(精品)初中数学讲义反比例函数(教师版)

E

A

反比例函数

1、正比例函数y=x 与反比例函数1

y x

=

的图像相交于A 、C 两点，过A 作AB 垂直于x 轴于B ，CD 垂直于x 轴于D ，则四边形ABCD 的面积是( C ) A 1 B

32 C 2 D 52

2、点P 是x 正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂线交双曲线1

y x

=

于点Q,连接OQ ，当点P 沿x 轴的正方向运动时，Rt QOP 的面积大小是否发生变化?如果不变，请求出Rt QOP 的面积；如果改变，请说明理由。

解析 设点Q 的坐标为（x ，y ），则1

y x

=

，xy=1. 因为OP=x ，PQ=y ，所以 Rt QOP 的面积=12OP PQ ⋅⋅=12xy=1

2

。所以当点P 沿x 轴的正方向运动时，

Rt QOP 的面积大小不发生变化，面积恒为1

2。

3、已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数k y x =

（k 0，x 0）的图像上。点P （m ，n ）是函数k

y x

=（k 0，x 0）

的图像上任意一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S 。 （1 ）求点B 的坐标及k 的值； （2）当S=4.5时，求点P 的坐标； （3）写出S 关于m 的函数关系式。 解答 （1）点B 坐标为（3,3），k=9。

（2）当S=4.5时，点P 的坐标为（6,1.5）。

（3）S=93,03,279 3.m m m m -≤⎧⎪

⎨-⎪⎩当

4、已知点（1,3）在函数k

y x =

（x 0）的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数k

y x

= （x 0）又经过A 、E 两点，点E 的横坐标为m 。

（1）求k 值；

（2）求点

C 的横坐标（用m 表示） （3）当045AB

D ∠=时，求m 的值。 解答 （1）3. (2)

32

m .(3)

5、“三等分角”是数学史上一个著名问题，即仅用尺规不可能“三等分角”。下面是数学家帕普斯借助函数给出一个“三等分锐角”的方法：将给定的锐角AOB ∠置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数1

y x

=的图像交与点P ，以P 为圆心，2OP 为半径作弧交1

y x

=

图像于R ，过点P 和R 分别作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连结OM 得到MOB ∠，则MOB ∠=1

3AOB ∠。要明白帕普斯方法，请研究以下问题：

（1）设P （a ，1

a

）、R （b ，1b ），求直线OM 对应的函数表达式（用a 、b 的代数

式表示）；

（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ，请说明点Q 在直线OM 上，并据此证明MOB ∠=

1

3

AOB ∠； （3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）。 解答 （1）设直线OM 的函数解析式为y=kx ，P （a ，

1a

）、 R （b ，1b ）,则M(b ,1a )所以k=1

b a

÷=1ab 。

所以直线OM 的函数关系式为1

y x ab

=。

（2）因为Q 的坐标为（a ，1b ），满足1

y x ab

=，

所以Q 在直线OM 上。因为四边形PQRM 是矩形， 所以SP=SQ=SM=

1

2

PR .所以SQR SRQ ∠=∠.因为PR=2OP ，所以PS=OP=1

2

PR ,所以POS PSO ∠=∠.PSQ SQR ∠是的外角，

2POS SQR ∠=∠。因为QR OB ，所以SOB SQR ∠=∠，所以2POS SOB ∠=∠。所以

1

3

SOB AOB ∠=∠。

（3）方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分即可。

方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角

三等分后，再将直角利用等边三角形（或其他方法）将其三等分即可。

6、矩形AOCB 的两边OC ，OA 分别位于x 轴，y 轴上，点B 的坐标为（20

-3

，5），D 是 AB 边上一点。将ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点 E 在一反比例函数的图像上，求该函数的解析式。 解答 设该反比例函数的解析式为k

y x

=

，点E （,E E x y ）。 A （0,5），OE=5，OB=

25

3

，作EF CO ⊥,垂足为F 。OF=4， OE=3，即 4E x =-,3E y =，y=12

x

-。

7、 边长为2的等边三角形OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，B 点位于第一象限。将

OAB 绕点O 顺时针旋转030后，恰好点A 落在双曲线 k

y x

=（x 0）上。 （1）求双曲线 k

y x

=

（x

0）的解析式； （2）等边三角形OAB 继续按顺时针旋转多少度后，A 点再次落在该双曲线上？

解答 （1）2OA OA '==

，)

1A '

-。y x

=-

； （2）1(1,A ，12OA =，030。