8哈夫曼树

4
例1:霍夫曼树的构造过程
F : {7} {5} {2} {4}
7 5 2 4
F : {7} {5} {6}
7 5 6
2 4 合并{2} {4}
初始 F : {7} {11}
11 7 5 6
F : {18}
18 7 11
2 4 合并{5} {6}
5
6 2 4
5
合并{5} {6}
例2：设有4个字符d,i,a,n，出现的频度分别为7,5,2, 4
c
d
11110
1110
0.02
0.06
c
d
010
011
0.02 19 0.32
0.03 0.21 0.10
e
f g h
10
11111 01 1101
0.32
0.03 0.21 0.10
e
f g h
100
101 110 111
21 32 g e 0 17 0 1
7 a 10 h
Huffman码的WPL＝2(0.19+0.32+0.21) + 4(0.07+0.06+0.10) +5(0.02+0.03)
指向左孩子
指向右兄弟
26
例如：
a
b c e
d f b e g h
a
c
d f
g
h
问：树转二叉树的“连线—抹线—旋转” 如 何由计算机自动实现？ 答：用“左孩子右兄弟”表示法来存储即可。 存储Leabharlann Baidu过程就是转换的过程！
27
3、树和森林的遍历
树的遍历
遍历
深度遍历（先序、中序、后序） 广度遍历（层次）
• 先序遍历 访问根结点； 依次先序遍历根结点的每棵子树。 • 后序遍历 依次后序遍历根结点的每棵子树； 访问根结点。
b d e
a c f g
一、最优二叉树（霍夫曼树）
预备知识：若干术语 路 径： 由一结点到另一结点间的分支所构成
路径长度： 路径上的分支数目
a→e的路径长度＝ 2
树长度＝ 10 树的路径长度：从树根到每一结点的路径长度之和。 带权路径长度：结点到根的路径长度与结点上权的乘积 树中所有叶子结点的带权路径长度之和 树的带权路径长度： 霍 夫 曼 树： 带权路径长度最小的树。
二叉树的应用
平衡树—— 特点：左右子树深度差 ≤1 排序树—— 特点：“左小右大” 字典树—— 由字符串构成的二叉树排序树 判定树—— 例如，12个球只称3次分出轻重 带权树—— 特点：路径长度带权值 最优树—— 带权路径长度最短的树，又称 Huffman
树，用途之一是通信中的压缩编码。
1
6.5
Huffman树及其应用
29
森林的遍历
A
E
G
• 先序遍历 B C D F H I 若森林为空，返回； J 访问森林中第一棵树的根结点； 先序遍历第一棵树中根结点的子树森林； 先序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 • 中序遍历 若森林为空，返回； 中序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林； 访问第一棵树的根结点； 中序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。
9
为清晰起见，重新排序为: w={2, 3, 6, 7, 10, 19, 21, 32} ×× w1={5, × × 6, 7, 10, 19, 21, 32} w2={7, × 10, × 11, 19, 21, 32} w3={11, × 17, × 19, 21, 32} w4={19, × 21, × 28, 32} w5={28,32,40} ×× w6={40,60} × × w7={100} 哈夫曼树 19 b
小结：哈夫曼树及其应用 1.Huffman算法的思路： ——权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。 2.构造Huffman树的步骤： 对权值的合并、删除与替换 3. Huffman编码规则： 左“0” 右“1”，是一种前缀 码 也称为最小冗余编码、紧致码，等等，它是数据压缩 学的基础。
a
b d e c
2 3 4 5 6 7 b c d e
d
e f g f g h
f
g
h
8
h
25
3、用孩子兄弟表示法来存储
思路：用二叉链表来表示树，但链表中的两个 指针域含义不同。 左指针指向该结点的第一个孩子； 右指针指向该结点的下一个兄弟结点。
firstchild data nextsibling
例如：
b
树没有中序遍历（因子树不分左右）
a c d e
先序序列： a b c d e 后序序列： b d c e a
28
讨论：若采用“先转换，后遍历”方式，结果是否一样？
a a
先序遍历：a b c d e
b c
d
e
b c d e
中序遍历：b d c e a 后序遍历：d e c b a
结论： 1. 树的先序遍历二法相同； 2. 树的后序遍历相当于对应二叉树的中序遍历； 3. 树没有中序遍历，因为子树无左右之分。
根结点肯定 没有右孩子！
a
c e
i
d
e f f g h
18
g
h
讨论2：二叉树怎样还原为树？
要点：把所有右孩子变为兄弟！
a
b d c a
b i
c
i
e
f g h
d
e
f
g
h
19
讨论3：森林如何转为二叉树？
即F={T1, T2, …,Tm} B={root, LB, RB}
法一： ① 各树先各自转为二叉树； ② 依次连到前一个二叉树的右子树上。
30
例如：
A B
C E
G H I
J
ABCDEFGHIJ 先序序列：
D
F
中序序列： BCDAFEHJIG
讨论：若采用“先转换，后遍历”方式，结果是否相同？
A B C F D H I J
31
先序序列：A B C D E F G H I J
E G
中序序列：B C D A F E H J I G 结论：森林的先序和中序遍历在 两种方式下的结果相同。
8
霍夫曼编码的基本思想是：概率大的字符用短码，概率小的用 长码。由于霍夫曼树的WPL最小，说明编码所需要的比特数最 少。这种编码已广泛应用于网络通信中。
例2（严题集6.26③）：假设用于通信的电文仅由8个字母
{a, b, c, d, e, f, g, h} 构成，它们在电文中出现的概率分别为{ 0.07, 0.19, 0.02, 0.06, 0.32, 0.03, 0.21, 0.10} ，试为这8个字母设 计哈夫曼编码。如果用0～7的二进制编码方案又如何？ 解：先将概率放大100倍，以方便构造哈夫曼树。 权值集合 w={7, 19, 2, 6, 32, 3, 21, 10}， 按哈夫曼树构造规则（合并、删除、替换），可得到哈夫曼树。
7
操作要点2：按左0右1对Huffman树的所有分支编号！
——将 Huffman树 与 Huffman编码
0 d 1
挂钩
0
i 0 a
1
1 n
Huffman编码结果：d=0, i=10, a=110, WPL=1bit×7＋2bit×5+3bit(2+4)=35
n=111
特点：每一码都不是另一码的前缀，绝不会错译! 称为前缀码
怎样编码才能使它们组成的报文在网络中传得最快？
法1：等长编码。例如用二进制编码来实现。 取 d=00，i=01，a=10，n=11 法2：不等长编码，例如用哈夫曼编码来实现。 取 d=0; i=10, a=110, n=111 最快的编码是哪个？ 是非等长的Huffman码！
怎样实现Huffman编码？先要构造Huffman树！
(最优前缀编码)
设想字符串为: 100个d,10个i,2个a,2个n 法1:228位 法2: 100x1+10x2+2x3+2x3= 132 位
6
构造Huffman树的步骤：
操作要点1：对权值的合并、删除与替换
——在权值集合{7,5,2,4}中，总是合并当前值最小的两个权
注：方框表示外结点（叶子，字符对应的权值）， 圆框表示内结点（合并后的权值）。
100
40
21 32 g e 17 7 a
60
28 11 10 h 6 d 2 c 5 3 f
10
对应的哈夫曼编码（左0右1）：
符 编码 频率 符 编码 频率
100
a
b
1100
00
0.07
0.19
a
b
000
001
0.07
0.19 0.06
0 b
0 40
1
1
0 60 1 28 1 0 6 d 0 2 c 11 1 5 1 3 f
=1.44+0.92+0.25=2.61
二进制码 WPL＝3(0.19+0.32+0.21+0.07+0.06+0.10+0.02+0.03)=3
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另一种结果表示：
12
例3（实验二）：设字符集为26个英文字母，其出现频 度如下表所示。 要求编程实现： 先建哈夫曼树，再利用此树对报文“This program is my favorite”进行编码和译码。
i 57 s 51
t
80
13
提示1：霍夫曼树中各结点的结构可以定义为如下 5个分量： char weight parent lchild Rchild
提示2：霍夫曼树的存储结构可采用顺序存储结构：
将整个霍夫曼树的结点存储在一个数组中：HT[1..n]; 将结点的编码存储在HC[1..n]中。
提示3：霍夫曼树如何构造？构造好之后又如何求得 各结点对应的霍夫曼编码？——算法参见教材P147。
16
1. 树和森林与二叉树的转换
讨论1：树如何转为二叉树？ 转换步骤： 加线 step1: 将树中同一结点的兄弟相连; step2: 保留结点的最左孩子连线，删除其它孩子 连线； 抹线 step3: 将同一孩子的连线绕左孩子旋转45度角。
旋转
17
树转二叉树举例： 方法：加线—抹线—旋转
兄弟相连 a b b c i d 长兄为父 孩子靠左
注：若圆满实现了此方案，实践表现成绩将以满分计。
字符 空格 频度 字符 频度 字符 频度 186 j 1 a 64 k 5 u 23 b 13 l 32 v 8 c 22 m 20 w 18 d 32 n 57 x 1
e
103 o 63 y 16
f 21 p 15 z 1 1
g 15 q
h 47 r 48
参考 资料 “数据结构”演示程序
14
二叉树小结
1、定义和性质 树
顺序结构
2、存储结构
链式结构
二叉链表
森林
二叉树
先序遍历
三叉链表
3、遍历
中序遍历
后序遍历
先序线索树
4、线索化：线索树 霍夫曼树
中序线索树 后序线索树
霍夫曼编码
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6.4 树和森林
1. 树和森林与二叉树的转换 2. 树和森林的存储方式 3. 树和森林的遍历
要点：把最右边的子树变为森林，其余右子树变为兄弟
A A E C F G H I J B A C E G B C D F E H I
G
B
J
D
D
F
H
I J
22
2. 树和森林的存储方式
树有三种常用存储方式： ①双亲表示法 ②孩子表示法 ③孩子兄弟表示法
1、用双亲表示法来存储
思路：用一组连续空间来存储树的结点，同时在每个 结点中附设一个指示器，指示其双亲结点在链表中的 data parents 位置。
法二：森林直接变兄弟，再转为二叉树
（参见教材P138图6.17，两种方法都有转换示意图）
20
森林转二叉树举例：（法二）
A
B C D E G
A F
H
I
B E C F D H I J J H I G
J
A A B C E
G
D
F
兄弟相连 长兄为父 孩子靠左 头根为根
21
讨论4：二叉树如何还原为森林？ 即B={root, LB, RB} F={T1, T2, …,Tm}
2
Huffman树简介：
Weighted Path Length
树的带权路径长度如何计算？ WPL = 哈夫曼树则是：WPL 最小的树。
w kl k
k=1
n
经典之例：
4 d
2 c 7 a (b) 5 b
Huffman树
7 a
7 a
5
2 b c
4 d
5 b
2 c (c)
4 d
(a)
WPL=36
WPL=46
WPL= 35
3
构造霍夫曼树的基本思想： 权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。 构造Huffman树的步骤（即Huffman算法）：
(1) 由给定的 n 个权值{w0, w1, w2, …, wn-1}，构造具有 n 棵扩充 二叉树的森林F = { T0, T1, T2, …, Tn-1 }，其中每一棵扩充二叉树 Ti 只有一个带有权值 wi 的根结点，其左、右子树均为空。 (2) 重复以下步骤, 直到 F 中仅剩下一棵树为止： ① 在 F 中选取两棵根结点的权值最小的扩充二叉树, 做为左、 右子树构造一棵新的二叉树。置新的二叉树的根结点的权值为 其左、右子树上根结点的权值之和。 ② 在 F 中删去这两棵二叉树。 ③ 把新的二叉树加入 F。
1
data
parents
2 3 n
结点结构 树结构
23
例1: 双亲表示法
A
B D
H I E F
C G
0 1 2 3 4 5 6 7 8
A B C D E F G H I
-1
0 0 1 1 2 2 3 3
缺点：求结点的孩子时需要遍历整个结构。
24
2、用孩子表示法来存储
思路：将每个结点的孩子排列起来，形成一个带表头 （装父结点）的线性表（n个结点要设立n个链表）； 再将n个表头用数组存放起来，这样就形成一个混合 结构。 1 a c b 例如：