第二章形式语言理论

2.3 文法的分类
Chomsky对文法中的规则施加不同限制，将文
法和语言分为四大类：

0型文法（PSG） 0型语言或短语结构语言
1型文法（CSG） 1型语言或上下文有关语言
2型文法（CFG） 2型语言或上下பைடு நூலகம்无关语言
3型文法（RG）3型语言或正则（正规）语言
0型文法

如果对于某文法G，P中每个规则具有下列形式： α→β 其中α∈V+ ， β ∈ V*，则该文法G为 （Chomsky）0型文法或短语结构文法。相应的语言 称为0型语言或短语结构语言。
3、作用:直观地描述上下文无关文法的句型推导 过程。给定文法G=(VN,VT,P,S)，对于G的任何句 型都能构造与之关联的语法树
语法树的相关概念





结点：每个树的结点对应于一个符号。结点的名字 就是该符号。 边：两个结点之间的连线。 根结点：没有边进入的结点。 分支：某个结点向下射出的边和其结点称为分支。 （父子结点，兄弟结点） 子树：语法树的某个结点和它向下射出的部分 末端结点：没有向下射出的边的结点成为末端结点。 在相对于句型的语法树中，末端结点可能是非终结 符号。

说明: V=VN∪VT，V称为文法G的字母表 P中产生式形如：α→β,其中α∈V+且至少含一个非终结 符，β∈V* VN,VT和P是非空有穷集 VN∩VT=φ S是一个非终结符，且至少要在一条产生式的左部出现 非终结符代表一个语言中的语法成分，如<赋值语句>， 它是构成程序的一个语法成分，这个符号本身不会在程 序中出现，而终结符是组成程序的具体的符号。
2型文法 (上下文无关文法) 3型文法 (正规文法)
A→β，A∈VN ， β∈V*
A→aB 或 A→a， A,B∈VN ，a∈VT
四种文法之间的逐级“包含”关系
0型文法 1型文法 2型文法 3型文法
2.4．语言和语法
1、句型和句子 设有文法G[S]，若符号串α是从开始符推导出来 的,即 S =>* α ，则称α是文法G的句型。若α仅由 终结符组成,即 S =>* α ，且α∈VT*，则称α是文法 G的句子。 例 文法G[S]： S→0S1， S→01 因为S 0S1 00S11 000S111 00001111 所以S,0S1 ,00S11 ,000S111,00001111都是G的句 型,00001111是G的句子 由规范推导所得的句型称为规范句型
构造语法树

方法：把开始符号做 为根结点，对每一个 直接推导画一个分支， 分支的名字是直接推 导中被替换的非终结 符号，直到再无分支 可画结束。

例如：推导
abccdd
S AB AcBd Accdd
S
A
B
a
b
c
B
d
c
d
语法树的构造过程
S AB AcBd Accdd abccdd
S S S
3.
符号串的运算

符号串的连接：设x、y是符号串,它们的连接
是把y的符号写在 x的符号之后得到的符号串xy 例如 x="ST"，y="abu" ，则 xy="STabu" 显然εx = xε=x

符号串的方幂：把符号串a自身连接n次得到 的符号串an = aa…aa
例如 a1=a a2=aa a0=ε
（1）
A A
B
（2）
B
（3）
c B d
S
S
A
B
A
B
c
B
d
a
b
c
B
d
（4）
c d
（5）
c d
例：文法G：E→E+T|T T→T×F|F F→（E）|i 句型T+T×F的推导过程与语法树 从左到右读出叶子结
E=>E+T=>E+T×F=>T+T×F E=>E+T =>T+T =>T+T×F
点得到的符号串，为 文法的句型。也把该 语法树称为该句型的 语法树。
2.5文法的二义性(Ambiguity)
文法G：E→E+E|E×E|（E）|i 句子 i×i+i 对应的语法树

符号串集合的方幂: 设A是符号串的集 合，则称Ai为符号串集A的方幂，其中i 是非负整数。具体定义如下: A0 ={ε} A1 = A , A 2 = A A AK = AA......A(k个)
5.
集合的闭包 闭包 集合Σ的闭包Σ *定义如下： Σ * = Σ 0∪ Σ1∪ Σ 2∪ Σ 3∪… 例：设有字母表Σ={0，1} 则Σ*=Σ0∪Σ1∪Σ2∪… ={ε,0,1,00,01,10,11,000,…} 即Σ*表示Σ上所有有穷长的串的集合。
或+
若存在v =u0 u1 ... un=w, (n>0) 则称v + w，v推导出w，或w归约到v（至少有1步推 导），这个直接推导序列的长度为n。
* 3、广义推导： 或 *
若有v + w 或 v=w， 则记为v * w，v广义推导出w，w广义规约到v（可以 包含0步推导）
4.
符号串集合： 定义: 若集合A中所有元素都是某字母表 上的符号串，则称A为字母表上的符号串 集合。 符号串集合的乘积：符号串集合A和B的乘 积定义为:AB ={xy|x∈A且y∈B}，即AB是由A中
的串x和B中的串y连接而成的串xy组成的集合。
若集合A = ab,cde B = 0,1 则 AB = ab0,ab1,cde0,cde1 显然 {ε}A = A{ε} = A

正闭包
Σ+ = Σ1∪Σ2∪Σ3∪…称为Σ的正闭包。 + 表示上的除ε外的所有有穷长串的集合

自反闭包Σ* = Σ0∪Σ+
Σ+ = ΣΣ* = Σ* Σ
2.2文法和语言
1、文法定义: 文法G(Grammar)定义为四元组（VN，VT，P，S） VN (Nonternimal)：非终结符集 VT (Terminal)：终结符集 P (Production)：产生式（规则）集合 S：开始符号或识别符号
2. 推导和规范推导： α→β是文法G的产生式，若有v，w满足： v=γαδ,w=γβδ, 其中γ,δ∈V* 则称v直接推导出w,也称w直接归约到v, 记作 v w 直接推导就是用产生式的右部替换产生式的左 部的过程 直接归约就是用产生式的左部替换产生式的右 部的过程
+ 2、直接推导序列：
三种推导的比较

直接推导（）的长度为1 直接推导序列（ +）的长度n≥1 广义推导（ *）的长度≥0
规范推导与规范规约

考虑两种特殊推导：最左推导和最右推导，即 对于一
个推导序列中的每一步直接推导，都是对最左（最右） 非终结符进行替换。

最右推导也称规范推导，它的逆过程称为最左规约， 也称规范规约。
因此我们重点研究2型文法。
3型文法(右线性文法和正规文法)
它是2型文法的特例，任一产生式α→β的形式 都为 A→aB或 A→a，其中A ，B∈VN ，a∈VT *
在正规文法中，任一产生式α→β的形式都为 A→aB或 A→a，其中A ，B∈VN ，a∈VT
例如 文法G[S]： S→0A|1B|0 A→0A|1B|0S B→1B|1|0
2. 语法树
1、定义：语法树是这样的一个语法结构，它的结 点由符号组成。根结点对应于开始符号。只有 非终结符号对应的结点有子结点。并且，一个 结点和它的子结点分别对应于文法中的一个规 则的左部和右部。 2、引入语法树的意义：作为识别句子的辅助工具， 语法树可以表示句子的结构。这一点对于其后 的语义分析有非常重要的意义。
E E + T E
E + T
T
T
×
F
T
T
×
F
从语法树中看不出句型中的符号被替代的顺序
2.5 文法和语言的一些特性 1、无用非终结符：某个非终结符不出现在文法的 任何一个句型中，并且不能从它推出终结符号串。含
有该非终结符的规则即不可终止。
2、不可达文法符号：如果一个非终结符不出现在该文
法的任何其他的产生式的右部。该非终结符为不可达文 法符号，含有该非终结符的规则即不可达规则
第二章
形式语言理论
形式语言

Chomsky于1956年提出了一种用来描述语言的数学 系统。人们把用一组数学符号和规则来描述语言 的方式称为形式描述，而把所用的数学符号和规 则称为形式语言。

形式语言，只是从语法上研究语言。它是抽象的 数学系统，用于模拟程序设计语言的语法，或者 是并不很成功地模拟自然语言如英语的语法。 形式语言理论是编译理论的重要基础，它主要研 究组成符号语言的符号串的集合及它们的表示法、 结构与特性。
2型文法（上下文无关文法）
它是1型文法的特例，对任一产生式α→β，都 有 α∈VN ， β∈(VN∪VT)* S→AB A→BS|0 B→SA|1
例 文法G[S]：
2型文法产生式的一般形式是: A→，它表示不管 A的上下文如何都可把A替换成，因此被称为上下文 无关文法。 通常程序设计语言的文法，可用2型文法来描述，
在程序设计语言中，正规文法通常用来描述单词的 结构。
文法类别 0型文法 (短语文法) 1型文法 (上下文有关文法)
产生式形式
产生的语言
说明 对产生式基 本无限制
α→β 0型语言 α∈V+ ,且至少含一 个非终结符，β∈V* α→β， |β|≥|α|
1型语言（上下 将A替换成 文有关语言） 时，必须考 虑A的上下 文 2型语言（上下 无需考虑A 文无关语言） 在上下文中 的出现情况 3型语言 (正规语言) 产生式全部 是规定的形 式