人教版必修4平面向量习题

第二章 平面向量

一、选择题

1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等

D ．AD 与BD 相等

2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b

C ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，

D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同

3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．

A ．3x ＋2y －11＝0

B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5

C ．2x －y ＝0

D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．

6

π B ．

3

π C ．

23

π D ．

56

π

5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)

D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，

2

2)

6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋ED

B ．EF －DE

C ．EF ＋AD

D ．EF ＋AF

7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．

(第1题)

A．2 B．4 C．6 D．12

8．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．

A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点

C．三条中线的交点D．三条高的交点

9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，D

C＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．

A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形

10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OB

C．AC与BD D．EO与OF

(第10题)

二、填空题

11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．

12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．

13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．

14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等

于．

15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．

16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．

三、解答题

17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？

18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．

(第18题)

19．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE (利用向量证明)．

20．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值．

(第19题)

参考答案

一、选择题 1．B

解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．

2．A

解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．

3．D

解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，

β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，

∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧β

αβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．

4．B

解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，

∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，

∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝2

1．

∴ a 与b 的夹角是3

π．

5．A

解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．

6．D

解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．

(第6题)

(第1题)