8.2 线性分组码 线性分组码编码
信息论与编码原理_第8章_线性分组码
举例：(7,4) 线性码的生成矩阵为：
1 0 0 0 1 0 1
G 47
0 0
1 0
0 1
0 0
1 1
1 1
1 0
0 0 0 1 0 1 1
若m14 (1010)， 则 ：
1 0 0 0 1 0 1
C17 m14G47 1
0
1
00
0
1 0
0 1
0 0
1 1
1 1
1 (1010011) 0
8.1 一般概念
(1) 线性分组码的编码：编码过程分为两步： 把信息序列按一定长度分成若干信息码组, 每组由 k 位
组成; 编码器按照预定的线性规则（可由线性方程组规定），
把信息码组变换成 n 重（n>k）码字，其中 (n－k) 个附 加码元是由信息码元的线性运算产生的。
(2) 线性分组码的码字数：信息码组长 k 位，有 2k 个不同 的信息码组，有 2k 个码字与它们一一对应。
H GS S I(Q kkQ r)T krIr
(7.3.6)
8.3 线性分组码的生成矩阵
(3) 生成矩阵与一致监督矩阵的关系
由于生成矩阵 G 的每一行都是一个码字，所以 G 的每行都满足：
Cm k1g1m k2g2 m 0gk
（ 8.3.1）
m iG(F 2)i,0,1, ,k1。 写 成 矩 阵 形 式 得 ：
g1
C1nmk1mk2,m0 g2m1kGkn
gk
(8.3.2)
mmk1mk2m0 ──待编码的信息组
G─ kn
─
是k一 n阶 个矩
阵
。
8.3 线性分组码的生成矩阵
在 k 个信息码元之后附加 r(r=n－k) 个监督码元，使每个监督元是其 中某些信息元的模 2 和。
分组编码原理
分组编码（group coding）是一种编码技术，它将数据分成多个分组（group）进行编码，以提高数据传输效率和减少数据冗余。
分组编码通常用于数据传输和存储系统中，例如在网络传输、光盘存储和硬盘存储等领域中。
分组编码的原理是将数据分成多个分组，每个分组包含相同数量的数据位，然后对数据分组进行编码。
编码后的数据分组可以通过简单的位操作进行合并，以生成完整的数据流。
分组编码的目的是减少数据冗余，提高数据传输效率，同时保持数据的可靠性。
分组编码通常有两种方式：线性分组编码和非线性分组编码。
线性分组编码是一种基于线性代数的编码方式，它将数据分组成多个线性组合，然后对线性组合进行编码。
非线性分组编码则是一种基于非线性变换的编码方式，它将数据分组成多个非线性组合，然后对非线性组合进行编码。
分组编码的应用非常广泛，例如在网络传输中，它可以减少数据包的大小，提高数据传输速度；在光盘存储中，它可以减少光盘的存储容量，提高光盘的存储密度；在硬盘存储中，它可以减少数据的传输和存储时间，提高数据的读写速度。
第八章线性分组码
第八章线性分组码8.1 什么是检错码？什么是纠错码？两者有什么不同？答：能发现错误但不能纠正错误的码称为检错码；不仅能发现错误而且还能纠正错误的码称为纠错码。
8.2 试述分组码的概念，并说明分组码的码率r的意义。
答：分组码是把信息序列以每k个码元分组，即每k个码元组成一个信息组。
n表示码长,k 表示信息位的数目，码率r=k/n，它说明在一个码字中信息为所占的比重。
8.3 什么是码的生成矩阵和校验矩阵？一个（n，k）线性分组码的生产矩阵和校验矩阵各是几行几列的矩阵？答：线性分组码的2个码字将组成n维向量空间的一个k维子空间，而线性空间可由其基底张成，因此线性分组码的个码字完全可由k个独立的向量组成的基底张成。
设k个向量为（7.3-2）将它们写成矩阵形式：（7.3-3）（n,k）码中的任何码字，均可由这组基底的线性组合生成。
即C=MG=(mk-1,mk-2,m0)G式中M=(mk-1,mk-2,m0)是k个信息元组成的信息组。
这就是说，每给定一个信息组，通过式（7.3-3）便可求得其相应的码字。
故称这个由k 个线性无关矢量组成的基底所构成的k×n阶矩阵G为码的生成矩阵（Generator Matrix）。
校验矩阵H 的每一行代表求某一个校验位的线性方程的系数(n-k)线性分组码有r=n-k 个校验元，故须有r 个独立的线性方程，因此H 矩阵必由线性无关的r 行组成，是一个(n-k)×n 阶矩阵，一般形式为一个（n,k ）线性分组码生成矩阵有k 行n 列校验矩阵有(n-k)行n 列。
8.4 什么样的码成为系统码？系统码的生成矩阵和校验矩阵在形式上有何特点？答：若信息组为不变的形式，称在码字的任意k 位中出现的码为系统码；一个系统码的生成矩阵G ，其左边k 行k 列是一个k 阶单位方阵，系统码的校验矩阵H ，其右边r 行r 列组成一个r 阶单位方阵。
8.5 什么是对偶码？试举例说明之。
线性分组码
C mG
G是一个k*n阶矩阵，称为(n,k)码的生成矩阵。
7
1 0 G 0
0 0 1 0 0 1
p11 p 21 p k1
p12 p 22 pk 2
p1( n k ) p 2( nk ) I P k pk ( nk )
n 1
u和v之间的距离表示2个码字对应位不同的数目。
如(7,3)码的两个码字：u=0011101
v=0100111
它们之间的距离d=4
4
码的最小距离的dmin ：在（n,k）线性码字集合中， 任意两个码字间的距离最小值，是衡量抗干扰能力的 重要参数，dmin越大，抗干扰能力越强。 码字的重量W：码字中非零码元符号的个数；在二元 线性码中，码字的重量是码字中含“1”的个数。 码的最小重量Wmin：线性分组码中，非零码字重量的 最小值，称为码的最小重量，表示为：
限， 性能界限，即码的译码错误概率的上、下 限。 对码距限而言，最重要的限是汉明限，普 洛特金限和吉尔伯特－瓦尔沙莫夫限，汉 明码和普洛特金限告诉我们，在给定码长n 和码的传输速率R=k/n下，最小距离可以达 到的最大值，故它们都是上限，而吉尔伯 特一瓦尔沙莫夫限给出了码的最小距离的 下限。
HC 0
T
T
r=n-k
H
阵是n列，(n-k)行的矩阵；
为了得到确定的码，r个监督方程必须是线性
无关的，即要求H阵的秩为r。
6
2. 生成矩阵G
把方程组写成矩阵的形式为
h11 h 21 h r1
h12 h1k h 22 h 2k h r2 h rk
m 信道编码
C
差错控制编码(纠错码)
23
奇数校验码：附加一位监督码，使码组中“1”的个数为奇数
设码字（vn-1, vn-2, …, v1, v0），v0为监督元，则有：
vn-1＋ vn-2＋…＋ v1＋ v0＝1
模2加
（8-1）
在接收端，按上式计算各码元，若结果为0认为有错； 否则，无错。如：11010 0
偶数校验码：附加一位监督码，使码组中“1”的个数为偶数，
引言 纠错编码的基本原理 线性分组码 循环码 小结
2
§8.1 引言
一、基本概念
在数字信号传输中，由于噪声的存在及信道特性 不理想，都可使信号波形失真，从而在接收端就不可 避免的产生错误判决。 引起误码原因: (1)信道特性不理想(乘性干扰): 引起码间串扰，通常 可采用均衡的办法纠正。 (2) 噪声影响(加性干扰) : 需借助各种差错控制编码 技术来克服。
5
三、误码的类型 随机误码
•错码出现是随机的、错码之间统计独立。 •由随机噪声引起 •存在随机误码的信道称为随机信道
突发误码
•错码成串集中出现，在很短的时间出现大量错码，而 过后又存在较大的无错码位，且差错之间是相关的 •例如：脉冲噪声，信道中衰落 •存在这种差错的信道称为突发信道
6
四、差错控制方法
特点：结构简单，易于实现，编码效率高，虽然不理想， 但干扰不严重时，且码长不长的情况下仍很有用。
25
3、方阵码
也叫二维奇偶校验码（矩阵码、行列监督码），其 基本原理与简单的奇偶校验码相似。不同的是每个 码元都要受到行和列的两项监督 编码方法： 将所要传送的码序列编成一个方阵，方阵中每一行为 一个码组。每行的最后加上一个监督码元，进行奇偶 监督。在每列的最后也加上一个监督码，进行奇偶监 督
线性分组码
二、线性分组码的严格数学定义2
2. 定理1 (码的封闭性）
设CH为由监督矩阵H定义的分组码，则c1,c2CH : c1+c2CH 证明： 由c1CH，得Hc1T=0T;
由c2CH，得Hc2T=0T;
所以 H(c1+c2)T=H(c1T+c2T) =Hc1T+Hc2T=0T c1+c2满足HcT=0T，所以c1+c2 CH
+
+
考虑如何用串行方式？
三、G与H的关系4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
D0
D1
+
D2
+
D3
+
D0
D1
+
D2
+
D3
+
m4m5m6
m6
m6
D0
D1
m6+m5 m6
D0
D1
m6
m6
+
D2
+
D3
+
m4m5
m6+m5
m6+m5
+
D2
m6+m5+m6
=m5
+
D3
+
m4
m5+m4
互为对偶码，若CH=CG, 则称为自对偶码（P62)
[Q In-k] [IkP]T= [QIn-k] [IkT PT]T= Q + PT = 0
所以 P= - QT 或 Q = -PT
由此得 G=[Ik P] = [ Ik –QT] H=[Q In-k]= [ -PT In-k]
三、G与H的关系2
线性分组码(免费)
线性分组码8.3.1 基本概念是一组固定长度的码组，可表示为（n, k），通常它用于前向纠错。
在分组码中，监督位被加到信息位之后，形成新的码。
在编码时，k个信息位被编为n位码组长度，而n-k个监督位的作用就是实现检错与纠错。
当分组码的信息码元与监督码元之间的关系为线性关系时，这种分组码就称为。
对于长度为n的二进制线性分组码，它有种可能的码组，从种码组中，可以选择M=个码组（k<n）组成一种码。
这样，一个k比特信息的线性分组码可以映射到一个长度为n码组上，该码组是从M=个码组构成的码集中选出来的，这样剩下的码组就可以对这个分组码进行检错或纠错。
线性分组码是建立在代数群论基础之上的，各许用码的集合构成了代数学中的群，它们的如下：（1）任意两许用码之和（对于二进制码这个和的含义是模二和）仍为一许用码，也就是说，线性分组码具有封闭性；（2）码组间的最小码距等于非零码的最小码重。
在8.2.1节中介绍的奇偶监督码，就是一种最简单的线性分组码，由于只有一位监督位通常可以表示为（n,n-1），式（8-5）表示采用偶校验时的监督关系。
在接收端解码时，实际上就是在计算：（8-6）其中，…表示接收到的信息位，表示接收到的监督位，若S＝0，就认为无错；若S＝1就认为有错。
式（8-6）被称为监督关系式，S是校正子。
由于校正子S的取值只有“0”和“1”两种状态，因此，它只能表示有错和无错这两种信息，而不能指出错码的位置。
设想如果监督位增加一位，即变成两位，则能增加一个类似于式（8-6）的监督关系式，计算出两个校正子和，而共有4种组合：00，01，10，11，可以表示4种不同的信息。
除了用00表示无错以外，其余3种状态就可用于指示3种不同的误码图样。
同理，由r个监督方程式计算得到的校正子有r位，可以用来指示-1种误码图样。
对于一位误码来说，就可以指示-1个误码位置。
对于码组长度为n、信息码元为k位、监督码元为r＝n - k位的分组码（常记作（n，k）码），如果希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示一位错码的n种可能，则要求：（8-7) 下面通过一个例子来说明的。
8.2 线性分组码 线性分组码编码
8.2 线性分组码
线性分组码的编码
1
引言
• 信道编码，目的是提高数字通信的可靠性
– 差错率是信噪比的函数
• 信道编码，差错控制编码，抗干扰编码
• 信道编码过程：
– 信息码元序列＋监督码元→编码码组
• 信道译码过程：
– 编码码组→检错或纠错→信息码元序列
2
1. 线性分组码的概念
1 0 0
G＝0 1 0 0 1 1
1 0 1
0 0 1 1 1 0
1 1 0
1 1 1
7
由式
，得码组矩阵为：
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 C＝0
1
1 1 0
0 1
0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
0 1 1
110＝100
1 1 0
0 1 0
0 1 1
6
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
例8-1 已知(6,3)码的生成矩阵为G，试求：(1) 编码码组 和各码组的码重；(2) 最小码距 d及min其差错控制能力。
解
(1) 由3位码组成的信息码组矩阵为D：
0 0
0 0
0 1
0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 1 1
D＝
ck = dk
ck +1 ck+2
= =
h11d1 h12d2 h1k dk h21d1 h22d2 h2k dk
G生成矩阵
cn = hm1d1 hm2d2 hmk dk
5
写成矩阵形式，有 C = D G ，G为生成矩阵(k*n)，且：
信息论与编码第八章1
T
H=[ Q I ] G=[ I P]
I I T Q P T 0 P
只有当PT=Q或P=QT时等式才成立。
例
(6,3)线性分组码，其生成矩阵是
1 1 1 0 1 0 G 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1
定义8.2 对于2k个n长码字全体构成的分组码， 其码字中的k位称为信息位，n-k位称为校验位 或监督位。
线性分组码：监督元与信息元之间的关系可用 一组线性方程组来描述的(n, k)分组码。
编码效率：一个组中信息所占的比重。
k R n
– k：信息码元的数目 – n：编码组码元的总数目 – r：监督码元的数目
n = k+ r
定义8.3若（n，k）分组码中k个信息位同原始k 个信息位相同，且位于n长码字的前（或后）k位， 为校验位位于其后（或前），则称该分组码为系 统码，否则为非系统码。 定义8.4两个序列之间的汉明距离定义为两个序 列之间对应位不同的位数。 例如：α和β为码组X中的两个不同码字，X为一 个长度为N的二元码组，其中：
第8章 纠错编码
8.1纠错编码的基本概念 8.2纠错编码的分类 8.3线性分组码
8.4循环码
8.1 纠错编码的基本概念
• 信源编码提高数字信号有效性 将信源的模拟信号转变为数字信号 降低数码率,压缩传输频带(数据压缩) • 信道编码提高数字通信可靠性 数字信号在信道的传输过程中,由于实际信道的 传输特性不理想以及存在加性噪声,在接收端往 往会产生误码。 目的在于提高通信（或存储）的可靠性，减 低误码率。
令 H=
1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
线性分组码的编码方法
线性分组码的编码方法0 引言随着通信技术的飞速发展，数字信息的存储和交换日益增加，对于数据传输过程中的可靠性要求也越来越高，数字通信要求传输过程中所造成的数码差错足够低。
引起传输差错的根本原因是信道内的噪声及信道特性的不理想。
要进一步提高通信系统的可靠性，就需采用纠错编码技术。
1线性分组码线性分组码是差错控制编码的一种，它的编码规则是在k 个信息位之后附加r=（n-k ）个监督码元，每个监督码元都是其中某些信息位的模2和，即（n-k ）个附加码元是由信息码元按某种规则设计的线性方程组运算产生，则称为线性分组码（linear block code ）。
目前，绝大多数的数字计算机和数字通信系统中广泛采用二进制形式的码元，因此以下对线性分组码的讨论都是在有限域GF （2）上进行的，域中元素为0、1。
以（7，3）线性分组码为例，（7，3）线性分组码的信息组长度k=3，在每个信息组后加上4个监督码元，每个码元取值“0”或“1”。
设该码字为（C 6,C 5,C 4,C 3,C 2,C 1,C 0）。
其中C 6,C 5,C 4是信息位，C 3,C 2,C 1,C 0是监督位，监督位可以按下面的方程计算：463C C C +=4562C C C C ++=（1）561C C C += 450C C C +=以上四式构成了线性方程组，它确定了由信息位得到监督位的规则，称为监督方程或校验方程。
由于所有的码字都按同一规则确定，因此上式又称为一致监督方程或一致校验方程，这种编码方法称为一致监督编码或称一致校验编码。
由式（1）可以得出，每给出一个3位的信息组，就可以编出一个7位的码字，同理可以求出其它7个信息组所对应的码字。
2 生成矩阵和一致校验矩阵（n ，k ）线性分组码的编码问题，就是如何从n 维线性空间V n 中，找出满足一定要求的，由2k个矢量组成的k 维线性子空间；或者说在满足一定条件下，如何根据已知的k 个信息元求得n-k 个校验元。
线性码和线性分组码
• G中任一元g与H相加得到旳子集称为H旳陪集
• 举例
– 陪集不相交
– 陪集首
H的陪集
– 商集
• 整数群旳子群
– m旳全部倍数
H
– 剩余类
线性空间、线性码与线性分组码
• 利用线性空间中旳子空间作为许用码字旳编码 称线性码
• 当线性空间为有限维空间时即为线性分组码 • GF(q)上旳n维线性空间Vn中旳一种k维子空间
• 中任一矢量r是许用码字旳充要条件是
r h1T
hT2
hT nk
0
h1
H
h2
hnk
校验矩阵
对偶码
• 用校验矩阵H中行矢量张成旳子空间是一 种(n ,n-k)线性分组码，它与码C互为对偶 码
自由距与校验矩阵
• 校验矩阵旳秩为df -1 • 例：纠一种错旳码设计
– 自由距至少为3 – 校验矩阵旳秩至少为2，即任两个列矢量不同 – 当冗余位数m固定时，最多旳非零列矢量个数为2m -1 – 最高效率为(2m-1，2m-1-m，3)码，称为汉明码，是完
线性分组码译码旳基本措施
• 码C作为一种子群，它旳每一种陪集在码 C旳正交空间H中旳投影是一种点，而不 同旳陪集投影不同。
• 每一种陪集有一种最小码重，作为陪集 首，代表最可能旳错误图案。
• 这就引出了伴随式译码：s=rHT，将s与 最可能旳e建一张表，即可经过查表法实 现译码。
小结：引入线性码旳好处
– 对自由距为d旳码，球半径为s(C) = (d-1)/2
• 能够覆盖整个码空间旳以许用码字为中心半径 相等旳球，其最小半径称为码旳覆盖半径 t(C)，
– 显然球半径不不小于覆盖半径 – 当相等时称为完备码，在k和d相不变旳码中n最小 – 当给定编码参数n和k时，覆盖半径越小码距就能够
线性分组码的编码原理
第8章差错控制编码本章教学基本要求：掌握：1.差错控制编码的基本概念、基本原理2.线性分组码的G、H矩阵3.位同步理解：卷积码了解：常用的简单编码本章核心内容：一、差错控制编码的基本概念、原理二、常用的简单编码三、线性分组码四、卷积码一、差错控制编码的基本概念、原理1.差错编码的基本概念差错控制编码属信道编码，要求在满足有效性前提下，尽可能提高数字通信的可靠性。
差错控制的目的是用信道编码的方法检测和纠正误码，降低误比特率。
数字信号在传输过程中受到干扰的影响，使信号波形变坏，发生误码，可以采用一些方法解决。
同时设计系统时，还要合理地选择调制、解调、发送功率等因素，采用上述措施仍难以满足性能要求，就要采用差错控制措施了。
从差错控制角度来看，根据加性干扰引起的错码分布规律的不同，把信道分为三类，即随机信道、突发信道和混合信道，对不同类型的信道，采用不同的差错控制技术。
差错控制方法常用的有以下三种：（1）检错重发法（ARQ）：检错重发方式只用于检测误码，需具备双向信道。
收端在接收到的信码中发现错码时，就通知发端重发，直到正确接收为止。
（2）前向纠错法（FEC）：收端不仅能检测误码，还能纠正错码。
这种方法实时性好，不需要反向信道，但纠错设备较复杂。
（3）反馈校验法：接收端将接收到的信码原封不动地转发回发端，并与原发送信码相比较，若发现错误，发端再重发。
三种方法可以结合使用2.纠错编码的基本原理在信息码序列中加监督码就称为差错控制编码，也叫纠错编码。
不同的编码方法，有不同的检错和纠错能力，增加监督码元越多，检（纠）错能力越强。
差错控制编码原则上是降低 b R 来换取可靠性提高。
（即e P 更小）。
信息码元和监督码元之间有一种关系，关系不同，形成码的类型也不同。
信息码元和监督码元用线性方程组联系，所形成的码称为线性分组码，包括汉明码和循环码。
在线性分组码中，两个码组对应位上数字不同的位数称为码组距离，简称码距，又称汉明（Hamming ）距离。
第八章 纠错编码
2、自动反馈重发ARQ(Automatic Repeat Request)
采用自动反馈重发方式，发端经编码后发出能够发现错误的码， 接收端收到后经检验如果发现传输中有错误，则通过反向信道把这一 判断结果反馈给发送端。然后，发送端把信息重发一次，直到接收端 确认为止。 采用这种差错控制方法编码效率较高、设备也较简单，但需要具 备双向通道，一般在计算机数据通信中应用。 ，一般在计算机数据通信中应用。 检错重发方式分为三种类型。 （1）停发等待重发 （2）返回重发 （3）选择重发
传 输 顺 序 信息顺序
4、群计数码 用信息码中1个数的编码做个冗余位。 5、恒比码 编码时，0、1个数比例保持恒定可以构成r=n-k个监督方 程（或校验子）。这r个校验子可以构成2r种组合，全零 组合代表编码正确，而其余的2r－1种组合可以代表各种 不同类型的差错。 若传输时只发生单个位的差错，而总码长为2r-1，则 可以利用不同的校验子状态组合实现差错定位，即纠错。 这种能够纠正单个错误的线性分组码，称为汉明码。 汉明码码长n与冗余位长 的关系 汉明码码长 与冗余位长r的关系： 与冗余位长 的关系： n=2r-1 汉明码的最小码距为3
sr −1 g r −1k −1 s g S T = r − 2 = r − 2 k −1 ... ... s0 g 0 k −1 g r −1k − 2 g r −2k −2 ... g0k −2 ... ... ... ... g r −10 g r − 20 ... g 00 0 cn −1 0 ... 0 cn − 2 = HC T ... ... ... ... 0 ... 1 c0 1 ...
不为零矩阵，说明代 码中有传输差错
第8章差错控制编码技术
4. 汉明码
汉明码是一类常见的线性分组码，是 一种能够纠正单个错误的完备码。要纠正 码组中的单个错误，则要求与单个错误图 样对应的伴随式各不相同，且不能为全零。 若码长为n，监督码元的个数为r，则要求 2 r-1≥n。码组为汉明码时取等号。即用来 纠正单个错误时，汉明码所用的监督码元 个数最少，效率最高。
第八章 差错控制编码技术
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7
差错控制编码的基本概念 线性分组码 循 环 码 卷 积 码 网格编码调制（TCM） Turbo码 差错控制编码对系统性能的改善
8.1 差错控制编码的基本概念
1. 差错控制的工作方式
按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分 为三类：随机信道、突发信道和混合信道。 恒参高斯白噪声信道是典型的随机信道， 其中差错的出现是随机的，而且错误之间 是统计独立的。具有脉冲干扰的信道是典 型的突发信道，错误是成串成群出现的， 即在短时间内出现大量错误。
在收端采用维特比算法执行最大似然 检测。编码网格状图中的每一条支路对应 于一个子集，而不是一个信号点。检测的 第一步是确定每个子集中的信号点，在欧 氏距离意义下，这个子集是最靠近接收信 号的子集。 图8-11描述了最简单的传输2比特码字 的8PSK四状态TCM编码方案。它采用了 效率为1/2的卷积码编码器，对应的格图如 图8-12所示。
（2） 循环码的译码
原则上纠错可按下述步骤进行： ① 用生成多项式g（x）去除接收码 组 B（x）=A（x）+E（x）， 得 出 余 式 r （x）； ② 按余式r（x）用查表的方法或通 过某种运算得到错误图样E（x），就可以 确定错码位置。 ③ 从B（x）中减去E（x），便得到 已纠正错误的原发送码组A（x）。
实验二线性分组码的编译码报告
实验二线性分组码的编译码报告1.实验目的线性分组码是一种常用的编码方式，本实验旨在通过对线性分组码的编码与解码操作，加深对线性分组码的理解，并掌握编码与解码的基本方法。
2.实验原理2.1线性分组码线性分组码是一种纠错码，通过在数据中嵌入冗余信息，使得数据在传输或存储过程中能够进行纠错。
线性分组码中的每个码字都由一系列的信息位和校验位组成，校验位的数量和位置由特定的生成矩阵决定。
2.2编码编码是将信息位转换为码字的过程。
对于线性分组码，编码过程可以通过生成矩阵来实现。
生成矩阵是一个以二进制元素组成的矩阵，其列数等于码字的长度，行数等于信息位的长度。
生成矩阵的乘法运算可以将信息位转换为码字。
2.3解码解码是将接收到的码字转换为信息位的过程。
对于线性分组码，解码过程可以通过校验矩阵来实现。
校验矩阵是生成矩阵的转置矩阵，其列数等于校验位的数量，行数等于码字的长度。
解码过程可以通过校验矩阵的乘法运算来恢复信息位。
3.实验内容3.1编码操作首先，选择一个合适的生成矩阵，根据生成矩阵进行编码操作。
具体步骤如下：1)定义生成矩阵，并将其转换为标准型；2)输入信息位；3)将信息位与生成矩阵相乘，得到码字；4)输出码字。
3.2解码操作在编码操作完成后，进行解码操作，根据生成矩阵得到校验矩阵，并根据校验矩阵进行解码操作。
具体步骤如下：1)根据生成矩阵得到校验矩阵；2)输入码字；3)将码字与校验矩阵相乘，得到校验位；4)判断校验位是否全为0，若是则解码成功，将码字中的信息位输出；若不是，则说明有错误发生，进行纠错操作。
4.实验结果与分析通过编码与解码的操作，得到了编码后的码字，并成功地将码字解码为原始信息位。
在解码过程中，如果校验位全为0，则说明接收到的码字没有发生错误，并且成功恢复出了信息位。
5.实验总结通过本次实验，深入理解了线性分组码的编码与解码原理，并掌握了编码与解码的基本方法。
线性分组码是一种常用的纠错码，其应用广泛，并且在通信与存储领域发挥着重要作用。
线性分组码编码分析与实现
线性分组码编码分析与实现第一章线性分组码的基本概念与特点1.1 线性分组码的定义：线性分组码是一种具有线性结构的编码方式，采用矩阵运算的方式实现数据的编码和解码。
1.2 线性分组码的特点：（1）码字长度相同（2）编码和解码具有线性性质（3）具有很强的纠错和检错能力（4）编码和解码过程中没有死区（5）对于大量数据的编码和解码工作具有很高的效率1.3 线性分组码的模型：线性分组码的模型由3部分组成：（1）信息部分（2）校验部分（3）生成矩阵第二章编码和解码的实现原理2.1 编码的实现原理：（1）将数据划分为信息部分和校验部分（2）利用生成矩阵将信息部分和校验部分按照一定的规则进行编码（3）产生码字2.2 解码的实现原理：（1）接收到码字，并划分为信息部分和校验部分（2）建立校验矩阵（3）根据校验矩阵的摆放方式进行解码（4）恢复原始数据第三章线性分组码的具体实现3.1 编码的具体实现步骤：（1）确定数据长度和校验长度（2）生成矩阵的构建（3）信息部分和校验部分按照一定的规则进行编码（4）产生码字3.2 解码的具体实现步骤：（1）接收到码字，并划分为信息部分和校验部分（2）建立校验矩阵（3）根据校验矩阵的摆放方式进行解码（4）恢复原始数据第四章线性分组码的应用4.1 线性分组码在通信领域的应用：（1）在通信过程中往往会出现误码和丢包现象，利用线性分组码可以增强数据传输的可靠性（2）线性分组码可以应用于数字语音、数字视频、加密通信等领域，提高通信的效率和安全性4.2 线性分组码在计算机网络领域的应用：（1）在计算机网络领域，线性分组码可以应用于数据校验和错误纠正，提高数据传输的可靠性和稳定性（2）线性分组码可以应用于TCP/IP协议中，提高数据传输的效率和安全性第五章线性分组码的发展趋势5.1 智能化：线性分组码的智能化发展趋势是将其与人工智能、大数据处理等技术相结合，实现自动化编码和自动化解码，提高编码和解码的效率。
线性分组码的编码原理
如果用两个二进制码元来表示一个消息，有4 种可能的码字，即“00”、 “01”、“10”和
“11”。比如规定“00”表示消息A， “11”表示 消息B。码字“01”或“10”不允许使用，称为禁
用码字，对应地，用来表示消息的码字称为许用 码字。如果在传输消息的过程中发生一位错码， 则变成禁用码字“01”或“10”，译码器就可判决 为有错。这表明在信息码元后面附加一位监督码 元以后，当只发生一位错码时，码字具有检错能 力。但由于不能判决是哪一位发生了错码，所以 没有纠错能力。
间的最小距离，称为该编码的最小汉明距离，简称为最小码距，用 d min 表示。例如码长 n =3 的重复码，只有 2 个许用码字，即 000 和 111， 显然 d min ＝3。
《通信原理课件》
《通信原理课件》
信道编码的效用
《通信原理课件》
[例9.2.1]
《通信原理课件》
《通信原理课件》
9.2.2 信道编码的译码方法
《通信原理课件》
《通信原理课件》
9.4.1 循环码的码多项式
循环码可用多种方式进行描述。在代数编码理论中，通常用多项式 去描述循环码，它把码字中各码元当作是一个多项式的系数，即把一个
n 长的码字 C ＝ cn1,cn2 ,cn3,,c1,c0 用一个次数不超过（n-1）的多
项式表示为
C x cn1 x n1 cn2 x n2 c1 x c0
《通信原理课件》
9.2 信道编码的基本原理
香农的信道编码定理指出：对于一个给
定的有扰信道，如果信道容量为C，只要发 送端以低于C的信息速率R发送信息，则一
定存在一种编码方法，使译码差错概率随 着码长的增加，按指数规律下降到任意小 的值。这就是说，通过信道编码可以使通 信过程不发生差错，或者使差错控制在允 许的数值之下。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
◼ k位信息码用 d1,d2 ,,dk 表示
n=k+m， n：编码以后的位数 k：编码以前的位数，即 信息码 m=n-k：监督位或校验位
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
4
2. 线性分组码的编码
c1 = d1
c2 = d2
1 0 0
G＝0 1 0 0 1 1
1 0 1
0 0 1 1 1 0
1 1 0
1 1 1
7
由式
，得码组矩阵为：
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 C＝0
1
1 1 0
0 1
0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
0 1 1
110＝100
1 1 0
0 1 0
0 1 1
➢在编码前先把信息序列分为k 位一组（称为信息码）， 然后附加m 位监督码，形成n = k + m 位的码组。
线性
分组
• 监督码是信息码元的 线性组合。
• 监督码仅与本码组的
信息码有关。
➢ 线性码具有封闭性，即任意两个许用码组之和（模2 加），结果仍为一许用码组。
3
1. 线性分组码的概念
➢ 线性分组码：记作 (n , k)码
第八章 差错控制编码
8.2 线性分组码
线性分组码的编码
1
引言
• 信道编码，目的是提高数字通信的可靠性
– 差错率是信噪比的函数
• 信道编码，差错控制编码，抗干扰编码
• 信道编码过程：
– 信息码元序列＋监督码元→编码码组
• 信道译码过程：
– 编码码组→检错或纠错→信息码元序列
2
1. 线性分组码的概念
6
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
例8-1 已知(6,3)码的生成矩阵为G，试求：(1) 编码码组 和各码组的码重；(2) 最小码距 d及min其差错控制能力。
解
(1) 由3位码组成的信息码组矩阵为D：
0 0
0 0
0 1
0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 1 1
D＝
G＝0
1
0
0
h12
h22
hm2
k 行
0 0 0 1 h1k h2k hmk
k+m =n列
1 0 0 0
设
Ik
=
0
1
0
0
h11 h21 hm1
பைடு நூலகம்
P
=
h12
h22
hm2
0 0 0 1
h1k h2k hmk
则 C = DIk , P = DIk , DP = D, DP = D, Cm
8
由前表可知，非零码组的最小码重为：
Wmin = 3
所以最小码距为： dmin = 3
由于 3 2*1+1 纠一位错 3 2+1 检二位错
3 1+1+1 纠一错，检一错
因此，该码有纠1错，或检2错，或纠一错同时检一错的
能力。
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
9
1 0 0
1 1
1
1 0 1
1 0 1 0 1 1
1 1 0
1 1 0 1 1 0
1 1 1
1 1 1 0 0 0
信息码组、编码码组及码重如下表所示：
信息码组 编码码组 码重W 信息码组 编码码组 码重W
000 000000 0 100 100101 3 001 001110 3 101 101011 4 010 010011 3 110 110110 4 011 011101 4 111 111000 3
总结
➢ 引言 ➢ 线性分组码的概念 ➢ 线性分组码的编码 ➢ 举例
10
谢谢观看！
11
ck = dk
ck +1 ck+2
= =
h11d1 h12d2 h1k dk h21d1 h22d2 h2k dk
G生成矩阵
cn = hm1d1 hm2d2 hmk dk
5
写成矩阵形式，有 C = D G ，G为生成矩阵(k*n)，且：
1 0 0 0 h11 h21 hm1