第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

年级初三学科数学版本华东师大版内容标题28.2 与圆有关的位置关系编稿老师史继生【本讲教育信息】一、教学内容：§28.2 与圆有关的位置关系二、重点、难点：1、重点：⑴点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的判断；⑵三角形外接圆、三角形内切圆的性质特征，以及它们的联系与区别；⑶圆的切线的性质及识别.2、难点：⑴掌握圆的切线的判定方法及性质特征；⑵理解圆与圆的位置关系的形成过程；⑶充分认识基本图形在证、解题中的作用，正确恰当地根据基本规律来添加辅助线.三. 知识梳理：（一）点与圆的位置关系1、点与圆的位置关系如图，设⊙O的半径为r，①若点A在⊙O内，则OA＜r；反过来，若OA＜r，则点A 在⊙O内．②若点B在⊙O上，则OB=r；反过来，若OB=r，则点B在⊙O上．③若点C 在⊙O外，则OC＞r；反过来，若OC＞r，则点C在⊙O外．（圆心只是用来确定圆的位置，圆心不是圆的一个部分，圆心在圆内．）2、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆．如上图示，过三点Ａ、Ｂ、Ｃ所作的圆Ｏ的圆心在线段ＡＢ、ＢＣ的垂直平分线的交点处．如果A、B、C三点在一条直线上，不能画出经过这三点的圆．因为AB、BC的垂直平分线互相平行，没有交点，所以过同一直线上的三点不能画圆（二）直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系的特征与识别直线与圆的位置关系相离相切相交（三）切线1、切线的判定和性质切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径注意：要识别直线是否为圆的切线，常用以下两种方法：①到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．如果直线和圆的公共点没有确定，则过圆心，作已知直线的垂线段，再证这条垂线段等于半径，即“作垂线证半径”．②经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．即已知直线与圆有一个公共点时，连结这点和圆心再证直线与这条半径垂直，简称：“连半径证垂直”；切线的性质定理也有两个推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心2、切线长与切线长定理圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．下图中P A、PB的长就是点P到⊙O的切线长．由前面的知识可知，过圆上一点可以引一条直线与圆相切，所以有：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．即：如上图，因为P A、PB是⊙O的切线，所以P A＝PB，∠APO＝∠BPO．3、三角形与圆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点．（四）圆与圆的位置关系如果设两圆的半径为 1r 、2r ，两圆的圆心距为d ，则圆与圆的位置关系与数量关系如下表【典型例题】例1、如图，已知 ⊙O 的半径为r ＝10 ，圆心O 到直线l 的距离OD ＝6 ，在直线l 上有A 、B 、C 三点，且AD ＝6 ，BD ＝8 ，CD ＝53 ．问A 、B 、C 三点对于⊙O 的位置关系各是怎样?分析：只要计算出这些点到圆心的距离，看其是大于、等于还是小于圆的半径，就可以相应得出点在圆外、圆上、圆内的位置关系来．解：连结OA ，在Rt △AOD 中，72=6+6=+=2222AD OD OA ＜10，即OA ＜r ，则点A 在⊙O 内；同理，108622=+=OB ，即O B =r ，则点B 在⊙O 上；111=)35(+5=22OC ＞10，即OC ＞r ，则点C 在 ⊙O 外．例2、在平面直角坐标系中，以A （1，2）为圆心的圆的半径满足下列条件时，分别求出其半径的取值范围：⑴与坐标轴只有唯一交点；⑵与坐标轴只有两个交点；⑶与坐标轴只有三个交点；⑷与坐标轴有四个交点．分析：因为点A 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是1，所以与坐标轴只有唯一交点，就是与y 轴相切而与x 轴相离；与坐标轴只有两个交点，就是与y 轴相交而与x 轴相离；与坐标轴只有三个交点，就是与y 轴相交而与x 轴相切；与坐标轴有四个交点，就是与x 轴、y 轴都相交．解：⑴r ＝1；⑵1＜r ＜2；⑶r ＝2或r 5r ＞2且r 5．例3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC=3，若以C 为圆心画⊙C ，当⊙C 的半径r 为多少时?⊙C 与线段AB 的交点分别为0个、1个、2个．分析：首先要审清题意，不能误以为⊙C 与直线AB 的交点分别为0个、1个、2个．⑴⊙C 与线段AB 的交点分别为0个，有两种情况：⊙C 与直线AB 相离或点A 在⊙C 内而点B 也在⊙C 内；⑵⊙C 与线段AB 的交点分别为1个，有两种情况：⊙C 与直线AB 相切或点B 在⊙C 内而点A 在⊙C 外；⑶⊙C 与线段AB 的交点分别为2个，有两种情况：线段AB 与⊙C 相交或点A 在⊙C 外而点B 和线段AB 上其它一点在⊙C 上．解：先求点C 到AB 的距离d ，利用Rt △ABC 的面积的两种求法来求出CD 的长， 因为 AB5　而 S △ABC ＝21AB ·CD ＝21AC ·BC 所以 5CD ＝3×4， CD ＝125＝2.4所以 当⊙C 的半径r 满足r ﹤2.4或r ﹥4时，⊙C 与线段AB 的交点分别为0个；当⊙C 的半径r 满足r=2.4或3﹤r ﹤4时，⊙C 与线段AB 的交点分别为1个；当⊙C 的半径r 满足2.4﹤r ≤3时，⊙C 与线段AB 的交点分别为2个．例4、如图，C 是⊙O 的直径延长线上一点，D 是⊙O 上一点，且AD ＝CD ，∠C ＝30°，DC 是⊙O 的切线吗?为什么?分析：要说明一条直线是圆的切线，需要有两个条件：⑴经过半径的外端，⑵垂直于这条半径．此题中已知点Ｄ在圆上，则只须说明该直线垂直于过这一点的半径；由D 是⊙O 上一点，因此连结OD ，判断OD 与DC 是否垂直即可．解：DC 是⊙O 的切线 理由如下： 连结OD因为 AD ＝CD 所以 ∠A ＝∠C因为 OA ＝OD ，∠C ＝30° 所以 ∠ODA ＝∠A ＝∠C ＝30° 因为 ∠DOC ＝∠A ＋∠ODA ＝60° 所以 ∠ODC ＝90°所以 DC 是⊙O 的切线．例5、已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D ＝90°，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝AD +BC ，试说明：CD 是⊙O 的切线．分析：要说明一条直线是圆的切线，有两种方法，此题因为不知CD 是否过⊙O 上的点，所以要说明CD 是⊙O 的切线，只好说明圆心O 到直线CD 的距离等于⊙O 的半径．BCDOEA证明：过O 作OE ⊥CD ，垂足为E ， 则OE ∥AD ∥BC ．又AO ＝BO ，所以DE ＝CE ．所以 OE 是梯形ABCD 的中位线， 所以 )(21BC AD OE +=． 又因为AB ＝AD+BC ，所以AB OE 21=． 即圆心O 到直线CD 的距离OE 等于⊙O 的半径，所以 CD 是⊙O 的切线．例6、下列结论正确的是（ ）．A 、垂直于圆的半径的直线是圆的切线B 、经过半径外端的直线是圆的切线C 、直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线D 、到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 分析：因为经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，需要有两个条件：（1）经过半径的外端，（2）垂直于这条半径，所以A 、B 都不对；又因为到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线，这是一个点到直线的距离，所以C 也不对，只有D 是正确的． 故选D例7、如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点，AB ＝12，BC ＝14，CA ＝18，求AE 、BF 、CD 的长．分析：三角形的三边及内切圆构成了切线长定理的基本图形，此题可利用构造方程组来解几何题．解：设AE ＝x ，BF ＝y ，CD ＝z ．由切线长定理知，AE ＝AD ，BF ＝BE ，CD ＝CF ，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+．，，181412x z z y y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧===．，，1048z y x答：AE ＝8，BF ＝4，CD ＝10．例8、两圆半径是R 和r （R ＞r ），圆心距是d ，且R 2＋d 2 － r 2=2dR ，则两圆的位置关系为 （ ）A 、相交B 、内切C 、外切D 、内切或外切分析：根据R 2＋d 2 － r 2=2dR 这一已知条件，来推出圆心距 d 与两圆的半径R 和r 之间的大小关系，从而得出两圆的位置关系．因为 R 2＋d 2－r 2=2dR 所以 R 2－2dR ＋d 2=r 2 即 （R －d ）2=r 2，r=±（R －d ） 所以 d=R －r 或d=R ＋r ，故选D例9、如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB ＝AC ，D 是线段BC 上一点，E 是直线AD 和△ABC 外接圆的交点．⑴试说明AB 2＝AD ·AE ．⑵当D 为BC 延长线上一点时，第（1）题中的结论成立吗?若成立，试说明；若不成立，请说明理由．分析：⑴因为点E 也在⊙O 上，利用“在同圆或等圆中，如果两弦相等，则其所对的两弧相等，此时两弧所对的圆周角相等”和相似三角形的性质可解此题．⑵很多图形条件变动后，结论却不变，此题一样，此为中考热点． 解：⑴连结BE ，因为AB ＝AC ，所以＝， 所以∠ABD ＝∠E ，又∠1＝∠1， 所以△ABD ∽△AEB ，所以,=ABADAE AB 即AB 2＝AD ·AE ． ⑵图形变化后，结论仍成立． 连结BE ，因为AB ＝AC ，所以＝， 所以∠ABD ＝∠AEB ，又∠BAE ＝∠BAE ， 所以△ABD ∽△AEB ，所以,=ABADAE AB 即AB 2＝AD ·AE ．例10、如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，AB ＝9，BC ＝8，CA ＝10，点D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE 为⊙I 的切线，求△ADE 的周长．分析：利用从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等这一定理来解答此题．注意弄清图形中的一些相等的线段．解：设DE 、AB 、BC 、CA 分别与⊙I 相切于点F 、H 、G 、K ． 则DF ＝DH ，BH ＝BG ，CG ＝CK ，EK ＝EF ，所以△ADE 的周长＝AH ＋AK ＝AB ＋CA －BC ＝11．例11、如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，AC 切⊙O 1于点A ，交⊙O 2于点C ；BD 切⊙O 2于点B ，交⊙O 1于点D ，连结AB 、AD 、BC ．⑴试说明：AB 2＝AD ·BC⑵若∠C ＝∠D ，问四边形ADBC 是什么四边形?请加以说明．分析：要说明AB 2＝AD ·BC ，只要说明ABBCAD AB =，即说明△ABD ∽△BCA ，所以只要找∠2＝∠D ，∠1＝∠C ．由于第一问中得到了△ABD ∽△BCA ，建立了角相等的对应关系，因此在说明ADBC 的归属时，只须利用“两组对角分别相等的四边形为平行四边形”即可．解：⑴因为 AC 切⊙O 1于点A 所以 ∠2＝∠D因为 BD 切⊙O 2于点B 所以 ∠1＝∠C所以 △ABD ∽△BCA 所以ABBCAD AB = 所以 AB 2＝AD ·BC ⑵若∠C ＝∠D ，则四边形ADBC 是平行四边形理由如下：因为 △ABD ∽△BCA 所以 ∠3＝∠4 又因为 ∠C ＝∠D 所以 ∠2＝∠1所以 ∠DBC ＝∠DAC所以 四边形ADBC 是平行四边形 说明：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，这是一个相当有用的判别两个角相等关系的定理，其关系可以通过作出直径，可用同角的余角相等来证明，平时做题时我们可以直接运用．【模拟试题】（答题时间：40分钟）1、已知⊙O 的半径为3，A 为线段PO 的中点，则当OP=6时，点A 与⊙O 的位置关系为（ ）A 、点在圆内B 、点在圆上C 、点在圆外D 、不能确定 2、⊙O 的半径为5，圆心O 的坐标为（0，0），点P 的坐标为)3,4(-，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A 、点P 在⊙O 内B 、点P 在⊙O 上C 、点P 在⊙O 外D 、不确定 3、已知，如图，等边△ABC 的边长为23cm ，下列以A 为圆心的各圆中，半径是3cm 的圆是（ ）ACB A BCG E F DBA CCEBACEDBA4、I 为△ABC 的内心，如果∠ABC+∠ACB=100°，那么∠BIC 等于（ ） A 、80° B 、100° C 、130° D 、160°5、已知两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则这两圆的位置关系是（ ） A 、内切 B 、相交 C 、外切 D 、外离6、如图所示，⊙O 的外切形梯形ABCD 中，如果AD ∥BC ，那么∠DOC 的度数为（ ） A 、70° B 、90° C 、60° D 、45°7、两圆半径之比为3：5，外切时圆心距等于24cm ，则两圆内切时的圆心距d=____ ． 8、已知两圆的半径分别是方程0232=+-x x 的两根，圆心距为3，则两圆的位置关系是__________．9、如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，OC 与弦AD 平行．求证：DC 是⊙O 的切线．CDAO10、如图所示，点I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交边BC 于点D ，交△ABC 外接圆于点E ．（1）求证：IE=BE ；（2）若IE=4，AE=8，求DE 的长．ICAED B11、如图，△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，⊙O 过点A ，且和BC 切于D ，和AB 、AC 分别交于E 、F ．设EF 交AD 于G ，连结DF ．（1）试说明：EF ∥BC ；（2）已知：DF =2 ，AG =3 ，求EBAE的值．12、如图，已知：在∆ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B ＝∠CAE ．（1）试说明：AF DF =（2）如果BD=10，求AE 长．13、在钝角△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D 点，且AD 与DC 的长度为x 2－7x+12=0方程的两个根，⊙O 是△ABC 的外接圆，如果BD 长为a （a>0）．求△ABC 的外接圆⊙O 的面积．【试题答案】1、B ；2、B ；3、C ；4、C ；5、B ；6、B ；7、6cm ；8、外切；9、证明：如图，连结OD ，∵OA=OD ，∴∠1=∠2， ∵AD ∥OC ，∴∠1=∠3，∠2= ∠4， ∴∠3=∠4，在△OBC 和△ODC 中，∵∠3=∠4，1OB OCOD OC==， ∴△OBC ≌△ODC ，∴∠OBC=∠ODC ， ∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC=90°， ∴∠ODC=90°，∴DC 是⊙O 的切线．10、⑴证明：如图，连结BI ，∵I 为△ABC 的内心，∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠5=∠1+∠3，∠2=∠6，∴∠5=∠4+∠6， 又∵∠EBI=∠4+∠6，∴∠EBI=∠BIE ，∴IE=BE ．⑵解：∵∠1=∠2，∠2=∠6，∴∠1=∠6．又∵∠E=∠E ，∴△BDE ∽△ABE ，∴BE DEAE BE= ，∴BE 2=AE ·DE ，即IE 2=DE ·AE ， ∵IE=4，AE=8，∴42=8DE ，∴DE=2．11、⑴说明：因为⊙O 切BC 于D ，所以∠CDF=∠DAC ，又因为∠BAD=∠DFE ，∠BAD =∠DAC ，所以∠FDC=∠EFD ，所以EF ∥BC⑵解：因为∠BAD =∠DFE ，∠BAD =∠DAC ，所以∠DAC =∠DFE ，又因为∠ADF=∠FDG ，所以△ADF ∽△FDG ，所以GDFDFD AD =， 设GD=x ，则xx 223=+ ，解得x 1=1，x 2=－4，经检验x 1 =1，x 2=－4为所列方程的根，但x 2=－4<0应舍去，所以GD=1 ，由⑴得EF ∥BC ，所以313===GD AG EB AE 12、⑴说明：因为AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠DAC ， 因为∠B ＝∠CAE ，所以∠BAD ＋∠B ＝∠DAC ＋∠CAE ，因为∠ADE ＝∠BAD ＋∠B ，所以∠ADE ＝∠DAE ，所以EA ＝ED ，因为DE 是半圆C 的直径，所以∠DFE ＝90° 所以AF ＝DF⑵因为∠B ＝∠CAE ，∠AEB ＝∠CEA ， 所以△CAE ∽△ABE ，所以AECE BE AE =， 所以AE 2＝BE ·CE ，因为ED ＝EA ，所以CE=21ED=21AE ， 因为BE=BD+DE ，所以 BE=BD+AE ，所以AE 2＝（10+ AE ）·21AE ，解得 AE=10 13、解：∵AD 与DC 的长度为x 2－7x+12的两根 ∴有两种情况：①AD=3，DC=4②AD=4，DC=3由勾股定理：求得AC=5（求△ABC 的外接圆⊙O 的直径长，介绍两种方法供参考）方法一：连接AO 并延长交⊙O 于E 点，连接BE ∴∠ABE=90°又∵∠E=∠C∴△ABE ∽△ADC ， ∴AC ADAB AE AC AE AD AB ⋅=⇒= 方法二：连接AO 并延长交⊙O 于E 点，连接BE ∴∠ABE=90°在Rt △ADC 中：sinC=AD AC ； 在Rt △ABE 中：sinE=AB AE又∵∠C=∠E ，∴sinC=sinE ∴AC ADAB AE AE AB AC AD ⋅=⇒=①当AD=3，DC=4时，AB =∴AE =⊙O 的面积为：π+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅π)a 9(36252AE 22②当AD=4，DC=3时，AB∴AE =⊙O 的面积为：π+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅π)a 16(64252AE 22。