压轴题秘籍03线段最值问题(原卷版)

线段最值问题
题型解读：
线段最值问题在中考中常常以选择题和填空题的
形式出现，分值较小但难度较高.此类题型多综合考查
垂线段最短、"将军饮马"及旋转最值问题，一般要用
到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、勾股定理
和二次函数等相关知识，以及数形结合、分类讨论、
转化与化归等数学思想. 此类题型常涉及以下问题：
①线段和差最值问题；②尺规作图问题；③旋转“费
马点”问题；④点到直线的距离最值问题等.右图为线
段最值问题中各题型的考查热度.
题型1：垂线段最短问题
解题模板：
垂线段最短模型：
1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别
作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）
A．B．C．3D．4
【变式11】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若CD＝5，则DE的最小值等于（）
A．2.5B．4C．5D．10
【变式12】（2021•临淄区一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（）
A．2B．3C．D．
题型2：将军饮马问题
解题模板：
技巧精讲：
1、“将军饮马”模型
2、线段差最大值问题模型：
2.（2021•娄底模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线
BD上的一个动点，则AP+EP的最小值是（）
A．2B．4C．D．2
【变式21】（2022•德州）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（）
A．B．C．D．
【变式22】（2022•菏泽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是对角线BD上的一个动点，CF＝BF，则MA+MF的最小值为（）
A．1B．C．D．2
【变式23】（2022•广安）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（）
A．2B．C．1.5D．
【变式24】（2022•泰山区校级二模）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB的中点．若OB＝4，则阴影部分的面积为．
题型3：旋转最值问题
解题模板：
3.问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：
P A+PC＝PE．
问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O 到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．
【变式31】（2022•连云港）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC．
（1）求证：四边形DBCE为菱形；
（2）若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．
（1）如果点P为锐角三角形ABC的费马点，且∠ABC＝60°．
①求证：△ABP∽△BCP；
②若P A＝3，PC＝4，求PB的长．
（2）已知锐角三角形ABC，分别以AB、AC为边向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P点，连结AP，如图②．
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为△ABC的费马点．
一、填空题
1．（罗平期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的点，BE=1，F为AB的中点，P为AC 上一个动点，则PF+PE的最小值为.
2．（2022·安顺）已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，分别连接MC，MN．若
S△DCG S△FCE=1
9，则MC+MN的最小值为．
3．（2022·南充）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重给），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C给出下列四个结论；①△ABA1△△CBA2；②△ADE+△A1CB=45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为√2；④当△ADE = 30°时，△A1BE的面积为起3−√3
，其中正确的结论
6
是．（填写序号）
二、综合题
4．（大埔期末）已知四边形ABCD是菱形（四条边都相等的平行四边形）．AB＝4，△ABC＝60°，△EAF 的两边分别与边BC，DC相交于点E，F，且△EAF＝60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系
为：．
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B，C重合），求证：BE＝CF；
（3）求△AEF周长的最小值．
5．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（金华月考）如图1，在直线l上找一点C，使AC+BC最短，并在图中标出点C
【简单应用】
（1）如图2，在等边△ABC中，AB＝10，AD△BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC 的最小值，借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连接BM，EM+MC的最小值就是线段的长度，则EM+MC的最小值是；
（2）如图3，在四边形ABCD中，△BAD＝140°，△B＝△D＝90°，在BC，CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，△AMN+△ANM＝°．
（3）如图4，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，△AOB＝30°，OA＝1千米，OB＝2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．。