近五年椭圆高考题汇编
解析几何(解答题)--五年(2020-2024)高考数学真题分类汇编(解析版)
专题解析几何(解答题)考点五年考情(2020-2024)命题趋势考点01椭圆及其性质2024Ⅰ甲卷北京卷天津卷2023北京乙卷天津2022乙卷北京卷浙江卷2021北京卷Ⅱ卷2020ⅠⅡ卷新ⅠⅡ卷椭圆轨迹标准方程问题，有关多边形面积问题，定值定点问题，新结构中的新定义问题是高考的一个高频考点考点02双曲线及其性质2024Ⅱ卷2023Ⅱ新课标Ⅱ2022Ⅰ卷2021Ⅰ双曲线离心率问题，轨迹方程有关面积问题，定值定点问题以及斜率有关的证明问题以及新结构中的新定义问题是高考的高频考点考点03抛物线及其性质2023甲卷2022甲卷2021浙江甲卷乙卷2020浙江抛物线有关三角形面积问题，关于定直线问题，有关P 的证明类问题考点01：椭圆及其性质1(2024·全国·高考Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【详解】(1)由题意得b =39a 2+94b2=1，解得b 2=9a 2=12 ，所以e =1-b 2a2=1-912=12.(2)法一：k AP =3-320-3=-12，则直线AP 的方程为y =-12x +3，即x +2y -6=0，AP =0-3 2+3-322=352，由(1)知C :x 212+y 29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B23cosθ,3sinθ，其中θ∈0,2π，则有23cosθ+6sinθ-65=1255，联立cos2θ+sin2θ=1，解得cosθ=-32sinθ=-12或cosθ=0sinθ=-1，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一；法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B0,-3，S△PAB=12×6×3=9，符合题意，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k2x2-8k3k-3 2x+36k2-36k-27=0，其中Δ=8k23k-3 22-43+4k236k2-36k-27>0，且k≠-1 2，则3x B=36k2-36k-273+4k2,x B=12k2-12k-93+4k2，则S=12AQx P-x B=123k+3212k+183+4k2=9，解的k=12或k=32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l为y=12x或y=32x-3，即3x-2y-6=0或x-2y=0.2(2024·全国·高考甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点M1,32在C上，且MF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过点P4,0的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y 轴．【答案】(1)x24+y23=1(2)证明见解析【详解】(1)设F c,0，由题设有c=1且b2a=32，故a2-1a=32，故a=2，故b=3，故椭圆方程为x24+y23=1.(2)直线AB的斜率必定存在，设AB:y=k(x-4)，A x1,y1，B x2,y2，由3x2+4y2=12y=k(x-4)可得3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0，故Δ=1024k4-43+4k264k2-12>0，故-12<k<12，又x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2，而N52,0，故直线BN:y=y2x2-52x-52，故y Q=-32y2x2-52=-3y22x2-5，所以y1-y Q=y1+3y22x2-5=y1×2x2-5+3y22x2-5=k x1-4×2x2-5+3k x2-42x2-5=k 2x1x2-5x1+x2+82x2-5=k2×64k2-123+4k2-5×32k23+4k2+82x2-5=k 128k2-24-160k2+24+32k23+4k22x2-5=0，故y1=y Q，即AQ⊥y轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.3(2024·北京·高考真题)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点0,t t >2 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点A ,B ，过点A 和C 0,1 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,k ≠0,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t，化简并整理得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.4(2024·天津·高考真题)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32 的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC =12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.5(2023年全国乙卷理科)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率是53，点A -2,0 在C 上．(1)求C方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于P ,Q 两点，直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解解析：(1)由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1．(2)由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y2x 2+22=k x 1+2 +3 x 1+2+k x 2+2 +3 x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +3 16k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段MN 的中点是定点0,3 ．6(2020年高考课标Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【答案】(1)12；(2)C 1:x 236+y 227=1，C 2:y 2=12x ．解析：(1)∵F c ,0 ，AB ⊥x 轴且与椭圆C 1相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x =c ，联立x =c x 2a 2+y 2b 2=1a 2=b 2+c 2，解得x =c y =±b 2a，则AB =2b 2a ，抛物线C 2的方程为y 2=4cx ，联立x =cy 2=4cx ，解得x =cy =±2c，∴CD =4c ，∵CD =43AB ，即4c =8b 23a ，2b 2=3ac ，即2c 2+3ac -2a 2=0，即2e 2+3e -2=0，∵0<e <1，解得e =12，因此，椭圆C 1的离心率为12；(2)由(1)知a =2c ，b =3c ，椭圆C 1的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，联立y 2=4cxx24c2+y 23c 2=1，消去y 并整理得3x 2+16cx -12c 2=0，解得x =23c 或x =-6c (舍去)，由抛物线的定义可得MF =23c +c =5c3=5，解得c =3．因此，曲线C 1的标准方程为x 236+y 227=1，曲线C 2的标准方程为y 2=12x ．7(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，右焦点为F (2,0)，且离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．【答案】解析:(1)由题意，椭圆半焦距c =2且e =c a =63，所以a =3，又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆方程为x 23+y 2=1；(2)由(1)得，曲线为x 2+y 2=1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN :x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN :y =k x -2 即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得2kk 2+1=1，解得k =±1，联立y =±x -2x23+y 2=1 可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以MN =1+1⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=3,所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +b ,kb <0 即kx -y +b =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得bk 2+1=1，所以b 2=k 2+1，联立y =kx +bx 23+y 2=1可得1+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-3=0，所以x 1+x 2=-6kb 1+3k 2,x 1⋅x 2=3b 2-31+3k 2，所以MN =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=1+k2-6kb 1+3k22-4⋅3b 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1b =-2或k =-1b =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．8(2020年高考课标Ⅰ卷)已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E方程；(2)证明：直线CD 过定点．【答案】(1)x 29+y 2=1；(2)证明详见解析．【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ， B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1 ∴AG ⋅GB =a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3x +3 ，即：y =y 09x +3 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3 ，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 ．同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1=6y 0y 02+9--2y 0y 02+1-3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02x -32故直线CD 过定点32,09(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】(1)x 26+y 23=1；(2)详见解析．解析：(1)由题意可得：c a =324a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6,b 2=c 2=3，故椭圆方程为：x 26+y 23=1．(2)设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．因为AM ⊥AN ，∴AM·AN=0，即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0,①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y =kx +m ,如图1．代入椭圆方程消去y 并整理得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2②,根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入①整理可得：k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0将②代入，k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km1+2k2+m -1 2+4=0，整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0,∵A (2,1)不在直线MN 上，∴2k +m -1≠0，∴2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k x -23 -13，所以直线过定点直线过定点E 23,-13．当直线MN 的斜率不存在时，可得N x 1,-y 1 ,如图2．代入x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0得x 1-2 2+1-y 22=0,结合x 216+y 213=1,解得x 1=2舍 ,x 1=23,此时直线MN 过点E 23,-13,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值(AE 长度的一半122-232+1+132=423)．由于A 2,1 ,E 23,-13 ，故由中点坐标公式可得Q 43,13．故存在点Q 43,13，使得|DQ |为定值．10(2022年高考全国乙卷)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 0,-2 ,B 32,-1两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P 1,-2 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)y 24+x 23=1(2)(0,-2)解析：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A 0,-2 ,B 32,-1，则4n =194m +n =1 ，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1．【小问2详解】A (0,-2),B 32,-1，所以AB :y +2=23x ，①若过点P (1,-2)的直线斜率不存在，直线x =1．代入x 23+y 24=1，可得M 1,-263 ，N 1,263 ，代入AB 方程y =23x -2，可得T -6+3,-263 ，由MT =TH 得到H -26+5,-263 ．求得HN 方程：y =2+263x -2，过点(0,-2)．②若过点P (1,-2)的直线斜率存在，设kx -y -(k +2)=0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．联立kx -y -(k +2)=0x 23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2-6k (2+k )x +3k (k +4)=0，可得x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，y 1+y 2=-8(2+k )3k 2+4y 2y 2=4(4+4k -2k 2)3k 2+4，且x 1y 2+x 2y 1=-24k 3k 2+4(*)联立y =y 1y =23x -2,可得T 3y12+3,y 1 ,H (3y 1+6-x 1,y 1).可求得此时HN :y -y 2=y 1-y 23y 1+6-x 1-x 2(x -x 2)，将(0,-2)，代入整理得2(x 1+x 2)-6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1-3y 1y 2-12=0，将(*)代入，得24k +12k 2+96+48k -24k -48-48k +24k 2-36k 2-48=0,显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,-2).11(2020年新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．【答案】(1)x 216+y 212=1；(2)18．解析：(1)由题意可知直线AM 的方程为：y -3=12(x -2)，即x -2y =-4．当y =0时，解得x =-4，所以a =4，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2，3)，可得416+9b 2=1，解得b 2=12．所以C 的方程：x 216+y 212=1．(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x -2y =m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1，可得：3m +2y 2+4y 2=48，化简可得：16y 2+12my +3m 2-48=0，所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：x -2y =8，直线AM 方程为：x -2y =-4，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d =8+41+4=1255，由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=35．所以△AMN 的面积的最大值：12×35×1255=18．12(2020年高考课标Ⅲ卷)已知椭圆C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【答案】(1)x 225+16y 225=1；(2)52．解析：(1)∵C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)∴a =5，b =m ，根据离心率e =ca=1-b a2=1-m 5 2=154，解得m =54或m =-54(舍)，∴C 的方程为：x 225+y 2542=1，即x 225+16y 225=1；(2)不妨设P ,Q 在x 轴上方∵点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设x =6与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，∠PMB =∠QNB =90°，又∵∠PBM +∠QBN =90°，∠BQN +∠QBN =90°，∴∠PBM =∠BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：△PMB ≅△BNQ ，∵x 225+16y 225=1，∴B (5,0)，∴PM =BN =6-5=1，设P 点为(x P ,y P )，可得P 点纵坐标为y P =1，将其代入x 225+16y 225=1，可得：x P 225+1625=1，解得：x P =3或x P =-3，∴P 点为(3,1)或(-3,1)，①当P 点为(3,1)时，故MB =5-3=2，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=2，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,2)，可求得直线AQ 的直线方程为：2x -11y +10=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =2×3-11×1+1022+112=5125=55，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+2-0 2=55，∴△APQ 面积为：12×55×55=52；②当P 点为(-3,1)时，故MB =5+3=8，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=8，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,8)，可求得直线AQ 的直线方程为：8x -11y +40=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =8×-3 -11×1+4082+112=5185=5185，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+8-0 2=185，∴△APQ 面积为：12×185×5185=52，综上所述，△APQ 面积为：52．1313(2023年北京卷)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为53，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，|AC |=4．(1)求E 的方程；(2)设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线y =-2交于点N ．求证：MN ⎳CD ．【答案】(1)x 29+y 24=1(2)证明见解析：(1)依题意，得e =c a =53，则c =53a ，又A ,C 分别为椭圆上下顶点，AC =4，所以2b =4，即b =2，所以a 2-c 2=b 2=4，即a 2-59a 2=49a 2=4，则a 2=9，所以椭圆E 的方程为x 29+y 24=1．(2)因为椭圆E 的方程为x 29+y 24=1，所以A 0,2 ,C 0,-2 ,B -3,0 ,D 3,0 ，因为P 为第一象限E 上的动点，设P m ,n 0<m <3,0<n <2 ，则m 29+n 24=1，易得k BC =0+2-3-0=-23，则直线BC 的方程为y =-23x -2，k PD =n -0m -3=n m -3，则直线PD 的方程为y =n m -3x -3 ，联立y =-23x -2y =n m -3x -3，解得x =33n -2m +63n +2m -6y =-12n 3n +2m -6，即M 33n -2m +6 3n +2m -6,-12n 3n +2m -6，而k PA =n -2m -0=n -2m ，则直线PA 的方程为y =n -2mx +2，令y =-2，则-2=n -2m x +2，解得x =-4m n -2，即N -4mn -2,-2 ，又m 29+n 24=1，则m 2=9-9n 24，8m 2=72-18n 2，所以k MN =-12n3n +2m -6+233n -2m +6 3n +2m -6--4mn-2=-6n +4m -12 n -29n -6m +18 n -2 +4m 3n +2m -6=-6n 2+4mn -8m +249n 2+8m 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +249n 2+72-18n 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +24-9n 2+6mn -12m +36=2-3n 2+2mn -4m +12 3-3n 2+2mn -4m +12 =23，又k CD =0+23-0=23，即k MN =k CD ，显然，MN 与CD 不重合，所以MN ⎳CD ．14(2023年天津卷)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 1,A 2，右焦点为F ，已知A 1F =3,A 2F =1．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A 2P 交y 轴于点Q ，若三角形A 1PQ 的面积是三角形A 2FP 面积的二倍，求直线A 2P 的方程．【答案】(1)椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =12．(2)y =±62x -2 ．解析：(1)如图，由题意得a +c =3a -c =1，解得a =2,c =1，所以b =22-12=3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =c a =12．(2)由题意得，直线A 2P 斜率存在，由椭圆的方程为x 24+y 23=1可得A 22,0 ，设直线A 2P 的方程为y =k x -2 ，联立方程组x 24+y 23=1y =k x -2，消去y 整理得：3+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-12=0，由韦达定理得x A 2⋅x P =16k 2-123+4k 2，所以x P =8k 2-63+4k 2，所以P 8k 2-63+4k 2,--12k3+4k 2，Q 0,-2k ．所以S △A 2QA 1=12×4×y Q ,S △A 2PF =12×1×y P ,S △A 1A 2P =12×4×y P ，所以S △A 2QA 1=S △A 1PQ +S △A 1A 2P =2S △A 2PF +S △A 1A 2P ，所以2y Q =3y P ，即2-2k =3-12k3+4k 2，解得k =±62，所以直线A 2P 的方程为y =±62x -2 ．15(2022高考北京卷)已知椭圆：E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，焦距为23．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (-2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当|MN |=2时，求k 的值．【答案】解析:(1)依题意可得b =1，2c =23，又c 2=a 2-b 2，所以a =2，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)解：依题意过点P -2,1 的直线为y -1=k x +2 ，设B x 1,y 1 、C x 2,y 2 ，不妨令-2≤x 1<x 2≤2，由y -1=k x +2x 24+y 2=1，消去y 整理得1+4k 2 x 2+16k 2+8k x +16k 2+16k =0，所以Δ=16k 2+8k 2-41+4k 2 16k 2+16k >0，解得k <0，所以x 1+x 2=-16k 2+8k 1+4k 2，x 1⋅x 2=16k 2+16k1+4k2，直线AB 的方程为y -1=y 1-1x 1x ，令y =0，解得x M =x 11-y 1，直线AC 的方程为y -1=y 2-1x 2x ，令y =0，解得x N =x 21-y 2，所以MN =x N -x M =x 21-y 2-x 11-y 1=x 21-k x 2+2 +1 -x 11-k x 1+2 +1=x 2-k x 2+2 +x 1k x 1+2=x 2+2 x 1-x 2x 1+2k x 2+2 x 1+2=2x 1-x 2k x 2+2 x 1+2=2，所以x 1-x 2 =k x 2+2 x 1+2 ，即x 1+x 22-4x 1x 2=k x 2x 1+2x 2+x 1 +4即-16k 2+8k 1+4k22-4×16k 2+16k 1+4k 2=k 16k 2+16k 1+4k 2+2-16k 2+8k 1+4k2+4 即81+4k 22k 2+k 2-1+4k 2 k 2+k =k1+4k216k2+16k -216k 2+8k +41+4k 2整理得8-k =4k ，解得k =-416(2022年浙江省高考)如图，已知椭圆x 212+y 2=1．设A ，B 是椭圆上异于P (0,1)的两点，且点Q 0,12 在线段AB 上，直线PA ,PB 分别交直线y =-12x +3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求|CD |的最小值．【答案】解析:(1)设Q (23cos θ,sin θ)是椭圆上任意一点,P (0,1),则|PQ |2=12cos 2θ+(1-sin θ)2=13-11sin 2θ-2sin θ=-11sin θ+111 2+14411≤14411，当且仅当sin θ=-111时取等号，故|PQ |的最大值是121111．(2)设直线AB :y =kx +12,直线AB 方程与椭圆x 212+y 2=1联立,可得k 2+112 x 2+kx -34=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，所以x 1+x 2=-kk 2+112x 1x 2=-34k 2+112 ，因为直线PA :y =y 1-1x 1x +1与直线y =-12x +3交于C ,则x C=4x 1x 1+2y 1-2=4x 1(2k +1)x 1-1,同理可得,x D =4x 2x 2+2y 2-2=4x 2(2k +1)x 2-1．则|CD |=1+14x C -x D =524x 1(2k +1)x 1-1-4x 2(2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)x 1-1 (2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)2x 1x 2-(2k +1)x 1+x 2 +1=352⋅16k 2+13k +1=655⋅16k 2+1916+13k +1≥655×4k ×34+1×123k +1=655，当且仅当k =316时取等号，故CD 的最小值为655．17(2021高考北京)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)一个顶点A (0,-2)，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．【答案】(1)x 25+y 24=1；(2)[-3,-1)∪(1,3]．解析：(1)因为椭圆过A 0,-2 ，故b =2，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故12×2a ×2b =45，即a =5，故椭圆的标准方程为：x 25+y 24=1．(2)设B x 1,y 1 ,C x 2,y 2 ， 因为直线BC 的斜率存在，故x 1x 2≠0，故直线AB :y =y 1+2x 1x -2，令y =-3，则x M =-x1y 1+2，同理x N =-x 2y 2+2直线BC :y =kx -3，由y =kx -34x 2+5y 2=20可得4+5k 2 x 2-30kx +25=0，故Δ=900k 2-1004+5k 2 >0，解得k <-1或k >1．又x 1+x 2=30k 4+5k 2,x 1x 2=254+5k 2，故x 1x 2>0，所以x M x N >0又PM +PN =x M +x N =x 1y 1+2+x 2y 2+2=x1kx1-1+x2kx2-1=2kx1x2-x1+x2k2x1x2-k x1+x2+1=50k4+5k2-30k4+5k225k24+5k2-30k24+5k2+1=5k故5k ≤15即k ≤3，综上，-3≤k<-1或1<k≤3．考点02双曲线及其性质1(2024·全国·高考Ⅱ)已知双曲线C:x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...：过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1，令P n为Q n-1关于y轴的对称点，记P n的坐标为x n,y n .(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意正整数n，S n=S n+1.【答案】(1)x2=3，y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】(1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.当k=12时，过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32，与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0，该点显然在C的左支上.故P23,0，从而x2=3，y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n，与x2-y2=9联立，得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0，由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点，故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理，另一根x=2k y n-kx n1-k2-x n=2ky n-x n-k2x n1-k2，相应的y=k x-x n+y n=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW=c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n=121-k 1+k m -1+k 1-k mx 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k-921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m .这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.2(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为-25,0 ，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上．【答案】(1)x24-y216=1(2)证明见解析．解析：(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由焦点坐标可知c=25，则由e=ca=5可得a=2，b=c2-a2=4，双曲线方程为x24-y216=1．(2)由(1)可得A1-2,0,A22,0，设M x1,y1,N x2,y2，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4，且-12<m<12，与x24-y216=1联立可得4m2-1y2-32my+48=0，且Δ=64(4m2+3)>0，则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1，直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2，直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：x+2 x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1=m⋅484m2-1-2⋅32m4m2-1+2y1m×484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13，由x+2x-2=-13可得x=-1，即x P=-1，据此可得点P在定直线x=-1上运动．3(2022新高考全国II卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±3x．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P x1,y1,Q x2,y2在C上，且．x1>x2>0,y1>0．过P 且斜率为-3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |=|MB |．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)见解析:(1)右焦点为F (2,0)，∴c =2,∵渐近线方程为y =±3x ，∴ba=3，∴b =3a ，∴c 2=a 2+b 2=4a 2=4，∴a =1，∴b =3．∴C 的方程为：x 2-y 23=1；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而x 1=x 2，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零．设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为y =k x -2 ,则条件①M 在AB 上，等价于y 0=k x 0-2 ⇔ky 0=k 2x 0-2 ；两渐近线方程合并为3x 2-y 2=0,联立消去y 并化简整理得：k 2-3 x 2-4k 2x +4k 2=0设A x 3,y 3 ,B x 3,y 4 ,线段中点N x N ,y N ,则x N =x 3+x 42=2k 2k 2-3,y N =k x N -2 =6kk 2-3,设M x 0,y 0 , 则条件③AM =BM 等价于x 0-x 3 2+y 0-y 3 2=x 0-x 4 2+y 0-y 4 2,移项并利用平方差公式整理得：x 3-x 4 2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4 2y 0-y 3+y 4 =0，2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4x 3-x 42y 0-y 3+y 4 =0,即x 0-x N +k y 0-y N =0,即x 0+ky 0=8k 2k 2-3；由题意知直线PM 的斜率为-3, 直线QM 的斜率为3,∴由y 1-y 0=-3x 1-x 0 ,y 2-y 0=3x 2-x 0 ,∴y 1-y 2=-3x 1+x 2-2x 0 ,所以直线PQ 的斜率m =y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2-2x 0 x 1-x 2,直线PM :y =-3x -x 0 +y 0,即y =y 0+3x 0-3x ,代入双曲线的方程3x 2-y 2-3=0,即3x +y 3x -y =3中，得：y 0+3x 0 23x -y 0+3x 0 =3,解得P 的横坐标：x 1=1233y 0+3x 0+y 0+3x 0,。
椭圆历年高考题
椭圆历年高考题(总6页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除椭圆历年高考真题（选填题）1.(2018·全国卷I高考文科·T4)已知椭圆C :+=1的一个焦点为,则C的离心率为()A .B .C .D .2.(2018·全国卷II高考理科·T12)已知F1,F2是椭圆C :+=1(a>b>0)的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A 且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A .B .C .D .3.(2018·全国卷II高考文科·T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C .D .-14.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B是椭圆C:23x+2ym=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0, 3]∪[4,+∞)5.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A. 6B.3C.23D.136.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.63B.33C.23D.137.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.348.(2016·全国卷3·理科·T11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:2222x ya b=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.349.(2016·江苏高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆2222x y+=1a b(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.10.(2015·全国1卷理科·T14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 .椭圆历年高考真题（选填题）参考答案1.(2018·全国卷I高考文科·T4)已知椭圆C:+=1的一个焦点为,则C的离心率为()A.B.C.D.【解析】选C.因为椭圆的一个焦点为(2,0),则c=2,所以a2=b2+c2=8,a=2,所以离心率e=.2.(2018·全国卷II高考理科·T12)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A.B.C.D.【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程和椭圆的性质的应用以及数学运算能力.【解析】选D.由题意直线AP的方程为y=(x+a),△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,所以PF2=2c,∠PF2x=60°,故P(2c,c),代入y=(x+a)得,(2c+a)=c,解得e==.3.(2018·全国卷II高考文科·T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C.D.-1【命题意图】本题考查椭圆的定义和性质的应用,考查了学生的运算和转化能力. 【解析】选D .在直角三角形PF 1F 2中,F 1F 2=2c ,∠PF 2F 1=60°, 所以PF 1=c ,PF 2=c ,又PF 1+PF 2=2a ,所以c +c =2a ,解得e ===-1.4.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B 是椭圆C:23x +2y m =1长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则m 的取值范围是( ) A.(0,1]∪[9,+∞)3∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞)3∪[4,+∞)【命题意图】本题主要考查椭圆的性质,利用椭圆的性质解决相关问题.【解析】选A.当0<m<3时,焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则ab3即3m3,得0<m≤1;当m>3时,焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则a b 3即3m3,得m≥9,故m 的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),故选A. 5.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C: 22x a +22y b=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为 ( ) A.63 B. 33 C.23 D.13【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力. 【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离22a b=a,整理得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2,即22c a =23,e=ca =63. 6.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22x a +22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为 ( )A.6 B.3 C.2 D.13【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力. 【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离d=22ab+=a,整理为a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2,即22c a=23,e=c a =63.7.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34【解析】选B.设椭圆的标准方程为22x a+22y b =1(a>b>0),右焦点F(c,0),则直线l 的方程为x c +yb =1,即bx+cy-bc=0,22bcb c -+=12b,又a 2=b 2+c 2,得b 2c 2=14b 2a 2,所以e=c a =12.8.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T12)与(2016·全国卷3·理科·T11)相同已知O 为坐标原点,F 是椭圆C:2222x y a b+ =1(a>b>0)的左焦点,A,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34【解题指南】点M 是直线AE 和直线BM 的交点,点M 的横坐标和左焦点相同,进而找到a,b,c 的联系. 【解析】选A.由题意可知直线AE 的斜率存在,设为k,直线AE 的方程为y=k ()x a +,令x=0可得点E 坐标为()0,ka ,所以OE 的中点H 坐标为ka 0,2⎛⎫⎪⎝⎭,又右顶点B(a,0),所以可得直线BM 的斜率为-k 2,可设其方程为y=-k 2x+k 2a,联立()y k x a ,k k y x a,22⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩可得点M 横坐标为-a 3,又点M 的横坐标和左焦点相同,所以-a 3=-c,所以e=13.9.(2016·江苏高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F是椭圆2222x y +=1a b (a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .【解题指南】利用k BF ·k CF =-1计算得出离心率的值. 【解析】将直线y=2b与椭圆的方程联立得B 3b a,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,C 3b a,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,F(c,0),则k BF =b 23a c --,k CF =b23a c -, 因为∠BFC=90°,所以k BF ·k CF =b 23a c 2--×b23a c 2-=-1, 整理得b 2=3a 2-4c 2,所以a 2-c 2=3a 2-4c 2,即3c 2=2a 2⇒e=ca =6. 答案:6 10.(2015·全国1卷理科·T14)（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 。
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椭圆题库1、 E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.（1） 当AE AF ⊥时，求AEF ∆的面积； （2） 当3AB =时，求AF BF +的大小； （3） 求EPF ∠的最大值.解：（1）2241282AEF m n S mn m n ∆+=⎧⇒==⎨+=⎩（2）因484AE AF AB AF BF BE BF ⎧+=⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，则 5.AF BF +=（1） 设(22,)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠22132232222223((1663t t t t t t t -=-÷+==≤++， 当6t =3303tan EPF EPF ∠=⇒∠=o 2、 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT （1）求点T 的轨迹C 的方程；（2）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.（1）解 ：设点T 的坐标为).,(y x当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.MF E OyABP x当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=⋅TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a F ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ （2）解：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.当cb a 2≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F 3、 已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程； （Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅（其中O 为原点），求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-by a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由 故C 2的方程为.1322=-y x （II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 ③ ④由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k即 .412>k ① 0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A BA B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA k x x k k x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=k k kk k k k x x k x x k B A B A .0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得 .31151322<>k k 或 ③ 由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或 故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1(Y Y Y ----4、已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2，并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC 中点的横坐标；（3）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，求m 的取值范围.（1）解：由椭圆定义及条件知2a ＝｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10，得a ＝5.又c ＝4， 所以b ＝22c a -＝3．故椭圆方程为252x ＋92y ＝1．（2）解：由点B （4，y B ）在椭圆上，得｜F 2B ｜＝｜y B ｜＝59． 方法一：因为椭圆右准线方程为x ＝425，离心率为54．根据椭圆定义，有｜F 2A ｜＝54（425－x 1），｜F 2C ｜＝54（425－x 2）．由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得 54（425－x 1）＋54（425－x 2）＝2×59． 由此得出x 1＋x 2＝8． 设弦AC 的中点为P （x 0，y 0）， 则x 0＝221x x +＝28＝4．（3）解法一：由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得9x 12＋25y 12＝9×25， ④ 9x 22＋25y 22＝9×25． ⑤由④－⑤得9（x 12－x 22）＋25（y 12－y 22）＝0，即9（221x x +）＋25（221y y +）（2121x x y y --）＝0（x 1≠x 2）.将221x x +＝x 0=4，221y y +＝y 0，2121x x y y --＝－k1（k ≠0）代入上式，得9×4＋25y 0（－k 1）＝0（k ≠0）．由上式得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）.由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得y 0＝4k ＋m ，所以m ＝y 0－4k ＝y 0－925y 0＝－916y 0．由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称）的内部，得－59＜y 0＜59.所以－516＜m ＜516．5、 设x 、y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量，若向量a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8.（1）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程.（2）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设=+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.（1）解：∵a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8， ∴点M （x ，y ）到两个定点F 1（0，－2），F 2（0，2）的距离之和为8.∴轨迹C 为以F 1、F 2为焦点的椭圆，方程为122x +162y =1.（2）∵l 过y 轴上的点（0，3），若直线l 是y 轴，则A 、B 两点是椭圆的顶点.∵=+=0，∴P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾.∴直线l 的斜率存在.设l 方程为y =kx +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y =kx +3，122x +162y =1， （－21）＞0恒成立，且x 1+x 2=－23418k k +，x 1x 2=－23421k +. ∵OP =OA +OB ，∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA ⊥OB ，即·=0.∵=（x 1，y 1），=（x 2，y 2）， ∴·=x 1x 2+y 1y 2=0， 即（1+k 2）x 1x 2+3k （x 1+x 2）+9=0， 即（1+k 2）·（－23421k +）+3k ·（－23418k k +）+9=0，即k2=165，得k =±45. ∴存在直线l ：y =±45x +3，使得四边形OAPB 是矩形. 6、 设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围. 解：（Ⅰ）：易知2,1,a b c ===由 消y 得（4+3k 2）x 2+18kx －21=0.此时，Δ=（18k 2）－4（4+3k 2）所以())12,F F ，设(),P x y ，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-u u u r u u u u r()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r有最小值2-当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r 有最大值1（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭∴12122243,1144k x x x x k k +=-⋅=++由()2214434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得：k <或k > 又00090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅>u u u r u u u r∴12120OA OB x x y y ⋅=+>u u u r u u u r又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22223841144k k k k -=++++22114k k -+=+ ∵2223101144k k k -++>++，即24k < ∴22k -<<故由①、②得22k -<<-或22k << 7、 如图，直线y ＝kx ＋b 与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S ． (I)求在k ＝0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值； （Ⅱ)当｜AB ｜＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程．(I)解：设点A 的坐标为(1(,)x b ，点B 的坐标为2(,)x b ，由2214x y +=，解得1,2x =±所以22121||2112S b x x b b =-=≤+-=当且仅当2b =时，．S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8440k x kbx b +++-=2216(41)k b ∆=-+ ①｜AB12|2x x -== ② 又因为O 到AB的距离21||Sd AB === 所以221b k =+ ③ ③代入②并整理，得424410k k -+= 解得，2213,22k b ==，代入①式检验，△＞0 故直线AB 的方程是y x =或y x =y x =y x =- 8、 已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e ． 直线,l ：y ＝ex ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ．（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2； （Ⅱ）若43=λ，△MF 1F 2的周长为6；写出椭圆C 的方程；（理科无此问） （Ⅲ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形．（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c a b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由．所以点M 的坐标是（a b c 2,-）． 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得．（Ⅱ）当43=λ时，21=c ，所以.2c a = 由△MF 1F 2的周长为6，得.622=+c a所以.3,1,2222=-===c a b c a 椭圆方程为.13422=+y x （Ⅲ）因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e e e =+- 所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形． 9、 如图,椭圆2222:1(0)x y Q a b a b+=>>的右焦点为(,0)F c ,过点F 的一动直线m 绕点F转动,并且交椭圆于A 、B 两点, P 为线段AB 的中点． (1) 求点P 的轨迹H 的方程;(2) 若在Q 的方程中,令221cos sin ,sin (0).2a b πθθθθ=++=≤<确定θ的值,使原点距椭圆Q 的右准线l 最远．此时设l 与x 轴交点为D ,当直线m 绕点F 转动到什么位置时,三角形ABD 的面积最大?解：如图(1)设椭圆2222:1x y Q a b+=上的点1,1()A x y 、2,2()B x y ,又设P 点坐标为(,)P x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩………………① 1︒ 当AB 不垂直x 轴时，12,x x ≠由①—②得22121221221222222()2()20,,0,(*)b x x x a y y y y y b x y x x a y x cb x a y b cx -+-=-∴=-=--∴+-=L L L L2︒当 AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（*）． 故所求点P 的轨迹H 的方程为： 222220b x a y b cx +-=．(2)因为,椭圆Q 右准线l 方程是2a x c =,原点距椭圆Q 的右准线l 的距离为2a c ,222222,1cos sin ,sin (0).22sin().24c a b a b a c πθθθθθπ=-=++=≤==+由于则<2πθ=当时,上式达到最大值,所以当2πθ=时,原点距椭圆Q 的右准线l 最远．此时222,1,1,(2,0),1a b c D DF ====．设椭圆 22:121x y Q +=上的点1,1()A x y 、2,2()B x y , △ABD 的面积1212111.222S y y y y =+=- 设直线m 的方程为1x ky =+,代入22121x y +=中,得22(2)210.k y ky ++-= 由韦达定理得12122221,,22k y y y y k k+=-=-++ ()()222212121222814()()4,2k S y y y y y y k +=-=+-=+ 令211t k =+≥,得28424tS t≤=,当1,0t k ==取等号． 因此,当直线m 绕点F 转动到垂直x 轴位置时, 三角形ABD 的面积最大．………………②10、 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程． ∴椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+22y =1．10设A 、B 分别为椭圆22221x x a b+=（,0a b >）的左、右顶点，椭圆长半轴．．．的长等于焦距，且4x =为它的右准线。
2024全国高考真题数学汇编：椭圆(1)精选全文完整版
2024全国高考真题数学汇编椭圆一、单选题1．（2024全国高考真题）已知曲线C ：2216x y （0y ），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y（0y ）B ．221168x y （0y ）C ．221164y x （0y ）D ．221168y x （0y ）二、解答题2．（2024天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b椭圆的离心率12e ．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △(1)求椭圆方程．(2)过点30,2的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．3．（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 222210x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．4．（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆2222:1(0)x yC a b a b上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．5．（2024全国高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的右焦点为F ，点31,2M 在C 上，且MF x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点 4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y 轴．参考答案1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x ，因为M 为PP 的中点，所以02y y ，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y 上，所以22416(0)x y y ，即221(0)164x y y ，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y .故选：A2．(1)221129x y (2)存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx， 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ，再根据0TP TQ 可求t 的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e，故2a c，b ，其中c 为半焦距，所以2,0,0,,0,2A c B C，故122ABC S c △故ca ，3b ，故椭圆方程为：221129x y .（2）若过点30,2的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx ，设 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx可得223412270k x kx ，故 222Δ144108343245760k k k 且1212221227,,3434k x x x x k k而 1122,,,TP x y t TQ x y t，故121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t22121233122kx x k t x x t22222731231342342k k k t t kk2222222327271812332234k k k t t t k k22223321245327234t t k t k，因为0TP TQ 恒成立，故 223212450332702t t t，解得332t .若过点30,2的动直线的斜率不存在，则 0,3,0,3P Q 或 0,3,0,3P Q ，此时需33t ，两者结合可得332t.综上，存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.3．(1)221,422x y e(2)2t 【分析】（1）由题意得b c a ，由此即可得解；（2）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k ，而 121112:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1）由题意b c，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y，离心率为e；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t，化简并整理得222124240k x ktx t ，由题意 222222Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，所以2121222424,1221kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 121112:y y AD y x x y x x，在直线AD 方程中令0x ，得 2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，所以2t ，此时k 应满足222424200k t k k，即k应满足2k或2k ，综上所述，2t满足题意，此时2k或2k .4．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】（1）由题意得2239941b a b，解得22912b a ，所以12e .（2）法一：3312032APk，则直线AP 的方程为132y x ，即260x y ，AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为d，则d则将直线AP 沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y，解得03x y 或332x y ，即 0,3B 或33,2，当 0,3B 时，此时32l k，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当33,2B时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，当18C 时，联立2211292180x y x y得22271170y y ，227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP 的距离d设 00,B x y，则220012551129x y，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d设,3sin B ，其中 0,2联立22cos sin 1，解得cos 21sin 2或cos 0sin 1，即 0,3B 或33,2，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，16392PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，联立椭圆方程有2231129y kx x y，则2243240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，解得0x 或22443kx k，0k ，12k ，令22443k x k ，则2212943k y k ，则22224129,4343k k B k k同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d，解得32k =，此时33,2B，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x，令 1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y，消y 可得 22224324123636270k x k k x k k ，2222Δ24124433636270k kk k k ，且AP k k ，即12k ，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k，A 到直线PB距离192PAB d S，12k或32，均满足题意，1:2l y x 或332y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(2l y k x，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k，联立223323436y kx k x y，则有2223348336362702k x k k x k k ，2223348336362702k xk k x k k，其中22223Δ8343436362702k k k k k，且12k ，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k，则211312183922234P B k S AQ x x k k，解的12k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x或332y x ，即3260x y 或20x y .5．(1)22143x y (2)证明见解析【分析】（1）设 ,0F c ，根据M 的坐标及MF x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y ，结合韦达定理化简前者可得10Q y y ，故可证AQ y 轴.【详解】（1）设 ,0F c ，由题设有1c 且232b a ，故2132a a ，故2a，故b ，故椭圆方程为22143x y .（2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y，由223412(4)x y y k x 可得 2222343264120k x k x k ，故 422Δ102443464120k k k ，故1122k ，又22121222326412,3434k k x x x x k k ，而5,02N，故直线225:522y BN y x x ，故22223325252Qy y y x x，所以 1222112225332525Q y x y y y y y x x12224253425k x x k x x222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x2222212824160243234025k k k k k x ，故1Q y y ，即AQ y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x 、12x x （或12y y 、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(椭圆)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（椭圆）练习一. 基础小题练透篇1.已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段2．[2023ꞏ山西省忻州市高三联考]“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.[2023ꞏ重庆市高三模拟]几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族．点Q 是椭圆族T 上任意一点，如图所示，椭圆族T 的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点O ；③过定点P ()0，3 ，则||QP ＋||QO 的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．114．[2023ꞏ四川省遂宁市模拟]已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12 ，则( ) A ．a 2＝2b 2 B ．3a 2＝4b 2 C ．a ＝2b D ．3a ＝4b5．[2023ꞏ甘肃省张掖市高三检测]已知椭圆x 2＋y 2b 2 ＝1(1>b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是椭圆上一点，点A 是线段F 1F 2上一点，且∠F 1MF 2＝2∠F 1MA ＝2π3 ，|MA |＝32 ，则该椭圆的离心率为( )A ．3B ．12C ．223D ．36．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3 )，B (0，－3 )，动点M 满足|MA |＋|MB |＝4，则MA → ꞏMB →的最大值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．27．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，过点(322 ，2)且离心率为13 ，则椭圆C 的焦距为________． 8．[2023ꞏ陕西省西安市模拟]椭圆x 29 ＋y 23 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ陕西省安康市高三联考]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215 ＝1(a >15 )的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°.||PF 1 ＝5||PF 2 ，则C 的方程为( )A ．x 221 ＋y 215 ＝1B ．x 218 ＋y 215 ＝1C ．x 236 ＋y 215 ＝1 D ．x 242 ＋y 215 ＝12．[2023ꞏ广西贵港市高三联考]若2<m <8，椭圆C ：x 2m ＋y 22 ＝1与椭圆D ：x 2m ＋y 28 ＝1的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．e 1ꞏe 2的最小值为32B ．e 1ꞏe 2的最小值为12C ．e 1ꞏe 2的最大值为3D ．e 1ꞏe 2的最大值为123．[2023ꞏ江西名校联盟模拟]在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A.22 B ．12 C ．13 D ．144．[2023ꞏ陕西省西安市高三检测]设椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1()a >b >0 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足F A → ꞏFB →＝0，||FB ≤||F A ≤2||FB ，则椭圆C 的离心率的最大值是( )A ．13B ．33C ．23D ．535．[2023ꞏ陕西省咸阳市摸底]已知椭圆C ：x 2m 2－1＋y 2m 2 ＝1(m ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且△PF 1F 2面积的最大值为3 ，则椭圆C 的短轴长为________．6．[2023ꞏ福建省高三联考]抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F ，点P ()3，2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为________．三. 高考小题重现篇1.[2021ꞏ山东卷]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29 ＋y 24 ＝1的两个焦点，点M 在C 上，则||MF 1 ꞏ||MF 2 的最大值为( )A ．13 B. 12 C ．9 D. 62．[全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22 D ．2233．[2022ꞏ全国甲卷]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为13 ，A 1，A 2分别为C的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA → 1ꞏBA →2＝－1，则C 的方程为( )A ．x 218 ＋y 216 ＝1B ．x 29 ＋y 28 ＝1C ．x 23 ＋y 22 ＝1 D ．x 22 ＋y 2＝14．[2022ꞏ全国甲卷]椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A．32B．22C．12D．135．[2019ꞏ全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．6．[2021ꞏ全国甲卷]已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．四. 经典大题强化篇1.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝5，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．2．[2022ꞏ湖北武汉调研]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 2．答案：B答案解析：当m >0时方程x 24 ＋y 2m ＝1不一定表示椭圆，如m ＝4时方程x 24 ＋y 24＝1，即x 2＋y 2＝4就表示一个圆，所以“m >0”不是“方程x 24 ＋y2m＝1表示椭圆”的充分条件；但是当方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆时，应有m >0，所以“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m＝1表示椭圆”的必要条件，故选B. 3．答案：A答案解析：如图所示设点Q 所在椭圆的另一焦点为F ，则||QP ＋||QO ＝||QP ＋4－||QF ≤||PF ＋4＝4－||PO ＋4＝5. 故选A. 4．答案：B答案解析：椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2，故选B.5．答案：B答案解析：设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝2a ＝2，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos 2π3，即4c 2＝r 21 ＋r 22 ＋r 1r 2＝（r 1＋r 2）2－r 1r 2＝4－r 1r 2，所以r 1r 2＝4－4c 2，因为S △F 1MF 2＝S △F 1MA ＋S △AMF 2，所以12 r 1r 2sin 23 π＝12 r 1·|MA |·sin π3 ＋12 r 2·|MA |·sin π3，整理得r 1r 2＝（r 1＋r 2）·|MA |，即4－4c 2＝2×32 ，整理得c 2＝14，所以c ＝12 ，a ＝1，e ＝c a ＝12.故选B. 6．答案：C答案解析：易知M 的轨迹为椭圆，其方程为y 24＋x 2＝1，设M （x ，y ），则x 2＝1－y 24，∴MA → ·MB → ＝（－x ，3 －y ）·（－x ，－3 －y ）＝x 2＋y 2－3＝y 2＋（1－y 24）－3＝3y24－2， 因为y ∈[－2，2]，所以34y 2∈[0，3]，即3y24 －2∈[－2，1]，∴（MA → ·MB →）max ＝1. 7．答案：2答案解析：设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1，由离心率为13 可得c a ＝13，由a 2＝b 2＋c 2可得b 2a 2＝89 ，又92a 2 ＋4b 2 ＝1，解得a 2＝9，b 2＝8，c ＝1，焦距为2. 8．答案：5答案解析：由题得c ＝6 ，由题得PF 2⊥x 轴，当x ＝6 时，69＋y 23 ＝1，所以y ＝±1，∴|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝2×3－|PF 2|＝6－1＝5， 所以|PF 1|是|PF 2|的5倍．二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：在椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215＝1（a >15 ）中，由椭圆的定义可得||PF 1 ＋||PF 2 ＝2a ，因为||PF 1 ＝5||PF 2 ，所以||PF 2 ＝a 3，||PF 1 ＝5a3，在△PF 1F 2中，||F 1F 2 ＝2c ，由余弦定理得||F 1F 2 2＝||PF 1 2＋||PF 2 2－2||PF 1 ||PF 2 cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝25a 29 ＋a29－5a 29 ＝21a 29 ，所以c 2a 2 ＝2136 ，又b 2＝15.所以a 2＝36，所以椭圆C 的方程为x 236 ＋y 215 ＝1. 故选C. 2．答案：D答案解析：因为2<m <8，所以e 1＝ 1－2m ，e 2＝ 1－m8，所以e 1·e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 8 ＝1＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m 8 ≤54－22m ·m 8 ＝12， 当且仅当m ＝4时，等号成立，故e 1·e 2的最大值为12，e 1·e 2无最小值．故选D.3．答案：C答案解析：不妨设点P 在x 轴上方，如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得∠PBF ＝∠QBF ，∠EAB ＝∠EBA ，所以∠EAB ＝∠QBF ，所以ME ∥BQ ，所以|PE ||EB | ＝|PM ||MQ | .因为OE ∥PF ，所以|OF ||OB |＝|EP ||EB | ，从而有|PM ||MQ | ＝|OF ||OB | .又M 是线段PF 的中点，所以e ＝c a ＝|OF ||OB | ＝|PM ||MQ | ＝13 . 4．答案：D答案解析：如图所示：设椭圆的左焦点F ′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又FA → ·FB →＝0，即FA ⊥FB ， 所以平行四边形AFBF ′为矩形，所以||AB ＝||FF ′ ＝2c ，设||AF ′ ＝|BF |＝n ，||AF ＝m, 在直角△ABF 中，m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，得mn ＝2b 2，所以m n＋n m ＝2c 2b 2 ，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c2b 2 ，又由||FB ≤||FA ≤2||FB ，得m n ＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 ，所以c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 ，即b 2a 2 ＝11＋c 2b2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 ， 所以e ＝ca＝1－b 2a 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 ，所以离心率最大值为53 .故选D.5．答案：23答案解析：由椭圆的方程可知，椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，且|F 1F 2|＝2m 2－（m 2－1） ＝2，由题意可知，当点P 为椭圆C 左右顶点时，△PF 1F 2的面积最大，且12 |F 1F 2|m 2－1 ＝3 ，解得m ＝2，所以椭圆C 的短轴长为2m 2－1 ＝23 .6．答案：22答案解析：抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F （1，0），根据题意2c ＝（3－1）2＋（2－0）2＝22 ，c ＝2 .设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x ＝－1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a ＝||QF ＋||QP 2 ＝d ＋||QP 2 ≥3－（－1）2＝2， 当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e ＝ca ＝22. 三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由题，a 2＝9，b 2＝4，则||MF 1 ＋||MF 2 ＝2a ＝6，所以||MF 1 ·||MF 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫||MF 1＋||MF 22 2＝9（当且仅当||MF 1 ＝||MF 2 ＝3时，等号成立）.2．答案：C答案解析：由题意可知c ＝2，b 2＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝4＋22＝8，则a ＝22 ，∴e ＝c a ＝222 ＝22 . 3．答案：B答案解析：由椭圆C 的离心率为13 ，可得e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝13.化简，得8a 2＝9b 2.易知A 1（－a ，0），A 2（a ，0），B （0，b ），所以BA 1·BA 2＝（－a ，－b ）·（a ，－b ）＝－a 2＋b 2＝－1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝9b 2，－a 2＋b 2＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝8. 所以C 的方程为x 29 ＋y 28 ＝1.故选B.4．答案：A答案解析：A ()－a ，0 ，设P ()x 1，y 1 ，则Q ()－x 1，y 1 ，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a， 故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21 －x 21 ＋a 2 ＝14， 又x 21 a2 ＋y 21 b2 ＝1，则y 21 ＝b 2()a 2－x 21 a 2， 所以b 2()a 2－x 21 a 2－x 21 ＋a2 ＝14 ，即b 2a 2 ＝14 ， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2 ＝32 .故选A. 5．答案：（3，15 ）答案解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20 ＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为（3，15 ）.6．答案：8答案解析：根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋（8－m ）2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4（a 2－b 2）＝48，得m （8－m ）＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m （8－m ）＝8.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）由已知得b ＝4，且c a ＝55 ，即c 2a 2 ＝15，∴a 2－b 2a 2 ＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220 ＋y 216＝1. 则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. （2）椭圆右焦点F 的坐标为（2，0），设线段MN 的中点为Q （x 0，y 0），由三角形重心的性质知BF → ＝2FQ →， 又B （0，4），∴（2，－4）＝2（x 0－2，y 0）， 故得x 0＝3，y 0＝－2， 即Q 的坐标为（3，－2）. 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 21 20 ＋y 21 16 ＝1，x 22 20 ＋y 2216＝1， 以上两式相减得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝－45 ·x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－45 ×6－4 ＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65（x －3），即6x －5y －28＝0.2．答案解析：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2 ，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y22＝1， 得（1＋2k 2）x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.Δ＝24k 2＋16>0恒成立． 设点M ，N 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则y 1＝k （x 1－1），y 2＝k （x 2－1），x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2 ，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2 ，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2. 又点A （2，0）到直线y ＝k （x －1）的距离d ＝|k |1＋k2 ，所以△AMN的面积S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，由|k|4＋6k21＋2k2＝103，得k＝±1.所以当△AMN的面积为103时，k＝±1.。
专题12 椭圆-2023年高考数学真题题源解密(新高考)(原卷版)
专题12 椭圆目录一览2023真题展现考向一 椭圆的性质考向二 直线与椭圆相交问题真题考查解读近年真题对比考向一 椭圆的性质考向二 直线与椭圆相交问题命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一 椭圆的性质1．（2023•新高考Ⅰ•第5题）设椭圆C 1：x 2a 2+y 2＝1（a ＞1），C 2：x24+y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2．若e 2=1，则a ＝（ ）A B C D 考向二 直线与椭圆相交问题2．（2023•新高考Ⅱ•第5题）已知椭圆C ：x 23+y 2=1的左焦点和右焦点分别为F 1和F 2，直线y ＝x +m 与C 交于点A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的两倍，则m ＝（ ）A ．23B C ．D ．−23【命题意图】考查椭圆的定义、标准方程、几何性质、直线与椭圆．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【考查要点】椭圆的定义、方程、性质、直线与椭圆是高考常考内容，以小题形式出现，常规题，难度中等．【得分要点】一、椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(2)常数(2a )必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．①若1212||||||MF MF F F +=，M 的轨迹为线段21F F ；②若1212||||||MF MF F F +<，M 的轨迹无图形二、椭圆的方程及简单几何性质x 2y 2y 2x 2椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．以椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)椭圆的定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a .(2)余弦定理：4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.(3)面积公式：S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值，为bc .重要结论：S △PF 1F 2=2tan2b θ推导过程：由余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ得2224||+||-2||||(1cos 121c PF PF PF PF θ=+（））2212442||||(1cos )c a PF PF θ=-+2122||||1cos b PF PF θ=+由三角形的面积公式可得S △PF 1F 2=121|PF ||PF |sin 2θ=222222sincos12sin 22sin tan 21cos 1cos 2cos 2b b b b θθθθθθθθ⋅⋅===++注：S △PF 1F 2=2tan2b θ=||p y c =r c a )(+（r 是三角形内切圆的半径）(4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．(5)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b 中,F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意的一点，当点P 在短轴端点时，12F PF ∠最大.四、点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2>1.五、直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系，判断方法：联立{y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b 2＝1，消y 得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．六、直线与椭圆相交的弦长公式1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．2．求弦长的方法(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．(2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k ，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则弦长公式为：|AB |考向一 椭圆的性质3．（2021•新高考Ⅰ）已知F 1，F 2是椭圆C ：+＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|•|MF 2|的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．64．（2022•新高考Ⅱ）已知直线l 与椭圆+＝1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于M，N 两点，且|MA |＝|NB |，|MN |＝2，则l 的方程为 ．考向二 直线与椭圆相交问题5．（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0），C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是 ．根据近几年考查形式推测以小题形式出现，常规题，难度中等．椭圆的定义、方程、性质、直线与椭圆是高考常考内容。
椭圆历年高考题
解得 e= = = -1.
4.(2017·全国乙卷文科·T12)设 A,B 是椭圆 C: x2 + y2 =1 长轴的两个端点,若 C 上存在点 M 满足 3m
A.
B.
C.
D.
3.(2018·全国卷 II 高考文科·T11)已知 F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点,P 是 C 上的一点,若 PF1⊥PF2,且 ∠PF2F1=60°,则 C 的离心率为( )
C.
4.(2017·全国乙卷文科·T12)设 A,B 是椭圆 C: x2 + y2 =1 长轴的两个端点,若 C 上存在点 M 满足 3m
6
A.
3
3
B.
3
2
1
C.
D.
3
3
7.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其
短轴长的 ,则该椭圆的离心率为( )
1
1
A. 3
B. 2
2
3
C. 3
D. 4
8.(2016·全国
卷
3·理
科·T11)已知
O
为坐
标原点,F是椭圆C:x2 a2
y2 b2
即
a2=3(a2-c2)?2a2=3c2,即
c2 a2
=
2 3
,e=
c a
=
6
.
3
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习高中数学-椭圆常考题型汇总及练第一部分：复运用的知识一）椭圆几何性质椭圆的第一定义是：平面内与两定点F1、F2距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。
两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。
椭圆的几何性质以x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1为例：范围由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式2≤x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤1，即abx≤a，y≤b。
这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里（封闭曲线）。
该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题。
椭圆还有以下对称性：关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
椭圆的顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)。
长轴为A1A2，长度为2a；短轴为B1B2，长度为2b。
椭圆的离心率e有以下几个性质：（1）椭圆焦距与长轴的比e=c/a，其中c为焦距；（2）a^2=b^2+c^2，即a是长半轴长，b是短半轴长；（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关。
当e接近于1时，椭圆越扁；当e接近于0时，椭圆越接近圆。
椭圆还有通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）和焦点三角形等性质。
二）运用的知识点及公式在解题过程中，我们需要掌握以下知识点和公式：1、两条直线.2、XXX定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的根x1,x2，则2bc/(a(x1+x2))=-1，x1+x2=-b/a。
1.中点坐标公式：对于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，它们的中点坐标为(x,y)，其中x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.2.弦长公式：如果点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在直线y=kx+b(k≠0)上，则y1=kx1+b，y2=kx2+b。
十年高考分类汇编椭圆带答案
椭圆定义1、已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆错误!＋y 2＝1上,顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（A )2错误! （B ）6 （C ）4错误! （D ）12选C2、已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点,若2212F A F B +=，则AB = ．答案:83、椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =,则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 。
2,120︒4、已知椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为33，过F 2的直线l 交C 与A,B 两点,若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（ ）A 。
22132x y += B. 2213x y += C 。
221128x y += D 。
221124x y +=5、椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则||2PF =( C ）A ．23 B ．3C ．27 D ．46、已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ A ）A ．3332 B ．32C ．22D ．23 7、设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上的点21212,30PF F F PF F ⊥∠=︒,则C 的离心率为 ( ）A ．B ．C ．D ．【答案】D8、设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ，,过2F 作x 轴的垂线与C 交于 B A ，两点，B F 1与y 轴交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________.9、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（D ） （2 （21-22 （D 21 10、在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆192522=+y x 上,则sin sin sin A CB+= 5/4 。
椭圆历年高考题精选
5..（2009北京理）椭圆的焦点为，点在
椭圆上，若，则_________；的小大为__________.
6..（2009江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为.
23．(2008全国Ⅰ卷理)在 中， ， ．若以 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆的离心率 ．
24.（2008浙江文、理）已知F1、F2为椭圆 的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点。若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8。
15.(2008上海理)某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是
18.（2008浙江理）如图，AB是平面 的斜线段，A为斜足，若点P在平面 内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是A圆B椭圆 C一条直线（D）两条平行直线
19、(2008海南、宁夏文)过椭圆 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A.B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为_______ _______
30.（05广东5）若焦点在轴上的椭圆 的离心率为 ，则m=
31．(06天津文8)椭圆的中心为点 ，它的一个焦点为 ，相应于焦点 的准线方程为 ，则这个椭圆的方程是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
32．（06全国Ⅱ理5）已知 的顶点B、C在椭圆 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则 的周长是
椭圆高考题汇编
椭圆高考题汇编1．（2019全国I 理10）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 2.（2019全国II 理21（1））已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；3.（2019北京理4）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，则（A ）22.2a b =（B ）22.34a b=（C ）2a b=（D ）34a b=4.（2019全国III 理15）设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆22221(0)+=>>：x y C a b a b的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 且斜率为6的直线上，12△PF F 为等腰三角形，12120∠=︒F F P ，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．142．(2018上海)设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2017浙江）椭圆22194x y +=的离心率是A ．B C ．23D ．594．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．3 B ．3 C ．3 D ．135．(2016年全国III)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．346．(2016年浙江)已知椭圆1C ：2221x y m +=(1m >)与双曲线2C ：2221x y n-=(0n >)的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C ．m n <且121e e >D ．m n <且121e e <7．(2014福建)设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是 A ．25 B ．246+ C ．27+ D ．268．（2013新课标1）已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝19．(2012新课标)设1F 、2F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，P 为直线23a x =上一点，12PF F ∆ 是底角为o 30的等腰三角形，则E 的离心率为A 、21B 、32 C 、43 D 、54 二、填空题10．(2018浙江)已知点(0,1)P ，椭圆224x y m +=(1m >)上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大．11．(2018北京)已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．12．(2016江苏省)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是 ．13．（2015新课标1）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 的正半轴上，则该圆的标准方程为_________．14．（2014江西）过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ．15．（2014辽宁）已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += ．16．（2014江西）设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于B A ，两点，B F 1与y 轴相交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________．17．（2014安徽）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为_____．18．（2013福建）椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2．若直线)y x c +与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于19．（2012江西）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ，左、右焦点分别是12,F F ．若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．20．（2011浙江）设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =；则点A 的坐标是 ． 三、解答题21．（2018全国卷Ⅰ）设椭圆:C 2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．22．（2018全国卷Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：22143x y +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >．(1)证明：12k <-； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：||FA ，||FP ，||FB 成等差数列，并求该数列的公差．23．(2018天津)设椭圆22221x x a b+=(0a b >>)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3，点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅= (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值．24．（2017新课标Ⅰ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，33(1,)2P =-，43(1,)2P =中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．25．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．26．（2017江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．27．（2017天津）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD △AP 的方程． 28．（2017山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）如图，动直线l：1y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T ．求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．x29．(2016年北京)已知椭圆C ：22221(0)x y a ba b+=>>(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．30．(2015新课标2）已知椭圆C ：2229x y m +=(0m >)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．31．（2015北京）已知椭圆C ：()222210x y a b ab+=>>，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．32．（2015安徽）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为10． （Ⅰ）求E 的离心率e ；（Ⅱ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．33．（2015山东）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>焦点分别是1F 、2F ．以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222144x y a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m 交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．( i )求||||OQ OP 的值； （ii ）求△ABQ 面积的最大值．34． (2014新课标1) 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点． （Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．35．(2014浙江)如图，设椭圆(),01:2222>>=+b a by a x C 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．（Ⅰ）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标；（Ⅱ）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -．36．（2014新课标2）设1F ，2F 分别是椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>的左，右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求,a b ．37．（2014安徽）设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =（Ⅰ）若2||4,AB ABF =∆的周长为16，求2||AF ； （Ⅱ）若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率． 38．（2014山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a ba b+=>>，直线y x=被椭圆C ． （Ｉ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．(ⅰ)设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值； (ⅱ)求OMN ∆面积的最大值．39．（2014湖南）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． （Ｉ）求12,C C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论．40．（2014四川）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）； （ii ）当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标． 41．（2013安徽）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点23)P ，．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ．取点(0,22)A ,连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．42．（2013湖北）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．43． (2013天津)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，， 过点F 且与x 轴垂直的直(Ⅰ) 求椭圆的方程；(Ⅱ) 设A ， B 分别为椭圆的左、右顶点， 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点． 若··8AC DB AD CB +=， 求k 的值．44．（2013山东）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF ．设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(),0M m ，求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，若0k ≠，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值． 45．（2012北京）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A，离心率为．直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M ,N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当△AMN得面积为3时，求k 的值． 46．（2013安徽）如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22by =1（0>>b a ）的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶第20题图点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a , b 的值．47．（2012广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =椭圆C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y += 相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由． 48．（2011陕西）设椭圆C: ()222210x y a b a b +=>>过点（0，4），离心率为35（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标． 49．（2011山东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=．如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -．（Ⅰ）求22m k +的最小值；（Ⅱ）若2OG OD =∙OE ，（i ）求证：直线l 过定点；（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由．50．（2010新课标）设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b=1（01b <<）的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列． （Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值．51．（2010辽宁）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ，2AF FB =． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）如果|AB |=154，求椭圆C 的方程．。
高考数学试题椭圆专题汇编
第十章 圆锥曲线与方程第一节 椭 圆高考试题考点一 椭圆的定义及应用1.(2009年北京卷,理12)椭圆22192x y +=的焦点为F 1、F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,∠F 1PF 2的大小为 .解析:由椭圆方程22192x y +=可知a 2=9,b 2=2,∴c 2由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=6, 由|PF 1|=4,得|PF 2|=2.在△PF 1F 2中,由余弦定理的推论有 cos ∠F 1PF 2=2221212122PF PF F F PF PF +-=224228242+-⨯⨯=-12. ∴∠F 1PF 2=120°. 答案:2 120°2.(2012年四川卷,理15)椭圆22143x y +=的左焦点为F,直线x=m 与椭圆相交于点A 、B,当△FAB 的周长最大时,△FAB 的面积是 .解析:由椭圆定义可知,当直线x=m 过椭圆右焦点(1,0)时,△FAB 的周长最大. 由椭圆方程22143x y +=知a=2,c=1. 当x=1时,由21143y +=, 得y=±32. ∴S △FAB =12×(2×32)×(1+1)=3. 答案:33.(2009年上海卷,理9)已知F 1、F 2是椭圆C: 22221x y a b+= (a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且12PF PF ⊥,若△PF 1F 2的面积为9,则b= .解析:由题意可知,1212PF PF =9,①2221212PF PF F F +==(2c)2,②由椭圆定义可知,|PF 1|+|PF 2|=2a,③ 联立①②③解得a 2-c 2=9,即b 2=9,∴b=3.答案:3考点二 椭圆的方程及其简单性质应用1.(2013年新课标全国卷Ⅰ,理10)已知椭圆E:22221x y a b += (a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交E 于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为( ) (A)2214536x y += (B)2213627x y += (C)2212718x y += (D)221189x y += 解析:已知椭圆与直线相交弦的中点及斜率,可以用两点式求解. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点D(1,-1), 则k AB =12, x 1+x 2=2,y 1+y 2=-2,2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得:()()12122x x x x a-++()()12122y y y y b -+=0,即1212y y x x --=-()()212212b x x a y y ++,即12=22b a , ∴a 2=2b 2.又因c=3,所以b 2=9,a 2=18,椭圆方程为221189x y +=.故选D. 答案:D2.(2011年新课标全国卷,理14)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1、F 2在x 轴上,离心,过F 1的直线l 交C 于A 、B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C 的方程为 .解析:设椭圆标准方程为22221x y a b += (a>b>0), 由题意知|BA|+|BF 2|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|+|AF 1|+|AF 2|=4a=16, ∴a=4, 由e=ca得 ∴b 2=a 2-c 2=8,∴椭圆标准方程为221168x y +=.答案:221 168x y+=3.(2011年江西卷,理14)若椭圆22221x ya b+=的焦点在x轴上,过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A、B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是.解析:设点D1 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,由平面几何知识易知,AB⊥OD,∴k AB=-2.设AB方程为y=-2x+m.又过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭作圆x2+y2=1的切线中有一条是x=1,不妨设B(1,0).把x=1,y=0代入AB方程,可得m=2.由题意可知,b=2,c=1,∴a2=5.∴椭圆方程为221 54x y+=.答案:221 54x y+=考点三椭圆离心率的求法1.(2012年新课标全国卷,理4)设F1,F2是椭圆E:22221x ya b+= (a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=32a上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )(A)12(B)23(C)34(D)45解析:如图所示,设直线x=32a与x轴的交点为Q,由题意可知,∠F2F1P=∠F1PF2=30°,|PF2|=|F1F2|=2c,∴∠PF2Q=60°,∠F2PQ=30°.∴|F2Q|=12|PF2|.即32a-c=12·2c,∴e=ca=34.答案:C2.(2012年江西卷,文8)椭圆22221x y a b += (a>b>0)的左、右顶点分别是A 、B,左、右焦点分别是F 1、F 2,若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )(A)14(C)12解析:由题意知,|AF 1|=a-c,|F 1F 2|=2c,|F 1B|=a+c. 由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B|成等比数列可得: (2c)2=(a-c)(a+c).整理得a 2=5c 2,∴e=c a答案:B3.(2013年福建卷,理14)椭圆Γ: 22221x y a b+= (a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若直线(x+c)与椭圆Γ的一个交点满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 .解析:直线(x+c)过点F 1(-c,0)且倾斜角为60°, 所以∠MF 1F 2=60°,∠MF 2F 1=30°, 所以∠F 1MF 2=90°, 所以F 1M ⊥F 2M, 在Rt △F 1MF 2中,|MF 1|=c,|MF 2c,所以e=ca =22c a =122cMF MF +-1.答案-14.(2013年辽宁卷,理15)已知椭圆C: 22221x y a b+= (a>b>0)的左焦点为F,椭圆C 与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos ∠ABF=45,则椭圆C 的离心率e= .解析:如图所示,由|AB|=10,|AF|=6,cos ∠ABF=45,得BF=8,则AF ⊥BF,半焦距c=FO=12AB=5.设椭圆右焦点为F 2,由对称性知AF 2=BF=8,a=7,所以e=c a =57. 答案:575.(2010年大纲全国卷Ⅰ,理16)已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D,且BF =2FD ,则C 的离心率为 .解析:设椭圆C 的焦点在x 轴上,F(c,0),B(0,b). 椭圆方程为22221x y a b +=, 其中a 2=b 2+c 2,设D(x,y),则FD =(x-c,y). 又BF =(c,-b),由BF =2FD 可得()2,2,c x c b y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩∴3,2.2x c b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵点D 在椭圆上,∴22223221b c a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=, 整理得22c a =13,∴e=ca. 答案考点四 直线与椭圆的位置关系1. (2013年江西卷,理20)如图,椭圆C: 22221x y a b += (a>b>0)经过点P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭,离心率e=12,直线l 的方程为x=4.(1)求椭圆C 的方程;(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P),设直线AB 与直线l 相交于点M,记PA,PB,PM 的斜率分别为k 1,k 2,k 3.问:是否存在常数λ,使得k 1+k 2=λk 3?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)由P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得,221914a b+=.① 依题设知a=2c,则b 2=3c 2.②②代入①解得c 2=1,a 2=4,b 2=3.故椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)设B(x 0,y 0)(x 0≠1), 则直线FB 的方程为y=01y x -(x-1),令x=4,求得M 0034,1y x ⎛⎫⎪-⎝⎭,从而直线PM 的斜率为k 3=()0002121y x x -+-,联立()00221,11,43y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得A 0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭,则直线PA 的斜率为k 1=()00022521y x x -+-,直线PB 的斜率为k 2=()002321y x --,所以k 1+k 2=()00022521y x x -+-+()002321y x --=000211y x x -+-=2k 3.故存在常数λ=2符合题意.2.(2013年新课标全国卷Ⅱ,理20)平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M: 22221x y a b+= (a>b>0)右焦点的直线交M 于A,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程;(2)C,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB,求四边形ACBD 面积的最大值. 解:(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),则2211221x y a b +=,2222221x y a b+=,2121y y x x --=-1,由此可得()()221221b x x a y y ++=-2121y y x x --=1. 因为x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,00y x = 12, 所以a 2=2b 2.又由题意知,M 的右焦点为,0),故a 2-b 2=3.因此a 2=6,b 2=3.所以M 的方程为22163x y +=. (2)由220,1,63x y x y⎧+⎪⎨+=⎪⎩解得x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨⎪⎩ 因此由题意可设直线CD 的方程为y=x+n n ⎛< ⎝, 设C(x 3,y 3),D(x 4,y 4).由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2+4nx+2n 2-6=0.于是x 3,4因为直线CD的斜率为1, 所以4-x 3. 由已知,四边形ACBD 的面积 S=12|CD|·当n=0时,S 取得最大值,.所以四边形ACBD . 3.(2013年北京卷,理19)已知A 、B 、C 是椭圆W:24x +y 2=1上的三个点,O 是坐标原点. (1)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 解:(1)椭圆W: 24x +y 2=1的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分, 所以可设A(1,m),代入椭圆方程得14+m 2=1,即m= 所以菱形OABC 的面积是 12|OB|·|AC|=12×2×. (2)四边形OABC 不可能为菱形.理由如下: 假设四边形OABC 为菱形.因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为y=kx+m(k ≠0,m ≠0).由2244,,x y y kx m ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩消去y 并整理得 (1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0.设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则122x x +=-2414km k +,122y y +=k ·122x x ++m=214m k +. 所以AC 的中点为M 224,1414kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 因为M 为AC 和OB 的交点, 所以直线OB 的斜率为-14k.因为k ·14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≠-1,所以AC 与OB 不垂直.所以OABC 不是菱形,与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形. 4.(2012年北京卷,理19)已知曲线C:(5-m)x 2+(m-2)y 2=8(m ∈R).(1)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,求m 的取值范围;(2)设m=4,曲线C 与y 轴的交点为A,B(点A 位于点B 的上方),直线y=kx+4与曲线C 交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM 交于点G,求证:A,G,N 三点共线. (1)解:曲线C 的方程化成标准方程,2218852x y m m +=--. ∵曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆, ∴85m ->82m ->0, 解得72<m<5. 即当曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆时,m 的取值范围是（72,5）. (2)证明:当m=4时,曲线C 的标准方程为22184x y +=, ∴A(0,2),B(0,-2). 由224,184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,得(2k 2+1)x 2+16kx+24=0.(*)∵直线与曲线交于不同的两点, ∴Δ=(16k)2-4×24·()221k +>0,即k 2>32. 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1,x 2是方程(*)的两根. ∴x 1+x 2=-21621k k +,x 1·x 2=22421k +. 直线BM 的方程为:y=112y x +x-2, ∴G （1132x y +,1）. 法一 k AG -k AN =1121302x y --+-2220y x --=-1123y x +-222y x -=-11423kx x ++-2242kx x +-=-43k-21211x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-43k-2·2216212421kk k -++=-43k+43k=0 即k AG =k AN .∴A 、G 、N 三点共线. 法二 AG =(1132x y +,-1),AN =(x 2,y 2-2), ∵1132x y +·(y 2-2)-(-1)·x 2=()121326x kx kx +++x 2 =()12121466kx x x x kx +++=22124164621216kk k k kx ⋅-⋅+++ =0.∴AG ∥AN , 即A 、G 、N 三点共线.5.(2012年陕西卷,理19)已知椭圆C 1: 24x +y 2=1,椭圆C 2以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率.(1)求椭圆C 2的方程;(2)设O 为坐标原点,点A 、B 分别在椭圆C 1和C 2上,OB =2OA ,求直线AB 的方程. 解:(1)由题意可知椭圆C 1的长轴长为4,离心率e 1, 设C 2方程为22221x y b a+= (a>b>0),由题意得椭圆C 2短轴长2b=4,离心率e 2∴b=2,a 2=16.∴椭圆C 2的方程为221416x y +=. (2)∵OB =2OA , ∴A 、O 、B 三点共线. 设AB 方程为y=kx. 由22,14y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得(1+4k 2)x 2=4.设A(x 1,y 1), 则21x =2414k +. 设B(x 2,y 2),同理可求得22x =2164k +. 由OB =2OA 得: 22x =421x ,即2164k +=4·2414k +, 解得k=±1.∴直线AB 的方程为y=x 或y=-x.6.(2013年湖北卷,理21)如图,已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1,C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记λ=mn,△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时,若S 1=λS 2,求λ的值;(2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2?并说明理由.解:依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1: 22221x y a m +=,C 2: 22221x y a n +=,其中a>m>n>0,λ=mn>1.(1)如图1,若直线l 与y 轴重合,即直线l 的方程为x=0, 则S 1=12|BD|·|OM|=12a|BD|, S 2=12|AB|·|ON|=12a|AB|, 所以12S S =BDAB. 在C 1和C 2的方程中分别令x=0, 可得y A =m,y B =n,y D =-m, 于是BD AB=B D A By y y y --=m n m n +-=11λλ+-. 若12S S =λ,则11λλ+-=λ,化简得λ2-2λ-1=0.由λ>1,可解得λ故当直线l 与y 轴重合时,若S 1=λS 2,则λ(2)如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0), 点M(-a,0),N(a,0)到直线l 的距离分别为d 1,d 2,则 d 1,d 2所以d 1=d 2. 又S 1=12|BD|d 1,S 2=12|AB|d 2, 所以12S S =BD AB=λ,即|BD|=λ|AB|. 由对称性可知|AB|=|CD|, 所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|, |AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|, 于是AD BC=11λλ+-.① 将l 的方程分别与C 1,C 2的方程联立, 可求得x A,x B.根据对称性可知x C =-x B ,x D =-x A ,于是AD BC=22A B x x.②=()11λλλ+-.③ 令t=()11λλλ+-,则由m>n,λ>1,可得0<t<1, 于是由③可解得k 2=()()2222211n t a t λ--.因为k 2>0,于是③式关于k 有解,当且仅当()()2222211n t a t λ-->0,等价于(t 2-1)(t 2-21λ)<0. 由λ>1,0<t<1,可解得1λ<t<1,即1λ<()11λλλ+-<1,由λ>1,解得λ所以当1<λ≤,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2; 当λ,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2.7.(2013年天津卷,理18) 22x a +22y b=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F 且与x 轴垂直的直线被. (1)求椭圆的方程;(2)设A, B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C, D 两点. 若AC ·DB +AD ·CB =8,求k 的值.解:(1)设F(-c,0),由c a=3,知过点F 且与x 轴垂直的直线的方程为x=-c,代入椭圆方程有()22c a-+22y b=1,解得y=,,解得,又a 2-c 2=b 2,从而所以椭圆的方程为23x +22y =1.(2)设点C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),由F(-1,0)得直线CD 的方程为y=k(x+1),由方程组()221,132y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y,整理得(2+3k 2)x 2+6k 2x+3k 2-6=0.由根与系数的关系可得x 1+x 2=-22623k k +,x 1x 2=223623k k -+.因为所以AC ·DB +AD ·CB =(x 1,y 1)·2,-y 2)+(x 22)·-x 1,-y 1)=6-2x 1x 2-2y 1y 2=6-2x 1x 2-2k 2(x 1+1)(x 2+1)=6-(2+2k 2)x 1x 2-2k 2(x 1+x 2)-2k 2=6+2221223k k ++.由已知得6+2221223k k++=8,解得k=. 8.(2012年天津卷,理19)设椭圆22221x y a b+= (a>b>0)的左、右顶点分别为A 、B,点P 在椭圆上且异于A 、B两点,O 为坐标原点.(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为-12,求椭圆的离心率; (2)若|AP|=|OA|,证明直线OP 的斜率k 满足. (1)解:由题意可知A(-a,0),B(a,0), 设P(x,y), 则22221x y a b+=. ∴k AP ·k BP =y y x a x a⋅+-=222y x a -=222221x b a x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭- =-22b a =-12. ∴22b a =12. ∴e=c a. (2)证明:法一 易知直线OP 的方程为y=kx, 由2222,1,y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y,整理得x 2=22222a b b a k +①设P(x,kx).则由|AP|=|OA|得(x+a)2+k 2x 2=a 2,整理得(k 2+1)x 2+2ax=0.又x ≠0, ∴x=-221ak +② 联立①②,整理得(1+k 2)2=4k 2·a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭2+4.∵a>b>0, ∴(1+k 2)2>4k 2+4,即k 2+1>4,∴. 法二 设P(x 0,kx 0), ∵点P 在椭圆上,∴22200221x k x a b+=.∵a>b>0,kx 0≠0. ∴2220022x k x a b +<1, 即(1+k 2)20x <a 2.由|AP|=|OA|,得(x 0+a)2+k 220x =a 2,整理得(1+k 2)20x +2ax 0=0.又x 0≠0, ∴x 0=-221ak +. ∴(1+k 2)·(-221a k +)2<a 2, 即1+k 2>4,k 2>3,∴.9.(2013年安徽卷,理18)设椭圆E:222211x y a a +=-的焦点在x 轴上. (1)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(2)设F 1,F 2分别是椭圆E 的左、右焦点,P 为椭圆E 上第一象限内的点,直线F 2P 交y 轴于点Q,并且F 1P ⊥F 1Q,证明:当a 变化时,点P 在某定直线上. (1)解:因为焦距为1,所以2a 2-1=14,解得a 2=58. 故椭圆E 的方程为2288153x y +=. (2)证明:设P(x 0,y 0),F 1(-c,0),F 2(c,0),其中由题设知x 0≠c,则直线F 1P 的斜率100F P y k x c=+, 直线F 2P 的斜率200F P y k x c=-. 故直线F 2P 的方程为y=00y x c-(x-c). 当x=0时,y=00cy c x -,即点Q 坐标为(0,0cy c x -). 因此,直线F 1Q 的斜率为1F Q k =y c x -. 由于F 1P ⊥F 1Q,所以1F P k ·1F Q k =00y x c +·00yc x -=-1. 化简得20y =20x -(2a 2-1).(*)将(*)式代入椭圆E 的方程,由于点P(x 0,y 0)在第一象限,解得x 0=a 2,y 0=1-a 2,即点P 在定直线x+y=1上. 10.(2012年安徽卷,理20)如图,点F 1(-c,0),F 2(c,0)分别是椭圆C:22221x y a b+= (a>b>0)的左、右焦点,过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P,过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x=2a c于点Q.(1)如果点Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆C 的方程; (2)证明:直线PQ 与椭圆C 只有一个交点. (1)解:法一 由题意得P(-c,2b a), ∴2PF k =20b a c c---=-22b ac .∵F 2Q ⊥PF 2, ∴2F Q k =22ac b , ∴直线F 2Q 的方程为y=22acb (x-c), ∴Q(2a c,2a),∴24,24,a c a ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得a=2,c=1. ∴b 2=3.∴此时椭圆C 的方程是22143x y +=. 法二 设直线x=2a c与x 轴交于点M, 由题意得P(-c,2b a).∵PF 1⊥x 轴,QM ⊥x 轴,PF 2⊥F 2Q, ∴△PF 1F 2∽△F 2MQ, ∴1122PF F F F M QM=,即222b caa MQc c=-. 解得|MQ|=2a, ∴Q(2a c,2a).∴24,24,a c a ⎧+⎪⎨⎪=⎩解得a=2,c=1, ∴b 2=3.∴此时椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)证明:由(1)知P(-c,2b a ),Q(2a c,2a), ∴直线PQ 的方程为22222a x y a c b a a c a c=-=---, 整理得y=cax+a. 由2222,1,c y x a a x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y,整理得(b 2+c 2)x 2+2a 2cx+a 4-a 2b 2=0.即a 2x 2+2a 2cx+a 2c 2=0,∴x 2+2cx+c 2=0.解得x=-c,y=2b a.∴直线PQ 与椭圆C 只有一个交点.11.(2013年山东卷,理22)椭圆C:22221x y a b+= (a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2,过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接PF 1,PF 2.设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m,0),求m 的取值范围;(3)在(2)的条件下,过点P 作斜率为k 的直线l,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点.设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2,若k ≠0,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值. 解:(1)由于c 2=a 2-b 2,将x=-c 代入椭圆方程22221x y a b +=,得y=±2b a, 由题意知22b a=1,即a=2b 2.又e=ca所以a=2,b=1. 所以椭圆C 的方程为24x +y 2=1.(2)法一 设P(x 0,y 0)(y 0≠0). 又F 1,0),F 2,0),所以直线PF 1,PF 2的方程分别为1PF l :y 0x-(x 0y 0=0, 2PF l :y 0x-(x 0y 0=0.由于点P 在椭圆上,所以22004x y +=1..因为,-2<x 0<2,=,所以m=34x 0. 因此-32<m<32. 法二 设P (x 0,y 0)(y 0≠0). 当0≤x 0<2时,①当x 0,直线PF2的斜率不存在,易知P 12⎫⎪⎭或P 12⎫-⎪⎭.若P ,则直线PF 1的方程为因为,所以若P 12⎫-⎪⎭,同理可得②当x 0,设直线PF 1,PF2的方程分别为y=k 1y=k 2).=,所以(()2212221111m k m k +=+. 因为22004x y +=1,且k 12所以(()(()2220022204444m x x m xx +-==+-=)()20244+-,. 因为,0≤x 0<2且x 0,整理得m=034x ,故0≤m<32且m综合①②可知0≤m<32. 当-2<x 0<0时,同理可得-32<m<0. 综上所述,m 的取值范围是(-32,32). (3)设P(x 0,y 0)(y 0≠0),则直线l 的方程为y-y 0=k(x-x 0). 联立()22001,4x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩整理得(1+4k 2)x 2+8(ky 0-k 2x 0)x+4(20y -2kx 0y 0+k 220x -1)=0.由题意得Δ=0,即(4-20x )k 2+2x 0y 0k+1-20y =0.又22004x y +=1,所以1620y k 2+8x 0y 0k+20x =0,故k=-004x y . 由(2)知1211k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭0=002x y ,所以1211kk kk +=12111k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=(-004y x )·002x y =-8, 因此1211kk kk +为定值,这个定值为-8. 12.(2012年福建卷,理19)如图,椭圆E:22221x y a b += (a>b>0)的左焦点为F 1,右焦点为F 2,离心率e=12.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点,且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程;(2)设动直线l:y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ 为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由. 解:(1)由椭圆定义知, |AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a, △F 2AB 的周长=|AB|+|AF 2|+|BF 2| =|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2| =4a. ∴4a=8,a=2, 又e=c a =12, ∴c=1,∴b 2=3.∴椭圆E 的方程是22143x y +=. (2)由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,整理得(3+4k 2)x 2+8mkx+4m 2-12=0.∵动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P(x 0,y 0), ∴Δ=(8km)2-4(3+4k 2)(4m 2-12)=0,m ≠0,整理得m 2=4k 2+3.①此时x 0=()284234mk km k -=-+, y 0=k ·4k m ⎛⎫- ⎪⎝⎭+m=3m ,∴P 43,k m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由4,x y kx m =⎧⎨=+⎩得Q(4,4k+m). 假设在坐标平面内存在定点M,使得以PQ 为直径的圆恒过点M, 由椭圆的对称性可知,点M 一定在x 轴上, 设M(x 1,0),则MP =143,kx mm ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, MQ =(4-x 1,4k+m). ∵MP ⊥MQ,即MP ·MQ =0对满足①式的所有m,k 均成立,即14k x m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(4-x 1)+3m ·(4k+m)=0对满足①式的所有m 、k 成立. 整理得(4x 1-4)km+ 21x -4x 1+3=0.② 由于②对满足①的m,k 恒成立,∴1211440,430,x x x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得x 1=1. 故存在定点M(1,0),使得以PQ 为直径的圆恒过点M.13.(2012年广东卷,理20)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C: 22221x y a b+= (a>b>0)的离心率且椭圆C 上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程;(2)在椭圆C 上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由.解:(1)由e=c a得a 2=3b 2, 椭圆方程为222213x y b b +=. 设椭圆上一点P(x,y)到点Q(0,2)的距离为d,则∴当y=-()422-⨯-=-1时,d 取到最大值,d max 解得:b 2=1.∴椭圆方程为23x +y 2=1. (2)假设椭圆C 上存在点M(m,n)满足题意, 则23m +n 2=1, 即m 2=3-3n 2.设圆O:x 2+y 2=1的圆心到直线l:mx+ny=1的距离为d 1,则d 1<1且d 1.∴ ∴S △OAB =12·|AB|d 1=12·∵d 1<1, ∴m 2+n 2>1, ∴0<221m n +<1, ∴1-221m n +>0.∴S △OAB=12. 当且仅当221m n +=1-221m n +, 即m 2+n 2=2>1时,S △AOB 取到最大值.由22222,33,m n m n ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 解得223,21.2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴存在点M 满足题意,M点的坐标为⎝⎭⎝⎭⎛ ⎝⎭⎛ ⎝⎭. 此时△AOB 面积最大为12. 14.(2012年浙江卷,理21)如图所示,椭圆C:22221x y a b += (a>b>0)的离心率为12,其左焦点到点P(2,1)的不过原点O 的直线l 与C 相交于A,B 两点,且线段AB 被直线OP 平分.(1)求椭圆C 的方程;(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程. 解:(1)设椭圆左焦点为F(-c,0),则由题意得1,2c a ⎪=⎩ 解得1,2.c a =⎧⎨=⎩∴b 2=3.∴椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意可设直线l 方程为y=kx+m(m ≠0).由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,整理得(4k 2+3)x 2+8kmx+4m 2-12=0.(*)由题意可知,x 1,x 2是方程(*)的两个根, ∴Δ=(8km)2-4(4k 2+3)(4m 2-12)>0.x 1+x 2=-2843kmk +,x 1·x 2=2241243m k -+.∴线段AB 的中点M 坐标为(-2443km k +,2343mk +). ∵点M 在直线OP:y=12x 上, ∴2343m k +=12·(-2443km k +),得m=0(舍去)或k=-32. 此时方程(*)为3x 2-3mx+m 2-3=0. 则Δ=3(12-m 2)>0,12212,3.3x x m m x x +=⎧⎪⎨-⋅=⎪⎩∴1-x 2|设点P 到直线AB 的距离为d, 则.∴S △ABP =12|AB|d =12其中m 2<12且m ≠0,即m ∈∪).令u(m)=(m-4)2(12-m 2),m ∈),则u ′(m)=2(m-4)(12-m 2)-2m(m-4)2=-4(m-4)(m 2-2m-6)当时,u ′(m)>0, 当,u ′(m)<0. ∴当,u(m)取到最大值, 故当且仅当,S △ABP 取到最大值. 此时,直线l的方程为y=-32即15.(2011年四川卷,理21)椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点,并与x 轴交于点P.直线AC 与直线BD 交于点Q.(1)当,求直线l 的方程; (2)当点P 异于A 、B 两点时,求证: OP OQ ⋅为定值. (1)解:由于椭圆焦点在y 轴上, 故可设椭圆方程为22221x y a b += (a>b>0). 由题意知,b=1,c=1, ∴∴椭圆方程为x 2+22y =1.由题意可知,直线l 的斜率存在,设为k, 则l 方程为y=kx+1. 由221,12y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y, 整理得(k 2+2)x 2+2kx-1=0.设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2), 则x 1+x 2=-222k k +,x 1·x 2=-212k +. ∴1-x 2| ==)2212k k ++. 解得k=∴当, 直线l 的方程为或(2)证明:根据题意,设直线l 的方程为y=kx+1(k ≠0,k ≠±1),则P(-1k,0), 设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2). 由(1)知x 1+x 2=-222k k +,x 1·x 2=212k -+. 直线AC 的方程为:y=111y x +(x+1).① 直线BD 的方程为y=221y x -(x-1)② 联立①②消去y,得111y x +(x+1)= 221yx -(x-1), 即11x x +-=()()212111y x x x y ⋅+-.∵-1<x 1,x 2<1, ∴11x x +-与21y y 异号. ∴(11x x +-)2=()()2221221211y x y x +-=()()()()22212212221221x x x x-+--=()()()()222122121111x x x x-+--=()()()()12121111x x x x ++-- =()()1212121211x x x x x x x x +++-++ =22222112221122k k k k k k --+++-++=11k k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭2. 又y 1·y 2=(kx 1+1)(kx 2+1) =k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1=-222k k +-2222k k ++1 =22222k k -+=()22212k k -+=-()()22112k k k +-+=-()22212k k ++·11k k -+,∴y 1·y 2与11k k -+异号, ∴11x x +-与11k k -+同号. ∴11x x +-=11k k -+, 解得x=-k,∴Q(-k,y). ∴OP OQ ⋅=(-1k,0)·(-k,y) =(-1k)·(-k) =1.即OP OQ ⋅为定值.16.(2011年辽宁卷,理20)如图所示,已知椭圆C 1的中心在原点O,长轴左、右端点M 、N 在x 轴上,椭圆C 2的短轴为MN,且C 1,C 2的离心率都为e.直线l ⊥MN,l 与C 1交于两点,与C 2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.(1)设e=12,求|BC|与|AD|的比值; (2)当e 变化时,是否存在直线l,使得BO ∥AN,并说明理由. 解:(1)因为C 1,C 2的离心率相同, 故依题意可设C 1: 22221x y a b+=,C 2:222421b y x a a+= (a>b>0). 设直线l:x=t(|t|<a),分别与C 1,C 2的方程联立,求得当e=12时分别用y A ,y B 表示A,B 的纵坐标,可知|BC|∶|AD|=22B A y y =22b a =34.(2)当t=0时的l 不符合题意,当t ≠0时,BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等, 即b t b t a-,解得t=-222ab a b -=-221e e-·a.因为|t|<a, 又0<e<1,所以221e e -<1,<e<1.所以当0<e 时,不存在直线l,使得BO ∥AN;<e<1时,存在直线l,使得BO ∥AN. 17.(2010年安徽卷,理19)如图所示,已知椭圆E 经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率e=12.(1)求椭圆E 的方程;(2)求∠F 1AF 2的平分线所在直线l 的方程;(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由. 解:(1)设椭圆E 的方程为22221x y a b+=,由e=12, 即c a =12,得a=2c, ∴b 2=a 2-c 2=3c 2.∴椭圆的方程可化为2222143x y c c+=.将A(2,3)代入上式, 得22131c c +=, 解得c=2(负值舍去), ∴椭圆E 的方程为2211612x y +=. (2)由(1)知F 1(-2,0),F 2(2,0), 所以直线AF 1的方程为y=34(x+2), 即3x-4y+6=0, 直线AF 2的方程为x=2.由点A 在椭圆E 上的位置知,直线l 的斜率为正数. 设P(x,y)为l 上任一点, 则3465x y -+=|x-2|.若3x-4y+6=5x-10,得x+2y-8=0(因其斜率为负,故舍去). 于是,由3x-4y+6=-5x+10得2x-y-1=0, ∴直线l 的方程为2x-y-1=0.(3)假设存在这样的两个不同的点B(x 1,y 1)和C(x 2,y 2), ∵BC ⊥l, ∴k BC =2121y y x x --=-12. 设BC 的中点为M(x 0,y 0), 则x 0=122x x +,y 0=122y y +, 由于M 在l 上,故2x 0-y 0-1=0.① 又B,C 在椭圆上,所以有221111612x y +=与222211612x y +=. 两式相减,得2222212101612x x y y --+=, 即()()122116x x x x +-+()()122112y y y y +-=0.将该式整理为18·122x x ++2121y y x x --·16·122y y +=0,并将直线BC 的斜率k BC 和线段BC 的中点表示代入该表达式中, 得18x 0-112y 0=0, 即3x 0-2y 0=0.② ①×2-②得x 0=2,y 0=3,即BC 的中点为点A,而这是不可能的. ∴不存在满足题设条件的相异两点.模拟试题考点一 应用椭圆的定义解决椭圆上的点到焦点的距离问题1.(2013北京西城高三上学期期末)已知椭圆24x +22y =1的两个焦点是F 1、F 2,点P 在该椭圆上,若|PF 1|-|PF 2|=2,则△PF 1F 2的面积是 .解析:由椭圆方程24x +22y =1可知∴|PF 1|+|PF 2|=4. 又|PF 1|-|PF 2|=2, ∴|PF 1|=3,|PF 2|=1.又|F 1F 2,∴|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2,∴PF 2⊥F 1F 2, ∴12PF F S=12|PF 2||F 1F 2|=12×1×.答案2.(2013北京海淀高三上学期期末)已知点F 1、F 2分别是椭圆x 2+2y 2=2的左、右焦点,点P 是该椭圆上的一个动点,则21PF PF +的最小值是 .解析:设P(x,y),则x 2+2y 2=2,由椭圆方程22x +y 2=1可知,b=1,c=1,∴F 1(-1,0),F 2(1,0). ∴1PF =(-1-x,-y),2PF =(1-x,-y),∴1PF +2PF =(-2x,-2y).∴|1PF +2PF |==2=2∵y 2≤1,∴|1PF +2PF |的最小值是2. 答案:2考点二 椭圆的方程及其简单性质应用1.(2013广东“十校”高三联考)定义:关于x 的不等式|x-A|<B 的解集叫A 的B 邻域.已知a+b-2的a+b 邻域为区间(-2,8),其中a 、b 分别为椭圆22x a +22y b=1的长半轴长和短半轴长,若此椭圆的一焦点与抛物线y 2x 的焦点重合,则椭圆的方程为()(A)28x +23y =1(B)29x +24y =1(C)29x +28y =1(D) 216x +29y =1解析:由题意可知|x-(a+b-2)|<a+b 的解集是(-2,8), ∴2a+2b-2=8,即a+b=5.①又抛物线y 2x 的焦点为∴椭圆的焦点在x 轴上,且,即a 2-b 2=5.②联立①②可得a=3,b=2,∴椭圆标准方程为29x +24y =1.答案:B2.(2011辽宁模拟)椭圆236x +29y 1上有两个动点P 、Q,E(3,0),EP ⊥EQ,则EP ·QP 的最小值为( )(A)6(C)9解析:设P(x 0,y 0),则2036x +209y =1,EP =(x 0-3,y 0),又QP =EP -EQ ,∴EP ·QP =EP ·(EP -EQ )=2EP -EP ·EQ =2EP =(x 0-3)2+20y=(x 0-3)2+9-2014x =2034x -6x 0+18, 又x 0∈[-6,6],∴当x 0=4时,EP ·QP 取到最小值6. 答案:A考点三 求椭圆的离心率1.(2012成都二模)已知A 、B 分别为椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的左、右顶点,C(0,b),直线l:x=2a 与x 轴交于点D,与直线AC 交于点P,若∠DBP=π3,则此椭圆的离心率为( )(A)12(B)2(C)29(D)3解析:如图所示,由已知得A(-a,0), B(a,0),C(0,b), D(2a,0). 设P(2a,y 0), ∵A 、C 、P 共线, ∴k AC =k AP , 即b a =03y a, ∴y 0=3b, ∴P(2a,3b). 又∵∠DBP=π3,且tan ∠DBP=DP BD ,32b a a-,∴b a =3,∴e=c a 3答案:D2.(2012厦门质检)已知F 是椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的右焦点,点P 在椭圆C 上,线段PF 与圆(x-3c）2+y 2=29b 相切于点Q,且PQ =2QF ,则椭圆C 的离心率等于( )(A)3(B)23(C)2(D)12解析:记椭圆的左焦点为F ′,圆(x-3c)2+y 2=29b 的圆心为E,连接PF ′、QE. ∵|EF|=|OF|-|OE|=c-3c =23c,PQ =2QF , ∴EF F F'=13=QF PF, ∴PF ′∥QE, ∴QF PF '=13,且PF ′⊥PF. 又∵|QE|=3b(圆的半径长), ∴|PF ′|=b.据椭圆的定义知:|PF ′|+|PF|=2a, ∴|PF|=2a-b. ∵PF ′⊥PF,∴|PF ′|2+|PF|2=|F ′F|2,∴b 2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a 2-c 2)+b 2=2ab,∴3b 2=2ab,∴b=23a=3a,c a =3,∴椭圆的离心率为3. 答案:A考点四 直线与椭圆的位置关系的解法1.(2013四川树德中学3月阶段性考试)椭圆E: 22x a +22y b=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2,过F 1作垂直于椭圆长轴的弦PQ,|PQ|为3. (1)求椭圆E 的方程;(2)若过F 1的直线l 交椭圆于A,B 两点,判断是否存在直线l 使得∠AF 2B 为钝角,若存在,求出l 的斜率k 的取值范围.解:(1)依题意23,22 2.b a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得a 2=4,b 2=3,∴椭圆的方程为24x +23y =1.(2)①当过F 1的直线AB 的斜率不存在时,不妨取A （-1,32）,B （-1,-32） 则2F A ·2F B =74,显然∠AF 2B 不为钝角.②直线l 的斜率为k,l 方程为y=k(x+1),由()221,143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 消去y,整理得(3+4k 2)x 2+8k 2x+4k 2-12=0.∵直线l 与椭圆交于两点,∴Δ=(8k 2)2-4(3+4k 2)(4k 2-12)=4×36(k 2+1)>0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-22834k k +,x 1·x 2=2241234k k -+.2F A =(x 1-1,y 1), 2F B =(x 2-1,y 2).∵∠AF 2B 为钝角, ∴2F A ·2F B <0. 即(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2<0,整理得(k 2+1)x 1x 2+(k 2-1)(x 1+x 2)+k 2+1<0.即(k 2+1)·2241234k k -+-(k 2-1)·22834k k ++k 2+1<0,整理得7k 2<9,解得-7<k<7. ∴存在满足条件的直线l,其斜率k 的取值范围为. 2.(2013江苏南通高三一模)已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E （）.过点P(1,1)分别作斜率为k 1,k 2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N 分别为线段AB,CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若P 为线段AB 的中点,求k 1;(3)若k 1+k 2=1,求证直线MN 恒过定点,并求出定点坐标. 解:(1)依题设c=1,且右焦点F ′(1,0).所以2a=|EF|+|EF ′3,b 2=a 2-c 2=2,故所求的椭圆的标准方程为23x +22y =1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则213x +212y =1,①223x +222y =1.②②-①,得()()21213x x x x -++()()21212y y y y -+=0.所以k 1=2121y y x x --=-()()212123x x y y ++=-46ppx y =-23. (3)依题设,k 1≠k 2. 设M(x M ,y M ),又直线AB 的方程为y-1=k 1(x-1), 即y=k 1x+(1-k 1), 亦即y=k 1x+k 2,代入椭圆方程并化简得(2+321k )x 2+6k 1k 2x+322k -6=0.于是,x M =1221323k k k -+,y M =221223k k +,同理,x N =1222323k k k -+,y N =122223k k +.当k 1k 2≠0时,直线MN 的斜率k=M NM Ny y x x --=()()2222112121469k k k k k k k k +++-+=21211069k k k k --.直线MN 的方程为y-221223k k +=21211069k k k k --(x-1221323k k k -+),即y=21211069k k k k --x+(21211069k k k k --·1221323k k k ++221223k k +),亦即y=21211069k k k k --x-23. 此时直线过定点（0,-23）. 当k 1k 2=0时,直线MN 即为y 轴, 此时亦过点（0,-23）. 综上,直线MN 恒过定点,且坐标为（0,-23）. 综合检测1.(2012东北三校)设椭圆24x +y 2=1的左焦点为F,P 为椭圆上一点,,则|PF|等于( )(A)12(B)32(C)52(D)72解析:设,y),由34+y 2=1, 解得y 2=14.由椭圆方程24x +y 2=1知a=2,b=1.。
十年高考数学真题分类汇编 专题26 椭圆(解析版)
专题26 椭圆椭圆的方程求法，直线与椭圆位置关系，椭圆最值问题的解法椭圆的定义，椭圆离心率的求法3 文11理10理19考点89 椭圆的定义及标准方程1．（2019全国Ⅰ文12）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF ABn ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =． 22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 2．（2018高考上海13）设P 是椭圆 ²5x +²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A ．22B ．23C ．25D ．42【答案】C【解析】由椭圆的定义可知椭圆上任意点P 到两个焦点的距离之和为225a =，故选C ． 【考点分析】椭圆的定义，考查考生的识记及基本运算能力．3．（2013广东文）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为，离心率等于，则C 的方程是 A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】∵D ．4．（2015新课标1理）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 的正半轴上，则该圆的标准方程为_________．(1,0)F 2114322=+y x 13422=+y x 12422=+y x 13422=+y x 1,2,c a b ===【答案】22325()24-+=x y 【解析】 由题意圆过(4,0),(0,2),(0,2)三个点，设圆心为(,0)a ，其中0a ，由4-a 32a ，所以圆的方程为22325()24-+=x y ．5．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E --． 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c ．因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c=1．又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 232==， 因此2a=DF 1+DF 2=4，从而a=2． 由b 2=a 2−c 2，得b 2=3．因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a=2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1．将x=1代入圆F 2的方程(x−1) 2+y 2=16，解得y=±4． 因为点A 在x 轴上方，所以A(1，4)． 又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y=2x+2．由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-． 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --．又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-．由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =． 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-． 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-． 因此3(1,)2E --．解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=．如图，连结E F 1．因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E=∠B ．因为F 2A=F 2B ，所以∠A=∠B ， 所以∠A=∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A ．因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴．因为F 1(−1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±．又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-． 因此3(1,)2E --．【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力．考点90 椭圆的几何性质6．【2019年高考全国Ⅰ理】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 7．【2019年高考北京理】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a=2bD ．3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-，化简得2234a b =， 故选B ．8．【2018·全国Ⅰ文】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13B ．12C D 【答案】C【解析】由题可得2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a =，所以椭圆C 的离心率e ==C ． 9．【2018·全国Ⅰ文】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1-B ．2-C ．12D 1【答案】D【解析】在12F PF △中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒，设2PF m =，则12122,c F F m PF ===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m =+=，则212c c e a a ====，故选D ． 10．（2018上海理）设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意25=a ，=a ．由椭圆的定义可知，P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2=a C ．11．【2017·全国Ⅰ文】设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB=120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞【答案】A【解析】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab≥=≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a b ≥=≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞，故选A ．12．【2017·浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是（ ）A B C ．23D ．59【答案】B【解析】椭圆22194x y +=的离心率e ==B ． 13．（2015新课标1文）已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：28y x =的焦点重合，A B 、是C 的准线与E 的两个交点，则AB = A ．3 B ．6 C ．9 D ．12【答案】B 【解析】∵抛物线C ：28y x =的焦点坐标为(2,0)，准线l 的方程为2x =- ①，设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，所以椭圆E 的半焦距2c ，又椭圆的离心率为12，所以4,23a b ==，椭圆E 的方程为2211612x y +=②，联立①②， 解得(2,3),(2,3)A B ---或(2,3),(2,3)A B ---，所以||6AB ，故选B ．14．（2015广东文）已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()14,0F -，则m = A ．2 B ．3 C ．4 D ．9【答案】B 【解析】由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．15．(2014福建文理)设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是A ．25 B ．246+ C ．27+ D ．26【答案】D 【解析】由题意可设,sin )Q αα，圆的圆心坐标为(0,6)C ，圆心到Q 的距离为||CQ ===，当且仅当2sin 3α=-时取等号，所以max max ||||PQ CQ r +==≤Q P ,两点间的最大距离是．16．（2012新课标文理）设1F 、2F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，P 为直线23ax =上一点，12PF F ∆ 是底角为o 30的等腰三角形，则E 的离心率为A ．21B ．32 C ．43 D ．54 【答案】C 【解析】∆是底角为的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔==，故选C ．17．【2019·全国Ⅲ文】设12F F ，为椭圆C ：22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________． 【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△， 又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y ， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M 的坐标为(．21F PF 3018．【2019·浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点．由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍）， 又点P 在椭圆上且在x轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==．方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得3,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以212PF k ==．19．（2012江西文理）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ，左、右焦点分别是12,F F ．若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．由椭圆的性质可知：1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+．又已知1AF ，12F F，1F B 成等比数列，故2()()(2)a c a c c -+=，即2224a c c -=，则225a c =．故5c e a ==． 20．（2011浙江文理）设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =；则点A 的坐标是 ．【答案】(0,1)±【解析】设点A 的坐标为(,)m n ，B 点的坐标为(,)c d ．12(F F，可得1()F A m n =，2()F B c d =，∵125F A F B =，∴55m n c d +==，又点,A B 在椭圆上，∴2213m n +=，225()135n +=，解得0,1m n ==±，∴点A 的坐标是(0,1)±．21．【2019年高考全国Ⅱ文】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 【答案】（11；（2）4b =，a的取值范围为)+∞．【解析】（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF =，于是1221)a PF PF c =+=，故C的离心率是1ce a==． （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b+=，即||16c y =，①222x y c +=，②22221x y a b+=，③由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥．当4b =，a ≥时，存在满足条件的点P ，所以4b =，a的取值范围为)+∞．22．（2015安徽理）设椭圆E的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为510． （Ⅰ）求E 的离心率e ；（Ⅱ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．【解析】（1）由题设条件知，点M 的坐标为21(,)33a b ，又OM k =2b a =，进而得,2a c b ===，故5c e a ==． （2）由题设条件和（I ）的计算结果可得，直线AB 1y b+=，点N 的坐标为1,)2b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则线段NS 的中点T 的坐标为117,)244x b +-+．又点T 在直线AB 上，且1NS ABk k ⋅=-，从而有11744171x b b b +-++=⎨+⎪=⎪⎪⎪⎩，解得3b =，所以b = 故椭圆E 的方程为221459x y +=．23．（2013安徽文理）如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22by =1（0>>b a ）的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a ， b 的值． 【解析】（Ⅰ）1216022c F AF a c e a ο∠=⇔=⇔== （Ⅱ）设2BF m =；则12BF a m =-，在12BF F ∆中，22212122122cos120BF BF F F BF F F ο=+-⨯⨯ 2223(2)5a m m a am m a ⇔-=++⇔=，1AF B ∆面积21113sin 60()10,5,225S F F AB a a a a c b ο=⨯⨯⨯⇔⨯⨯+=⇔===考点91 直线与椭圆的位置关系24． 【2018高考全国2理12】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A12PF F △等腰三角形，12120F F P ∠=，则C 的离心率为 （ ） A ．23 B ．12 C ．13 D ．14【答案】D【解析】试题分析：先根据条件得22PF c =，再利用正弦定理得,a c 关系，即得离心率． 试题解析：因为12PF F △为等腰三角形，12212120,2F F P PF F F c ∠=︒==，由AP 斜率为6得，222tan ,sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∴∠=，由正弦定理得22222sin 221,,4,sin 54sin 3PF PAF c a c e AF APF a c PAF ∠=∴===∴=∴=∠+-∠ ⎪⎝⎭，故选D ． 25．（2017新课标Ⅲ文理）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）ABC．3 D ．13【答案】A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，3c e a ==，故选A ． 26．【2016·新课标1文数】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B【解析】如图，在椭圆中，11,,242OF c OB b OD b b ===⨯=，在Rt OFB △中，||||||||OF OB BF OD ⨯=⨯，且222a b c =+，代入解得224a c =，所以椭圆的离心率为12e =，故选B ．27．（2016年全国III 文理）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得||||()FM k a c =-，||||OE k a =，设OE 的中点为H ，由OBH FBM △∽△，得1||||2||||OE OB FM BF =，即||2||()k a a k a c a c =-+，整理得13c a =，所以椭圆离心率为13e =，故选A ．28．（2016江苏理）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是 ．(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭，由90BFC ∠=︒可得0BF CF ⋅=，2b BF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，2b CF c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得223142c a =，则c e a ==． 29．（2015福建文）已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的2222:1(0)x y E a b a b+=>>F M :340l x y -=E ,A B 4AF BF +=M l 45E离心率的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】设椭圆的左焦点为1F ，半焦距为c ，连结1AF ，1BF ，则四边形1AF BF 为平行四边形，所以11||||||||4AF BF AF BF +=+=，根据椭圆定义， 有11||||||||4AF AF BF BF a +++=，所以84a ，解得2a ．因为点M 到直线l ：340x y 的距离不小于45，即44,155b b ≥≥，所以21b ≥， 所以2221,41a c c --≥≥，解得0c <所以02c a <≤，所以椭圆的离心率的取值范围为(0,]2． 30．（2013新课标1文理）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F(3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ．B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1【答案】D 【解析】设，则=2，=－2，① ② ①－②得，∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴椭圆方程为，故选D ． 31．【2020年高考上海卷10】已知椭圆22:143x y C +=，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于,P Q 两点（点P 在第二象限），若Q 关于x 轴对称的点为'Q ，且满足'PQ FQ ⊥，则直线l 的方程为 ． 【答案】1y x =-+【解析】由条件可知FQQ '是等腰直角三角形，所以直线l 的倾斜角是135，所以直线l 的斜率是tan1351=-，且过点()1,0F ，得到直线l 的方程为()1y x =--，即1y x =-+．故答案为：1y x =-+．(0,23(0,]4,1)23[,1)41122(,),(,)A x y B x y 12x x +12y y +2211221x y a b +=2222221x y a b+=1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=AB k 1212y y x x --212212()()b x x a y y +-+22b a ABk 0131+-1222b a 122c 22a b -2b 2a 221189x y +=32．（2018浙江理）已知点(0,1)P ，椭圆224x y m +=（1m >）上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-，所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值．33．（2018浙江文）已知点(0,1)P ，椭圆224x y m +=(1m >)上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =，得1212212(1)x x y y -=⎧⎨-=-⎩，即122x x =-，1232y y =-．因为点A ，B 在椭圆上，所以222222224(3)44x x m x y m⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得21344y m =+，所以2222221591(32)(5)444244x m y m m m =--=-+-=--+≤， 所以当5m =时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2．34．（2015浙江文）椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点(),0F c 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．【解析】设左焦点为1F ，由F 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，得||||OQ OF =，又1||||OF OF =，所以1F Q QF ⊥，不妨设1||QF ck =，则||QF bk =，1||F F ak =，因此2c ak =，又2a ck bk =+，由以上二式可得22c a k a b c ==+，即c a a b c=+，即22a c bc =+，所以bc =，2e =．35．（2014江西文理）过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ． 【答案】22【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，分别代入椭圆方程相减得 1212121222()()()()0x x x x y y y y a b-+-++=，根据题意有12122,2x x y y +=+=， 且121212y y x x -=--，所以22221()02a b +⨯-=，得222a b =，整理222a c =，所以22e =．36．（2014辽宁文）已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += ．【答案】12【解析】设MN 交椭圆于点P ，连接1F P 和2F P ，利用中位线定理可得AN BN +=122222412F P F P a a +=⨯==．37．（2014江西文）设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于B A ，两点，B F 1与y 轴相交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________．3【解析】由题意可得2(,)b A c a，2(,)b B c a -，由题意可知点D 为1F B 的中点，所以点D 的坐标为2(0,)2b a-，由B F AD 1⊥，所以11AD F B k k ⋅=-232b ac =，解得33e =．38．（2014安徽文）设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则椭圆的方程为____．【答案】22312x y +=【解析】由题意得通径22AF b =，∴点B 坐标为251(,)33c B b -- 将点B 坐标带入椭圆方程得22221()53()13b c b--+=， 21,F F )10(1:222<<=+b by x E 1F EB A ,x AF BF AF ⊥=211,3E又221b c =-，解得222313b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴椭圆方程为22312x y +=． 39．（2013福建文）椭圆的左、右焦点分别为，焦距为．若直线)y x c =+与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于 ．【答案】【解析】由题意可知，中，，所以有，整理得，故答案为．40．【2020年高考全国Ⅲ文21理数20】已知椭圆()222:10525x y C m m+=<<，,A B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且,BP BQ BP BQ =⊥，求△APQ 的面积．【解析】解法一：（1）由c e a =，得2221b e a =-，即21511625m =-，∴22516m =，故C 的方程为221612525x y +=． （2）设点P 的坐标为(,)s t ，点Q 的坐标为(6,)n ，根据对称性，只需考虑0n >的情形，此时55s -<<，504t<． ∵||||BP BQ =，∴有222(5)1s t n -+=+ ①． 又∵BP BQ ⊥，∴50s nt -+= ②．又221612525s t +=③． 联立①、②、③，可得，312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩或318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．)0(1:2222>>=+Γb a by a x 21,F F c 2ΓM 12212F MF F MF ∠=∠13-21F MF ∆︒=∠︒=∠︒=∠90,30,60211221MF F F MF F MF ⎪⎩⎪⎨⎧==+==+12212221222132)2(MF MF a MF MF c F F MF MF 13-==a c e 13-当312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，(8,1)AP =，(11,2)AQ =，∴22215()|82111|22APQ S AP AQ AP AQ =⋅-⋅=⨯-⨯=△．同理可得，当318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩时，52APQ S =△．综上所述，可得APQ △的面积为52．解法二：（1）222:1(05)25x yC m m +=<<，∴5a =，b m =， 根据离心率4c e a ====，解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=．（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，根据题意画出图形，如图，||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=． 设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-， ①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图，(5,0)A-，(6,2)Q，可求得直线AQ的直线方程为：211100x y-+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：5d===，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ面积为：1522⨯=．②当P点为(3,1)-时，故5+38MB==，PMB BNQ≅△△，∴||||8MB NQ==，可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图，(5,0)A-，(6,8)Q，可求得直线AQ的直线方程为：811400x y-+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：d===，根据两点间距离公式可得：AQ==∴APQ面积为：1522=．综上所述，APQ面积为：52．41．【2020年高考天津卷18】已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的一个顶点为(0,3)A-，右焦点为F，且||||OA OF=，其中O为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅰ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【解析】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以椭圆的方程为221189x y +=．（Ⅰ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+． 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以直线CP 的斜率为222303216261121CP k kk k k k --+=-+-+=， 又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =． 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-．42．【2019年高考天津理】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为55． （1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，依题意，24,c b a ==又222a b c =+，可得a =，2,b =1c =． 所以，椭圆的方程为22154x y +=． （2）由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠， 又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P kx k=-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+， 进而直线OP 的斜率24510P p y k x k-=-． 在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-． 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -． 由OP MN ⊥，得2451102k k k-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而k =所以，直线PB或． 43．【2019年高考天津文】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B．已知|2||OA OB =（O 为原点）．（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x=4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，2b =，又由222a b c =+，消去b得2222a a c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得12c a =，所以椭圆的离心率为12．（2）由（1）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=．由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+， 点P 的坐标满足22221,433(),4x y c cy x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-．代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-． 因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t ．因为OC AP ∥，且由（1）知( 2 , 0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =．因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l2=，可得=2c ．所以，椭圆的方程为2211612x y +=．44．【2018高考全国III 文20】（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2FP FA FB =+． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明；（2）解出m ，进而求出点P 的坐标，得到FP ，再由两点间距离公式表示出,FA FB ，得到直l 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．试题解析：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m =-．由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，． 由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP ．于是11||(22x FA x =-．同理2||=22xFB -．所以1214()32FA FB x x +=-+=，故2FA FB FP +=．45．【2018高考天津文19】（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x ya b a b+=>> 的右顶点为A ，上顶点为B AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线():0l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点,P M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．【解析】试题分析：（I ）由题意结合几何关系可求得3,2a b ==．则椭圆的方程为22194x y +=． （I I ）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632xk =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩可得1x =215x x =，可得89k =-，或12k =-．经检验k 的值为12-． 试题解析：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由AB ==3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （II ）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为()11,x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得2PM PQ =， 从而()21112x x x x -=--⎡⎤⎣⎦，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y，可得1x =．由215x x =()532k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，211212,5x x ==，符合题意． 所以，k 的值为12-．46．【2018高考江苏18】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点12⎫⎪⎭，焦点())120,0F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．【解析】试题分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得,a b ，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标．第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程． 试题解析：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点1)2在椭圆C 上，2222311,43,a ba b ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，222222000000()()() 24443640(482)x x y y y x ∴∆=--+-=-=．0000,0,,1x y x y >∴=．因此，点P的坐标为),1．②OAB △，所以1 2AB OP ⋅=7AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =2221212()()AB y x x y ∴=-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 22003x y +=，22022016(2)32(1)49x AB x -∴==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为y =+47．【2018高考全国1理19】（本小题满分12分）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为()2,0． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【解析】试题分析：（1）首先根据l 与x 轴垂直，且过点()1,0F ，求得直线l 的方程为1x =，代入椭圆方程求得点A 的坐标为1,2⎛ ⎝⎭或1,2⎛- ⎝⎭，利用两点式求得直线AM 的方程；（2）分直线l 与x 轴重合、l 与x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果．试题解析：（1）由已知得()1,0F ，l 的方程为1x =．由已知可得，点A 的坐标为1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．所以AM 的方程为2y x =-+2y x = （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，OMA OMB ∴∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA MB ,的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--． 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．2212121333221222422441284,,23()40212121k k k k k k kk x x x x x x k k k k x x k ---+++==∴-++=∴=+++． 从而0MA MB k k +=，故MA MB ,的倾斜角互补，OMA OMB ∴∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠．48．【2018高考全国3理20】（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：,,FA FP FB 成等差数列，并求该数列的公差．【解析】试题分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明；（2）解出m ，进而求出点P 的坐标，得到FP ，再由两点间距离公式表示出,FA FB ，得到直l 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．试题解析：（1）设()()1122,,,A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=．两式相减，并由1212y y k x x -=-得1212043x x y y k +++⋅=． 由题设知12121,22x x y y m ++==，于是34k m=-．① 由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得()1,0F ，设()33,P x y ，则()()()()3311221,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=． 由（1）及题设得()()31231231,20x x x y y y m =-+==-+=-<． 又点P 在C 上，34m ∴=，从而331,,22P FP ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．于是(122x FA x ==-=． 同理222x FB =-，()121432FA FB x x +=-+=∴． 2FP FA FB =+∴，即,,FA FP FB 成等差数列．设该数列的公差为d ，则12122d FB FA x x =-=-=将34m =代入①得1k =-， l ∴的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404xx -+=．故121212,28x x x x +==，代入②解得d =49．【2018高考天津理19】(本小题满分14分)设椭圆22221x x a b+=(a>b>0)的左焦点为F ，上顶点为B ． 已知椭圆的离心率为3，点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅= （I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点)，求k 的值． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意结合椭圆的性质可得,32a b ==．则椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）设点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ．由题意可得1259y y =．由方程组22{ 194y kx x y =+=，，可得1y =．由方程组{ 20y kx x y =+-=，，可得221ky k =+．据此得到关于k 的方程，解方程可得k 的值为12或1128． 试题解析：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259ca =，又由222a b c =+，可得23a b =．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=6ab =，从而,32a b ==，∴椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）设点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ．由已知有120y y >>，故12PQ sin AOQ y y ∠=-． 又2y AQ sin OAB =∠，而∠OAB=π4，故2AQ =．由AQ AOQ PQ =∠，可得1259y y =．由方程组22,194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，可得1y =． 易知直线AB 的方程为20x y +-=，由方程组{20y kx x y =+-=，，消去x ，可得221ky k =+． 由1259y y =，可得()15k +=25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =，k ∴的值为12或1128． 50．（2017天津文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b ．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ．（i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．【解析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e ．由已知，可得21()22b c a c +=．又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=． 又因为01e <<，解得12e =． 所以，椭圆的离心率为12． （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1m． 由（Ⅰ）知2a c =，可得直线AE 的方程为12x yc c+=，即220x y c +-=，与直线FP 的方程联立，可解得(22)3,22m c c x y m m -==++，即点Q 的坐标为(22)3(,)22m c c m m -++．由已知|FQ|=32c ，有222(22)33[]()()222m c c c c m m -++=++，整理得2340m m -=，所以43m =，即直线FP 的斜率为34． （ii ）由2a c =，可得b =，故椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=．由（i ）得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22223430,1,43x y c x y c c-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2276130x cx c +-=，解得137cx =-（舍去），或x c =． 因此可得点3(,)2cP c，进而可得5|2|c FP ==，所以53||||||22c cFP FQ Q c P -=-==．由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP ．因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248c cQN FQ QFN =⋅∠=⨯=，所以FQN △的面积为2127||||232c FQ QN =，同理FPM △的面积等于27532c ，由四边形PQNM 的面积为3c ，得22752733232c c c -=，整理得22c c =，又由0c >，得2c =，所以椭圆的方程为2211612x y +=．51．（2017天津理）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD △的面积为2AP 的方程． 【解析】（Ⅰ）设F 的坐标为(,0)c -．依题意，12c a =，2pa =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=．所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =． （Ⅱ）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m--，故2(1,)Q m-．将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ， 整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634my m -=+． 由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434m mB m m -+-++． 由2(1,)Q m-，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+．所以2222236||13232m m AD m m -=-=++．又因为APD △22162232||m m m ⨯⨯=+，整理得23|20m m -+=，解得||3m =，所以3m =±．所以，直线AP 的方程为330x +-=或330x -=．52．（2017江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．。
2024年高考数学题源追溯专题12 椭圆(解析版)
专题12 椭圆目录一览2023真题展现考向一 椭圆的性质考向二 直线与椭圆相交问题真题考查解读近年真题对比考向一 椭圆的性质考向二 直线与椭圆相交问题命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一 椭圆的性质1．（2023•新高考Ⅰ•第5题）设椭圆C 1：x 2a 2+y 2＝1（a ＞1），C 2：x 24+y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2．若e 2=3e 1，则a ＝（ ）A ．233B ．2C ．3D ．6【答案】A解：由椭圆C 2：x 24+y 2＝1可得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2=4−1=3，∴椭圆C 2的离心率为e 2=32，∵e 2=3e 1，∴e 1=12，∴c 1a 1=12，∴a 21=4c 21=4（a 21−b 21）＝4（a 21−1），∴a =233或a =−233（舍去）．考向二 直线与椭圆相交问题2．（2023•新高考Ⅱ•第5题）已知椭圆C ：x 23+y 2=1的左焦点和右焦点分别为F 1和F 2，直线y ＝x +m 与C 交于点A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的两倍，则m ＝（ ）A ．23B ．23C ．−23D ．−23【答案】C解：记直线y ＝x +m 与x 轴交于M （﹣m ，0），椭圆C ：x 23+y 2=1的左，右焦点分别为F 1（−2，0），F 2（2，0），由△F 1AB 面积是△F 2AB 的2倍，可得|F 1M |＝2|F 2M |，∴|−2−x M |＝2|2−x M |，解得x M =23或x M ＝32，∴﹣m =23或﹣m ＝32，∴m =−23或m ＝﹣32，y 2=1x +m可得，4x 2+6mx +3m 2﹣3＝0，∵直线y ＝x +m 与C 相交，所以Δ＞0，解得m 2＜4，∴m ＝﹣32不符合题意，故m =−23．【命题意图】考查椭圆的定义、标准方程、几何性质、直线与椭圆．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【考查要点】椭圆的定义、方程、性质、直线与椭圆是高考常考内容，以小题形式出现，常规题，难度中等．【得分要点】一、椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(2)常数(2a )必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．①若1212||||||MF MF F F +=，M 的轨迹为线段21F F ；②若1212||||||MF MF F F +<，M 的轨迹无图形二、椭圆的方程及简单几何性质x 2y 2y 2x 2椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．以椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)椭圆的定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a .(2)余弦定理：4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.(3)面积公式：S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值，为bc .重要结论：S △PF 1F 2=2tan2b θ推导过程：由余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ得2224||+||-2||||(1cos 121c PF PF PF PF θ=+（））2212442||||(1cos )c a PF PF θ=-+2122||||1cos b PF PF θ=+由三角形的面积公式可得S △PF 1F 2=121|PF ||PF |sin 2θ=222222sincos12sin 22sin tan 21cos 1cos 2cos 2b b b b θθθθθθθθ⋅⋅===++注：S △PF 1F 2=2tan2b θ=||p y c =r c a )(+（r 是三角形内切圆的半径）(4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．(5)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中,F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意的一点，当点P 在短轴端点时，12F PF ∠最大.四、点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2>1.五、直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系，判断方法：联立Error!消y 得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．六、直线与椭圆相交的弦长公式1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．2．求弦长的方法(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．(2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k ，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则弦长公式为：|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.y考向一 椭圆的性质3．（2021•新高考Ⅰ）已知F 1，F 2是椭圆C ：+＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|•|MF 2|的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．6【解答】解：F 1，F 2是椭圆C ：+＝1的两个焦点，点M 在C 上，|MF 1|+|MF 2|＝6，所以|MF 1|•|MF 2|≤＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时，取等号，所以|MF 1|•|MF 2|的最大值为9．故选：C ．4．（2022•新高考Ⅱ）已知直线l +＝1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于M ，N 两点，且|MA |＝|NB |，|MN |＝2，则l 的方程为 ．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点为E ，由+＝1，+＝1，相减可得：＝﹣，则k OE •k AB ＝•＝＝﹣，设直线l 的方程为：y ＝kx +m ，k ＜0，m ＞0，M （﹣，0），N （0，m ），∴E （﹣，），∴k OE ＝﹣k ，∴﹣k•k＝﹣，解得k＝﹣，∵|MN|＝2，∴＝2，化为：+m2＝12．∴3m2＝12，m＞0，解得m＝2．∴l的方程为y＝﹣x+2，即x+y﹣2＝0，故答案为：x+y﹣2＝0．考向二直线与椭圆相交问题5．（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是 ．【解答】解：∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴，由等腰三角形的性质可得，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，设直线DE方程为y＝，D（x1，y1），E（x2，y2），将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx﹣32c2＝0，由韦达定理可得，，，|DE|＝＝＝＝，解得c＝，△ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|＝4a＝8c＝．故答案为：13．根据近几年考查形式推测以小题形式出现，常规题，难度中等．椭圆的定义、方程、性质、直线与椭圆是高考常考内容。
(完整版)近五年椭圆高考题汇编,推荐文档
近年高考题 椭圆部分选编卷一1．已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 （ ） A 、4 B 、5 C 、7 D 、82．设椭圆的两个焦点分别为12F F 、，过1F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A 、22B 、212- C 、22- D 、21- 3．已知△ABC 的顶点C B ,在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）A 、2 3B 、6C 、4 3D 、124．曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的（ ） A 、焦距相等 B 、离心率相等 C 、焦点相同 D 、准线相同5．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 （ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y += 6．已知椭圆C :22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 上点A 满足212AF F F ⊥. 若点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A ⋅u u u r u u u u r 的最大值为 （ ）A. 32B. 233 C. 94 D. 154 7．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点,∆21F PF 是底角为30o的等腰三角形,则E 的离心率为 （ ）A ．12B ．23C ．34D ．458．椭圆22143x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积是____________.9．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线3()y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________10．椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.11．设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4CBA π∠=,若AB=4,2BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为________ .12．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______________；13．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △的顶点(40)A -，和(40)C ，，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin A C B+=_____； 14．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是。
高考数学专题《椭圆》习题含答案解析
专题9.3 椭圆1.（浙江高考真题）椭圆的离心率是（ ）ABC ．D ．【答案】B 【解析】，选B ．2.（2019·北京高考真题）已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则( )A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B 【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =,故选B.3．（上海高考真题）设p 是椭圆2212516x y+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A.4B.5C.8D.10【答案】D 【解析】因为椭圆的方程为2251162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，故选D ．4．（2020·四川资阳�高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ）A ．22143x y +=B ．22186x y +=C ．22142x y +=D ．22184x y +=22194x y +=2359e ==练基础【答案】A 【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=.故选：A5.（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c，直线:l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ）AB ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A，则y x =由2AB c =，可知OA c ==c =，解得x =，所以1,3A c ⎫⎪⎪⎭把点A 代入椭圆方程得到22221331c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4281890e e -+=，即()()2243230e e --=，因01e <<，所以可得e =故选A 项.6．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆2211615y x+=的上、下焦点，在椭圆上是否存在点P ，使11PF ，121F F ，21PF 成等差数列？若存在求出1PF 和2PF 的值；若不存在，请说明理由．【答案】不存在；理由见解析．【分析】假设存在点P 满足题设，解方程组1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩得1PF 和2PF 的值，再检验即得解.【详解】解：假设存在点P 满足题设，则由2211615y x +=及题设条件有1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，即121288PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得1244PF PF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，或1244PF PF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩由2211615y x +=，得4a =，1c =．则135a c PF a c -=≤≤+=，235a c PF a c -=≤≤+=．∵45+>，43-，∴不存在满足题设要求的点P ．7．（2021·全国高三专题练习）设F 是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点i P （1i =，2，…），使1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，求a 的取值范围．【答案】11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 【分析】分情况讨论等差数列是递增，还是递减，分别列出不等式求解范围.【详解】解：注意到椭圆的对称性及i FP 最多只能两两相等，可知题中的等差数列可能是递增的，也可能是递减的，但不可能为常数列，即0d ≠．先考虑一般情形，由等差数列的通项公式有()11n FP FP n d =+-，（n *∈N ），因此11n FP FP n d-=+．对于椭圆2222x y a b+（0a b >>），其焦半径的最大值是a c +，最小值是a c -（其中c =．当等差数列递增时，有n FP a c ≤+，1FP a c ≥-．从而()12n FP FP a c a c c -≤+--=．再由题设知1c =，且21n ≥，故2211d ≤+，因此1010d <≤．同理，当等差数列递减时，可解得1010d -≤<，故所求d 的取值范围为11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．8．（2021·全国高三专题练习）已知定点()2,2A -，点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点M 在椭圆上移动时，求2AM MF +的最大值；【答案】10+【分析】由椭圆定义，转化1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，即得解【详解】如图所示，设1F 是左焦点，则()13,0F -，1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，=∴10AM MF +≤+当点F 1在线段AM 上时，等号成立，即AM MF +的最大值为10．9．（2021·云南师大附中高三月考（理））椭圆C : 22221(0)x y a b a b +=>>，且点A (2，1)在椭圆C 上，O 是坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过原点，且l ⊥OA ，若l 与椭圆C 交于B ， D 两点，求弦BD 的长度.【答案】（1）22182x y C +=：；（2【分析】（1）利用离心率和点在椭圆上可求出椭圆的标准方程；（2）先利用直线垂直的判定得到直线l 的斜率和方程，联立直线和椭圆的方程，消元得到关于x 的一元二次方程，进而求出交点坐标，再利用两点间的距离公式进行求解.【详解】（1）由e =得：12c b a ==，，又点(21)A ，在椭圆上，所以224114a a +=，得a =b =所以椭圆的方程是22182x y C +=：．（2）直线OA 的方程是12y x =，因为l OA ⊥，且l 过点O ，所以直线l 的方程是2y x =-，与椭圆联立，得：2178x =，即x =所以B D ⎛ ⎝，，则||BD =10．（2021·南昌大学附属中学高二月考）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，且2259a b =.（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.【答案】（1）此椭圆的方程为22195x y +=；（2）12F PF △【分析】（1）由已知条件求出椭圆中229,5a b ==即可得到椭圆方程；（2）结合椭圆的定义以及余弦定理的知识求出12PF PF ⋅的值，运用三角形面积公式即可求解.【详解】（1）因为()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，所以2224c a b =-=，①又因为2259a b =，②所以由①②可得229,5a b ==，所以此椭圆的方程为22195x y +=.（2）设()12,,,0PF m PF n m n ==>，由椭圆定义可知26m n a +==，③在12F PF △中，由余弦定理得()2222cos23m n mn c π+-=，即2216m n mn +-=，④由③④式可得，203mn =，所以121120sin 2323F PF S mn π==⨯=△即12F PF △1．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得过点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．C．⎫⎪⎪⎭D．⎫⎪⎭【答案】C练提升【分析】若长轴端点P '，由椭圆性质：过P 的两条切线互相垂直可得45AP O α'=∠≤︒，结合sin b aα=求椭圆离心率的范围.【详解】在椭圆1C 的长轴端点P '处向圆2C 引两条切线P A '，P B '，若椭圆1C 上存在点P ，使过P 的两条切线互相垂直，则只需90AP B '∠≤︒，即45AP O α'=∠≤︒，∴sin sin 45b a α=≤︒=222a c ≤，∴212e ≥，又01e <<，1e ≤<，即e ⎫∈⎪⎪⎭．故选：C2．（2020·湖北黄州�黄冈中学高三其他（文））已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，经过原点的直线与C 交于A ，B 两点，总有120AFB ∠≥︒，则椭圆C 离心率的取值范围为______.【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】如图，设椭圆右焦点为2F ，由对称性知2AFBF 是平行四边形，22AF F BFF ∠=∠，∵120FB ∠≥︒，∴260FAF ∠≤︒，设AF m =，2AF n =，由椭圆定义知2m n a +=，则22()4m n mn a +≤=，当且仅当m n =时等号成立，在2AFF V 中，由余弦定理得2222222222222()244444cos 11122222m n FF m n mn c a c a c FAF emn mn mn a +-+----∠===-≥-=-，又260FAF ∠≤︒，21cos 2FAF ∠≥，∴21122e -≥，解得102e <≤．故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．3.（2019·浙江高三月考）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆相交于AB 两点，且113AF F B =，则k =___.1 【解析】由于点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，由于y x =的倾斜角为π4,画出图像如下图所示，由于O 是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知12QF F ∆为等腰直角三角形，且Q为短轴的端点，故离心率πcos 4c a ==.不妨设,a b c t ===，则椭圆方程化为222220x y t +-=，设直线AB 的方程为10x my t m k ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，代入椭圆方程并化简得()222220my mty t +--=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12222mty y m +=+①，21222t y y m -⋅=+②.由于113AF F B = ，故123y y =-③.解由①②③组成的方程组得1m =，即11,1k k==.故填：（1；（2）1.4．（2019·浙江温州中学高三月考）已知点P 在圆22680x y y +-+=上，点Q 在椭圆()22211x y a a+=>上，且PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则PQ QF +的最大值等于__________．5+【解析】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=，圆心(0,3)A .PQ 的最大值为5等价于AQ 的最大值为4设(,)Q x y ，即22(3)16x y +-≤，又()22211xy a a+=>化简得到222(1)670(11)a y y a y --+-≤-≤≤ 当1y =-时，验证等号成立对称轴为231x a =-满足231,21x a a =≤-≤-故12a <≤22222211314c a e e a a a -===-≤∴≤当2a =时，离心率有最大值，此时椭圆方程为2214x y +=，设左焦点为1F11141455PQ QF PQ QF AQ QF AF +=+-≤++-≤+=+当1,,,A F P Q 共线时取等号.和5+5．（2020·浙江高三月考）已知P 是椭圆2222111x y a b +=（110>>a b ）和双曲线2222221x y a b -=（220,0a b >>）的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值为________．.【解析】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，那么12PF PF >，因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为c ，根据椭圆与双曲线的定义，有：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，解得112=+PF a a ，212=-PF a a ，在12F PF ∆中，由余弦定理，可得：2221212122cos3π=+-F F PF PF PF PF ，即222121212124()()()()=++--+-c a a a a a a a a ，整理得2221243=+c a a ，所以22121134+=e e ，又2212113+≥e e ，所以12≥e e .6．（2020·浙江高三其他）已知当动点P 到定点F （焦点）和到定直线0x x =的距离之比为离心率时，该直线便是椭圆的准线.过椭圆2214x y +=上任意一点P ，做椭圆的右准线的垂线PH（H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH (λ≥1).当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是___.【答案】⎫⎪⎪⎭【解析】由题可知：椭圆2214x y +=的右准线方程为x =设()()00,,,P x y Q x y，所以点0⎫⎪⎭H y 由λ=HQ PH ，所以λ=HQPH0⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ HQ x y y，0,0⎫=⎪⎭PH x 又λ= HQ PH，所以00,0λ⎛⎫⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎭x y y x所以00x y y==由220014x y +=221=y 则点Q221+=y 设点Q 的轨迹的离心率e则2222411144λλλ-==-e 由1λ≥，所以213144λ-≥所以234e ≥，则e ≥，又1e <所以⎫∈⎪⎪⎭e故答案为：⎫⎪⎪⎭7．（2021·全国高三专题练习）设椭圆的中心在坐标原点.长轴在z 轴上，离心率e =知点30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆方程，并求椭圆上到点O 的距离的点的坐标.【答案】2214x y +=;12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】设以P 点为圆心的圆与椭圆相切，结合判别式等于零，参数值可确定，符合条件的两个点的坐标也可求得.【详解】∵e =c a =2234c a =.∵222a c b -=，∴2214a b =，224a b =，∴设椭圆方程为222214x y b b+=①又∵30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则可构造圆22372x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. ②此圆必与椭圆相切，如图所示，由①②整理得221933404y y b ++-=.∵椭圆与圆相切，∴219912404b ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，③ ∴1b =，则2a =.则所求椭圆方程为2214x y +=. ④把1b =代入方程③可得12y =-，把12y =-代入④得x =∴椭圆上到点P的点的坐标为12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.8．（2021·全国高三专题练习）椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上动点，当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】⎛ ⎝【分析】当12F PF ∠为直角时，作以原点为圆心，2OF 为半径的圆，若该圆与已知椭圆相交，则圆内的椭圆弧所对应的x 的取值范围即为所求点P 横坐标的取值范围.【详解】22194x y +=的焦点为1(F、2F ，如图所示：A 、B 、C 、D 四点，此时12F AF ∠、12F BF ∠、12F CF ∠、12F DF ∠都为直角，所以当角的顶点P 在圆内部的椭圆弧上时，12F PF ∠为钝角，由22221945x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得x x ==.因为椭圆和圆都关于坐标轴对称，所以点P横坐标的取值范围是⎛ ⎝.9．（2021·全国）（1）已知1F ，2F 是椭圆22110064x y+=的两个焦点，P是椭圆上一点，求12PF PF ⋅的最大值；（2）已知()1,1A ，1F 是椭圆225945x y +=的左焦点，点P 是椭圆上的动点，求1PA PF +的最大值和最小值．【答案】（1）100；（2）1||||PA PF +的最大值为66【分析】（1）利用椭圆定义和基本不等式求12||||PF PF ⋅的最值；（2）求1||||PA PF +的最值时，利用椭圆的定义将其转化为求2||||PF PA -的最值，显然当P ，A ，2F 三点共线时取得最值．【详解】（1）∵10a =，1220||||PF PF =+≥，当且仅当12||||PF PF =时取等号，∴12||||100PF PF ⋅≤，当且仅当12||||PF PF =时取等号，∴12||||PF PF ⋅的最大值为100．（2）设2F 为椭圆的右焦点，225945x y +=可化为22195x y +=，由已知，得12||||26PF PF a +==，∴12||6||PF PF =-，∴()12||||6||||PA PF PF PA +=--．①当2||||PA PF >时，有220||||||PA PF AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最大，此时点P 是射线2AF 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最大值是6+②当2||||PA PF <时，有220||||||PF PA AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最小，此时点P 是射线2F A 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最小值是6综上，可知1||||PA PF +的最大值为6610．（2021·贵州高三月考（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l经过椭圆C 的右焦点F 与上顶点，原点O 到直线l （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率不为0的直线n 过点F ，与椭圆C 交于M ，N 两点，若椭圆C 上一点P 满足MN = ，求直线n 的斜率.【答案】（1）2212x y +=；（2）±1.【分析】（1）由已知条件可得c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再结合222a b c =+，可求出,a b ，从而可求得椭圆方程，（2）设直线n 的方程为1x my =+，设点()()1122,,,M x y N x y ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x，利用根与系数的关系，结合MN =表示出点P 的坐标，再将其坐标代入椭圆方程中可求得直线n 的斜率【详解】（1）由题意可得椭圆C 的右焦点(c,0)F 与上顶点(0,)b ，所以直线l 为1x yc b+=，即0bx cy bc +-=，因为椭圆C，原点O 到直线0bx cy bc +-=，所以c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c =+，解得1b c ==，a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线n 的斜率不为0，所以可设直线n 的方程为1x my =+.设点()()1122,,,M x y N x y ，联立方程22220,1,x y x my ⎧+-=⎨=+⎩得()222210my my ++-=，则12122221,22m y y y y m m +=-=-++.因为MN =，所以))2121P x x y y ⎫--⎪⎪⎭， 将点P 的坐标代入椭圆方程得1212223x x y y +=-，即()()121221123my my y y +++=-，解得21m =， 故直线n 的斜率为±1.练真题1．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出 PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32bb c-≤-，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤当32b b c ->-，即22b c <时， 42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．2.（2018·全国高考真题（理））已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为为等腰三角形，，所以PF 2=F 1F 2=2c,由得，，1F 2F 22221(0)x y C a b a b+=>>：A C P A 12PF F △12120F F P ∠=︒C 2312131412PF F △12120F F P ∠=︒AP 222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=由正弦定理得,所以，故选D.3.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若，，则C 的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B ．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B ．4.（2019·全国高考真题（文））设为椭圆的两个焦点，为上2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠22214,π54sin(3c a c e a c =∴==+121,01,0F F -()，()222AF F B =││││1AB BF =││││2212x y +=22132x y +=22143x y +=22154x y +=2F B n =212,3AF n BF AB n ===121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=1AF B △22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅12AF F △2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=2F B n =212,3AF n BF AB n ===121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=12AF F △12BF F △2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩2121,AF F BF F ∠∠2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=2121cos cos AF F BF F ∠∠,223611n n +=n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=12F F ，22:+13620x y C =M C一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.【答案】【解析】由已知可得，．∴．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．5．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>（1）证明：a；（2）若点9,10M ⎛ ⎝在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥.①求直线l 的方程；②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（20y -=；②2213x y +=.【分析】（1）由ba=可证得结论成立；（2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程.【详解】12MF F △M (2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=11228MF F F c ∴===24MF =M ()()0000,0,0x y x y >>121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△12014,42MF F S y =⨯=∴=△0y =20136x ∴=03x =03x =-M \(（1）c e a =====b a ∴=a ；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当9,10⎛ ⎝在椭圆C的内部时，22293310b ⎛⎛⎫+⋅< ⎪ ⎝⎭⎝，可得b >设点()11,P x y 、()22,Q x y，则121292102x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以，1212y y x x +=+由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=，所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝，所以，直线l方程为910y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝，即y =所以，直线l0y -=；②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->，由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥ ，而()11,OP x y = ，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.6. （2020·天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-．【解析】（Ⅰ） 椭圆()222210x ya b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ） 直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx +=，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+.将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk kk k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =.所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.。
椭圆高考专题精心整理版
所以，直线 m 的斜率
3 2.
C:
8. （2013 年山东数学 （理） 试题） 椭圆
x2 y 2 1 (a b 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 , a 2 b2
离心率为
3 2 ,过 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 的长轴于点 M (m, 0) ,求 m 的取值范围; (Ⅲ )在 (Ⅱ )的条件下 , 过 P 点作斜率为 k 的直线 l , 使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 设直线
所以 a 2 , b 1
x2 y2 1 所以椭圆方程为 4
PF1 PM PF2 PM PF1 PM PF2 PM 2 | PF1 || PM | = | PF2 || PM | , | PF1 | = | PF2 | ,设 P( x0 , y0 ) 其中 x0 4 , (Ⅱ)由题意可知:
x2 y 2 1(a b 0) a 2 b2 的左焦点为 F,C 与过原
)
4 点的直线相交于 A,B 两点,连接 AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= 5 ,则 C 的离心率为 (
3 5 A. 5 7 B. 4 5 C. 6 7 D.
【解题指南】 由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点到右焦点的距离， 进而求得
2
k .因为 PA2
[2,1]
,所以
3 3 k PA1 [ , ] 8 4
3.
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b （2013·四川高考文科·Ｔ9）从椭圆 上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足
F 恰为左焦点 1 ，A 是椭圆与 轴正半轴的交点，B 是椭圆与
椭圆历年高考题精选
31．(06天津文8)椭圆的中心为点 ，它的一个焦点为 ，相应于焦点 的准线方程为 ，则这个椭圆的方程是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
32．（06全国Ⅱ理5）已知 的顶点B、C在椭圆 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则 的周长是
20.(2008湖南理)已知椭圆 （a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为 ,离心率e= 过顶点A(0,b)作AM ,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .
21.(2008江苏)在平面直角坐标系中，椭圆 1( 0)的焦距为2，以O为圆心， 为半径的圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 = ．
22．(2008全国Ⅰ卷文)在 中， ， ．若以 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆的离心率 ．
且椭圆的离心率e= .
(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF 的中点，求证：∠ATM=∠AF T.
27．(06全国Ⅰ理20)在平面直角坐标系 中，有一个以 和 为焦点、离心率为 的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与 轴的交点分别为A、B，且向量 。求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ） 的最小值。
29．（06浙江理19）如图，椭圆 ＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质直线方程平面向量的计算曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力奎屯新疆满分14分奎屯由题意可设椭圆的方程为新疆由已知得新疆设直线pq的方程为新疆由方程组2718由直线pq的方程得新疆于是oqop新疆因此直线pq的方程为新疆由已知得方程组因此fqfm新疆15解由已知可得点a60f04设点pxy则apx6yfpx4y由已知可得2036资料内容仅供您学习参考如有不当或者侵权请联系改正或者删除
历年文科高考椭圆题 带解析
第六节 椭圆 强化训练当堂巩固1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15答案:B解析:由2a,2b,2c 成等差数列,所以2b=a+c. 又222b a c =-,所以222()4()a c a c +=-. 所以53a c =.所以35c e a ==.2.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴,直线AB 交y 轴于点P.若AP 2PB =u u u r u u u r,则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12答案:D解析:对于椭圆,∵AP 2PB =u u u r u u u r,则OA 2OF =u u u r u u u r , ∴a=2c.∴12e =.3.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的左、右焦点分别为1(0)F c -,、2(0)F c ,,若椭圆上存在一点P 使1221sin PFF sin PF F a c =,∠∠则该椭圆的离心率的取值范围为 . 答案:(211)-,解析:因为在△12PF F 中,由正弦定理得211221sin PFF sin PF F PF PF ||||=,∠∠则由已知,得1211a c PF PF =,||||即a|1PF |=c|2PF |. 由椭圆的定义知|1PF |+|2PF |=2a,则c a |2PF |+|2PF |=2a,即|2PF |22a c a=,+ 由椭圆的几何性质知|2PF |<a+c,则22a c a<+a+c,即2220c c a +->, 所以221e e +-,解得21e <-或21e >-.又(01)e ∈,,故椭圆的离心率(211)e ∈,.4.椭圆22192y x +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在椭圆上,若|1PF |=4,则|2PF |= ;12F PF ∠的大小为 .答案:2 120o解析:∵2292a b =,=,∴22927c a b =-=-=∴|12F F |7=又|1PF |=4,|1PF |+|2PF |=2a=6, ∴|2PF |=2.又由余弦定理,得cos 2221224(27)12242F PF +-∠==-,⨯⨯∴12120F PF ∠=o ,故应填2,120o .5.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的离心率3e =连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. (1)求椭圆的方程;(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A 的坐标为(-a,0). ①若|AB|42=求直线l 的倾斜角;②若点0(0)Q y ,在线段AB 的垂直平分线上,且QA QB ⋅u u u r u u u r=4.求0y 的值.解:(1)由32c e a==得2234a c =.再由222c a b =-,解得a=2b. 由题意可知12242a b ⨯⨯=,即ab=2.解方程组 22a b ab =,⎧⎨=,⎩ 得a=2,b=1.所以椭圆的方程为2214x y +=. (2)①由(1)可知点A 的坐标是(-2,0).设点B 的坐标为11()x y ,,直线l 的斜率为k. 则直线l 的方程为y=k(x+2).于是A,B 两点的坐标满足方程组22(2)14y k x x y =+,⎧⎪⎨+=.⎪⎩ 消去y 并整理,得 2222(14)16(164)0k x k x k +++-=.由212164214k x k --=,+得2122814k x k -=+.从而12414k y k =+. 所以|AB|22222241284(2)()1414k k k k k +-=--+=++由|AB|42=24142k +=. 整理得42329230k k --=,即22(1)(3223)0k k -+=,解得1k =±. 所以直线l 的倾斜角为4π或34π.②设线段AB 的中点为M,由①得M 的坐标为22282()1414k k k k-,++. 以下分两种情况:(ⅰ)当k=0时,点B 的坐标是(2,0),线段AB 的垂直平分线为y 轴,于是0QA (2)y =-,-,u u u r 0QB (2)y =,-u u u r. 由QA QB ⋅u u u r u u u r=4,得022y =±.(ⅱ)当0k ≠时,线段AB 的垂直平分线方程为222281()1414k k y x k k k -=-+++.令x=0,解得02614k y k =-+.由0QA (2)y =-,-,u u u r QB u u u r110()x y y =,-, QA QB ⋅u u u r u u u r10102()x y y y =---222222(28)646()14141414k k k k k k k k --=++++++ 42224(16151)4(14)k k k +-==,+整理得272k =.故147k =±,所以02145y =±.综上022y ,=±或02145y =±.课后作业巩固提升见课后作业A题组一 椭圆的离心率问题1.椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的右焦点为F,其右准线与x 轴的交点为A,在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是( )A.2(0]2,B.1(0]2,C.[211)-,D.1[1)2,答案:D解析:|AF|22a b c c c=-=,而|PF|a c ≤+,所以2b a c c+≥, 即2210e e +-≥,解得112e ≤<.2.已知12F F ,是椭圆的两个焦点,过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若△2ABF 是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( )A.32B.22C.21-D.2答案:C解析:根据题意:2145AF F ∠=o 2222b c e e a,=,+-1=0,又(01)e ∈,,∴21e =-.3.设椭圆22221(0y x m m n+=>,n>0)的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为( )A.2211216y x += B.2211612y x +=C.2214864y x += D.2216448y x += 答案:B解析:由题意可知:c=2,且焦点在x 轴上.由12e =,可得m=4,∴22212n m c =-=.故选B.题组二 椭圆的定义4.设P 是椭圆2212516y x +=上的点.若12F F ,是椭圆的两个焦点,则|1PF |+|2PF |等于( ) A.4 B.5 C.8 D.10 答案:D解析:因为a=5,所以|1PF |+|2PF |=2a=10.5.设直线l :2x+y-2=0与椭圆2214y x +=的交点为A 、B,点P 是椭圆上的动点,则使△PAB 面积为13的点P的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案:D解析:联立方程组 2222014x y y x +-=,⎧⎪⎨+=,⎪⎩ 消去y 整理解得:02x y =,⎧⎨=⎩ 或 10x y =,⎧⎨=,⎩|AB|= 结合图象知P 的个数为4.题组三 椭圆的综合应用6.已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为 .答案:221369y x += 解析:212e a a ==,=6,b=3,则所求椭圆方程为221369y x +=. 7.已知1F 、2F 是椭圆C:22221(y x a b a b+=>>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且12PF PF ⊥u u u u u u u r u u u u u u u r .若△12PF F 的面积为9,则b= .答案:3解析:依题意,有 1212222122184PF PF a PF PF PF PF c ||+||=,⎧⎪||⋅||=,⎨⎪||+||=,⎩ 可得2436c +24a =,即229a c -=,∴b=3.8.在平面直角坐标系xOy 中1212A A B B ,,,,为椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的四个顶点,F 为其右焦点,直线12A B 与直线1B F 相交于点T,线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为 .答案:5-解析:直线12A B 的方程为:1yx ab+=-;直线1B F 的方程为:1y x c b +=-;二者联立解得点()2()b a c ac T a c a c+,,--则OT 中点()()2()b a c ac M a c a c +,--在椭圆22221(y x a b a b+=>>0)上, 222222()11030()4()a c c c ac a a c a c ++=,+-=,--3e +10e-3=0,解得275e =-.9.已知椭圆C:2212x y +=的两焦点为12F F ,,点00()P x y ,满足2200012x y <+<,则|1PF |+|2PF |的取值范围为,直线02x x+01y y =与椭圆C 的公共点个数为 .答案:[222), 0解析:延长1PF 交椭圆C 于点M,故|12F F |≤|1PF |+|2PF |<|1MF |+|2MF |=2a,即2≤|1PF |+|2PF |22<;当00y =时2002x ,<<,直线0012x xy y +=为x=02(2)(2)x ∈-∞,-⋃,+∞与椭圆C 无交点; 当00y ≠时,直线0012x xy y +=为0012x xy y -=,代入2212x y +=中有 222000()222x y x x x +-+-2020y =. ∵2222000044()(22)2x x y y ∆=-+-22008(1)02x y =+-<,∴直线与椭圆无交点. 10.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D,且2BF FD =,u u u r u u u r则椭圆C的离心率为 .答案:33解析:如图,不妨设B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,设D(x,y).由2BF FD =,u u u r u u u r得(c,-b)=2(x-c,y),即 2()2c x c b y =-,⎧⎨-=,⎩ 解得 322c x b y ⎧=,⎪⎨⎪=-,⎩ 3()22c b D ,-.由2BF FD =,u u u r u u u r 可得|FD u u u r |12=|BF u u u r |2a =, ①又由椭圆第二定义知,|FD u u u r |2233()()22a c a c c e c c a=-⋅=-⋅. ②由①②解得223a c =,即213e =,∴33e =11.如图,椭圆C:22221y x a b+=的顶点为1212A A B B ,,,,焦点为12F F ,,|11A B |7=,1122B A B A S Y 11222B F B F S =Y .(1)求椭圆C 的方程;(2)设n 为过原点的直线,l 是与n 垂直相交于P 点.与椭圆相交于A,B 两点的直线,|OP u u u r|=1.是否存在上述直线l 使0OA OB ⋅=u u u r u u u r成立?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)由|11A B |7=知227a b +=, ① 由112211222B A B A B F B F S S =Y Y 知a=2c, ②又222b a c =-, ③由①②③,解得2243a b =,=,故椭圆C 的方程为22143y x +=. (2)设A,B 两点的坐标分别为1122()()x y x y ,,,,假设使0OA OB ⋅=u u u r u u u r成立的直线l 存在,①当l 不垂直于x 轴时,设l 的方程为y=kx+m ,由l 与n 垂直相交于P 点且|OP u u u r|=1得 211m k ||=,+即221m k =+. 由0OA OB ⋅=u u u r u u u r得12120x x y y +=.将y=kx+m 代入椭圆方程,得222(34)8(412)0k x kmx m +++-=, 由求根公式可得122834km x x k-+=,+ ④212241234m x x k -=+. ⑤ 121212120()()x x y y x x kx m kx m =+=+++221212(1)()k x x km x x m =++++,将④⑤代入上式并化简得222222(1)(412)8(34)0k m k m m k +--++=. ⑥ 将221m k =+代入⑥并化简得25(1)0k -+=,矛盾. 即此时直线l 不存在.②当l 垂直于x 轴时,满足|OP u u u r|=1的直线l 的方程为x=1或x=-1, 则A,B 两点的坐标为33(1)(1)22,,,-或(-133)(1)22,,-,-,当x=1时33(1)(1)22OA OB ,⋅=,⋅,-=u u u r u u u r504-≠;当x=-1时3(1)(12OA OB ,⋅=-,⋅-,u u u r u u u r32-5)04=-≠,∴此时直线l 也不存在.综上可知,使0OA OB ⋅=u u u r u u u r成立的直线l 不存在.12.如图,已知椭圆22221yxa b+=（a>b>0)过点2(1)2,,离心率为22,左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点,直线1PF和2PF与椭圆的交点分别为A B,和C, D,O.为坐标原点(1)求椭圆的标准方程.(2)设直线1PF,PF2的斜率分别为1k,k2.(ⅰ)证明:12312k k-=.(ⅱ)问直线l上是否存在点P,使得直线OA OB OC OD,,,的斜率kOA,kOB,kOC,kOD满足+OAk+0OB OC ODk k k+=?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;存不存在,说明理由.解:(1)因为椭圆过点22(1e,=所以2221112caa b+=,=.又222a b c=+,所以21a b c==,=1.故所求椭圆的标准方程为2212x y+=.(2)(ⅰ)证明:方法一:由于1(10)F-,,F21(10)PF,,,PF2的斜率分别为1k,k2,且点P不在x轴上,所以121200k k k k≠,≠,≠.又直线12PF PF,的方程分别为12(1)(1)y k x y k x=+,=-,联立方程解得122112212k kxk kk kyk k+⎧=,⎪-⎪⎨⎪=,-⎪⎩所以121221212()k k k kPk k k k+,--.由于点P在直线x+y=2上,所以12122122k k k kk k++=-.因此1212230k k k k+-=,即12312k k-=,结论成立.方法二:设00()P x y,,则00120011y yk kx x=,=+-.因为点P不在x轴上,所以0y≠.又002x y+=,所以00001213(1)422312x x x y k k y y y y +---=-===. 因此结论成立.(ⅱ)设()()()A A B B C C A x y B x y C x y ,,,,,,()D D D x y ,.联立直线1PF 与椭圆的方程得 122(1)12y k x x y =+,⎧⎪⎨+=,⎪⎩ 化简得2222111(21)4220k x k x k +++-=,因此221122114222121A B A B k k x x x x k k -+=-,=,++由于OA,OB 的斜率存在,所以00A B x x ≠,≠,因此2101k ≠,. 因此11(1)(1)A B A B OA OB A B A By y k x k x k k x x x x +++=+=+ 211112142(2)22A B A B x x k k k k x x k +=+=--12121k k =--. 相似地,可以得到220001C D x x k ≠,≠,≠,,22221OC OD k k k k +=-,- 故1222122()11OA OB OC OD k k k k k k k k +++=-+-- 2212112222122(1)(1)k k k k k k k k -+-=--- 121222122(1)()(1)(1)k k k k k k -+=---. 若0OA OB OC OD k k k k +++=,须有120k k +=或121k k =.①当120k k +=时,结合(ⅰ)的结论,可得22k =-,所以解得点P 的坐标为(0,2);②当121k k =时,结合(ⅰ)的结论,解得23k =或21(k =-此时11k =-,不满足12k k ≠,舍去),此时直线CD 的方程为y=3(x-1),联立方程x+y=2得5344x y =,=.因此53()44P ,.综上所述,满足条件的点P 的坐标分别为(0532)()44,,,.文档鉴赏。
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近年高考题 椭圆部分选编卷一
１.已知椭圆22
1102
x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 ( ) A 、4 Ｂ、5 C 、7 D 、8
2.设椭圆的两个焦点分别为12F F 、,过1F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若12F PF ∆为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( ）
A 、2
B 、12
Ｃ、2 D 1 ３.已知△ABC 的顶点C B ,在椭圆13
22
=+y x 上,顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是( ）
A 、2错误!未定义书签。
B 、6
C 、43
D 、1２ 4.曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线)95(1952
2<<=-+-n n
y n x 的( ) Ａ、焦距相等 B 、离心率相等 C 、焦点相同 D 、准线相同
5.已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 （ ） A.2214536x y +=ﻩB ．2213627x y +=ﻩC ．2212718x y += D.22
1189
x y += 6.已知椭圆C :22
143
x y +=的左、右焦点分别为1F ,2F ,椭圆C 上点A 满足212AF F F ⊥． 若点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A ⋅的最大值为 （ )
A. Ｂ. 2
33 C. 94 D. 154 7．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32
a x =上一点,∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为ﻩ( ）
A ．12
B ．23ﻩC.34 D ．45
8．椭圆22143x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积是______＿_＿___.
9．椭圆22
22:1(0)x y a b a b
Γ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为２c,若直线3()y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于＿__＿＿＿___＿
10．椭圆22
221x y a b
+=(a >ｂ>0)的左、右顶点分别是A 、Ｂ，左、右焦点分别是F 1,F 2.若|ＡF 1｜,|F 1F ２|，|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为______＿_＿＿__＿__.
１1.设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4CBA π∠=
,若AB ＝4,2BC =,则Γ的两个焦点之间的距
离为_＿___＿__ . １２．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为_____________＿;
1３.在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △的顶点(40)A -，和(40)C ，,顶点B 在椭圆22
1259
x y +=上,则sin sin sin A C B
+=＿___＿; 14.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是。
1５．如图把椭圆22
12516
x y +=的长轴AB 分成８分,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P 七个点,F 是椭圆的一个焦点，则
127......PF P F P F +++=_____＿＿_____．
二、解答题
1． 已知椭圆2222:1(0)y x G a b a b +=>>的离心率为12
,过椭圆G 右焦点F 的 直线:1m x =与椭圆G 交于点M （点M 在第一象限）.
(Ⅰ)求椭圆G 的方程;
(Ⅱ）已知A 为椭圆G 的左顶点，平行于AM 的直线l 与椭圆相交于B ，C 两点. 请
判断直线MB ，MC 是否关于直线m 对称，并说明理由.
2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点. (Ⅰ）求椭圆C 的方程; (Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点,点M 是椭圆C 的右顶点.直线AM 与直线 BM 分别与y 轴交于点,P Q ,试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点?若是，求出定点坐标；
若不是,说明理由.
3.椭圆C ：22
22+1x y a b
=（a >ｂ＞0）的离心率为12，其左焦点到点P （２,1) (Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； (Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆
过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.。