BCD=50°+20°+30°=100°。

4.如图，BE∥AF，点D是AB上一点，且DC⊥BE于点C，若∠A=35°，则∠ADC的度数（）A. 105°B. 115°C. 125°D. 135°【答案】C【解析】：∵BE∥AF，∴∠B=∠A=35°．∵DC⊥BE，∴∠DCB=90°，∴∠ADC=90°+35°=125°．故答案为：C．【分析】由平行线的性质可得∠B=∠A=35°，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=90°+35°=125°。

2018年中考数学专题复习《全等三角形》模拟演练含答案

中考专题复习模拟演练:全等三角形一、选择题1.如图，某同学将一块三角形玻璃打碎成三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A. 带（1）去B. 带（2）去C. 带（3）去D. 带（1）（2）去2.已知：△ABC≌△DEF，AB=DE，∠A=70°，∠E=30°，则∠F的度数为（）A. 80°B. 70°C. 30°D. 100°3.如图,在△ABC中,∠C=90°,ED⊥AB于点D,BD=BC,若AC=6 cm,则AE+DE等于( )A. 4 cmB. 5 cmC. 6 cmD. 7 cm4.如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝3，则EC的长为（）A. 2B. 3C. 5D. 2.55.如图，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD，AC于点F，G．则旋转后的图中，全等三角形共有（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对6.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE 交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE. 下列结论中：①CE=BD=2；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，图中的全等三角形的对数（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对8.如图已知△ABE≌△ACD, AB=AC, BE=CD，∠B=40°,∠AEC=120°则∠DAC的度数为（）A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°9.如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（）A. 40°B. 35°C. 30°D. 25°10.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是( )A. B. C. D.二、填空题11.用直尺和圆规作一个角等于已知角得到两个角相等的依据是________12.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2 ．以上结论中，你认为正确的有________．（填序号）13.如图，在由边长为1cm的小正方形组成的网格中，画如图所示的燕尾形工件，现要求最大限度的裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少为（接缝不计）________ ．14.如图，E为正方形ABCD中CD边上一点，∠DAE=30°，P为AE的中点，过点P作直线分别与AD、BC相交于点M、N．若MN=AE，则∠AMN等于________15.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有________（填序号）．16.如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E 离开点A后，运动________秒时，△DEB与△BCA全等．17.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图7，则∠EAB是多少度？请你说出∠EAB= ________度18.如图（1）所示，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上面的一点，连接BD、CD；如图（2）已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面的三点，连接BD、CD、BE、CE、BF、CF；…，依次规律，第N个图形中有全等三角形的对数是________．三、解答题19.已知，如图：AE⊥AB，BC⊥AB，AE=AB，ED=AC．求证：ED⊥AC．20.如图，两根旗杆AC与BD相距12m，某人从B点沿AB走向A，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线夹角为90°，且CM=DM．已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为0.5m/s，求这个人走了多长时间？21.如图1，等边△ABC中，D是AB上一点，以CD为边向上作等边△CDE，连结AE．（1）求证：AE∥BC；（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其余条件均不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．22.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）证明：BE=CF；（2）如果AB=16，AC=10，求AE的长．23.将一块正方形和一块等腰直角三角形如图1摆放．（1）如果把图1中的△BCN绕点B逆时针旋转90°，得到图2，则∠GBM=________；（2）将△BEF绕点B旋转．①当M，N分别在AD，CD上（不与A，D，C重合）时，线段AM，MN，NC之间有一个不变的相等关系式，请你写出这个关系式：________；（不用证明）②当点M在AD的延长线上，点N在DC的延长线时（如图3），①中的关系式是否仍然成立？若成立，写出你的结论，并说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并说明理由．24.已知矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3．操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．探究：（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA1和△FDC全等吗？如果全等，请给出证明，如果不全等，请说明理由；（2）如图2，若点B与CD的中点重合，请你判断△FCB1、△B1DG和△EA1G之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；（3）如图2，请你探索，当点B落在CD边上何处，即B1C的长度为多少时，△FCB1与△B1DG全等．参考答案一、选择题C A C B C CD A B C二、填空题11.SSS12.①③④13.2114.60°或120°15.①②③16.0，2，6，817.3518.n（n+1）三、解答题19.证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAD=∠CBA=90°，在Rt△ADE和中Rt△ABC中，，∴Rt△ADE≌Rt△ABC（HL），∴∠EDA=∠C，又∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∴∠CAB+∠C=90°∴∠CAB+∠EDA=90°，∴∠AFD=90°，∴ED⊥AC20.解：∵∠CMD=90°，∴∠CMA+∠DMB=90°，又∵∠CAM=90°，∴∠CMA+∠ACM=90°，∴∠ACM=∠DMB，在△ACM和△BMD中，，∴△ACM≌△BMD（AAS），∴AC=BM=3m，∴他到达点M时，运动时间为3÷0.5=6（s），答：这个人从B点到M点运动了6s．21.（1）证明：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，即∠BCD=∠ACE，∵△ABC和△DCE是等边三角形，∴BC=AC，DC=EC，在△BDC与△ACE中，，∴△DBC≌△ACE（SAS），∴∠B=∠CAE，∴∠B=∠CAE=∠BAC=60°，∴∠CAE+∠BAC=∠BAE=120°，∴∠B+∠BAE=180，∴AE∥BC（2）成立，证明如下：∵△DBC≌△ACE，∴∠BDC=∠AEC，在△DMC和△AME中，∵∠BDC=∠AEC（已证），∴∠DMC=∠EMA，∴△DMC∽△EMA，∴∠EAM=∠DCM=60°，∴∠EAC=120°，又∵∠DCA+∠CAE=∠DCE+∠ECA+CEA=180°+∠ECA，∴AE∥BC22.（1）证明：如图，连接BD、CD．∵DG⊥BC，BG=GC，∴DB=DC，∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴△DEB≌△DFC，∴BE=CF．（2）解：在Rt△ADE和rT△ADF中，，∴△ADE≌△ADF，∴AE=AF，∴AB﹣BE=AC+CF，∴2AE=AB﹣AC=16﹣10，∴AE=323.（1）45°（2）MN=AM+CN24.（1）解：全等．∵四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，由题意知：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90°，CD=A1D，所以∠A1=∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，所以∠A1DE=∠CDF，所以△EDA1≌△FDC（ASA）（2）解：△B1DG和△EA1G全等．与△B1DG相似，设FC= ，则B1F=BF= ，B1C= DC=1，△FCB所以，所以，所以△FCB1与△B1DG相似，相似比为4：3（3）解：△FCB1与△B1DG全等．设，则有，，在直角中，可得，整理得，解得 (另一解舍去)，所以，当B1C= 时，△FCB1与△B1DG全等．。

中考数学一轮复习《全等三角形》练习题(含答案)

中考数学一轮复习《全等三角形》练习题（含答案）(建议答题时间：60分钟)基础过关1. 如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝()A. ∠BB. ∠AC. ∠EMFD. ∠AFB第1题图第2题图2. (人教八上第44页11题改编)如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是()A. AB＝DEB. AC＝DFC. ∠A＝∠DD. BF＝EC3. 如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是()A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对第3题图第4题图第5题图4. 注重开放探究(2017怀化)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：____________________________，使得△ABC≌△DEC.5. 如图，AB∥CF，E为DF的中点，AB＝10，CF＝6，则BD＝________.6. 如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为________．第6题图7. (2017福建)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：∠A＝∠D.第7题图8. (2017武汉)如图，点C、F、E、B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．第8题图9. (2017南充)如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE＝CF，AE＝BF，求证：AC∥BD.第9题图10. (2017重庆巴南区期中检测)如图，在四边形ABCD中，点E在对角线AC上，AB∥DE，∠ACB＝∠ADE，AB＝EA，求证：AC＝ED.第10题图11. (人教八上第44页4题改编)如图所示，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件，证明：AB＝AC.(1)你添加的条件是________________；(2)请写出证明过程．第11题图12. (2017重庆一中期中考试)如图，AF∥DE，点B、C在线段AD上，且∠E＝∠F，连接FC、EB，延长EB交AF于点G.(1)求证：BE∥CF；(2)若CF＝BE，求证：AB＝CD.第12题图13. (2017苏州)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED；(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．第13题图14. (2017哈尔滨)已知，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M，BD与AC交于点N.(1)如图①，求证：AE＝BD；(2)如图②，若AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四对全等的直角三角形．第14题图满分冲关1. (2017滨州)如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM＝PN恒成立；(2)OM＋ON的值不变；(3)四边形PMON的面积不变；(4)MN的长不变，其中正确的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 1第1题图第2题图2. (2018原创) 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC 交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个3. (2017新疆建设兵团)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC＝∠ADC；②AC与BD互相平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S＝12AC·BD，正确的是________．(填写所有正确结论的序号)第3题图4. (2017温州)如图，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC ＝AD.(1)求证：△ABC≌△AED；(2)当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．第4题图5. (2017荆门)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若∠DCF＝120°，DE＝2，求BC的长．第5题图6. (2017齐齐哈尔)如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．第6题图7. (2017德阳)如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE ⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G.(1)证明：△CFG≌△AEG；(2)若AB＝4，求四边形AGCD的对角线GD的长．第7题图8. (2017北京)在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点(与点B，C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.(1)若∠P AC＝α，求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)；(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．第8题图9. (2018原创)已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E在同一条直线上．(1)如图①，当AC⊥DE，且AD＝2时，求线段BC的长度；(2)如图②，当CD⊥BE时，取线段BC的中点F，线段DC的中点G，连接DF，EG，求证：DF＝EG.第9题图答案基础过关 1. A 2. C3. D 【解析】∵AB ＝AC ，D 为BC 中点，∴CD ＝BD ，∠BDO ＝∠CDO ＝90°，在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC AD ＝AD BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ACD (SSS )，∵EF 垂直平分AC ，∴OA ＝OC ，AE ＝CE ，在△AOE 和△COE 中，⎩⎨⎧OA ＝OCOE ＝OE AE ＝CE ，∴△AOE ≌△COE (SSS )；在△BOD 和△COD 中，⎩⎨⎧BD ＝CD∠BDO ＝∠CDO OD ＝OD ，∴△BOD ≌△COD (SAS )；在△AOC和△AOB 中，⎩⎨⎧AC ＝ABOA ＝OA OC ＝OB，∴△AOC ≌△AOB (SSS )．4. AB ＝DE (答案不唯一)5. 4 【解析】∵AB ∥CF ，∴∠ADE ＝∠CFE ，∵E 是DF 的中点，∴DE ＝EF ，在△ADE 与△CFE 中，⎩⎨⎧∠ADE ＝∠CFEDE ＝FE∠AED ＝∠CEF，∴△ADE ≌△CFE (ASA )，∴AD ＝CF ，∵AB ＝10，CF ＝6，∴BD ＝AB －AD ＝10－6＝4.6. 120° 【解析】∵△ACD 和△BCE 均为等边三角形，∴∠DCA ＝∠BCE ＝60°，AC ＝DC ，BC ＝EC ，∴∠DCB ＝∠DCA ＋∠ACB ＝∠BCE ＋∠ACB ＝∠ACE ，∴△DCB ≌△ACE (SAS )，∴∠CDB ＝∠CAE ，∴∠AOB ＝∠DAO ＋∠ADO ＝∠DAC ＋∠CAE ＋∠ADC －∠CDB ＝∠ADC ＋∠DAC ＝120°.7. 证明：∵BE ＝CF ， ∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DE AC ＝DF BC ＝EF，∴△ABC ≌△DEF (SSS )， ∴∠A ＝∠D .8. 解：CD ∥AB ，CD ＝AB . 证明： ∵CE ＝BF ， ∴CF ＝BE ，又∵∠CFD ＝∠BEA ，DF ＝AE ， ∴△CFD ≌△BEA (SAS )， ∴CD ＝AB ，∠C ＝∠B ， ∴CD ∥AB .9. 证明：∵DE ⊥AB ，CF ⊥AB ， ∴∠BED ＝∠AFC ＝90°，又∵AE ＝BF ， ∴AE ＋EF ＝BF ＋EF ， ∴AF ＝BE .在△ACF 和△BDE 中，⎩⎨⎧AF ＝BE∠AFC ＝∠BED CF ＝DE，∴△ACF ≌△BDE (SAS )， ∴∠A ＝∠B ， ∴AC ∥BD .10. 证明：∵AB ∥DE ， ∴∠BAC ＝∠AED ，在△ABC 和△EAD 中，⎩⎨⎧∠ACB ＝∠ADE∠BAC ＝∠AED AB ＝EA，∴△ABC ≌△EAD (AAS )， ∴AC ＝ED .11. (1)解：∠B ＝∠C 或∠ADB ＝∠ADC 等；(2)证明：若添加的条件为∠B ＝∠C ，在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠C∠1＝∠2AD ＝AD，∴△ABD ≌△ACD (AAS )， ∴AB ＝AC ；若添加的条件为∠ADB ＝∠ADC ，在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2AD ＝AD ∠ADB ＝∠ADC，∴△ABD ≌△ACD (ASA )， ∴AB ＝AC .12. 证明：(1)∵AF ∥DE ， ∴∠E ＝∠AGE ， ∵∠E ＝∠F ， ∴∠F ＝∠AGE ， ∴BE ∥CF ； (2)∵AF ∥DE ∴∠A ＝∠D ，在△ACF 和△DBE 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠D∠F ＝∠E CF ＝BE，∴△ACF ≌△DBE (AAS )， ∴AC ＝DB ， ∴AB ＝CD .13. (1)证明：∵AE 和BD 相交于点O ， ∴∠AOD ＝∠BOE ，在△AOD 和△BOE 中，∠A ＝∠B ， ∴∠BEO ＝∠2，又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO ， ∴∠AEC ＝∠BED ，在△AEC 和△BED 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠BAE ＝BE ∠AEC ＝∠BED，∴△AEC ≌△BED (ASA )；解：(2)∵△AEC ≌△BED ， ∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE ，在△EDC 中，∵EC ＝ED ，∠1＝42°， ∴∠C ＝∠EDC ＝69°， ∴∠BDE ＝∠C ＝69°.14. (1)证明：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ， ∴∠BCD ＝∠ACE ， ∴△ACE ≌△BCD (SAS )， ∴AE ＝BD ；(2)解：△ACB ≌△DCE ，△AON ≌△DOM ，△AOB ≌△DOE ，△NCB ≌△MCE . 满分冲关1. B 【解析】如解图，过点P 分别作OA 、OB 的垂线PC 、PD ，根据角平分线的性质可得PC ＝PD ，∵OP 一定，∴OC ＝OD .∵∠AOB 是定角，∠MPN 与∠AOB 互补，∴∠MPN 也为定角．∵∠CPD 与∠AOB 也互补，∴∠MPN ＝∠CPD ，∴∠MPC ＝∠NPD ，∴△MPC ≌△NPD (ASA )，∴CM ＝DN ，MP ＝NP .故(1)正确；∵OM ＋ON ＝OC ＋CM ＋OD －DN ，∴OM ＋ON ＝OC ＋OD ，∵OC ＝OD 为定长，∴OM ＋ON 为定长．故(2)正确；∵△MPC ≌△NPD ，∴S四边形MONP＝S △CMP ＋S四边形CONP＝S △NPD ＋S 四边形CONP ＝S 四边形CODP .∴四边形MONP 面积为定值．故(3)正确；∵Rt △MPC 中，MP 为斜边，CP 为直角边，∴可设MP ＝kCP ，∴PN ＝kDP ，∵∠MPN ＝∠CPD ，∴△MPN ∽△CPD ，其相似比为k ，∴MN ＝kCD ，当点M 与点C 重合，点N 和点D 重合时，MN ＝CD ，当点M 与点C 不重合，点N 与点D 不重合时，MN ≠CD ，∴MN 的长度在发生变化．故(4)错误．第1题解图2. A 【解析】∵BF ∥AC ，∴∠C ＝∠CBF ，∵BC 平分∠ABF ，∴∠ABC ＝∠CBF ，∴∠C ＝∠ABC ，∴AB ＝AC ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴BD ＝CD ，AD ⊥BC ，故②③正确，在△CDE 与△BDF 中，⎩⎨⎧∠C ＝∠CBF CD ＝BD ∠EDC ＝∠BDF，∴△CDE ≌△BDF (ASA )，∴DE ＝DF ，CE ＝BF ，故①正确；∵AE ＝2BF ，∴AC ＝3BF ，故④正确．故选A .3. ①④【解析】在△ABC 与△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝ADBC ＝DC AC ＝AC，∴△ABC ≌△ADC (SSS )，∴∠ABC ＝∠ADC ，故①正确；∵△ABC ≌△ADC ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∠BCA ＝∠DCA ，∴AC 平分∠BAD 、∠BCD ，故③错误；又∵AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，∴OB ＝OD ，∴AC ，BD 互相垂直，但不平分，故②错误；∵AC ，BD 互相垂重，∴四边形ABCD 的面积S ＝12AC ·BO ＋12AC ·OD ＝12AC ·BD .故④正确，综上所述，正确的结论是①④. 4. (1)证明：∵AC ＝AD ， ∴∠ACD ＝∠ADC ，∴∠BCD －∠ACD ＝∠EDC －∠ADC 即∠BCA ＝∠EDA ，在△ABC 与△AED 中，BC ＝ED ，∠BCA ＝∠EDA ，AC ＝AD ， ∴△ABC ≌△AED (SAS )； (2)解：∵△ABC ≌△AED ， ∴∠E ＝∠B ＝140°，∵五边形ABCDE 内角和为(5－2)×180°＝540°，∴∠BAE ＝540°－2×90°－2×140°＝80°. 5. (1)证明：∵点E 是CD 的中点， ∴DE ＝CE ， ∵AB ∥CF ， ∴∠BAF ＝∠AFC ，在△ADE 与△FCE 中，⎩⎨⎧∠DAE ＝∠CFE ∠AED ＝∠FEC DE ＝CE，∴△ADE ≌△FCE (AAS )； (2)解：由(1)知CD ＝2DE ， ∵DE ＝2， ∴CD ＝4，在Rt △ABC 中，点D 为AB 的中点， ∴AB ＝2CD ＝8，AD ＝CD ＝12AB . ∵AB ∥CF ，∴∠BDC ＝180°－∠DCF ＝180°－120°＝60°， ∴∠DAC ＝∠ACD ＝12∠BDC ＝12×60°＝30°， ∴在Rt △ABC 中，BC ＝12AB ＝12×8＝4. 6. (1)证明：∵AD ⊥BC ， ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，在△BDG 和△ADC 中，⎩⎨⎧BD ＝AD∠BDG ＝∠ADC DG ＝DC，∴△BDG ≌△ADC (SAS )， ∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C ，∵∠ADB ＝∠ADC ＝90°，E ，F 分别是BG ，AC 的中点， ∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF ，∴DE ＝DF ，∠EDG ＝∠EGD ，∠FDA ＝∠F AD ， ∴∠EDG ＋∠FDA ＝90°，∴DE ⊥DF ； (2)解：∵AC ＝10， ∴DE ＝DF ＝5，由勾股定理得，EF ＝DE 2＋DF 2＝5 2. 7. (1)证明：∵E 是AB 的中点，且CE ⊥AB ， ∴CA ＝CB .∵F 是BC 的中点，且AF ⊥BC ， ∴AB ＝AC ， ∴AB ＝AC ＝BC ，∴12AB ＝12BC ，∴AE ＝CF ，在△CFG 和△AEG 中，⎩⎨⎧∠CGF ＝∠AGE∠CFG ＝∠AEG CF ＝AE，∴△CFG ≌△AEG (AAS )； (2)解：如解图，连接GD ，第7题解图∵AB ＝AC ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形，从而△CAD 也为等边三角形， ∵AF ⊥BC ，∴∠GAC ＝∠EAF ＝30°，又∵AE ＝12AB ＝2， ∴在Rt △AEG 中，AG ＝23AE ＝433， ∵∠GAD ＝∠GAC ＋∠CAD ＝90°，∴在Rt △ADG 中，根据勾股定理得：GD 2＝AG 2＋AD 2，即GD 2＝(433)2＋42，∴GD 2＝643， ∴GD ＝833.8. 解：(1) ∵∠ACP ＝90°，∴在Rt △ACP 中，∠CAP ＋∠APC ＝90°， ∵HQ ⊥AP ,∴在Rt △HPQ 中，∠Q ＋∠HPQ ＝90°，又∵∠APC ＝∠HPQ ，∠CAP ＝α， ∴∠Q ＝α，又∵在等腰Rt △ABC 中，∠B ＝∠BAC ＝45°， ∴∠AMQ ＝∠B ＋∠Q ＝45°＋α； (2)PQ ＝2BM .证明：如解图，连接AQ ，过点M 作MN ⊥BQ 于点N .第8题解图∵∠ACP ＝90°，CQ ＝CP ，∠CAP ＝α， ∴∠CAQ ＝∠CAP ＝α，AP ＝AQ ，PQ ＝2CP ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠MAQ ＝∠BAC ＋∠CAQ ＝45°＋α＝∠AMQ ， ∴AQ ＝MQ ， ∴AP ＝MQ ，又∵MN ⊥BQ ， ∴∠ACP ＝∠QNM ＝90°.在Rt △APC 和Rt △QMN 中，⎩⎨⎧∠CAP ＝∠NQM∠ACP ＝∠QNM ＝90°AP ＝MQ，∴Rt △APC ≌Rt △QMN (AAS )， ∴CP ＝MN ，∴PQ ＝2MN ，又∵在Rt △BMN 中，∠B ＝45°， ∴BM ＝2MN ，∴PQ ＝2BM .9. (1)解：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，AC ⊥DE ，AD ＝2， ∴BC ＝AC ，DE ＝AD ＝2，DF ＝12DE ＝1，AF ＝CF ， ∴AF ＝AD 2－DF 2＝3， ∴AC ＝2AF ＝23，∴BC ＝23； (2)证明：连接CE ，FG ，如解图所示：第9题解图∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点B ，D ，E 同一在一条直线上． ∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝∠AED ＝60°， ∴∠ADB ＝120°，∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC∠BAD ＝∠CAE AD ＝AE，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴BD ＝CE ，∠AEC ＝∠ADB ＝120°， ∴∠CED ＝∠AEC －∠AED ＝60°， ∵CD ⊥BE ， ∴∠DCE ＝30°， ∴DE ＝12CE ，∵线段BC的中点为F，线段DC的中点为G，∴FG∥BD，FG＝12BD，∴FG∥DE，FG＝DE，∴四边形DFGE是平行四边形，∴DF＝EG.。

中考数学专题三角形综合测试题含答案

中考数学专题三角形综合测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1.一直角三角形的两条直角边分别为3和4，下列说法中不正确的是（） A.斜边长为5 B.三角形周长为12 C.第三边长为25 D.三角形面积为6 2．如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于C ，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D 的度数为（）A.17°B.34°C.56°D.124°3.计算sin 245°+cos30°•tan60°，其结果是（） A.2 B.1 C.25 D.45 4．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（）A.sin A =B.1tan 2A =C.cos B =D.tan B =5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC，ED⊥AB 于D ．如果∠A=30°，AE=6cm ，那么CE 等于（） A.cm B.2cm C.3cm D.8cm6．如图，点F 在正方形ABCD 内，满足∠AFB=90°，AF=6，BF=8，则图中阴影部分面积为（）A.48B.60C.76D.807.等腰三角形底边长为10cm ，周长为36cm ，那么它的底角的余弦是（） A.135 B.1312 C.1310 D.125 8．如果一个三角形的一个内角是另一个内角的3倍，那么我们称这个三角形是“智慧三角形”，下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的是( ) A.1，2，3 B.1，1，2 C.1，2，3 D.1，1，39．如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，AB=2km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为（）A.4kmB.（4﹣）kmC.2kmD.（2+）kmBCA10．小明去爬山，在山脚看山顶仰为30°，小明在坡比为5︰12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为（） A.（600﹣250) 米 B.（600﹣250）米 C.（350+350）米 D.500米二、填空题（每小题4分，共32分） 11．已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α=_______． 12.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 中点，则CD=______．13．已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对的边分别为a ，b ，c ，其中22=a ，62=b ，小明得到下面4个结论：①24=c ；②33tan =A ；③1cos sin =+B A ；④∠B =30°，正确的结论是_______（填序号）.14．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠ACB=60°，斜边AC 的垂直平分线DE 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，若BD=2，则AC 的长为______.15．如图，△ABC 中，∠A=30°，23tan =B ，AC=32，则AB 的长为______. 16.某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A 射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8︒和10︒，大灯A 离地面的距离为1m 则该车大灯照亮地面的宽度BC 是米.（不考虑其他因素））（参考数据：sin 8°≈254，tan8°≈71，sin10°≈509tan10°≈285）第16题图17．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH 的边长为2米，∠B＝90°，BC ＝6米，AC=12米. 当正方形DEFH 运动到什么位置，即当AE ＝______米时，有DC 2＝A E 2＋BC 2.18.如图，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A ，B 两点间的距离为_______米．三、解答题（共58分）19．（10分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，CD=3，BD=32，求AB 及∠B.20．（10分）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC 的长；（2）求tan∠DAE 的值．21．（12分）如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且∠BDN ＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．(1)过点A 作MN 的垂线，垂足为点H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？ (2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居DCBA民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米) (参考数据：3≈1.7)22．（12分）如图，已知斜坡AB 长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE ．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．（1）若修建的斜坡BE 的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE 的长最多为_____米；（2）一座建筑物GH 距离坡角A 点27米远（即AG=27米），小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角（即∠HDM）为30°．点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面内，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH 高为多少米？23．（14分）如图，我南海某海域A 处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B 处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60 º方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C 处，同时捕鱼船低速航行到A 点的正北1.5海里D 处，渔政船航行到点C 处时测得点D 在南偏东53 º方向上．(1)求CD 两点的距离；(2)渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E 处相会合，求∠ECD 的正弦值 (参考数据：5453sin ≈︒，5353cos ≈︒，3453tan ≈︒).第23题图三角形（二）综合测试题参考答案一、1.C 2.C 3.A 4.D 5.C 6.C 7.A 8.C 9.D 10.B9．解析：过点B 作BE ⊥AD 交AC 于点E ，则BE =AB =2，AE根据题意可知，∠CBD=67.5°，所以∠BCE=22.5°，所以CE=BE=2，，在Rt△ACD 中，sin∠CAD=22=AC CD ,所以CD =(2km.E第9题图第10题图10．解析：如图，根据题意可得，BE=500米，AE=1200米，设EC=x 米，则DF=x 3, 所以CD=500+x 3，AC=1200+x ，在Rt△ACD 中，AC=3CD ，即1200+x=()x 35003+，解得3250600-=x .∴DF=x 3=7503600-， CD= DF+CF=2503600-，故应选B.二、11．70 12．5 13．①② 14．38 15．5 16．57 17．31418．2600 三、19．解：过D 点作DE⊥AB 于E 点，因为AD 平分∠CAB，所以DE=DC=3.在Rt△BED 中，sinB=21，∴∠B=30°，在Rt△ABC 中，23AB BC cosB ==，所以AB=6．第19题图20．解：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC 中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1．在△ADB 中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1，∴AB==3，∴BD==2，∴BC=BD+DC=2+1；（2）∵AE 是BC 边上的中线，∴CE=BC=+， ∴DE=CE ﹣CD=﹣，∴tan∠DAE==﹣．21．解：（1）如图，连接PA ．由题意知，AP=39m ．在直角△APH 中，PH=22221539-=-AH AP =36（米）.（2）由题意知，隔音板的长度是PQ 的长度．在Rt△ADH 中，DH=31530tan =︒AH（米）．在Rt△CDQ 中，DQ=7830sin =︒CQ（米）．则PQ=PH+HQ=PH+DQ-DH=36+78-153≈114-15×1.7=88.5≈89（米）．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．第21题图22．解：（1）11.0；（2）过点D 作DP⊥AC，垂足为P ．在Rt△DPA 中，DP=AD=×30=15，PA=AD•cos30°=×30=15．在矩形DPGM 中，MG=DP=15，DM=PG=15+27，在Rt△DMH 中， HM=DM•tan30°=×（15+27）=15+9．GH=HM+MG=15+15+9≈45.6．答：建筑物GH 高为45.6米．第22题图23．解：(1)如图，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，DF ⊥CG 于点F . 则在R t△CBG 中，由题意知∠CBG =30°，∴CG=12BC=13015222⨯==7.5.∵∠DAG=90°，∴四边形ADFG是矩形.∴GF= AD=1.5 ，∴CF= CG-GF=7.5－1.5=6. 在R t△CDF中，∠CFD=90º，∵∠DCF=53°，∴cos∠DCF=CF CD，∴6103cos535CFCD===︒(海里)．答：CD两点距离为10海里．（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD=∠CHE=90º，∴sin∠EDH=EH ED，∴EH=ED sin53°=4123=55t t ⨯，∴在Rt△EHC中，sin∠ECD=12253025tEHCE t==．答：sin∠ECD=225．第23题图。

人教版数学中考复习《三角形相关问题》专项练习含答案

三角形相关问题一、综合题1.（•北京）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．2.（•北京）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是________．②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．3.（•河南）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．4.（•荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．5.（•十堰）已知O为直线MN上一点，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，AC∥OP交OM于C，D为OB的中点，DE⊥DC交MN于E．（1）如图1，若点B在OP上，则①AC________OE（填“＜”，“=”或“＞”）；②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是________；（2）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（0°＜α＜45°），如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；（3）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（45°＜α＜90°），请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式________．6.（•玉林）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．（1）求证：四边形EDFG是正方形；（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．7.（•黄石）在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”ABCD中，P 为DC边上一定点，且CP=BC，如图所示．（1）如图①，求证：BA=BP；（2）如图②，点Q在DC上，且DQ=CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，求的值；（3）如图③，已知AD=1，在（2）的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF 的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM=BN，请证明：△MNT的面积S为定值，并求出这个定值．8.（•荆门）已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长．9.（•海南）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连结CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．（1）求证：△CDE≌△CBF；（2）当DE= 时，求CG的长；（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．10.（•大连）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为________；（2）求的值；（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD= ，求PC 的长．11.（•呼和浩特）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．（1）求证：BD=CE；（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．12.（•张家界）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．（1）求证：△AGE≌△BGF；（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．13.（•北京）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．14.（•百色）已知反比例函数y= （k≠0）的图象经过点B（3，2），点B与点C关于原点O对称，BA⊥x 轴于点A，CD⊥x轴于点D．（1）求这个反比函数的解析式；（2）求△ACD的面积．15.（•百色）矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）证明：EG=FH．16.（•河池）解答题（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF 的数量关系，并证明你的结论．17.（•东营）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．18.（•青岛）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．19.（•威海）如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB=3，BC=2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C 点后停止，△ADP以直线AP为轴翻折，点D落在点D1的位置，设DP=x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y．（1）当x为何值时，直线AD1过点C？（2）当x为何值时，直线AD1过BC的中点E？（3）求出y与x的函数表达式．20.（•达州）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD 的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．21.（•达州）小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2= 他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：x= ，y= ．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为________；②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：________；（3）如图3，点P（2，n）在函数y= x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．22.（•常德）如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．23.（•扬州）我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB△AC=AO2﹣BO2．（1）在图1中，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，AO是BC边上的中线，则AB△AC=________，OC△OA=________；（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，求AB△AC、BA△BC的值；（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON= AO．已知AB△AC=14，BN△BA=10，求△ABC的面积．24.（•赤峰）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）证明：∵AD=2BC，E为AD的中点，∴DE=BC，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD=90°，AE=DE，∴BE=DE，∴四边形BCDE是菱形（2）解：连接AC．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，∴AB=BC=1，∵AD=2BC=2，∴sin∠ADB= ，∴∠ADB=30°，∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，在Rt△ACD中，∵AD=2，∴CD=1，AC= ．【解析】【分析】（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；（2）在Rt△只要证明∠ADC=60°，AD=2即可解决问题；2.【答案】（1）解：①P2，P3②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，∴设P（x，﹣x），当OP=1时，由距离公式得，OP= =1，∴x= ，当OP=3时，OP= =3，解得：x=± ；∴点P的横坐标的取值范围为：﹣≤≤﹣，或≤x≤（2）解：∵直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B，∴A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，此时，CA=3，∴C（﹣2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，∴CD=1，∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴直线AB与x轴的夹角=45°，∴AC= ，∴C（1﹣，0），∴圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤x C≤1﹣；如图3，当圆过点A，则AC=1，∴C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，此时，BC=3，∴OC= =2 ，∴C（2 ，0）．∴圆心C的横坐标的取值范围为：2≤x C≤2 ；综上所述；圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤x C≤1﹣或2≤x C≤2【解析】【解答】（1）①∵点P1（，0），P2（，），P3（，0），∴OP1= ，OP2=1，OP3= ，∴P1与⊙O的最小距离为，P2与⊙O的最小距离为1，OP3与⊙O的最小距离为，∴⊙O，⊙O的关联点是P2，P3；故答案为：P2，P3；【分析】（1）①根据点P1（，0），P2（，），P3（，0），求得P1= ，P2=1，OP3= ，于是得到结论；②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，﹣x），根据两点间的距离公式得到即可得到结论；（2根据已知条件得到A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，得到C（﹣2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，得到C（1﹣，0），于是得到结论；如图3，当圆过点A，则AC=1，得到C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，根据勾股定理得到C（2 ，0），于是得到结论．3.【答案】（1）PM=PN；PM⊥PN（2）解：由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN= BD，PM= CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形（3）解：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大=AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2 ，在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5 ，∴MN最大=2 +5 =7 ，∴S△PMN最大= PM2= × MN2= ×（7 ）2= ．【解析】【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN= BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM= CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM=PN，PM⊥PN，【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM= CE，PN= BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，另为利用三角形的中位线得出平行线即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM= BD，PN= BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．4.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，∴AD=EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：∵AC=BD，DE=AC，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．5.【答案】（1）=；AC2+CO2=CD2（2）如图2，（1）中的结论②不成立，理由是：连接AD，延长CD交OP于F，连接EF，∵AB=AO，D为OB的中点，∴AD⊥OB，∴∠ADO=90°，∵∠CDE=90°，∴∠ADO=∠CDE，∴∠ADO﹣∠CDO=∠CDE﹣∠CDO，即∠ADC=∠EDO，∵∠ADO=∠ACO=90°，∴∠ADO+∠ACO=180°，∴A、D、O、C四点共圆，∴∠ACD=∠AOB，同理得：∠EFO=∠EDO，∴∠EFO=∠AOC，∵△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠DCO=45°，∴△COF和△CDE是等腰直角三角形，∴OC=OF，∵∠ACO=∠EOF=90°，∴△ACO≌△EOF，∴OE=AC，AO=EF，∴AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，Rt△DEF中，EF＞DE=DC，∴AC2+OC2＞DC2，所以（1）中的结论②不成立（3）OC﹣AC= CD【解析】【解答】解：（1）①AC=OE，理由：如图1，∵在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，∴∠ABO=∠AOB=45°，∵OP⊥MN，∴∠COP=90°，∴∠AOC=45°，∵AC∥OP，∴∠CAO=∠AOB=45°，∠ACO=∠POE=90°，∴AC=OC，连接AD，∵BD=OD，∴AD=OD，AD⊥OB，∴AD∥OC，∴四边形ADOC是正方形，∴∠DCO=45°，∴AC=OD，∴∠DEO=45°，∴CD=DE，∴OC=OE，∴AC=OE；②在Rt△CDO中，∵CD2=OC2+OD2，∴CD2=AC2+OC2；故答案为：AC2+CO2=CD2；（3.）如图3，结论：OC﹣CA= CD，理由是：连接AD，则AD=OD，同理：∠ADC=∠EDO，∵∠CAB+∠CAO=∠CAO+∠AOC=90°，∴∠CAB=∠AOC，∵∠DAB=∠AOD=45°，∴∠DAB﹣∠CAB=∠AOD﹣∠AOC，即∠DAC=∠DOE，∴△ACD≌△OED，∴AC=OE，CD=DE，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE2=2CD2，∴（OC﹣OE）2=（OC﹣AC）2=2CD2，∴OC﹣AC= CD，故答案为：OC﹣AC= CD．【分析】（1）①如图1，证明AC=OC和OC=OE可得结论；②根据勾股定理可得：AC2+CO2=CD2；（2）如图2，（1）中的结论②不成立，作辅助线，构建全等三角形，证明A、D、O、C四点共圆，得∠ACD=∠AOB，同理得：∠EFO=∠EDO，再证明△ACO≌△EOF，得OE=AC，AO=EF，根据勾股定理得：AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，由直角三角形中最长边为斜边可得结论；（3）如图3，连接AD，则AD=OD证明△ACD≌△OED，根据△CDE是等腰直角三角形，得CE2=2CD2，等量代换可得结论（OC﹣OE）2=（OC ﹣AC）2=2CD2，开方后是：OC﹣AC= CD．6.【答案】（1）证明：连接CD，如图1所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中点，∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△EDF为等腰直角三角形．∵O为EF的中点，GO=OD，∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，∴四边形EDFG是正方形（2）解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴DE′= BC=2，AB=4 ，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜2 （点E与点E′重合时取等号）．∴4≤S四边形EDFG=DE2＜8．∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．【解析】【分析】（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF 可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；（2）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE ＜2 ，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．7.【答案】（1）证明：如图①中，设AD=BC=a，则AB=CD= a．∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，∵PC=AD=BC=a，∴PB= = a，∴BA=BP（2）解：如图②中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长最小．设AD=BC=QD=a，则AB=CD= a，∴CQ=CQ′= a﹣a，∵CQ′//AB，∴= = =（3）证明：如图③中，作TH//AB交NM于H，交BC于K．由（2）可知，AD=BC=1，AB=CD= ，DP=CF= ﹣1，∵S△MNT= •TH•CK+ •TH•BK= HT•（KC+KB）= HT•BC= HT，∵TH//AB//FM，TF=TB，∴HM=HN，∴HT= （FM+BN），∵BN=PM，∴HT= （FM+PM）= PF= •（1+ ﹣1）= ，∴S△MNT= HT= =定值【解析】【分析】（1）如图①中，设AD=BC=a，则AB=CD= a．通过计算得出AB=BP= a，由此即可证明；（2）如图②中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长最小．设AD=BC=QD=a，则AB=CD= a，可得CQ=CQ′= a﹣a，由CQ′//AB，推出= = = ；（3）如图③中，作TH//AB交NM于H，交BC于K．由S△MNT= •TH•CK+ •TH•BK= HT•（KC+KB）= HT•BC= HT，利用梯形的中位线定理求出HT即可解决问题；8.【答案】（1）证明：∵点E是CD的中点，∴DE=CE．∵AB∥CF，∴∠BAF=∠AFC．在△ADE与△FCE中，∵，∴△ADE≌△FCE（AAS）（2）解：由（1）得，CD=2DE，∵DE=2，∴CD=4．∵点D为AB的中点，∠ACB=90°，∴AB=2CD=8，AD=CD= AB．∵AB∥CF，∴∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，∴∠DAC=∠ACD= ∠BDC= ×60°=30°，∴BC= AB= ×8=4【解析】【分析】（1）先根据点E是CD的中点得出DE=CE，再由AB∥CF可知∠BAF=∠AFC，根据AAS 定理可得出△ADE≌△FCE；（2）根据直角三角形的性质可得出AD=CD= AB，再由AB∥CF可知∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，由三角形外角的性质可得出∠DAC=∠ACD= ∠BDC=30°，进而可得出结论．9.【答案】（1）证明：如图，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，∴∠CBF=180°﹣∠ABC=90°，∠1+∠2=∠DCB=90°，∵CF⊥CE，∴∠ECF=90°，∴∠3+∠2=∠ECF=90°，∴∠1=∠3，在△CDE和△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（2）解：在正方形ABCD中，AD∥BC，∴△GBF∽△EAF，∴，由（1）知，△CDE≌△CBF，∴BF=DE= ，∵正方形的边长为1，∴AF=AB+BF= ，AE=AD﹣DE= ，∴，∴BG= ，∴CG=BC﹣BG=（3）解：不能，理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AE∥CG，AE=CG，∴AD﹣AE=BC﹣CG，∴DE=BG，由（1）知，△CDE≌△ECF，∴DE=BF，CE=CF，∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，∴∠GFB=45°，∠CFE=45°，∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°，此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，∴点E在运动过程中，四边形CEAG不能是平行四边形．【解析】【分析】（1）先判断出∠CBF=90°，进而判断出∠1=∠3，即可得出结论；（2）先求出AF，AE，再判断出△GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出结论；（3）假设是平行四边形，先判断出DE=BG，进而判断出△GBF和△ECF是等腰直角三角形，即可得出∠GFB=∠CFE=45°，即可得出结论．10.【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°（2）解：如图1中，作DE∥AB交AC于E．∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴= = = ，∴= ，∴4y2+2xy﹣x2=0，∴（）2+ ﹣1=0，∴= （负根已经舍弃），∴= ．（3）解：如图2中，作DE∥AB交AC于E．由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC，∴△PA′D∽△PBC，∴= = ，∴= ，即=∵CD= ，∴PC=1．【解析】【解答】解：（1.）如图1中，在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB，∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案为∠BAD+∠ACB=180°．【分析】（1）在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°；（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出= = = ，可得= ，可得4y2+2xy﹣x2=0，即（）2+﹣1=0，求出的值即可解决问题；（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得= = ，可得= ，即= ，由此即可解决问题；11.【答案】（1）解：由题意得，AB=AC，∵BD，CE分别是两腰上的中线，∴AD= AC，AE= AB，∴AD=AE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（ASA）．∴BD=CE；（2）四边形DEMN是正方形，证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，∴AE= AB，AD= AC，ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，ED= BC，∵点M、N分别为线段BO和CO中点，∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC，MN= BC，∴ED∥MN，ED=MN，∴四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，∴DM=EN，∴四边形EDNM是矩形，在△BDC与△CEB中，，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC，∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，∴O到BC的距离= BC，∴BD⊥CE，∴四边形DEMN是正方形．【解析】【分析】（1）根据已知条件得到AD=AE，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据三角形中位线的性质得到ED∥BC，ED= BC，MN∥BC，MN= BC，等量代换得到ED∥MN，ED=MN，推出四边形EDNM是平行四边形，（1）知BD=CE，求得DM=EN，得到四边形EDNM是矩形，根据全等三角形的性质得到OB=OC，由三角形的重心的性质得到O到BC的距离= BC，根据直角三角形的判定得到BD⊥CE，于是得到结论．12.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG，∵EF垂直平分AB，∴AG=BG，在△AGEH和△BGF中，，∴△AGE≌△BGF（AAS）（2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下：∵△AGE≌△BGF，∴AE=BF，∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG=∠BFG，由AAS证明△AGE≌△BGF 即可；（2）由全等三角形的性质得出AE=BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论．13.【答案】（1）解：∠AMQ=45°+α；理由如下：∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α（2）解：PQ= MB；理由如下：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：∵AC⊥QP，CQ=CP，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，∴AP=AQ=QM，在△APC和△QME中，，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC=ME，∴△AEB是等腰直角三角形，∴PQ= MB，∴PQ= MB．【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，△AEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．14.【答案】（1）解：将B点坐标代入函数解析式，得=2，解得k=6，∴反比例函数的解析式为y= ；（2）解：由B（3，2），点B与点C关于原点O对称，得C（﹣3，﹣2）．由BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点D，得A（3，0），D（﹣3，0）．∴S△ACD= AD•CD= × [3﹣（﹣3）]×|﹣2|=6．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据三角形的面积公式，可得答案．15.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，AD=BC，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE= AD，CF= BC，∴AE CF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）证明：∵四边形AFCE是平行四边形，∴CE//AF，∴∠DGE=∠AHD=∠BHF，∵AB//CD，∴∠EDG=∠FBH，在△DEG和△BFH中，∴△DEG≌△BFH（AAS），∴EG=FH．【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）可证明EG和FH所在的△DEG、△BFH全等即可．16.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：AB= BC，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴= ，∴AE= BF．【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论．17.【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE；（2）解：如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，过A作AF⊥BC于F，∴∠AFB=90°，∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF= AB=1，∴BF= ，∴BC=2BF=2 ，∵BD=x，AE=y则DC=2 ﹣x，EC=2﹣y，∵△ABD∽△DCE，∴，∴，化简得：y= x+2（0＜x＜2 ）；（3）解：当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2 ﹣x，x=2 ﹣2，代入y= x+2，解得：y=4﹣2 ，即AE=4﹣2 ，当AE=ED时，如图3，∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，则ED= EC，即y= （2﹣y），解得：y= ，即AE= ，当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2 或．【解析】【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；（3）分三种情况进行讨论：①当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2 ﹣x；②当AE=ED时，如图3，则ED= EC，即y= （2﹣y）；③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．18.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，∴AE=BE=DF=AF，OF= DC，OE= BC，OE∥BC，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：由（1）得：AE=OE=OF=AF，∴四边形AEOF是菱形，∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO=90°，∴四边形AEOF是正方形．【解析】【分析】（1）由菱形的性质得出∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF，OF= DC，OE= BC，OE∥BC，由SAS证明△BCE≌△DCF即可；（2）由（1）得：AE=OE=OF=AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO=90°，四边形AEOF是正方形．19.【答案】（1）解：如图1，∵由题意得：△ADP≌△AD1P，∴AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，∵直线AD1过C，∴PD1⊥AC，在Rt△ABC中，AC= = ，CD1= ﹣2，在Rt△PCD1中，PC2=PD12+CD12，即（3﹣x）2=x2+（﹣2）2，解得：x= ，∴当x= 时，直线AD1过点C（2）解：如图2，连接PE，∵E为BC的中点，∴BE=CE=1，在Rt△ABE中，AE= = ，∵AD1=AD=2，PD=PD1=x，∴D1E= ﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，x2+（﹣2）2=（3﹣x）2+12，解得：x= ，∴当x= 时，直线AD1过BC的中点E；（3）解：如图3，当0＜x≤2时，y=x，如图4，当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3（根据折叠），∴∠2=∠3，∴AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，由题意得：AG=DP=x，FG=x﹣a，在Rt△PFG中，由勾股定理得：（x﹣a）2+22=a2，解得：a= ，所以y= = ，综合上述，当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，y=【解析】【分析】（1）根据折叠得出AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△PCD1中，根据勾股定理得出方程，求出即可；（2）连接PE，求出BE=CE=1，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE，求出AD1=AD=2，PD=PD1=x，D1E= ﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E 和Rt△PCE中，根据勾股定理得出方程，求出即可；（3）分为两种情况：当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，求出AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x﹣a）2+22=a2，求出a即可．20.【答案】（1）解：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，∴∠ECF=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF= =10，∴OC=OE= EF=5（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．21.【答案】（1）证明：∵P1（x1，y1），P2（x2，y2），∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1，∴Q1Q= ，∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+ = ，∵PQ为梯形P1Q1Q2P2的中位线，∴PQ= = ，即线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式为x= ，y=（2）；（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）（3）解：如图，设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点F，由对称性可知EP=EM，FP=FN，∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，∴此时△PEF的周长即为MN的长，为最小，设R（x，x），由题意可知OR=OS=2，PR=PS=n，∴=2，解得x=﹣（舍去）或x= ，∴R（，），∴=n，解得n=1，∴P（2，1），∴N（2，﹣1），设M（x，y），则= ，= ，解得x= ，y= ，∴M（，），∴MN= = ，即△PEF的周长的最小值为【解析】【解答】（2）①∵M（2，﹣1），N（﹣3，5），∴MN= = ，故答案为：；②∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1），设D（x，y），则x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3，∴此时D点坐标为（﹣3，3），当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为（7，1），当BC为对角线时，同理可求得D点坐标为（﹣1，﹣3），综上可知D点坐标为（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3），故答案为：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；【分析】（1）用P1、P2的坐标分别表示出OQ和PQ的长即可证得结论；（2）①直接利用两点间距离公式可求得MN的长；②分AB、AC、BC为对角线，可求得其中心的坐标，再利用中点坐标公式可求得D点坐标；（3）设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，则可知OR=OS=2，利用两点间距离公式可求得R的坐标，再由PR=PS=n，可求得n的值，可求得P点坐标，利用中点坐标公式可求得M点坐标，由对称性可求得N点坐标，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点S，此时EP=EM，FP=FN，此时满足△PEF的周长最小，利用两点间距离公式可求得其周长的最小值．22.【答案】（1）证明：在Rt△ABE和Rt△DBE中，，∴△ABE≌△DBE（2）证明：①过G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，设DC=1，BD=4，∴BH=DH=2，∵GH∥AD，∴= = ，∴GM=2MC；②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴= ，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴= ，∵AB=2AG，∴= ，∴2CN•AG=AF•AC，∴AG2=AF•AC．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）①过G作GH∥AD交BC于H，由AG=BG，得到BH=DH，根据已知条件设DC=1，BD=4，得到BH=DH=2，根据平行线分线段成比例定理得到= = ，求得GM=2MC；②过C作CN⊥AD交AD的延长线于N，则CN∥AG，根据相似三角形的性质得到= ，由①知GM=2MC，得到2NC=AG，根据相似三角形的性质得到= ，等量代换得到= ，于是得到结论．23.【答案】（1）0；7（2）解：①如图2，取BC的中点O，连接AO，∵AB=AC，∴AO⊥BC，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，在Rt△AOB中，AB=4，∠ABC=30°，∴AO=2，OB=2 ，∴AB△AC=AO2﹣BO2=4﹣12=﹣8，②取AC的中点D，连接BD，∴AD=CD= AC=2，过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E，在Rt△ABE中，∠BAE=180°﹣∠BAC=60°，∴∠ABE=30°，∵AB=4，∴AE=2，BE=2 ，∴DE=AD+AE=4，在Rt△BED中，根据勾股定理得，BD= = =2 ，∴BA△BC=BD2﹣CD2=24；（3）解：如图3，设ON=x，OB=OC=y，∴BC=2y，OA=3x，∵AB△AC=14，∴OA2﹣OB2=14，∴9x2﹣y2=14①，取AN的中点D，连接BD，∴AD=DB= AN= × OA=ON=x，∴OD=ON+DN=2x，在Rt△BOD中，BD2=OB2+OD2=y2+4x2，∵BN△BA=10，∴BD2﹣DN2=10，∴y2+4x2﹣x2=10，∴3x2+y2=10②联立①②得，或（舍），∴BC=4，OA=3 ，∴S△ABC= BC×AO=6 ．【解析】【解答】解：①∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，∴BC=10，∵点O是BC的中点，∴OA=OB=OC= BC=5，∴AB△AC=AO2﹣BO2=25﹣25=0，②如图1，取AC的中点D，连接OD，∴CD= AC=3，∵OA=OC=5，∴OD⊥AC，在Rt△COD中，OD= =4，∴OC△OA=OD2﹣CD2=16﹣9=7，故答案为0，7；【分析】（1）①先根据勾股定理求出BC=10，再利用直角三角形的性质得出OA=OB=OC=5，最后利用新定义即可得出结论；②再用等腰三角形的性质求出CD=3，再利用勾股定理求出OD，最后用新定义即可得出结论；（2）①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2，OB=2 ，再用新定义即可得出结论；②先构造直角三角形求出BE，AE，再用勾股定理求出BD，最后用新定义即可得出结论；（3）先构造直角三角形，表述出OA，BD2，最后用新定义建立方程组求解即可得出结论．24.【答案】（1）解：如图1，延长PE，QB交于点F，∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°，∵∠AOB=90°，∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，∴点P，O，Q在同一条直线上，∵∠APO=∠BQO=90°，∵点E是AB中点，∴AE=BE，∵∠AEP=∠BEF，∴△APE≌△BFE，∴PE=EF，∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点，∴EP=EQ；（2）解：成立，证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点，∴CE∥OB，CE= OB，∴∠DOC=∠ECA，∵点D是Rt△OQB斜边中点，∴DQ= OB，∴CE=DQ，同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，∴∠ECA=∠BDE，∵∠PCE=∠EDQ，∴△EPC≌△QED，∴EP=EQ；（3）解：如图2，连接GO，∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰直角三角形，∴CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，∴GB=GO=GA，∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，设∠GOB=x，∠GOA=y，∴x+x+y+y+60°=360°【解析】【分析】（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED 即可得出结论；（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出结论．。

中考数学复习---《三角形综合》压轴题练习(含答案解析)

中考数学复习---《三角形综合》压轴题练习（含答案解析）一．全等三角形的判定与性质1．（2022•淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解答】解：如图，连接AI，BI，CI，DI，过点I作IT⊥AC于点T．∵I是△ABD的内心，∴∠BAI＝∠CAI，∵AB＝AC，AI＝AI，∴△BAI≌△CAI（SAS），∴IB＝IC，∵∠ITD＝∠IED＝90°，∠IDT＝∠IDE，DI＝DI，∴△IDT≌△IDE（AAS），∴DE＝DT，IT＝IE，∵∠BEI＝∠CTI＝90°，∴Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），∴BE＝CT，设BE＝CT＝x，∵DE＝DT，∴10﹣x＝x﹣4，∴x＝7，∴BE＝7．故选：B．2．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24B．22C．20D．18【答案】B【解答】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝8，∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，故选：B．3．（2022•南充）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B 顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论：①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB＝45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为；④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积为．其中正确的结论是．（填写序号）【答案】①②③【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∵∠A1BA2＝∠ABC＝90∴∠ABA1＝∠CBA2，∵BA1＝BA2，∴△ABA1≌△CBA2（SAS），故①正确，过点D作DT⊥CA1于点T，∵CD＝DA1，∴∠CDT＝∠A1DT，∵∠ADE＝∠A1DE，∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDT＝45°，∵∠CDT+∠DCT＝90°，∠DCT+∠BCA1＝90°，∴∠CDT＝∠BCA1，∴∠ADE+∠BCA1＝45°，故②正确．连接P A，AC．∵A，A1关于DE对称，∴P A＝P A1，∴P A1+PC＝P A+PC≥AC＝，∴P A1+PC的最小值为，故③正确，过点A1作A1H⊥AB于点H，∵∠ADE＝30°，∴AE＝A1E＝AD•tan30°＝，∴EB＝AB﹣AE＝1﹣，∵∠A1EB＝60°，∴A1H＝A1E•sin60°＝×＝，∴＝×（1﹣）×＝，故④错误．故答案为：①②③．4．（2022•朝阳）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD 为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为．【答案】3或．【解答】解：如图，E点在AD的右边，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，∴AC＝AB，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，即∠CAE＝∠BAD．在△CAE和△BAD中，，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴CE＝BD＝2，∵BD＝2CD，∴CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1＝3，∴等边三角形ABC3，如图，E点在AD的左边，同上，△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，∴∠EBD＝120°，过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F，则∠EBF＝60°，∴EF＝BE＝CD，BF＝BE＝CD，∴CF＝BF+BD+CD＝CD，在Rt△EFC中，CE＝2，∴EF2+CF2＝CE2＝4，∴+＝4，∴CD＝或CD＝﹣（舍去），∴BC＝，∴等边三角形ABC的边长为，故答案为：3或．5．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P 是x轴上一动点，把线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是．【答案】2【解答】解：方法一：∵将线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF＝60°，PF＝P A，∴△APF是等边三角形，∴AP＝AF，如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，则P1A＝P1F1＝AF1，∠AP1F1＝60°，∵AO⊥P1F1，∴P1O＝F1O，∠AOP1＝90°，∴∠P1AO＝30°，且AO＝4，由勾股定理得：P1O＝F1O＝，∴P1A＝P1F1＝AF1＝，∴点F1的坐标为（，0），如图，当点F2在y轴上时，∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，∴AO＝F2O＝4，∴点F2的坐标为（0，﹣4），∵tan∠OF1F2＝＝＝，∴∠OF1F2＝60°，∴点F运动所形成的图象是一条直线，∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，设直线F1F2的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线F1F2的解析式为y＝x﹣4，∵AO＝F2O＝4，AO⊥P1F1，∴F1F2＝AF1＝，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则×OF1×OF2＝×F1F2×h，∴××4＝××h，解得h＝2，即线段OF的最小值为2；方法二：如图，在第二象限作等边三角形AOB，连接BP、AF，过点B作BP′⊥x轴于点P′，∵将线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF＝60°，PF＝P A，∴△APF是等边三角形，∴AP＝AF，∠P AF＝60°，∵△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝OB＝4，∠BAO＝60°，∴∠BAP＝60°+∠OAP＝∠OAF，在△BAP和△OAF中，，∴△BAP≌△OAF（SAS），∴BP＝OF，∵P是x轴上一动点，∴当BP⊥x轴时，BP最小，即点P与点P′重合时BP＝BP′最小，∵∠BOP′＝30°，∠BP′O＝90°，∴BP′＝OB＝×4＝2，∴OF的最小值为2，故答案为2．二．勾股定理6．（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．【答案】48【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．7．（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt △DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A 重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．【答案】21【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F 作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．8．（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．【答案】80【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI 于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．三．等腰直角三角形（共2小题）9．（2022•宜宾）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE ＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则＝；④在△ABC内存在唯一一点P，使得P A+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④【答案】B【解答】解：如图1中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正确，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠AEC+∠ADC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∴∠DAE＝∠DCE＝90°，取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA＝OD＝OE＝OC，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠DAC＝∠CED，故②正确，设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，过点C作CJ⊥DF于点J，∵tan∠CDF＝＝＝2，∴CJ＝m，∵AO⊥DE，CJ⊥DE，∴AO∥CJ，∴＝＝＝，故③正确．如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，∴△BPN是等边三角形，∴BP＝PN，∴P A+PB+PC＝AP+PN+MN，∴当点A，点P，点N，点M共线时，P A+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC ＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，∴∠BPD＝∠CPD＝60°，设PD＝t，则BD＝AD＝t，∴2+t＝t，∴t＝+1，∴CE＝BD＝t＝3+，故④错误．故选：B．10．（2022•绵阳）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝2，CD＝2，则△ABE的面积为．【答案】【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝AB＝2，∵∠ADC＝90°，CD＝2，∴AD＝，∵，∴DF＝，∴AF＝，∴CF＝，∵DF∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，即，∴EF＝，∴AE＝，∴．故答案为：．11．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△P AB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（）A．B．C．3D．【答案】B【解答】解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，∵S△P AB +S△ABC＝S△PBC+S△P AC，∴S1+S0＝S2+S3，∵S1+S2+S3＝2S0，∴S1+S1+S0＝2，∴S1＝S0，∵△ABC是等边三角形，边长为6，∴S0＝×62＝9，∴S1＝，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．∵△P AB的面积是定值，∴点P的运动轨迹是直线PM，∵O是△ABC的中心，∴CT⊥AB，CT⊥PM，∴•AB•RT＝，CR＝3，OR＝，∴RT＝，∴OT＝OR+TR＝，∵OP≥OT，∴OP的最小值为，当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为，如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为，∵＜，故选：B．12．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝+，则CH的长为（）A．B．C．2D．【答案】C【解答】解：设CF交AB于点P，过C作CN⊥AB于点N，如图：设正方形JKLM边长为m，∴正方形JKLM面积为m2，∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，∴正方形ABGF的面积为5m2，∴AF＝AB＝m，由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF ＝GF，∴△AFL≌△FGM（AAS），∴AL＝FM，设AL＝FM＝x，则FL＝FM+ML＝x+m，在Rt△AFL中，AL2+FL2＝2，∴x2+（x+m）2＝（m）2，解得x＝m或x＝﹣2m（舍去），∴AL＝FM＝m，FL＝2m，∵tan∠AFL＝＝＝＝，∴＝，∴AP＝，∴FP＝＝＝m，BP＝AB﹣AP＝m﹣＝，∴AP＝BP，即P为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CP＝AP＝BP＝，∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠F AP，∴△CPN∽△FP A，∴＝＝，即＝＝，∴CN＝m，PN＝m，∴AN＝AP+PN＝m，∴tan∠BAC＝＝＝＝，∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴△AEC∽△BCH，∴＝，∵CE＝+，∴＝，∴CH＝2，故选：C．13．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4B．6C．2D．3【答案】C【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，根据题意得到点P的轨迹为圆弧，当MP为直径时最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．14．（2022•苏州）如图，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m，3），则m的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：过C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，如图：∵CD⊥x轴，CE⊥y＝90°，∴四边形EODC是矩形，∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∵A（0，2），C（m，3），∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，∴AE＝OE﹣OA＝CD﹣OA＝1，∴AC＝＝＝BC＝AB，在Rt△BCD中，BD＝＝＝，在Rt△AOB中，OB＝＝＝，∵OB+BD＝OD＝m，∴+＝m，化简变形得：3m4﹣22m2﹣25＝0，解得m＝或m＝﹣（舍去），∴m＝，故选：C．三．等腰直角三角形（共1小题）15．（2022•成都）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为．【答案】7【解答】解：设MN交BC于D，连接EC，如图：由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，∴BE＝CE＝4，∴∠ECB＝∠B＝45°，∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，在Rt△ACE中，AE＝＝＝3，∴AB＝AE+BE＝3+4＝7，故答案为：7．四．等边三角形的性质（共2小题）16．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD，∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，∴△BOD是等边三角形，∴OD＝OB＝1，∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4，∴OD2+OC2＝CD2，∴∠DOC＝90°，∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC +S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝，故选：C．17．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC 上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为．【答案】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS）∴∠BAD＝∠CBE，∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，∴∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，∴∠C＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠BFE＝120°，即∠APB＝∠BFE，∴△APB∽△BFE，∴＝＝2，设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH＝，BH＝，∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，即（x）2+（x）2＝62，解得x＝或﹣（舍去），∴AP＝，BP＝，∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6++＝6+＝，故答案为：．五．含30度角的直角三角形（共1小题）18．（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D ＝180°，点E，F分别在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少m （结果取整数，参考数据：≈1.7）．【答案】370【解答】解：解法一：如图，延长DC，AB交于点G，过点N作NH⊥AD于H，∵∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，∴∠G＝90°，∴AD＝2DG，Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，∴BG＝BC＝50，CG＝50，∴DG＝CD+CG＝100+50，∴AD＝2DG＝200+100，AG＝DG＝150+100，∵DM＝100，∴AM＝AD﹣DM＝200+100﹣100＝100+100，∵BG＝50，BN＝50（﹣1），∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100﹣50﹣50（﹣1）＝150+50，Rt△ANH中，∵∠A＝30°，∴NH＝AN＝75+25，AH＝NH＝75+75，由勾股定理得：MN＝＝＝50（+1），∴AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．解法二：如图，延长DC，AB交于点G，连接CN，CM，则∠G＝90°，∵CD＝DM，∠D＝60°，∴△DCM是等边三角形，∴∠DCM＝60°，由解法一可知：CG＝50，GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50，∴△CGN是等腰直角三角形，∴∠GCN＝45°，∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°，∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD，由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50，∵AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．故答案为：370．六．等腰直角三角形（共2小题）19．（2022•长沙）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．若AB＝2，则AM的长为（）A．4B．2C．D．【答案】B【解答】解：由作图可知，PQ是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∵以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，∴DA＝DM＝DB，∴∠DAM＝∠DMA，∠DBM＝∠DMB，∵∠DAM+∠DMA+∠DBM+∠DMB＝180°，∴2∠DMA+2∠DMB＝180°，∴∠DMA+∠DMB＝90°，即∠AMB＝90°，∴△AMB是等腰直角三角形，∴AM＝AB＝×2＝2，故选：B．20．（2022•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D 为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P 的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为．【答案】或【解答】解：如图：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∵点D为AB的中点，∴CD＝AD＝AB＝2，∠ADC＝90°，∵∠ADQ＝90°，∴点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：CQ＝CP＝CQ′＝1，分两种情况：当点Q在CD上，在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，∴AQ＝＝＝，当点Q在DC的延长线上，在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3，∴AQ′＝＝＝，综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或，故答案为：或．30。

中考数学《三角形》专题训练(附答案解析)

中考数学《三角形》专题训练(附答案解析)一单选题1．下列多边形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用三角形具有稳定性直接得出答案．【详解】解：三角形具有稳定性四边形五边形六边形都具有不稳定性故选D．【点睛】本题考查三角形的特性牢记三角形具有稳定性是解题的关键．2．请你量一量如图ABC中BC边上的高的长度下列最接近的是()A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm【答案】D【解析】作出三角形的高然后利用刻度尺量取即可．【详解】解：如图所示过点A作AO⊥BC用刻度尺直接量得AO更接近2cm故选：D．【点睛】题目主要考查利用刻度尺量取三角形高的长度作出三角形的高是解题关键．3．若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm 则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【解析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5 而没有明确腰底分别是多少所以要进行讨论还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当3是腰时⊥3＋3＞5⊥3 3 5能组成三角形此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm）当5是腰时⊥3＋5＞55 5 3能够组成三角形此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm）则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况分类进行讨论还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答这点非常重要也是解题的关键．4．下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）A．1cm2cm3cm B．3cm4cm5cmC．4cm5cm10cm D．6cm9cm2cm【答案】B【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边” 进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系知A1+2＝3 不能组成三角形故选项错误不符合题意B3+4＞5 能够组成三角形故选项正确符合题意C5+4＜10 不能组成三角形故选项错误不符合题意D2+6＜9 不能组成三角形故选项错误不符合题意故选：B．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．5．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3 4 8B．5 6 11C．5 6 10D．5 5 10【答案】C【解析】根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得．【详解】+=<不能组成三角形此项不符题意解：A3478B5611+=不能组成三角形此项不符题意+=>能组成三角形此项符合题意C561110D5510+=不能组成三角形此项不符题意故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．6．如图在Rt△AB C中⊥C=90° ⊥B=56° 则⊥A的度数为（）A．34︒B．44︒C．124︒D．134︒【答案】A【解析】根据直角三角形的两个锐角互余即可得出⊥A的度数．【详解】解：⊥Rt△AB C中⊥C=90° ⊥B=56°⊥⊥A=90°-⊥B=90°-56°=34°故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余熟练掌握直角三角形的性质并能进行推理计算是解决问题的关键．7．若长度分别是a 3 5的三条线段能组成一个三角形则a的值可以是（）A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边求出a 的取值范围即可得解．【详解】根据三角形的三边关系得5353a -<<+ 即28a << 则选项中4符合题意故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键．8．（2021·山东泰安）如图直线//m n 三角尺的直角顶点在直线m 上且三角尺的直角被直线m 平分若160∠=︒ 则下列结论错误的是（）A ．275∠=︒B ．345∠=︒C ．4105∠=︒D ．5130∠=︒【答案】D 【解析】根据角平分线的定义求出⊥6和⊥7的度数再利用平行线的性质以及三角形内角和求出⊥3 ⊥8 ⊥2的度数最后利用邻补角互补求出⊥4和⊥5的度数．【详解】首先根据三角尺的直角被直线m 平分⊥⊥6=⊥7=45°A ⊥⊥1=60° ⊥6=45° ⊥⊥8=180°-⊥1-⊥6=180-60°-45°=75° m∥n ⊥⊥2=⊥8=75°结论正确选项不合题意B ⊥⊥7=45° m ⊥n ⊥⊥3=⊥7=45° 结论正确选项不合题意C ⊥⊥8=75° ⊥⊥4=180-⊥8=180-75°=105° 结论正确选项不合题意D ⊥⊥7=45° ⊥⊥5=180-⊥7=180-45°=135° 结论错误选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的定义平行线的性质三角形内角和邻补角互补解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行同位角相等内错角相等同旁内角互补．9．（2020·山东淄博）如图若⊥ABC⊥⊥ADE则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．⊥BAD＝⊥CAE C．AB＝AE D．⊥ABC＝⊥AED【答案】B【解析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：⊥⊥ABC⊥⊥ADE⊥AC＝AE AB＝AD⊥ABC＝⊥ADE⊥BAC＝⊥DAE⊥⊥BAC﹣⊥DAC＝⊥DAE﹣⊥DAC即⊥BAD＝⊥CAE．故A C D选项错误B选项正确故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．10．（2020·广东深圳）如图已知AB=AC BC=6 尺规作图痕迹可求出BD=（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】根据尺规作图的方法步骤判断即可．【详解】由作图痕迹可知AD为⊥BAC的角平分线而AB=AC由等腰三角形的三线合一知D为BC重点BD =3故选B【点睛】本题考查尺规作图-角平分线及三线合一的性质,关键在于牢记尺规作图的方法和三线合一的性质.11．（2020·福建）如图面积为1的等边三角形ABC 中 ,,D E F 分别是AB BC CA 的中点则DEF ∆的面积是（）A ．1B ．12C ．13D ．14【答案】D 【解析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是14．【详解】⊥,,D E F 分别是AB BC CA 的中点,且⊥ABC 是等边三角形⊥⊥ADF ⊥⊥DBE ⊥⊥FEC ⊥⊥DFE ⊥⊥DEF 的面积是14．故选D ．【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．12．（2020·四川巴中）如图在ABC 中 120BAC ∠=︒ AD 平分BAC ∠ //DE AB 3AD = 5CE = 则AC 的长为（）A ．9B ．8C ．6D ．7【答案】B 【解析】根据角平分线的性质可得到1602BAD CAD BAC ∠=∠=∠=︒ 然后由DE AB ∥可知60BAD ADE ∠=∠=︒ 从而得到60ADE EAD ∠=∠=︒ 所以ADE 是等边三角形由AC AE CE =+ 即可得出答案．【详解】解：⊥120BAC ∠=︒ AD 平分BAC ∠ ⊥1602BAD CAD BAC ∠=∠=∠=︒ ⊥//DE AB⊥60BAD ADE ∠=∠=︒⊥60ADE EAD ∠=∠=︒⊥ADE 是等边三角形⊥3AE AD ==⊥5CE =⊥358AC AE CE =+=+=故选：B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质平行线的性质等边三角形的判定和性质熟练掌握相应的判定定理和性质是解题的关键属于基础综合题．13．（2020·广西贺州）如图将两个完全相同的Rt ⊥ACB 和Rt ⊥A'C ′B ′拼在一起其中点A ′与点B 重合点C '在边AB 上连接B ′C 若⊥ABC ＝⊥A ′B ′C ′＝30° AC ＝A ′C ′＝2 则B ′C 的长为（）A ．7B ．7C ．3D ．3【答案】A 【解析】先根据直角三角形的性质可得4,4,60AB A B B A C '''=''=∠=︒ 再根据勾股定理和角的和差可得3,90BC B BC '=∠=︒ 最后在Rt B BC '中利用勾股定理即可得．【详解】解：⊥90,30,2ACB A C B ABC A B C AC A C ''''∠=∠''=︒∠=∠=︒=''=⊥4,4,60AB A B B A C '''=''=∠=︒ ⊥2223BC AB AC -= 90B BC ABC B A C ''''∠=∠+∠=︒则在Rt B BC '中 2222(23)427B C BC B B ''=+=+故选：A ．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质勾股定理等知识点熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．14．（2020·四川广安）如图在五边形ABCDE中若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN则⊥l+⊥2的度数为（）A．210°B．110°C．150°D．100°【答案】A【解析】根据三角形的内角和定理可得⊥AMN＋⊥ANM=150° 根据平角的定义可得⊥1＋⊥AMN=180°⊥2＋⊥ANM=180° 从而求出结论．【详解】解：⊥⊥A=30°⊥⊥AMN＋⊥ANM=180°－⊥A=150°⊥⊥1＋⊥AMN=180° ⊥2＋⊥ANM=180°⊥⊥1＋⊥2=180°＋180°－（⊥AMN＋⊥ANM）=210°故选A．【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用掌握三角形的内角和定理是解题关键．15．（2020·山东济南）如图在ABC中AB＝AC分别以点A B为圆心以适当的长为半径作弧两弧分别交于E F作直线EF D为BC的中点M为直线EF上任意一点．若BC＝4 ABC面积为10 则BM+MD长度的最小值为（）A．52B．3C．4D．5【答案】D【解析】由基本作图得到得EF垂直平分AB则MB＝MA所以BM+MD＝MA+MD连接MA DA如图利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC 然后利用三角形面积公式计算出AD即可．【详解】解：由作法得EF垂直平分AB⊥MB＝MA⊥BM+MD＝MA+MD连接MA DA如图⊥MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号）⊥MA+MD的最小值为AD⊥AB＝AC D点为BC的中点⊥AD⊥BC⊥110,2ABCS BC AD==⊥1025,4AD⨯==⊥BM+MD长度的最小值为5．故选：D．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质利用轴对称求线段和的最小值三角形的面积两点之间线段最短掌握以上知识是解题的关键．16．（2020·山东烟台）如图点G为ABC的重心连接CG AG并延长分别交AB BC于点E F 连接EF若AB＝4.4 AC＝3.4 BC＝3.6 则EF的长度为（）A．1.7B．1.8C．2.2D．2.4【答案】A【解析】由已知条件得EF是三角形的中位线进而根据三角形中位线定理求得EF的长度．【详解】解：⊥点G为△ABC的重心⊥AE＝BE BF＝CF⊥EF＝12AC＝1.7故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的重心三角形的中位线定理关键正确利用重心定义得EF为三角形的中位线．17．（2020·山东淄博）如图在⊥AB C中AD BE分别是BC AC边上的中线且AD⊥BE垂足为点F设BC＝a AC＝b AB＝c则下列关系式中成立的是（）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2【答案】A【解析】【详解】设EF＝x DF＝y根据三角形重心的性质得AF＝2y BF＝2EF＝2x利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2 4x2+y2＝b2x2+4y2＝a2然后利用加减消元法消去x y得到a b c的关系．【解答】解：设EF＝x DF＝y⊥AD BE分别是BC AC边上的中线⊥点F为⊥ABC的重心AF＝AC＝b BD＝a⊥AF＝2DF＝2y BF＝2EF＝2x⊥AD⊥BE⊥⊥AFB＝⊥AFE＝⊥BFD＝90°在Rt⊥AF B中4x2+4y2＝c2⊥在Rt⊥AEF中4x2+y2＝b2⊥在Rt ⊥BF D 中 x 2+4y 2＝a 2 ⊥⊥+⊥得5x 2+5y 2＝（a 2+b 2） ⊥4x 2+4y 2＝（a 2+b 2） ⊥⊥﹣⊥得c 2﹣（a 2+b 2）＝0 即a 2+b 2＝5c 2．故选：A ．【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．18．（2020·湖南益阳）如图在ABC ∆中 AC 的垂直平分线交AB 于点D DC 平分ACB ∠ 若50A ∠= 则B 的度数为（）A ．25B ．30C ．35D ．40【答案】B 【解析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得⊥ACB 的度数再根据三角形内角和求出⊥B 的度数．【详解】解：⊥DE 是AC 的垂直平分线⊥AD =CD ⊥ACD =⊥A =50°⊥DC 平分ACB ∠⊥⊥ACB =2⊥ACD =100°⊥⊥B =180°-100°-50°=30°故选：B ．【点睛】本题考查垂直平分线的性质角平分线的定义和三角形内角和定理熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键．19．（2021·广西河池）如图 40A ∠︒＝ CBD ∠是ABC 的外角 120CBD ∠︒＝则C ∠的大小是（）A ．90︒B ．80︒C ．60︒D ．40︒【答案】B 【解析】根据三角形的外角性质直接求解即可．【详解】CBD ∠是ABC 的外角 40A ∠︒＝ 120CBD ∠︒＝∴CBD A C ∠=∠+∠．1204080C CBD A ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选B ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质掌握三角形外角性质是解题的关键．20．（2021·黑龙江哈尔滨）如图 ABC DEC ≌△△ 点A 和点D 是对应顶点点B 和点E 是对应顶点过点A 作AF CD ⊥ 垂足为点F 若65BCE ∠=︒ 则CAF ∠的度数为（）A ．30B ．25︒C ．35︒D ．65︒【答案】B 【解析】由题意易得65ACF BCE ∠=∠=︒ 90AFC ∠=︒ 然后问题可求解．【详解】解：⊥ABC DEC ≌△△⊥ACB DCE ∠=∠⊥ACB ACE DCE ACE ∠-∠=∠-∠ 即ACF BCE ∠=∠⊥65BCE ∠=︒⊥65ACF BCE ∠=∠=︒⊥AF CD ⊥⊥90AFC ∠=︒⊥9025CAF ACF ∠=︒-∠=︒故选B ．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键．21．（2021·广西贵港）如图在AB C 中 ⊥ABC ＝90° AB ＝8 BC ＝12 D 为AC 边上的一个动点连接BD E 为BD 上的一个动点连接AE CE 当⊥ABD ＝⊥BCE 时线段AE 的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】如图取BC 的中点T 连接AT ET ．首先证明90CEB ∠=︒ 求出AT ET 根据AE AT ET ≥- 可得结论．【详解】解：如图取BC 的中点T 连接AT ET ．90ABC ∠=︒90ABD CBD ∴∠+∠=︒ABD BCE ∠=∠90CBD BCE ∴∠+∠=︒90CEB ∴∠=︒6CT TB ==162ET BC ∴== 22228610AT AB BT =++ AE AT ET ≥-4AE ∴≥AE ∴的最小值为4故选：B ．【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质勾股定理等知识解题的关键是求出AT ET 的长属于中考常考题型．22．（2021·辽宁本溪）如图在ABC 中 AB BC = 由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD 与AC 交于点E 点F 为BC 的中点连接EF 若2BE AC == 则CEF △的周长为（）A 31B 53C 51D ．4【答案】C 【解析】根据作图可知BD 平分ABC ∠ AB BC = 由三线合一解Rt BEC △ 即可求得．【详解】BD 平分ABC ∠,AB BC =,2BE AC ==BE AC ∴⊥,112AE EC AC === ∴2222215BC BE EC ++点F 为BC 的中点 ∴152EF BC FC === ∴CEF △的周长为:55151CE EF FC ++=+=+ 故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的概念等腰三角形性质勾股定理直角三角形性质求出BC 边是解题的关键．23．（2022·青海）如图在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ D 是AB 的中点延长CB 至点E 使BE BC = 连接DE F 为DE 中点连接BF .若16AC = 12BC = 则BF 的长为（）A ．5B ．4C ．6D ．8【答案】A 【解析】利用勾股定理求得20AB = 然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD 的长度结合题意知线段BF 是CDE △的中位线则12BF CD =．【详解】解：在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 16AC = 12BC =2222161220AB AC BC ∴+=+=．又CD 为中线1102CD AB ∴==． F 为DE 中点 BE BC =即点B 是EC 的中点BF ∴是CDE △的中位线则152BF CD ==．故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理三角形中位线定理直角三角形斜边上的中线利用直角三角形的中线性质求出线段CD 的长度是解题的关键．24．（2022·辽宁大连）如图在ABC 中 90ACB ∠=︒ 分别以点A 和点C 为圆心大于12AC 的长为半径作弧两弧相交于M N 两点作直线MN 直线MN 与AB 相交于点D 连接CD 若3AB = 则CD 的长是（）A ．6B ．3C ．1.5D ．1【答案】C 【解析】由作图可得：MN 是AC 的垂直平分线记MN 与AC 的交点为G 证明,MN BC ∥ 再证明,AD BD = 可得AD BD CD == 从而可得答案．【详解】解：由作图可得：MN 是AC 的垂直平分线记MN 与AC 的交点为G⊥,,,AG CG MNAC AD CD⊥90ACB ∠=︒,MN BC ∥ ⊥,AGAD CG BD⊥,AD BD =3,AB = 13 1.5.22CD AB 故选C【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质平行线分线段成比例证明AD BD CD ==是解本题的关键． 25．（2022·湖南）如图点O 是等边三角形ABC 内一点 2OA = 1OB = 3OC = 则AOB ∆与BOC ∆的面积之和为（）A 3B 3C 33D 3【答案】C【解析】将AOB ∆绕点B 顺时针旋转60︒得BCD ∆ 连接OD 得到BOD 是等边三角形再利用勾股定理的逆定理可得90COD ∠=︒ 从而求解．【详解】解：将AOB ∆绕点B 顺时针旋转60︒得BCD ∆ 连接ODOB OD ∴= 60BOD ∠=︒ 2CD OA ==BOD ∴∆是等边三角形1OD OB ∴== ∵2222134OD OC +=+= 2224CD ==222OD OC CD ∴+=90DOC ∴∠=︒ AOB ∴∆与BOC ∆的面积之和为2313311342BOC BCD BOD COD S S S S +=+=+⨯= 故选：C ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质勾股定理的逆定理旋转的性质等知识利用旋转将AOB ∆与BOC ∆的面积之和转化为BOC BCD SS + 是解题的关键． 26．（2022·黑龙江）如图 ABC 中 AB AC = AD 平分BAC ∠与BC 相交于点D 点E 是AB 的中点点F 是DC 的中点连接EF 交AD 于点P ．若ABC 的面积是24 1.5PD = 则PE 的长是（）A ．2.5B ．2C ．3.5D ．3【答案】A 【解析】连接DE 取AD 的中点G 连接EG 先由等腰三角形“三线合一“性质证得AD ⊥BC BD =CD 再由E 是AB 的中点 G 是AD 的中点求出S △EGD =3 然后证△EGP ⊥△FDP （AAS ）得GP =CP =1.5 从而得DG =3 即可由三角形面积公式求出EG 长由勾股定理即可求出PE 长．【详解】解：如图连接DE 取AD 的中点G 连接EG⊥AB =AC AD 平分BAC ∠与BC 相交于点D⊥AD⊥BC BD=CD⊥S△ABD=112422ABCS=⨯=12⊥E是AB的中点⊥S△AED=1112 22ABDS=⨯=6⊥G是AD的中点⊥S△EGD=116 22AEDS=⨯=3⊥E是AB的中点G是AD的中点⊥EG∥BC EG=12BD=12CD⊥⊥EGP=⊥FDP=90°⊥F是CD的中点⊥DF=12CD⊥EG=DF⊥⊥EPG=⊥FPD⊥⊥EGP⊥⊥FDP（AAS）⊥GP=PD=1.5⊥GD=3⊥S△EGD=12GD EG⋅=3 即1332EG⨯=⊥EG=2在Rt⊥EGP中由勾股定理得PE22222 1.5EG GP+=+故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形的性质三角形面积全等三角形判定与性质勾股定理熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．27．（2022·四川乐山）如图在Rt ABC 中 90C ∠=︒ 5BC = 点D 是AC 上一点连接B D ．若1tan 2A ∠= 1tan 3ABD ∠= 则CD 的长为（）A ．5B ．3C 5D ．2【答案】C 【解析】先根据锐角三角函数值求出25AC = 再由勾股定理求出5,AB =过点D 作DE AB ⊥于点E 依据三角函数值可得11,,23DE AE DE BE ==从而得32BE AE = 再由5AE BE +=得AE =2 DE =1 由勾股定理得AD 5 从而可求出C D ．【详解】解：在Rt ABC 中 90C ∠=︒ 5BC = ⊥1tan 2BC A AC ∠== ⊥225,AC BC ==由勾股定理得,2222(25)(5)5AB AC BC =++=过点D 作DE AB ⊥于点E 如图⊥1tan 2A ∠=1tan 3ABD ∠= ⊥11,,23DE DE AE BE == ⊥11,,23DE AE DE BE == ⊥1123AE BE = ⊥32BE AE =⊥5,AE BE += ⊥352AE AE += ⊥2,AE =⊥1DE =在Rt ADE ∆中,222AD AE DE =+ ⊥2222215AD AE DE ++⊥25,AD CD AC +== ⊥2555,CD AC AD =-==故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理由锐角正切值求边长正确作辅助线求出DE 的长是解答本题的关键． 28．（2022·内蒙古包头）如图在Rt ABC 中 90,30,2ACB A BC ∠=︒∠=︒= 将ABC 绕点C 顺时针旋转得到A B C '' 其中点A '与点A 是对应点点B '与点B 是对应点．若点B '恰好落在AB 边上则点A 到直线A C '的距离等于（）A ．33B ．23C ．3D ．2【答案】C 【解析】如图过A 作AQ A C 于,Q 求解4,23,AB AC 结合旋转：证明60,,90,B A B C BC B C A CB 可得BB C '△为等边三角形求解60,A CA 再应用锐角三角函数可得答案．【详解】解：如图过A 作AQ A C 于,Q由90,30,2ACB A BC ∠=︒∠=︒= 224,23,AB ACAB BC结合旋转： 60,,90,B A B C BC B C A CBBB C 为等边三角形60,30,BCB ACB60,A CA 3sin 6023 3.2AQ AC⊥A 到A C '的距离为3．故选C【点睛】本题考查的是旋转的性质含30的直角三角形的性质勾股定理的应用等边三角形的判定与性质锐角三角函数的应用作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．29．（2021·内蒙古鄂尔多斯）如图在Rt ABC 中 90,8,6ACB AC BC ∠=︒== 将边BC 沿CN 折叠使点B 落在AB 上的点B ′处再将边AC 沿CM 折叠使点A 落在CB '的延长线上的点A '处两条折痕与斜边AB 分别交于点N M 则线段A M '的长为（）A ．95B ．85C ．75D ．65【答案】B【解析】利用勾股定理求出AB =10 利用等积法求出CN ＝245 从而得AN ＝325 再证明⊥NMC ＝⊥NCM ＝45° 进而即可得到答案．【详解】解：⊥90,8,6ACB AC BC ∠=︒==⊥AB 22226810AC BC ++⊥S △ABC ＝12×AB ×CN ＝12×AC ×BC⊥CN ＝245⊥AN 22222432855AC CN ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⊥折叠⊥AM ＝A'M ⊥BCN ＝⊥B'CN ⊥ACM ＝⊥A'CM⊥⊥BCN +⊥B'CN +⊥ACM +⊥A'CM =90°⊥⊥B'CN +⊥A'CM ＝45°⊥⊥MCN ＝45° 且CN ⊥AB⊥⊥NMC ＝⊥NCM ＝45°⊥MN ＝CN ＝245⊥A'M ＝AM ＝AN −MN ＝325-245=85．故选B ．【点睛】本题考查了翻折变换勾股定理等腰直角三角形的性质熟练运用折叠的性质是本题的关键．二填空题30．（2022·云南）已知△ABC是等腰三角形．若⊥A=40° 则△ABC的顶角度数是____．【答案】40°或100°【解析】分⊥A为三角形顶角或底角两种情况讨论即可求解．【详解】解：当⊥A为三角形顶角时则△ABC的顶角度数是40°当⊥A为三角形底角时则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°故答案为：40°或100°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质此类题目难点在于要分情况讨论．31．（2022·青海西宁）如图在△AB C中⊥C=90° ⊥B=30° AB=6 将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′ B′C′交AB于点E则B′E=________．【答案】333【解析】根据已知可以得出⊥BAC=60° 而将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15° 可知⊥C′AE=45° 可以求出AC=AC′=EC′=3 据此即可求解．【详解】解：在Rt△AB C中⊥ACB=90° ⊥B=30° AB=6则⊥BAC=60° AC=3 BC22-363将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后则⊥C′AC=15° AC= AC′=3 B′C′=BC3⊥⊥C′AE=45°而⊥AC′E=90° 故△AC′E是等腰直角三角形⊥AC=AC′=EC′=3⊥B′E= B′C′-EC33．故答案为：33．【点睛】本题考查旋转变换直角三角形30度角的性质等腰直角三角形的判定和性质勾股定理等知识解题的关键是熟练掌握基本知识．32．（2021·吉林长春）将一副三角板按如图所示的方式摆放点D在边AC上//BC EF则ADE∠的大小为_______度．【答案】75︒∠利用平角为180︒即可求解．【解析】根据两直线平行得同位角相等根据三角形外角性质求得CDG【详解】、交于点G设DF BCBC EF//∴∠=∠F DGB=∠+∠=︒C CDG45∠=︒C30CDG∴∠=︒15∴∠=︒-︒-︒=︒180901575ADE故答案为75︒．【点睛】本题考查了平行线的性质三角形的外角性质平角的概念解题的关键是构建未知量和已知量之间的关系．△的周长为13 则33．（2020·湖北）如图在ABC中DE是AC的垂直平分线．若3AE=ABDABC的周长为______．【答案】19.【解析】由线段的垂直平分线的性质可得2,AC AE AD DC == 从而可得答案．【详解】解： DE 是AC 的垂直平分线．3AE =26,,AC AE AD DC ∴===13,AB BD AD ++=ABC ∴的周长AB BC AC AB BD AD AC =++=+++13619.=+=故答案为：19.【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．34．（2020·山东日照）如图有一个含有30°角的直角三角板一顶点放在直尺的一条边上若⊥2＝65°则⊥1的度数是_____．【答案】25°##25度【解析】延长EF 交BC 于点G 根据题意及直角三角形的性质可直接进行求解．【详解】解：如图延长EF 交BC 于点G⊥直尺⊥AD ⊥BC⊥⊥2＝⊥3＝65°又⊥30°角的直角三角板⊥⊥1＝90°﹣65°＝25°．故答案为：25°．【点睛】本题主要考查平行线的性质及直角三角形的性质熟练掌握知识点是解题的关键．35．（2020·江苏常州）如图在ABC中BC的垂直平分线分别交BC AB于点E F．若AFC△是等边三角形则B∠=_________°．【答案】30【解析】根据垂直平分线的性质得到⊥B=⊥BCF再利用等边三角形的性质得到⊥AFC=60° 从而可得⊥B.【详解】解：⊥EF垂直平分BC⊥BF=CF⊥⊥B=⊥BCF⊥⊥ACF为等边三角形⊥⊥AFC=60°⊥⊥B=⊥BCF=30°.故答案为：30.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质等边三角形的性质外角的性质解题的关键是利用垂直平分线的性质得到⊥B=⊥BCF.36．（2020·辽宁辽宁）如图在ABC∆中M N分别是AB和AC的中点连接MN点E是CN的BC=则CD的长为_________．中点连接ME并延长交BC的延长线于点D若4【答案】2【解析】依据三角形中位线定理即可得到MN =12BC =2 MN //BC 依据⊥MNE ⊥⊥DCE （AAS ）即可得到CD =MN =2．【详解】解：⊥M N 分别是AB 和AC 的中点⊥MN 是⊥ABC 的中位线⊥MN =12BC =2 MN ⊥BC⊥⊥NME =⊥D ⊥MNE =⊥DCE⊥点E 是CN 的中点⊥NE =CE⊥⊥MNE ⊥⊥DCE （AAS ）⊥CD =MN =2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时关键是选择恰当的判定条件．37．（2021·新疆）如图在ABC 中 AB AC = 70C ∠=︒ 分别以点A B 为圆心大于12AB 的长为半径作弧两弧相交于M N 两点作直线MN 交AC 于点D 连接BD 则BDC ∠=__________︒．【答案】80︒【解析】由等腰三角形 “等边对等角”求出ABC ∠ 再由垂直平分线的性质得到AD DB = 最后由三角形外角求解即可．【详解】解：AB AC =,70C ∠=︒70ABC ∴∠=︒,40A ∠=︒ MN 垂直平分ABAD DB ∴=40ABD A ∴∠=∠=︒404080BDC A ABD ∠=∠+∠=︒+︒=︒ ．故答案为：80︒．【点睛】本题考查了等腰三角形性质垂直平分线性质三角形外角概念能正确理解题意找到所求的角与已知条件之间的关系是解题的关键．38．（2021·山东聊城）如图在⊥AB C 中 AD ⊥BC CE ⊥AB 垂足分别为点D 和点E AD 与CE 交于点O 连接BO 并延长交AC 于点F 若AB ＝5 BC ＝4 AC ＝6 则CE ：AD ：BF 值为____________．【答案】12:15:10【解析】由题意得：BF ⊥AC 再根据三角形的面积公式可得5432ABC SAD CE BF === 进而即可得到答案．【详解】解：⊥在⊥AB C 中 AD ⊥BC CE ⊥AB 垂足分别为点D 和点E AD 与CE 交于点O⊥BF ⊥AC⊥AB ＝5 BC ＝4 AC ＝6 ⊥111222ABC SBC AD AB CE AC BF =⋅=⋅=⋅ ⊥5432ABC S AD CE BF === ⊥CE ：AD ：BF =12:15:10故答案是：12:15:10．【点睛】本题主要考查三角形的高掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键．56．（2022·北京）如图在ABC ∆中 AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【解析】作DF AC ⊥于点F 由角平分线的性质推出1DF DE == 再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图作DF AC ⊥于点F⊥AD 平分BAC ∠ DE AB ⊥ DF AC ⊥⊥1DF DE == ⊥1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质通过作辅助线求出三角形AC D 中AC 边的高是解题的关键． 39．（2022·山东青岛）如图已知,,16,,ABC AB AC BC AD BC ABC ==⊥∠△的平分线交AD 于点E 且4DE =．将C ∠沿GM 折叠使点C 与点E 恰好重合．下列结论正确的有：__________（填写序号） ⊥8BD =⊥点E 到AC 的距离为3 ⊥103=EM⊥EM AC ∥【答案】①④##⊥⊥【解析】根据等腰三角形的性质即可判断⊥ 根据角平分线的性质即可判断⊥ 设DM x = 则8EM x =- Rt EDM △中 222EM DM DE =+ 4DE =．继而求得EM 设AE a = 则4,8AD AE ED a BD =+=+= 根据AE AB ED BD = 进而求得a 的值根据20443tan 83AD C DC +===4tan 3EDEMD DM ∠== 可得C EMD ∠=∠ 即可判断⊥【详解】解：⊥,,16,,ABC AB AC BC AD BC ==⊥△ ⊥182BD DC BC === 故⊥正确如图过点E 作EF AB ⊥于F EH AC ⊥于H,AD BC AB AC ⊥=AE ∴平分BAC ∠EH EF ∴=BE 是ABD ∠的角平分线,ED BC EF AB ⊥⊥EF ED ∴=4EH ED ∴== 故⊥不正确 .将C ∠沿GM 折叠使点C 与点E 恰好重合 ,8EM MC DM MC DM EM CD ∴=+=+== 设DM x = 则8EM x =-Rt EDM △中 222EM DM DE =+ 4DE =． ()22284x x -=+解得3x =5EM MC ∴==故⊥不正确设AE a = 则4,8AD AE ED a BD =+=+= ()22248AB a =++11221122ABE BDE AB EF AE BD SS BD ED ED BD ⨯⨯==⨯⨯ AE AB ED BD∴= 48a AB = 2AB a =∴()2248a ++()22a = 解得203a =或4a =-（舍去） 20443tan 83AD C DC +∴=== 4tan 3ED EMD DM ∠== C EMD ∴∠=∠EM AC ∴∥ 故⊥正确故答案为：①⊥【点睛】本题考查了解直角三角形三线合一角平分线的性质掌握以上知识是解题的关键．40．（2022·河南）如图在Rt ⊥AB C 中 ⊥ACB ＝90° 22AC BC == 点D 为AB 的中点点P 在AC 上且CP ＝1 将CP 绕点C 在平面内旋转点P 的对应点为点Q 连接AQ DQ ．当⊥ADQ ＝90°时 AQ 的长为______．513135【解析】连接CD 根据题意可得当⊥ADQ ＝90°时分Q 点在线段CD 上和DC 的延长线上且1CQ CP == 勾股定理求得AQ 即可．【详解】如图连接CD在Rt ⊥AB C 中 ⊥ACB ＝90° 22AC BC ==4AB ∴= CD AD ⊥122CD AB ∴== 根据题意可得当⊥ADQ ＝90°时 Q 点在CD 上且1CQ CP ==211DQ CD CQ ∴=-=-=如图在Rt ADQ △中 2222215AQ AD DQ ++在Rt ADQ △中 2,3AD CD QD CD CQ ===+=22222313AQ AD DQ ∴=+=+513【点睛】本题考查了旋转的性质勾股定理直角三角形斜边上中线的性质确定点Q 的位置是解题的关键． 41．（2022·青海西宁）矩形ABC D 中 8AB = 7AD = 点E 在AB 边上 5AE =．若点P 是矩形ABCD边上一点且与点A E 构成以AE 为腰的等腰三角形则等腰三角形AEP 的底边长是________．【答案】245【解析】分情况讨论：⊥当AP =AE =5 点P 在边AD 上时由勾股定理可求得底边PE 的长 ⊥当PE =AE =5 点P 在边BC 上时求出BE 由勾股定理求出PB 再由勾股定理求出底边AP 即可．【详解】解：⊥矩形ABCD⊥⊥A =⊥B =90°分两种情况：当AP =AE =5 点P 在边AD 上时如图所示：⊥⊥BAD =90°⊥PE 222255AP AE ++2当PE =AE =5 点P 在边BC 上时如图所示：⊥BE =AB -AE =8-5=3 ⊥B =90°⊥PB 222253PE BE --⊥底边AP 22228445AB PB ++=综上等腰三角形AEP 的底边长是5245【点睛】本题考查了矩形的性质勾股定理熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定进行分类讨论是解决问题的关键．42．（2022·辽宁锦州）如图在ABC 中 ,30AB AC ABC =∠=︒ 点D 为BC 的中点将ABC 绕点D 逆时针旋转得到A B C ''' 当点A 的对应点A '落在边AB 上时点C '在BA 的延长线上连接BB ' 若1AA '= 则BB D '△的面积是____________．33【解析】先证明A AD ' 是等边三角形再证明AO BC '⊥ 再利用直角三角形30角对应的边是斜边的一般分别求出A B ''和A O ' 再利用勾股定理求出OD 从而求得BB D '△的面积．【详解】解：如下图所示设A B ''与BD 交于点O 连接A D '和AD⊥点D 为BC 的中点 ,30AB AC ABC =∠=︒⊥AD BC ⊥,A D B C '''⊥ A D '是B A C '''∠的角平分线 AD 是BAC ∠⊥120B A C ︒'''∠= 120BAC ︒∠=⊥60BAD B A D ︒'∠'=∠=⊥A D AD '=⊥A AD ' 是等边三角形⊥1A A AD A D ''===⊥18060BA B B A C ︒︒'''''∠=-∠=⊥BA B A AD '''∠=∠⊥//A B AD ''⊥AO BC '⊥ ⊥1122A O A D ''==⊥1314OD =-=⊥22A B A D '''==⊥30A BD A DO ︒''∠=∠=⊥BO OD = ⊥13222OB '=-= 23BD OD ==⊥113333222BB DS BD B O ''=⨯⨯==．【点睛】本题考查等腰三角形等边三角形和直角三角形的性质证明A AD ' 是等边三角形是解本题的关键． 43．（2022·广西贵港）如图将ABC 绕点A 逆时针旋转角()0180αα︒<<︒得到ADE 点B 的对应点D 恰好落在BC 边上若,25DE AC CAD ⊥∠=︒ 则旋转角α的度数是______．【答案】50︒【解析】先求出65ADE ∠=︒ 由旋转的性质得到65∠=∠=︒B ADE AB AD = 则65ADB ∠=︒ 即可求出旋转角α的度数．【详解】解：根据题意⊥,25DE AC CAD ⊥∠=︒⊥902565ADE ∠=︒-︒=︒由旋转的性质则65∠=∠=︒B ADE AB AD =⊥65ADB B ∠=∠=︒⊥180665550BAD ︒-∠=︒=︒-︒⊥旋转角α的度数是50°故答案为：50°．【点睛】本题考查了旋转的性质三角形的内角和定理解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算．44．（2022·湖北十堰）【阅读材料】如图⊥ 四边形ABCD 中 AB AD = 180B D ∠+∠=︒ 点E F 分别在BC CD 上若2BAD EAF ∠∠= 则EF BE DF =+．【解决问题】如图⊥ 在某公园的同一水平面上四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB == 60D ∠=︒ 120ABC ∠=︒ 150BCD ∠=︒ 道路AD AB 上分别有景点M N 且100m DM = )5031m BN = 若在M N 之间修一条直路则路线M N →的长比路线M A N →→的长少_________m （结果取整数 3 1.7≈）．【答案】370【解析】延长,AB DC 交于点E 根据已知条件求得90E ∠=︒,进而根据含30度角的直角三角形的性质求得,EC EB ,AE AD 从而求得AN AM +的长根据材料可得MN DM BN =+ 即可求解．【详解】解：如图延长,AB DC 交于点E 连接,CM CN60D ∠=︒ 120ABC ∠=︒ 150BCD ∠=︒30A ∴∠=︒ 90E ∠=︒100DC DM ==DCM ∴是等边三角形60DCM ∴∠=︒90BCM ∴∠=︒。

2018年中考数学真题分类汇编(第二期)专题20三角形的边与角试题(含解析)

三角形的边与角(命题的有关知识)一.选择题（2018•江苏宿迁•3分）如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D 的度数是（）A. 24°B. 59°C. 60°D. 69°【答案】B【分析】根据三角形外角性质得∠DBC=∠A+∠C，再由平行线性质得∠D=∠DBC.【详解】∵∠A=35°，∠C=24°，∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°，又∵DE∥BC，∴∠D=∠DBC=59°，故选B.【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.2.（2018•江苏宿迁•3分）若实数m、n满足，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A. 12B. 10C. 8D. 6【答案】B【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得m、n的值，再分情况讨论：①若腰为2，底为4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；②若腰为4，底为2，再由三角形周长公式计算即可.【详解】由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，①若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去，②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，故选B.【点睛】本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键.3.（2018•江苏苏州•3分）如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD=BC，过AC中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF=2CD，连接DF．若AB=8，则DF的长为（）A．3 B．4 C．2 D．3【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得：EG=4，设CD=x，则EF=BC=2x，证明四边形EGDF是平行四边形，可得DF=EG=4．【解答】解：取BC的中点G，连接EG，∵E是AC的中点，∴EG是△ABC的中位线，∴EG=AB==4，设CD=x，则EF=BC=2x，∴BG=CG=x，∴EF=2x=DG，∵EF∥CD，∴四边形EGDF是平行四边形，∴DF=EG=4，故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，作辅助线构建三角形的中位线是本题的关键．4.（2018•山东聊城市•3分）如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF的度数是（）A．110°B．115°C．120°D．125°【分析】直接延长FE交DC于点N，利用平行线的性质得出∠BCD=∠DNF=95°，再利用三角形外角的性质得出答案．【解答】解：延长FE交DC于点N，∵直线AB∥EF，∴∠BCD=∠DNF=95°，∵∠CDE=25°，∴∠DEF=95°+25°=120°．故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题关键．6.（2018•山东聊城市•3分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ=2α+βB．γ=α+2βC．γ=α+β D．γ=180°﹣α﹣β【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【解答】解：由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故选：A．【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．7. （2018•杭州•3分）如图，已知点P矩形ABCD内一点（不含边界），设，，，，若，，则（）A. B.C. D.【答案】A【考点】三角形内角和定理，矩形的性质【解析】【解答】解：∵矩形ABCD∴∠PAB+∠PAD=90°即∠PAB=90°-∠PAB∵∠PAB=80°∴∠PAB+∠PBA=180°-80°=100°∴90°-∠PAB+∠PBA=100°即∠PBA-∠PAB=10°①同理可得：∠PDC-∠PCB=180°-50°-90°=40°②由②-①得：∠PDC-∠PCB-（∠PBA-∠PAB）=30°∴故答案为：A【分析】根据矩形的性质，可得出∠PAB=90°-∠PAB，再根据三角形内角和定理可得出∠PAB+∠PBA=100°，从而可得出∠PBA-∠PAB=10°①；同理可证得∠PDC-∠PCB=40°②，再将②-①，可得出答案。

中考数学靶向专题练《直角三角形》综合过关检测题-答案版

中考数学靶向专题练《直角三角形》综合过关检测题一.选择题.1. 如果梯子的底端离建筑物3 m远,那么5 m长的梯子可以达到建筑物的高度是( C )A.2 mB.3 mC.4 mD.5 m2. △ABC的三边长分别为a,b,c,其对角分别为∠A,∠B,∠C.下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是( D )A.∠B=∠A-∠CB.a∶b∶c=5∶12∶13C.b2-a2=c2D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶53. 已知直角三角形两边的长为3和4,则此三角形的周长为 ( C )A.12B.7+√7C.12或7+√7D.以上都不对4. 如图所示,∠C=∠D=90°,添加一个条件,可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件适合的是 ( A )A.AC=ADB.AB=ABC.∠ABC=∠ABDD.∠BAC=∠BAD5. 如图,∠ACB=90°,AC=BC,AE⊥CE于点E,BD⊥CE于点D,AE=5 cm,BD=2 cm,则DE的长是( C )A.8 cmB.5 cmC.3 cmD.2 cm6. 如图所示,有一个由传感器A控制的灯,要装在门上方离地高4.5 m的墙上,任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时,灯就会自动发光.请问一个身高1.5 m 的学生要走到离门多远的地方灯刚好发光? ( A )A.4米B.3米C.5米D.7米7. 如图,一个工人拿一个2.5米长的梯子,底端A放在距离墙根C点0.7米处,另一头B点靠墙,如果梯子的顶部下滑0.4米,梯子的底部向外滑出( D )A.0.4米B.0.6米C.0.7米D.0.8米8. 如图所示,①AC平分∠BAD;②AB=AD;③AB⊥BC,AD⊥DC.以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①.其中正确的命题的个数是 ( C )A.0个B.1个C.2个D.3个9. 将一个直角三角形的三边扩大3倍,得到的三角形是 ( A )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定10. 我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是( D )尺.A.10B.15C.20D.25二.填空题.11. 已知|x-3|+|y-4|+(z-5)2=0,则以x,y,z为三边的三角形面积为24 .12. 李明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m,当它把绳子的下端拉开5 m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为__12__ m.13. 在Rt△ABC中,BC=3,AB=4,那么AC的长为 5或√7 .14. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为 3 .15. 如图,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE、BE、CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C=__135__度.16. 如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE相交于点F,若BF=AC,则∠ABC= 45 度.17. 在一棵树的10米高B处有两只猴子为抢吃池塘边水果,一只猴子爬下树跑到A处(离树20米)的池塘边.另一只爬到树顶D后直接跳跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高__15__米.18. 如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为__150__mm.19. 已知圆柱形茶杯的高为12 cm,底面直径为5 cm,将长为20 cm的筷子沿底面放入杯中,筷子露在杯子口外的长度是x cm,则x的取值范围是__7≤x≤8__ cm.20. 如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=10 cm,BC=5 cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,则当AP= 5 cm或10 cm 时,才能使△ABC和△APQ全等.三．解答题.21. 如图,AD=8,CD=6,∠ADC=90°,AB=26,BC=24,求该图形的面积.解:连接AC,在Rt△ACD中,AD=8,CD=6,所以AC2=AD2+CD2=100,所以AC=10.在△ABC中,因为AC2+BC2=102+242=262=AB2,所以△ABC为直角三角形.所以图形的面积为S△ABC -S△ACD=12×10×24-12×6×8=96.22. 已知:如图,AB⊥BC,AD⊥DC,AB=AD,若E是AC上的一点,求证:EB=ED.证明:在Rt△ADC和Rt△ABC中,∵AD=AB,AC=AC,∴△ADC≌△ABC(HL),∴CD=CB,∠DCA=∠BCA,在△DCE和△BCE中,∵CD=CB,∠DCE=∠BCE,CE=CE,∴△DCE≌△BCE(SAS),∴EB=ED.23. 如图,点C,E,B,F 在一条直线上,AB ⊥CF 于点B,DE ⊥CF 于点E,AC=DF,AB=DE.求证:CE=BF.证明:∵AB ⊥CF,DE ⊥CF, ∴∠ABC=∠DEF=90°. 在Rt △ABC 和Rt △DEF 中,{AC =DF ,AB =DE ,∴Rt △ABC ≌Rt △DEF(HL), ∴BC=EF.∴BC-BE=EF-BE,即CE=BF.24. 如图,在△ABC 中,AC=BC,直线l 经过顶点C,过A,B 两点分别作l 的垂线AE,BF,点E,F 为垂足.AE=CF,求证:∠ACB=90°.证明:在Rt △ACE 和Rt △CBF 中,{AC =BC ,AE =CF ,∴Rt △ACE ≌Rt △CBF(HL),∴∠EAC=∠BCF.∵∠EAC+∠ACE=90°,∴∠ACE+∠BCF=90°,∴∠ACB=180°-90°=90°.25. 如图,正方形网格中,小格的顶点叫做格点,小华按下列要求作图:①在正方形网格的三条不同的虚线上各取一个格点,使其中任意两点不在同一虚线上;②连接三个格点,使之构成直角三角形,李华在下面的正方形网格中作出了Rt △ABC.请你按照同样的要求,在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形,并使三个网格中的直角三角形互不全等.26.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,点E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD,CD.(1)求证:△ADE≌△CDB.(2)若BC=√3,在AC边上找一点H,使得BH+EH的值最小,并求出这个最小值.。

2018年中考数学真题汇编三角形

精选文档2018 年中考数学真题汇编 : 三角形 ( 填空 +选择 =50 题)一、选择题1.(2018 山东滨州 )在直角三角形中，若勾为3，股为 4，则弦为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】 A2.(2018 江苏宿迁 )如图，点 D 在△ABC 的边 AB 的延伸线上， DE∥BC，若∠A＝35 °,∠C＝24 °,则∠D 的度数是（）。

A.24 °B. 59 °C. 60D. 69 °【答案】 B3. 一艘在南北航线上的丈量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30 °方向，持续向南航行30 海里抵达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15 °方向，那么海岛 B 离此航线的近来距离是（结果保留小数点后两位）（参照数据：）（）A. 4.64 海里B. 5.49 海里C. 6.12 海里 D. 6.21 海里【答案】 B4. 若实数 m 、 n 知足，且m、n恰巧是等腰△ ABC的两条边的边长，则△ ABC的周长是（）。

A.12B.10C.8D. 6【答案】 B5.在中，，于，均分交于，则以下结论一定建立的是（）A. B. C. D. 【答案】 C6. 将一副直角三角板按如下图的地点搁置，使含30 °角的三角板的一条直角边和含45 °角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）。

A.45 °B.60°C.75°D.85°【答案】 C7. 在平面直角坐标系中，过点（1,2 ）作直线 l，若直线 l 与两坐标轴围成的三角形面积为4，则知足条件的直线l 的条数是（）。

A.5B.4C.3D.2【答案】 C8. 如图，在平面直角坐标系中，的极点在第一象限，点，的坐标分别为、，，，直线交轴于点，若与对于点成中心对称，则点的坐标为（）A. B. C. D. 【答案】 A9.如图，在 ABCD 中， CD=2AD ，BE⊥ AD 于点 E，F 为 DC 的中点，连结 EF、 BF，以下结论：①∠ABC=2 ∠ABF；② EF=BF；③ S 四边形DEBC=2S △EFB∠DEF,此中正确结论的个数共有（）。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2018年中考数学专题复习《三角形》综合训练题含答案
2018年初三数学中考专题复习：三角形综合训练题
1. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于()
A．10 B．7 C．5 D．4
2. 如图，在方格纸中，线段a，b，c，d的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有()
A．3种 B．6种 C．8种 D．12种
3. 已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m＜n)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则()
A．m2＋2mn＋n2＝0 B．m2－2mn＋n2＝0
C．m2＋2mn－n2＝0 D．m2－2mn－n2＝0
4. 如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为()
A．4S1 B．4S2 C．4S2＋S3 D．3S1＋4S3
5. 有3 cm，6 cm，8 cm，9 cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．4
6. 如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是()
A．85° B．80° C．75° D．70°
7. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若
在边AB上截取BE＝BC，连结DE，则图中等腰三角形共有()
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为( )
A．30° B．36° C．40° D．45°
9. 如图，小聪和小慧玩跷跷板，跷跷板支架高EF为 0.6米，E是AB的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度BC等于米．
10. 由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点间的距离是 cm.
11. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．
12. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB＝5，求线段DE的长．
解析与答案：
1．【解析】
如图，过点E 作EK ⊥BC 于点K ，因为BE 平分∠ABC ，CD ⊥AB ，所以EK ＝ED ＝2，所以△BCE 的面积＝12×BC ×EK ＝1
2×5×2＝5.故选C ．
【答案】C
2. 【解析】分析如下：
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得a ＝2，b ＝d ＝5，c ＝2 5.∵a ＋
b ＝2＋5＞5＝d ，∴a ，b ，d 能组成三角形．∵a ＋b ＝a ＋d ＝2＋5＜25
＝c ，
∴a ，b ，c 或a ，d ，c 不能组成三角形．∵b ＋d ＝5＋5＝25＝c ，∴b ，d ，c 不能组成三角形
【答案】B
3. 【解析】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝m ，BC ＝n ，过点A 的射线AD 交BC 于点D ，且将△ABC 分成两个等腰三角形△ACD 和△ADB ，则AC ＝CD ＝m ，
AD ＝DB ＝n －m .在Rt △ACD 中，由勾股定理，得m 2＋m 2＝(n －m )2，2m 2＝m 2－2mn
＋n 2，从而m 2＋2mn －n 2＝0，故选C ．【答案】C
4. 【解析】设等腰直角三角形的直角边为x ，正方形的边长为y ，则S 1＝1
2
x 2，
S 2＝12(x ＋y )·(x －y )＝12x 2－12
y 2， S 3＝y 2，∴这个平行四边形的面积表示为
2S 1＋2S 2＋S 3＝2×12x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x 2－12y 2＋y 2＝2x 2＝4S 1.故选A ．
【答案】A 5. 【答案】C 6. 【答案】A
7. 【解析】①∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形；②∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°.∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠DBC ＝1
2∠ABC ＝
36°，∴∠A ＝∠ABD ＝36°，∴BD ＝AD ，∴△ABD 是等腰三角形；
③在△BCD 中，∵∠BDC ＝180°－∠DBC －∠C ＝180°－36°－72°＝72°，∴∠C ＝∠BDC ＝72°，∴BD ＝BC ，∴△BCD 是等腰三角形；④∵BE ＝BC ，∴BD ＝BE ，∴△BDE 是等腰三角形；⑤∵∠BED ＝(180°－36°)÷2＝72°，∴∠ADE ＝∠BED －∠A ＝72°－36°＝36°，∴∠A ＝∠ADE ，∴DE ＝AE .∴△ADE 是等腰三角形．综上图中的等腰三角形共有5个．故选D ．【答案】D
8. 【解析】∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C．∵AB ＝BD ，∴∠BAD ＝∠BDA ．∵CD ＝AD ，∴∠C ＝∠CAD ．∴∠BAD ＝∠BDA ＝2∠B ．∵∠BAD ＋∠CAD ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴5∠B ＝180°，∴∠B ＝36°.故选B ．【答案】B 9. 1.2 10. 18
11. 解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，
∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°. ∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°.
∴∠F ＝90°－∠EDC ＝30°. (2)∵∠ACB ＝60°，∠EDC ＝60°， △EDC 是等边三角形．
∴ED ＝DC ＝2.∵∠DEF ＝90°，∠F ＝30°， ∴DF ＝2DE ＝4. 12. 解：∵AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD ＝∠CAD ．∵DE ∥AC ， ∴∠CAD ＝∠ADE ，∴∠BAD ＝∠ADE ， ∴AE ＝DE .∵AD ⊥DB ，∴∠ADB ＝90°. ∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°. ∵∠ADE ＋∠BDE ＝∠ADB ＝90°， ∴∠ABD ＝∠BDE ，∴DE ＝BE . ∵AB ＝5，∴DE ＝BE ＝AE ＝1
2AB ＝2.5.。