开鲁县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

开鲁县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（ ）
A ．11
B ．11.5
C ．12
D ．12.5
2． 设F 1，F 2分别是椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，若∠F 1PQ=60°，
|PF 1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x 2﹣4=0}，则A ∩B=（ ）
A ．{﹣2}
B ．{2}
C ．{﹣2，2}
D ．∅
4． 已知集合},052|{2
Z x x x x M ∈<+=，},0{a N =，若∅≠N M ，则=a （ ） A ．1- B ． C ．1-或 D ．1-或2- 5． 设偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，则使得f （x ）＞f （2x ﹣1）成立的x 的取值范围是（ ）
A ．（，1）
B ．（﹣∞，）∪（1，+∞）
C ．（﹣，）
D ．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）
6． 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n =，则35a a +等于（ ）
A ．
259 B ．2516 C ．6116 D ．3115
7． 在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭的展开式中，含2
x 项的系数为（ ）
（A ）10 （ B ） 30 （C ） 45 （D ） 120
8． 已知点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2，则|PF|=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0＜x＜a}，若A⊆B，则实数a的范围是（）
A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．[﹣∞，3] D．[﹣∞，3）
10．下面的结构图，总经理的直接下属是（）
A．总工程师和专家办公室
B．开发部
C．总工程师、专家办公室和开发部
D．总工程师、专家办公室和所有七个部
11．函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1 D．e﹣x﹣1
12．下列命题中的假命题是（）
A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∃x∈R，lgx＜1 C．∀x∈N+，（x﹣1）2＞0 D．∃x∈R，tanx=2
二、填空题
13．递增数列{a n}满足2a n=a n﹣1+a n+1，（n∈N*，n＞1），其前n项和为S n，a2+a8=6，a4a6=8，则S10=．
14．已知
1
sin cos
3
αα
+=，(0,)
απ
∈，则
sin cos
7
sin
12
αα
π
-
的值为．
15．抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2
：交于A，B两点，C1与C2的
两条渐近线分别交于异于原点的两点C，D，且AB，CD分别过C2，C1
的焦点，则=．
16．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为．
①函数y=2x3+3x﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称；
②对∀x，y∈R．若x+y≠0，则x≠1或y≠﹣1；
③若实数x，y满足x2+y2=1
，则
的最大值为；
④若△ABC为锐角三角形，则sinA＜cosB．
⑤在△ABC 中，BC=5，G ，O 分别为△ABC 的重心和外心，且•=5，则△ABC 的形状是直角三角形．
17．若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意的正整数n ，都有a n+T =a n 成立，则称数列{a n }为周期为T 的周
期数列．已知数列{a n }满足：a1＞=m （m ＞a ），a n+1=
，现给出以下三个命题：
①若 m=，则a 5=2；
②若 a 3=3，则m 可以取3个不同的值；
③若 m=
，则数列{a n }是周期为5的周期数列．
其中正确命题的序号是 ．
18．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】函数()3
f x x x =-+的单调增区间是__________．
三、解答题
19．2015年第7届女足世界杯在加拿大埃德蒙顿联邦体育场打响，某连锁分店销售某种纪念品，每件纪念品的成本为4元，并且每件纪念品需向总店交3元的管理费，预计当每件纪念品的售价为x 元（7≤x ≤9）时，一
年的销售量为（x ﹣10）2
万件．
（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件纪念品的售价x 的函数关系式L （x ）；
（Ⅱ）当每件纪念品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L 最大，并求出L 的最大值．
20．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，AB=2，AA 1=2，D 是AA 1的中点，BD 与AB 1交
于点O ，且CO ⊥ABB 1A 1平面． （1）证明：BC ⊥AB 1；
（2）若OC=OA ，求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分） 已知函数21
()x f x x +=
，数列{}n a 满足：12a =，11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
（N n *∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.
22．在正方体1111D ABC A B C D -中,,E G H 分别为111,,BC C D AA 的中点. （1）求证：EG 平面11BDD B ；
（2）求异面直线1B H 与EG 所成的角]
23．设M是焦距为2的椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点，A、B是椭圆E的左、右顶点，直线
MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）上点N（x0，y0）处切线方程为+=1，若P
是直线x=2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C、D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．
24．已知=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），设函数f（x）=﹣．
（1）写出函数f（x）的周期，并求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[π，]上的最大值和最小值．
开鲁县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12．故选：C．
2．【答案】D
【解析】解：设|PF1|=t，
∵|PF1|=|PQ|，∠F1PQ=60°，
∴|PQ|=t，|F1Q|=t，
由△F1PQ为等边三角形，得|F1P|=|F1Q|，
由对称性可知，PQ垂直于x轴，
F2为PQ的中点，|PF2|=，
∴|F1F2|=，即2c=，
由椭圆定义：|PF1|+|PF2|=2a，即2a=t=t，
∴椭圆的离心率为：e===．
故选D．
3．【答案】A
【解析】解：由A 中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；
由B 中的方程x 2
﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，
则A ∩B={﹣2}． 故选A
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
4． 【答案】D 【解析】
试题分析：由{}
{}1,2,025
,0522--=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-
=∈<+=Z x x x Z x x x x M ，集合{}a N ,0=， 又φ≠N M ，1-=∴a 或2-=a ，故选D ． 考点：交集及其运算．
5． 【答案】A
【解析】解：因为f （x ）为偶函数，
所以f （x ）＞f （2x ﹣1）可化为f （|x|）＞f （|2x ﹣1|） 又f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|x|＞|2x ﹣1|，
即（2x ﹣1）2＜x 2
，解得＜x ＜1，
所以x 的取值范围是（，1）， 故选：A ．
6． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2
123
n a a a a n =，则2
123
1(1)n a a a a n -=-，两式作商，可得2
2
(1)
n n a n =-，所以2235223561
2416
a a +=+=，故选C ．
考点：数列的通项公式． 7． 【答案】C
【解析】因为1010
101
9102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2
x 项只能在
10(1)x +展开式中，即为2210C x ，系数为2
10
45.C =故选C ．
8．【答案】B
【解析】解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=﹣1，
∵P到焦点F的距离等于P到准线的距离，P的横坐标是2，
∴|PF|=2+1=3．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题．
9．【答案】B
【解析】解：∵集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0＜x＜a}，
若A⊆B，则a＞3，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的包含关系，考查不等式问题，是一道基础题．
10．【答案】C
【解析】解：按照结构图的表示一目了然，
就是总工程师、专家办公室和开发部．
读结构图的顺序是按照从上到下，从左到右的顺序．
故选C．
【点评】本题是一个已知结构图，通过解读各部分从而得到系统具有的功能，在解读时，要从大的部分读起，一般而言，是从左到右，从上到下的过程解读．
11．【答案】D
【解析】解：函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，
而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象关于y轴对称，
所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．
故选D．
12．【答案】C
【解析】解：A．∀x∈R，2x﹣1=0正确；
B．当0＜x＜10时，lgx＜1正确；
C．当x=1，（x﹣1）2=0，因此不正确；
D ．存在x ∈R ，tanx=2成立，正确． 综上可知：只有C 错误．
故选：C ．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数、正切函数的单调性，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】 35 ．
【解析】解：∵2a n =a n ﹣1+a n+1，（n ∈N *，n ＞1）， ∴数列{a n }为等差数列，
又a 2+a 8=6，∴2a 5=6，解得：a 5=3， 又a 4a 6=（a 5﹣d ）（a 5+d ）=9﹣d 2=8， ∴d 2=1，解得：d=1或d=﹣1（舍去） ∴a n =a 5+（n ﹣5）×1=3+（n ﹣5）=n ﹣2． ∴a 1=﹣1， ∴S 10=10a 1+=35．
故答案为：35．
【点评】本题考查数列的求和，判断出数列{a n }为等差数列，并求得a n =2n ﹣1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．
14．【答案】3
【解析】
7sin
sin sin cos cos sin 12434343πππππππ⎛⎫
=+=+ ⎪⎝⎭
4=,
sin cos
733
sin
12
αα
π
-
∴==,
考点：1、同角三角函数之间的关系；2、两角和的正弦公式.
15．【答案】
．
【解析】解：由题意，CD过C1
的焦点，根据，得x C
=，∴b=2a；
由AB过C2的焦点，得A（c
，），即A（c，4a），
∵A（c，4a）在C1上，
∴16a2=2pc，
又
c=a，
∴
a=，
∴
=
=．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线、抛物线的简单性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
16．【答案】：①②③
【解析】解：对于①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确；
对于②对∀x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；
对于③若实数x，y满足x2+y2=1
，则
=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线
的斜率，其最大值为，③正确；
对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，
即π﹣A﹣B
＜，即A+B
＞，B
＞﹣A，
则cosB＜cos
（﹣A），
即cosB＜sinA，故④不正确．
对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，
取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，
∵=|，
由
则，
即
则
又BC=5
则有
由余弦定理可得cosC＜0，
即有C为钝角．
则三角形ABC为钝角三角形；⑤不正确．
故答案为：①②③
17．【答案】①②．
【解析】解：对于①由a n+1=，且a1=m=＜1，
所以，＞1，，，∴a5=2 故①正确；
对于②由a3=3，若a3=a2﹣1=3，则a2=4，若a1﹣1=4，则a1=5=m．
若，则．
若a1＞1a1=，若0＜a1≤1则a1=3，不合题意．
所以，a3=2时，m即a1的不同取值由3个．
故②正确；
若a
=m=＞1，则a2=，所a3=＞1，a4=
1
故在a1=时，数列{a
}是周期为3的周期数列，③错；
n
故答案为：①②
【点评】本题主要考查新定义题目，属于创新性题目，但又让学生能有较大的数列的知识应用空间，是较好的题目
18．【答案】(33
-
【解析】()2
31033f x x x ⎛=-+>⇒∈- ⎝'⎭ ,所以增区间是33⎛- ⎝⎭
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）该连锁分店一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：
L （x ）=（x ﹣7）（x ﹣10）2，x ∈[7，9]，
（Ⅱ）L ′（x ）=（x ﹣10）2
+2（x ﹣7）（x ﹣10）=3（x ﹣10）（x ﹣8），
令L ′（x ）=0，得x=8或x=10（舍去），
∵x ∈[7，8]，L ′（x ）＞0，x ∈[8，9]，L ′（x ）＜0， ∴L （x ）在x ∈[7，8]上单调递增，在x ∈[8，9]上单调递减，
∴L （x ）max =L （8）=4；
答：每件纪念品的售价为8元，该连锁分店一年的利润L 最大，最大值为4万元．
【点评】本题考查了函数的解析式问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．
20．【答案】
【解析】（I ）证明：由题意，因为ABB 1A 1是矩形，
D 为AA 1中点，AB=2，AA 1=2
，AD=
，
所以在直角三角形ABB 1中，tan ∠AB 1B==，
在直角三角形ABD 中，tan ∠ABD==
，
所以∠AB 1B=∠ABD ，
又∠BAB 1+∠AB 1B=90°，∠BAB 1+∠ABD=90°， 所以在直角三角形ABO 中，故∠BOA=90°， 即BD ⊥AB 1，
又因为CO ⊥侧面ABB 1A 1，AB 1⊂侧面ABB 1A 1， 所以CO ⊥AB 1 所以，AB 1⊥面BCD ， 因为BC ⊂面BCD ， 所以BC ⊥AB 1．
（Ⅱ）解：如图，分别以OD ，OB 1，OC 所在的直线为x ，y ，z 轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系，则A （0
，﹣，0），B
（﹣，0，0），C （0，0
，
），B 1（0
，
，0），D
（
，0，0），
又因为
=2
，所以
所以
=
（﹣
，
，0
），
=（0
，
，
），
=
（
，
，
），
=
（
，0
，﹣
），
设平面ABC
的法向量为=（x ，y ，z ），
则根据
可得=（1
，
，﹣
）是平面ABC 的一个法向量，
设直线CD 与平面ABC 所成角为α，则sin α
=， 所以直线CD 与平面ABC
所成角的正弦值为
．…
【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．
21．【答案】
【解析】（1）∵211
()2x f x x x
+=
=+，∴11()2n n n a f a a +==+.
即12n n a a +-=，所以数列{}n a 是以首项为2，公差为2的等差数列， ∴1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=. （5分） （2）∵数列{}n a 是等差数列，
∴1()(22)(1)22
n n a a n n n
S n n ++=
==+， ∴1111(1)1
n S n n n n ==-++. （8分） ∴1231111n n
T S S S S =
++++
11111111()()()()1223341
n n =-+-+-++-+ 111n =-
+1
n
n =+. （12分） 22．【答案】（1）证明见解析；（2）90．
【解析】
（2）延长DB 于M ，使1
2
BM BD =
,连结11,,B M HM HB M ∠为所求角.
设正方体边长为,则111651011,cos 02222
B M B H AM HM HB M =
===∴∠=, 1B H ∴与EG 所成的角为90.
考点：直线与平行的判定；异面直线所成的角的计算.
【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定与证明、空间中异面直线所成的角的计算，其中解答中涉及到平行四边形的性质、正方体的结构特征、解三角形的相关知识的应用，着重考查了学生的空间想象能力以
及学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中根据异面直线所成的角找到角1HB M 为异面直线所成的角是解答的一个难点，属于中档试题. 23．【答案】
【解析】（1）解：设A （﹣a ，0），B （a ，0），M （m ，n ），则
+=1，
即n 2=b 2•
，
由k 1k 2=﹣，即
•=﹣
，
即有
=﹣
，
即为a 2=2b 2，又c 2=a 2﹣b 2
=1， 解得a 2=2，b 2
=1．
即有椭圆E 的方程为+y 2=1；
（2）证明：设点P （2，t ），切点C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），
则两切线方程PC ，PD 分别为：
+y 1y=1，
+y 2y=1，
由于P 点在切线PC ，PD 上，故P （2，t ）满足+y 1y=1，
+y 2y=1，
得：x 1+y 1t=1，x 2+y 2t=1，
故C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）均满足方程x+ty=1， 即x+ty=1为CD 的直线方程． 令y=0，则x=1， 故CD 过定点（1，0）．
【点评】本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．
24．【答案】
【解析】解：（1）∵=（sinx ，cosx ），=（sinx ，sinx ），
∴f （x ）=﹣
=
sin 2x+sinxcosx ﹣=
（1﹣cos2x ）+sin2x ﹣
=﹣
cos2x+sin2x ﹣
=sin
（2x ﹣
），
∴函数的周期为T==π，
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z）解得kπ﹣≤x≤kπ+，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；
（2）由（1）知f（x）=sin（2x﹣），
当x∈[π，]时，2x﹣∈[，]，
∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，
故f（x）在区间[π，]上的最大值和最小值分别为1和﹣．
【点评】本题考查向量的数量积的运算，三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，属于中档题．。