计数原理练习题(加法原理 乘法原理 容拆原理)
(完整版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题(有答案)
分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题（有答案）选修2-3 1.1第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题 1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为( ) A．182 B．14 C．48 D．91 [答案] C [解析] 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48，故选C. 2．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( ) A．13种 B．16种 C．24种 D．48种 [答案] A [解析] 应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A. 3．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e，f，g}，从集合A到集合B的不同的映射个数是( ) A．24 B．81 C．6 D．64 [答案] D [解析] 由分步乘法计数原理得43＝64，故选D. 4．5本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法( ) A．720种 B．7776种 C．360种 D．3888种 [答案] B [解析] 每本书有6种不同去向，5本书全部送完，这件事情才算完成．由乘法原理知不同送书方法有65＝7776种． 5．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( ) A．8种 B．9种 C．10种 D．11种 [答案] B [解析] 设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，用分类加法计数原理求解，共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法． 6．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) A．2 000 B．4096 C．5 904 D．8 320 [答案] C [解析] 可从反面考虑，卡号后四位数不带“4”或“7”的共有8×8×8×8＝4 096个，所以符合题意的共有5 904个． 7．如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( ) A．26 B．24 C．20 D．19 [答案] D [解析] 因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19，故选D. 8．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( ) A．42 B．30 C．20 D．12 [答案] A [解析] 将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第1个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以不同的插法共6×7＝42(种)． 9．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为( ) A．34 B．43 C．12 D．24 [答案] C [解析] 显然(a，a)、(a，c)等均为A*B中的元素，确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步计数原理可知A*B中有3×4＝12个元素．故选C. 10．某医院研究所研制了5种消炎药X1、X2、X3、X4、X5和4种退烧药T1、T2、T3、T4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，又知X1、X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和X4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有( ) A．16种 B．15种 C．14种 D．13种 [答案] C [解析] 解决这类问题应分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度思考问题．试验方案有：①消炎药为X1、X2，退烧药有4种选法；②消炎药为X3、X4，退烧药有3种选法；③消炎药为X3、X5，退烧药有3种选法；④消炎药为X4、X5，退烧药有4种选法，所以符合题意的选法有4＋3＋3＋4＝14(种)．二、填空题11．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有________个(用数字作答)． [答案] 24 [解析] 可以分三类情况讨论：①若末位数字为0，则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成12个五位数；②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排在前3位，且0不是首位数字，则共有4个五位数；③若末位数字为4，则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不是首位数字，则共有8个五位数，所以符合要求的五位数共有24个． 12．三边均为整数且最大边长为11的三角形有________个． [答案] 36 [解析] 另两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11.要构成三角形，需x＋y≥12.当y＝11时，x∈{1,2，…，11}，有11个三角形；当y＝10时，x∈{2,3，…，10}，有9个三角形……当y＝6时，x＝6，有1个三角形．所以满足条件的三角形有11＋9＋7＋5＋3＋1＝36(个)． 13．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(用数字作答) [答案] 48 [解析] 本题可分为两类完成：两老一新时，有3×2×2＝12(种)排法；两新一老时，有2×3×3×2＝36(种)排法，即共有48种排法． 14．已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能．在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有______种． [答案] 16 [解析] 五个开关全闭合有1种情况能使电路接通；四个开关闭合有5种情况能使电路接通；三个开关闭合有8种情况能使电路接通；两个开关闭合有2种情况能使电路接通；所以共有1＋5＋8＋2＝16种情况能使电路接通．三、解答题 15．有不同的红球8个，不同的白球7个． (1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？ (2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？ [解析] (1)由分类加法计数原理得从中任取一个球共有8＋7＝15种； (2)由分步乘法计数原理得从中任取两个球共有8×7＝56种． 16．若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数． [分析] 由题目可获取以下主要信息： (1)由x，y∈N*且x＋y≤6，知x，y的取值均不超过6； (2)(x，y)是有序数对．解答本题可按x(或y)的取值分类解决． [解析] 按x的取值时行分类：x＝1时，y＝1,2，…，5，共构成5个有序自然数对； x＝2时，y＝1,2，…，4，共构成4个有序自然数对；… x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对． [点评] 本题是分类计数原理的实际应用，首先考虑x，y的取值均为正整数，且其和不能超过6，同时注意(x，y)是有序数对，如(1,2)与(2,1)是不同的数对，故可按x或y 的取值进行分类解决．计数的关键是抓住完成一件事是分类还是分步，一个类别内又要分成几个步骤，一个步骤是否又会分若干类． 17．随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容．交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并有3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？ [解析] 将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的8个数字中选1个，放在第6位，有8种选法．根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26×25×24×10×9×8＝11 232 000(个)．同理，字母组合在右的牌照也有11 232 000个．所以，共能给11 232 000＋11 232 000＝22 464 000辆汽车上牌照． 18．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中ai，bj(i＝1,2,3,4，j＝1,2)均为实数． (1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？ (2)能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？ [解析] (1)因为集合A中的元素ai(i＝1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，可构成A→B的映射有N＝24＝16个． (2)在(1)的映射中，a1，a2，a3，a4均对应同一元素b1或b2的情形．此时构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个．所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有M＝16－2＝14个．。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习(含答案)
【选修2-3】两种计数原理练习班级： 姓名：1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（ ）A ．30个B ．42个C ．36个D ．35个答案：Ｃ3.在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）A.24B.34C.43D.4答案：244．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（ ）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（ ）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．166．三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ ）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ4．用1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（ ）（A ）265个 （B ）232个 （C ）128个 （D ）24个5．用1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（ ）（A ）265个 （B ）232个 （C ）128个 （D ）24个7. 整数630的正约数（包括1和630）共有 个8．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ．答案：2(1)n n -9．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则方程22()()25x a y b -+-=表示不同的圆的个数是 ．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有 项．答案：1011．如图，从A→C，有种不同走法．Array答案：612．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有种．答案：347．某班一天上午排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排一、四节，则不同排法的种数为___12_____．集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数为，真子集个数为，非空子集个数为，非空真子集个数为。
加法原理与乘法原理练习题(详解)
加法原理与乘法原理1．一个礼堂有4个门，若从一个门进，从任一门出，共有不同走法( ) A．8种B．12种 C．16种 D．24种答案 C2．从集合A＝{0,1,2,3,4}中任取三个数作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c.则可构成不同的二次函数的个数是( )A．48 B．59 C．60 D．100 答案 A3．某电话局的电话号码为168～×××××，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有( )A．20个 B．25个 C．32个 D．60个答案 C4．在2、3、5、7、11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为( )A．20 B．10 C．5 D．24 答案 B5．将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方式的种数有( )A．8种 B．15种 C．125种 D．243种答案 D6．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有( ) A．24种 B．18种 C．12种 D．6种答案 B7．已知异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则经过这13个点可以确定不同的平面个数为( )A．40 B．13 C．10 D．16 答案 B8．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有( )A．336种 B．120种 C．24种 D．18种答案 A9．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )A．10种 B．20种 C．25种 D．32种答案 D10．有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是( ) A．14 B．23 C．48 D．120 答案 C11．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A．6种 B．12种 C．24种 D．30种答案 C12．从数字1,2,3,4,5,6中取两个数相加，其和是偶数，共得________个偶数．答案 413．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．答案1214．动物园的一个大笼子里，有4只老虎，3只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少种？15．用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色．(1)共有多少种不同的涂色方法？(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？解析(1)由于1至4知，不同的涂色方法有54＝625种．(2)第一类，1号区域与3号区域同色时，有5×4×4＝80种涂法，第二类，1号区域与3号区域异色时，有5×4×3×3＝180种涂法．依据分类加法计数原理知，不同的涂色方法有80＋180＝260(种)．16．用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个．(1)三位整数？(2)无重复数字的三位整数？(3)小于500的无重复数字的三位整数？(4)小于500，且末位数字是8或9的无重复数字的三位整数？(5)小于100的无重复数字的自然数？解析由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．(1)百位的数字有9种选择，十位和个位的数字都各有10种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有9×10×10＝900(个)．(2)由于数字不可重复，可知百位数字有9种选择，十位数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有9×9×8＝648(个)．(3)百位数字只有4种选择，十位数字可有9种选择，个位数字有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有4×9×8＝288(个)．(4)百位数字只有4种选择，个位数字只有2种选择，十位数字可有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有4×2×8＝64(个)．(5)小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类．一位自然数：10个．两位自然数：十位数字有9种选择，个位数字也有9种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的两位数共有9×9＝81(个)．由分类加法计数原理知，符合题意的自然数共有10＋81＝91(个)．17．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系第一、第二象限中的不同点的个数有( )A．18个 B．16个 C．14个 D．10个答案 C18．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落可能性共有( )A ．6种B ．36种C ．63种D ．64种 答案 C19．已知互不相同的集合A 、B 满足A ∪B ＝{a ，b }，则符合条件的A ，B 的组数共有________种． 答案 920．已知a ，b ∈{0,1,2，…，9}，若满足|a －b |≤1，则称a ，b “心有灵犀”．则a ，b “心有灵犀”的情形共有( )A ．9种B ．16种C ．20种D ．28种 答案 D21．(2012·广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.19答案 D 22．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，最多5个，则不同的分法共有( )A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种 答案 A23．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．8 答案 D24．若5名学生争夺3项比赛冠军(每一名学生参赛项目不限)，则冠军获得者有________种不同情况(没有并列冠军)? 答案 5325．有1元、2元、5元、10元、50元、100元人民币各一张，则由这6张人民币可组成________种不同的币值． 答案 6326．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形共有________个．答案 3627．设椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆个数为________． 答案 2028.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个．答案40欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
计数原理题型
计数原理题型
一、分类加法计数原理
分类加法计数原理是指在进行计数时，可以将问题分成若干个互不重叠的部分，分别计算各类事件的数量，然后将这些数量相加，得到总的事件数量。
这个原理主要应用于排列组合问题中，可以通过对问题的不同情况进行分类，然后分别计算每类情况下的事件数量，最后相加得到总数。
二、分步乘法计数原理
分步乘法计数原理是指在进行计数时，可以将问题分成若干个连续的步骤，每个步骤有不同的可能性，分别计算每一步的可能性数量，然后将这些数量相乘，得到总的事件数量。
这个原理主要应用于组合计数问题中，可以通过对问题的不同步骤进行分解，然后计算每一步的可能性数量，最后相乘得到总数。
三、排列组合计数原理
排列组合计数原理是指在进行计数时，可以将问题分成若干个不同的元素，然后根据元素的性质对这些元素进行组
合和排列，最后得到总的事件数量。
这个原理主要应用于概率统计和组合优化问题中，可以通过对问题的不同元素进行组合和排列，得到总的事件数量。
四、容斥原理
容斥原理是指在进行计数时，需要考虑多个条件，而每个条件下的计数又相互影响，这时需要采用容斥原理进行计算。
这个原理主要应用于概率统计和离散数学中，可以通过对不同条件下的计数进行容斥处理，得到总的事件数量。
五、递推关系计数原理
递推关系计数原理是指在进行计数时，需要使用递推关系式来计算事件的数量。
这个原理主要应用于动态规划问题中，可以通过建立递推关系式来求解最优解。
六、概率与计数原理
概率与计数原理是指在进行计数时，需要考虑事件的概率。
这个原理主要应用于概率论和统计学中，可以通过对事件的概率进行计算，得到总的事件数量。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题
分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题一.选择题1．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（ ）Ａ．8 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．302．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ）Ａ．5种 Ｂ．6种 Ｃ．7种 Ｄ．8种3．如图所示为一电路图，从A 到B 共有（ ）条不同的线路可通电（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．44．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（ ）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．125．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（ ）种不同的选择方式Ａ． 24 Ｂ．14 Ｃ． 10 Ｄ．96．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（ ）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16二、填空题7．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有 种不同的选法；要买上衣，裤子各一件，共有 种不同的选法．8．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有 种行车路线．9．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则方程22()()25x a y b -+-=表示不同的圆的个数是 ． 10．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有 项．11．如图，从A →C ，有 种不同走法．12．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有 种．三、解答题13．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？14．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？15．已知集合{}=---，，，，，，，是平面上的点，a b MM P a b321012()，．∈（1）()，可表示平面上多少个不同的点？P a b（2）()，可表示多少个坐标轴上的点？P a bP。
乘法原理和加法原理练习题
乘法原理和加法原理练习题乘法原理和加法原理是数学中常用的解决组合问题的方法。
它们可以帮助我们计算不同情况下的总数，从而更好地理解和解决实际生活中的问题。
下面是一些乘法原理和加法原理的练习题，帮助大家更好地掌握这两个原理的应用。
练习题1：某班级有5个男生和6个女生，要选出一名男生和一名女生代表该班参加学校的演讲比赛。
问有多少种不同的选择？解答：根据乘法原理，我们可以将选择男生和选择女生分为两个步骤。
第一步，选择一名男生，有5种选择。
第二步，选择一名女生，有6种选择。
根据乘法原理，两个步骤的选择数相乘，所以总的不同选择数为5 × 6 = 30。
练习题2：某餐馆供应早餐的菜单有3种主食和2种饮料可供选择。
现在小明想选择一种主食和一种饮料作为早餐。
问有多少种不同的选择？解答：同样地，我们可以将选择主食和选择饮料分为两个步骤。
第一步，选择一种主食，有3种选择。
第二步，选择一种饮料，有2种选择。
根据乘法原理，两个步骤的选择数相乘，所以总的不同选择数为3× 2 = 6。
练习题3：小明有红、黄、蓝三种颜色的T恤，他还有黑、白两种颜色的裤子。
如果他想搭配一套T恤和一条裤子，问有多少种不同的搭配方式？解答：同样地，我们可以将选择T恤和选择裤子分为两个步骤。
第一步，选择一种T恤，有3种选择。
第二步，选择一种裤子，有2种选择。
根据乘法原理，两个步骤的选择数相乘，所以总的不同搭配方式数为3 × 2 = 6。
练习题4：小明需要从A、B、C、D、E五个城市中选择两个作为他的旅行目的地。
问有多少种不同的选择方式？解答：根据加法原理，我们可以将选择旅行目的地分为两种情况。
情况一，选择两个不同的城市作为旅行目的地。
这种情况下，我们可以根据排列组合的知识，使用C(5, 2)的方式计算。
C(5, 2)表示从5个城市中选择2个不同的城市的组合数，计算公式为5! / (2! × (5-2)!) = 10。
数学广角综合(一)牛吃草加法原理乘法原理容斥原理
数学广角综合（一）牛吃草加法原理乘法原理容斥原理数学广角综合（一）牛吃草、加法原理、乘法原理、容斥原理牛吃草问题1、8头牛和3只羊每天喝共吃草136千克；3头牛和8只羊每天共吃草106千克。
问：每头牛和每只羊每天各喝多少千克？2、有一个牧场，牧场上的牧草每天都在匀速生长。
这片牧场可供１５头牛吃２０天，或可供２０头牛吃１０天。
那么，这片牧场每天新生的草量可供几头牛吃１天？3、一片草地，每天生长的速度相同，现在这片牧草可以可供１６头牛喝２０天，或供８０只羊喝１２天。
如果一头牛一天喝的草量等同于４只羊一天喝的草量，那么１０头牛和６０只羊一起喝，可以喝多少天？4、由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。
经计算，现有的牧场上的草可供２０头牛吃５天，或可供１６头牛吃６天。
那么，１１头牛可吃几天？5、假设旅客在检票进站前若干分钟就已经开始排队，每分钟去的旅客人数一样多。
若同时上开4个检票口，从已经开始检票至等候检票的队伍消失，须要30分钟；同时上开5个检票口，20分钟后队伍消失。
如果同时关上7个检票口，那么须要多少分钟队伍就消失？6、某幼儿园采购图书，第一次买了5包科技书和7包故事书共620本；第二次又买同样的6纸盒科技书和3纸盒故事书420本。
问：一袋科技书比故事书太少多少本？7、牧场山过一片牧草，可供２４头牛吃６周，或者供１８头牛吃１０周，假定草的生长速度不变。
那么可供１９头牛吃几周？8、11头牛10天可以剩饭剩菜5公亩牧场上的全部牧草，12存有牛14天可以剩饭剩菜6公亩牧场上的全部牧草，问19头牛几天可以剩饭剩菜8公亩牧场上的全部牧草？（每公亩牧场上每天生长草量成正比）9、画展9点钟开门，但早就有人排队入场。
从第1个观众来时起，每分钟来的观众人数一样多。
如果开3个入场口，则9分钟后，就不再有人排队；如果开5个入场口，则5分钟后就不再有人排队。
那么第1个观众到达时间是几点几分？10、商场自动扶梯匀速由上往下移动，两个调皮的孩子在移动的扶梯上站立，男孩每秒钟向上走2级；女孩2秒钟向上走3级。
(完整版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题(有答案)
分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题（有答案）选修2-3 1.1第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1 .一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为（）A. 182 B . 14 C . 48 D . 91 ［答案］C ［解析］由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6X 8= 48,故选C. 2 .从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为（）A. 13种B . 16种C . 24种D .48种［答案］A ［解析］应用分类加法计数原理，不同走法数为8+ 3 + 2= 13（种）.故选A. 3 .集合A= {a, b, c} , B= （d , e, f, g}, 从集合A到集合B 的不同的映射个数是（）A. 24 B. 81 C. 6 D. 64 ［答案］D ［解析］由分步乘法计数原理得43= 64,故选D. 4 . 5 本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法（）A. 720种B . 7776种C. 360种D . 3888种［答案］B ［解析］每本书有6种不同去向，5本书全部送完，这件事情才算完成.由乘法原理知不同送书方法有65= 7776种.5 .有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是（）A. 8种B . 9种C . 10种D. 11种［答案］B ［解析］设四个班级分别是A, B, C, D,它们的老师分别是a, b, c, d,并设a监考的是B,则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C, D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法.这样，用分类加法计数原理求解，共有3+ 3 + 3= 9（种）不同的安排方法.另外，本题还可让a先选，可从B, C, D中选一个，即有3种选法.若选的是B,则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3 种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3X 3X 1X 1= 9（种）不同的安排方法.6 .某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“ x x x x x xx 0000” 至J “ x x x x x x x 9999” 共10 000 个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“ 4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）A. 2 000 B. 4 096 C. 5 904 D . 8 320 ［答案］C ［解析］可从反面考虑，卡号后四位数不带“ 4”或“7”的共有8X 8X 8X 8= 4 096个，所以符合题意的共有5 904个.7 .如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A . 26 B . 24 C. 20 D.19 ［答案］D ［解析］因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12一5— 3,12 — 6—4,12 — 6— 7,12 — 8—6,故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和： 3 + 4+ 6+ 6= 19,故选D. 8 .某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）A. 42 B. 30 C. 20 D. 12 ［答案］A ［解析］将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第1个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以不同的插法共6X7 =42（种）.9 .定义集合A与B的运算A*B如下：A*B= （（x , y）|x € A, y € B},若A= （a , b, c} , B=（a , c, d, e},则集合A*B 的元素个数为（）A. 34 B. 43 C. 12 D. 24 ［答案］C ［解析］显然（a, a）、（a, c）等均为A*B中的元素，确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x, B中取一个元素来确定y,由分步计数原理可知A*B中有3X 4= 12个元素.故选C. 10 .某医院研究所研制了5种消炎药X1、X2、X3、X4 X5和4种退烧药T1、T2、T3、T4,现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，又知X1、X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和X4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有（）A. 16种B . 15种C . 14种D .13种［答案］C［解析］解决这类问题应分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度思考问题. 试验方案有：①消炎药为X1、X2,退烧药有4种选法；②消炎药为X& X4,退烧药有3种选法；③消炎药为X& X5,退烧药有3种选法；④消炎药为X4 X5,退烧药有4 种选法，所以符合题意的选法有4 + 3+ 3+ 4 = 14（种）.二、填空题11.用数字0,1,2,3,4 组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有 _______ 个（用数字作答）.［答案］24 ［解析］可以分三类情况讨论：①若末位数字为0,则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成12个五位数；②若末位数字为2, 则1与它相邻，其余3个数字排在前3位，且0不是首位数字，则共有4个五位数；③若末位数字为4,则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不是首位数字，则共有8个五位数，所以符合要求的五位数共有24个.12 .三边均为整数且最大边长为11的三角形有 .［答案］36 ［解析］另两边长用x, y表示，且不妨设1Vx<y< 11.要构成三角形，需x + y> 12.当y = 11时，x€ （1,2，…，11}，有11 个三角形；当y = 10 时，x €（2,3，…，10}, 有9个三角形……当y= 6时，x = 6,有1个三角形.所以满足条件的三角形有11 + 9+ 7+ 5+ 3+ 1 = 36（个）.13 . 5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有中.（用数字作答）［答案］48 ［解析］本题可分为两类完成：两老一新时，有3X 2X 2= 12（种）排法；两新一老时，有2X 3X 3X 2= 36（种）排法，即共有48种排法.14 .已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此 5 个开关共有25种可能.在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有中.［答案］16 ［解析］五个开关全闭合有1种情况能使电路接通；四个开关闭合有5种情况能使电路接通；三个开关闭合有8种情况能使电路接通；两个开关闭合有2种情况能使电路接通；所以共有1 + 5+ 8+ 2= 16种情况能使电路接通. 三、解答题15.有不同的红球8个，不同的白球7个.（1）从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？（2）从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？［解析］（1）由分类加法计数原理得从中任取一个球共有8+ 7= 15种；（2）由分步乘法计数原理得从中任取两个球共有8X7= 56种.16 .若x, yC N*,且x + y<6,试求有序白然数对（x , y）的个数.［分析］由题目可获取以下主要信息：（1）由x, y € N* 且x + y<6,知x, y的取值均不超过6; （2）（x , y）是有序数对.解答本题可按x（或y）的取值分类解决.［解析］按x的取值时行分类：x= 1时，y= 1,2，…，5,共构成5个有序白然数对；x = 2时，y=1,2，…，4,共构成4个有序白然数对；…x = 5时，y = 1,共构成1个有序白然数对. 根据分类计数原理，共有N= 5+ 4+ 3 + 2 + 1 = 15个有序白然数对.［点评］本题是分类计数原理的实际应用，首先考虑x, y的取值均为正整数，且其和不能超过6,同时注意(x , y)是有序数对，如(1,2)与(2,1)是不同的数对，故可按x或y 的取值进行分类解决.计数的关键是抓住完成一件事是分类还是分步，一个类别内又要分成几个步骤，一个步骤是否又会分若干类.17 .随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并有3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？［解析］将汽车牌照分为2 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右. 字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的8个数字中选1个，放在第6位，有8种选法.根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26X25X24x 10X 9X8= 11 232 000(个). 同理，字母组合在右的牌照也有11 232 000个.所以，共能给11 232 000+ 11 232 000= 22 464 000 辆汽车上牌照.18 .已知集合A= {a1 , a2, a3, a4},集合B= {b1 , b2},其中ai , bj(i = 1,2,3,4 , j = 1,2) 均为实数.(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？(2)能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？［解析］(1)因为集合A中的元素ai(i = 1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，可构成A^B的映射有N= 24= 16 个.(2)在⑴的映射中，a1, a2, a3, a4均对应同一元素b1或b2 的情形.此时构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个.所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有燮16- 2= 14个.。
计数原理试题汇总
计数原理常考要点与核心问题排列组合解排列组合题的基本思路：将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；解排列组合题的基本方法：优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉．分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏．分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步．插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题．解决计数(查数)问题的核心思想1数(shǔ)2乘法，加法原理3容斥原理(加法原理的推广)4找对应命题规律排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现，难度属中等．二项式定理要求掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题．对二项式定理的考查主要有以下两种题型：1．求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；2．求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的系数的区别；命题规律历年高考二项式定理的试题以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法．为此，只要我们把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解．*我们在证明二项式展开式时用到了一个有关多项式的结论，希望大家注意：几个多项式相乘得到一个多项式，在合并同类项前，所得的多项式中的每一项是从每个因子多项式中取出一项后所作的乘积即要生成多项式中的一项，只需要从每个因子多项式中取出一项，再将所得项作乘积.基础篇10全国 I (6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 A ．30种 B ．35种 C ．42种 D ．48种考点：分类计数原理、组合知识 规律方法：分类讨论解析：可分以下2种情况：(1)A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有2413C C 种不同的选法；(2)A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有1423C C 种不同的选法.所以不同的选法共有14232413C C C C +301218=+=种.答案：A(09 北京理)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A ．324 B ．328 C ．360 D ．648考点：排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.规律方法：先考虑有限制的元素和位置，分类讨论或者采用间接法求解解析：法1：首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有728929=⨯=A (个)， 当0不排在末位时，有256884181814=⨯⨯=⋅⋅A A A (个)，于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有32825672=+(个).法2：采用间接法，三个数字没有重复组成偶数为360895181915=⨯⨯=⋅⋅A A A ，再考虑首位是零的情况，32841814=⨯=⋅A A ，360-32=328.答案：B10 全国II (6)将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 A ．12种 B ．18种 C ．36种 D ．54种 考点：排列组合知识.解析：标号1，2的卡片放入同一封信有13C 种方法；其他四卡片放入两个信封，每个信封两个有222224A A C 种方法，13C 1824=⋅C ，共有18种．答案：B10 北京 4，8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法总数为A ．2988A A B ．2988C AC ．2788A AD ．2788C A考点：排列组合 规律方法：插空法解析：基本的插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有88A 种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有29A 种排法，因此一共有2988A A 种排法．答案：B10 湖北8现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是 A ．152 B ．126 C ．90 D ．54考点：分类记数原理规律方法：特殊位置优先考虑，打捆法解析：分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有183323=⨯A C ；若有1人从事司机工作，则方案有108332413=⨯⨯A C C 种，所以共有18＋108＝126种答案：B10 全国 I (5)()()533121x x -+的展开式中x 的系数是（答案有错）A ．－4B ．－2C ．2D ．4 考点：本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.解析：()()533121xx -+()()53181261x x x x x -+++=故()()533121x x -+的展开式中含x的项为()33351xC -⨯＋0512C x ⋅x 10-=x 12+=x 2，所以x 的系数为2.答案：C10全国 II (14)若9⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x 的展开式中3x 的系数是－84，则=a _________．考点：本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.解析：该二项展开式的通项公式为99()r rr a C xx--，即929()r r r C x a --，所以展开式中3x 的系数是()84843339-=-=-a a C ，1=∴a .答案：110湖北 11．在()2043yx +展开式中，系数为有理数的项共有_______________项.考点：二项展开式的通项公式和求指定项系数方法的灵活运用解析：二项式展开式的通项公式为()()r rrr rrr r y xC y xC T --+==2042042020133()200≤≤r 要使系数为有理数，则r 必为4的倍数，所以r 可为0、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.答案：610江西6．()82x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2考点：二项式定理和二项展开式的性质，考查实践意识和创新能力 规律方法：赋值法解析：正难则反．4x 项是最高项，其系数为1；采用赋值法，令x ＝1得：系数和为1，减去4x 项系数()112888=-C 即为所求，答案为0答案：B .10四川 (13)6312⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 的展开式中的第四项是_________ 考点：二项式定二项展开式的通项公式和求指定项的求法解析：x x C T 16012333364-=⎪⎭⎫⎝⎛-= 答案：—x160（负号没念） 提高篇10江西 14．将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_______种(用数字作答)． 考点：分类计数原理平均分组分配问题 规律方法：归转化和应用知识解析：先分组，考虑到有2个是平均分组，得两个两人组222426A C C 两个一人组221112A C C ，再全排列得：222426A C C 221112A C C ⋅44A ⋅＝1080． 答案：108010广东 8．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同.记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是A ．1205秒B ．1200秒C ．1195秒D ．1190秒 考点：排列组合基本排列公式与计数方法。
加法原理和乘法原理训练题
加法、乘法原理训练题例题1：小红、小丽和小敏三个人到世纪公园游玩拍照留念（不考虑站的顺序），共有多少种不同的拍照方法？练习1：1、4个好朋友在旅游景点拍照留念（不考虑站的顺序），共有多少种不同的拍照方法？2、用0，2，3三个数字组成不同的三位数，一共可以组成多少种不同的三位数？3、有1克、2克和5克的砝码各一个，那么在天平上可以称出多少种不同质量的物体？（砝码都放在右盘）例题2：从北京到天津的列车中途要经过4个站点，这列列车从北京到天津要准备多少种不同的车票？练习2：1、一列列车从甲地到乙地要经过5个站点，这列列车从甲地到乙地要准备多少种不同的车票？2、5个人进行下棋比赛，每两个人之间都要赛一场，一共要赛多少场？3、一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙和4把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。
最多要试多少次才能配好全部的钥匙和锁？例题3：在4×4的方格图中（如右图），共有多少个正方形？练习3：1、在3×3的方格图中，共有多少个正方形？2、在5×5的方格图中，共有多少个正方形？3、在6×6的方格图中，共有多少个正方形？例题4：从3，5，7，11，13这五个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？其中有多少个真分数？练习4：1、从1，3，5，7这四个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？其中有多少个真分数？2、从5，7，11，13这四个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？其中有多少个真分数？3、从2，3，7，11，13，17这六个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？其中有多少个真分数？例题5：用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个不同的三位数？练习5：1、用1，2，3，4这四个数字可以组成多少个不同的三位数？2、如右图所示：A、B、C、D四个区域分别用红、黄、蓝、绿四种颜色中的某一种染色。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布（理）概率（文）第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理（理）时间：45分钟分值：75分一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1 .教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到四层共有走法种数为（）A. 6B. 23C. 42D. 44解析由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选择，三层到四层有2种选择f/.23 = 8.答案B2.按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、0、AB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有（）A. 6种B. 9种C. 10种D. 12 种解析找出其父母血型的所有情况分两步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；第二步找母亲的血型也有3种，由分步乘法计数原理得：其父母血型的所有可能情况有3X3 = 9（种）・答案B3∙ （2014・惠州月考）2012年奥运会上，8名运动员争夺3项乒乓球冠军，获得冠军的可能有（）A. 83种B. 38种D. C3种8解析把8名运动员看作8家“店” 3项冠军看作3位“客”，它们都可住进任意一家“店”，每位“客”有8种可能.根据乘法原理，共有8义8 X 8=83（种）不同的结果.答案A4.若三角形的三边均为正整数，其中一边长为4,另外两边长分别为A C,且满足bW4Wc,则这样的三角形有（）A. 10 个B. 14 个C. 15个D. 21 个解析当b=1时，c = 4 ;当b=2时，c=4,5 ；当b = 3时，C =4,5,6 ;当b = 4时，c=4,5,6,7.故共有10个这样的三角形.答案A5.（2014∙湘潭月考）25人排成5义5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法有（）A. 60 种B. IOo种C. 300种D. 600种解析5×5的方阵中，先从中任意取3行，有C§ = 10（种）方法，再从中选出3人，其中任意2人既不同行也不同列的情况有CleC 二5 4 3 60（种），故所选出的3人中任意2人既不同行也不同列的选法共有10X60 = 600（种）.6.（2013・山东卷）用0,1,…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A. 243B. 252C. 261D. 279解析0~9能组成的三位数的个数为9×10×10 = 900（个），能组成的无重复数字的三位数个数为9×9×8 = 648（个），故能组成的有重复数字的三位数的个数为900 - 648=252（个），故选B.答案B二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）7 .如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有个.解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类,有一条公共边的三角形共有8X4 = 32（个）；第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32 + 8=40（个）.8 .有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现从三名工人中选两名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有种.解析若选甲、乙两人，则有甲操作A车床，乙操作B车床或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙两人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙两人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法..∙.共有2 + 1 +1 = 4（种）不同的选派方法.答案49 .用1,2,3,4,5,6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答）.解析若1在①或⑥号位，2在②或⑤号位，方法数各4种.若1在②、③、④、⑤号位，2的排法有2种，方法数各8种，故有4 + 4 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40（个）.答案40三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）10 .某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A 型血的共有7人，B 型血的共有9人，AB 型血的共有3人.(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？ 解从O 型血的人中选1人有28种不同的因去,从A 型血的人 中选1人共有7种不同的选法，从B 型血的人中选1人共有9种不 同的选法,从AB 型血的人中选1人共有3种不同的选法.⑴任选1人去献血，即不论选哪种血型的哪一个人，这件“任 选1人去献血”的事情就已完成，所以用分类加法计数原理，有28 + 7 + 9 + 3 = 47(种)不同选法.(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次 选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘 法计数原理，有28X7X9X3 = 5 292(种)不同的选法.子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A 球不能放在1,2号，B 球 必须放在与A 球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种?解根据A 球所在位置分三类： d小鬼放11.编号为A, B, C, D, E 的五 如图所示的五个盒⑴若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E ,则根据分步乘法计数原理得，3X2Xl = 6（种）不同的放法；（2）若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E ,则根据分步乘法计数原理得，3X2Xl = 6（种）不同的放法；⑶若A球放在4号盒子内，则8球可以放在2号、3号、5号盒子中的彳丑可一个，余下的三个盒子放球C。
初中数学竞赛：计数的方法与原理(含例题练习及答案)
初中数学竞赛：计数的方法与原理计数方法与原理是组合数学的主要课题之一，本讲介绍一些计数的基本方法及计数的基本原理。
一、枚举法一位旅客要从武汉乘火车去北京，他要了解所有可供乘坐的车次共有多少，一个最易行的办法是找一张全国列车运行时刻表，将所有从武汉到北京的车次逐一挑出来，共有多少次车也就数出来了，这种计数方法就是枚举法。
所谓枚举法，就是把所要求计数的所有对象一一列举出来，最后计算总数的方法。
运用枚举法进行列举时，必须注意无一重复，也无一遗漏。
例1四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张。
问：一共有多少种不同的方法？解：设四个学生分别是A，B，C，D，他们做的贺年片分别是a，b，c，d。
先考虑A拿B做的贺年片b的情况（如下表），一共有3种方法。
同样，A拿C或D做的贺年片也有3种方法。
一共有3＋3＋3=9（种）不同的方法。
例2甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止。
问：一共有多少种可能的情况？解：如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：图中打√的为胜者，一共有7种可能的情况。
同理，乙胜第一局也有 7种可能的情况。
一共有 7＋7=14（种）可能的情况。
二、加法原理如果完成一件事情有n类方法，而每一类方法中分别有m1，m2，…，mn种方法，而不论采用这些方法中的任何一种，都能单独地完成这件事情，那么要完成这件事情共有：N=m1+m2+…mn种方法。
这是我们所熟知的加法原理，也是利用分类法计数的依据。
例 3 一个自然数，如果它顺着数和倒着数都是一样的，则称这个数为“回文数”。
例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数。
问：1到6位的回文数一共有多少个？按从小到大排，第2000个回文数是多少？解：一位回文数有：1，2，…，9，共9个；二位回文数有：11，22，…，99，共9个；三位回文数有：101，111，…，999，共90个；四位回文数有：1001，1111，…，9999，共90个；五位回文数有：10001，10101，…，99999，共900个；六位回文数有：100001，101101，…，999999，共900个。
计数原理(习题及答案)
计数原理（习题）例题示范例1：现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，若要求每辆车配1位司机和1位售票员，则车辆、司机、售票员的搭配方案共有多少种？思路分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：，然后把3名司机和3名售票员分别填入．因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题．A=6种安排方法；第一步，把3名司机安排到3辆车中，有33A=6种安排方法．第二步，把3名售票员安排到3辆车中，有33A A⋅=36种．故搭配方案共有3333例2：5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法共有（）A．480种B．240种C．120种D．96种思路分析：首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人．C种方法；第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有25A种方法．第二步：再把4本书分给4个学生，有44C A⋅=240种方法，故选B．由乘法原理，共有2454巩固练习1.（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有_______种报名方法．（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有_____种可能的结果．2.已知a ∈{0，3，4}，b ∈{1，2，7，8}，r ∈{8，9}，则方程(x -a )2+(y -b )2=r 2表示__________个不同的圆．3.满足a ，b ∈{-1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2+2x+b =0有实数解的有序数对(a ，b )共有（）A ．14个B ．13个C ．12个D ．10个4.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是（）A ．222574C C C ++B ．222574C C C ⋅⋅C ．222574A A A ++D ．216C 5.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个7.计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行展出，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不能放在两端，则不同的展出方式共有（）种．A ．4545A A ⋅B ．345345A A A ⋅⋅C ．145345C A A ⋅⋅D ．245245A A A ⋅⋅8.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（）种．A ．3565A A ⋅B ．863863A A A -⋅C ．3353A A ⋅D ．8486A A -9.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（）A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对10.填空：（1）有10个运动员名额，分给7个班，每班至少分1个，共有__________种分配方案．（2）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数，这样的六位偶数共有__________个．（3）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．11.某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备__________种不同的素菜．12.3个女生和5个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？13.某街道有十只路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只，且在两端的灯也不能关掉，求满足条件的关灯方法共有多少种？【参考答案】1．（1）81；（2）642．243．B4．A5．A6．B7．D8．A9．C10．（1）84；（2）108；（3）48011．712．（1）4320；（2）14400；（3）14400；（4）36000 13．20。
分类计数加法原理与分步计数乘法原理(含答案)
分类计数加法原理与分步计数乘法原理一、单选题(共11道，每道9分)1.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，则（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，则不同的选法有( )A.12B.60C.48D.72答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分类加法计数原理（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，则不同的选法有( )2.上接第1题．A.12B.60C.48D.72答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理3.用10元，5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法有( )A.3B.5C.9D.12答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分类加法计数原理4.现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A，B两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许1台也没有，则不同的分配方案共有( )A.13种B.15种C.20种D.30种答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分类加法计数原理5.乘积展开后共有的项数为( )A.11B.14C.45D.3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理6.在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点共有( )个A.36B.30C.12D.11答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理7.集合的不同子集有( )A.7个B.8个C.15个D.16个答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理8.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，现最后一个拨号盘出现了故障，只能在0到5这六个数字中拨号，这4个拨号盘可组成的四位数号码个数是( )A.6000个B.36个C.3645个D.32个答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理9.从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有( )A.60种B.15种C.12种D.10种答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理10.从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有( )A.15种B.27种C.60种D.125种答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理11.3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有( )A. B.4×3×2种C. D.1×2×3种答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理。
微专题：乘法原理与加法原理经典题型(含解析)
【学生版】微专题：乘法原理与加法原理【主题】“计数” 就是数事物的个数，这是数学学科发展的起点，也是我们从小学开始就在学习的，可以说，随着大家掌握的内容越来越多，我们计数的能力也变得越来越强大；数学学习和日常生活中，我们经常会遇到类似“统计完成一件事”、““共有多少种方法” 的集数问题，学习一些基本的计数原理，以便能够解决更多的计数问题；1、乘法原理（分步计数原理）做一件事，需要依次完成n 个步骤，其中完成第一步有1a 种不同的方法，完成第二步有2a 种不同的方法，……，完成第n 步有n a 种不同的方法；那么完成这件事共有123n N a a a a =⋅⋅⋅⋅种不同的方法；2、加法原理（分类计数原理）做一件事，完成它有n 类办法，其中第一类办法有1a 种不同的方法,第二类办法有 2a 种不同的方法,……，第n 类办法有n a 种不同的方法；那么完成这件事共有123n N a a a a =++++种不同的方法；正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”；【典例】例1、用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？【提示】；【答案】；【解析】；【说明】；例2、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？【提示】；【答案】；【解析】；【说明】；例3、给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母~A G 或~U Z ，后两个要求用数字1~9；问最多可以给多少个程序命名？例4、如图所示的电路图，从A到B共有条不同的线路可通电。
例5、如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点A爬到相对顶点C1，求其中经过3条棱的路线共有多少条? 【提示】阅读理解、“建模”转化；【归纳】两个原理的联系与区别1、联系：分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法；2、区别3、利用分步乘法计数原理解题的注意事项（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事需要几步；（2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，无论缺少哪一步，这件事都不可能完成；（3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐一去做，才能完成这件事，各步之间既不能重复也不能遗漏；（4）对于同一个题目，标准不同，分步也不同；分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是不同步骤的方法不能互相替代；4、利用分类加法计数原理解题的注意事项（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎么才算是完成这件事；（2）完成这件事的n类办法，无论用哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要用到其他的方法；（3）确立恰当的分类标准，准确地对“完成这件事的办法”进行分类，要求每一种方法必属于某一类办法，不同类办法的任意两种方法不同，也就是分类必须既不重复也不遗漏；从集合的角度看，若完成一件事分A，B两类办法，则A∩B=⌀，A∪B=I（I表示全集）；【即时练习】1、体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有()A．14种B．7种C．24种D．49种【错解】B学生进出体育场大门需分两类，一类从南侧的4个门进，一类从北侧的3个门进，由分类加法计数原理，共有7种方案．【错因分析】错解中由于没有审清题意，误用计数原理．事实上，题目中不仅要考虑从哪个门进，还需考虑从哪个门出，应该用分步乘法计数原理去解决．2、如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24 B．18 C．12 D．93、有六名同学报名参加三项智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则不同的报名方法有__________种．4、从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有__________个．5、有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？（3）从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？【教师版】微专题：乘法原理与加法原理【主题】“计数” 就是数事物的个数，这是数学学科发展的起点，也是我们从小学开始就在学习的，可以说，随着大家掌握的内容越来越多，我们计数的能力也变得越来越强大；数学学习和日常生活中，我们经常会遇到类似“统计完成一件事”、““共有多少种方法” 的集数问题，学习一些基本的计数原理，以便能够解决更多的计数问题；1、乘法原理（分步计数原理）做一件事，需要依次完成n 个步骤，其中完成第一步有1a 种不同的方法，完成第二步有2a 种不同的方法，……，完成第n 步有n a 种不同的方法；那么完成这件事共有123n N a a a a =⋅⋅⋅⋅种不同的方法；2、加法原理（分类计数原理）做一件事，完成它有n 类办法，其中第一类办法有1a 种不同的方法,第二类办法有 2a 种不同的方法,……，第n 类办法有n a 种不同的方法；那么完成这件事共有123n N a a a a =++++种不同的方法；正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”；【典例】例1、用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？【提示】注意：理解用什么编号，能编“多少种”、“不同”总的方法；【答案】36；【解析】因为大写的英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码；【说明】上述计数过程的基本环节是：1、确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；2、分别计算各类号码的个数；3、各类号码的个数相加，得出所有号码的个数；利用分类加法计数原理解题时的注意事项：1、根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；2、分类时，注意完成这件事件的任何一种方法必须属于某一类，不能重复。
计数问题
计数模块知识分析一、三大原理1、加法原理2、乘法原理3、容斥原理二、两大方法1、排列2、组合三、两大思想1、全面分类思想把一件事情分成如干类，然后分步计算每一类有多少种可能，最后把每一类的可能数加在一起，就得到了总的可能性。
2、有序分步思想把一件事情分成如干步，然后分步计算每一步有多少种可能，最后把每一步的可能数乘在一起，就得到了总的可能性。
例1.书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？用两个原理解题的步骤：第一步：指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是分“n类”还是分“n 步”；第二步：求每“类”或每“步”中不同方法的种数；第三步：利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数。
1. 书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？2. 一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?3. 在三角形ABC内有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角形？4.有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？5. 如下图为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C走到D的不同的最短路线有多少条.6.有8块相同的巧克力糖，从今天开始每天至少吃一块，最多吃两块，吃完为止，共有多少种不同的吃法？7. 一把硬币全是2分和5分的，这把硬币一共有1元，问这里可能有多少种不同的情况？8. 有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( ?)种．(结果用数值表示)9． 6人同时被邀请参加一项活动．必须有人去，去几个人自行决定，共有多少种不同的去法？10. 若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？11.把8个相同的苹果放到3个不同的盘子里，每个盘子必须放，共有_____种不同的放法。
小学奥数计数之容斥原理练习【三篇】
【导语】天⾼鸟飞，海阔鱼跃，学习这舞台，秀出你独特的精彩⽤好分秒时间，积累点滴知识，解决疑难问题，学会举⼀反三。
以下是为⼤家整理的《⼩学奥数计数之容斥原理练习【三篇】》供您查阅。
【第⼀篇】1.⼀个班有45个⼩学⽣,统计借课外书的情况是:全班学⽣都借有语⽂或数学课外书.借语⽂课外书的有39⼈,借数学课外书的有32⼈.语⽂、数学两种课外书都借的有⼈. 3.在1~100的⾃然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个. 4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75⼈,既懂英语⼜懂俄语的20⼈,那么懂俄语的教师为⼈. 5.六⼀班有学⽣46⼈,其中会骑⾃⾏车的17⼈,会游泳的14⼈,既会骑车⼜会游泳的4⼈,问两样都不会的有⼈. 6.在1⾄10000中不能被5或7整除的数共有个. 7.在1⾄10000之间既不是完全平⽅数,也不是完全⽴⽅数的整数有个. 8.某班共有30名男⽣,其中20⼈参加⾜球队,12⼈参加蓝球队,10⼈参加排球队.已知没⼀个⼈同时参加3个队,且每⼈⾄少参加⼀个队,有6⼈既参加⾜球队⼜参加蓝球队,有2⼈既参加蓝球队⼜参加排球队,那么既参加⾜球队⼜参加排球队的有⼈. 9.分母是1001的最简真分数有个. 10.在100个学⽣中,⾳乐爱好者有56⼈,体育爱好者有75⼈,那么既爱好⾳乐,⼜爱好体育的⼈最少有⼈,最多有⼈.【第⼆篇】[ 例1 ] 洗好的8块⼿帕夹在绳⼦上晾⼲，同⼀个夹⼦夹住相邻的两块⼿帕的两边，这样⼀共要多少个夹⼦？ 分析：两块⼿帕有⼀边重叠，⽤3个夹⼦。
三块⼿帕有两边重叠，⽤4个夹⼦，我们发现夹⼦数总⽐⼿帕数多1，因此8块⼿帕就要⽤9个夹⼦。
[ 例2 ] 把图画每两张重叠在⼀起钉在墙上，现在有5张画要多少个图钉呢？ 分析：每排两张画要6个图钉，每排三张画要8个图钉，每排四张画要10个图钉。
可以看出，图画每增加⼀张，图钉就要增加2颗，那么5张画要12个图钉。
1.有两块⽊板，⼀块长72厘⽶，另⼀块长56厘⽶，如果把两块⽊板重叠后钉成⼀块⽊板，重叠部分是20厘⽶。
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计 数 原 理
【分____加法原理】完成一件事情,共有N 类方法:在第一类方法中有1m 种不同的方法,在第二类方法中有2m 种不同的方法,……,在第N 类方法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_______________种不同方法。
【分____乘法原理】完成一件事情,共需N 个步骤:完成第一个步骤有1m 种不同的方法,完成第二个步骤有2m 种不同的方法,……,完成第N 个步骤有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_______________种不同方法。
【容斥原理】先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的______对象的数目先计算出来，然后再把计数时_____计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无______又无______，这种计数的方法称为容斥原理。
<两个集合> A ∪B = ______________________________
<三个集合> A ∪B ∪C= _____________________________________________________________
计数原理训练题
一．选择题（共7小题）
【1】学校举办班级乒乓球比赛．共有16支球队参加，比赛采用单场淘汰制（即每场比赛淘汰1支
有（ ）条不同的路可走．
【5】六（1）班有的学生订阅了《小学生数学报》，的学生订阅了《数学小灵通》．既订阅了《小
相同的字母表示（如图）．已知天王星与海王星上的空气中都含有氦气，冥王星上没有．那么图中
字母（ ）表示氦气．
A B
C D
二．填空题（共15小题）
【8】28人参加乒乓球比赛，采用淘汰赛，要决出冠军，共要比赛_________ 场．
【9】六个同学排成一排照相，共有_________ 种不同的排法．
【10】“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3种不同颜色来写，现有5种不同颜色的笔，共有_________ 种不同的写法．
【11】甲、乙、丙、丁四人要排成一排照相，有_________ 种排队方法．
【12】用 4、9、0、1 四张数字卡片，能摆出_________ 个不同的三位数．
【13】用1、2、3、5 四张数字卡片，能摆出_________ 个不同的两位数，其中素数有_________ ．【14】六年级一班的所有同学都分别参加了课外体育小组和唱歌小组，有的同学还同时参加了两个
小组．若参加两个小组的人数是参加体育小组人数的，是参加歌唱小组人数的，这个班只参加体育小组与参加唱歌小组的人数之比是_________ ．
【15】某班有60人，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子，其中有12人穿白色上衣蓝裤子，有34人穿黑裤子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有_________ 人．
【16】某班共40人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，8人对这两项都不喜爱，则既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为_________ 人．
【17】一个数学测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两道都做错的有_________ 人．
【18】某年级共有60名学生，喜欢打乒乓球的同学占全年级的，喜欢足球的同学占全年级的，喜
欢打篮球的同学占全年级的，这个年级的学生中至少有_________ 名同学这三项运动都喜欢．【19】某市有1000个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的有750人，既懂英语又懂俄语的有200人，那么懂俄语的教师有_________ 人．
【20】某班学生去图书馆借书，每人都借了语文或数学课外书，统计结果是：借语文书的39人，借数学书的32人，语文、数学两种书都借的有26人，全班学生共_________ 人．
【21】某市800个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的550人，既懂英语又懂俄语的140人，那么懂俄语的教师为_________ 人．
【22】在六年级300名学生中调查会下中国象棋和国际数棋的人数，发现50名同学两样都不会，有
的学生两样都会，有的学生会下中国象棋，会下国际数棋的学生有_________ 名．
三．解答题（共8小题）
【23】某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？
【24】从南京到上海的某次快车中途要停靠六个大站．铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票？
【25】用2、3、7、8四个数字组成四位数，每个数中不许有重复数字，一共可以组成18个的不同的四位数．_________ ．
【26】求图形中阴影部分的面积．
（1）
（2）
（3）
（4）
【27】学校运动会上，六（1）班同学有22人参加拔河比赛，有12人参加迎面接力赛跑，有10人参加集体跳绳．其中有6人既参加拔河比赛又参加了接力赛跑，还有8人既参加了迎面接力赛跑又参加了集体跳绳．六（1）班同学一共有多少人参加了比赛？三项比赛都参加的同学至少有多少人？
【28】四年级有学生28人．14人参加乐队，9人参加游泳队，其中有4人参加了这两种活动．多少人未参加活动？（提示：先将数据填在图中．）
【29】小明调查了本班学生的兄弟关系如下：有哥哥的学生是全班学生人数的55%．有弟弟的学生是全班学生人数的50%．既有哥哥，又有弟弟的学生数是全班人数的25%．既没有哥哥，又没有弟弟的学生有8名．根据上面的数据试求小明班上共有学生多少名？
【30】六（1）班征订《小数报》的《数学小灵通》，每人至少一种，全班同学的60%订了《小数报》，
订了《数学小灵通》．这两种报纸都订的有6人，订《小数报》的有多少人？。