高中数学排列组合课件
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高中数学排列组合几种基本方法PPT课件
将16个小球串成一串，截为4段有 C135 455
种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有455种 .
2019/12/25
新疆奎屯市第一高级中学
8
特级教师王新敞
2019/12/25
9
5.隔板法（剪截法）：
变式1： 某校准备参加今年高中数学联赛，把16个 选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班，每班的名 额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有___种.
5
4.分组（堆）分配问题
分组（堆）分配问题的六个模型： 不分配： ①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分； (分配：④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)
处理问题的原则：
①若干个不同的元素“等分”为 n个堆，要将 选取出每一个堆的组合数的乘积除以n!
②非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘 法原理作积.
2
特级教师王新敞
2.插空法：
解决一些不相邻问题时，可以先排“一般” 元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.
♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀
↑↑ ↑ ↑ ↑ ↑
例2 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同 的排法？
解：分两步进行：
第1步，把除甲乙外的人排列： 有A55 =120种排法
第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插空)：
变式2：x y z w 100
（1）求这个方程组的正整数解的组数？
3 C
99
（2）求这个方程组的自然数解的组数？
(x 1) ( y 1) (z 1) (w 1) 104
3 C
103
2019/12/25
或
3 12 21 3 C C C C C C
种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有455种 .
2019/12/25
新疆奎屯市第一高级中学
8
特级教师王新敞
2019/12/25
9
5.隔板法（剪截法）：
变式1： 某校准备参加今年高中数学联赛，把16个 选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班，每班的名 额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有___种.
5
4.分组（堆）分配问题
分组（堆）分配问题的六个模型： 不分配： ①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分； (分配：④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)
处理问题的原则：
①若干个不同的元素“等分”为 n个堆，要将 选取出每一个堆的组合数的乘积除以n!
②非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘 法原理作积.
2
特级教师王新敞
2.插空法：
解决一些不相邻问题时，可以先排“一般” 元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.
♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀
↑↑ ↑ ↑ ↑ ↑
例2 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同 的排法？
解：分两步进行：
第1步，把除甲乙外的人排列： 有A55 =120种排法
第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插空)：
变式2：x y z w 100
（1）求这个方程组的正整数解的组数？
3 C
99
（2）求这个方程组的自然数解的组数？
(x 1) ( y 1) (z 1) (w 1) 104
3 C
103
2019/12/25
或
3 12 21 3 C C C C C C
高中数学排列组合的应用-ppt课件(课堂教学)
2、什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数？
从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个
数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
用符号 Anm 表示
3、排列数的两个公式是什么？
Am n(n 1)(n 2)(n m 1)
n
Anm
(n
n! m)! （n，m∈学校N课堂*，m≤n）
⑵间接计算法
先抛开限制条件，计算出所有可能的排列数，再从 中减去不合题意的排列数，特别要注意：不能遗漏，也 不能重复. 即排除法.
搞清限制条件的真正含义，做针对性文章！
学校课堂
11
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站 成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
分析:可看作甲固定,其学余校课全堂 排列 A66 720
5
（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在 两端的排法共有多少种？
解:将问题分步
第一步:甲乙站两端有A22 种
第二步:其余5名同学全排列有A55 种
共有A22 A55＝2400种
答：共有2400种不同的排列方法。
学校课堂
6
（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在 排头和排尾的排法共有多少种？
若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
插空法
解：先把四个男孩排成一排有A44种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入
空档中有A53种方法，所以共有： A44 A53 1440 （种）
排法。
学校课堂
15
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩， 三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
排列组合问题17种方法ppt课件
C
6 9
一
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
班
30
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C m 1 n 1
31
练习题
1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 有多少装法？
C4 9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解 的组数
A
5 5
A A A
2 4
1 4
5 5
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
前排
后排
20
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______
346
21
重排问题求幂策略
把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有 种分法.
7
把第二名实习生分配
到车间也有7种分法，
依此类推,由分步计
7 6 数原理共有 种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 种
一个盒子装1个 （6）每个盒子至少1个
25
练习题 一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有________ 种 192
排列组合公式课件
斯特林数、贝尔数等特殊计数方法介绍
1 2 3
第一类斯特林数 表示将n个不同元素分成k个圆排列的方案数，记 作$s(n,k)$。
第二类斯特林数 表示将n个不同元素分成k个集合的方案数，记作 $S(n,k)$。
贝尔数 表示将n个元素分成任意个集合的方案数，记作 $B_n$。
排列组合在计算机科学中应用举例
组合性质
C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n。
组合公式推导过程
推导思路
通过排列数公式A(n,m)与组合数公 式C(n,m)之间的关系，推导出组合 公式C(n,m)=A(n,m)/m!。
推导过程
首先明确排列数公式A(n,m)的定义及 性质，然后利用排列数与组合数之间 的关系，推导出组合公式，并解释公 式中各符号的含义。
典型例题分析与解答
例题选择
选择具有代表性和针对性 的例题，如基础题型、易 错题型等；
解题步骤
详细阐述解题思路和步骤， 包括问题建模、公式应用、 计算过程等；
答案解析
给出最终答案，并对解题 过程进行解析和评价。
PART 03
组合公式详解
组合定义及性质
组合定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同取法，记作C(n,m)。
分组竞赛
将学生分成若干小组，每组选一名 代表上台解题，看哪一组解得又快 又准，增强学生的团队协作和竞争 意识。
PART 05
知识拓展与延伸
阶乘、双阶乘等相关概念引入
阶乘
n!=n×(n-1)×...×2×1，0!=1。
双阶乘
n!!，当n为奇数时，n!!=n×(n-2)×...×3×1；当n为偶数时，n!!=n×(n-2)×...×4×2。
高中数学排列组合常用方法与技巧精讲 PPT课件 图文
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题, 可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为 一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元 素内部也可以作排列.
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我 们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.
种选A法74 .根据乘法原理,共有的不同坐法为
种A.88 A74
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种 剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化 为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C 453种,正副班长,团支部书
记都不在内的抽法有 种C 450,所以正副班长,团支部书记至
解数学不之加前任考何”限,与制“条数件学,整安个排排在法语有文之种A前99 ,“考语”文的安排排法在是
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我 们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.
种选A法74 .根据乘法原理,共有的不同坐法为
种A.88 A74
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种 剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化 为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C 453种,正副班长,团支部书
记都不在内的抽法有 种C 450,所以正副班长,团支部书记至
解数学不之加前任考何”限,与制“条数件学,整安个排排在法语有文之种A前99 ,“考语”文的安排排法在是
届高三数学一轮复习课件“排列组合”教学课件 (共13张PPT)
（19）这7名学生分别参加5个不同的学习 兴趣小组，每人只参加一个小组；
(C31A66(2)A22A55(3)72!!(4)A66(5)A66A22(6)A77 2A66 A55(7)A22A33A44(8)A55A33 (9)A44A33(10)A44C53A33(11)73!! (12)A22A44C52A22(13)74!!(14)A22A33A22A33A22 (1 5 )C 6 3(1 6 )C 7 2 C 2 5 ! 2 C 3 3(1 7 )C 7 2 C 5 2 C 3 3(1 8 )C 7 3 C 4 1 C 4 3 ! 1 C 2 1 C 1 1A 5 5 C 7 2 C 2 5 2 ! C 3 1 3 C !2 1 C 1 1A 5 5 (1 9 )5 7
“排列组合”重要知识点
李鸿鹄 栖霞市第一中学
1、排列：
一般地，从n个不同中取出m (m n)个元素，
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元
素中取出m个元素的一个排列。
2、排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素
的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中
取出m个元素的排列数。用符号 Anm表示。
例题2、按下列要求分配6本不同的书，各有几种分法？ （1）平均分成三份，每份2本； （2）平均分给甲、乙、丙三人，每人两本； （3）甲乙丙三人，一人得一本，一人得二本， 一人得3本； （4）分成3份，一份一本，一份2本，一份3本； （5）分成3份，一份4本，一份1本，一份1本； （6）甲乙丙三人中，一人得4本，另外 两人每人得1本； （7）甲得1本，乙得1本，丙得4本。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
(C31A66(2)A22A55(3)72!!(4)A66(5)A66A22(6)A77 2A66 A55(7)A22A33A44(8)A55A33 (9)A44A33(10)A44C53A33(11)73!! (12)A22A44C52A22(13)74!!(14)A22A33A22A33A22 (1 5 )C 6 3(1 6 )C 7 2 C 2 5 ! 2 C 3 3(1 7 )C 7 2 C 5 2 C 3 3(1 8 )C 7 3 C 4 1 C 4 3 ! 1 C 2 1 C 1 1A 5 5 C 7 2 C 2 5 2 ! C 3 1 3 C !2 1 C 1 1A 5 5 (1 9 )5 7
“排列组合”重要知识点
李鸿鹄 栖霞市第一中学
1、排列：
一般地，从n个不同中取出m (m n)个元素，
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元
素中取出m个元素的一个排列。
2、排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素
的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中
取出m个元素的排列数。用符号 Anm表示。
例题2、按下列要求分配6本不同的书，各有几种分法？ （1）平均分成三份，每份2本； （2）平均分给甲、乙、丙三人，每人两本； （3）甲乙丙三人，一人得一本，一人得二本， 一人得3本； （4）分成3份，一份一本，一份2本，一份3本； （5）分成3份，一份4本，一份1本，一份1本； （6）甲乙丙三人中，一人得4本，另外 两人每人得1本； （7）甲得1本，乙得1本，丙得4本。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
高中数学排列组合课件
分析1：第一步，从1,3,5,7,9中选出3个数字来；第二步，从 2,4,6,8中选出两个数字来；第三步，将选出的5个数字按一定顺序 排列，最终得到一个五位数，这是一个排列组合混合的问题
解：
C35C
2 4
P55
10 6 120
7200（个）
分析2：只需令个位是5即可
解：
C
24C
2 4
P44
6 6 24
解：P22P66 2 6 5 4 3 2 1 1440（种）
分析：先安排其余的5名同学进行排队，再将甲乙两人分别插入到其余5 人形成的空隙中.这种方法叫做“插空法”.○△○△○△○△○△○
解2：C1300 - C398 161700 -152096 9604（种）
讨论与练习
1、以下属于排列的是______，属于组合的是_______。 ①有10个车站，共准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少种不同的票价？ ③平面内有10个点，共可作出多少条不同的线段？ ④平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？ ⑤从1,2,3,4中任选三个数，可组成多少个无重复数字的三位数？ ⑥从1,2,3,4中任选三个数（可重复），可组成多少个三位数？
分析：数字可以重复，这是一个分步计数原理问题。第一步，选首位 数字，从2到9中任取1个数；第二步，从第2位至第8位，每个位置填入 上述10个数字中的任意一个数．
解：810 7 80000000
小结
01 元素是否允许重复．元素不允许重复
的是排列与组合问题；元素允许重复的 是直接应用计数原理的问题．
排列与组合的应用举例
宋** 2020年9月6日
1 利用排列组合数公式 解决简单的应用问题
2 区分排列，组合，计数 原理的使用
解：
C35C
2 4
P55
10 6 120
7200（个）
分析2：只需令个位是5即可
解：
C
24C
2 4
P44
6 6 24
解：P22P66 2 6 5 4 3 2 1 1440（种）
分析：先安排其余的5名同学进行排队，再将甲乙两人分别插入到其余5 人形成的空隙中.这种方法叫做“插空法”.○△○△○△○△○△○
解2：C1300 - C398 161700 -152096 9604（种）
讨论与练习
1、以下属于排列的是______，属于组合的是_______。 ①有10个车站，共准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少种不同的票价？ ③平面内有10个点，共可作出多少条不同的线段？ ④平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？ ⑤从1,2,3,4中任选三个数，可组成多少个无重复数字的三位数？ ⑥从1,2,3,4中任选三个数（可重复），可组成多少个三位数？
分析：数字可以重复，这是一个分步计数原理问题。第一步，选首位 数字，从2到9中任取1个数；第二步，从第2位至第8位，每个位置填入 上述10个数字中的任意一个数．
解：810 7 80000000
小结
01 元素是否允许重复．元素不允许重复
的是排列与组合问题；元素允许重复的 是直接应用计数原理的问题．
排列与组合的应用举例
宋** 2020年9月6日
1 利用排列组合数公式 解决简单的应用问题
2 区分排列，组合，计数 原理的使用
高中数学(排列组合)课件PPT
知识清单 知识点二 排列
3.排列数公式
Pnm
(n
n! m)!
n (n
1) (n
m 1)
4.全排列公式
Pnn n!
记住下列几个阶乘数：0!=1,1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,6!=720.
知识清单
知识点三 组合
1.组合 一般地，从n个不同的元素中任意取出m(m≤n)个元素为一组，称为从n个不 同的元素中任意取出m个元素的一个组合. 2.组合数 我们把从n个不同的元素中任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，称为
知识清单
知识点二 排列
1.排列 一般地，从n个不同的元素中任意取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一 列，称为从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列. 2.排列数 我们把从n个不同的元素中任意取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，称为从n
个不同的元素中任意取出m个元素的排列数，记作 Pnm.
例
典例精析
例
典例精析
例
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
同学们！再见！
课后一定要多练习哦！
从n个不同的元素中任意取出m个元素的组合数，记作 Cnm
知识清单 知识点三 组合
3.组合数公式
Cnm
Pnm Pmm
n! m!(n m!)
n(n 1) (n m 1) m (m 1) 21
4.组合数的性质
Cnm Cnnm
Cnr1 Cnr Cnr1
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
高中 数学
高中数学课件-第2讲 排列与组合
叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Amn 表示.
(2)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有_□_3__不__同__组__合__的个数，
叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 Cmn 表示.
6
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
3.排列数、组合数的公式及性质
要比 5 000 000 大，则百万位上选 5 或 6，故得个数为 A12A66＝1440. 答案：1440
02
突破核心命题
13
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
考 点 一 排列问题
例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法 总数.
(1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； (4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边； (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
7
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
常用结论
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法 (排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组 的区别，避免重复或遗漏.
8
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
夯基诊断
1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( × ) (3)若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立.( × ) (4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( √ ) (5)kCkn＝nCkn－－11.( √ )
(2)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有_□_3__不__同__组__合__的个数，
叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 Cmn 表示.
6
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
3.排列数、组合数的公式及性质
要比 5 000 000 大，则百万位上选 5 或 6，故得个数为 A12A66＝1440. 答案：1440
02
突破核心命题
13
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
考 点 一 排列问题
例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法 总数.
(1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； (4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边； (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
常用结论
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法 (排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组 的区别，避免重复或遗漏.
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
夯基诊断
1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( × ) (3)若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立.( × ) (4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( √ ) (5)kCkn＝nCkn－－11.( √ )
高中数学选修2-3《排列与组合》全部课件
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
1.排列 定义:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列.
说明:①一次性取出m个元素;②将这m个
元素按一定的顺序排成一列.③ m≤n
注:（相同排列：元素相同，顺序相同.）
例1.下列问题是不是排列问题？ 1．某学校的高二（1）班有50名同学,从 中选出5人组成班委会,共有多少种选法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
1.排列 定义:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列.
说明:①一次性取出m个元素;②将这m个
元素按一定的顺序排成一列.③ m≤n
注:（相同排列：元素相同，顺序相同.）
例1.下列问题是不是排列问题？ 1．某学校的高二（1）班有50名同学,从 中选出5人组成班委会,共有多少种选法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的
排列组合公式ppt课件
有
种。
项链问题
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例 从1到300间取出3个不同的数，使它们的和被 3整除，有多少种取法？ 提示：将1到300这300个整数按照除以3的余数分 成3组，考虑选出的3个数属于哪些组。
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例 下图中有多少个矩形？
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映射
• 设映射f：{1,2, …,n} →{1,2, …,m}(n≤m) • (1) 若f是严格递增的，则不同的f有多少个？ • (2) 若f是不减的，则不同的f有多少个？
• 多项式(x1+x2+…+xn)r的展开式中有
项
x k1 1
x k2 2
xnkn的系数为
。
(2x1 3x2 5x3 )6
x13x2 x32
(x1 x2 xr )n
n
n n n1 n1
,nn22,, nr 为nr 非 n负整数
12
nr
x1n1
x n2 2
x nr r
项，其中
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例题
• 现在每个盒中放入q个球，再放剩下的r-qn 个球
• C((r-qn)+n-1,r-qn)=C(n-nq+r-1,r-nq)= C(nnq+r-1,n-1)
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多重集合
• 通常的“集合”具有无重性。 • 在多重集中，同一个元素可以出现多次。 • {1,2,3}是一个集合，而{1,1,1,2,2,3}不是一个集合
• A(10,10)A(11,5)
• 安排10个男生和5个女生围成圆圈入座，使任意2 个女生都不相邻的坐法有多少种？
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例 从给定的6种不同的颜色中选不同的颜色将一 个正方体的六个面染色，要求每个面染一种颜色， 具有相同棱的面染成不同的颜色，则不同的染色 方案有多少种？
高中组合问题ppt课件
统计学中的组合问题
概率论中的组合问题
在概率论中，组合问题涉及到随机事件的排列和组合。例如，在概率计算中，事件的排列数和组合数 对于计算概率至关重要。
统计学中的组合问题
在统计学中，组合问题常常出现在样本设计和数据分析中。例如，在分层抽样中，需要计算每一层中 应抽取的样本数，这涉及到组合计数的问题。
物理学中的组合问题
组合数学的应用领域
总结词
组合数学在多个领域都有广泛的应用。
详细描述
组合数学在计算机科学、统计学、运筹学、信息理论等领域都有重要的应用。 例如，在计算机科学中，组合数学可用于设计和分析算法，解决诸如搜索、排 序和数据结构等问题。
学习组合数学的意义
总结词
学习组合数学有助于培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
组合恒等式问题
总结词
组合恒等式问题是组合问题中的一类重要问题，主要研究组 合数之间的相互关系和性质。
详细描述
组合恒等式问题涉及到组合数的基本性质和恒等式，如二项 式定理、组合恒等式等，以及这些性质和恒等式的应用。
组合计数问题
总结词
组合计数问题是组合问题中的一类常 见问题，主要研究从n个不同元素中 取出m个元素的不同的取法。
组合数公式
C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]
组合问题与排列问题的区别
排列问题考虑取出元素的顺序，而组合问题不考虑取出元素的顺序 。
组合问题的分类
简单组合问题
有序组合问题
从n个不同元素中取出m个元素，不考虑其 他限制条件。
在取出元素后，需要考虑元素的顺序，如 从4个字母中取出2个字母组成一个单词， 需要考虑单词的拼写顺序。
05
组合问题的求解技巧
高中数学排列组合课件
同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这
件事共有 N＝ m＋n 种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，
做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝_m_×__n__
种不同的方法．
突破点一
突破点二
课时达标检测
3．两个计数原理的比较
[答案] 260
突破点一
突破点二
课时达标检测
排列、组合 结 束
[方法技巧] 使用两个计数原理进行计数的基本思想
对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类， 再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类， 再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求 出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类 中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．
个新节目，有 8 种方法，最后插第三个节目，有 9 种方法．故
共有 7×8×9＝504 种不同的插法．
答案：A
突破点一
突破点二
课时达标检测
排列、组合 结 束
2．[考点二]教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五
层的走法有
()
A．10 种
B．25 种
C．52 种 D．24 种
解析：由一层到二层、由二层到三层、由三层到四层、由
2×4×3×2＝48 个偶数；当万位数字为 5 时，个位数字从 0,2,4
中任选一个，共有 3×4×3×2＝72 个偶数．故符合条件的偶数
共有 48＋72＝120(个)．
[答案] B
突破点一
突破点二
课时达标检测
排列、组合 结 束
(2)某班一天上午有 4 节课，每节都需要安排 1 名教师去上 课，现从 A，B，C，D，E，F 6 名教师中安排 4 人分别上一节 课，第一节课只能从 A、B 两人中安排一个，第四节课只能从 A、 C 两人中安排一人，则不同的安排方案共有________种．
17种排列组合方法ppt课件
练习.在3×4的方格中，从A走到B的最短路径有多少种？
B
C 3 35 7
A
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十一.构造模型策略 例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只 路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏 或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯 方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5
例.7名学生争夺5项冠军，每项冠军只能由一人
获得，获得冠军的可能的种数有
.
分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生 可重复排列，将7名学生看作7家“店”，五项冠军 看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法 原理得75种.
14
十四.平均分组（或分堆）问题除法策略
例 有6本不同的书，按下列要求分配，有多少种
3.正确区分“至多”与“至少”，含与不含等问题
※解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉， 容易产生重复和遗漏，应仔细分析重在哪里漏在 何处，因此必须掌握一些常用的解题方法.
2
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五 位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置.
3）分3组，其中一组2人，一组3人，一组4人，有几种分 法？
4）分成3组，每组3人，每组参加一项活动，有几种方法？ 5）分3组，其中2组2人，一组5人，每组参加一项活动，
有几种方法？
6）分3组，其中一组2人，一组3人，一组4人，每组参加 一项活动，有几种方法？
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练习1.：3名医生和6护士分到3个医院，每个医院分1 名医生和两名护士，有多少种分配方式？
甲乙 丙丁
由分步计数原理可得共有 A55A22 A22 =480
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作业：
?《单元练习》
分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特 殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.
解 空 法档为可先插排A学,8选8 生A其74共中有种的A.4个88种空排档法,共,然有后A把74老种师选插法入.根学据生乘之法间原的理空,档共，有共的有不同7个坐
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用 插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插 入排好元素的空档之中即可.
解 不加任何限制条件,整个排法有A99 种,“语文安排在数学之前考”,与
“数学安排在语文之前考”的排法是相等的,所以语文安排在数学之前考的
排法共12 有A99
种.
结论5 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全 体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.
例6 某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一 人在内的抽法有多少种?
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解 决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同 时要注意合并元素内部也可以作排列.
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1 人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价 的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.
排列组合解题技巧综合复习
主讲：黎川职业中专范明之
教学目的 教学过程 课堂练习 课堂小结
1.熟悉解决排列组合问题的基本方法; 2.让学生掌握基本的排列组合应用题的解
题技巧; 3.学会应用数学思想分析解决排列组问题.
பைடு நூலகம் 一 复习引入
二 新课讲授
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的, 并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下面 就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧.
例题1 例题2 例题3 例题4 例题5 例题6
1.排列的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排
成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排 列.
2.组合的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从
n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
3.排列数公式: An m ? n ( n ? 1)( n ? 2 ) ?
? 互斥分类 --分类法 ? 先后有序 --位置法 ? 反面明了 --排除法 ? 相邻排列 --捆绑法 ? 分隔排列 --插空法
小结:
本节课我们学习了解决排列组合应用题的一些解 题技巧,具体有插入法,捆绑法,转化法,剩余法,对等 法,排异法;对于不同的题目,根据它们的条件,我们就 可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂 的问题,我们可以将几种技巧结合起来应用,便于我们 迅速准确地解题.在这些技巧中所涉及到的数学思想 方法,例如:分类讨论思想,变换思想,特殊化思想等等, 要在应用中注意掌握.
3个5分或1个5分与1个1角,所以共有 C233 ? C213 ?C110 种取法.
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一 一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺 序?
分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序 只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中 的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的 复杂性.
例4 袋中有不同的5分硬币23个,不同的1角硬币10个,如果从袋中取出2元 钱,有多少种取法?
分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也 显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的 话,就会很容易解决问题.
解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下
?
n!
( n ? m )!
(n ? m ? 1)
4.组合数公式: C n m ?
An m Am m
?
n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? m ? 1) m!
n! ?
m! ( n ? m )!
排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺 序无关的为组合问题.
例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个生，4个老师，要 求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?
分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元 素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.
解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作
全 种排不列同的,A有排33法种. 排法,其中女生内部也A有66 种排法,根据乘法原理,共A有66 A33
解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题, 因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档
最 案多有放C17一1种个.,即可将白球分成8份,显然有C171种不同的放法,所以名额分配方
结论3 转化法（插拔法）:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题， 可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解 .
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的 话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去 考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化 计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有 C453种,正副班长,团支部书记都不在内的抽
法种.有C450
种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法C有453
?
C
5 40
结论6 排除法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷, 可以先求出它的反面,再从整体中排除.
? 练习： 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数． （1）分为两组，一组7人，一组5人； （2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； （3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； （4）分为甲、乙两组，每组6人； （5）分为两组，每组6人； （6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； （7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； （8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； （9）分为甲、乙、丙三组，每组4人； （10）分为三组，每组4人．