工程力学教程 第二章
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工程力学第2章静力学
力使物体运动状态发生变化的效应称为力的外效应或运动效应(移动和转动)。
力使物体形状发生改变的效应称为力的内效应或变形效应；
力的单位，在采用国际单位为：
牛顿（N）、或千牛顿 （KN）
2.力的三要素
力对物体的作用效果取决于力的 大小、方向 与作用点
力的大小反映了物体间相互作用的强弱程度。
力的方向指的是静止质点在该力作用下开始运 动的方向。 力的作用点是物体相互作用位置的抽象化。
该定律是受力分析必须遵循的原则。
作用力与反作用力
2.4 力对点之矩
力对物体除了移动效应以外，还有对物体的转动效应。 观察扳手拧紧螺母的过程，说明拧紧程度与什么有关？
拧紧螺母时，其拧紧程度不仅与力 F 的大小有关，而 且与转动中心（O点）到力的作用线的垂直距离d有关 。
2.4.1 力对点之矩 —— 力矩
E
B
C
B
C
FNB
FNC
练习3
球W1、W2置于墙和板AB间，BC为绳索。 画受力图。
(b)
FNK
W2 FNK W2 FNH FNE
AF
Ay
FT FND W 1
AF
C
W2 FAx
B (d)
FT FD
D
FND W1
B
FNH
W1
A
K
W2
E FAx H (a)
FNE
FND W1
(c)
Ay
FNE
FNH
FT
2.2.1 公理1 力的平行四边形法则 作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合 力。合力的作用点仍在该点，合力的大小和方向由以这 两个力为边构成的平行四边形的对角线确定，如图。
力使物体形状发生改变的效应称为力的内效应或变形效应；
力的单位，在采用国际单位为：
牛顿（N）、或千牛顿 （KN）
2.力的三要素
力对物体的作用效果取决于力的 大小、方向 与作用点
力的大小反映了物体间相互作用的强弱程度。
力的方向指的是静止质点在该力作用下开始运 动的方向。 力的作用点是物体相互作用位置的抽象化。
该定律是受力分析必须遵循的原则。
作用力与反作用力
2.4 力对点之矩
力对物体除了移动效应以外，还有对物体的转动效应。 观察扳手拧紧螺母的过程，说明拧紧程度与什么有关？
拧紧螺母时，其拧紧程度不仅与力 F 的大小有关，而 且与转动中心（O点）到力的作用线的垂直距离d有关 。
2.4.1 力对点之矩 —— 力矩
E
B
C
B
C
FNB
FNC
练习3
球W1、W2置于墙和板AB间，BC为绳索。 画受力图。
(b)
FNK
W2 FNK W2 FNH FNE
AF
Ay
FT FND W 1
AF
C
W2 FAx
B (d)
FT FD
D
FND W1
B
FNH
W1
A
K
W2
E FAx H (a)
FNE
FND W1
(c)
Ay
FNE
FNH
FT
2.2.1 公理1 力的平行四边形法则 作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合 力。合力的作用点仍在该点，合力的大小和方向由以这 两个力为边构成的平行四边形的对角线确定，如图。
工程力学第二章力系简化与平衡
一、平面任意力系的平衡方程
1 平衡条件
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
即 F 0 M 0
R
o
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
M
O
(
F i
)
2 平衡方程
Fx 0
X 0
Fy 0
或 Y 0
M o (F) 0
M o 0
M i
i1
二、 平面任意力系的简化研究
1、力的平移定理
作用在刚体上力F的作用线可等效 地平移到同一刚体上的任意一点，但 须附加一力偶，此附加力偶的矩值等 于原力F对平移点的力矩。
M M (F ) Fd
B
B
２ 力与力偶的合成 是力线平移的逆过程。
3、力线平移定理在简化中的应用
F F
解得 FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例6 已知：P1 700kN, P2 200kN, 尺寸如图；
求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
解： 取起重机，画受力图。 满载时，FA 0, 为不安全状况
（2）、求合力及其作用线位置。
d
Mo FR'
2355 3.3197m 709.4
x
d
3.514m
cos 900 70.840
（3）、求合力作用线方程
Mo Mo FR x FRy y FRx x FR'y y FR'x
即 2355 x670.1 y 232.9
工程力学：第2章 力系的简化
F1sin45 F2sin45 0 FAsin30 F1cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FAcos30 F1cos45 sin30 F2cos45 sin30 P 0
B FB1
相同的均质杆围成正方形，求绳EF的拉力。
要求：
用最少的方 程求出绳EF受 的力
FAy
FAx
A
E
P
FDy
FDx
D
G
P
B
F
P
C
FDy FDx
D
G
P
FDy FDx
D
FCy FCx
C
FBx FT
G
P
FBy
B
F
P
C
例3-3
q
FAx A
M B
2a
P
FAy
4a
FB
ll
30
F
M
3l P
q
例3-4
F
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
FAy
B FB1x
C
M
B
D
Cr
•
E
A
300 F E
FA
FT
C
F A1
FA
求：销钉A所受的力
M
B D
FD D C
工程力学第2章(汇交力系)
2.力在平面上的投影
FM F cos
⑴ 力在平面上的投影是矢量。 ⑵ α：力与投影平面的夹角。
3. 力在直角坐标轴上的投影 · 一次投影法 Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
·二次投影法
Fx Fxy cos F cos cos Fy Fxy sin F cos sin
合力FR 的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向
R
F cos( F ，i )
x
cos( FR，j )
R
F Fy
F
z
F cos( F ，k ) F
二、汇交力系平衡的解析条件
汇交力系平衡的充分且必要条件是力系的合力等于零。
角为60o ，若接触面光滑，试分别求出圆柱给墙面和夹板的压 力。
解:
FA Gtan30o 500 tan30o 288.7N
G 500 FB 577.4N o o cos 30 cos 30
几何法求解汇交力系简化与平衡问题总结：
⑴ 选择研究对象，分析受力情况，画出全部的 已知力和未知力，利用二力平衡、三力平衡汇交等定 律确定某些力作用方向（必须明确力的方向，否则容 易出错）。
Fx 0 : Fy 0 : F
z
FA FC cos 30o sin 0
FB FC cos 30o cos 0 FC sin30o P 0
0:
由几何关系可得 cos 0.8 sin 0.6 解得： FA 10.39kN
FB 13.85kN FC 20kN
F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。 解:
工程力学第二章基本理论
力在任一轴上的投影可求，力
沿一轴上的分量不可定。
8
合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分 力在该轴上之投影的代数和。
由合力投影定理有：
ac-bc=ab FRx=F1x+F2x+…+Fnx=Fx
FRy=F1y+F2y+…+Fny=Fy
正交坐标系有: FRx = FRx ; FRy = FRy
FR
非自由体： 运动受到限制的物体。
吊重、火车、传动轴等
FT
。
W
约束：
限制物体运动的周围物体。如绳索、铁轨、轴承。
约束力： 约束作用于被约束物体的力。
是被动力，大小取决于作用于物体的主动力。
作用位置在约束与被约束物体的接触面上。
作用方向与约束所能限制的物体运动方向相反。
20
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约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。
1
一般问题
(复杂问题)
抽象与简化 分析求解
验证
基本问题：
(1)受力分析—分析作用在物体上的各种力 弄清被研究对象的受力情况。
(2)平衡条件—建立物体处于平衡状态时， 作用在其上各力组成的力系 所应满足的条件。
(3)应用平衡条件解决工程中的各种问题。
2
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第二章 刚体静力学基本概念与理论
2.1 力 2.2 力偶 2.3 约束与约束反力 2.4 受力图 2.5 平面力系的平衡条件
G
返回3主0目录
3)可确定作用点的约束
固定铰链： 约束反力FRA，过铰链中心。
大小和方向待定，用FAx、FAy表示
y
FAy
FA FAy
A
FAx
工程力学第二章(力系的平衡)
{
平衡方程其他形式： 平衡方程其他形式：
Σ Fx = 0 Σ MA（F）= 0 Σ MB（F）= 0 Σ MA（F）= 0 Σ MB（F）= 0 Σ MC（F）= 0
A
B
x
A、B 连线不垂直于x 轴 连线不垂直于x
（两矩式） 两矩式）
{
C B A C
（三矩式） 三矩式）
A、B、C三点不 在同一条直线上
l FC C B F
∑F x
y
∑M ( F) = 0,
A
F cos 45 ⋅l − F ⋅ 2l = 0 C
y FAy AF
Ax
l C FC
l x
45
B F
3、解平衡方程，可得 解平衡方程，
FC = 2 F cos 45 = 28.28 kN
FAx = − FC ⋅ cos 45 = −2 F = −20 kN
平面任意力系平衡方程讨论： 平面任意系平衡方程讨论：
{
x
Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ MO= 0
请思考：x , y 的选择是否有一定任意性？ 请思考： 的选择是否有一定任意性？
x y y x
y
例4 支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连 支架的横梁AB与斜杆 彼此以铰链 与斜杆DC彼此以铰链C
FBC cos 60 − G − Fcos 30 = 0
FBC = 74.5 kN
联立求解得 FAB = −5.45 kN
约束力F 为负值， 约束力FAB为负值，说明该力实际指向与 图上假定指向相反，即杆AB实际上受 实际上受拉 图上假定指向相反，即杆AB实际上受拉力。
解析法的符号法则： 解析法的符号法则：
平面任意力系平衡的充分必要条件： 平面任意力系平衡的充分必要条件：
工程力学第2章
2.3 汇交力系的平衡条件
汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力等于零,其矢量表 示为
FR Fi （0 2 10）
汇交力系的平衡条件也相应有几何平衡条件和解析平衡条件。
2.3.1 汇交力系平衡的几何条件 在求汇交力系合力的几何法中,合力的大小和方向由力多边形的封闭 边表示。因此,当力系的合力为零时,第一个分力矢的始端和最后一 个分力矢的末端重合。这种情形称为力多边形自行封闭。 五力汇交且平衡的力系,其力多边形如图2-4所示。因此,汇交力系平 衡的必要和充分的几何条件是力多边形自行封闭。
可得
FRx Fix , FRy Fiy , FRz F（iz 2 8）
式(2-8)表明:合力在任一坐标轴上的投影,等于各分力在同一轴上投影的 代数和。此结论称为合力投影定理(为便于书写,下标i可略去)。
由式(2-7)可得合力FR的大小和方向:
FR
(F2 F2 F2 )
第2章 汇 交 力 系
各力作用线相交于一点的力系称为汇交力系,也称共点力系。根据 力系中各力作用线是否在同一平面内,汇交力系又可分为平面汇交 力系和空间汇交力系。汇交力系是基本力系之一,它是研究复杂力 系的基础。
2.1 汇交力系合成的几何法
设有汇交力系(F1、F2、F3、F4)作用在刚体上,各力作用线汇交于点A,如图 2-1a所示。根据力的可传性原理,将力系各力的作用点分别沿其作用线滑 移至汇交点A;于是,力系成为共点力系(图2-1b)。
设刚体上作用一汇交力系(F1、F2、…、Fn)。现任取一直角坐标系Oxyz,
以FRx、FRy、FRz表示合力FR在各坐标轴上的投影,Fix、Fiy、Fiz表示力Fi
在各坐标轴上的投影(i=1、2、…、n)。考虑到
工程力学第二章
•
解：（1）分析 钢索属柔体约束，约束力FTB沿着钢索背离物体B点；A点为固 定铰链，用正交的两力FAx和FAy来表示；梁的自重为G2，作用在AB梁的中点。 （2）选吊车横梁AB为研究对象，画出受力图，如图2-11（b）所示。该力系中 G1、G2为已知力，FTB、FAx和FAy为未知力，该力系属于平面任意力系。 （3）列平面任意力系平衡方程： 因A点处有两个未知力，故取A点为矩心，先列力矩平衡方程，然后再用力投影 平衡方程求其他未知量。
FAx FTB cos (G2 2G1 )cos30 3(
G2 G1 ) 2
Fy 0
FAy
FAy T sin G2 G1 0
G2 G2 G1 (G2 2G1 )sin 30 2
2.2.2 平面力系的几种特殊情形
1. 平面汇交力系
第二章 平面力系
• 如果作用在刚体上的各力作用线都在同一平面内，则称这种力系为平面力系。
2.1 平面力系的简化
• 2.1.1 力的平移定理
• 作用在刚体上的力F，可以平移到刚体上任一点O，但必须附加一力 偶，此附加力偶的矩，等于原力对该作用点O的矩。
• 2.1.2 平面力系向一点简化
RO = F1′+F2′+…+ Fn′= ∑F′= ∑F
例2-8 如图2-22（a）所示，匀值梯长为l，重力为G，B端靠在光滑的铅直墙上，已知梯 子与地面的静摩擦系数f，求梯子平衡时的θ的最小值。
•
解：（1）分析。该题属于考虑摩擦的平衡问题，因铅直墙壁是光滑的，故此 处不考虑摩擦；而梯子与地面之间考虑摩擦，此处摩擦系数为f。
•
（2）选梯子为研究对象，画受力图，如图2-22（b）所 示。梯子受到自重G、墙壁及地面的约束力NB、NA、梯 子与地面的摩擦力FA而平衡。选取坐标轴，列平衡方程 式
工程力学 第二章 轴向拉伸与压缩.
2 sin ( 2 cos 1 )ctg 3.9 103 m
B1 B B1 B3 B3 B
B B
B B12 B1 B 2 4.45 10 3 m
[例2-11] 薄壁管壁厚为,求壁厚变化和直径变化D。
解：1）求横截面上的正应力
dx
N ( x) l dx EA( x) l
例[2-4] 图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2 段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。 已知2段杆内的应力σ 2=-30MPa，E=210GPa，求整个 杆的伸长△L
解: P 2 A2
30 25 18.75KN
N 1l Pl l1 l2 EA 2 EA cos l1 Pl cos 2 EA
[例2-8]求图示结构结点A 的垂直位移和水平位移。
解:
N1 P, N 2 0
Pl l1 , l2 0 EA Pl y l1 EA
N1
N2
Pl x l1ctg ctg EA
F
FN
FN F
F
F
CL2TU2
2.实验现象：
平截面假设
截面变形前后一直保持为平面，两个平行的截面之 间的纤维伸长相同。 3.平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面。 4.应力的计算 轴力垂直于横截面，所以其应力也仅仅是正应力。按 胡克定律：变形与力成正比。同一截面上各点变形相 同，其应力必然也相同。 FN （2-1） A 式中： A横截面的面积；FN该截面的轴力。 应力的符号：拉应力为正值应力，压缩应力为负 值应力。
1. 截面法的三个步骤 切: 代: 平:
F F F F
工程力学课程第2章
第2章教学方案——平面简单力系第2章 平面简单力系当力系中的各力作用线都在同一平面上时，该力系称为平面力系。
若平面力系中各力作用线通过同一点时，该力系称为平面汇交力系；若平面力系中的各力均成对构成力偶时，称该力系为平面力偶系。
通常将平面汇交力系和平面力偶系称为平面简单力系。
2.1 平面汇交力系的合成与平衡2.1.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法●合成依据：力的平行四边形法则或三角形法则。
如果是由多个力构成的平面汇交力系，用多边形法则。
●方法：将力 F 1，…，F 4依次首尾相接，形成一条折线，连接其封闭边，即从 F 1的始端指向 F 4的末端所形成的矢量即为合力，如图 2.1（c ）所示，此法称为力的多边形法则。
图 2.1●结论：平面汇交力系可以合成为一个合力，该合力等于力系各力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。
合力F R 可用矢量式表示为∑==+++=ni i n R 121F F F F F （2-1）画力多边形时，改变各分力相加的次序，将得到形状不同的力多边形，但最后求得的合力不变，如图2.1（d ）所示。
●平衡条件：平面汇交力系平衡的充分和必要条件是：该力系的合力等于零。
以矢量等式表示为（2-2）●平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。
【例2-1】支架 ABC 由横杆AB 与支撑杆BC 组成，如图 2.2（a ）所示。
A 、B 、C 处均为铰链连接，B 端悬挂重物，其重力 W = 5kN ，杆重不计，试求两杆所受的力。
解：（1）选择研究对象，以销子 B 为研究对象。
（2）受力分析，画受力图。
由于 AB 、BC 杆均为二力杆，两端所受的力的作用线必过直杆的轴线。
F 1、F 2、W 组成平面汇交力系，其受力图如图 2.2（b ）所示。
（3）根据平衡几何条件求出未知力。
当销子平衡时，三力组成一封闭力三角形，先画 W ，10ni i F ==∑1cot308.66F W KN === 2210sin 30WF W KN ===图 2.2 过矢量W 的起止点a 、b 分别作 F 2、F 1的平行线，汇交于 c 点，于是得力三角形 abc ，则线段 b c 的长度为 F 1的大小，线段 ca 的长度为 F 2的大小，力的指向符合首尾相接的原则，如图2.2（c ）所示。
工程力学第二章
零，则物体处于平衡；反之，若力系是平衡力系，则主矢、
主矩必同时为零。因此，平面任意力系平衡的充要条件为
2 FR ( Fx ) ( Fy ) 0 2
MO=∑MO(F) =0
（2-6）
一、平面任意力系的平衡方程
1． 基本形式
( Fx ) ( Fy ) 2 0 FR
FP
WQmaxa -W(e+b )＝0
W (e b ) WQmax＝ a
b
起重机
FA
故WQ的范围 ：
FPl We W W (e b) Q a ab
空
载
第三节 静定与超静定问题及物体系统的平衡
一、静定与超静定问题的概念
一个刚体平衡时，未知量个数等于独立方程的个数，
全部未知量可通过静力平衡方程求得。这类问题称为静
FL
例2-5
一飞机作直线水平匀速 飞行。已知飞机的重力G、 阻力FD，俯仰力偶矩M 和飞 机尺寸a、b和d。试求飞机 的升力FL，尾翼载荷FQ和喷 气推力FT。
∑Fx＝0 ， FD–FT= 0
FT＝FD ∑MO(F)=0 ， M +FTb+Ga-FQd = 0 FQ=(M+FTb+Ga)/d ∑Fy＝0 ， FL-G–FQ= 0 FL＝G+FQ = G+ (M+FTb+Ga)/d
F'R O·
MO
x
arctan
Fy Fx
（Hale Waihona Puke -2）MO=∑MO(F)单独的F'R不能和原力系等效，故称它为力系的主矢。 单独的MO也不能和原力系等效，故称其为原力系的主 矩。它等于力系中各力对简化中心力矩的代数和。 原力系与其主矢F'R和主矩M的联合作用等效。其中， 主矢F'R的大小和方向与简化中心的选择无关，而主矩M的 大小和转向与简化中心的选择有关。
工程力学第二章
S 3 π r 2 9.079 cm 2
4R 4r b 1.273 cm y1 4.244 cm y 2 3π 3π
y3 0
3）根据组合图形重心坐标公式求重心坐标
yc
S y
i 1 3 i
3
i
S
i 1
157.1 4.244 14.14 1.273 9.079 0 157.1 14.14 9.079
F 2 (b c) F 2 a 0
bac
上式即为长方体边长ɑ、b、c应满足的条件。
判断题
1、某平面力系向一点简化的结果与简化中心无关，则该力系一定平衡
2、若平面力系对一点的主矩为零，则此力系不可能合成为一个力偶 3、当平面力系的主矢为零时，其主矩一定与简化中心的位置无关 4、平面力系若不平衡，则一定可以合成为一个力 5、某平面力系向A，B两个点简化的主矩都为零，此力系简化的 最终结果可能是一个力么？可能是一个力偶么？可能平衡吗？
回顾 大小相等，方向相反，作用线平行的两个力称为力偶。 力偶：
基本的物理量，仅与力的转动效应有关
§2.1 汇交力系的简化
2.1.1 几何法
汇交力系： 力的作用线均汇交于同一点的力系 。
几何法： 通过力多边形求合力的方法称为几何法，又称为力多边形法则。
r r r r FR = F1 + F2 + L + Fn =
2.4.3 物体的重心
Pi xi xc Pi Pi yi （物体的重心坐标） yc Pi z Pi zi c Pi
2.4.4 确定物体重心的方法
1）计算方法
（1）对称法： （2）积分法： （3）查表法： 具有对称面、对称轴和对称中心的形状规则的均质物体， 其重心一定在对称面、对称轴和对称中心上。 均质简单几何形状物体的重心一般可通过积分求得。 工程上常见形状的重心位置均可通过工程手册查出。
工程力学第二章
F
第二章
P
A 丝锥
d F' B
定义：由大小相等、方向相反且不共线的两个平行力组成的
力系，称为力偶。记作（F，F′）。
力偶臂d ： 两力作用线之间的距离。 力偶作用面： 两力所在的平面。
力偶只能使物体在力偶作用面内转动。 转动效应用力偶矩来度量。
§2.1 静力学基本概念
三、荷载
荷载：来自构件外部的力
第二章
固定铰支座
第二章
§2.3 常见约束和约束力
固定铰支座
§2.3 常见约束和约束力
二、常见的约束类型 3、铰链约束
（2）活动铰支座
A
A
构成及简化画法：
限制的运动： 限制杆垂直于支撑面的运动。 约束力： 垂直支撑面，方向可设。
第二章
A
FN
FN
活动铰支座
上摆 销钉
第二章
滚轮
底板
铰链实例
第二章
悬臂吊车
对刚体充分必要，对变形体（或多体）不充分。
F1
F2
F1
F2
作用在同一刚体上两个等值、反向、共线的力为
--------最简单的平衡力系。
§2. 2 静力学公理
公理一 二力平衡公理
第二章
刚体只受二力作用而保持平衡，不管其形状如何，称该刚体为
二力构件。
分析结构的受力时，先分析二力杆。利用二力平衡公理可确 定二力的作用线——沿两受力点连线，力的指向可以假设。
第二章
简化画法
仅在与销钉轴线垂直的平面内讨论问题，即平面铰链。
§2.3 常见约束和约束力
第二章
铰链实例
§2.3 常见约束和约束力
二、常见的约束类型
3、铰链约束
工程力学 第二章
i 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
FR FRn1 Fn Fi Fi
i 1
用力多边形的封闭边来表示汇交力系的合 力
力的多边形法则
平面汇交力系平衡的几何条件
平衡
FR 0
FR Fi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分的
几何条件是：该力系的力多边形自行封 闭.
平衡条件
FR 0
FR Fx 2Fy 2
Fx 0
平衡方程
Fy 0
平面汇交力系平衡的解析条件为:力系中各分力在 两个轴上的投影的代数和分别为零.
例2
已知：碾子P=20kN，R=0.6m,
h=0.08m 求：
R
F
BP
h
A
1.水平拉力F=5kN时，地面对碾子的压力？
第二章 平面汇交力系和平面力偶系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡
平面汇交力系是指力系中各力的作用线或者作用 线的延长线位于一个平面内，并且相交于一点.
合成就是指要用一个合力去等效替换这个复杂
的力系.
F
AP
B
FA
FB
一.多个汇交力的合成的几何法
公理 力的平行四边形法则 作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合
解得 F=11.55kN
例3 已知重物P=20kN,
A
不计杆重以及滑轮尺寸,
C
求杆AB和BC的受力. θ 30
解: 取B点分析 (假设均受拉)
B
θ θ
P D
Fy 0
FBC sin 30 FBD cos 30 P 0 FAB
工程力学 第二章 平面汇交力系
再研究球，受力如图： 作力三角形 解力三角形：
Q P = N ′ ⋅ sin α
又 Q sin α = R − h N ′= N R F ⋅R ∴P = N ⋅sin α = ⋅ R −h
h ⋅(2R − h) R
NB=0时为球 离开地面
F (R −h) ∴P = h(2 R − h )
P h (2 R − h ) ∴F = R−h
力的多边形法则： 力的多边形法则：实质是连续多次应用 平行四边形法则（三角形法则） 平行四边形法则（三角形法则）
FR
F4 FR2 F3
FR1 F2 F1
力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连， 力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连，得到的 起点到终点的连线矢量即是合力。 起点到终点的连线矢量即是合力。
P h 2 −h (R ) ∴ F≥ 当 时 方 离 地 球 能 开 面 R−h
小结
• • 平面汇交力系合成：力的多边形、 平面汇交力系合成：力的多边形、解析法 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、解析法
F =11.4kN A
F sinθ = F B F + F cosθ = P A B
F =10kN B
2.碾子拉过障碍物， 应有 F = 0 A 用几何法解得
F = P⋅tanθ =11.55kN
0 N 3. 解得 F in = P⋅sin θ =1 k m
例2 已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计； 求：CD 杆及铰链A的受力.
例1
已知： P=20kN，R=0.6m， h=0.08m 求： ：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？ 2. 3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？？
《工程力学》第二章 基本力系
• 以上三个决定力使物体绕某点转动效应的 因素，在数学上可用一特殊矢量来表示。 这个矢量的模等于力的大小F和力臂h的 乘积；该矢量的方位(即转动轴线在空间 的方位)，其指向由右手螺旋法则确定(图 2-19)。这个矢量称为力对点的矩矢，用 符号mO(F)表示。由图可知，它是一个通 过矩心O的定位矢量，是力对物体产生转 动效应的度量。
偶对力偶作用面上任一点O的矩，应为Байду номын сангаас行力F， F′对点O的矩的代数和，即
• 由此可知，两个力矩相加的结果与两力矩的矩 心位置无关，即力偶中两力对力偶作用面上任 一点之矩的代数和为一常量，它等于力偶中任 一力F的大小F和力偶臂d的乘积。此乘积称为 力偶矩，记作m(F，F′)，简记为m。于是
• 式中正负号反映力偶的转向，逆时针转向 取正，顺时针转向取负。力偶矩的量纲与 力矩相同，其单位也相同。
力R，则合力对物体作用时产生的效应与 各分力对物体同时作用时所发生的效应完 全相同。于是，合力R对点的矩矢可写为
•即
• 这就是合力矩定理，其物理意义是合力对 任一点之矩矢，等于各分力对同一点之矩 矢的矢量和。
• 若力系为平面力系，各力对平面上任一点 的矩为代数量，故合力矩定理在平面问题 中表述为
• 它表明：平面力系的合力对平面上任一点 的矩，等于各分力对同一点的矩的代数和。
• 二、汇交力系的合成
• 作用于物体上诸空间力作用线汇交于一点的力系称为空间汇交力 系。若诸空间力的作用线仅分布于同一平面且作用线汇交于一点， 这类力系称为平面汇交力系。研究汇交力系合成的方法有几何法 和解析法。
• 1.几何法
• 设作用于刚体上的空间汇交力系为F1、F2、…、Fn，且各力作 用线均汇交于一点O(图2-7(a))。O点为汇交点。按力的可传性 原理，施加于刚体上的汇交力系中各力作用点均可沿各自作用线 移至汇交点O。凡力系中诸力具有共同作用点的力系称为共点力 系(图2-7(b))。
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求： 光滑螺柱 AB 所受水平力.
解：由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为
M 0
FAl M1 M 2 M 3 0
解得
M1 M 2 M 3 FA FB 200N l
例2-8
已知
M 1 2kN m, OA r 0.5m, θ 30 ;
例2-1 已知： P 20 kN, R 0.6 m, h 0.08 m 求：
1.水平拉力 F 5 kN 时，碾子对地面及障碍物的压力？
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力 F 至少多大？ 3.力 F 沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F 多大？？
解:1.取碾子，画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形
解：CD 为二力杆，取 AB杆，画受力图. 用几何法，画封闭力三角形.
按比例量得
FC 28.3kN, FA 22.4kN
例2-3 已知：图示平面共点力系； 解：用解析法 求：此力系的合力.
FRx F ix F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129.3N
求：平衡时的 M 2 及铰链 O, B 处的约束力.
解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.
M 0
解得
M1 FA r sin 0
FO FA 8kN
r F M2 0 sin
' A
取杆 BC ，画受力图.
M 0
解得
M 2 8kN m FB FA 8kN
Rh θ arccos 30 R
FB sin θ F FA FB cos θ P
FA 11.4kN
FB 10kN
2.碾子拉过障碍物， 应有 FA 0
用几何法解得
F P tanθ=11.55kN
3. 解得
Fmin P sin θ 10 kN
例2-2 已知： AC CB, F 10 kN ,各杆自重不计； 求：CD 杆及铰链 A 的受力.
平衡条件 Fi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：
该力系的力多边形自行封闭.
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
Fx F cos θ
Fy F cos β
F Fx Fy
二、平面汇交力系合成的解析 法 F F
FR 0
Fx
平衡方程
0
Fy
0
§2-3
平面力对点之矩的概念和计算
一、平面力对点之矩（力矩）
O 力矩作用面，O 称为矩心， 到力的作用线的垂直距离 h 称 为力臂
两个要素：
1.大小：力 F 与力臂的乘积
2.方向：转动方向
M O(F) F h
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小 与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转 向时为正，反之为负.常用单位 N m 或 kN m
FR F1 F2 Fn
=
=
=
M FR d F1d F2 d Fn d M 1 M 2 M n
M
i 1
Mi
n
Mi
平面力偶系平衡的充要条件 M 0 ，有如下平衡方程
Mi
0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数 和等于零.
第二章
平面汇交力系和平面力偶系
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
力多边形规则
一、多个汇交力的合成
FR1 F1 F2 FR 2 FR1 FR 3
i 1
Fi
3
n FR Fi Fi
i 1
力多边形
力多边形规则
二、平面汇交力系平衡的几何条件
M O FR M O Fi
M O FR xi Fiy yi Fix
§2-4
一、力偶和力偶矩 1.力偶
平面力偶理论
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组 成的力系称为力偶，记作 F , F
2.力偶矩
力偶中两力所在平面称为力偶作用面. 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂.
两个要素
a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向
力偶矩
M F d 2ABC
二、力偶与力偶矩的性质
1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的 改变而改变.
M O F , F M O F M O F F d x1 F x1 Fd M O F , F F d x2 F x2
FRy F iy F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3N
FR FR2x FR2y 171.3N
FRx cos θ 0.7548 FR
FRy cos β 0.6556 FR
θ 40.99 , β 49.01
例2-4
已知: F 1400N,
θ 20 , r 60mm
求: M O (F )
解:直接按定义
MO
F F h F r cos θ
78.93N m
按合力矩定理 M O F M O Ft M O Fr
F cos θ源自 r 78.93N m2
1
1
1
力偶矩的符号
M
F ' d Fd
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移 转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对 刚体的作用效果不变.
=
=
=
ABC？ ABD ABC ABD M FR , FR FR d1 2 ABD M F , F Fd 2 ABC
x q q l l x 1 P q dx ql 0 l 2
由合力矩定理
x2 P h q dx x q dx 0 0 l
l l
得
2 h l 3
例2-7
已知：M1 M 2 10N m, M 3 20N m, l 200mm ;
例2-5
已知： F , , xB , yB , l;
CD 杆的拉力. 求： 平衡时，
解： CD 为二力杆，取踏板 由杠杆平衡条件
F cos yB F sin xB FCD l 0
解得
FCD
F cos y B F sin xB l
例2-6 已知： q,l ; 求： 合力及合力作用线位置. 解： 取微元如图
=
=
=
=
4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
三、平面力偶系的合成和平衡条件
已知： M 1 , M 2 , M n ; 任选一段距离d
M1 F1 d
M2 F2 d
Mn Fn d
M 1 F1d
M 2 F2 d
M n Fn d
=
=
FR F1 F2 Fn
二、合力矩定理 平面汇交力系
M O(FR ) M O ( Fi )
该结论适用于任何合力存在的力系
三、力矩与合力矩的解析表达式
M O(F) M O(Fy ) M O(Fx ) x F sin θ y F cos θ xFy yFx
R i
由合矢量投影定理，得合力投影定理
FRx Fix
合力的大小为：
FRy Fiy
FR FRx FRy
2 2
方向为：
Fix cos( FR , i ) FR
Fiy cos( FR , j ) FR
作用点为力的汇交点.
三、平面汇交力系的平衡方程 平衡条件