专题17 几何图形之最值问题(解析版)-【搞定压轴题】2022年中考数学压轴题全揭秘(四川专用)

专题16几何图形之最值问题
【真题精选】
1．（2020•绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M 是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为−2．
【解析】解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O 作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．
∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，∴OM=12AD＝2，
∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGF＝30°，
∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，
∵CD＝4，∴CG＝2，∴OG＝23，GF=3，OF＝33，∴ME≥OF﹣OM＝33−2，
∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为33−2．
2．（2019•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC 上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN 的最小值为125．
【解析】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC=B2+B2=5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积=12AB×AC=12BC×AD，∴AD=B×B B=125，∴MN的最小值为125；故
答案为：125．
3．（2019•眉山）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝42．⊙O的半径为2，点P是AB边上
的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ
【解析】解：连接OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝42，∴AB=2OA＝8，∴OP=B⋅B B=4，
∴PQ=B2−B2=23．故答案为23．
4．（2017•德阳）如图，已知⊙C的半径为3，圆外一定点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB 的最小值为4．
【解析】解：如图，连接OP，PC，OC，
∵OP+PC≥OC，OC＝5，PC＝3，∴当点O，P，C三点共线时，OP最短，
如图，∵OA＝OB，∠APB＝90°，∴AB＝2OP，
当O，P，C三点共线时，∵OC＝5，CP＝3，∴OP＝5﹣3＝2，
∴AB＝2OP＝4，故答案为：4．
【例题讲解】
例1．（平移变换求最值）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射
线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C
【解析】解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，
∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，
∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，
∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，
∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH=12AD=12，∴DE＝1，∴DE ＝CD，
∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝
2=3．答案为：3．
例2．（翻折变换求最值）如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB＝3，∠BAD＝45°，按下列步骤进行裁剪和拼图．
第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片；
第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；
第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，
△PQM和△DCF在DC同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处，（边PR与BC重合，△PRN和△BCG在BC同侧）．
则由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为6105．
【解析】解：∵△ABE≌△CDF≌△PMQ，∴AE＝DF＝PM，∠EAB＝∠FDC＝∠MPQ，
∵△ADE≌△BCG≌△PNR，
∴AE＝BG＝PN，∠DAE＝∠CBG＝∠RPN，∴PM＝PN，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠DCB＝45°，∴∠MPN＝90°，∴△MPN是等腰直角三角形，
当PM最小时，对角线MN最小，即AE取最小值，∴当AE⊥BD时，AE取最小值，
过D作DF⊥AB于F，∵平行四边形ABCD的面积为6，AB＝3，∴DF＝2，
∵∠DAB＝45°，∴AF＝DF＝2，∴BF＝1，
=MN=2AE=
∴BD=B2+B2=5，∴AE=B⋅B B=
故答案为：6105．
例3．（旋转变换求最值）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝23，将矩形ABCD绕点C 顺时针旋转，得到矩形A1B1CD1，点E是A1B1的中点，过B作BF⊥B1C于点F，连接DE，DF，则线段DE长度的最大值是，线段DF长度的最小值是．
【解析】解：如图，取BC的中点O，连接OF，OD，EC．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，AB＝CD＝2，
∵OB＝OC=3，∴OD=(3)2+22=7，
∵BF⊥CF，∴∠BFC＝90°，∴OF=12BC=3，∴DF≥OD﹣OF=7−3，
∴DF的最小值为7−3．
同法EC=(23)2+12=13，DE≤CD+CE＝2+13，
∴DE的最大值为2+13，故答案为2+13，7−3．
【课后训练】
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG
⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，连接PD，PG，则PD+PG的最小值为−2．
【解析】解：如图：
取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆．
连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E．
由以上作图可知，BG⊥EC于G．PD+PG＝PD′+PG＝D′G
由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小．
∵D′C′＝AB＝3，OC′＝6，∴D′O=32+62=35∴D′G＝DO﹣OG＝35−2，∴PD+PG的最小值为35−2，故答案为：35−2．
2.在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点D，
连接AD，BD，CD，则12BD+AD
【解析】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝2，连接FD，AF．
∴CD＝4，CF＝2，CB＝8，∴CD2＝CF•CB，∴B B=B B，
∵∠FCD＝∠DCB，∴△FCD∽△DCB，∴B B=B B=12，∴DF=12BD，∴12BD+AD＝DF+AF，∵DF+AD≥AF，AF=22+62=210，∴12BD+AD的最小值是210，故答案为210．
3．在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝120°，点E是AB的中点，点P是对角线BD上一个动点，则PA+PE的最小值是．
【解析】解：连接DE，
∵在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝120°，点E是AB的中点，∴∠DAB＝60°，AE＝BE ＝2，
∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD，∴DE⊥AB，
∵AB∥CD，∴DE⊥CD，
连接EC，与BD交于点P，连接AC，此时PA+PE＝CP+EP＝CE值最小，
∵DE=＝23，∴CE=B2+B2=(23)2+42=27，
∴PA+PE的最小值是27，故答案为：27．
4．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB＝9，AD＝18，M，N是直线BC上的动点，且MN＝3，则OM+ON最小值＝．
【解析】解：如图所示，作点O关于BC的对称点P，连接PM，将MP沿着MN的方向平移MN长的距离，得到NQ，连接PQ，则四边形MNQP是平行四边形，
∴MN＝PQ＝3，PM＝NQ＝MO，∴OM+ON＝QN+ON，
当O，N，Q在同一直线上时，OM+ON的最小值等于OQ长，连接PO，交BC于E，
由轴对称的性质，可得BC垂直平分OP，又∵矩形ABCD中，OB＝OC，
∴E是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=12AB＝4.5，∴OP＝2×4.5＝9，又∵PQ∥MN，∴PQ⊥OP，∴Rt△OPQ中，OQ=B2+B2=92+32=310，
∴OM+ON的最小值是310，故答案为：310．
5.如图，四边形ABCD中，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝3，AB＝5，BC＝2，P是边AB上的动点，
则PC+PD的最小值是52．
【解析】解：延长CB到C′，使C′B＝CB＝2，连接DC′交AB于P．则DC′就是PC+PD 的和的最小值．
∵AD∥BC，∴∠A＝∠PBC′，∠ADP＝∠C′，∴△ADP∽△BC′P，
∴AP：BP＝AD：BC′＝3：2，′∴PB=23AP，
∵AP+BP＝AB＝5，∴AP＝3，BP＝2，
∴PD=B2+B2=32+32=32，PC′=B2+B'2=22+22=22，
∴DC′＝PD+PC′＝32+22=52，
∴PC+PD的最小值是52，故答案为52．
6.如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两
个动点，则AM+MN的最小值为15．
【解析】解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′作A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，
在Rt△ABD中，AB=B tz0°=103，
∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝53，∴A′H=3AH＝15，
∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，
∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．
7.如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，
则CD的最大值是14．
【解析】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，连接CA'、MA'、MB'、A'B'、B'D，
∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，∴CD的最大值为14，故答案为14．8．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝25，E是边CD上一点，将△ADE沿直线AE折叠得到△AFE，BF的延长线交边CD于点G，则DG的最大值为2．
【解析】如图，以点A为圆心，AD长为半径画弧，
过点B作弧的切线交CD于点G，切点为F，
此时点E和点G重合，DG的最大值即为DE的长．
∵BC＝AD＝25，AB＝CD＝6，
根据翻折可知：DE＝EF＝x，AF＝AD＝25，
则CE＝CD﹣DE＝6﹣x，
在Rt△ABF中，根据勾股定理，得BF=B2−B2=4，
则BE＝BF+EF＝4+x，在Rt△BEC中，根据勾股定理，得
（4+x）2＝（6﹣x）2+（25）2，解得x＝2．则DG的最大值为2．
故答案为：2．
9.已知，△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，且∠BAC＝∠DAE＝120°，
把△ADE绕点A在平面内自由旋转．如图，连接BD，CD，CE，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，连接MP，PN，MN，则△PMN的面积最大值为49316．
【解析】如图，
∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠1＝∠2，BD＝CE，
∵点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，
∴PM为△DEC的中位线，PN为△CBD的中位线，
∴MP=12CE，MP∥CE，PN∥BD，PN=12BD，∴PM＝PN，
∵PM∥CE，∴∠MPD＝∠2+∠3＝∠1+∠3，
∵PN∥BD，∴∠5＝∠6，∵∠DPN＝∠4+∠5＝∠6+∠4，
∴∠MPN＝∠MPD+∠DPN＝∠1+∠3+∠6+∠4＝∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，
∴△PMN为等边三角形，∴S
△PMN=34PN2=34（12BD）2=316BD2，
当BD最大时，S
的值最大，而BD≤AB+AD（当且仅当B、A、D共线时取等号），△PMN
∴BD的最大值为5+2＝7，∴S
的最大值为49316．故答案为49316．
△PMN
10.如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，当点B在ON上移动
时，点A随之移动，AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O+1．
【解析】如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，
∵∠MON＝90°，AB＝2，∴OE＝AE=12AB＝1，
∵BC＝1，四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，
∴DE=B2+B2=2，
根据三角形的三边关系，OD≤OE+DE，
∴当OD过点E时，等号成立，DO的值最大，最大值为2+1．
故答案为：2+1．。