浙江省温州市第五十一中2025届高考数学四模试卷含解析

浙江省温州市第五十一中2025届高考数学四模试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）
A ．2
B ．3
C ．23
D ．12
- 2．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）
A 3
B 2
C 3
D 23 3．已知抛物线2()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，，若抛物线C 上的点A 关于直线22l y x +：＝对称的点B 恰好在射线()113y x ≤＝
上，则直线AF 被C 截得的弦长为（ ） A ．919 B ．1009 C ．1189 D ．1279
4．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5
f x +>-的解集为（ ）
A ．(,1)-∞-
B ．(1,)-+∞
C ．(,2)-∞-
D ．(2,)-+∞
5．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ）
A ．33-
B ．3
C ．332-
D ．32
6．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的
23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( )
A ．43π
B ．16π
C ．163π
D ．323π 7．已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（ ）
A ．12
B ．12-
C ．2
D ．﹣2
8．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k = B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =
C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠
D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠ 9．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AB AA =，
E
F ，分别为AB
BC ，的中点，异面直线1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则( )
A ．直线1A E 与直线1C F 异面，且23m =
B ．直线1A E 与直线1
C F 共面，且23
m = C ．直线1A E 与直线1C F 异面，且33m =
D ．直线1A
E 与直线1C
F 共面，且33m = 10．己知46a =544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b c a >>
D ．c a b >>
11．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE 14SB =.，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ） A ．222 B ．53 C ．1316 D ．113
12．已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =
A ．（–1，1）
B ．（1，2）
C ．（–1，+∞）
D ．（1，+∞）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．假设10公里长跑，甲跑出优秀的概率为23，乙跑出优秀的概率为12，丙跑出优秀的概率为14
，则甲、乙、丙三人同时参加10公里长跑，刚好有2人跑出优秀的概率为________．
14．已知1(3,0)F -，2(3,0)F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，双曲线C 的渐近线上存在点P 满足12||2||PF PF =，则b 的最大值为________．
15．如图梯形ABCD 为直角梯形，,AB AD CD AD ⊥⊥，图中阴影部分为曲线2y
x 与直线2x x =+围成的平面图形，
向直角梯形ABCD 内投入一质点，质点落入阴影部分的概率是_____________
16．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()f x x x a =+-.
（1）当2a =时，求不等式()4f x <的解集；
（2）若()1f x ≥对任意x ∈R 成立，求实数a 的取值范围.
18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，3AB AD =，PAD △为正三角形，且平面PAD ⊥
平面ABCD ，E 、F 分别为PC 、PB 的中点.
（1）证明：平面ADEF ⊥平面PBC ；
（2）求二面角B DE C --的余弦值.
19．（12分）已知函数()x f x e =.
（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（2）若对任意的m ∈R ，当0x >时，都有212()221m f x km x ⎛⎫+
>- ⎪⎝⎭恒成立，求最大的整数k . （参考数据：3
3 1.78e ≈）
20．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1
24AA AB ==，M ，N
分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG .
（1）求线段AG 的长；
（2）求二面角B MG N --的余弦值.
21．（12分）已知等差数列{}n a 的公差2d =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设12n a n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ． 22．（10分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin()sin
2
A C b A
B c ++=. （1）求B ；
（2）若ABC 38，求b .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B
【解析】
运行程序，依次进行循环,结合判断框，可得输出值.
【详解】
起始阶段有1i =，3S =， 第一次循环后11132
S =
=--，2i =， 第二次循环后121312S ==+，3i =， 第三次循环后1
3213S ==-，4i =， 第四次循环后11132
S ==--，5i =， 所有后面的循环具有周期性，周期为3，
当2019i =时，再次循环输出的3S =,2020i =，此时20202019>，循环结束，输出3S =，
故选：B
【点睛】
本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型.
2、A
【解析】
设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，得到ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，进而求得其正弦值，得到结果.
【详解】
设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，
由题可知AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以BD ⊥平面AEC ，
过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，则AO ⊥平面BDC ，
所以ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，
所以sin AO ADO AD
∠==，可得AO = 在AOE △中可得3OE =， 又132
OC BD ==，即点O 与点C 重合，此时有AC ⊥平面BCD ， 过C 作CF AE ⊥与点F ，
又BD AEC ⊥平面，所以BD CF ⊥，所以CF ⊥平面ABD ，
从而角CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，sin
3
CE CAE AE ∠=
==， 故选：A.
【点睛】 该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.
3、B
【解析】
由焦点得抛物线方程，设A 点的坐标为2
()14m m ，，根据对称可求出点A 的坐标，写出直线AF 方程，联立抛物线求交点，计算弦长即可.
【详解】 抛物线2
()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，， 则
12
p ＝，即2p ＝， 设A 点的坐标为2()14m m ，，B 点的坐标为()113n n ≤，，， 如图：
∴2211114211142222m n m m m n ⎧-⎪=-⎪⎪-⎨⎪++⎪=⨯+⎪⎩
， 解得62m n =⎧⎨=⎩，或343359m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(舍去)， ∴9(6)A ，
∴直线AF 的方程为413
y x +＝， 设直线AF 与抛物线的另一个交点为D ， 由24134y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得69x y =⎧⎨=⎩或2319x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴21,39D ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， ∴2221100||69399AD ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 故直线AF 被C 截得的弦长为
1009
． 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的标准方程，简单几何性质，点关于直线对称，属于中档题.
4、D
【解析】
由(0)0f =可得1a =，所以22()log (1)(0)f x x x x =+≥+，由()f x 为定义在R 上的奇函数结合增函数+增函数=增
函数，可知()y f x =在R 上单调递增，注意到(2)(2)5f f -=-=-，再利用函数单调性即可解决.
【详解】
因为()f x 在R 上是奇函数.所以(0)0f =，解得1a =，所以当0x ≥时，
22()log (1)f x x x =++，且[0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，所以
()y f x =在R 上单调递增，因为(2)5(2)5f f =-=-，，
故有342x +>-，解得2x >-.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.
5、D
【解析】
建立平面直角坐标系，将问题转化为点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值，利用P 到x 轴的距离等于P 到点A 的距离得到P 点轨迹方程，得到()2
6399y x =-+≥，进而得到所求最小值.
【详解】
如图，原题等价于在直角坐标系xOy 中，点()3,3A ，P 是第一象限内的动点，满足P 到x 轴的距离等于点P 到点A 的距离，求点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值．
设(),P x y ，则()()2233y x y =
-+-()23690x y --+=， 则()26399y x =-+≥，解得：32
y ≥， 即点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是
32. 故选：D .
本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.
6、D
【解析】
设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,由圆柱的表面积求出r ,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.
【详解】
设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,
因为圆柱的表面积公式为2=22S r rl ππ+圆柱表，
所以222224r r r πππ+⨯=,解得2r
, 因为圆柱的体积公式为2=2V Sh r r π=⋅圆柱,
所以3=22=16V ππ⨯⨯圆柱,
由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的
23
， 所以所求圆柱内切球的体积为 2232=16=333
V V ππ=⨯圆柱. 故选:D
【点睛】
本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.
7、D
【解析】
化简z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++，再根据z ∈R 求解.
【详解】
因为z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++，
又因为z ∈R ，
所以20a +=，
解得a ＝-2.
【点睛】
本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8、C
【解析】
根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.
【详解】
A ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等差数列，但是此时1k =不成立，故本说法不正确；
B ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等比数列，但是此时0t =不成立，故本说法不正确；
C ：当1k =时，因此有+1n n n n a a ka t a t -=+-==常数，因此{}n a 是等差数列，因此当{}n a 不是等差数列时，一定有1k ≠，故本说法正确；
D ：当 0t a =≠时，若0k =时，显然数列{}n a 是等比数列，故本说法不正确. 故选：C
【点睛】
本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题. 9、B
【解析】
连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正四棱柱的特征可知11EF AC ，再由平面的基本性质可知，直线1A E 与直线1C F 共面.，同理易得1
1AB C D ，由异面直线所成的角的定义可知，异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠，然后再利用
余弦定理求解.
【详解】
如图所示：
连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正方体的特征得11EF AC ，
所以直线1A E 与直线1C F 共面. 由正四棱柱的特征得1
1AB C D ，
所以异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠.
设1AA =，则AB
=12=
，则DF =
1C F
1C D = 由余弦定理，得1cos m DC F =∠
==故选：B 【点睛】
本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题. 10、B 【解析】
先将三个数通过指数，对数运算变形1
04
661a ==>=， 2.9
5
544
411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫
=<=<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
再判断. 【详解】
因为1
04
661a ==>=， 2.9
5
544
411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫
=<=<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以a c b >>， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题. 11、D 【解析】
可过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，并连接CF ，从而可得出∠CSF （或补角）为异面直线SC 与OE 所成的角，根
据条件即可求出SC SF CF ===tan ∠CSF 的值. 【详解】
如图，过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，连接CF ， 则∠CSF （或补角）即为异面直线SC 与OE 所成的角， ∵14SE SB =
，∴1
3
SE BE =，
又OB ＝3，∴1
13
OF OB =
=， SO ⊥OC ，SO ＝OC ＝3，∴32SC =； SO ⊥OF ，SO ＝3，OF ＝1，∴10SF =； OC ⊥OF ，OC ＝3，OF ＝1，∴10CF =，
∴等腰△SCF 中，22
32(10)(
)
112332
2
tan CSF ∠-=
=. 故选：D.
【点睛】
本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力，属于基础题. 12、C 【解析】
根据并集的求法直接求出结果. 【详解】
∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ， ∴(1,)A
B =-+∞ ，
故选C. 【点睛】
考查并集的求法，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、38
【解析】
分跑出优秀的人为：甲、乙和甲、丙和乙、丙三种情况分别计算再求和即可. 【详解】
刚好有2人跑出优秀有三种情况：其一是只有甲、乙两人跑出优秀的概率为
2111
13244
⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭；其二是只有甲、丙两人跑出优秀的概率为
2111132412⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭；其三是只有乙、丙两人跑出优秀的概率为2111132424⎛⎫-⨯⨯=
⎪⎝⎭
,三种情况相加得
1113412248
++=.即刚好有2人跑出优秀的概率为3
8.
故答案为：3
8
【点睛】
本题主要考查了分类方法求解事件概率的问题,属于基础题. 14、
125
【解析】
设(,)P x y ，由12||2||PF PF =可得2222()[3)]34(x y x y ++=-+，整理得22(5)16x y -+=，即点P 在以(5,0)为圆心，
4为半径的圆上．又点2F 到双曲线C 的渐近线的距离为b ，所以当双曲线C 的渐近线与圆22(5)16x y -+=相切时，b
取得最大值，此时4
35b =，解得125
b =． 15、
3
5
【解析】
联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再利用定积分求出阴影部分的面积，利用梯形的面积公式求出ABCD S ，最后根据几何概型的概率公式计算可得； 【详解】
解：联立22
y x y x ⎧=⎨=+⎩解得24x y =⎧⎨=⎩或1
1x y =-⎧⎨=⎩，即(2,4)B ，(1,1)C -，(1,0)D -，(2,0)A ，
()2
2232
1
1119
2223
2
S x x dx x x x --⎡⎤∴=+-=+-=
⎣⎦⎰阴影，()11514322ABCD S =+⨯⨯= 9
3
21552
ABCD
S P S ∴=
==阴影
故答案为：35
【点睛】
本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积，属于中档题. 16、
【解析】 试题分析：当时，
，则
．又因为
为偶函数，所以
，所以
，
则
，所以切线方程为
，即
．
【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义 【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数
，则当
时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数
为偶函数，则当
时，函数的解析式为
；若
为奇函数，则函数的解析式为
．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）{}13x x -<<（2）(][),11,-∞-+∞
【解析】
（1）把2a =代入，利用零点分段讨论法求解；
（2）()1f x ≥对任意x ∈R 成立转化为求()f x 的最小值可得. 【详解】
解：（1）当2a =时，不等式()4f x <可化为24x x +-<. 讨论：
①当0x <时，()24x x ---<，所以1x >-，所以10x -<<； ②当02x ≤≤时，()24x x --<，所以24<，所以02x ≤≤； ③当2x >时，()24x x +-<，所以3x <，所以23x <<. 综上，当2a =时，不等式()4f x <的解集为{}
13x x -<<. （2）因为()x x a x x a --≤+-， 所以x x a a +-≥.
又因为()f x x x a =+-，()1f x ≥对任意x ∈R 成立， 所以1a ≤， 所以1a ≤-或1a ≥.
故实数a 的取值范围为(][),11,-∞-+∞.
【点睛】
本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，恒成立问题一般是转化为最值问题求解，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养. 18、（1）见解析；（2
【解析】
（1）取AD 中点O ，BC 中点H ，连接PO ，OH ，PH .设EF 交PH 于G ，则G 为PH 的中点，连接OG . 通过证明,OG PH OG EF ⊥⊥，证得OG ⊥平面PBC ，由此证得平面ADEF ⊥平面PBC .
（2）建立空间直角坐标系，利用平面DEC 和平面BDE 的法向量，计算出二面角B DE C --的余弦值. 【详解】
（1）取AD 中点O ，BC 中点H ，连接PO ，OH ，PH . 设EF 交PH 于G ，则G 为PH 的中点，连接OG . 设2AD =
，则AB =
PO =OG PH ⊥.
由已知AD PO ⊥，AD OH ⊥，∴AD ⊥平面POH ，∴AD OG ⊥. ∵11
//
//22
EF BC AD ，∴EF OG ⊥， ∵EF PH G ⋂=，∴OG ⊥平面PBC ，
∵OG ⊂平面ADEF ，∴平面ADEF ⊥平面PBC .
（2）由（1）及已知可得PO ⊥平面ABCD ，建立如图所示的空间坐标系O xyz -，设2AD =
，则(P
，
)C
，()0,1,0D
，
)1,0B -
，1,222E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，31,222DE ⎛=- ⎝
⎭
，()3,0,0DC =，()
2,0BD =-，
设平面DEC 的法向量为()
,,m x y z
=，∴0102
x y z =-+=，令y =()
0,3,1m =. 设平面
BDE 的法向量为()000
,,n x y z
=，∴000001022220
x y z y -+=⎪
⎨⎪+=⎩
，令02x =得()
2,3,1n =
-，
∴cos ,4
m n =
=
，∴二面角B DE C --的余弦值为4.
【点睛】
本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 19、（1）y ex =（2）2 【解析】
（1）先求得切点坐标，利用导数求得切线的斜率，由此求得切线方程.
（2）对m 分成，0,0m m =≠两种情况进行分类讨论.当0m ≠时 ，将不等式2
12()221m f x km x ⎛
⎫
+
>- ⎪⎝⎭
转化为1221
2()km f x x -+
>，构造函数1()2()h x f x x =+，利用导数求得()h x 的最小值（设为a ）的取值范围，由221
km a ->
22210am km -+>在m ∈R 上恒成立，结合一元二次不等式恒成立，判别式小于零列不等式，解不等式求得k 的取值范围. 【详解】
（1）已知函数()x
f x e =，则(1,(1))f 处即为(1,)e ， 又()x
f x e '=，(1)k f e '==，
可知函数()x
f x e =过点(1,(1))f 的切线为(1)-=-y e e x ，即y ex =.
（2）注意到0x >， 不等式2
12()221m f x km x ⎛⎫
+
>- ⎪⎝⎭
中， 当0m =时，显然成立；
当0m ≠时，不等式可化为1221
2()km f x x -+
>
令11()2()2x h x f x e x x =+
=+，则21()2x h x e x
'=-， 11
222
11()2221240h e e '=-=⎛⎫
⎪⎭
- <⎝，
2
32 1.78301(223h '=-=-≈⨯-⎭
>⎝
所以存在01
,
23x ⎛∈
⎝⎭， 使()0
020
1
20x h x e x '=-
=. 由于2x
y e =在()0,∞+上递增，2
1y x
=
在()0,∞+上递减，所以0x 是()'
h x 的唯一零点. 且在区间()00,x 上()0h x '<，()h x 递减，在区间()0,x +∞上()0h x '>，()h x 递增，
即()h x 的最小值为()0
020001112x h x e x x x =+
=+
，令0
1
2)t x =∈，
则
22
00
11
(3t t x x +=+∈+，将()h x 的最小值设为a
，则(3a ∈，
因此原式需满足a >
2
10am -+>在m ∈R 上恒成立， 又0a >，可知判别式840k a ∆=-<即可，即2
a
k <
，且(3a ∈+ k 可以取到的最大整数为2.
【点睛】
本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
20、（1）1AG =（2
【解析】
（1）先证得1AB GN ⊥，设1A B 与GN 交于点E ，在BNE ∆中解直角三角形求得1,BE A E ，由此求得AG 的值. （2）建立空间直角坐标系，利用平面BMG 和平面NMG 的法向量，计算出二面角B MG N --的余弦值.
【详解】
（1）由题意，11 A B MNG A B GN GN MNG ⊥⎫
⇒⊥⎬⊂⎭
平面平面，
设1A B 与GN 交于点E ，在BNE ∆中，可求得455BE =，则165
5
A E =， 可求得13A G =，则1AG =
（2）以1B 为原点，1B B 方向为x 轴，1B C 方向为y 轴，11B A 方向为z 轴， 建立空间直角坐标系.
(4,0,0)B ，(2,2,0)M ，(3,0,2)G ，(2,0,0)N
(2,2,0)BM =-，(1,0,2)BG =-，易得平面BMG 的法向量为1(2,2,1)n =. (0,2,0)NM =，(1,0,2)NG =，易得平面NMG 的法向量为2(2,0,1)n =-.
设二面角B MG N --为θ，由图可知θ为锐角，所以
1212||35
cos 5||||35
n n n n θ⋅=
==⋅⋅.
即二面角B MG N --的余弦值为
5
5
.
【点睛】
本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
21、（1）2n a n =；（2）2
11
343
n n S n n =+-
+⨯. 【解析】
（1）根据等比中项性质可构造方程求得1a ，由等差数列通项公式可求得结果；
（2）由（1）可得n b ，可知{}n b 为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果. 【详解】
（1）124,,a a a 成等比数列，2
2
14a a a ∴=，即()()2
1113a d a a d +=+，
()()2
11126a a a ∴+=+，解得：12a =，
()2212n a n n ∴=+-=.
（2）由（1）得：2111224n a n n
n b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，114n n b b +∴=，114b =，
∴数列{}n b 是首项为
14，公比为1
4
的等比数列， ()()123123n n n S a a a a b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()232211112
4444n
n n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
++++⋅⋅⋅+⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
211
343
n
n n =+-
+⨯． 【点睛】
本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前n 项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列{}n b 为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果. 22、（1）π
3B =；（2）134
b =
【解析】
（1）通过正弦定理和内角和定理化简sin()sin
2
A C
b A B
c ++=，再通过二倍角公式即可求出B ； （2）通过三角形面积公式和三角形的周长为8，求出b 的表达式后即可求出b 的值. 【详解】
（1）由三角形内角和定理及诱导公式，得sin cos 2
B b
C c =， 结合正弦定理，得sin cos 2
B B =， 由π
022B <
<及二倍角公式，得1sin 22
B =， 即
π26
B =，故π3B =；
（2
）由题设，得1
sin 2
ac B =4ac =，
由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即()2
212b a c =+-， 又8a b c ++=，所以()2
2812b b =--， 解得134
b =
. 【点睛】
本题综合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面积公式，属于基础题.。