第九章 热应力问题

17
x
1 E
[
x
( y
z )] T
y
1 E
[
y
( z
x )] T
z
1 E
yz
[ z
( x y )] T
2(1 E
)
yz
zx
2(1 E
)
zx
对于平面应力x的y 变温问2题(1，E 上式简)化为xy
x
1 E
[ x
y ] T
y
1 E
[ y
x ] T
xy
2
v x
u y
） s
m（1
）T
（2）
这是按位移求解温度应力平面应力问题的应力边界条件。
位移边界条件仍然为：
us u，vs v
将式(1)、(2)与第六章相关内容对比，可见
22
E T 及 E T 1 x 1 y
代替了体力分量 X 及 Y ，而：
l ET 及m ET
1
1
代替了面力分量X 及 Y 。
dQ / T S
dt n
7
可见，导热系数表示“在单位温度梯度下通过等温面单位面积
的热流速度”。
由（1）和（3）可见，热流密度的大小
q T
n
热流密度在坐标轴上的投影
qx qy
T
x
T
y
qz
T
z
可见：热流密度在任一方向的分量，等于导热系数乘以
温度在该方向的递减率。
8
热应力问题
温度场和热传导的基本概念 热传导微分方程 温度场的边界条件 按位移求解温度应力的平面问题 位移势函数的引用 轴对称温度场平面热应力问题
1
2
2u" xy
0
相应于位移补充解的应力分量为（注意不计变温，即T=0）：
x "
E
1 2
( u" x
v") y
y"
E
1 2
( v" y
u") x
xy"
E 2(1
)
( v" x
u") y
28
这样总的位移分量是：u u'u",v v'v" 需满足位移边界条件
总的应力分量是： x x ' x", y y ' y", z z ' z"
满足微分方程，而不一定要满足边界条件。（2）不计变温T，
求出微分方程的一组补充解，使它和特解叠加以后，能满足
边界条件。
25
引用一个函数（x，y） ，将位移特解取为：
u ' , v'
x
y
函数 称为位移势函数。以 u 和 v 分别作为u和v代入微分
方程，简化后得：
2 （1 ） T
x
x
2 （1 ） T
需满足应力边界条件。在应力边界问题中（没有位移边界条
件），可以把相应于位移补充解的应力分量直接用应力函数
来表示，即
x"
2
y 2
,
y"
2
x 2
,
xy"
2
xy
其中的应力函数 可以按照应力边界条件的要求来选取。
在平面应变条件下，将上述各方程中的
E换成 E
1 2
换成 1
换成（1 ）
29
例1：图示矩形薄板中发生如下的变温： a a
的温度，即 Ts f (t)
其中Ts 是物体表面温度。
14
第二类边界条件 已知物体表面上任意一点的法向热流密度，
即 (qn )s f (t) 其中角码 s 表示“表面”，角码n 表示法向。 第三类边界条件 已知物体边界上任意一点在所有瞬时的运 流（对流）放热情况。按照热量的运流定理，在单位时间内 从物体表面传向周围介质的热流密度，是和两者的温差成正 比的，即
2
2v x2
1
2
2u xy
（1 ）
T y
0
（1）
这就是按位移求解温度应力平面应力问题的微分方程。 同理，将应力分量代入无面力的应力边界条件
l（
x）s
m（
）
yx s
0
m（
y）s
l（
）
xy s
0
21
简化后得：
l（ux
v y
）s
m
1 （u
2 y
v x
） s
l（1
）T
m（
v
y
u x
）s
l
1 （
30
将A，B回代，得位移势函数
（1
）T（0
y2 2
y4 12b
2
）
于是相应于位移特解的应力分量为
x
'
ET0
(1
y2 b2
),
y
'
0,
xy
'
0
为求补充解，取 cy2 可得所需要的相应于位移补充解
的应力分量：
x"
2
y 2
2c, y"
0, xy"
2
xy
0
因此，总的应力分量为 x
x
'
x
"
2c
对于温度应力的平面应变问题，只须将温度应力平面应
力问题的
E换
成
1
E
2
换成 1
换成（1 ）
则得到在平面应变条件下的相应方程。 23
热应力问题
温度场和热传导的基本概念 热传导微分方程 温度场的边界条件 按位移求解温度应力的平面问题 位移势函数的引用 轴对称温度场平面热应力问题
24
位移势函数的引用
(qn )s (Ts Te )
其中Te是周围介质的温度； 称为运流放热系数，或简称热
系数。
第四类边界条件 已知两物体完全接触，并以热传导方式进 行热交换。即
Ts Te
15
热应力问题
温度场和热传导的基本概念 热传导微分方程 温度场的边界条件 按位移求解温度应力的平面问题 位移势函数的引用 轴对称温度场平面热应力问题
第九章 热应力问题 Thermal Stress Problems
1
热应力问题
当弹性体的温度变化时，其体积将趋于膨胀和 收缩，若外部的约束或内部的变形协调要求而使膨 胀或收缩不能自由发生时，结构中就会出现附加的 应力。这种因温度变化而引起的应力称为热应力， 或温度应力。
忽略变温对材料性能的影响，为了求得温度应 力，需要进行两方面的计算：（1）由问题的初始 条件、边界条件，按热传导方程求解弹性体的温度 场，而前后两个温度场之差就是弹性体的变温。 （2）按热弹性力学的基本方程求解弹性体的温度 应力。本章将对这两方面的计算进行简单的介绍。
o
T-△T
x
3.温度梯度：沿等温面的法线方向，指向温度增大方向的矢 量。用△T表示，其大小用Tn 表示。其中n为等温面的法线方
向。温度梯度在各坐标轴的分量为
5
T T cos(n，x) x n T T cos(n，y) y n T T cos(n，z) z n
取 n0 为等温面法线方向且指向增温方向的单位矢量，则有
16
按位移求解温度应力的平面问题
设弹性体内各点的温变为T。对于各向同性体，若不受约束，
则弹性体内各点的微小长度，都将产生正应变 （T 是弹 性体 的膨胀系数），这样，弹性体内各点的形变分量为
x y z T , yz zx xy 0
但是，由于弹性体所受的外在约束以及体内各部分之间的 相互约束，上述形变并不能自由发生，于是就产生了应力，即 所谓温度应力。这个温度应力又将由于物体的弹性而引起附加 的形变，如虎克定理所示。因此，弹性体总的形变分量是：
t
t
其中 是物体的密度，C 是单位质量的物体升高一度时所需的
热量——比热容。
10
在同一段时间dt内，由六面体左面传入热量qxdydzdt，
由右面传出热量 (qx
qx x
dx)dydzdt
。因此，传入的净热量为
qx dxdydzdt
x
将
qx
T x
代入可见：
由左右两面传入的净热量为
由上下两面传入的净热量为
根据热量平衡原理得： c T dxdydzdt 2Tdxdydzdt Wdxdydzdt
x
化简后得： 记
T 2T W
t c
c
a c
则
T a2T W
t
c
这就是热传导微分方程。
12
热应力问题
温度场和热传导的基本概念 热传导微分方程 温度场的边界条件 按位移求解温度应力的平面问题 位移势函数的引用 轴对称温度场平面热应力问题
由上一节知：在平面应力的情况下按位移求解温度应力问
题时，须使位移分量u 和v 满足微分方程：
2u x 2
1
2
2u y 2
1
2
2v xy
（1 ）
T x
0
2v
y 2
1
2
2v x2
1
2
2u xy
（1 ）
T y
0
并在边界上满足位移边界条件和应力边界条件。实际求解时，
宜分两步进行：（1）求出上述微分的任意一组特解，它只需
T
T（0 1
y2 b2
）
其中的T0 是常量。若
，试求其温
b b
o
x
度应力。
a》b
y
解：位移势函数 所应满足的微分方程为
2
（1
）T（0 1
y2 b2
）
取
Ay2 By4
代入上式，得
2A 12By 2
（1
）T（0 1
y2 ） b2
比较两边系数，得 A （1 ）T0 ，B （1 ）T0
2
12b 2
稳定温度场或定常温度场：温度场的温度只是位置坐标的函数。
即 T=T（x，y，z）
平面温度场：温度场的温度只随平面内的两个位置坐标而变。
即 T=T（x，y，t）
4
y
2.等温面：在任一瞬时，连接温度
场内温度相同各点的曲面。显然，
T+2△T 沿着等温面，温度不变；沿着等温
T T+△T
面的法线方向，温度的变化率最大。
ET0
(1
y2 b2
)
y y ' y" 0
xy xy ' xy" 0
边界条件要求 ( x )xa 0, ( xy )xa 0
( y ) yb 0, ( xy ) yb 0
31
显然，后三个条件是满足的；而第一个条件不能满足，但由
于 a》b，可应用圣维南原理，把第一个条件变换为静力等效
条件，即，在 x a 的边界上， x 的主矢量及主矩等于零：
b
b
b
(
x
) dy xa
0,
b
(
x
) xa
ydy
0
将
x
2c
ET0 (1
y2 b2
)
代入上式，求得
2c
2 3
ET0
于是矩形板的温度应力为：
x
ET0
(
y2 b2
1) 3
y 0
xy 0
32
热应力问题
13
温度场的边值条件
为了能够求解热传导微分方程，从而求得温度场，必须 已知物体在初瞬时的温度，即所谓初始条件；同时还必须已 知初瞬时以后物体表面与周围介质之间热交换的规律，即所 谓边界条件。初始条件和边界条件合称为初值条件。
初始条件： (T )t0 f (x, y, z)
边界条件分四种形式： 第一类边界条件 已知物体表面上任意一点在所有瞬时
y
y
由于 和 都是常量，所以取：
2 （1 ）T
（x，y）满足微分方程。因此 u' ，v' 可以作为微分方程的一
组特解。将 u' , v'
x
wk.baidu.com
y
以及 T 1 2
1
代入位移分量和变温T表示的应力分量表达式
26
x
E
1 2
( u x
v ) y
ET 1
y
E
1 2
( v y
u ) x
ET 1
xy
2(1 E
) xy
这就是平面应力问题热弹性力学的物理方程。 18
将应力分量用形变分量和变温T表示的物理方程为：
x
E 1 2
( x
y
)
ET 1
y
E 1 2
(
y
x
)
ET 1
xy
E 2(1
)
xy
几何方程仍然为：
x
u x
, y
v y
, xy
v x
u y
将几何方程代入物理方程，得用位移分量和变温T 表示的应
2T x 2
dxdydzdt
2T y 2
dydzdxdt
由前后两面传入的净热量为：
2T z 2
dzdxdydt
因此，传入六面体的总净热量为：
(
2T x 2
2T y 2
2T z 2
)dxdydzdt
简记为：
2Tdxdydzdt
11
假定物体内部有正热源供热，在单位时间、单位体积供
热为W，则该热源在时间dt内所供热量为Wdxdydzdt。
2
热应力问题
温度场和热传导的基本概念 热传导微分方程 温度场的边界条件 按位移求解温度应力的平面问题 位移势函数的引用 轴对称温度场平面热应力问题
3
温度场和热传导的基本概念
1.温度场：在任一瞬时，弹性体内所有各点的温度值的总体。用
T表示。
不稳定温度场或非定常温度场：温度场的温度随时间而变化。
即 T=T（x，y，z，t）
力分量
19
x
E （u
1 2 x
v ） y
ET 1
y
E （v
1 2 y
u ） x
ET 1
xy
E （2 1
（ v
） x
u ） y
将上式代入不计体力的平衡微分方程
x
x
yx
y
0
y
y
xv
x
0
20
简化得：
2u x2
1
2
2u y 2
1
2
2v xy
（1 ）
T x
0
2v y 2
1
9
热传导微分方程
热量平衡原理：在任意一段时间内，物体的任一微小部 分所积蓄的热量，等于传入该微小部分的热量加上内部热源 所供给的热量。
y
qx
qx
qx x
dx
x z
取图示微小六面体dxdydz。假定该六面体的温度在dt时间内
由T 升高到T T dt 。由温度所积蓄的热量是 Cdxdydz T ，dt
△T
n0
T n
（1）
4.热流速度：在单位时间内通过等温面面积S 的热量。用 dQ 表示。 dt
6
热流密度：通过等温面单位面积的热流速度。用 q 表示，
则有
q
n0
dQ dt
/S
(2)
其大小为
q dQ / S dt
5.热传导基本定理：热流密度与温度梯度成正比而方向相反。 即
q △T
(3)
称为热导率。由（1）、（2）、（3）式得
E 2(1
)
( v x
u ) y
可得相应位移特解的应力分量是：
x '
1
E
2
y 2
y '
1
E
2
x 2
xy
E
1
2
xy
27
设 u" ， v" 为位移的补充解，则 u" ， v" 需满足齐次微
分方程：
2u" 1 2u" 1 2v"
x2
2
y2
2
0 xy
2v"
y2
1
2
2v" x2