近五年椭圆高考题汇编
历年文科高考椭圆题带解析(供参考)
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.第六节 椭圆 强化训练当堂巩固1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15答案:B解析:由2a,2b,2c 成等差数列,所以2b=a+c. 又222b a c =-,所以222()4()a c a c +=-. 所以53a c =.所以35c e a ==.2.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴,直线AB 交y 轴于点P.若AP 2PB =,则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12答案:D解析:对于椭圆,∵AP 2PB =,则OA 2OF =, ∴a=2c.∴12e =.3.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的左、右焦点分别为1(0)F c -,、2(0)F c ,,若椭圆上存在一点P 使1221sin PFF sin PF F a c =,∠∠则该椭圆的离心率的取值范围为 . 答案:(211)-,解析:因为在△12PF F 中,由正弦定理得211221sin PFF sin PF F PF PF ||||=,∠∠则由已知,得1211a c PF PF =,||||即a|1PF |=c|2PF |. 由椭圆的定义知|1PF |+|2PF |=2a,则c a |2PF |+|2PF |=2a,即|2PF |22a c a=,+ 由椭圆的几何性质知|2PF |<a+c,则22a c a<+a+c,即2220c c a +->, 所以221e e +-,解得21e <-或21e >-.又(01)e ∈,,故椭圆的离心率(211)e ∈,.4.椭圆22192y x +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在椭圆上,若|1PF |=4,则|2PF |= ;12F PF ∠的大小为 .答案:2 120解析:∵2292a b =,=,∴c ===∴|12F F|=又|1PF |=4,|1PF |+|2PF |=2a=6, ∴|2PF |=2.又由余弦定理,得cos 1212F PF ∠==-,∴12120F PF ∠=,故应填2,120.5.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的离心率e =连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. (1)求椭圆的方程;(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A 的坐标为(-a,0). ①若|AB|=求直线l 的倾斜角;②若点0(0)Q y ,在线段AB 的垂直平分线上,且QA QB ⋅=4.求0y 的值.解:(1)由c e a==得2234a c =.再由222c a b =-,解得a=2b. 由题意可知12242a b ⨯⨯=,即ab=2.解方程组 22a b ab =,⎧⎨=,⎩ 得a=2,b=1.所以椭圆的方程为2214x y +=. (2)①由(1)可知点A 的坐标是(-2,0).设点B 的坐标为11()x y ,,直线l 的斜率为k. 则直线l 的方程为y=k(x+2).于是A,B 两点的坐标满足方程组22(2)14y k x x y =+,⎧⎪⎨+=.⎪⎩ 消去y 并整理,得 2222(14)16(164)0k x k x k +++-=.由212164214k x k --=,+得2122814k x k -=+.从而12414k y k =+. 所以|AB|==由|AB|==. 整理得42329230k k --=,即22(1)(3223)0k k -+=,解得1k =±. 所以直线l 的倾斜角为4π或34π.②设线段AB 的中点为M,由①得M 的坐标为22282()1414k k k k-,++. 以下分两种情况:(ⅰ)当k=0时,点B 的坐标是(2,0),线段AB 的垂直平分线为y 轴, 于是0QA (2)y =-,-,0QB (2)y =,-. 由QA QB ⋅=4,得022y =±.(ⅱ)当0k ≠时,线段AB 的垂直平分线方程为222281()1414k k y x k k k -=-+++.令x=0,解得02614k y k=-+.由0QA (2)y =-,-,QB 110()x y y =,-,整理得272k =.故147k =±,所以02145y =±.综上022y ,=±或02145y =±.课后作业巩固提升见课后作业A题组一 椭圆的离心率问题1.椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的右焦点为F,其右准线与x 轴的交点为A,在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是( )A.2(0]2,B.1(0]2,C.[211)-,D.1[1)2,答案:D解析:|AF|22a b c c c =-=,而|PF|a c ≤+, 所以2b a c c+≥, 即2210e e +-≥,解得112e ≤<.2.已知12F F ,是椭圆的两个焦点,过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若△2ABF 是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( )A.32B.22C.21-D.2答案:C解析:根据题意:2145AF F ∠=2222b c e e a,=,+-1=0,又(01)e ∈,,∴21e =-.3.设椭圆22221(0y x m m n+=>,n>0)的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为( )A.2211216y x += B.2211612y x += C.2214864y x += D.2216448y x += 答案:B解析:由题意可知:c=2,且焦点在x 轴上.由12e =,可得m=4,∴22212n m c =-=.故选B.题组二 椭圆的定义4.设P 是椭圆2212516y x +=上的点.若12F F ,是椭圆的两个焦点,则|1PF |+|2PF |等于( ) A.4 B.5 C.8 D.10 答案:D解析:因为a=5,所以|1PF |+|2PF |=2a=10.5.设直线l :2x+y-2=0与椭圆2214y x +=的交点为A 、B,点P 是椭圆上的动点,则使△PAB 面积为13的点P的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案:D解析:联立方程组 2222014x y y x +-=,⎧⎪⎨+=,⎪⎩ 消去y 整理解得:02x y =,⎧⎨=⎩ 或 10x y =,⎧⎨=,⎩|AB|= 结合图象知P 的个数为4.题组三 椭圆的综合应用6.已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为 .答案:221369y x += 解析:212e a a ==,=6,b=3,则所求椭圆方程为221369y x +=. 7.已知1F 、2F 是椭圆C:22221(y x a b a b+=>>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且12PF PF ⊥.若△12PF F 的面积为9,则b= .答案:3解析:依题意,有 1212222122184PF PF a PF PF PF PF c ||+||=,⎧⎪||⋅||=,⎨⎪||+||=,⎩ 可得2436c +24a =,即229a c -=,∴b=3.8.在平面直角坐标系xOy 中1212A A B B ,,,,为椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的四个顶点,F 为其右焦点,直线12A B 与直线1B F 相交于点T,线段OT 与椭圆的交点M恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为 .答案:5-解析:直线12A B 的方程为:1yx ab+=-;直线1B F 的方程为:1y x c b +=-;二者联立解得点()2()b a c ac T a c a c+,,--则OT 中点()()2()b a c ac M a c a c +,--在椭圆22221(y x a b a b+=>>0)上, 222222()11030()4()a c c c ac a a c a c ++=,+-=,--3e +10e-3=0, 解得5e =-.9.已知椭圆C:2212x y +=的两焦点为12F F ,,点00()P x y ,满足2200012x y <+<,则|1PF |+|2PF |的取值范围为,直线02x x+01y y =与椭圆C 的公共点个数为 .答案:[222), 0解析:延长1PF 交椭圆C 于点M,故|12F F |≤|1PF |+|2PF |<|1MF |+|2MF |=2a,即2≤|1PF |+|2PF |22<;当00y =时2002x ,<<,直线0012x xy y +=为x=02(2)(2)x ∈-∞,-⋃,+∞与椭圆C 无交点; 当00y ≠时,直线0012x xy y +=为0012x xy y -=,代入2212x y +=中有 222000()222x y x x x +-+-2020y =. ∵2222000044()(22)2x x y y ∆=-+-∴直线与椭圆无交点.10.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D,且2BF FD =,则椭圆C 的离心率为 .答案:33解析:如图,不妨设B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点, 设D(x,y).由2BF FD =,得(c,-b)=2(x-c,y),即 2()2c x c b y =-,⎧⎨-=,⎩ 解得 322c x b y ⎧=,⎪⎨⎪=-,⎩ 3()22c b D ,-.由2BF FD =,可得|FD |12=|BF |2a =, ①又由椭圆第二定义知,|FD |2233()()22a c a c c e c c a=-⋅=-⋅. ②由①②解得223a c =,即213e =,∴33e =. 11.如图,椭圆C:22221y x a b+=的顶点为1212A A B B ,,,,焦点为12F F ,,|11A B |7=,1122B A B A S11222B F B F S =.(1)求椭圆C 的方程;(2)设n 为过原点的直线,l 是与n 垂直相交于P 点.与椭圆相交于A,B 两点的直线,|OP |=1.是否存在上述直线l 使0OA OB ⋅=成立?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)由|11A B |7=知227a b +=, ① 由112211222B A B A B F B F SS=知a=2c, ②又222b a c =-, ③由①②③,解得2243a b =,=,故椭圆C 的方程为22143y x +=. (2)设A,B 两点的坐标分别为1122()()x y x y ,,,,假设使0OA OB ⋅=成立的直线l 存在,①当l 不垂直于x 轴时,设l 的方程为y=kx+m ,由l 与n 垂直相交于P 点且|OP |=1得211m k ||=,+即221m k =+.由0OA OB ⋅=得12120x x y y +=.将y=kx+m 代入椭圆方程,得由求根公式可得122834km x x k-+=,+ ④212241234m x x k -=+. ⑤ 将④⑤代入上式并化简得222222(1)(412)8(34)0k m k m m k +--++=. ⑥ 将221m k =+代入⑥并化简得25(1)0k -+=,矛盾. 即此时直线l 不存在.②当l 垂直于x 轴时,满足|OP |=1的直线l 的方程为x=1或x=-1, 则A,B 两点的坐标为33(1)(1)22,,,-或(-133)(1)22,,-,-,当x=1时33(1)(1)22OA OB ,⋅=,⋅,-=504-≠;当x=-1时3(1)(12OA OB ,⋅=-,⋅-,32-5)04=-≠,∴此时直线l 也不存在.综上可知,使0OA OB ⋅=成立的直线l 不存在.12.如图,已知椭圆22221y x a b+=（a>b>0)过点2(1)2,,离心率为22,左 、右焦点分别为F 1 、F 2.点P 为直线l:x+y=2上且不在x 轴上的任意一点,直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A B ,和C ,(1)求椭圆的标准方程.(2)设直线1PF ,PF 2的斜率分别为1k ,k 2.(ⅰ)证明:12312k k -=.(ⅱ)问直线l 上是否存在点P,使得直线OA OB OC OD ,,,的斜率k OA ,k OB ,k OC ,k OD 满足+OA k +0OB OC OD k k k +=?若存在,求出所有满足条件的点P 的坐标;存不存在,说明理由.解:(1)因为椭圆过点22(1e ,=所以2221112c a a b+=,=.又222a b c =+,所以21a b c ==,=1.故所求椭圆的标准方程为2212x y +=. (2)(ⅰ)证明:方法一:由于1(10)F -,,F 21(10)PF ,,,PF 2的斜率分别为1k ,k 2,且点P 不在x 轴上,所以121200k k k k ≠,≠,≠.又直线12PF PF ,的方程分别为12(1)(1)y k x y k x =+,=-,联立方程解得 122112212k k x k k k k y k k +⎧=,⎪-⎪⎨⎪=,-⎪⎩所以121221212()k k k k P k k k k +,--. 由于点P 在直线x+y=2上,所以12122122k k k k k k ++=-.因此1212230k k k k +-=, 即12312k k -=,结论成立. 方法二:设00()P x y ,,则00120011y yk k x x =,=+-. 因为点P 不在x 轴上,所以0y ≠. 又002x y +=,所以000012000013(1)422312x x x y k k y y y y +---=-===. 因此结论成立.(ⅱ)设()()()A A B B C C A x y B x y C x y ,,,,,,()D D D x y ,.联立直线1PF 与椭圆的方程得 122(1)12y k x x y =+,⎧⎪⎨+=,⎪⎩ 化简得2222111(21)4220k x k x k +++-=,因此221122114222121A B A B k k x x x x k k -+=-,=,++由于OA,OB 的斜率存在,所以00A B x x ≠,≠,因此2101k ≠,. 因此11(1)(1)A B A B OA OB A B A By y k x k x k k x x x x +++=+=+ 12121k k =--. 相似地,可以得到220001C D x x k ≠,≠,≠,,22221OC OD k k k k +=-,- 故1222122()11OA OB OC OD k k k k k k k k +++=-+-- 121222122(1)()(1)(1)k k k k k k -+=---. 若0OA OB OC OD k k k k +++=,须有120k k +=或121k k =.①当120k k +=时,结合(ⅰ)的结论,可得22k =-,所以解得点P 的坐标为(0,2);②当121k k =时,结合(ⅰ)的结论,解得23k =或21(k =-此时11k =-,不满足12k k ≠,舍去),此时直线CD 的方程为y=3(x-1),联立方程x+y=2得5344x y =,=.因此53()44P ,.综上所述,满足条件的点P 的坐标分别为(0532)()44,,,.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 8文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.。
近三年高考椭网重点题型总结
,
特殊位置、极 限 位 置,先 猜 出 定 点 (或 定 值 )
然后再进行理论上的证明。
例 4
(
2
0
2
3届河南名校联盟高三摸
底联考)
在直 角 坐 标 系 xOy 中,椭 圆 C 的 中
。
心在 原 点,焦 点 在 x 轴 上,且 过 点 (
2,3)
假设椭圆 C 的 两 焦 点 与 其 中 一 个 顶 点 能 构
总分
第 15 题(
5 分)
椭圆
第 10 题(
5 分)
从表格中看出近三年 的 高 考 试 卷 中 的 圆
锥曲线分值在 2
2~2
7 分,椭 圆 部 分 分 值 5~
1
2 分,主 要 考 查 了 四 部 分 内 容:一 是 椭 圆 基
本定义、
性 质;
二 是 最 值、
范 围 问 题;
三是面积
问题;
四是定点、
椭圆中的 面 积 问 题 多 以 三 角 形、四 边 形
的面积为主,
面积的计算 思 维 强 度 大,
对运算
分析:
本题表面上是 求 离 心 率 的 范 围,
实
能力要求高。它要求同学 们 掌 握 多 种 面 积 公
质上是先利用距离型目标 函 数 的 最 值 求 解 过
式,
以便针 对 不 同 的 要 求 选 择 不 同 的 面 积 公
③ 两 直 线 垂 直 时,不 妨 设 直 线l1 为 y=
1
直线l2 为 y=- x+c;
kx+b,
k
④ 两直线关 于 x 轴 (或 y 轴 )对 称 时,可
椭圆历年高考题
椭圆历年高考题(总6页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除椭圆历年高考真题（选填题）1.(2018·全国卷I高考文科·T4)已知椭圆C :+=1的一个焦点为,则C的离心率为()A .B .C .D .2.(2018·全国卷II高考理科·T12)已知F1,F2是椭圆C :+=1(a>b>0)的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A 且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A .B .C .D .3.(2018·全国卷II高考文科·T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C .D .-14.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B是椭圆C:23x+2ym=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0, 3]∪[4,+∞)5.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A. 6B.3C.23D.136.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.63B.33C.23D.137.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.348.(2016·全国卷3·理科·T11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:2222x ya b=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.349.(2016·江苏高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆2222x y+=1a b(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.10.(2015·全国1卷理科·T14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 .椭圆历年高考真题（选填题）参考答案1.(2018·全国卷I高考文科·T4)已知椭圆C:+=1的一个焦点为,则C的离心率为()A.B.C.D.【解析】选C.因为椭圆的一个焦点为(2,0),则c=2,所以a2=b2+c2=8,a=2,所以离心率e=.2.(2018·全国卷II高考理科·T12)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A.B.C.D.【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程和椭圆的性质的应用以及数学运算能力.【解析】选D.由题意直线AP的方程为y=(x+a),△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,所以PF2=2c,∠PF2x=60°,故P(2c,c),代入y=(x+a)得,(2c+a)=c,解得e==.3.(2018·全国卷II高考文科·T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C.D.-1【命题意图】本题考查椭圆的定义和性质的应用,考查了学生的运算和转化能力. 【解析】选D .在直角三角形PF 1F 2中,F 1F 2=2c ,∠PF 2F 1=60°, 所以PF 1=c ,PF 2=c ,又PF 1+PF 2=2a ,所以c +c =2a ,解得e ===-1.4.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B 是椭圆C:23x +2y m =1长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则m 的取值范围是( ) A.(0,1]∪[9,+∞)3∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞)3∪[4,+∞)【命题意图】本题主要考查椭圆的性质,利用椭圆的性质解决相关问题.【解析】选A.当0<m<3时,焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则ab3即3m3,得0<m≤1;当m>3时,焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则a b 3即3m3,得m≥9,故m 的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),故选A. 5.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C: 22x a +22y b=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为 ( ) A.63 B. 33 C.23 D.13【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力. 【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离22a b=a,整理得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2,即22c a =23,e=ca =63. 6.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22x a +22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为 ( )A.6 B.3 C.2 D.13【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力. 【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离d=22ab+=a,整理为a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2,即22c a=23,e=c a =63.7.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34【解析】选B.设椭圆的标准方程为22x a+22y b =1(a>b>0),右焦点F(c,0),则直线l 的方程为x c +yb =1,即bx+cy-bc=0,22bcb c -+=12b,又a 2=b 2+c 2,得b 2c 2=14b 2a 2,所以e=c a =12.8.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T12)与(2016·全国卷3·理科·T11)相同已知O 为坐标原点,F 是椭圆C:2222x y a b+ =1(a>b>0)的左焦点,A,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34【解题指南】点M 是直线AE 和直线BM 的交点,点M 的横坐标和左焦点相同,进而找到a,b,c 的联系. 【解析】选A.由题意可知直线AE 的斜率存在,设为k,直线AE 的方程为y=k ()x a +,令x=0可得点E 坐标为()0,ka ,所以OE 的中点H 坐标为ka 0,2⎛⎫⎪⎝⎭,又右顶点B(a,0),所以可得直线BM 的斜率为-k 2,可设其方程为y=-k 2x+k 2a,联立()y k x a ,k k y x a,22⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩可得点M 横坐标为-a 3,又点M 的横坐标和左焦点相同,所以-a 3=-c,所以e=13.9.(2016·江苏高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F是椭圆2222x y +=1a b (a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .【解题指南】利用k BF ·k CF =-1计算得出离心率的值. 【解析】将直线y=2b与椭圆的方程联立得B 3b a,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,C 3b a,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,F(c,0),则k BF =b 23a c --,k CF =b23a c -, 因为∠BFC=90°,所以k BF ·k CF =b 23a c 2--×b23a c 2-=-1, 整理得b 2=3a 2-4c 2,所以a 2-c 2=3a 2-4c 2,即3c 2=2a 2⇒e=ca =6. 答案:6 10.(2015·全国1卷理科·T14)（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 。
椭圆历年高考题精选
例3．（2005全国卷III文、理）设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）
A． B． C． D．
例4.(2008海南、宁夏文)过椭圆 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为______________
A B C D
【答案】C.
【解析】根据焦点坐标 知 ，由双曲线的简单几何性质知 ，所以 ，因此 .故选C.
二、填空题
13.【2012高考四川文15】椭圆 为定值，且 的的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ， 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
【答案】 ，
14.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x2 y2=1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.
【答案】
15.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率为 ，则 的值为▲．
【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
16.【2012高考陕西文14】右图是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.
【答案】 .
17.【2012高考重庆文14】设 为直线 与双曲线 左支的交点， 是左焦点， 垂直于 轴，则双曲线的离心率
A、 B、 C、 D、
【答案】B
8.【2012高考四川文11】方程 中的 ，且 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）
A、28条B、32条C、36条D、48条
2024全国高考真题数学汇编：椭圆(1)精选全文完整版
2024全国高考真题数学汇编椭圆一、单选题1．（2024全国高考真题）已知曲线C ：2216x y （0y ），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y（0y ）B ．221168x y （0y ）C ．221164y x （0y ）D ．221168y x （0y ）二、解答题2．（2024天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b椭圆的离心率12e ．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △(1)求椭圆方程．(2)过点30,2的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．3．（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 222210x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．4．（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆2222:1(0)x yC a b a b上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．5．（2024全国高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的右焦点为F ，点31,2M 在C 上，且MF x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点 4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y 轴．参考答案1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x ，因为M 为PP 的中点，所以02y y ，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y 上，所以22416(0)x y y ，即221(0)164x y y ，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y .故选：A2．(1)221129x y (2)存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx， 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ，再根据0TP TQ 可求t 的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e，故2a c，b ，其中c 为半焦距，所以2,0,0,,0,2A c B C，故122ABC S c △故ca ，3b ，故椭圆方程为：221129x y .（2）若过点30,2的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx ，设 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx可得223412270k x kx ，故 222Δ144108343245760k k k 且1212221227,,3434k x x x x k k而 1122,,,TP x y t TQ x y t，故121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t22121233122kx x k t x x t22222731231342342k k k t t kk2222222327271812332234k k k t t t k k22223321245327234t t k t k，因为0TP TQ 恒成立，故 223212450332702t t t，解得332t .若过点30,2的动直线的斜率不存在，则 0,3,0,3P Q 或 0,3,0,3P Q ，此时需33t ，两者结合可得332t.综上，存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.3．(1)221,422x y e(2)2t 【分析】（1）由题意得b c a ，由此即可得解；（2）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k ，而 121112:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1）由题意b c，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y，离心率为e；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t，化简并整理得222124240k x ktx t ，由题意 222222Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，所以2121222424,1221kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 121112:y y AD y x x y x x，在直线AD 方程中令0x ，得 2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，所以2t ，此时k 应满足222424200k t k k，即k应满足2k或2k ，综上所述，2t满足题意，此时2k或2k .4．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】（1）由题意得2239941b a b，解得22912b a ，所以12e .（2）法一：3312032APk，则直线AP 的方程为132y x ，即260x y ，AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为d，则d则将直线AP 沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y，解得03x y 或332x y ，即 0,3B 或33,2，当 0,3B 时，此时32l k，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当33,2B时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，当18C 时，联立2211292180x y x y得22271170y y ，227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP 的距离d设 00,B x y，则220012551129x y，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d设,3sin B ，其中 0,2联立22cos sin 1，解得cos 21sin 2或cos 0sin 1，即 0,3B 或33,2，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，16392PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，联立椭圆方程有2231129y kx x y，则2243240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，解得0x 或22443kx k，0k ，12k ，令22443k x k ，则2212943k y k ，则22224129,4343k k B k k同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d，解得32k =，此时33,2B，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x，令 1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y，消y 可得 22224324123636270k x k k x k k ，2222Δ24124433636270k kk k k ，且AP k k ，即12k ，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k，A 到直线PB距离192PAB d S，12k或32，均满足题意，1:2l y x 或332y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(2l y k x，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k，联立223323436y kx k x y，则有2223348336362702k x k k x k k ，2223348336362702k xk k x k k，其中22223Δ8343436362702k k k k k，且12k ，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k，则211312183922234P B k S AQ x x k k，解的12k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x或332y x ，即3260x y 或20x y .5．(1)22143x y (2)证明见解析【分析】（1）设 ,0F c ，根据M 的坐标及MF x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y ，结合韦达定理化简前者可得10Q y y ，故可证AQ y 轴.【详解】（1）设 ,0F c ，由题设有1c 且232b a ，故2132a a ，故2a，故b ，故椭圆方程为22143x y .（2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y，由223412(4)x y y k x 可得 2222343264120k x k x k ，故 422Δ102443464120k k k ，故1122k ，又22121222326412,3434k k x x x x k k ，而5,02N，故直线225:522y BN y x x ，故22223325252Qy y y x x，所以 1222112225332525Q y x y y y y y x x12224253425k x x k x x222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x2222212824160243234025k k k k k x ，故1Q y y ，即AQ y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x 、12x x （或12y y 、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(椭圆)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（椭圆）练习一. 基础小题练透篇1.已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段2．[2023ꞏ山西省忻州市高三联考]“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.[2023ꞏ重庆市高三模拟]几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族．点Q 是椭圆族T 上任意一点，如图所示，椭圆族T 的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点O ；③过定点P ()0，3 ，则||QP ＋||QO 的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．114．[2023ꞏ四川省遂宁市模拟]已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12 ，则( ) A ．a 2＝2b 2 B ．3a 2＝4b 2 C ．a ＝2b D ．3a ＝4b5．[2023ꞏ甘肃省张掖市高三检测]已知椭圆x 2＋y 2b 2 ＝1(1>b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是椭圆上一点，点A 是线段F 1F 2上一点，且∠F 1MF 2＝2∠F 1MA ＝2π3 ，|MA |＝32 ，则该椭圆的离心率为( )A ．3B ．12C ．223D ．36．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3 )，B (0，－3 )，动点M 满足|MA |＋|MB |＝4，则MA → ꞏMB →的最大值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．27．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，过点(322 ，2)且离心率为13 ，则椭圆C 的焦距为________． 8．[2023ꞏ陕西省西安市模拟]椭圆x 29 ＋y 23 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ陕西省安康市高三联考]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215 ＝1(a >15 )的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°.||PF 1 ＝5||PF 2 ，则C 的方程为( )A ．x 221 ＋y 215 ＝1B ．x 218 ＋y 215 ＝1C ．x 236 ＋y 215 ＝1 D ．x 242 ＋y 215 ＝12．[2023ꞏ广西贵港市高三联考]若2<m <8，椭圆C ：x 2m ＋y 22 ＝1与椭圆D ：x 2m ＋y 28 ＝1的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．e 1ꞏe 2的最小值为32B ．e 1ꞏe 2的最小值为12C ．e 1ꞏe 2的最大值为3D ．e 1ꞏe 2的最大值为123．[2023ꞏ江西名校联盟模拟]在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A.22 B ．12 C ．13 D ．144．[2023ꞏ陕西省西安市高三检测]设椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1()a >b >0 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足F A → ꞏFB →＝0，||FB ≤||F A ≤2||FB ，则椭圆C 的离心率的最大值是( )A ．13B ．33C ．23D ．535．[2023ꞏ陕西省咸阳市摸底]已知椭圆C ：x 2m 2－1＋y 2m 2 ＝1(m ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且△PF 1F 2面积的最大值为3 ，则椭圆C 的短轴长为________．6．[2023ꞏ福建省高三联考]抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F ，点P ()3，2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为________．三. 高考小题重现篇1.[2021ꞏ山东卷]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29 ＋y 24 ＝1的两个焦点，点M 在C 上，则||MF 1 ꞏ||MF 2 的最大值为( )A ．13 B. 12 C ．9 D. 62．[全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22 D ．2233．[2022ꞏ全国甲卷]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为13 ，A 1，A 2分别为C的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA → 1ꞏBA →2＝－1，则C 的方程为( )A ．x 218 ＋y 216 ＝1B ．x 29 ＋y 28 ＝1C ．x 23 ＋y 22 ＝1 D ．x 22 ＋y 2＝14．[2022ꞏ全国甲卷]椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A．32B．22C．12D．135．[2019ꞏ全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．6．[2021ꞏ全国甲卷]已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．四. 经典大题强化篇1.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝5，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．2．[2022ꞏ湖北武汉调研]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 2．答案：B答案解析：当m >0时方程x 24 ＋y 2m ＝1不一定表示椭圆，如m ＝4时方程x 24 ＋y 24＝1，即x 2＋y 2＝4就表示一个圆，所以“m >0”不是“方程x 24 ＋y2m＝1表示椭圆”的充分条件；但是当方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆时，应有m >0，所以“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m＝1表示椭圆”的必要条件，故选B. 3．答案：A答案解析：如图所示设点Q 所在椭圆的另一焦点为F ，则||QP ＋||QO ＝||QP ＋4－||QF ≤||PF ＋4＝4－||PO ＋4＝5. 故选A. 4．答案：B答案解析：椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2，故选B.5．答案：B答案解析：设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝2a ＝2，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos 2π3，即4c 2＝r 21 ＋r 22 ＋r 1r 2＝（r 1＋r 2）2－r 1r 2＝4－r 1r 2，所以r 1r 2＝4－4c 2，因为S △F 1MF 2＝S △F 1MA ＋S △AMF 2，所以12 r 1r 2sin 23 π＝12 r 1·|MA |·sin π3 ＋12 r 2·|MA |·sin π3，整理得r 1r 2＝（r 1＋r 2）·|MA |，即4－4c 2＝2×32 ，整理得c 2＝14，所以c ＝12 ，a ＝1，e ＝c a ＝12.故选B. 6．答案：C答案解析：易知M 的轨迹为椭圆，其方程为y 24＋x 2＝1，设M （x ，y ），则x 2＝1－y 24，∴MA → ·MB → ＝（－x ，3 －y ）·（－x ，－3 －y ）＝x 2＋y 2－3＝y 2＋（1－y 24）－3＝3y24－2， 因为y ∈[－2，2]，所以34y 2∈[0，3]，即3y24 －2∈[－2，1]，∴（MA → ·MB →）max ＝1. 7．答案：2答案解析：设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1，由离心率为13 可得c a ＝13，由a 2＝b 2＋c 2可得b 2a 2＝89 ，又92a 2 ＋4b 2 ＝1，解得a 2＝9，b 2＝8，c ＝1，焦距为2. 8．答案：5答案解析：由题得c ＝6 ，由题得PF 2⊥x 轴，当x ＝6 时，69＋y 23 ＝1，所以y ＝±1，∴|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝2×3－|PF 2|＝6－1＝5， 所以|PF 1|是|PF 2|的5倍．二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：在椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215＝1（a >15 ）中，由椭圆的定义可得||PF 1 ＋||PF 2 ＝2a ，因为||PF 1 ＝5||PF 2 ，所以||PF 2 ＝a 3，||PF 1 ＝5a3，在△PF 1F 2中，||F 1F 2 ＝2c ，由余弦定理得||F 1F 2 2＝||PF 1 2＋||PF 2 2－2||PF 1 ||PF 2 cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝25a 29 ＋a29－5a 29 ＝21a 29 ，所以c 2a 2 ＝2136 ，又b 2＝15.所以a 2＝36，所以椭圆C 的方程为x 236 ＋y 215 ＝1. 故选C. 2．答案：D答案解析：因为2<m <8，所以e 1＝ 1－2m ，e 2＝ 1－m8，所以e 1·e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 8 ＝1＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m 8 ≤54－22m ·m 8 ＝12， 当且仅当m ＝4时，等号成立，故e 1·e 2的最大值为12，e 1·e 2无最小值．故选D.3．答案：C答案解析：不妨设点P 在x 轴上方，如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得∠PBF ＝∠QBF ，∠EAB ＝∠EBA ，所以∠EAB ＝∠QBF ，所以ME ∥BQ ，所以|PE ||EB | ＝|PM ||MQ | .因为OE ∥PF ，所以|OF ||OB |＝|EP ||EB | ，从而有|PM ||MQ | ＝|OF ||OB | .又M 是线段PF 的中点，所以e ＝c a ＝|OF ||OB | ＝|PM ||MQ | ＝13 . 4．答案：D答案解析：如图所示：设椭圆的左焦点F ′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又FA → ·FB →＝0，即FA ⊥FB ， 所以平行四边形AFBF ′为矩形，所以||AB ＝||FF ′ ＝2c ，设||AF ′ ＝|BF |＝n ，||AF ＝m, 在直角△ABF 中，m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，得mn ＝2b 2，所以m n＋n m ＝2c 2b 2 ，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c2b 2 ，又由||FB ≤||FA ≤2||FB ，得m n ＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 ，所以c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 ，即b 2a 2 ＝11＋c 2b2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 ， 所以e ＝ca＝1－b 2a 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 ，所以离心率最大值为53 .故选D.5．答案：23答案解析：由椭圆的方程可知，椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，且|F 1F 2|＝2m 2－（m 2－1） ＝2，由题意可知，当点P 为椭圆C 左右顶点时，△PF 1F 2的面积最大，且12 |F 1F 2|m 2－1 ＝3 ，解得m ＝2，所以椭圆C 的短轴长为2m 2－1 ＝23 .6．答案：22答案解析：抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F （1，0），根据题意2c ＝（3－1）2＋（2－0）2＝22 ，c ＝2 .设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x ＝－1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a ＝||QF ＋||QP 2 ＝d ＋||QP 2 ≥3－（－1）2＝2， 当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e ＝ca ＝22. 三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由题，a 2＝9，b 2＝4，则||MF 1 ＋||MF 2 ＝2a ＝6，所以||MF 1 ·||MF 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫||MF 1＋||MF 22 2＝9（当且仅当||MF 1 ＝||MF 2 ＝3时，等号成立）.2．答案：C答案解析：由题意可知c ＝2，b 2＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝4＋22＝8，则a ＝22 ，∴e ＝c a ＝222 ＝22 . 3．答案：B答案解析：由椭圆C 的离心率为13 ，可得e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝13.化简，得8a 2＝9b 2.易知A 1（－a ，0），A 2（a ，0），B （0，b ），所以BA 1·BA 2＝（－a ，－b ）·（a ，－b ）＝－a 2＋b 2＝－1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝9b 2，－a 2＋b 2＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝8. 所以C 的方程为x 29 ＋y 28 ＝1.故选B.4．答案：A答案解析：A ()－a ，0 ，设P ()x 1，y 1 ，则Q ()－x 1，y 1 ，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a， 故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21 －x 21 ＋a 2 ＝14， 又x 21 a2 ＋y 21 b2 ＝1，则y 21 ＝b 2()a 2－x 21 a 2， 所以b 2()a 2－x 21 a 2－x 21 ＋a2 ＝14 ，即b 2a 2 ＝14 ， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2 ＝32 .故选A. 5．答案：（3，15 ）答案解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20 ＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为（3，15 ）.6．答案：8答案解析：根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋（8－m ）2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4（a 2－b 2）＝48，得m （8－m ）＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m （8－m ）＝8.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）由已知得b ＝4，且c a ＝55 ，即c 2a 2 ＝15，∴a 2－b 2a 2 ＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220 ＋y 216＝1. 则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. （2）椭圆右焦点F 的坐标为（2，0），设线段MN 的中点为Q （x 0，y 0），由三角形重心的性质知BF → ＝2FQ →， 又B （0，4），∴（2，－4）＝2（x 0－2，y 0）， 故得x 0＝3，y 0＝－2， 即Q 的坐标为（3，－2）. 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 21 20 ＋y 21 16 ＝1，x 22 20 ＋y 2216＝1， 以上两式相减得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝－45 ·x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－45 ×6－4 ＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65（x －3），即6x －5y －28＝0.2．答案解析：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2 ，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y22＝1， 得（1＋2k 2）x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.Δ＝24k 2＋16>0恒成立． 设点M ，N 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则y 1＝k （x 1－1），y 2＝k （x 2－1），x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2 ，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2 ，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2. 又点A （2，0）到直线y ＝k （x －1）的距离d ＝|k |1＋k2 ，所以△AMN的面积S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，由|k|4＋6k21＋2k2＝103，得k＝±1.所以当△AMN的面积为103时，k＝±1.。
椭圆历年高考题
解得 e= = = -1.
4.(2017·全国乙卷文科·T12)设 A,B 是椭圆 C: x2 + y2 =1 长轴的两个端点,若 C 上存在点 M 满足 3m
A.
B.
C.
D.
3.(2018·全国卷 II 高考文科·T11)已知 F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点,P 是 C 上的一点,若 PF1⊥PF2,且 ∠PF2F1=60°,则 C 的离心率为( )
C.
4.(2017·全国乙卷文科·T12)设 A,B 是椭圆 C: x2 + y2 =1 长轴的两个端点,若 C 上存在点 M 满足 3m
6
A.
3
3
B.
3
2
1
C.
D.
3
3
7.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其
短轴长的 ,则该椭圆的离心率为( )
1
1
A. 3
B. 2
2
3
C. 3
D. 4
8.(2016·全国
卷
3·理
科·T11)已知
O
为坐
标原点,F是椭圆C:x2 a2
y2 b2
即
a2=3(a2-c2)?2a2=3c2,即
c2 a2
=
2 3
,e=
c a
=
6
.
3
椭圆高考题汇编
椭圆高考题汇编1．（2019全国I 理10）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 2.（2019全国II 理21（1））已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；3.（2019北京理4）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，则（A ）22.2a b =（B ）22.34a b=（C ）2a b=（D ）34a b=4.（2019全国III 理15）设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆22221(0)+=>>：x y C a b a b的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 且斜率为6的直线上，12△PF F 为等腰三角形，12120∠=︒F F P ，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．142．(2018上海)设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2017浙江）椭圆22194x y +=的离心率是A ．B C ．23D ．594．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．3 B ．3 C ．3 D ．135．(2016年全国III)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．346．(2016年浙江)已知椭圆1C ：2221x y m +=(1m >)与双曲线2C ：2221x y n-=(0n >)的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C ．m n <且121e e >D ．m n <且121e e <7．(2014福建)设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是 A ．25 B ．246+ C ．27+ D ．268．（2013新课标1）已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝19．(2012新课标)设1F 、2F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，P 为直线23a x =上一点，12PF F ∆ 是底角为o 30的等腰三角形，则E 的离心率为A 、21B 、32 C 、43 D 、54 二、填空题10．(2018浙江)已知点(0,1)P ，椭圆224x y m +=(1m >)上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大．11．(2018北京)已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．12．(2016江苏省)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是 ．13．（2015新课标1）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 的正半轴上，则该圆的标准方程为_________．14．（2014江西）过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ．15．（2014辽宁）已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += ．16．（2014江西）设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于B A ，两点，B F 1与y 轴相交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________．17．（2014安徽）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为_____．18．（2013福建）椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2．若直线)y x c +与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于19．（2012江西）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ，左、右焦点分别是12,F F ．若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．20．（2011浙江）设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =；则点A 的坐标是 ． 三、解答题21．（2018全国卷Ⅰ）设椭圆:C 2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．22．（2018全国卷Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：22143x y +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >．(1)证明：12k <-； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：||FA ，||FP ，||FB 成等差数列，并求该数列的公差．23．(2018天津)设椭圆22221x x a b+=(0a b >>)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3，点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅= (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值．24．（2017新课标Ⅰ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，33(1,)2P =-，43(1,)2P =中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．25．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．26．（2017江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．27．（2017天津）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD △AP 的方程． 28．（2017山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）如图，动直线l：1y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T ．求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．x29．(2016年北京)已知椭圆C ：22221(0)x y a ba b+=>>(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．30．(2015新课标2）已知椭圆C ：2229x y m +=(0m >)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．31．（2015北京）已知椭圆C ：()222210x y a b ab+=>>，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．32．（2015安徽）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为10． （Ⅰ）求E 的离心率e ；（Ⅱ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．33．（2015山东）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>焦点分别是1F 、2F ．以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222144x y a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m 交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．( i )求||||OQ OP 的值； （ii ）求△ABQ 面积的最大值．34． (2014新课标1) 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点． （Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．35．(2014浙江)如图，设椭圆(),01:2222>>=+b a by a x C 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．（Ⅰ）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标；（Ⅱ）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -．36．（2014新课标2）设1F ，2F 分别是椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>的左，右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求,a b ．37．（2014安徽）设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =（Ⅰ）若2||4,AB ABF =∆的周长为16，求2||AF ； （Ⅱ）若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率． 38．（2014山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a ba b+=>>，直线y x=被椭圆C ． （Ｉ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．(ⅰ)设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值； (ⅱ)求OMN ∆面积的最大值．39．（2014湖南）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． （Ｉ）求12,C C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论．40．（2014四川）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）； （ii ）当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标． 41．（2013安徽）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点23)P ，．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ．取点(0,22)A ,连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．42．（2013湖北）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．43． (2013天津)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，， 过点F 且与x 轴垂直的直(Ⅰ) 求椭圆的方程；(Ⅱ) 设A ， B 分别为椭圆的左、右顶点， 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点． 若··8AC DB AD CB +=， 求k 的值．44．（2013山东）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF ．设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(),0M m ，求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，若0k ≠，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值． 45．（2012北京）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A，离心率为．直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M ,N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当△AMN得面积为3时，求k 的值． 46．（2013安徽）如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22by =1（0>>b a ）的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶第20题图点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a , b 的值．47．（2012广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =椭圆C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y += 相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由． 48．（2011陕西）设椭圆C: ()222210x y a b a b +=>>过点（0，4），离心率为35（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标． 49．（2011山东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=．如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -．（Ⅰ）求22m k +的最小值；（Ⅱ）若2OG OD =∙OE ，（i ）求证：直线l 过定点；（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由．50．（2010新课标）设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b=1（01b <<）的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列． （Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值．51．（2010辽宁）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ，2AF FB =． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）如果|AB |=154，求椭圆C 的方程．。
高考椭圆最常考的题型(140分推荐)
高考椭圆最常考的题型（140分推荐）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知椭圆：x 24+y 2b2=1(0<b <2) ，左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A,B 两点，若|BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为5，则b 的值是( )A. 1B. √2C. 32D. √32. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，直线x =√2与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则椭圆的方程为( )A.x 22+y 2=1B.x 24+y 22=1C.x 28+y 24=1D.x 26+y 23=13. 已知直线y =kx(k ≠0)与椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a >1)交于P ，Q 两点，点F ，A 分别是椭圆C 的右焦点和右顶点，若|FP|+|FQ|+|FA|=52a ，则a =( )A. 4B. 2C. 43D. 2√334. 已知直线2x +y −4=0经过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 2，且与椭圆在第一象限的交点为A ，与y 轴的交点为B ，F 1是椭圆的左焦点，且|AB |=|AF 1|，则椭圆的方程为( )A. x 240+y 236=1B. x 220+y 216=1C. x 210+y 26=1D.x 25+y 2=15. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆的离心率为( )A. √32B. √22C. 12D. 136. 已知椭圆方程为x 2+ky 2=5的一个焦点是(0,2)，那么k =( )A. 59B. 97C. 1D. 537. 已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2+y 24=1的焦距为4，则C 的离心率( )A. 13B. 12C. √22D. 2√238. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为4√3，则椭圆C 的方程为( )A. x 23+y 2=1B. x 23+y 22=1 C. x 212+y28=1 D. x 212+y24=1二、单空题（本大题共2小题，共10.0分）9.已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为12，则C的方程可以为．10.椭圆E：x2a2+y23=1的右焦点为F2，直线y=x+m与椭圆E交于A，B两点．若△F2AB周长的最大值是8，则m的值等于________．三、解答题（本大题共20小题，共240.0分）11.设椭圆C∶x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35．(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标．12.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√33，短轴一个端点到右焦点的距离为√3．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过椭圆的左焦点且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，求|AB|．13.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(1,√32)在椭圆C上，且△PF1F2的面积为32．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C上存在A，B两点关于直线x=my+1对称，求m的取值范围．14.已知点P(3,4)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF1F2的面积．15.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，短轴长为2√3．(Ⅰ)求椭圆Ｃ的标准方程；(Ⅱ)若斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的垂直平分线过定点(13,0)，求k的取值范围．16.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和直线l:xa−yb=1，椭圆的离心率e=√63，坐标原点到直线l的距离为√32．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(−1,0)，若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．17.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过两点(0,1)，(√3,12)．(I)求椭圆E的方程；(II)若直线l:x−y−1=0交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求△AOB 的面积S．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，M(√3,−12)是椭圆C上的一点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(−4,0)作直线l与椭圆C交于不同两点A、B，A点关于x轴的对称点为D，问直线BD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，短轴的一个端点到右焦点的距离为3√2．(1)求椭圆的方程；(2)若直线y=x−1与椭圆相交于不同两点A、B，求|AB|．20.已知椭圆C1的方程为x24+y23=1，椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为√32．(1)求椭圆C2的方程；(2)如上图，M，N分别为直线l与椭圆C1，C2的交点，P为椭圆C2与y轴的交点，△PON 的面积为△POM的面积的2倍，若直线l的方程为y=kx(k>0)，求k的值．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和上顶点，且AB=√7，右准线l的方程为x=4．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点A的直线交椭圆于另一点P，交l于点Q.若以PQ为直径的圆经过原点，求直线PQ的方程．22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.已知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．23.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，长轴长为4，直线y=kx+2与椭圆C交于A，B两点且∠AOB为直角，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)求AB的长度．24.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.已知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x−3)2+y2=1，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切．(1)求椭圆E的方程；(2)设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N.当AN=127AM时，求直线l的方程．26.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.已知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．27.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上.(1)若F1F2=2√2，点P的坐标为(√3,√2)，求椭圆E的方程；(2)若点P横坐标为a2，点M为PF1中点，且OP⊥F2M，求椭圆E的离心率．28.如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左右两个焦点分别为F1、F2过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M( √2, 1 )(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的一个顶点为B( 0,−b )，直线BF2交椭圆C于另一点N，求△F1BN的面积29.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且经过点(1,32)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C 于D，E两点(其中D在x轴上方)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若ΔAEF与ΔBDF的面积比为1:7，求直线l的方程．30.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点坐标为F1(−√3,0),F2(√3,0)，且椭圆E经过点P(−√3,12)．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A,B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化，三角形AF2B为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出三角形AF2B的周长，欲使|BF2|+|AF2|的最大，只须|AB|最小，利用椭圆的性质即可得出答案．【解析】解：由椭圆的方程可知：长半轴长为a=2，由椭圆的定义可知：|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8，所以|AB|=8−(|AF2|+|BF2|)≥3，由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b2a=3，可求得b2=3，即b=√3．故选D．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的方程和离心率，属于简单题．结合已知条件建立关系式求得a2=6,b2=3，即可得到椭圆方程．【解答】解：因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，所以ca =√22①又因为直线x=√2与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，所以A(√2,√2)代入x2a2+y2b2=1得2a2+2b2=1②又因为a2=b2+c2③联立①②③解得a2=6,b2=3，所以椭圆的方程为x26+y23=1．故选D．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的概念与标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，属于基础题．取椭圆的左焦点F′，由三角形全等知|PF|=|QF′|，由椭圆的概念及集合性质知|FP|+ |FQ|=|F′Q|+|FQ|=2a,|FA|=a−c,b=1，代入条件及利用a，b，c的关系式求得a．【解答】解：取椭圆的左焦点F′，因为直线过原点，∴|OP|=|OQ|,|OF|=|OF′|，由椭圆的对称性，∴|PF|=|QF′|，∴|FP|+|FQ|=|F′Q|+|FQ|=2a,∵|FP|+|FQ|+|FA|=52a,|FA|=a−c，所以2a+a−c=52a，即a=2c，∵a2=b2+c2=1+14a2，a=2√33．故选D．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的定义、标准方程以及简单的几何性质，属于基础题．由直线2x+y−4=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2，可求得c=2，由椭圆定义可求得即a=√5，故a2=5，b2=1，椭圆方程可解．【解答】解：直线2x +y −4=0与x 轴和y 轴的交点分别为F 2(2,0)，B(0,4)， 所以c =2，又2a =|AF 1|+|AF 2|=|AB|+|AF 2|=|BF 2|=2√5， 所以a =√5，从而b 2=5−4=1， 所以椭圆方程x 25+y 2=1．故选D ．5.【答案】C【解析】 【分析】本题考查椭圆的几何性质，涉及向量的线性关系，属基础题．根据向量关系得出|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，根据平行线截线段成比例定理得出|AO||AF|的值，得到a ，c 的关系，求得离心率． 【解答】 解：如图所示：∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，∴|PA||AB|=23， 又∵PO//BF ， ∴|AO||AF|=|PA||AB|=23， 即aa+c =23， ∴e =ca =12． 故选C ．6.【答案】A【解析】 【分析】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，利用待定系数法求参数的值，属于基础题． 把椭圆x 2+ky 2=5的方程化为标准形式，得到c 2的值等于4，解方程求出k ． 【解答】解：椭圆x 2+ky 2=5，即x 25+y 25k=1，∵焦点坐标为(0,2)，c 2=4， ∴5k −5=4，∴k =59， 故选：A ．7.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．根据题意求出c =2，a =2√2，由e =ca 即可求出结果． 【解答】 解：∵椭圆C ：x 2a 2+y 24=1的焦点在x 轴上，且焦距为4，∴a 2>4，c =2， ∴a 2−4=4， ∴a =2√2， ∴e =ca =2√2=√22． 故选C ．8.【答案】B【解析】 【分析】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 利用△AF 1B 的周长为4√3，求出a =√3，根据离心率为√33，可得c =1，求出b ，即可得出椭圆的方程． 【解答】解：∵△AF 1B 的周长为4√3，∵△AF 1B 的周长为|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=2a +2a =4a ， ∴4a =4√3， ∴a =√3， ∵离心率为√33，∴ca =√33，c =1，∴b =√a 2−c 2=√2， 即椭圆C 的方程为x 23+y 22=1．故选B ．9.【答案】x 24+y 23=1(答案不唯一)【解析】 【分析】本题主要考查了椭圆的标准方程以及椭圆的几何性质，解题的关键是熟练掌握椭圆标准方程中a ，b 和c 之间的关系，属于基础题． 利用离心率为12，可得b =√32a ，即可求解．【解答】解：设椭圆的标准方程为 x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，∵离心率为12， ∴e =ca =√a 2−b 2a=12， ∴b =√32a ， 令a =2，则b =√3，∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．故答案为x 24+y 23=1(答案不唯一)．10.【答案】1【解析】 【分析】本题考查的知识要点：椭圆的定义和方程的应用，属于基础题型．首先利用椭圆的定义建立周长的等式，进一步利用三角形的边长关系建立等式，求出相应的值，最后求出结果． 【解答】 解：椭圆E ：x 2a 2+y 23=1的右焦点为F 2，N 为左焦点，直线y =x +m 与椭圆E 交于A ，B 两点，则△F 2AB 周长l =AB +BF 2+AF 2=AB +2a −NB +2a −NA =4a +(AB −NA −NB)， 由于NA +NB ≥AB ，所以当N 、A 、B 三点共线时，△F 2AB 的周长l =4a =8， 所以a =2， 所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，直线y =x +m 经过左焦点，所以m =1． 故答案为1．11.【答案】解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2=1，则b =4，∵e =ca =35，∴a 2−b 2a 2=925，即1−16a 2=925，∴a =5，∴椭圆C 的方程为x 225+y 216=1． (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x −3)， 设直线与C 的交点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2). 将直线方程y =45(x −3)代入C 的方程，得x 225+(x−3)225=1，即x 2−3x −8=0，故x 1+x 2=3．设线段AB 的中点坐标为(x′,y′)，则x′=x 1+x 22=32，y′=y 1+y 22=25(x 1+x 2−6)=−65，即所求中点坐标为(32,−65).【解析】本题考查椭圆的标准方程及性质，以及直线与椭圆的综合应用，属于中档题目． (1)将(0,4)代入椭圆方程求出b ，再由椭圆的离心率求出a ，得到椭圆方程； (2)写出直线方程联立椭圆方程，利用中点坐标公式结合韦达定理得出．12.【答案】解：(Ⅰ)由题意：e =c a =√33，即a =√3c ，短轴一个端点到右焦点的距离为√3， 即b 2+c 2=(√3)2=3， 而a 2=b 2+c 2， 所以a 2=3，b 2=2， 所以椭圆的方程：x 23+y 22=1；(Ⅱ)由(Ⅰ)，左焦点(−1,0)，直线l 的方程：y =x +1， 设A(x,y)，B(x′,y′)，联立直线l 与椭圆的方程，消去y 整理得：5x 2+6x −3=0， 所以x +x′=−65，xx′=−35，∴|AB|=√1+k 2√(x +x′)2−4xx′ =√1+1×√(−65)2−4×(−35)=8√35．【解析】本题考查直线与椭圆的交点弦长，属于基础题．(Ⅰ)由题意得离心率及长半轴长及a ，b ，c 之间的关系，求出椭圆的方程；(Ⅱ)由题意写出直线l 的方程与椭圆联立写出两根之和及之积，再由弦长公式求出弦长．13.【答案】解：(1)由题意可得{ 1a 2+34b 2=1,√3c 2=32,c 2=a 2−b 2解得a =2，b =1，故椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M(x 0,y 0). 因为直线x =my +1过定点(1,0)，所以(x 1−1)2+y 12=(x 2−1)2+y 22.因为A ，B 在椭圆上，所以x 124+y 12=1，x 224+y 22=1，所以(x 1−1)2+1−x 124=(x 2−1)2+1−x 224，整理得x 12−x 224=(x 1−x 2)(x 1+x 2−2)，所以x 1+x 2=83，所以x 0=43.因为点M 在直线x =my +1上，所以x 0=my 0+1，则y 0=13m .由{x 24+y 2=1,x =43,得y =±√53， 则−√53<13m <0或0<13m <√53，解得m <−√55或m >√55.故m 的取值范围为(−∞,−√55)⋃(√55,+∞)．【解析】本题考查椭圆的性质和标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题． (1)由题意得{ 1a 2+34b 2=1,√3c 2=32,c 2=a 2−b 2，解出a ，b ，进而求出答案．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M(x 0,y 0)，由条件求出x 1+x 2=83，x 0=43，进而由条件求出y =±√53，进而求出答案．14.【答案】解：(1) 令F 1(−c,0)，F 2(c,0)，∵PF 1⊥PF 2，∴k PF 1·k PF 2=−1，即43+c ·43−c =−1，解得c =5，∴椭圆的方程为x 2a 2+y 2a 2−25=1．∵点P(3,4)在椭圆上，∴9a 2+16a 2−25=1，解得a 2=45，或a 2=5， 又a >c ，∴a 2=5舍去， 故所求椭圆方程为x 245+y 220=1．(2)P 点纵坐标的值即为F 1F 2边上的高，∴△PF1F2=12|F1F2|×4=12×10×4=20．【解析】本题考查椭圆的简单性质的应用，以及用待定系数法求椭圆的标准方程的方法．(1)设出焦点的坐标，利用垂直关系求出c值，椭圆的方程化为x2a2+y2a2−25=1，把点P的坐标代入，可解得a2的值，从而得到所求椭圆方程．(2)P点纵坐标的值即为F1F2边上的高，由S△PF1F2=12|F1F2|×4求得△PF1F2的面积．15.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知：{2b=2√3ca=12a2=b2+c2，得{a=2b=√3c=1,故椭圆C的标准方程为x24+y23=1；(Ⅱ)设直线l：y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，将y=kx+m代入椭圆方程，消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，所以，即m2<4k2+3…………①由根与系数关系得x1+x2=−8km3+4k2，则y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m3+4k2，所以线段AB的中点P的坐标为(−4km3+4k2,3m3+4k2)．又线段AB的垂直平分线l′的方程为y=−1k (x−13)，由点P在直线l′上，得3m3+4k2=−1k(−4km3+4k2−13)，即4k2+3km+3=0，所以m=−13k(4k2+3)…………②由①②得(4k2+3)29k2<4k2+3，∵4k2+3>0,∴4k2+3<9k2所以k2>35，即k<−√155或k>√155，所以实数k的取值范围是．【解析】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了直线和圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解，属于中档题．(Ⅰ)由离心率得到a ，c ，b 的关系，再代入椭圆的标准方程中即可求解．(Ⅱ)设出A ，B 的坐标，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0得到m 2<4k 2+3，再结合根与系数关系得到AB 中点P 的坐标为(−4km3+4k 2,3m3+4k 2).求出AB 的垂直平分线l′方程，由P 在l′上，得到4k 2+3km +3=0.结合m 2<4k 2+3求得k 的取值范围．16.【答案】解：(Ⅰ)直线l 方程为bx −ay −ab =0，依题意可得：{ca=√63ab√a 2+b 2=√32，又a 2=b 2+c 2,解得：a 2=3，b =1， ∴椭圆的方程为x 23+y 2=1;(Ⅱ)假设存在这样的k ，使以CD 为直径的圆过定点E ， 联立直线与椭圆方程得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0， ∴△=(12k)2−36(1+3k 2)>0，∴k >1或设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)， 则{x 1+x 2=−12k1+3k 2x 1·x 2=91+3k2，② 而y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2),要使以CD 为直径的圆过点E(−1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时，故EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 则y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0，∴(k 2+1)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0，③ 将②代入③整理得k =76>1， 经验证使得①成立，综上可知，存在k =76，使得以CD 为直径的圆过点E ．【解析】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，注意合理地进行等价转化，属于中档题．(Ⅰ)直线l 方程为bx −ay −ab =0，依题意可得：{ca =√63√a 2+b 2=√32，由此能求出椭圆的方程;(Ⅱ)假设存在这样的值，联立方程得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解即可．17.【答案】解：(1)由题意得{b 2=13a2+14b2=1，解得{a =2b =1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)记A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x 24+y 2=1x =y +1， 消去x 得5y 2+2y −3=0． 所以y 1,2=−1或35，直线l 与x 轴的交点为(1,0)，记为点P ，S =12|OP||y 1−y 2|=45．【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系，三角形面积的应用，属于简单题．(1)根据已知及椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义的计算，求出椭圆E 的方程;(2)根据已知及直线与椭圆的位置关系，三角形面积的计算，求出△AOB 的面积S ．18.【答案】解：(1)∵c a =√32，a 2=b 2+c 2，∴a 2=4b 2，∴x 24b 2+y 2b 2=1，将M (√3,−12)代入椭圆C ，∴b 2=1， ∴椭圆C 方程为：x 24+y 2=1．(2)显然AB 斜率存在，设AB 为：y =k(x +4)，{x 24+y 2=1,y =k(x +4)⇒(1+4k 2)x 2+32k 2x +64k 2−4=0,Δ=16−192k 2>0，∴k 2<112． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 1,−y 1)， ∴x 1+x 2=−32k 21+4k2，x 1x 2=64k 2−41+4k 2，∵BD ：y +y 1=y 2+y1x 2−x 1(x −x 1)，∴y =0时x =x 1+x 2y 1−x 1y 1y 1+y 2=2kx 1x 2+4k(x 1+x 2)k(x 1+x 2)+8k=2k(64k 2−41+4k 2)+4k(−32k 21+4k 2)k(−32k 21+4k 2)+8k =128k 3−8k−128k 3−32k 3+8k+32k 3=−1，∴直线BD 过定点(−1,0)．【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率的应用，考查转化思想以及计算能力．(1)根据点在椭圆上得3a 2+14b 2=1，与离心率联立方程组解得a 2=2，b 2=1，即得太严方程；(2)设直线l 的方程为y =k(x +4)，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则 x 1+x 2=−32k 21+4k 2，x 1x 2=64k 2−41+4k 2求出BD 的方程，令y =0，解得横坐标，结合韦达定理化简可得横坐标为定值，即可证明直线BD 过定点．19.【答案】解：(1)根据题意，椭圆C 的短轴一个端点到右焦点的距离为3√2，则有a =3√2， 又由椭圆C 的离心率为√22，则有e =ca =√22，则有c=3，则b2=a2−c2=18−9=9，则椭圆的标准方程为：x218+y29=1;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)．由(1)可得：椭圆的标准方程为：x218+y29=1，直线l的方程为：y=x−1，联立{x218+y29=1y=x−1，消去y得3x2−4x−16=0，则有x1+x2=43,x1x2=−163，|AB|=√1+12√(x1+x2)2−4x1x2=√2√169+643=4√263．【解析】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程，属基础题．(1)根据题意，由椭圆的几何性质可得e=ca =√22且a=3√2，解可得c的值，进而计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的标准方程，即可得答案；(2)联立直线与椭圆的方程，可得方程3x2−4x−16=0，结合根与系数的关系由弦长公式计算可得答案．20.【答案】解：(1)椭圆C1的方程为x24+y23=1的长轴长为4，设椭圆C2的方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，由题意可得b=2，e=ca =√32，a2−c2=4，解得a=4，b=2，c=2√3，可得椭圆C2的方程为y216+x24=1；(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，△PON面积为△POM面积的2倍，可得|ON|=2|OM|，即有|x2|=2|x1|，联立{y =kx 3x 2+4y 2=12，消去y 可得x =±√123+4k2，即|x 1|=√123+4k 2，同样求得|x 2|=√164+k 2， 由√164+k 2=2√123+4k 2，解得k =±3， 由k >0，得k =3．【解析】本题考查椭圆的方程和性质及直线与椭圆位置关系，考查联立方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题． (1)由题意设椭圆C 2的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程即可得到所求方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由题意可得|x 2|=2|x 1|，联立直线y =kx 和椭圆方程，求得交点的横坐标，解方程即可得到所求值．21.【答案】解：(1)设椭圆的焦距为2c(c >0)．由题意得{a 2c=4,a 2=b 2+c 2,√a 2+b 2=√7,解得a 2=4，b 2=3． 所以椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．(2)方法一：由题意得直线PQ 不垂直于x 轴，设PQ 的方程为y =k(x −2)，联立{y =k(x −2),x 24+y 23=1,消y 得(4k 2+3)x 2−16k 2x +16k 2−12=0． 又直线PQ 过点A(2,0)，则方程必有一根为2，则x P =8k 2−64k 2+3． 代入直线y =k(x −2)，得点P (8k 2−64k 2+3,−12k4k 2+3)．联立{y =k(x −2),x =4,所以Q(4,2k)．又以PQ 为直径的圆过原点，所以OP ⊥OQ ， 则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4⋅8k 2−64k 2+3+2k ⋅−12k 4k 2+3=8k 2−244k 2+3=0，解得k 2=3，所以k =±√3．所以直线PQ 的方程为√3x −y −2√3=0或√3x +y −2√3=0．方法二：设点P(x 0,y 0)(x 0≠2)，所以直线PQ 方程为y =yx 0−2(x −2)，与右准线x =4联立，得Q(4,2y 0x0−2)．又以PQ 为直径的圆过原点，所以OP ⊥OQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以4x 0+2y 02x0−2=0 ①，又x 024+y 023=1 ②，联立①②，解得x 0=65或x 0=2(舍)，所以P (65,−4√35)或P (65,4√35)． 所以直线PQ 的斜率为±√3，从而直线PQ 的方程为√3x −y −2√3=0或√3x +y −2√3=0．【解析】本题考查椭圆的标准方程，椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系，属于难题． (1)由题意列出关于a ，b ，c 的方程组，求解即可；(2)方法一：由题意得直线PQ 不垂直于x 轴，设PQ 的方程为y =k(x −2)，联立{y =k(x −2),x 24+y23=1,求出P (8k 2−64k 2+3,−12k 4k 2+3)，Q(4,2k).利用OP ⊥OQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4⋅8k 2−64k 2+3+2k ⋅−12k4k 2+3=8k 2−244k 2+3=0，求出k 即可求解；方法二：设点P(x 0,y 0)(x 0≠2)，所以直线PQ 方程为y =yx 0−2(x −2)，与右准线x =4联立，得Q(4,2y 0x−2).又以PQ 为直径的圆过原点，所以OP ⊥OQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求出x 0=65，得到P (65,−4√35)或P (65,4√35).所以直线PQ 的斜率为±√3，即可求解．22.【答案】解：(1)由椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1的离心率为12，右焦点与右准线的距离为3， 得c a =12，a 2c−c =3，解得c =1，a =2，所以b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，四边形OAQB 是平行四边形时OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 当直线I 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时OAB 三点共线，不符合题意： 当直线I 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立有{y =kx +1,x 24+y 23=1,所以x 24+(kx+1)23=1，即(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，所以△>0，x 1+x 2=−8k3+4k 2，所以y 1+y 2=63+4k 2， 将Q(x 1+x 2,y 1+y 2)的坐标代入椭圆方程得(−8k3+4k 2)24+(63+4k 2)23=1，化简得k 2=14，所以k =±12，符合题意，所以Q 的坐标是(1,32)，(−1,32).【解析】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的位置关系． (1)由离心率及右焦点F 到右准线的距离为3及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立消去y 后结合韦达定理可得x 1+x 2，y 1+y 2，结合点Q(x 1+x 2,y 1+y 2)在椭圆上可解得k 的值，故可得Q 的坐标．23.【答案】解：(1)由题意2a =4，∴a =2，∴ca =√32，∴c =√3，b 2=a 2−c 2=1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 把y =kx +2代入x 24+y 2=1，得(4k 2+1)x 2+16kx +12=0，Δ=(16k)2−4×12×(4k 2+1)=64(k 2−3)>0，即k 2>3， ∴x 1+x 2=−16k 1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2，∵∠AOB 为直角，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0， ∴x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=0， 即(k 2+1)x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4=0， ∴12(k 2+1)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，∴−4k 2+16=0，∴k 2=4，∴x 1+x 2=−16k1+4k 2=±3217，x 1x 2=121+4k 2=1217，∴|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√(3217)2−4817=4√6517， 故|AB|的长度4√6517．【解析】本题考查了椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，属于中档题．(1)根据离心率和长轴长，可得a ，b ，然后即可写出椭圆方程；(2)联立直线与椭圆，利用韦达定理以及∠AOB =90°，求出k.再用弦长公式求出弦长|AB|．24.【答案】解：(1)由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3.得{e =c a =12,a 2c −c =3解得{a =2,c =1所以b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为OAQB 为平行四边形，所以OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则Q(x 1+x 2,y 1+y 2)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时O 、A 、B 三点共线，不符合题意： 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +1，与椭圆方程联立有{y =kx +1,x 24+y 23=1,所以x 24+(kx+1)23=1，即(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，所以△>0，x 1+x 2=−8k3+4k 2，所以y 1+y 2=63+4k 2，将Q(x 1+x 2,y 1+y 2)的坐标代入椭圆方程得(−8k3+4k 2)24+(63+4k 2)23=1，化简得k 2=14，所以k =±12，符合题意， 所以Q 的坐标是(±1,32).【解析】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于较难题．(1)由离心率及右焦点F 到右准线的距离为3及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线l 的方程为y =kx +1，与椭圆方程联立消去y 后结合韦达定理可得x 1+x 2，y 1+y 2，结合点Q(x 1+x 2,y 1+y 2)在椭圆上可解得k 的值，故可得Q 的坐标．25.【答案】解：(1)记椭圆E 的焦距为2c(c >0).因为右顶点A (a , 0)在圆C 上，右准线x =a 2c与圆C ：(x −3)2+y 2=1相切．所以{(a −3)2+02=1 , | a 2c−3 |=1 ,解得{a =4 ,c =8,(舍去) { a =2 ,c =1 ．于是b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆方程为：x 24+y 23=1．(2)法1：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y =k (x −2)． 由方程组 {y =k (x −2) , x 24+y 23=1消去y 得，(4k 2+3)x 2−16k 2x +16k 2−12=0．所以x N ⋅2=16k 2−124k 2+3，解得x N =8k 2−64k 2+3. 由方程组{ y =k (x −2) ,(x −3)2+y 2=1 ,消去y 得(k 2+1)x 2−(4k 2+6)x +4k 2+8=0 , 所以x M ⋅2=4k 2+8k 2+1，解得x M =2k 2+4k 2+1．因为AN =127AM ，所以2−x N =127(x M −2)．即124k 2+3=127⋅21+k 2，解得 k =±1，所以直线l 的方程为x −y −2=0或 x +y −2=0．法2：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )，当直线l 与x 轴重合时，不符题意． 设直线l 的方程为：x =ty +2 (t ≠0)．由方程组{x =ty +2 , x 24+y 23=1消去x 得，(3t 2+4)y 2+12ty =0，所以y N =−12t3t 2+4 ， 由方程组 {x =ty +2 ,(x −3)2+y 2=1消去x 得(t 2+1)y 2−2ty =0， 所以y M =2tt 2+1， 因为AN =127AM ，所以y N =−127y M ，即−12t3t 2+4=−127⋅2t t 2+1，解得 t =±1，所以直线l 的方程为x −y −2=0或 x +y −2=0．【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系及判定，直线的一般式方程，考查学生的计算能力和推理能力，属于较难题． (1)记椭圆E 的焦距为2c ，根据题意可知{ (a −3)2+02=1 ,| a 2c −3 |=1 ,从而即可得a ，c 的值，进而求得椭圆E 的方程．(2)法1：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )且直线l 的方程为：y =k (x −2)，从而联立直线和椭圆方程消去y 后可得x N =8k 2−64k 2+3，同理联立直线和圆可得x M =2k 2+4k 2+1，再根据AN =127AM 即可求得k 的值，从而求得直线l 的方程．法2：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )且设直线l 的方程为：x =ty +2 (t ≠0)，联立直线和椭圆方程消去x 可得y N =−12t3t 2+4，再联立直线和圆可得y M =2tt 2+1，从而据AN =127AM 即可求得t 的值，从而求得直线l 的方程．26.【答案】解：(1)由椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1的离心率为12，右焦点与右准线的距离为3， 得c a =12，a 2c−c =3，解得c =1，a =2，所以b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，四边形OAQB 是平行四边形时OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 当直线I 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时OAB 三点共线，不符合题意： 当直线I 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立有{y =kx +1,x 24+y 23=1,所以x 24+(kx+1)23=1，即(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，所以△>0，x 1+x 2=−8k3+4k 2，所以y 1+y 2=63+4k 2， 将Q(x 1+x 2,y 1+y 2)的坐标代入椭圆方程得(−8k3+4k 2)24+(63+4k 2)23=1，化简得k 2=14，所以k =±12，符合题意，所以Q 的坐标是(±1,32).【解析】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的位置关系． (1)由离心率及右焦点F 到右准线的距离为3及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立消去y 后结合韦达定理可得x 1+x 2，y 1+y 2，结合点Q(x 1+x 2,y 1+y 2)在椭圆上可解得k 的值，故可得Q 的坐标．27.【答案】解：(1)设椭圆E 焦距为2c ，则2c =|F 1F 2|=2√2，所以c 2=a 2−b 2=2， ① 又点(√3,√2)在椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1上，所以3a 2+2b 2=1，②联立①②解得{a 2=6b 2=4或{a 2=1b 2=−1(舍去)，所以椭圆E 的方程为x 26+y 24=1；(2)设椭圆E 焦距为2c ，则F 1(−c,0)，F 2(c,0)，将x =a2代入x 2a 2+y 2b 2=1，得y 2=3b24，不妨设点P 在x 轴上方， 故点P 坐标为(a2,√3b2)， 又点M 为PF 1中点，故点M 坐标为(a−2c 4,√3b4)， 所以F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a−6c 4,√3b 4)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a 2,√3b2)，由，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即a−6c 4⋅a2+√3b4⋅√3b 2=0，化简得a 2−6ac +3b 2=0，将b 2=a 2−c 2代入得3c 2+6ac −4a 2=0， 即3(ca )2+6⋅ca −4=0， 所以3e 2+6⋅e −4=0， 解得e =−1±√213，因为e ∈(0,1)，所以椭圆E 的离心率为e =√213−1．【解析】本题考查向量的数量积、椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系，为基础题．(1)把点(√3,√2)代入椭圆方程，求出a ，b ，即可求出结果； (2)将x =a2代入x 2a2+y 2b 2=1，得出点P 坐标为(a 2,√3b2)，得出点M 的坐标和相应向量的坐标，利用数量积，即可求出结果．28.【答案】解：(1)因为l ⊥x 轴，所以F 2(√2,0)，由题意可得{2a 2+1b 2=1a 2−b 2=2，解得{a 2=4b 2=2,∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．(2)直线BF 2的方程为y =x −√2． 由{y =x −√2x 24+y 22=1得点N 的纵坐标为√23．又| F 1F 2 |=2√2， ∴S △F 1BN =12×(√2+√23)×2√2=83．【解析】本题考查求椭圆的方程，三角形的面积，是直线与椭圆位置关系，属于基础题(1)由题意可得F 2(√2,0)，进而得到{2a 2+1b 2=1a 2−b 2=2，求解即可得到椭圆C 的方程；(2)根据题意可得直线BF 2的方程为y =x −√2.联立直线方程和椭圆方程即可得到N 的纵坐标为√23.再根据| F 1F 2 |=2√2和三角形的面积公式即可得解．29.【答案】解：(1)设椭圆的半焦距长为c ，∴{ c a =121a 2+94b 2=1, 又∵a 2=b 2+c 2，∴{a =2b =√3，∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)设直线DE 的方程为x =ky −1，D(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，，联立{x =ky −13x 2+4y 2=12⇒3(ky −1)2+4y 2=12 ∴(3k 2+4)y 2−6ky −9=0 ∴{y 1+y 2=6k3k 2+4 ①y 1y 2=−93k 2+4 ②y 2=−37y 1 ③,由①③得{y 1=21k2(3k 2+4)y 2=−9k 2(3k 2+4)代入 ②21⋅9⋅k 24(3k 2+4)2=93k 2+4⇒k =±43综合图象知k =43∴l 的方程为3x −4y +3=0【解析】本题考查了椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系和圆锥曲线中的面积问题，是中档题．(1)由离心率为12和(1,32)在椭圆上，再结合a 2=b 2+c 2，可得a 、b ，从而得出椭圆方程；(2)设直线DE 的方程为x =ky −1，由ΔAEF 与ΔBDF 的面积比为1:7，可得y 2y 1=−37，直线DE与椭圆联立，计算可得k的值，即可得出直线l的方程．30.【答案】解：(1)因为椭圆焦点坐标为F1(−√3,0),F2(√3,0)，且过点P(−√3,12)，所以2a=PF1+PF2=12+√494=4，所以a=2，从而b=√a2−c2=√4−3=1，故椭圆的方程为x24+y2=1；(2)设点M(x0,y0)(0<x0<2,0<y0<1)，C(m,0)，D(0,n)，因为A(−2,0)，且A，D，M三点共线，所以y0x0+2=n2，解得n=2y0x0+2，所以BD=1+2y0x0+2=x0+2y0+2x0+2，同理得AC=x0+2y0+2y0+1，因此，S ABCD=12AC⋅BD=12⋅x0+2y0+2x0+2⋅x0+2y0+2y0+1=(x0+2y0+2)2 2(x0+2)(y0+1)=x02+4y02+4x0y0+4x0+8y0+42(x0y0+x0+2y0+2)，因为点M(x0,y0)在椭圆上，所以x024+y02=1，即x02+4y02=4，代入上式得：S ABCD=4x0y0+4x0+8y0+82(x0y0+x0+2y0+2)=2，∴四边形ABCD的面积为2．【解析】本题考查的是椭圆的标准方程和计划意义，直线与椭圆的位置关系，属于较难题．(1)由2a=PF1+PF2=12+√494=4得到a，再由焦点坐标可得到c，利用b=√a2−c2，即可得到b，从而得到椭圆E的标准方程；(2)设点M(x0,y0)(0<x0<2,0<y0<1)，C(m,0)，D(0,n)，A，D，M三点共线，所以y0x0+2=n2，从而得到BD=1+2y0x0+2=x0+2y0+2x0+2，AC=x0+2y0+2y0+1，由S ABCD=12AC⋅BD，即可得到四边形ABCD的面积．。
(完整版)近五年椭圆高考题汇编,推荐文档
近年高考题 椭圆部分选编卷一1．已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 （ ） A 、4 B 、5 C 、7 D 、82．设椭圆的两个焦点分别为12F F 、，过1F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A 、22B 、212- C 、22- D 、21- 3．已知△ABC 的顶点C B ,在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）A 、2 3B 、6C 、4 3D 、124．曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的（ ） A 、焦距相等 B 、离心率相等 C 、焦点相同 D 、准线相同5．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 （ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y += 6．已知椭圆C :22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 上点A 满足212AF F F ⊥. 若点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A ⋅u u u r u u u u r 的最大值为 （ ）A. 32B. 233 C. 94 D. 154 7．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点,∆21F PF 是底角为30o的等腰三角形,则E 的离心率为 （ ）A ．12B ．23C ．34D ．458．椭圆22143x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积是____________.9．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线3()y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________10．椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.11．设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4CBA π∠=,若AB=4,2BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为________ .12．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______________；13．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △的顶点(40)A -，和(40)C ，，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin A C B+=_____； 14．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是。
高考数学专题《椭圆》习题含答案解析
专题9.3 椭圆1.（浙江高考真题）椭圆的离心率是（ ）ABC ．D ．【答案】B 【解析】，选B ．2.（2019·北京高考真题）已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则( )A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B 【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =,故选B.3．（上海高考真题）设p 是椭圆2212516x y+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A.4B.5C.8D.10【答案】D 【解析】因为椭圆的方程为2251162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，故选D ．4．（2020·四川资阳�高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ）A ．22143x y +=B ．22186x y +=C ．22142x y +=D ．22184x y +=22194x y +=2359e ==练基础【答案】A 【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=.故选：A5.（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c，直线:l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ）AB ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A，则y x =由2AB c =，可知OA c ==c =，解得x =，所以1,3A c ⎫⎪⎪⎭把点A 代入椭圆方程得到22221331c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4281890e e -+=，即()()2243230e e --=，因01e <<，所以可得e =故选A 项.6．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆2211615y x+=的上、下焦点，在椭圆上是否存在点P ，使11PF ，121F F ，21PF 成等差数列？若存在求出1PF 和2PF 的值；若不存在，请说明理由．【答案】不存在；理由见解析．【分析】假设存在点P 满足题设，解方程组1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩得1PF 和2PF 的值，再检验即得解.【详解】解：假设存在点P 满足题设，则由2211615y x +=及题设条件有1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，即121288PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得1244PF PF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，或1244PF PF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩由2211615y x +=，得4a =，1c =．则135a c PF a c -=≤≤+=，235a c PF a c -=≤≤+=．∵45+>，43-，∴不存在满足题设要求的点P ．7．（2021·全国高三专题练习）设F 是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点i P （1i =，2，…），使1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，求a 的取值范围．【答案】11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 【分析】分情况讨论等差数列是递增，还是递减，分别列出不等式求解范围.【详解】解：注意到椭圆的对称性及i FP 最多只能两两相等，可知题中的等差数列可能是递增的，也可能是递减的，但不可能为常数列，即0d ≠．先考虑一般情形，由等差数列的通项公式有()11n FP FP n d =+-，（n *∈N ），因此11n FP FP n d-=+．对于椭圆2222x y a b+（0a b >>），其焦半径的最大值是a c +，最小值是a c -（其中c =．当等差数列递增时，有n FP a c ≤+，1FP a c ≥-．从而()12n FP FP a c a c c -≤+--=．再由题设知1c =，且21n ≥，故2211d ≤+，因此1010d <≤．同理，当等差数列递减时，可解得1010d -≤<，故所求d 的取值范围为11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．8．（2021·全国高三专题练习）已知定点()2,2A -，点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点M 在椭圆上移动时，求2AM MF +的最大值；【答案】10+【分析】由椭圆定义，转化1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，即得解【详解】如图所示，设1F 是左焦点，则()13,0F -，1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，=∴10AM MF +≤+当点F 1在线段AM 上时，等号成立，即AM MF +的最大值为10．9．（2021·云南师大附中高三月考（理））椭圆C : 22221(0)x y a b a b +=>>，且点A (2，1)在椭圆C 上，O 是坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过原点，且l ⊥OA ，若l 与椭圆C 交于B ， D 两点，求弦BD 的长度.【答案】（1）22182x y C +=：；（2【分析】（1）利用离心率和点在椭圆上可求出椭圆的标准方程；（2）先利用直线垂直的判定得到直线l 的斜率和方程，联立直线和椭圆的方程，消元得到关于x 的一元二次方程，进而求出交点坐标，再利用两点间的距离公式进行求解.【详解】（1）由e =得：12c b a ==，，又点(21)A ，在椭圆上，所以224114a a +=，得a =b =所以椭圆的方程是22182x y C +=：．（2）直线OA 的方程是12y x =，因为l OA ⊥，且l 过点O ，所以直线l 的方程是2y x =-，与椭圆联立，得：2178x =，即x =所以B D ⎛ ⎝，，则||BD =10．（2021·南昌大学附属中学高二月考）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，且2259a b =.（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.【答案】（1）此椭圆的方程为22195x y +=；（2）12F PF △【分析】（1）由已知条件求出椭圆中229,5a b ==即可得到椭圆方程；（2）结合椭圆的定义以及余弦定理的知识求出12PF PF ⋅的值，运用三角形面积公式即可求解.【详解】（1）因为()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，所以2224c a b =-=，①又因为2259a b =，②所以由①②可得229,5a b ==，所以此椭圆的方程为22195x y +=.（2）设()12,,,0PF m PF n m n ==>，由椭圆定义可知26m n a +==，③在12F PF △中，由余弦定理得()2222cos23m n mn c π+-=，即2216m n mn +-=，④由③④式可得，203mn =，所以121120sin 2323F PF S mn π==⨯=△即12F PF △1．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得过点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．C．⎫⎪⎪⎭D．⎫⎪⎭【答案】C练提升【分析】若长轴端点P '，由椭圆性质：过P 的两条切线互相垂直可得45AP O α'=∠≤︒，结合sin b aα=求椭圆离心率的范围.【详解】在椭圆1C 的长轴端点P '处向圆2C 引两条切线P A '，P B '，若椭圆1C 上存在点P ，使过P 的两条切线互相垂直，则只需90AP B '∠≤︒，即45AP O α'=∠≤︒，∴sin sin 45b a α=≤︒=222a c ≤，∴212e ≥，又01e <<，1e ≤<，即e ⎫∈⎪⎪⎭．故选：C2．（2020·湖北黄州�黄冈中学高三其他（文））已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，经过原点的直线与C 交于A ，B 两点，总有120AFB ∠≥︒，则椭圆C 离心率的取值范围为______.【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】如图，设椭圆右焦点为2F ，由对称性知2AFBF 是平行四边形，22AF F BFF ∠=∠，∵120FB ∠≥︒，∴260FAF ∠≤︒，设AF m =，2AF n =，由椭圆定义知2m n a +=，则22()4m n mn a +≤=，当且仅当m n =时等号成立，在2AFF V 中，由余弦定理得2222222222222()244444cos 11122222m n FF m n mn c a c a c FAF emn mn mn a +-+----∠===-≥-=-，又260FAF ∠≤︒，21cos 2FAF ∠≥，∴21122e -≥，解得102e <≤．故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．3.（2019·浙江高三月考）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆相交于AB 两点，且113AF F B =，则k =___.1 【解析】由于点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，由于y x =的倾斜角为π4,画出图像如下图所示，由于O 是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知12QF F ∆为等腰直角三角形，且Q为短轴的端点，故离心率πcos 4c a ==.不妨设,a b c t ===，则椭圆方程化为222220x y t +-=，设直线AB 的方程为10x my t m k ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，代入椭圆方程并化简得()222220my mty t +--=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12222mty y m +=+①，21222t y y m -⋅=+②.由于113AF F B = ，故123y y =-③.解由①②③组成的方程组得1m =，即11,1k k==.故填：（1；（2）1.4．（2019·浙江温州中学高三月考）已知点P 在圆22680x y y +-+=上，点Q 在椭圆()22211x y a a+=>上，且PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则PQ QF +的最大值等于__________．5+【解析】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=，圆心(0,3)A .PQ 的最大值为5等价于AQ 的最大值为4设(,)Q x y ，即22(3)16x y +-≤，又()22211xy a a+=>化简得到222(1)670(11)a y y a y --+-≤-≤≤ 当1y =-时，验证等号成立对称轴为231x a =-满足231,21x a a =≤-≤-故12a <≤22222211314c a e e a a a -===-≤∴≤当2a =时，离心率有最大值，此时椭圆方程为2214x y +=，设左焦点为1F11141455PQ QF PQ QF AQ QF AF +=+-≤++-≤+=+当1,,,A F P Q 共线时取等号.和5+5．（2020·浙江高三月考）已知P 是椭圆2222111x y a b +=（110>>a b ）和双曲线2222221x y a b -=（220,0a b >>）的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值为________．.【解析】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，那么12PF PF >，因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为c ，根据椭圆与双曲线的定义，有：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，解得112=+PF a a ，212=-PF a a ，在12F PF ∆中，由余弦定理，可得：2221212122cos3π=+-F F PF PF PF PF ，即222121212124()()()()=++--+-c a a a a a a a a ，整理得2221243=+c a a ，所以22121134+=e e ，又2212113+≥e e ，所以12≥e e .6．（2020·浙江高三其他）已知当动点P 到定点F （焦点）和到定直线0x x =的距离之比为离心率时，该直线便是椭圆的准线.过椭圆2214x y +=上任意一点P ，做椭圆的右准线的垂线PH（H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH (λ≥1).当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是___.【答案】⎫⎪⎪⎭【解析】由题可知：椭圆2214x y +=的右准线方程为x =设()()00,,,P x y Q x y，所以点0⎫⎪⎭H y 由λ=HQ PH ，所以λ=HQPH0⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ HQ x y y，0,0⎫=⎪⎭PH x 又λ= HQ PH，所以00,0λ⎛⎫⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎭x y y x所以00x y y==由220014x y +=221=y 则点Q221+=y 设点Q 的轨迹的离心率e则2222411144λλλ-==-e 由1λ≥，所以213144λ-≥所以234e ≥，则e ≥，又1e <所以⎫∈⎪⎪⎭e故答案为：⎫⎪⎪⎭7．（2021·全国高三专题练习）设椭圆的中心在坐标原点.长轴在z 轴上，离心率e =知点30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆方程，并求椭圆上到点O 的距离的点的坐标.【答案】2214x y +=;12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】设以P 点为圆心的圆与椭圆相切，结合判别式等于零，参数值可确定，符合条件的两个点的坐标也可求得.【详解】∵e =c a =2234c a =.∵222a c b -=，∴2214a b =，224a b =，∴设椭圆方程为222214x y b b+=①又∵30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则可构造圆22372x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. ②此圆必与椭圆相切，如图所示，由①②整理得221933404y y b ++-=.∵椭圆与圆相切，∴219912404b ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，③ ∴1b =，则2a =.则所求椭圆方程为2214x y +=. ④把1b =代入方程③可得12y =-，把12y =-代入④得x =∴椭圆上到点P的点的坐标为12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.8．（2021·全国高三专题练习）椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上动点，当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】⎛ ⎝【分析】当12F PF ∠为直角时，作以原点为圆心，2OF 为半径的圆，若该圆与已知椭圆相交，则圆内的椭圆弧所对应的x 的取值范围即为所求点P 横坐标的取值范围.【详解】22194x y +=的焦点为1(F、2F ，如图所示：A 、B 、C 、D 四点，此时12F AF ∠、12F BF ∠、12F CF ∠、12F DF ∠都为直角，所以当角的顶点P 在圆内部的椭圆弧上时，12F PF ∠为钝角，由22221945x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得x x ==.因为椭圆和圆都关于坐标轴对称，所以点P横坐标的取值范围是⎛ ⎝.9．（2021·全国）（1）已知1F ，2F 是椭圆22110064x y+=的两个焦点，P是椭圆上一点，求12PF PF ⋅的最大值；（2）已知()1,1A ，1F 是椭圆225945x y +=的左焦点，点P 是椭圆上的动点，求1PA PF +的最大值和最小值．【答案】（1）100；（2）1||||PA PF +的最大值为66【分析】（1）利用椭圆定义和基本不等式求12||||PF PF ⋅的最值；（2）求1||||PA PF +的最值时，利用椭圆的定义将其转化为求2||||PF PA -的最值，显然当P ，A ，2F 三点共线时取得最值．【详解】（1）∵10a =，1220||||PF PF =+≥，当且仅当12||||PF PF =时取等号，∴12||||100PF PF ⋅≤，当且仅当12||||PF PF =时取等号，∴12||||PF PF ⋅的最大值为100．（2）设2F 为椭圆的右焦点，225945x y +=可化为22195x y +=，由已知，得12||||26PF PF a +==，∴12||6||PF PF =-，∴()12||||6||||PA PF PF PA +=--．①当2||||PA PF >时，有220||||||PA PF AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最大，此时点P 是射线2AF 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最大值是6+②当2||||PA PF <时，有220||||||PF PA AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最小，此时点P 是射线2F A 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最小值是6综上，可知1||||PA PF +的最大值为6610．（2021·贵州高三月考（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l经过椭圆C 的右焦点F 与上顶点，原点O 到直线l （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率不为0的直线n 过点F ，与椭圆C 交于M ，N 两点，若椭圆C 上一点P 满足MN = ，求直线n 的斜率.【答案】（1）2212x y +=；（2）±1.【分析】（1）由已知条件可得c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再结合222a b c =+，可求出,a b ，从而可求得椭圆方程，（2）设直线n 的方程为1x my =+，设点()()1122,,,M x y N x y ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x，利用根与系数的关系，结合MN =表示出点P 的坐标，再将其坐标代入椭圆方程中可求得直线n 的斜率【详解】（1）由题意可得椭圆C 的右焦点(c,0)F 与上顶点(0,)b ，所以直线l 为1x yc b+=，即0bx cy bc +-=，因为椭圆C，原点O 到直线0bx cy bc +-=，所以c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c =+，解得1b c ==，a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线n 的斜率不为0，所以可设直线n 的方程为1x my =+.设点()()1122,,,M x y N x y ，联立方程22220,1,x y x my ⎧+-=⎨=+⎩得()222210my my ++-=，则12122221,22m y y y y m m +=-=-++.因为MN =，所以))2121P x x y y ⎫--⎪⎪⎭， 将点P 的坐标代入椭圆方程得1212223x x y y +=-，即()()121221123my my y y +++=-，解得21m =， 故直线n 的斜率为±1.练真题1．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出 PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32bb c-≤-，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤当32b b c ->-，即22b c <时， 42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．2.（2018·全国高考真题（理））已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为为等腰三角形，，所以PF 2=F 1F 2=2c,由得，，1F 2F 22221(0)x y C a b a b+=>>：A C P A 12PF F △12120F F P ∠=︒C 2312131412PF F △12120F F P ∠=︒AP 222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=由正弦定理得,所以，故选D.3.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若，，则C 的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B ．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B ．4.（2019·全国高考真题（文））设为椭圆的两个焦点，为上2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠22214,π54sin(3c a c e a c =∴==+121,01,0F F -()，()222AF F B =││││1AB BF =││││2212x y +=22132x y +=22143x y +=22154x y +=2F B n =212,3AF n BF AB n ===121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=1AF B △22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅12AF F △2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=2F B n =212,3AF n BF AB n ===121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=12AF F △12BF F △2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩2121,AF F BF F ∠∠2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=2121cos cos AF F BF F ∠∠,223611n n +=n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=12F F ，22:+13620x y C =M C一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.【答案】【解析】由已知可得，．∴．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．5．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>（1）证明：a；（2）若点9,10M ⎛ ⎝在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥.①求直线l 的方程；②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（20y -=；②2213x y +=.【分析】（1）由ba=可证得结论成立；（2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程.【详解】12MF F △M (2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=11228MF F F c ∴===24MF =M ()()0000,0,0x y x y >>121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△12014,42MF F S y =⨯=∴=△0y =20136x ∴=03x =03x =-M \(（1）c e a =====b a ∴=a ；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当9,10⎛ ⎝在椭圆C的内部时，22293310b ⎛⎛⎫+⋅< ⎪ ⎝⎭⎝，可得b >设点()11,P x y 、()22,Q x y，则121292102x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以，1212y y x x +=+由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=，所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝，所以，直线l方程为910y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝，即y =所以，直线l0y -=；②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->，由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥ ，而()11,OP x y = ，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.6. （2020·天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-．【解析】（Ⅰ） 椭圆()222210x ya b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ） 直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx +=，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+.将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk kk k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =.所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.。
椭圆高考专题精心整理版
所以，直线 m 的斜率
3 2.
C:
8. （2013 年山东数学 （理） 试题） 椭圆
x2 y 2 1 (a b 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 , a 2 b2
离心率为
3 2 ,过 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 的长轴于点 M (m, 0) ,求 m 的取值范围; (Ⅲ )在 (Ⅱ )的条件下 , 过 P 点作斜率为 k 的直线 l , 使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 设直线
所以 a 2 , b 1
x2 y2 1 所以椭圆方程为 4
PF1 PM PF2 PM PF1 PM PF2 PM 2 | PF1 || PM | = | PF2 || PM | , | PF1 | = | PF2 | ,设 P( x0 , y0 ) 其中 x0 4 , (Ⅱ)由题意可知:
x2 y 2 1(a b 0) a 2 b2 的左焦点为 F,C 与过原
)
4 点的直线相交于 A,B 两点,连接 AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= 5 ,则 C 的离心率为 (
3 5 A. 5 7 B. 4 5 C. 6 7 D.
【解题指南】 由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点到右焦点的距离， 进而求得
2
k .因为 PA2
[2,1]
,所以
3 3 k PA1 [ , ] 8 4
3.
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b （2013·四川高考文科·Ｔ9）从椭圆 上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足
F 恰为左焦点 1 ，A 是椭圆与 轴正半轴的交点，B 是椭圆与
椭圆历年高考题精选
31．(06天津文8)椭圆的中心为点 ，它的一个焦点为 ，相应于焦点 的准线方程为 ，则这个椭圆的方程是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
32．（06全国Ⅱ理5）已知 的顶点B、C在椭圆 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则 的周长是
20.(2008湖南理)已知椭圆 （a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为 ,离心率e= 过顶点A(0,b)作AM ,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .
21.(2008江苏)在平面直角坐标系中，椭圆 1( 0)的焦距为2，以O为圆心， 为半径的圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 = ．
22．(2008全国Ⅰ卷文)在 中， ， ．若以 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆的离心率 ．
且椭圆的离心率e= .
(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF 的中点，求证：∠ATM=∠AF T.
27．(06全国Ⅰ理20)在平面直角坐标系 中，有一个以 和 为焦点、离心率为 的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与 轴的交点分别为A、B，且向量 。求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ） 的最小值。
29．（06浙江理19）如图，椭圆 ＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质直线方程平面向量的计算曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力奎屯新疆满分14分奎屯由题意可设椭圆的方程为新疆由已知得新疆设直线pq的方程为新疆由方程组2718由直线pq的方程得新疆于是oqop新疆因此直线pq的方程为新疆由已知得方程组因此fqfm新疆15解由已知可得点a60f04设点pxy则apx6yfpx4y由已知可得2036资料内容仅供您学习参考如有不当或者侵权请联系改正或者删除
高考数学试卷椭圆真题答案
1. 已知椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），若C关于x轴对称，则下列哪个选项是正确的？A. $a>b$B. $a<b$C. $a=b$D. 无法确定答案：A解析：由于椭圆C关于x轴对称，所以其方程中$x^2$的系数大于$y^2$的系数，即$a>b$。
2. 椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），若点P （x0，y0）在椭圆C上，则下列哪个选项是正确的？A. $x_0^2+y_0^2=a^2$B. $x_0^2+y_0^2=b^2$C. $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$D. $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$答案：C解析：点P在椭圆C上，所以满足椭圆的方程，即$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$。
3. 椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），若直线l的方程为$y=kx+b$，且l与椭圆C相切，则下列哪个选项是正确的？A. $k^2=\frac{a^2}{b^2}$B. $k^2=\frac{b^2}{a^2}$C. $k^2=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}$D. $k^2=\frac{a^2-b^2}{a^2b^2}$答案：A解析：由于直线l与椭圆C相切，所以它们只有一个交点，即判别式$\Delta=0$。
根据直线与椭圆的位置关系，可得$\Delta=\frac{b^2k^2-a^2b^2}{a^2}=0$，解得$k^2=\frac{a^2}{b^2}$。
4. 椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），若椭圆C的离心率e满足$e^2=\frac{c^2}{a^2}$，则下列哪个选项是正确的？A. $e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}$B. $e^2=\frac{a^2+b^2}{a^2}$C. $e^2=\frac{b^2}{a^2}$D. $e^2=\frac{a^2}{b^2}$答案：A解析：椭圆的离心率e定义为$\frac{c}{a}$，其中c是焦点到中心的距离。
近五年椭圆高考题汇编
近年高考题 椭圆部分选编卷一1．已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 （ ） A 、4 B 、5 C 、7 D 、82．设椭圆的两个焦点分别为12F F 、，过1F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A 、2B 、12C 、2D 1 3．已知△ABC 的顶点C B ,在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）A 、2 3B 、6C 、4 3D 、124．曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的（ ） A 、焦距相等 B 、离心率相等 C 、焦点相同 D 、准线相同5．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 （ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y += 6．已知椭圆C :22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 上点A 满足212AF F F ⊥. 若点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A ⋅的最大值为 （ ）A. B. 233 C. 94 D. 154 7．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点,∆21F PF 是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为 （ ）A ．12B ．23C ．34D ．458．椭圆22143x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积是____________.9．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________10．椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.11．设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4CBA π∠=,若AB=4,BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为________ . 12．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______________；13．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △的顶点(40)A -，和(40)C ，，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin A C B+=_____； 14．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是。
十年高考分类汇编椭圆带答案
椭圆定义1、已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆错误!＋y 2＝1上,顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（A )2错误! （B ）6 （C ）4错误! （D ）12选C2、已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点,若2212F A F B +=，则AB = ．答案:83、椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =,则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 。
2,120︒4、已知椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为33，过F 2的直线l 交C 与A,B 两点,若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（ ）A 。
22132x y += B. 2213x y += C 。
221128x y += D 。
221124x y +=5、椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则||2PF =( C ）A ．23 B ．3C ．27 D ．46、已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ A ）A ．3332 B ．32C ．22D ．23 7、设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上的点21212,30PF F F PF F ⊥∠=︒,则C 的离心率为 ( ）A ．B ．C ．D ．【答案】D8、设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ，,过2F 作x 轴的垂线与C 交于 B A ，两点，B F 1与y 轴交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________.9、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（D ） （2 （21-22 （D 21 10、在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆192522=+y x 上,则sin sin sin A CB+= 5/4 。
理科数学2010-2019高考真题分类训练-椭圆.docx
专题九解析几何第二十六讲椭圆20XX 年1．（20XX 全国I 理10）已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A，B 两点．若|AF 2|=2|F 2B |，|AB |=|BF 1|，则C 的方程为x 2x 2y 2x 2y 2x 2y 22=1=1=1A．+y =1B．+C．+D．+23243542.（20XX 全国II 理21（1））已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为−.记M 的轨迹为曲线C.21（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；1x 2y 23.（20XX 北京理4）已知椭圆2+2=1(a >b >0)的离心率为，则a b 2（A）a 2=2b 2.（B）3a 2=4b 2.（C）a =2b （D）3a =4bx 2y 2=1的两个焦点，M 为C 上4.（20XX 全国III 理15）设F 1，F 2为椭圆C:+3620一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为___________.2010-20XX 年一、选择题x 2y 21．(20XX 全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：2+2=1(a >b >0)的左，右焦a b 3点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，△PF 1F 2为等腰6三角形，∠F 1F 2P =120︒，则C 的离心率为1211B．C．D．3324x 2y 2=1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距2．(20XX 上海)设P 是椭圆+53离之和为（）A．A．22B．23C．25D．42x 2y 2=1的离心率是3．（20XX 浙江）椭圆+9413552B．C．D．3393x 2y 24．（20XX 新课标Ⅲ）已知椭圆C ：2+2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，a b A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx -ay +2ab =0相切，则C 的离心率为A．6321B．C．D．3333x 2y 25．(20XX 年全国III)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C：2+2=1(a >b >0)的左a b 焦点，A，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF⊥x 轴．过点AA．的直线l 与线段PF 交于点M，与y 轴交于点E．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为1123B．C．D．32342x 2x 6．(20XX 年浙江)已知椭圆C 1：2+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：2-y 2=1(n >0)m n 的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则A．A．m >n 且e 1e 2>1B．m >n 且e 1e 2<1C．m <n 且e 1e 2>1D．m <n 且e 1e 2<1x 27．(20XX 福建)设P ,Q 分别为x +(y -6)=2和椭圆+y 2=1上的点，则P ,Q10两点间的最大距离是22A．52B．46+2C．7+2D．62x 2y 28．（20XX 新课标1）已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的a b 直线交椭圆于A、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝145363627271818922x y 9．(20XX 新课标)设F 1、F 2是椭圆E ：2+2=1(a >b >0)的左、右焦点，Pa b 3a 为直线x =上一点，∆F 2PF 1是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为212二、填空题A、B、23C、34D、45x 2+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足10．(20XX 浙江)已知点P (0,1)，椭圆4AP =2PB ，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大．x 2y 2x 2y 211．(20XX 北京)已知椭圆M ：2+2=1(a >b >0)，双曲线N ：2-2=1．若双a b m n 曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．yC F 是椭圆B12．(20XX 江苏省)如图，在平面直角坐标系xOy 中，x 2y 2b 与椭圆交于+2=1(a >b >0)的右焦点，直线y =x B ,C 两点，且2O F a b 2∠BFC =90︒，则该椭圆的离心率是．x 2y 2=1的三个顶点，且圆心在x 的正13．（20XX 新课标1）一个圆经过椭圆+164半轴上，则该圆的标准方程为_________．x 2y 2114．（20XX 江西）过点M (1,1)作斜率为-的直线与椭圆C ：2+2=1(a >b >0)a b 2相交于A ,B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于．x 2y 2=1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关15．（20XX 辽宁）已知椭圆C ：+94于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |+|BN |=．x 2y 2F 2，作F 2作16．（20XX 江西）设椭圆C :2+2=1(a >b >0)的左右焦点为F 1，a b x 轴的垂线与C 交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．y 217．（20XX 安徽）设F 1,F 2分别是椭圆E :x +2=1(0<b <1)的左、右焦点，b 过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点，若AF 1=3BF 1,AF 2⊥x 轴，则椭圆E2的方程为_____．x 2y 218．（20XX 福建）椭圆Γ:2+2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，焦距a b 为2c ．若直线y =3(x +c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于x 2y 219．（20XX 江西）椭圆2+2=1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ,B ，左、右焦a b 点分别是F 1,F 2．若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．x 220．（2011浙江）设F 1,F 2分别为椭圆+y 2=1的左、右焦点，点A ,B 在椭圆3上，若F 1A =5F 2B ；则点A 的坐标是．三、解答题x 221．（20XX 全国卷Ⅰ）设椭圆C :+y 2=1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交2于A ,B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA =∠OMB ．x 2y 2=1交于A ，B 22．（20XX 全国卷Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：+43两点，线段AB 的中点为M (1,m )(m >0)．1(1)证明：k <-；2(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP +FA +FB =0．证明：|FA |，|FP |，|FB |成等差数列，并求该数列的公差．x 2x 223．(20XX 天津)设椭圆2+2=1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知a b 5椭圆的离心率为，点A 的坐标为(b ,0)，且FB ⋅AB =62．3(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y =kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．AQ52若=sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值．PQ 4x 2y 2P 2(0,1)，24．（20XX 新课标Ⅰ）已知椭圆C ：2+2=1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，a b 33P 3=(-1,)，P 4=(1,)中恰有三点在椭圆C 上．22(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，证明：l 过定点．x 225．（20XX 新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：+y 2=1上，过M 2做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =2NM ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x =-3上，且OP ⋅PQ =1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．x 2y 226．（20XX 江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：2+2=1(a >b >0)a b 1的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P 在2椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF2的垂线l 2．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．x 2y 227．（20XX 天津）设椭圆2+2=1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离a b 1心率为．已知A 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的21距离为．2（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若△APD 的面积为的方程．x 2y 228．（20XX 山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：2+2=1(a >b >0)的离ya b 2心率为，焦距为2．26，求直线AP2（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：y =k 1x -M 3交椭圆E 于A ,B 两点，C 是椭圆E 上一22C k 1k 2T 点，直线OC 的斜率为k 2，且，M 是线段OC 延长线上一=4点，且MC :AB =2:3，M 的半径为MC ，OS ,OT x 是M 的两条切线，切点分别为S ,T ．求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l A 的斜率．SOlBx 2y 2329．(20XX 年北京)已知椭圆C ：2+2=1(a >b >0)的离心率为，A (a ,0)，2a b B (0,b )，O (0,0)，ΔOAB 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：|AN |⋅|BM |为定值．30．(20XX 新课标2）已知椭圆C：9x 2+y 2=m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A，B，线段AB 的中点为M．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；m （Ⅱ）若l 过点(,m )，延长线段OM 与C 交于点P，四边形OAPB 能否3为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．2x 2y 21)和31．（20XX 北京）已知椭圆C ：2+2=1(a >b >0)的离心率为，点P (0，2a b n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．点A (m ，（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM =∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．x 2y 232．（20XX 安徽）设椭圆E 的方程为2+2=1(a >b >0)，点O 为坐标原点，a b 点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足BM =2MA ，直线OM 的斜率为（Ⅰ）求E 的离心率e ；5．10（Ⅱ）设点C 的坐标为(0，-b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 7，求E 的方程．2x 2y 233．（20XX 山东）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2+2=1(a >b >0)的a b 3离心率为，左、右焦点分别是F 1、F 2．以F 1为圆心以3为半径的圆与以2F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．的对称点的纵坐标为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；x 2y 2（Ⅱ）设椭圆E ：2+2=1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线4a 4b y =kx +m 交椭圆E 于A ,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．|OQ |的值；|OP |（ii）求△ABQ 面积的最大值．( i )求x 2y 234．(20XX 新课标1)已知点A (0,-2)，椭圆E ：2+2=1(a >b >0)的离心a b 323率为，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原23点．（Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点，当∆OPQ 的面积最大时，求l 的方程．x 2y 235．(20XX 浙江)如图，设椭圆C :2y +2=1(a >b >0),动直线l 与椭圆C 只有一a b 个公共点P ，且点P 在第一象限．l1P （Ⅰ）已知直线l 的斜率为k ，用a ,b ,k 表示点P 的坐标；xO 证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为（Ⅱ）若过原点O 的直线l 1与l 垂直，la -b ．2y 2x 36．（20XX 新课标2）设F 1，F 2分别是椭圆C ：2+2=1(a >b >0)的左，右a b 焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．（Ⅰ）若直线MN 的斜率为3，求C 的离心率；4（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且MN =5F 1N ，求a ,b ．x 2y 37．（20XX 安徽）设F 1,F 2分别是椭圆E ：2+2=1(a >b >0)的左、右焦点，a b 过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点，|AF 1|=3|BF 1|2（Ⅰ）若|AB |=4,∆ABF 2的周长为16，求|AF 2|；3（Ⅱ）若cos ∠AF 2B =，求椭圆E 的离心率．5x 2y 238．（20XX 山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :2+2=1(a >b >0)的a b离心率为3410，直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为．25（Ｉ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A，B 两点（A，B 不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M，N 两点．(ⅰ)设直线BD，AM 的斜率分别为k 1,k 2，证明存在常数λ使得k 1=λk 2，并求出λ的值；(ⅱ)求∆OMN 面积的最大值．x 2y239．（20XX 湖南）如图5，O 为坐标原点，双曲线C 1:2-2=1(a 1>0,b 1>0)a b 1x 2y 2231和椭圆C 2:2+2=1(a 2>b 2>0)均过点P (,1)，且以C 1的两个顶点a 2b 23和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（Ｉ）求C 1,C 2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ,B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA +OB |=|AB |？证明你的结论．x 2y 240．（20XX 四川）已知椭圆C：2+2=1（a >b >0）的焦距为4，其短轴a b 的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x =-3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P，Q．（i）证明：OT 平分线段PQ（其中O 为坐标原点）；|TF |最小时，求点T 的坐标．|PQ |x 2y 241．（20XX安徽）已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的焦距为4，且过点a b P (2，3)．（ii）当（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设Q (x 0,y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ．取点A (0,22),连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．42．（20XX 湖北）如图，已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2n (m >n )，过原点且不与x 轴重合的直线l 与B，C，D．记λ=C 1，C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，和△ABN 的面积分别为S 1和S 2．yAm ，△BDMn2，求λ的值；B S （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若S 1=λO N x M（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S 1=λS 2并说明C理由．Dx 2y 2第20题图343．(20XX 天津)设椭圆2+2=1(a >b >0)的左焦点为F，离心率为，过3a b 43点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．3(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设A，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C，D 两点．若AC ·DB +AD ·CB =8，求k 的值．x 2y 244．（20XX 山东）椭圆C :2+2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1,F 2，离心a b 3率为，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l．2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1,PF 2．设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m ,0)，求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2，若k ≠0，试证明11+为定值，并求出这个定值．kk 1kk 2x 2y 245．（20XX 北京）已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心a b2．直线y =k (x -1与椭圆C 交于不同的两点M,N．）2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；率为10y（Ⅱ）当△AMN 得面积为时，求Ak 的值．3x 2y 246．（20XX 安徽）如图，F 1,F 2分别是椭圆C ：2+2=1（a >b >0）的左、a b F 2O x 右焦点，A 是椭圆C 的顶点，是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF B 1F 2=60°．B（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知△A F 1B 的面积为403，求a, b 的值．x 2y 247．（20XX 广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2+2=1(a >b >0)a b 2的离心率e =，且椭圆C 上的点到Q (0,2)的距离的最大值为3．3（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点M (m ,n )使得直线l ：mx +ny =1与圆O：x 2+y 2=1相交于不同的两点A ,B ，且∆OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的∆OAB 的面积；若不存在，请说明理由．x 2y 2348．（2011陕西）设椭圆C:2+2=1(a >b >0)过点（0，4），离心率为a b 5（Ⅰ）求C 的方程；4的直线被C 所截线段的中点坐标．5x 249．（2011山东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :+y 2=1．如图所示，3斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x =-3于点D (-3,m )．（Ⅰ）求m 2+k 2的最小值；（Ⅱ）若OG =OD ∙OE ，（i）求证：直线l 过定点；（ii）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由．2E-3OxB A+版-Applicable Achives）三教上人（y 250．（2010新课标）设F 1,F 2分别是椭圆E：x +2=1（0<b <1）的左、右b 焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AF 2，AB ，BF 2成等差2数列．（Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值．x 2y 251．（2010辽宁）设椭圆C：2+2=1(a >b >0)的左焦点为F，过点F 的直线a b 与椭圆C 相交于A，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ，AF =2FB ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=15，求椭圆C 的方程．4专题九解析几何第二十六讲椭圆答案部分1.解析如图所示，设BF 2=x ，则AF 2=2x ，所以y ABF 2=AB =3x .由椭圆定义BF 1+BF 2=2a ，即4x =2a .又AF 1+AF 2=2a =4x ，AF 2=2x ，所以AF 1=2x .因此点A 为椭圆的上顶点，设其坐标为(0,b ).⎛3b ⎫,-⎪.AF =2BF 由22可得点B 的坐标为 22⎭⎝OF 1F 2Bx91x 2y 2因为点B 在椭圆2+2=1(a >b >0)上，所以2+=1.4a 4a b x 2y 2=1.故选B.解得a =3.又c =1，所以b =2.所以椭圆方程为+3222y y 1x 2y 2⋅=-，化简得+=1(|x |≠2)，所以C 为2．解析（1）由题设得42x +2x -22中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．c 21a 2-b 21c 13.解析由题意，e ==，得2=，则=，2a 4a 4a 2所以4a 2-4b 2=a 2，即3a 2=4b 2．故选B．x 2y 2m ,n >0，c =2，C :+=1的a =6，4.解析设M (m ,n )，椭圆C：b =25，3620c 2e ==，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得|MF 1|>|MF 2|，a 3△MF 1F 2为等腰三角形，可能|MF 1|=2c 或|MF 2|=2c ，26+m =8，即m =3，n =15；即有326-m =8，即m =-3<0，舍去．可得M (3,15).3y2010-20XX 年PAF 1OF 2x1．D【解析】由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|=2c ，所以∆PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P =120，∴|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，∵|OF 2|=c ，∴点P 坐标为(c +2c cos 60,2c sin 60)，即点3的直线上，63c 31c 1=∴，解得=．∴e =，故选D．2c +a 64a 42．C【解析】由题意a 2=5，a =5．由椭圆的定义可知，P 到该椭圆的两个焦P (2c ,3c )．∵点P 在过点A ，且斜率为点的距离之和为2a =25，故选C．3．B 【解析】由题意可知a 2=9，b 2=4，∴c 2=a 2-b 2=5，∴离心率e =选B4．A 【解析】以线段A 1A 2为直径的圆是x 2+y 2=a 2，直线bx -ay +2ab =0与圆相a 22+b 2c 2c 6即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2，即2=，e ==，故选A．a 3a 3x y =15．A 【解析】设E (0,m )，则直线AE 的方程为-+，由题意可知mc m m m a -b -mc m a 2=2，化简得M (-c ,m -)，(0,)和B (a ,0)三点共线，则a 2-c -ac 5=，a 3切，所以圆心到直线的距离d =2ab=a ，整理为a 2=3b 2，c 1=．故选A．a 36．A【解析】由题意知m 2-1=n 2+1，即m 2=n 2+2，a =3c ，则C 的离心率e =m 2-1n 2+1n 2+1n 2+1n 4+2n 2+11(e 1e 2)=⋅=⋅==1+>1，m 2n 2n 2+2n 2n 4+2n 2n 4+2n 2所以e 1e 2>1．故选A．27．D【解析】由题意可设Q (10cos α,sin α)，圆的圆心坐标为C (0,6)，圆心到Q 的距离为2|CQ |=(10cos α)2+(sin α-6)2=50-9(sin α+)2≤50=52，当且32仅当sin α=-时取等号，所以|PQ |max ≤|CQ |max +r =52+2=62，所3以P ,Q 两点间的最大距离是62．8．D【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=2，y 1+y 2=－2，22x 12y 12x 2y 2+=1①2+2=1②a 2b 2a b (x +x )(x -x )(y +y )(y -y )①－②得12212+12212=0，a 2b 2y 1-y 2b b 210+11b (x 1+x 2)∴k AB ==-2=2，又k AB ==，∴2=，又9=c 2=x 1-x 2a 3-122a (y 1+y 2)a 22x y =1，故选D.a 2-b 2，解得b 2=9，a 2=18，∴椭圆方程为+1899．C【解析】∆F 2PF 1是底角为30的等腰三角形3c 3⇒PF 2=F 2F 1=2(a -c )=2c ⇔e ==2a 4⎧-x =2x 10．5【解析】设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由AP =2PB ，得⎨⎧41x 22，22-y 1=2(-y 2x -1)+(3⎩12)=m ⎪⎪即x 1=-2x 2，y 1=3-2y 2．因为点A ，B 在椭圆上，所以⎨4，2⎪x 2+y 2=m 132⎪得，以y 2=m +⎩4所4415912x 2=m -(3-2y 2)2=-m 2+m -=-(m -5)2+4≤4，4244所以当m =5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2．11．3-1；2【解析】设椭圆的右焦点为F (c ,0)，双曲线N 的渐近线与椭圆Mc 3c )，由点A 在椭圆M 上得，在第一象限内的交点为A ，由题意可知A (,22c 23c 2+2=1，∴b 2c 2+3a 2c 2=4a 2b 2，b 2=a 2-c 2，∴24a 4b (a 2-c 2)c 2+3a 2c 2=4a 2(a 2-c 2)，422∴4a 4-8a 2c 2+c 4=0，∴e 椭=4±23，-8e 椭+4=0，∴e 椭三教上人（A+版-Applicable Achives）A ∴e 椭=3+1（舍去）或e 椭=3-1，∴椭圆M 的离心率3-1，yc 3c )，渐近线方程为y =3x ，∵双曲线的渐近线过点A (,F x2222O m +n 故双曲线的离心率e 双==2．m 212．32513．(x -)2+y 2=【解析】由题意圆过(4,0),(0,2),(0,2)三个点，设圆心为243，所以圆的方程为(a ,0)，其中a 0，由4-a =a 2+4，解得a 2325．(x -)2+y 2=24214．【解析】设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，分别代入椭圆方程相减得2(x 1-x 2)(x 1+x 2)(y 1-y 2)(y 1+y 2)+=0，根据题意有x 1+x 2=2,y 1+y 2=2，22a b y 1-y 21221=-，所以2+2⨯(-)=0，得a 2=2b 2，整理a 2=2c 2，且x 1-x 22a b 22所以e =．215．12【解析】设MN 交椭圆于点P ，连接F 1P 和F 2P ，利用中位线定理可得6b 【解析】由题意得F (c ,0)，直线y =与椭圆方程联立可得32⎛⎫⎛⎫3a b 3a b B -,C ，⎪ ⎪ 2,2⎪⎪，由∠BFC =90︒可得BF ⋅CF =0，22⎝⎭⎝⎭⎛⎛3a b ⎫3a b ⎫32122BF = c +,-CF =c -,-，，则c -a +b =0，由⎪ ⎪ ⎪ ⎪222244⎝⎭⎝⎭31b 2=a 2-c 2可得c 2=a 2，42c 26则e ==．=a 33AN +BN =2F 1P +2F 2P =2⨯2a =4a =12．b 23b 216．【解析】由题意可得A (c ,)，B (c ,-)，由题意可知点D 为F 1B 的中3a ab 2点，所以点D 的坐标为(0,-)，由AD ⊥F 1B ，所以k AD ⋅k F 1B =-1，整理2a3得3b 2=2ac ，解得e =．335c 1=b 2，∴点B 坐标为B (-,-b 2)17．x 2+y 2=1【解析】由题意得通径AF 21233(-b 2)25c 2将点B 坐标带入椭圆方程得(-)+32=1，⎧223b b =⎪3⎪322又b =1-c ，解得⎨∴椭圆方程为x 2+y 2=1．2⎪c 2=1⎪3⎩18．3-1【解析】由题意可知，∆MF 1F 2中，⎧MF 1+MF 2=F 1F 2=(2c )2c 所以有⎪，整理得e ==3-1，故答案为3-1．⎨MF 1+MF 2=2a a ⎪53MF 1⎩MF 2=19．【解析】由椭圆的性质可知：AF 1=a -c ，F 1F 2=2c ，F 1B =a +c .又已∠MF 1F 2=60︒,∠MF F =30︒,∠F 1MF 2=90︒，222125知AF 1，F 1F 2，F 1B 成等比数列，故(a -c )(a +c )=(2c )2，即a 2-c 2=4c 2，c 55.即椭圆的离心率为．=a 5520．(0,±1)【解析】设点A 的坐标为(m ,n )，B 点的坐标为则a 2=5c 2.故e =(c ,d )．F 1(-2,0),F 2(2,0)，可得F 1A =(m +2,n )，F 2B =(c -2,d )，∵F 1A =5F 2B ，m +62n ,d m =+6∴c =，又点A ,B 在椭圆上，225(5)n m 225+n =1，+()2=1，解得m =0,n =±1，∴335∴点A 的坐标是(0,±1)．21．【解析】(1)由已知得F (1,0)，l 的方程为x =1．22)或(1,-)．2222x +2或y =x -2．所以AM 的方程为y =-22(2)当l 与x 轴重合时，∠OMA =∠OMB =0︒．由已知可得，点A 的坐标为(1,当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA =∠OMB ．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y =k (x -1)(k ≠0)，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为y 1y +2．x 1-2x 2-2由y 1=kx 1-k ，y 2=kx 2-k 得k MA +k MB =2kx 1x 2-3k (x 1+x 2)+4k ．(x 1-2)(x 2-2)x 2将y =k (x -1)代入+y 2=1得2(2k 2+1)x 2-4k 2x +2k 2-2=0．k MA +k MB =4k 22k 2-2所以，x 1+x 2=2，x 1x 2=2．2k +12k +14k 3-4k -12k 3+8k 3+4k =0．则2kx 1x 2-3k (x 1+x 2)+4k =22k +1从而kMA +kMB=0，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以∠OMA =∠OMB ．综上，∠OMA =∠OMB ．22x 12y 12x 2y 2=1，+=1．22．【解析】(1)设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则+4343y -y x +x y +y 两式相减，并由12=k 得12+12⋅k =0．x 1-x 243x 1+x 2y 1+y 2由题设知=1，=m ，223于是k =-．①4m31由题设得0<m <，故k <-．22(2)由题意得F (1,0)，设P (x 3,y 3)，则(x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0)．由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1，y 3=-(y 1+y 2)=-2m <0．333，从而P (1,-)，|FP |=．2224x x 于是|FA |=(x 1-1)2+y 12=(x 1-1)2+3(1-1)=2-1．42x 同理|FB |=2-2．21所以|FA |+|FB |=4-(x 1+x 2)=3．2故2|FP |=|FA |+|FB |，即|FA |，|FP |，|FB |成等差数列．又点P 在C 上，所以m =设该数列的公差为d ，则11|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2．②223将m =代入①得k =-1．471所以l 的方程为y =-x +，代入C 的方程，并整理得7x 2-14x +=0．443211故x 1+x 2=2，x 1x 2=，代入②解得|d |=．2828321321所以该数列的公差为或-．2828c 2523．【解析】设椭圆的焦距为2c ，由已知知2=，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．a 9由已知可得，FB =a ，AB =2b ，由FB ⋅AB =62，可得ab =6，从而a =3，2|d |=||FB |-|FA ||=b =2．x 2y 2=1．所以，椭圆的方程为+94(2)设点P 的坐标为(x 1,y 1)，点Q 的坐标为(x 2,y 2)．由已知有y 1>y 2>0，故PQ sin ∠AOQ =y 1-y 2．y2π又因为AQ =，而∠OAB =，故AQ =2y 2．sin ∠OAB 4AQ 52由PQ=4sin ∠AOQ ，可得5y 1=9y 2．⎧y =kx ，6k ⎪由方程组⎨x 2y 2消去x ，可得y 1=．2+=1，9k +4⎪4⎩9⎧y =kx ，x +y -2=0易知直线AB 的方程为，由方程组⎨x +y -2=0，⎩2k 消去x ，可得y 2=．由5y 1=9y 2，可得5(k +1)=39k 2+4，k +1111两边平方，整理得56k 2-50k +11=0，解得k =，或k =．228111所以，k 的值为或．22824．【解析】（1）由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点．又由21+2>2+2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．⎧a =b 1a 4b 2⎪⎧a 2=4⎪⎪b 因此⎨，解得⎨2．⎪⎩b =1⎪1+3=12a 24b 2x +y 2=1．⎩故C ⎪的方程为41113（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A，B 的坐标分别为4-t 24-t 2（t，），（t，-）．224-t 2-24-t 2+2-=-1，得t =2，不符合题设．则k 1+k 2=2t 2tx 2从而可设l ：y =kx +m （m ≠1）．将y =kx +m 代入+y 2=1得4(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2-4=0由题设可知∆=16(4k 2-m 2+1)>0．4m 2-48km 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=-2，x 1x 2=2．4k +14k +1y -1y -1kx 1+m -1kx 2+m -1而k 1+k 2=1+2=+x 1x 2x 1x22kx 1x 2+(m -1)(x 1+x 2)=．x 1x2由题设k 1+k 2=-1，故(2k +1)x 1x 2+(m -1)(x 1+x 2)=0．4m 2-4-8km 即(2k +1)⋅2+(m -1)⋅2=0．4k +14k +1m +1解得k =-．2当且仅当m >-1时，∆>0，欲使l ：y =-所以l 过定点（2，-1）M (x 0,y 0)，25．【解析】（1）设P (x ,y )，则N (x 0,0)，NP =(x -x 0,y )，NM =(0.y 0)．m +1m +1即y +1=-x +m ，(x -2)，222y ．2x 2y 2=1．因为M (x 0,y 0)在C 上，所以+22因此点P 的轨迹方程为x 2+y 2=2．由NP =2NM 得x 0=x ，y 0=（2）由题意知F (-1,0)．设Q (-3,t )，P (m ,n )，则OQ =(-3,t )，PF =(-1-m ,-n )，OQ ⋅PF =3+3m -tn ，OP =(m ,n )，PQ =(-3-m ,t -n )，由OP ⋅PQ =1得-3m -m 2+tn -n 2=1，又由（1）知m 2+n 2=2，故3+3m -tn =0．所以OQ ⋅PF =0，即OQ ⊥PF ．又过点P 存在唯一直线垂直与OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．26．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c .c 11因为椭圆E 的离心率为，两准线之间的距离为8，所以=，a 222a 2=8，c解得a =2,c =1，于是b =a 2-c 2=3，x 2y 2=1.因此椭圆E 的标准方程是+43（2）由（1）知，F 1(-1,0)，F 2(1,0).设P (x 0,y 0)，因为点P 为第一象限的点，故x 0>0,y 0>0.当x 0=1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符.y 0y0x ≠1PF PF 当0时，直线1的斜率为，直线2的斜率为.x 0+1x 0-1-x 0+1l ⊥PF l ⊥PF l 因为1，直线l 2的斜率为1，22，所以直线1的斜率为y0x -1-0，y 0x 0+1y =-(x +1)，①l 从而直线1的方程：yx 0-1y =-(x -1).②l 直线2的方程：y221-x 01-x 0).由①②，解得x =-x 0,y =，所以Q (-x 0,y 0y021-x 02222+y 0=1.-y 0=1或x 0=±y 0，即x 0因为点Q 在椭圆上，由对称性，得y022x 0y 0+=1.E 又P 在椭圆上，故2222⎧x 0⎧x 0-y 0=1+y 0=143⎪2⎪4737222,y 0=由⎨x 0y 0，解得x 0=；⎨x 0，无解.y 077=1=1⎪+⎪+33⎩4⎩44737,).因此点P 的坐标为(77c 1p 127．【解析】（Ⅰ）设F 的坐标为(-c ,0).依题意，=，=a ，a -c =，解a 22213得a =1，c =，p =2，于是b 2=a 2-c 2=.2424y =1，抛物线的方程为y 2=4x .所以，椭圆的方程为x 2+3（Ⅱ）设直线AP 的方程为x =my +1(m ≠0)，与直线l 的方程x =-1联立，4y 2222=1联立，消去x ，可得点P (-1,-)，故Q (-1,).将x =my +1与x +3m m-6m 整理得(3m 2+4)y 2+6my =0，解得y =0，或y =.23m +4-3m 2+4-6m ,).由点B 异于点A ，可得点B (3m 2+43m 2+42由Q (-1,)，可得直线BQ 的方程为m-6m 2-3m 2+422-3m 2(2-)(x +1)-(+1)(y -)=0，令y =0，解得x =，223m +4m 3m +4m 3m +22-3m 26m 22-3m 2,0).所以|AD |=1-2=故D (2.3m +223m 2+23m +216m 266又因为△APD 的面积为，故⨯2，⨯=223m +2|m |266整理得3m 2-26|m |+2=0，解得|m |=，所以m =±.33所以，直线AP 的方程为3x +6y -3=0，或3x -6y -3=0.28．【解析】（I）由题意知e ==所以a =2,b =1，c a2，2c =2，2x 2因此椭圆E 的方程为+y 2=1．2A (2x ,y ,B x ,y （Ⅱ）设⎧x 11)(22)，+y 2=1,⎪⎪联立方程⎨2⎪y =k x -3,1⎩x 2-43k 12得4k 12+2⎪x -1=0，()由题意知∆>0，且x 1+x 2=23k 11，,x 1x 2=-222k 1+12(2k 1+1)所以AB =1+k x 1-x 2=2211+k 121+8k 121+2k 12．1+k 121+8k 122k +121222AB =由题意可知圆M 的半径r 为r =332由题设知k 1k 2=，4所以k 2=24k 1因此直线OC ⎧x 2的方程为y =2⎪+y =1,2联立方程⎪⎨2⎪2y =x ,18k ⎪2214k 得x =⎩2,y 1=，1+4k 11+4k 121+8k 1222因此OC =x +y =．1+4k 12∠SOT r 1由题意可知sin 1+8k 2=，=1OC 2r +OC+OC 1+4k 121+2k 12312r =而，=2222r 41+4k 11+k 1221+k 11+8k 12x ．4k12令t =1+2k 13，2k 12+1则t >1,∈(0,1)，3t 3131==≥1，22r 22t +t -12112⎛11⎫92+-2-+11 k -⎪2t t 当且仅当=，即t =2时等号成立，此时=±t 24⎝1⎭，2t 2∠SOT 1所以sin ≤，22∠SOT π因此≤，26因此1tOC =所以∠SOT 最大值为⎧c π32=，取得最大值时直线,综上所述：∠SOT 的最大值为．⎪l 的斜率为k 1=±a 223⎪⎪1ab =1,解得a =2,b =1.29．【解析】（Ⅰ）由题意得⎨2⎪222x 22b +c ,a =⎪所以椭圆C 的方程为+y =1.4⎪⎩22+4y 0=4.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A (2,0),B (0,1)，设P (x 0,y 0)，则x 0π．3当x 0≠0时，直线PA 的方程为y =y 0(x -2).x 0-22y 02y 0令x =0，得y M =-.从而BM =1-y M =1+.x 0-2x 0-2y -1x +1.直线PB 的方程为y =0x 0x x 令y =0，得x N =-0.从而AN =2-x N =2+0.y 0-1y 0-1x 02y 0⋅1+所以AN ⋅BM =2+y 0-1x 0-222x 0+4y 0+4x 0y 0-4x 0-8y 0+44x 0y 0-4x 0-8y 0+8===4.x 0y 0-x 0-2y 0+2x 0y 0-x 0-2y 0+2当x 0=0时，y 0=-1，BM =2,AN =2,所以AN ⋅BM =4.综上，AN ⋅BM 为定值.A (x 1,y 1)，M (x M,y M)．B (x 2,y 2)，30．【解析】(Ⅰ)设直线l :y =kx +b (k ≠0,b ≠0)，将y =kx +b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx +b 2-m 2=0，x 1+x 2kb 9b ，y M =kx M +b =2．=-22k +9k +9y 9于是直线OM 的斜率k OM =M =-，即k OM ⋅k =-9．x Mk所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．故x M =（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．m ,m )，3所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3．因为直线l 过点(9由(Ⅰ)得OM 的方程为y =-x ．设点P 的横坐标为x P ．9k ⎧22y =-x ,k m ±km ⎪2由⎨得x P =2，即x P =．k29k +813k +9222⎪9x m +y =m ,m ⎩(,m )的坐标代入直线l 的方程得b =(3-k )，因此x =mk (k -3)．将点M 3(k 2+9)33四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P=2x M．mk (k -3)．解得k 1=4-7，k 2=4+7．223(k +9)3k +9因为k i >0,k i≠3，i =1，2，所以当l 的斜率为4-7或4+7时，四边形于是±km=2⨯OAPB 为平行四边形．⎧b =1,⎪2⎪c 31．【解析】（Ⅰ）由题意得⎨=,解得a 2=2．2⎪a x 22222=1故椭圆C 的方程为+y ⎪．a =b +c .⎩2设M (x N，0)．因为m ≠0，所以-1<n <1．n -1x ，mm m ,0)．所以x M =，即M (1-n 1-n（Ⅱ）因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ,-n )，直线PA 的方程为y -1=m ．1+nOM“存在点Q (0,y Q )使得∠OQM =∠ONQ 等价”，“存在点Q (0,y Q )使得=OQOQ”即y Q 满足y Q 2=x M x N ．ONm 2m m +n 2=1，因为x M =，x N =，21-n 12+nm =2．所以y Q 2=x M x N =21-n 所以y Q=2或y Q=-2．设N (x N ,0)，则x N =故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM =∠ONQ ．点Q 的坐标为(0,2)或(0,-2)．52132．【解析】（1）由题设条件知，点M 的坐标为(a ,b )，又k OM =，从而1033b 5c 25=，进而得a =5b ,c =a 2-b 2=2b ，故e ==．2a 10a 5x y +=1，点（2）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线AB 的方程为5b b517N 的坐标为(b ,-⎧b )，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为(x 1,)，225b +x 1-1b +72⎪x 5172(+b 4+1,4-=1b +)．又点T 在直线AB 上，且则线段NS 的中点T 的坐标为⎪44b 245b 4⎪⎪k NS ⋅k AB =-1,从而有⎨，解得b =3，所以b =35，71⎪y 22+2b x 2=1．=5故椭圆E 的方程为⎪+45⎪9x -5bc 31⎪⎩2a =4，则2a =2，又=33．【解析】（Ⅰ）由题意知，a 2-c 2=b 2，a 2x 2可得b =1，所以椭圆C 的方程为+y 2=1．4x 2y 2=1．（Ⅱ）由（I）知椭圆E 的方程为+164|OQ |=λ，由题意知Q (-λx 0,-λy 0)，（i）设P (x 0,y 0),|OP |22x 0(-λx 0)2(-λy 0)2λx 022+y 0=1，又+=1，即(+y 0)=1，因为416444|OQ |=2．所以λ=2，即|OP |（ii）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，将y =kx +m 代入椭圆E 的方程，可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-16=0，由∆>0，可得m 2<4+16k 2，8km 4m 2-16,x 1x 2=则有x 1+x 2=-，221+4k 1+4k 416k 2+4-m 2所以|x 1-x 2|=．1+4k 2因为直线y =kx +m 与y 轴交点的坐标为(0,m )，216k 2+4-m 2|m |1所以∆OAB 的面积S =|m ||x 1-x 2|=221+4k 2(16k 2+4-m 2)m 2m 2m 2=2(4-)=2221+4k 1+4k 1+4k m 2=t ，将y =kx +m 代入椭圆C 的方程，令1+4k 2可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-4=0，由∆≥0，可得m 2≤1+4k 2，由①②可知0<t ≤1，因此S =2(4-t )t =2-t 2+4t ，故S ≤23，当且仅当t =1时，即m 2=1+4k 2时取得最大值23，由（i）知，∆ABQ 面积为3S ，所以∆ABQ 面积的最大值为63．223（I ）设F (c,0)，由条件知，=，得c = 3.34．【解析】c 3c 3x 2222又=,所以a =2,b =a -c =1.故E 的方程为+y 2=1.a 24（Ⅱ）当l ⊥x 轴时不合题意，故设l :y =kx -2,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).x 2将y =kx -2代入+y 2=1得(1+4k 2)x 2-16kx +12=0.438k ±24k 2-322当∆=16(4k -3)>0,即k >时，x 1,2=.244k +14k 2+1⋅4k 2-32从而PQ =k +1x 1-x 2=.24k +12又点O 到直线PQ 的距离d =.所以∆OPQ 的面积2k +1144k 2-3S ∆OPQ =d ⋅PQ =.24k 2+14t 4设4k 2-3=t ,则t >0,S ∆OPQ =2=.t +4t +447t因为t +≥4,当且仅当t =2，即k =±时等号成立，且满足∆>0.t 2所以，当∆OPQ 的面积最大时，ι的方程为77x -2或y =-x -2．22⎧y =kx +m⎪35．【解析】（Ⅰ）设直线l 的方程为y =kx +m (k <0)，由⎨x 2y 2，⎪2+2=1ab 222222222消去y 得，b +a k x +2a kmx +a m -a b =0，⎩y =()由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故∆=0，即b 2-m 2+a 2k 2=0，⎛a 2km b 2m ⎫解得点P 的坐标为 -2，由点P 在第一象限，,22222⎪b +a k b +a k ⎭⎛⎝a 2k ⎫b 2故点P 的坐标为 -,⎪；222222b +a k b +a k ⎭⎝2（Ⅱ）由于直线l 1过原点O ，且与l a 垂直，故直线k b 2l 1的方程为x +ky =0，-+222b +a k b 2+a 2k 2所以点P 到直线l 1的距离d =，21+k 2b a 2-b 222整理得d =，因为a k +2≥2ab ，k b 222222222b a b -+b a +a k +2a -b 所以≤k =a -b ，当且仅当k 2=时等号成a b 2b 2+a 2+2ab2222b +a +a k +2立，k 所以点P 到直线l 1的距离的最大值为a -b .b 236．【解析】（Ⅰ）根据c =a -b 及题设知M (c ,),2b 2=3ac ac 1c 将b 2=a 2-c 2代入2b 2=3ac ，解得=,=-2（舍去）a 2a1故C 的离心率为．2（Ⅱ）由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点22b 2D (0,2)是线段MF 1的中点，故=4，即b 2=4a①a由MN =5F 1N 得DF 1=2F 1N 。
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近年高考题 椭圆部分选编
1．已知椭圆22
1102
x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 （ ） A 、4 B 、5 C 、7 D 、8
2．设椭圆的两个焦点分别为12F F 、，过1F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A
、
2 B
、12
C
、2 D
1- 3．已知△ABC 的顶点C B ,在椭圆13
22
=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） A 、2 3 B 、6 C 、4 3 D 、12
4．曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线)95(1952
2<<=-+-n n
y n x 的（ ） A 、焦距相等 B 、离心率相等 C 、焦点相同 D 、准线相同
5．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 （ ）
A ．22
14536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189
x y += 6．已知椭圆C :22
143
x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 上点A 满足212AF F F ⊥. 若点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A ⋅的最大值为 （ ）
A. B. 2
33 C. 94 D. 154 7．设是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线上一点,∆是底角为的等腰三角形,则E 的离心率为 （ ）
A ．12
B ．23
C ．34
D ．45
8
．椭圆22143
x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积是____________.
9．椭圆22
22:1(0)x y a b a b
Γ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________
10．椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.
11．设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4CBA π
∠=,若AB=4,2BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为
________ .
12．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______________；
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △的顶点(40)A -，和(40)C ，，顶点B 在椭圆22
1259
x y +=上，则sin sin sin A C B
+=_____； 12F F 32
a x =21F PF 30
14．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是。
15．如图把椭圆22
12516
x y +=的长轴AB 分成8分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则
127......PF P F P F +++=____________．
二、解答题
1． 已知椭圆2222:1(0)y x G a b a b +=>>的离心率为12
，过椭圆G 右焦点F 的 直线:1m x =与椭圆G 交于点M （点M 在第一象限）.
（Ⅰ）求椭圆G 的方程；
（Ⅱ）已知A 为椭圆G 的左顶点，平行于AM 的直线l 与椭圆相交于B ，C 两点. 请
判断直线MB ，MC 是否关于直线m 对称，并说明理由.
2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点33． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线 BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标； 若不是，说明理由．
3．椭圆C ：(a ＞b ＞0)的离心率为，其左焦点到点P (2，1) （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
22
22+1x y a b
=1210C :l y kx m =+C A B A B ，AB C
l。