重难点专项训练-专题01 广东中考计算训练(讲义)(原卷版)

专题01 广东中考计算训练核心知识点精讲
1．理解掌握有理数、无理数的运算方法；
2．理解掌握整式、分式的化简求值；
3．理解掌握常考的因式分解方法；
4．理解掌握一次方程的计算方法；
5．理解掌握二次方程的计算方法；
6．理解掌握分式方程的计算方法；
7．理解掌握不等式及不等式组的运算方法。

1.实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2.整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
3.分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
4．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x ＝a 形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax +bx ＝c ”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a +b ）x ＝c ．使方程逐渐转化为ax ＝b 的最简形式体现化归思想．将ax ＝b 系数化为1时，要准确计算，一弄清求x 时，方程两边除以的是a 还是b ，尤其a 为分数时；二要准确判断符号，a 、b 同号x 为正，a 、b 异号x 为负．
5.解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x 、y 的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的
两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x =a y =b 的形式表示．
6.解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
7.解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
8.解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；
⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．9．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
【题型1：计算】
【典例1】（2023•雷州市一模）计算：(4−√3)0−3tan60°+(1
2
)−2+√12．
1．（2024•福田区校级自主招生）计算：|−√3|−2sin60°+(1
4
)−1+(2023−π)0．
2．（2023•罗湖区校级模拟）计算：(−1
3
)−1+(2023−√3)0−4sin60°+|−√12|．
3．（2023•宝安区校级三模）计算：(√2023−π)0+2−2−2cos45°+|1−√2|．
【题型2：整式、分式运算】 【典例2】（2023•龙岗区校级一模）先化简：
x 2−4x+4x+2÷（1−4x+2
），然后从2，0，﹣2中选一个合适的数代入求值．
1．（2023•香洲区校级三模）已知T ＝（a +3b ）2+（a +3b ）（a ﹣3b ）+a 2+3b 2．
（1）化简T ；
（2）若a 、b 是关于x 的方程x 2﹣3x +2＝0的两个实数根，求T 的值．
2．（2023•中山市校级模拟）先化简，再求值：x 2−4x+4
x 2−x ÷（1−1x−1）；其中x =√2． 3．（2023•天河区校级一模）已知多项式A ＝（x +2）2+（x +2）（1﹣x ）﹣3．
（1）化简多项式A ；
（2）若（x +1）2＝5，求A 的值．
【题型3：因式分解】
【典例3】（2023•蓬江区校级一模）分解因式：x 3﹣9x ＝ ．
1．（2023•天河区校级三模）分解因式：2a 2﹣8＝ ．
2．（2023•东莞市一模）因式分解：3x 2﹣12＝ ．
3．（2023•南山区校级三模）分解因式：8a ﹣2a 3＝ ．
【题型4：解一次方程】
【典例4】（2023•越秀区校级模拟）解方程：5﹣2（x ﹣1）＝3．
1.（2023•南沙区一模）解一元一次方程：2（x ﹣3）＝3（x +4）．
2．（2021•饶平县校级模拟）解方程：
（1）5x ﹣4＝2（2x ﹣3）；
（2）x−32−4x+15=1．
3．（2023•陆丰市二模）解方程组：{3x −2y =7
x−23−2y−12
=1． 4．（2023•东莞市校级模拟）解方程组：{12x −32y =−12x +y =3
． 5．（2023•天河区校级三模）解方程组：{x +2y =73x +4y =17
．
【题型5：解二次方程】
【典例5】（2023•广州）解方程：x 2﹣6x +5＝0．
1．（2024•深圳模拟）解方程：x 2﹣4x +3＝0．
2．（2023•汕头二模）解方程：x 2﹣6x ﹣7＝0．
3．（2023•深圳模拟）解方程：x 2﹣4x ﹣12＝0．
【题型6：解分式放长】 【典例6】（2023•越秀区校级二模）解方程：
x x−3−2=4x−3．
1．（2023•越秀区校级二模）解方程：3x−2−x 2−x
=−2． 2．（2023•惠东县校级三模）解分式方程：
x x 2−1+1=x x+1．
3．（2023•中山市模拟）解方程：3x−1−x+2
x 2−x =0．
【题型7：不等式及不等式组的运算】
【典例7】（2023•丰顺县一模）解不等式组{1−12(3−x)＜x 2(x +5)≥6(x −1)
并把解集在数轴上表示出来．
1．（2023•阳山县二模）解不等式组：{2x −1＜1①4−x ≥1②
． 2．（2023•潮阳区一模）解不等式组{2x +1≤x +23x−12
＜2x +1． 3．（2023•荔湾区校级二模）解不等式组{3x −2＜2x 2x −1≥x −2
，并把解集在数轴上表示出来．
一．解答题（共17小题）
1．（1）解方程：x +2x+13
=3x−56； （2）解方程组：{3x −5y =3
x 2−y 3=1．
2．（1）计算：(2√3−π)0−|1−√3|+3tan30°+(−12)−2；
（2）先化简，再求值：(1−x+1x )÷x 2−1x 2−x
，其中x =√2−1． 3．已知M ＝2x 2+ax ﹣5y +b ，N ＝bx 2−32x −52y ﹣3，其中a ，b 为常数．
（1）求整式M ﹣2N ；
（2）若整式M ﹣2N 的值与x 的取值无关，求（a +2M ）﹣（2b +4N ）的值．
4．计算：(π−1)0−tan60°+(12)−1+|−√3|．
5．（1）计算：6a 6b 4÷3a 3b 4+a 2⋅（﹣5a ）；
（2）分解因式：ab 2﹣10ab +25a ．
6．计算：|2−3√3|−(−14)−1+(2024−π)0−6cos30°．
7．先化简，再求值：（3x 2﹣4xy ﹣4y 2）﹣4（x 2﹣xy +2y 2），其中x ＝2，y =−12．
8．解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）x −32≤4x−12；
（2）{x −52＜
x+133x−46≤2x−13． 9．（1）计算：sin 245°−√27+12(√3−2006)0+6tan30°．
（2）解方程：
①x 2﹣6x +5＝0；
②（4x ﹣1）2＝8x ﹣2．
10．解方程：
（1）2﹣3（x ﹣1）＝2（x ﹣2）；
（2）3x+25=1+2x−13．
11．（1）分解因式：4x 2y ﹣4xy 2+y 3；
（2）计算：[（x ﹣2y ）（x +2y ）﹣（x ﹣2y ）2]+4y ．
12．先化简，再求值：3（4a 2b ﹣ab 2）﹣2（﹣ab 2+3a 2b ），其中a =16，b ＝﹣3．
13．解方程组：{2x −y =8x +2y =−1
． 14．解下列方程组：
（1）{x −y =2x +1=2(y −1)
； （2）{2x +3y =1
y−14
=x−23． 15．计算：|−√12|−(4−π)0−4sin60°+(15)−1．
16．解方程：x x−1+2=
32x−2． 17．解分式方程：1x−2−3=x−12−x
．
一．解答题（共13小题）
1．已知代数式A ＝2x 2+3xy +2y ，B ＝x 2﹣xy +x ．
（1）求A ﹣2B ；
（2）若|x +2|+（1﹣y ）2＝0，求A ﹣2B 的值．
2．先化简，再求值：12x 2−2(x 2−13y)+(−32x 2+13y)；其中x ＝﹣1，y ＝2．
3．化简求值：2（3a 2b ﹣ab 2）﹣3（2a 2b ﹣ab 2+ab ），其中a =12，b ＝﹣2．
4．先化简，再求值：（1）[（2x +y ）（2x ﹣y ）﹣（2x ﹣3y ）2]÷（2y ），其中x ＝﹣2，y =(−13)−1．
（2）a 2−2a+1
a 2−1÷(1−1a
)，从1，﹣1，0，2中选取一个你认为合适的数求值． 5．先化简，再求值：(
a+1a−1−1a−1)÷a a 2−2a+1，请从0、1、2三个数中选取一个合适的数代入求值． 6．先化简，再求值：(x 2−4x 2−4x+4−x x−2)÷x 2+2x x−2，其中x 是方程2x−3−1x
=0的解． 7．先化简，再求值：
x 2+2x+1x 2+2x ÷（1−1x+2
），若﹣3＜x ≤1，请你选取一个合适的x 的整数值，求出原式的值． 8．解方程：3（x ﹣1）﹣2（x +10）＝﹣6．
9．解方程：3x−12=x+23．
10．解方程：
（1）4x +3（2x ﹣3）＝12﹣（x +4）；
（2）5y+43+y−14=2−5y−512．
11．若方程组{3x −y =7ax +y =b 和方程组{x +by =a 2x +y =8
有相同的解，求a ，b 的值． 12．解方程：2x 2+3＝7x ．
13．按要求解方程：
（1）x 2+8x ＝9（配方法）；
（2）（2x +1）2﹣25＝0（因式分解法）．
一．解答题（共14小题） 1．（2023•深圳）先化简，再求值：（1x−1
+1）÷x 2−1x 2−2x+1，其中x ＝3． 2．（2023•广州）已知a ＞3，代数式：A ＝2a 2﹣8，B ＝3a 2+6a ，C ＝a 3﹣4a 2+4a ．
（1）因式分解A ；
（2）在A ，B ，C 中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
3．（2023•深圳）计算：（1+π）0+2﹣|﹣3|+2sin45°．
4．（2023•广东）（1）计算：√83
+|﹣5|+（﹣1）2023． （2）已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过点（0，1）与点（2，5），求该一次函数的表达式．
5．（2022•深圳）化简求值：（2x−2x −1）÷x 2−4x+4x 2−x
，其中x ＝4． 6．（2022•广东）先化简，再求值：a +a 2−1a−1，其中a ＝5．
7．（2022•深圳）（π﹣1）0−√9+√2cos45°+（15）﹣1．。