(2019-2020)【重点资料】新九年级数学下册 第三章 圆 3.7 切线长定理同步练习【必备资料】

课时作业(二十七)
[第三章*7 切线长定理]
一、选择题
1．2017·红桥区期末如图K－27－1，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA＝10，CD切⊙O 于点E，与PA，PB分别交于C，D两点，则△PCD的周长是链接听课例1归纳总结( )
图K－27－1
A．10 B．18 C．20 D．22
2．如图K－27－2，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别切于点D，E，F，则AF的长为()
图K－27－2
A．5 B．10 C．7.5 D．4
3．已知⊙O的半径是4，P是⊙O外一点，且PO＝8，从点P引⊙O的两条切线，切点分别是A，B，则AB的长为()
A．4 B．4 2 C．4 3 D．2 3
4．如图K－27－3，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是( )
链接听课例2归纳总结
图K－27－3
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB
C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO
5．如图K－27－4，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，连接OD，OC.下列结论：①∠DOC＝90°；②AD＋BC＝CD；③S△AOD∶S△BOC＝AD2∶AO2；
④OD∶OC＝DE∶EC；⑤OD2＝DE·CD.其中正确的有( )
图K－27－4
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
二、填空题
6．如图K－27－5，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为________．
图K－27－5
7．2017·昌平区期末如图K－27－6所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC长为8，BC 长为15，则△ABC的内切圆⊙O的直径是________．
图K－27－6
8．如图K－27－7，P是⊙O的直径AB的延长线上的一点，PC，PD分别切⊙O于点C，D.若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD＝________°.
图K－27－7
9．如图K－27－8所示，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D，若PA＝15 cm，则△PEF的周长是________ cm；若∠P＝50°，则∠EOF＝________°.链接听课例1归纳总结
图K－27－8
10．如图K－27－9所示，⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠ABC，∠ACB所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是________．
图K－27－9
三、解答题
11．如图K－27－10，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO与⊙O相交于点C，连接AC，BC.求证：AC＝BC.
链接听课例2归纳总结
图K－27－10
12．2017·孝感模拟如图K－27－11，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.
求：(1)∠BOC的度数；
(2)BE＋CG的长；
(3)⊙O的半径.
链接听课例1归纳总结
图K－27－11
13．如图K－27－12，△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O的半径为 3.
求：(1)BF＋CE；
(2)△ABC的周长．
图K－27－12
14．如图K－27－13，AB为⊙O的直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，DE与⊙O相切于点E，⊙O的半径为5，AD＝2.
(1)求BC的长；
(2)延长AE交BC的延长线于点G，求EG的长．
图K－27－13
探究存在题如图K－27－14，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E.
(1)求证：EB＝EC＝ED.
(2)在线段DC上是否存在点F，使得BC2＝4DF·DC？若存在，求出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．
图K－27－14
详解详析
【课时作业】 [课堂达标]
1．[解析] C ∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 切⊙O 于点E ， ∴PA ＝PB ＝10，CA ＝CE ，DE ＝DB ，
∴△PCD 的周长是PC ＋CD ＋PD ＝PC ＋AC ＋DB ＋PD ＝PA ＋PB ＝10＋10＝20.故选C.
2．[解析] A 设AF ＝x ，根据切线长定理得AD ＝x ，BD ＝BE ＝9－x ，CE ＝CF ＝CA －AF ＝6－x ，则有9－x ＋6－x ＝5，解得x ＝5，即AF 的长为5.
3．[解析] C 如图，PA ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点．
∵OA ＝4，PO ＝8，∴AP ＝82
－42
APB ＝2∠APO ＝60°， ∴△PAB 是等边三角形，∴AB ＝AP 4．[解析] D 如图，连接OA ，OB .
∵PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，∴PA ＝PB ， ∴△ABP 是等腰三角形．易证∠1＝∠2，
∴AB ⊥OP .故A ，B ，C 均正确．设OP 交AB 于点D ，易证△PAD ∽△POA ，∴PA ∶PO ＝PD ∶PA ，∴PA 2＝PD ·PO .故D 错误．
5．[解析] C 连接OE .∵AD ，BC ，CD 分别与⊙O 切于点A ，B ，E ，∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，DA ＝DE ，EC ＝BC ，∠ADO ＝∠EDO ，∠ECO ＝∠BCO ，∴∠OAD ＝∠OED ＝∠OEC ＝∠OBC ＝90°，∴∠AOD ＝∠EOD ，∠BOC ＝∠EOC .①∵∠AOD ＋∠EOD ＋∠BOC ＋∠EOC ＝180°，∴∠DOC ＝∠EOD ＋∠EOC ＝90°，∴①正确；②∵DA ＝DE ，EC ＝BC ，∴AD ＋BC ＝DE ＋EC ＝CD ，∴②正确；③∵∠AOD ＋∠BOC ＝90°，∠AOD ＋∠ADO ＝90°，∴∠BOC ＝∠ADO .又∵∠OAD ＝∠CBO ＝90°，∴△OAD ∽△CBO ，∴S △AOD ∶S △BOC ＝AD 2∶BO 2＝AD 2∶AO 2，∴③正确；④∵△OAD ∽△CBO ，∴OD OC ＝AD OB ＝
DE
OB
.∵OB ≠EC ，∴④不正确；⑤∵∠DOC ＝∠OED ＝90°，∴∠EOD ＋∠EDO
＝90°，∠CDO ＋∠DCO ＝90°，∴∠EOD ＝∠DCO ，∴△OED ∽△COD ，∴OD CD ＝
DE
OD
，即DE ·CD ＝OD 2
，∴⑤正确．综上，正确的有①②③⑤.故选C.
6．[答案] 44
[解析] ∵四边形ABCD 是⊙O 的外切四边形，
∴AD ＋BC ＝AB ＋CD ＝22，∴四边形ABCD 的周长＝AD ＋BC ＋AB ＋CD ＝44. 7．[答案] 6
[解析] ∵∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝15，∴AB ＝AC 2
＋BC 2
＝17，∴△ABC 的内切圆⊙O
的直径为15×8
17＋15＋8
×2＝6.故答案为6.
8．[答案] 60
[解析] 连接OC .∵PA ＝6，⊙O 的半径为2，∴OP ＝PA －OA ＝6－2＝4.∵PC ，PD 分别切⊙O 于点C ，D ，∴∠OPC ＝∠OPD ，OC ⊥PC ，∴sin ∠OPC ＝24＝1
2
，∴∠OPC ＝30°，
∴∠CPD ＝60°.
9．[答案] 30 65
[解析] ∵PA ，PB ，EF 分别切⊙O 于点A ，B ，D ， ∴PA ＝PB ＝15 cm ，ED ＝EA ，FD ＝FB ，∴PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋ED ＋PF ＋FD ＝PA ＋PB ＝30 cm ，即△PEF 的周长是30 cm ；连接OA ，OB ，OD .∵PA ，PB 为⊙O 的切线，∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°，而∠P ＝50°，∴∠AOB ＝360°－90°－90°－50°＝130°.易证得Rt △OAE ≌Rt △ODE ，Rt △OFD ≌Rt △OFB ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠3＝1
2∠AOB ＝65°，即∠EOF ＝65°.
10．[答案] 2
[解析] 如图，设⊙O 与AB ，AC 的延长线及BC 边分别相切于点F ，D ，E .连接OD ，OE .∵⊙O 与△ABC 中AB ，AC 的延长线及BC 边相切，∴AF ＝AD ，BE ＝BF ，CE ＝CD ，OD ⊥AD ，OE ⊥BC .∵∠ACB ＝90°，∴四边形ODCE 是正方形．设OD ＝r ，则CD ＝CE ＝r .∵BC ＝3，∴BE ＝BF ＝3－r .∵AB ＝5，AC ＝4，∴AF ＝AB ＋BF ＝5＋3－r ，AD ＝AC ＋CD ＝4＋r ，∴5＋3－r ＝4＋r ，解得r ＝2，则⊙O 的半径是2.
11．证明：∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ， ∴PA ＝PB ，∠APC ＝∠BPC .
又∵PC ＝PC ，∴△APC ≌△BPC ，∴AC ＝BC .
12．解：(1)连接OF .根据切线长定理，得BE ＝BF ，CF ＝CG ，∠OBF ＝∠OBE ，∠OCF ＝∠OCG .
∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∴∠OBF ＋∠OCF ＝90°， ∴∠BOC ＝90°.
(2)由(1)知，∠BOC ＝90°. ∵OB ＝6 cm ，OC ＝8 cm ，
∴由勾股定理，得BC ＝OB 2
＋OC 2
＝10 cm ， ∴BE ＋CG ＝BC ＝10 cm.
(3)∵OF ⊥BC ，由三角形的面积公式，得12OB ·OC ＝12BC ·OF ，∴OF ＝OB ·OC
BC ＝4.8 cm.
13．解：(1)∵△ABC 外切于⊙O ，切点分别为D ，E ，F ，
∴BF ＝BD ，CE ＝CD ，
∴BF ＋CE ＝BD ＋CD ＝BC ＝7.
(2)如图，连接OE ，OF ，OA .
∵△ABC 外切于⊙O ，切点分别为D ，E ，F ， ∴∠OEA ＝90°，∠OAE ＝1
2
∠BAC ＝30°，
∴OA ＝2OE ＝2 3.
由勾股定理，得AF ＝AE ＝OA 2－OE 2
＝3，
∴△ABC 的周长是AB ＋BC ＋AC ＝AF ＋AE ＋CE ＋BF ＋BC ＝3＋3＋7＋7＝20， 即△ABC 的周长是20.
14．[解析] (1)过点D 作DF ⊥BC 于点F ，由切线长定理可得DE ＝AD ＝2，CE ＝BC .设BC ＝x ，在Rt △DCF 中，DC 2
＝CF 2
＋DF 2
，即可得方程(2＋x )2
＝(x －2)2
＋(2 5)2
，解此方程即可求得答案；(2)易证得△ADE ∽△GCE ，由相似三角形的对应边成比例，可得AE ∶EG ＝4∶5，由勾股定理即可求得AG 的长，继而求得答案．
解：(1)过点D 作DF ⊥BC 于点F . ∵∠DAB ＝∠ABC ＝90°，
∴四边形ABFD 是矩形，AD 与BC 是⊙O 的切线，
∴DF ＝AB ＝2 5，BF ＝AD ＝2. ∵DE 与⊙O 相切， ∴DE ＝AD ＝2，CE ＝BC .
设BC ＝x ，则CF ＝BC －BF ＝x －2，DC ＝DE ＋CE ＝2＋x .
在Rt △DCF 中，DC 2
＝CF 2
＋DF 2
，即(2＋x )2
＝(x －2)2
＋(2 5)2
，
解得x ＝52，即BC ＝5
2.
(2)∵∠DAB ＋∠ABC ＝180°，
∴AD ∥BC ，∴△ADE ∽△GCE ， ∴AD GC ＝DE CE ，
AE EG ＝AD
GC
.
∵AD ＝DE ＝2，∴GC ＝CE ＝BC ＝5
2
，
∴BG ＝BC ＋CG ＝5，AE EG ＝4
5
.
在Rt △ABG 中，AG ＝AB 2
＋BG 2
＝3 5，
∴EG ＝59AG ＝5
3
5.
[点评] 此题考查了切线的性质与判定、切线长定理以及勾股定理等知识，难度适中，
注意掌握辅助线的作法与方程思想的应用．
[素养提升]
[解析] (1)连接BD ，已知ED ，EB 都是⊙O 的切线，由切线长定理可证得OE 垂直平分
BD ，而BD ⊥AC (圆周角定理)，则OE ∥AC .由于O 是AB 的中点，可证得OE 是△ABC 的中位线，即E 是BC 的中点，那么在Rt △BDC 中，DE 就是斜边BC 的中线，由此可证得所求的结论．(2)
由(1)知：BC ＝2BE ＝2DE ，则所求的比例关系式可转化为(BC 2
)2＝DF ·DC ，即DE 2
＝DF ·DC ，
那么只需作出与△DEC 相似的△DFE 即可，这两个三角形的公共角为∠CDE ，只需作出∠DEF ＝∠C 即可．①当∠DEC ＞∠C ，即180°－2∠C ＞∠C ，0°＜∠C ＜60°时，∠DEF 的EF 边与线段DC 相交，那么交点即为所求的点F ；②当∠DEC ＝∠C ，即180°－2∠C ＝∠C ，∠C ＝60°时，点F 与点C 重合，点F 仍在线段DC 上，此种情况也成立；③当∠DEC ＜∠C ，即180°－2∠C ＜∠C ，60°＜∠C ＜90°时，∠DEF 的EF 边与线段DC 的延长线相交，与线段CD 没有交点，所以在这种情况下不存在符合条件的点F .
解：(1)证明：连接BD .
∵ED ，EB 是⊙O 的切线，由切线长定理，得ED ＝EB ，∠DEO ＝∠BEO ， ∴OE 垂直平分BD . 又∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BD ，
∴AD ∥OE ，即OE ∥AC . 又O 为AB 的中点，
∴OE 为△ABC 的中位线， ∴EB ＝EC ，∴EB ＝EC ＝ED .
(2)存在．在△DEC 中，∵ED ＝EC ， ∴∠C ＝∠CDE ，
∴∠DEC ＝180°－2∠C .
①当∠DEC ＞∠C 时，有180°－2∠C ＞∠C ，
即0°＜∠C ＜60°时，在线段DC 上存在满足条件的点F .
在∠DEC 内，以ED 为一边，作∠DEF ，使∠DEF ＝∠C ，且EF 交DC 于点F ，则点F 即为所求．
证明：在△DCE 和△DEF 中，∠CDE ＝∠EDF ，∠C ＝∠DEF ，
∴△DEF ∽△DCE ，∴DE DC ＝DF DE
， ∴DE 2
＝DF ·DC ，即(12
BC )2＝DF ·DC ，
∴BC 2
＝4DF ·DC .
②当∠DEC ＝∠C 时，△DEC 为等边三角形，
即∠DEC ＝∠C ＝60°，此时，点C 即为满足条件的点F ， 于是，DF ＝DC ＝DE ，
仍有BC 2＝4DE 2
＝4DF ·DC . ③当∠DEC ＜∠C ，
即180°－2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°时，
所作的∠DEF＞∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F.。