教育统计学03讲 集中量数

第三节 调和平均数
一、调和平均数的意义
⒈定义：又称倒数平均数。
MH N 1 i 1 X i
N
⒉在教育领域应用：主要应用于描述学习速度
二、调和平均数的计算举例
例１ 有一种蔬菜，早晨的价格每千克0.5元，中午 0.2元，晚上0.1元。如果早、中、晚各买1元钱的 蔬菜，则当天所买的蔬菜平均价格是多少？
极端数据的影响
不大
最严重
较大
最少
最大
较少
平均价格 商品销售额 111 0.18元 1 1 1 商品销售量 0.5 0.2 0.1
以公式表示
MH
1 1 1 1 1 ( ) n x1 x2 xn

n 1 1 1 x1 x2 xn

n 1 x
例２ 计算和比较两组学生演算速度
组别
第 一 组
M o 3Md 2M 现以表3 3为例 : Md 52.19 M 52.40 则 : M o 3 52.19 2 52.40 51.77
皮尔逊经验法只有当次数分布呈现正态或接近 正态时，才能使用。
（二）众数的求法

金氏插补法求众数
fa M o Lb i fa fb
第二节 几何平均数 ＭG
一、几何平均数的定义
1.
定义:
M G N X1 X 2 X N
几何平均数是计算平均比率或平均速度最适用的一种方 法。 凡是变量值的连乘积等于总比率或总速度的场合都适宜 用几何平均法计算平均比率或平均速度。
例１

希望机械厂生产的机床要经过四个连续作业车间 才能完成。2003年一季度第一车间铸造产品的合 格率为95%，第二车间粗加工产品的合格率为93% ，第三车间精加工产品的合格率为90%，第四车间 组装的合格率为86%，则该企业的产品合格率为多 少？
三、算术平均数的计算方法
（一）未分组数据计算平均数
X X N
（二）使用次数分布表计算平均数
X

K
i 1 K
fi X c fi

i 1
表3-1 次数分组求平均数计算表
组中值 （Xc） 85 75 65
分组
次数（f） Xc×f
计算
80— 70— 60—
合计
6 9 2
17
1315 17 1315 77.35
讨论３

有一学生15分钟学会生词30个，后10分钟 学会生词也是30个。问该生每分钟平均学 会多少个？或平均学习速度是多少？
主要介绍

算术平均数 几何平均数 调和平均数
中数和众数

第一节 算术平均数
一、 算术平均数的定义
算术平均数一般简称为平均数，或均数，或均 值。一般用字母M或 X 表示。
教育统计学 03讲 集 中 量 数
问题

你知道什么是集中量数吗？ 请说出你所知道的集中量数？
讨论１
描述某校教师工资 平均水平？

人 数 60
50 40 30 20 10 0 70
年工资 单位（万元） 14-15
组中 值 14.5
人数 4
13-14 12-13
11-12 10-11 9-10 8-9 7-8 6-7 5-6
小结
比较项目 意义 适用数据类型 平均数 与其两侧数据距离之 和相等的数据的重心 等距、等比 中位数 众数
其两侧数据个数 出现次数最多的数、 相等 典型性质 顺序、等距、等比 顺序、等距、等比
计算特性
进一步运算 受抽样的影响
需要所有数据
可以 较少
只需中间数据
不可以 较大
计算迅速
不可以 较大
受分组的影响
（二） 中数的计算方法
（2）一组数据中有重复数值的情况 ①当重复数值没有位于数列中间时 求数列5，5，6，10，12，15，17的中数。 ②当重复数目位于数据中间，数据的个数为奇数时 求数列11，11，11，11，13，13，13，17，17的中 数。 ③当重复数目位于数列中间，数据的个数为偶数时 求数列11，11，11，11，13，13，13，17，17， 18的中数。
MH
5 2.85 1 1 1 1 1 1 3 6 7 9
5
MG 1 3 6 7 9 4.08
第四节
中数和众数
一、中数 ㈠中数的定义和特点
定义：中数又称中点数，中位数，中值，是指按 顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的 数。符号为Md或Mdn。 特点: 不受两极量数的影响 （二）中数的计算 原始数据 分组数据
2 2 2 x x nc x x 0
c 0 nc 0
x x x x
2 0
2
平均数的这一性质说明： 以任意不为平均数的数值为中心计算的离差平方和总大 于以平均数为中心计算的离差平方和，因此，算术平均数是 误差最小的总体代表值。
自下而上 自上而下 累积次数 累积次数
48 45 41 30 17 9 3
3 7 18 31 39 45 48
i N Md Lb Fb f 2 5 48 49.5 17 13 2 52.19
二、众数
（一）众数的定义和特点 ⒈定义：指在一组量数中，出现频数最多的 量数。用符号 M O 表示。 ⒉特点：
MG 4 95% 93% 90%86% 4 0.6838 90.94%
例２
某地区国民生产总值GNP在1988~1989年平均每 年递增15%，1990~1992年平均递增12%， 1993~1997年平均每年递增9%，试计算：该地区 国民生产总值这十年平均增长速度？
10
0.15 0.12 0.09 0.11075 11.075%
学生
A B C D E F G H
速度（每小
时所做的题数）
计算
4
第 二 组
4 6 10 12 6 6 10 10
1 1 1 1 4 6 10 12 6.7(题 / 小 时 ） 4 M H2 1 1 1 1 6 6 10 10 7.5(题 / 小 时)
M H1
三、小结：算术平均数和几何平均数、调和 平均数的关系
Lb ：含众数这一区间的精确下限；
fb
fa
i
：高于众数所在组一个组距那一分组区间的次 数； ：低于众数所在组一个组距那一分组区间的次 数； ：组距。
金氏插补法适合次数分布比较偏斜的情况，比 较接近正态的分布也适用。
表3-4 用金氏插补法求众数
组限
65— 60— 55— 50— 45— 40— 35—
x x
x x0 c
2
min
证 明：设x0为不等于平均数的任意值，则：
x x0 c
x0 x c
代入以x0 为中心的离差平方和，得
2 2 x x x x c 0 2 x x c 2 x x 2cx x c 2 2 x x 2c x x nc2 2 x x nc2
平均数、中数与众数之间的关系

见教材P33 在偏态分布中，平均数永远位于尾端。 一般偏态情况下，中数离平均数较近，而距众数较 远。

皮尔逊经验公式
Mo 3Md 2 M
小结
以数值为中心的集中 量数 算术平均数 几何平均数 调和平均数 以位置为中心的集中 量数 中数 众数
510 675 130
X
fi X C
N
四、算术平均数特点与应用 （一）特点
1.反应灵敏 2.计算严密 3.计算简单 4.简明易解 5.适合于进一步代数运算 6.较少受抽样变动的影响
（二）运用


如果一组数据是比较准确，可靠又同质，而且需 要每一个数据都加入计算，同时还要作进一步代 数运算时，这时就要用算术平均数表示其集中趋 势。如果一组数据中出现两个极端的数目，或有 一些数据不清楚，数据不同质时，就不宜使用算 术平均数。 在报告平均数时，要按特别指定的单位来表达。 在书写平均数时，习惯上平均数保留的小数位数 要比原来的测量数据多一位小数。
13.5 12.5
11.5 10.5 9.5 8.5 7.5 6.5 5.5 4.5
3 7
8 9 11 12 40 60 30 6 190
图１ 某校教职工年收入直方图
4 -5 小计
讨论２

有一个学生第一周记住20个英文单词，第 二周记住23个，第三周记住26个，第四周 记住30个，第五周记住34个，问该生学习 记忆英文单词的平均进步率是多少？
1) 2) 3)
获取容易； 在一组量数中，众数可能不止一个； 在次数分布中，众数受组距和组限的影响很大。
（二）众数的求法
１、用观察法求众数

例：求2，3，3，5，3，4，3，6这一组数据的 众数。
２、用公式计算众数

皮尔逊经验公式

金氏（W.I.king)插rson)近似公式
频数
3 4 11 13 8 6 3
算法
50 55 众数在第四组 Lb 49.5
f a 11 f b 8 i 5 11 M O 49.5 5 52.39 8 11
众数的应用
1.当需要快速而粗略地寻求一组数据的代表值时； 2.当一组数据出现不同质的情况时； 3.当次数分布中有两极端的数目时，除了一般用中 数外，有时也用众数； 4.当粗略估计次数分布的形态时，有时用平均数与 众数之差，作为表示次数分布是否偏态的指标。 5.当一组数据中同时有两个数值的次数都比较多 时，即次数分布中出现双众数时，也多用众数来 表示数据分布形态。
2 3 5
例３ 计算成绩平均提高率
时间 成绩
比率
1995 65
1996 75
7565 65
1997 80
8075 75
1998 88
8880 80
0.15
0.07
0.1
MG 3 0.15 0.07 0.1 0.106
计算
aN 88 3 M G N 1 1 1 1.106 1 0.106 a1 65
如果根据同一资料计算，则调和平均数 最小，几何平均数居中，算术平均数最大， 即： 算术平均数≥几何平均数≥调和平均数
三、小结：算术平均数和几何平均数、调和 平均数的关系

例 有1、3、6、7、9五个数，计算算术平 均数和几何平均数、调和平均数 x 1 3 6 7 9 X 5.2 n 5
（二） 中数的计算方法
（二） 中数的计算方法
２、分组数据求中数的方法 公式原理： 公式：
i N Md Lb Fb f 2 i N Md La Fa f 2
表3-3 利用公式求分组次数表中中数
组限
65— 60— 55— 50— 45— 40— 35— 次 数 3 4 11 13 8 6 3
Xi X i 1 X 可简写为 X N N
N
二、算术平均数的数学性质
① 各个变量值与平均数离差（离均差）之和等于零
x x 0
证明
x xx 0 x x x n x x n n
②各个变量值与平均数离差平方之和为最小值（离均平 方和最小）
请计算学生阅读能力每周平均提高率
测验次数 第一次
阅读能力 分数 34
第二次
52
第三次
60.67
第四次
69.33
第五次
77.33
二、几何平均数的应用条件
⑴ 一组实验数据中有少数数据偏大或偏小，数据
的分布呈偏态。 ⑵ ⑶ 在心理物理学的等距与等比量表实验中，只能 用几何平均数。 主要用于计算平均增长率或平均进步率等。
（二） 中数的计算方法
１、原始数据求中数的方法
当量数不多时，先把数据排序，若数据个数 为奇数时，则 X N21 为中数；若数据个数为偶 数时，则 X N 2 X ( N / 2)1 2 为中数。
（1）一组数据中无重复数值的情况 ①求数列4，6，7，8，12的中数？ ②有2，3，5，7，8，10，15，19共8个数，求其中数。