通信原理(Ⅱ)第11章 -线性分组码-一般原理

110 101

I
k
Q

G
（11.5-15）
0001
011
G称为生成矩阵,具有[IkQ]形式
的生成矩阵称为典型生成矩阵 6
生成矩阵G 可以产生整个码组
a6a5a4a3a2a1a0 a6a5a4a3 G
A [a6a5a4a3]G
（11.5-16） （11.5-17）
a6 a4 a3 a0 0
式中已将模２ 加简写成“+”。
1 a6 1 a5 1 a4 0 a3 1 a2 0 a1 0 a0 0
1 a6 1 a5 0 a4 1 a3 0 a2 1 a1 0 a0 0 （11.5－8）
② 错码较多（超过该编码的检错能力），即式（11.5-10） 成立,B变为另一许用码组，这样的错码不可检测。
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7、线性分组码的性质
封闭性： 指一种线性码中的任意两个码组之和仍为这种码的另一个码组。
Q
a6
1011 001
a5

a4

（11.5-12）
a3
Q为一个k × r阶
（11.5-13） 矩阵，Q=PT
011
上式表示，信息位给定后，用信息位
的行矩阵乘以矩阵Q就得到监督位。 若在Q的左边加上1个k × k阶单位方阵
1000 111
0100 0010
1 a6 0 a5 1 a4 1 a3 0 a2 0 a1 1 a0 0
a6
a5

1110100 1101010
a
4

a3

0 0
（模2）
1011001
a
2

0
a1
a0

（11.5－9）
3
a6
a5

1110100 1101010
a
4

a3

0 0
（模2）
1011001
a
2

0
a1
a0

A = [a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0]
式(11.5-9)可写为：
H AT = 0T 或
（11.5-20） （11.5-21）
例,若发送码组A = [1000111]，错码矩阵E = [0000100]，则接收码组
B =A+E =[1000011]
[1 0 0 0 1 1 1] + [0 0 0 0 1 0 0]
[1 0 0 0 0 1 1]
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6、校正子S
若将B 当作A代入式（11.5-10），且当 B 有错时（E 0):
② G 的各行本身就是一个码组。因此，如果有k个线性无关的 码组，则可以用它们作为生成矩阵G，并由它生成其余码组。
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5、错码矩阵E
若设发送的码组 A为一行矩阵，它的n个元素就是码组中的n个码元。 在传输中可能因干扰引入差错，故接收码组与A不一定相同。
设接收码组为一n列的行矩阵B 发送码组与接收码组之差为
线性分组码的一般原理
邹园萍
1
学习主线：
改写
写成
海(汉)明码的监督关系式
代数式
矩阵相乘
生成矩阵G 错码矩阵E 校正子S
定 义
引出
监督阵H
2
1、监督阵－－ H 矩阵
已知海明码的编码
（a6a5a4a3a2a1a0)和 ３个监督关系式：
a6 a5 a4 a2 0 a6 a5 a3 a1 0
a2
a2 a1 a0
a1a0
a6 a5 a4 a6 a5 a3 a6 a4 a3
a6a5a4a3
a2
（11.5-7）
a1


111
a0
110 101


[a6a5a4
ห้องสมุดไป่ตู้
a3
]
1110 1101 1011
A HT = 0
（11.5-10）
① 未超过检错能力时，上式不成立，即右端不等于0，令右端为S，即
BHT=S
（11.5-23）
S = (A + E) H T = A H T + E H T （11.5-24）
S称为校正子，能用来指示错码的位置。S和错码E之间有确定的线 性变换关系。若S和E之间一 一对应，则S就能代表错码的位置。
（11.5－9）
1110100 令 1101010 H
1011001
0 = [000]
A H T = 0 （11.5-10）
右上标“T”表示将矩阵转置。H称为监督矩阵。 只要H给定，编码时监督位和信息位的关系就完全确定了。
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2、H 矩阵的性质
① H矩阵的行数就是监督关系式的个数ｒ，每行中的“1” 表 示相应位置的码元之间存在监督关系。
B bn1bn2 b1b0 （11.5-18）
E就是传输中产生的错码 矩阵 ，也称错误图样。
0, ei 1,
当bi ai 当bi ai
B – A = E (模2) 可写成 B ＝A ＋ E （11.5-19）
E en1en2 e1e0
若ei = 0，接收码元无错； 若ei = 1，接收码元有错。
代数理论：
若一矩阵能写成典型阵形式[P Ir] ，则其各行一定是线性无关的。
② H矩阵的各行是线性无关的，否则将得不到 r个线性无关的 监督关系式，也得不到 r个独立的监督位。
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3、生成矩阵－－G 矩阵
1110 100
已知海明码监督位(a2a1a0)的公式：
H 1101 010 [PIr ]
例如，H的第一行1110100表示监督位a2是由a6 a5 a4之和决定的。
H 矩阵可以分成两部分：
Ir为r × r阶单位方阵
1110 100
P为r × k阶矩阵
H 1101 010 P Ir
（11.5-11）
1011 001
将具有[P Ir]形式的H矩阵称为典型阵。
分析： ① 如果找到了码的生成矩阵G，则编码的方法就完全确定了。
② 由典型生成矩阵得到的码组A，其信息位的位置不变，监督位
附加于其后。具有这种形式的码称为系统码。
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4、G矩阵的性质
① G 矩阵的各行是线性无关的。 任意一个码组 A都是G 的各
行的线性组合。 因此，通过G可组合出2k 种不同的码组A，即k位信息位的全 部码组。