2020-2021中考数学 二次函数 培优 易错 难题练习(含答案)及答案解析

2020-2021中考数学 二次函数 培优 易错 难题练习(含答案)及答案解析
一、二次函数
1．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y （盒）与销售单价x （元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w 元．
（1）求w 与x 之间的函数关系式；
（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？
【答案】（1）w=﹣2x 2+480x ﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元 【解析】 【分析】 （1）用每件的利润
()80x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即
()()()80802320w x y x x =-=--+， 然后化为一般式即可；
（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()2
21203200w x =--+，然后根据二次函数的最值问题求解；
（3）求2400w =所对应的自变量的值，即解方程()2
212032002400x --+=．然后检验即可. 【详解】
（1）()()()80802320w x y x x =-=--+， 2248025600x x =-+-，
w 与x 的函数关系式为：2248025600w x x =-+-； （2）()2
224802560021203200w x x x =-+-=--+， 2080160x -<≤≤Q ，，
∴当120x =时，w 有最大值．w 最大值为3200．
答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元． （3）当2400w =时，()2
212032002400x --+=． 解得：12100140x x ，．== ∵想卖得快，
2140x ∴=不符合题意，应舍去．
答：销售单价应定为100元．
2．已知如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛
物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）9
4
；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣
3）．
【解析】
试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；
（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；
（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．
试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），
∴
930
10
b c
b c
++=
⎧
⎨
++=
⎩
，解得
4
3
b
c
=-
⎧
⎨
=
⎩
，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣
（x﹣3
2
）2+
9
4
．∵a=﹣1＜0，∴当x=
3
2
时，线段PD的长度有最大值
9
4
；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．
综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；
（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析
式为y=kx+b（k≠0），则
3
k b
b
+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得：
3
3
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，∴直线BC的解析式为y=﹣
3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．
点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：
2
y mx2mx3m
=--（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
【答案】（1）A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．S△PBC最大值为27 16
（3）2
m 2
=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】 【分析】
（1）在2
y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．
（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值． 【详解】
解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，
∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （
，0）、B （3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠）， 把C （0，3
2-
）代入可得，12
a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213
y x x 22
=--． 设P （p ，
213
p p 22
--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =2
3
327p 42
16
--+（）． ∵3a 4=-
<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716
． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -）， ∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+． ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：
当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+， 解得：12m =22
m =(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+， 解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ． 综上所述，2
m =或1m =-时，△BDM 为直角三角形．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线
4
83
y x =-
+与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，抛物线2
4y ax ax c =-+经过点A 和点B ，与x 轴的另一个交点为C ，动点D 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向O 点运动，同时动点E 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向A 点运动，设运动的时间为t 秒，0﹤t ﹤5.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t 为何值时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△AOB 相似； （3）当△ADE 为等腰三角形时，求t 的值；
（4）抛物线上是否存在一点F ，使得以A 、B 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F 点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）抛物线的解析式为228
833
y x x =-++； （2）t 的值为3011或50
13； （3）t 的值为
103或6017或258
； （4）符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(227F +，-8）. 【解析】
（1）由B 、C 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用
△ADE ∽△AOB 和△AED ∽△AOB 即可求出t 的值；（3）过E 作EH ⊥x 轴于点H ，过D 作DM ⊥AB 于点M 即可求出t 的值；（4）分当AD 为边时，当AD 为对角线时符合条件的点F 的坐标.
解：(1)A （6,0），B （0,8），依题意知36240{8
a a c c -+==，解得2
{
38
a c =-
=， ∴228
833
y x x =-
++. (2)∵ A （6,0），B （0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t ，AE=10-2t ， ①当△ADE ∽△AOB 时，AD AE AO AB =，∴102610t t -=，∴30
11t =； ②当△AED ∽△AOB 时，
AE AD AO AB =，∴102610t t -=，∴50
13
t =；
综上所述，t 的值为
3011或
50
13
. (3) ①当AD=AE 时，t=10-2t ，∴103
t =
； ②当AE=DE 时，过E 作EH ⊥x 轴于点H ，则AD=2AH ，由△AEH ∽△ABO 得，AH=
()31025
t -，∴()61025
t t -=
，∴6017
t =
； ③当AD=DE 时，过D 作DM ⊥AB 于点M ，则AE=2AM ，由△AMD ∽△AOB 得，AM=35
t ，∴61025t t -=
，∴258
t =； 综上所述，t 的值为
103或6017或
25
8
. (4) ①当AD 为边时，则BF ∥x 轴，∴8F B y y ==，求得x=4，∴F （4，8）； ②当AD 为对角线时，则8F B y y =-=-，∴228
8833
x x -++=-，解得227x =±，∵x ﹥0，∴227x =+，∴()
227,8+-.
综上所述，符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(227F +，-8）.
“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．
5．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数
（
）的图象
与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标． 【答案】（1）
；（2）E 的坐标为（
，
）、（0，﹣4）、
（，）；（3），（，）．
【解析】
试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；
（2）先求得直线BC的解析式为，则可设E（m，），然后分三种情况讨论即可求得；
（3）利用△PBD的面积即可求得．
试题解析：（1）∵二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C （8，0）两点，
∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；
（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，
∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），
当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E（，）；
当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；
当EC=DE时，，解得=，∴E（，
）．
综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（，
）、（0，﹣4）、（，）；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，
∵△PBD的面积
==
=，
∴当m=
时，△PBD 的最大面积为
，∴点P 的坐标为（
，
）．
考点：二次函数综合题．
6．如图1,在平面直角坐标系中,直线1y x =-与抛物线2y x bx c =-++交于A B 、两点，其中(),0A m ,()4,B n .该抛物线与y 轴交于点C ,与x 轴交于另一点D .
(1)求m
n 、的值及该抛物线的解析式; (2)如图2.若点P 为线段AD 上的一动点(不与A D 、重合).分别以AP 、DP 为斜边,在直线
AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ,连接MN ,试确定△MPN 面积最大时P 点的坐标.
(3)如图3.连接BD 、CD ,在线段CD 上是否存在点Q ,使得以A D Q 、、为顶点的三角形
与△ABD 相似,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】（1）2
65y x x =-+-；（2）当2m =，即2AP =时，MPN S ∆最大，此时
3OP =,所以()3,0P ；（3）存在点Q 坐标为2-3（，）或78-33⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
. 【解析】
分析：（1）把A 与B 坐标代入一次函数解析式求出m 与n 的值，确定出A 与B 坐标，代入二次函数解析式求出b 与c 的值即可；
（2）由等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ，得到∠MPN 为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN 面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P 的坐标即可； （3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ 的长，利用两点间的距离公式求出Q 坐标即可．
详解：（1）把A （m ，0），B （4，n ）代入y =x ﹣1得：m =1，n =3，∴A （1，0），B （4，3）．
∵y =﹣x 2
+bx +c 经过点A 与点B ，∴101643b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得：6
5b c =⎧⎨=-⎩
，则二次函数解
析式为y =﹣x 2+6x ﹣5；
（2）如图2，△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形，∴∠APM =∠DPN =45°，∴∠MPN =90°，∴△MPN 为直角三角形，令﹣x 2+6x ﹣5=0，得到x =1或x =5，∴D （5，0），即DP =5﹣1=4，设AP =m ，则有DP =4﹣m ，∴PM =2m ，PN =2（4﹣m ），∴S △MPN =
12PM •PN =12×2m ×2
（4﹣m ）=﹣14m 2﹣m =﹣14（m ﹣2）2+1，∴当m =2，即AP =2时，S △MPN 最大，此时OP =3，即P （3，0）；
（3）存在，易得直线CD 解析式为y =x ﹣5，设Q （x ，x ﹣5），由题意得：∠BAD =∠ADC =45°，分两种情况讨论： ①当△ABD ∽△DAQ 时，
AB DA =BD AQ ，即324=4AQ ，解得：AQ =82
3
，由两点间的距离
公式得：（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=
1283，解得：x =73，此时Q （73，﹣8
3
）； ②当△ABD ∽△DQA 时，BD
AQ
=1，即AQ =10，∴（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=10，解得：
x =2，此时Q （2，﹣3）．
综上，点Q 的坐标为（2，﹣3）或（
73，﹣8
3
）． 点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．
7．如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(
10)(30)(03)A B C ﹣，、，、，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得
PAM PAC S S ∆∆＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）223y x x =++-；（2）存在，点(12)P ，；（3）存在，点M 坐标为(1
4)， 【解析】 【分析】
（1）由于条件给出抛物线与x 轴的交点1030A B （﹣，）、（，）
，故可设交点式13y a x x +＝（）（﹣），把点C 代入即求得a 的值，减小计算量．
（2）由于点A 、B 关于对称轴：直线1x ＝对称，故有PA PB ＝，则
PAC C AC PC PA AC PC PB ∆++++＝＝，所以当C 、P 、B 在同一直线上时，
PAC C AC CB ∆+＝最小．利用点A 、B 、C 的坐标求AC 、CB 的长，求直线BC 解析式，把
1x ＝代入即求得点P 纵坐标．
（3）由PAM PAC S S ∆∆＝可得，当两三角形以PA 为底时，高相等，即点C 和点M 到直线PA 距离相等．又因为M 在x 轴上方，故有//CM PA ．由点A 、P 坐标求直线AP 解析式，即得到直线CM 解析式．把直线CM 解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M 坐标． 【详解】
解：（1）∵抛物线与x 轴交于点1030A B （﹣，）、（，）
∴可设交点式13y a x x +＝（
）（﹣） 把点03C （，）代入得：33a ﹣＝
1a ∴＝﹣
21323y x x x x ∴+++＝-（）（﹣）＝﹣
∴抛物线解析式为223y x x ++＝-
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PAC ∆的周长最小． 如图1，连接PB 、BC
∵点P 在抛物线对称轴直线1x ＝上，点A 、B 关于对称轴对称
PA PB ∴＝
PAC C AC PC PA AC PC PB ∆∴++++＝＝
∵当C 、P 、B 在同一直线上时，PC PB CB +＝最小
103003A B C Q （﹣，）、（，）、（，）
AC BC ∴===
PAC C AC CB ∆∴+＝
设直线BC 解析式为3y kx +＝
把点B 代入得：330k +＝，解得：1k ＝﹣ ∴直线BC ：3y x +＝﹣
132P y ∴+＝﹣＝
∴
点12P （，）
使PAC ∆．
（3）存在满足条件的点M ，使得PAM PAC S S ∆∆＝．
∵PAM PAC S S ∆∆＝S △PAM ＝S △PAC
∴当以PA 为底时，两三角形等高
∴点C 和点M 到直线PA 距离相等
∵M 在x 轴上方
//CM PA ∴
1012A P Q （﹣，），（，）
，设直线AP 解析式为y px d +＝ 02p d p d -+=⎧∴⎨+=⎩ 解得：p 1d 1=⎧⎨=⎩
∴直线1AP y x +：＝
∴直线CM 解析式为：3y x +＝
2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩
Q 解得：1103x y =⎧⎨=⎩（即点C ），22
14x y =⎧⎨=⎩ ∴点M 坐标为14（，）
【点睛】
考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题条件给出点M 在x 轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单．
8．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．
【解析】
【分析】
（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12
×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．
【详解】
解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，
103b c c ++=⎧⎨=⎩
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B （3，0），
∴2
点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB 时，2，∴2或OP=PC ﹣2﹣3
∴P1（0，3+32），P2（0，3﹣32）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△MNB=1
×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
2
当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．
【答案】（1）y=3
8
x2﹣
3
4
x﹣3
（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是
9 10
（3）K1（1，﹣27
8
），K2（3，﹣
15
8
）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=﹣
9 10
（t﹣1）2+
9
10
．利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=3
4
x﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征
可设点K的坐标为（m，3
8
m2﹣
3
4
m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得
S△CBK=9
4
．则根据图形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=
1
2
EK•m+
1
2
•EK•（4﹣m），把相关线段的
长度代入推知：﹣3
4
m2+3m=
9
4
．易求得K1（1，﹣
27
8
），K2（3，﹣
15
8
）．
解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得
423016430a b a b --=⎧⎨+-=⎩
， 解得3834a
b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 所以该抛物线的解析式为：y=38x 2﹣34
x ﹣3； （2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ．
∴PB=6﹣3t ．
由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）． 在Rt △BOC 中，BC=2234+=5．
如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．
∴QH ∥CO ，
∴△BHQ ∽△BOC ，
∴HB OC BG BC
=，即Hb 35t =， ∴HQ=
35t ． ∴S △PBQ =
12PB•HQ=12（6﹣3t ）•35t=﹣910t 2+95t=﹣910（t ﹣1）2+910
． 当△PBQ 存在时，0＜t ＜2
∴当t=1时， S △PBQ 最大=910
． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是
910； （3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）．
把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得
403k c c +=⎧⎨=-⎩
，
解得
3 k
4 c3
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
∴直线BC的解析式为y=
3
4
x﹣3．
∵点K在抛物线上．
∴设点K的坐标为（m，3
8
m2﹣
3
4
m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m，
3
4
m﹣3）．
∴EK=
3
4
m﹣3﹣（
3
8
m2﹣
3
4
m﹣3）=﹣
3
8
m2+
3
2
m．
当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=
9
10
．
∴S△CBK=9
4
．
S△CBK=S△CEK+S△BEK=
1
2
EK•m+
1
2
•EK•（4﹣m）
=
1
2
×4•EK
=2（﹣
3
8
m2+
3
2
m）
=﹣
3
4
m2+3m．
即：﹣
3
4
m2+3m=
9
4
．
解得 m1=1，m2=3．
∴K1（1，﹣
27
8
），K2（3，﹣
15
8
）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范
围．
10．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．
①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存
在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC 92
，此时点P的坐
标为（3
2
，
15
4
）．
【解析】
【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；
（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；
②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．
【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，
得
10
930
b c
b c
-++=
⎧
⎨
-++=
⎩
，解得：
2
3
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；
（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，
∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），
∴点M的坐标为（1，6）；
当t≠2时，不存在，理由如下：
若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，
∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，
∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，
又∵t≠2，
∴不存在；
（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．
设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，
得
30
3
m n
n
+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得：
1
3
m
n
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，
∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），
∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，
∴S=1
2
PF•OB=﹣
3
2
t2+
9
2
t=﹣
3
2
（t﹣
3
2
）2+
27
8
；
②∵﹣3
2
＜0，
∴当t=3
2时，S取最大值，最大值为
27
8
．
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∴线段
=
∴P点到直线BC
27
2
8
⨯
=，
此时点P的坐标为（3
2
，
15
4
）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．
11．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或
41
2
或
5-41
②点M的坐标为（13
6
，﹣
17
6
）或（
23
6
，﹣
7
6
）．
【解析】
分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①先解方程-x 2+6x-5=0得A （1，0），再判断△OCB 为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB 为等腰直角三角形，所以
，接着根据平行四边形的性质得到
，PQ ⊥BC ，作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，利用∠PDQ=45°得到
PQ=4，设P （m ，-m 2+6m-5），则D （m ，m-5），讨论：当P 点在直线BC 上方时，PD=-m 2+6m-5-（m-5）=4；当P 点在直线BC 下方时，PD=m-5-（-m 2+6m-5），然后分别解方程即可得到P 点的横坐标；
②作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM 1B=2∠ACB ，再确定N （3，-2）， AC 的解析式为y=5x-5，E 点坐标为（
12，-52），利用两直线垂直的问题可设直线EM 1的解析式为y=-15x+b ，把E （12，-52）代入求出b 得到直线EM 1的解析式为y=-15x-125
，则解方程组511255y x y x -⎧⎪⎨--⎪⎩
＝＝得M 1点的坐标；作直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M 2，如图2，利用对称性得到∠AM 2C=∠AM 1B=2∠ACB ，设M 2（x ，x-5），根据中点坐标公式
得到3=13+62
x ，然后求出x 即可得到M 2的坐标，从而得到满足条件的点M 的坐标． 详解：（1）当x=0时，y=x ﹣5=﹣5，则C （0，﹣5），
当y=0时，x ﹣5=0，解得x=5，则B （5，0），
把B （5，0），C （0，﹣5）代入y=ax 2+6x+c 得
253005a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得15a b =-⎧⎨=-⎩
， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；
（2）①解方程﹣x 2+6x ﹣5=0得x 1=1，x 2=5，则A （1，0），
∵B （5，0），C （0，﹣5），
∴△OCB 为等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵AM ⊥BC ，
∴△AMB 为等腰直角三角形，
∴
AM=2
AB=2
， ∵以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM ∥PQ ，
∴
PQ ⊥BC ，
作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，则∠PDQ=45°，
∴PD=2PQ=2×22=4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，当P点在直线BC下方时，
PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=5+41
2
，m2=
5-41
2
，
综上所述，P点的横坐标为4或5+41
或
5-41
；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1，
∴∠AM1B=2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH=BH=NH=2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（1
2
，﹣
5
2
，
设直线EM1的解析式为y=﹣1
5
x+b，
把E（1
2
，﹣
5
2
）代入得﹣
1
10
+b=﹣
5
2
，解得b=﹣
12
5
，
∴直线EM1的解析式为y=﹣1
5x﹣
12
5
解方程组
5
112
55
y x
y x
=-
⎧
⎪
⎨
=--
⎪⎩
得
13
6
17
6
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，则M1（
13
6
，﹣
17
6
）；
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），
∵3=13
+ 6
2
x
∴x=23
6
，
∴M2（23
6，﹣
7
6
）.
综上所述，点M的坐标为（13
6
，﹣
17
6
）或（
23
6
，﹣
7
6
）．
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
12．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，
∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC
于点D，求△DMH周长的最大值．
【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）
【解析】
试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；
（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH 的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．
试题解析：（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，），
∴OB=3，OC=，
∴tan∠BCO==，
∴∠BCO=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO=30°，
∴=tan30°=，即=，解得AO=1，
∴A（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；
（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，
∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°， ∴DH=
DM ，MH=
DM ，
∴△DMH 的周长=DM+DH+MH=DM+
DM+
DM=
DM ，
∴当DM 有最大值时，其周长有最大值， ∵点M 是直线BC 上方抛物线上的一点， ∴可设M （t ，﹣t 2+t+
），则D （t ，﹣
t+），
∴DM=﹣t 2+t+），则D （t ，﹣t+）， ∴DM=﹣t 2+
t+
﹣（﹣
t+
）=﹣t 2+
t=﹣
（t ﹣
）2+
，
∴当t=时，DM 有最大值，最大值为， 此时
DM=
×
=
， 即△DMH 周长的最大值为
．
考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想
13．如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线y=ax 2+bx+4过点B ，C 两点，且与x 轴的一个交点为D （﹣2，0），点P 是线段CB 上的动点，设CP =t （0＜t ＜10）．
（1）请直接写出B 、C 两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）过点P 作PE ⊥BC ，交抛物线于点E ，连接BE ，当t 为何值时，∠PBE =∠OCD ？ （3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM ∥BQ ，交CQ 于点M ，作PN ∥CQ ，交BQ 于点N ，当四边形PMQN 为正方形时，请求出t 的值．
【答案】（1）B （10，4），C （0，4），215463y x x =-++；（2）3；（3）103或 203
. 【解析】
试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C 点坐标，由矩形的性质可求得B 点坐标，由
B 、D 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可设P （t ，4），则可表示出E 点坐标，从而可表示出PB 、PE 的长，由条件可证得△PBE ∽△OCD ，利用相似三角形的性质可得到关于t 的方程，可求得t 的值；
（3）当四边形PMQN 为正方形时，则可证得△COQ ∽△QAB ，利用相似三角形的性质可求得CQ 的长，在Rt △BCQ 中可求得BQ 、CQ ，则可用t 分别表示出PM 和PN ，可得到关于t 的方程，可求得t 的值． 试题解析：
解：（1）在y ＝ax 2＋bx ＋4中，令x ＝0可得y ＝4， ∴C （0，4），
∵四边形OABC 为矩形，且A （10，0）， ∴B （10，4），
把B 、D 坐标代入抛物线解析式可得1001044
4240a b a b ++=⎧⎨-+=⎩
，
解得1653a b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴抛物线解析式为y ＝16-
x 2＋5
3
x ＋4； （2）由题意可设P （t ，4），则E （t ，16-t 2＋5
3
t ＋4）， ∴PB ＝10﹣t ，PE ＝16-
t 2＋53t ＋4﹣4＝16-t 2＋5
3
t ， ∵∠BPE ＝∠COD ＝90°， 当∠PBE ＝∠OCD 时， 则△PBE ∽△OCD ，
∴
PE PB
OD OC
=，即BP •OD ＝CO •PE ， ∴2（10﹣t ）＝4（16-t 2＋5
3
t ），解得t ＝3或t ＝10（不合题意，舍去）， ∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ； 当∠PBE ＝∠CDO 时， 则△PBE ∽△ODC ，
∴
PE PB
OC OD
=，即BP •OC ＝DO •PE ， ∴4（10﹣t ）＝2（16-
t 2＋5
3
t ），解得t ＝12或t ＝10（均不合题意，舍去） 综上所述∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ；
（3）当四边形PMQN 为正方形时，则∠PMC ＝∠PNB ＝∠CQB ＝90°，PM ＝PN ，
∴∠CQO ＋∠AQB ＝90°， ∵∠CQO ＋∠OCQ ＝90°， ∴∠OCQ ＝∠AQB ， ∴Rt △COQ ∽Rt △QAB ，
∴CO OQ
AQ AB
=，即OQ •AQ ＝CO •AB ， 设OQ ＝m ，则AQ ＝10﹣m ，
∴m （10﹣m ）＝4×4，解得m ＝2或m ＝8， ①当m ＝2时，CQ ＝22OC OQ +＝25，BQ ＝22AQ AB +＝45，
∴sin ∠BCQ ＝
BQ BC ＝25，sin ∠CBQ ＝CQ BC
＝5
，
∴PM ＝PC •sin ∠PCQ ＝25t ，PN ＝PB •sin ∠CBQ ＝5
（10﹣t ）， ∴
25t ＝5
（10﹣t ），解得t ＝103
， ②当m ＝8时，同理可求得t ＝
20
3
， ∴当四边形PMQN 为正方形时，t 的值为
103或203
． 点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B 点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE ∽△OCD 是解题的关键，在（3）中利用Rt △COQ ∽Rt △QAB 求得CQ 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
14．如图，抛物线交
轴于点，交
轴于点
，已知经过点
的直
线的表达式为
．
（1）求抛物线的函数表达式及其顶点的坐标；
（2）如图①，点是线段上的一个动点，其中，作直线轴，交直线于
，交抛物线于
，作
∥
轴，交直线
于点
，四边形
为
矩形．设矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求
为何值时周长最
大；
（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点，使点
构成的三角形是以
为
腰的等腰三角形．若存在，直接写出所有符合条件的点
的坐标；若不存在，请说明理
由．。