线性分组码
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第3章线性分组码
8
第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
码的生成矩阵（ k 维线性子空间）
由于[n,k,d]线性分组码是一个k维线性空间。因此必 可找到k个线性无关的矢量，能张成该线性空间。设 C1 , C 2 , C k 是k个线性无关的矢量，则对任意 C ，可有：
C m1C1 m2 C 2 mk C k C1 C2 m1 , m2 , mk C k G称为该分组码的生成矩阵 mG
4
第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念
线性空间的性质
零元素是唯一的 负元素是唯一的， V 关于0元素有 0 0, k 0 0, ( 1) ,
- 唯一
k ( ) k k
如果
如果 k ＝0，那么k＝0或 ＝0.
9
第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
例：一个[7, 3 ]码，m2 m1 m0 → c6 c5 c4 c3 c2 c1 c0 ，如 果码字的生成规则为：
若用矩阵形式表示这些线性方程 组， 则：
C m2 m1
1 0 0 1 1 1 0 m0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1
0 ;（β 称为 的负元素）
3
第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念
数量乘法满足下列两条规则 : ⑤ 1 ⑥ k ( l ) ( kl ) 数量乘法与加法满足下列两条规则： ⑦ (k l ) k l ⑧ k ( ) k k
［ n –i, k -i］缩短码的纠错能力至少与原［n, k ］码 相同。 ［n –i, k -i］缩短码是［n , k ］码缩短i位得到的， 因而码率R 比原码要小， 但纠错能力不一定比原码 强。
线性分组码
系统码的校验矩阵和生成矩阵可以转换。
13
线性分组码的性质
线性分组码中任意两个码字的模2加仍为一个码字，这个性 质称为码的封闭性。 零矢量必须是任一线性分组码中的一个码字，称为零码字。 生成矩阵中各行都是一个码字，且生成矩阵的各行是线性 无关的（任意两行相加不为零）。任意码字C是生成矩阵中 各行的某一线性组合。 校验矩阵的各行应该是线性无关的，否则将得不到r个线性 无关的监督关系式，从而得不到r个独立的监督位。
23
汉明码
汉明码实际上是(2m-1, 2m-m-1)线性分组码，其校验行有m行，共有 n=2m-1列，任一列都不为零且两两互不相等，因此能纠正任何单 个错误。 汉明码的校验矩阵一般有两种构造方式： 一是校验矩阵的标准形式，即H=[PI] 式中P为m×(n-m)维矩阵，I为m×m维单位阵。按这种校验矩阵编 出的码是系统码。 二是校验矩阵的列是按二进制数的自然顺序从左到右排列的非零 列，例如，当n=7,k=4时，H中的第一列为[0 0 1]，第二列为[0 1 0]，…,第七列为[1 1 1]，按这种校验矩阵编出的码是非系统码。 发生单个错误时，伴随式是H中与错误位置对应的列，所以汉明码 伴随式二进制数的值就是错误位置的序号。
14
例题-由生成矩阵生成码字
由生成矩阵 所有码字为
m 000
1 0 0 1 1 1 0 G 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1
生成的（7，3）码的
C 0000000
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
在校验方程的矩阵形式中，令
1 1 则校验方程可以写成 H 1 0
HCT=0 或CHT=0
信息论与编码_第7章线性分组码
1 1 1 0 1 1 [000]. 0 0 1 0 0 1
17
线性分组码的校验矩阵
例7-2（续2）：求对偶码C
1 1 0 1 0 0 对偶码的生成矩阵=校验矩阵H 1 1 1 0 1 0 . 1 0 1 0 0 1
c mH , c1 m1 m2 m3 c m m 1 2 2 c3 m2 m3 c4 m1 c5 m2 c6 m3
例7-3 设一个（6,3）线性分组码C的校验矩阵为
1 1 0 1 0 0 H 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1
任何1列线性无关， 第1、2列线性相关， C的最小汉明距离 =2
23
线性分组码
线性分组码概念 线性分组码的生成矩阵 线性分组码的校验矩阵 线性分组码的最小汉明重量 线性分组码的译码 完备码 汉明码
21
线性分组码的最小汉明重量
定理7-4 线性分组码C的最小汉明距离等于该码中非零 码字的最小 汉明重量 。 例7-2（续3） 全体码字为：
码字 000000 011101 110001 101100 111010 100111 001011 010110
C的最小汉明距离=3， 可以纠1个错，检2个错
对偶码C 000 000 101 001 111 010 010 011 110 100 011 101 001 110 100 111
18
线性分组码的校验矩阵
课堂练习：已知(5, 3)线性分组码的生成矩阵为G
1 0 1 1 0 G 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0
信息元
000 001 010 011 100 101 110 111
第二章 线性分组码(zhb)
1
卷积码：m中每k0个码元为一组，经编码输出n0个
码元，增加了n0-k0个监督元，编码规则不仅于此
时此刻进入编码器的码元有关，还与此刻相邻的
m时刻有关，称为卷积码。用(n0,k0，m) 表示。 目前常见的几种码：
级联码：将分组码和卷积码结合起来的码，一般用RS码为外码，卷
积码作为内码。
Turbo码：是并行结构的级联码系统码，将卷积码和随机交织器相结 合。被IS-2000标准作为第三代移动通信手机中的纠错抗干扰方案。 LDPC码：是一种线性分组码，Low-Density-Parity-CheckCodes, 它 能比其它码带来更高的编码增益。被通信公司作为第四代移动通信中
h11Cn 1 h12Cn 2 h1k Cn k Cn k 1 0 h C h C h C C 21 n 1 22 n 2 2k n k n k 2 0 h r1Cn 1 h r2Cn 2 h rk C n k C0 0
Wmin minWV, V C, V 0
线性分组码的最小距离等于它的最小重量
d min Wmin
线性分组码纠t个错误的充要条件是码的最小距离为：
d
2t 1
10
三、（n,k）码的监督矩阵H和生成矩阵G 1. 监督矩阵（也称校验矩阵）
h11 h12 h h 22 21 H h r1 h r2 h1k h 2k h rk 1 0 0 0 0 1
23
伴随式计算电路
R0 R1 R2 R3 R4 R5 R6
输入
输出
+
S0
+
S1
卷积码：m中每k0个码元为一组，经编码输出n0个
码元，增加了n0-k0个监督元，编码规则不仅于此
时此刻进入编码器的码元有关，还与此刻相邻的
m时刻有关，称为卷积码。用(n0,k0，m) 表示。 目前常见的几种码：
级联码：将分组码和卷积码结合起来的码，一般用RS码为外码，卷
积码作为内码。
Turbo码：是并行结构的级联码系统码，将卷积码和随机交织器相结 合。被IS-2000标准作为第三代移动通信手机中的纠错抗干扰方案。 LDPC码：是一种线性分组码，Low-Density-Parity-CheckCodes, 它 能比其它码带来更高的编码增益。被通信公司作为第四代移动通信中
h11Cn 1 h12Cn 2 h1k Cn k Cn k 1 0 h C h C h C C 21 n 1 22 n 2 2k n k n k 2 0 h r1Cn 1 h r2Cn 2 h rk C n k C0 0
Wmin minWV, V C, V 0
线性分组码的最小距离等于它的最小重量
d min Wmin
线性分组码纠t个错误的充要条件是码的最小距离为：
d
2t 1
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三、（n,k）码的监督矩阵H和生成矩阵G 1. 监督矩阵（也称校验矩阵）
h11 h12 h h 22 21 H h r1 h r2 h1k h 2k h rk 1 0 0 0 0 1
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伴随式计算电路
R0 R1 R2 R3 R4 R5 R6
输入
输出
+
S0
+
S1
线性分组码
二、线性分组码的严格数学定义2
2. 定理1 (码的封闭性）
设CH为由监督矩阵H定义的分组码，则c1,c2CH : c1+c2CH 证明： 由c1CH，得Hc1T=0T;
由c2CH，得Hc2T=0T;
所以 H(c1+c2)T=H(c1T+c2T) =Hc1T+Hc2T=0T c1+c2满足HcT=0T，所以c1+c2 CH
+
+
考虑如何用串行方式？
三、G与H的关系4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
D0
D1
+
D2
+
D3
+
D0
D1
+
D2
+
D3
+
m4m5m6
m6
m6
D0
D1
m6+m5 m6
D0
D1
m6
m6
+
D2
+
D3
+
m4m5
m6+m5
m6+m5
+
D2
m6+m5+m6
=m5
+
D3
+
m4
m5+m4
互为对偶码，若CH=CG, 则称为自对偶码（P62)
[Q In-k] [IkP]T= [QIn-k] [IkT PT]T= Q + PT = 0
所以 P= - QT 或 Q = -PT
由此得 G=[Ik P] = [ Ik –QT] H=[Q In-k]= [ -PT In-k]
三、G与H的关系2
8.2 线性分组码 线性分组码编码
第八章 差错控制编码
8.2 线性分组码
线性分组码的编码
1
引言
• 信道编码，目的是提高数字通信的可靠性
– 差错率是信噪比的函数
• 信道编码，差错控制编码，抗干扰编码
• 信道编码过程：
– 信息码元序列＋监督码元→编码码组
• 信道译码过程：
– 编码码组→检错或纠错→信息码元序列
2
1. 线性分组码的概念
1 0 0
G＝0 1 0 0 1 1
1 0 1
0 0 1 1 1 0
1 1 0
1 1 1
7
由式
，得码组矩阵为：
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 C＝0
1
1 1 0
0 1
0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
0 1 1
110＝100
1 1 0
0 1 0
0 1 1
6
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例8-1 已知(6,3)码的生成矩阵为G，试求：(1) 编码码组 和各码组的码重；(2) 最小码距 d及min其差错控制能力。
解
(1) 由3位码组成的信息码组矩阵为D：
0 0
0 0
0 1
0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 1 1
D＝
ck = dk
ck +1 ck+2
= =
h11d1 h12d2 h1k dk h21d1 h22d2 h2k dk
G生成矩阵
cn = hm1d1 hm2d2 hmk dk
5
写成矩阵形式，有 C = D G ，G为生成矩阵(k*n)，且：
8.2 线性分组码
线性分组码的编码
1
引言
• 信道编码，目的是提高数字通信的可靠性
– 差错率是信噪比的函数
• 信道编码，差错控制编码，抗干扰编码
• 信道编码过程：
– 信息码元序列＋监督码元→编码码组
• 信道译码过程：
– 编码码组→检错或纠错→信息码元序列
2
1. 线性分组码的概念
1 0 0
G＝0 1 0 0 1 1
1 0 1
0 0 1 1 1 0
1 1 0
1 1 1
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由式
，得码组矩阵为：
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 C＝0
1
1 1 0
0 1
0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
0 1 1
110＝100
1 1 0
0 1 0
0 1 1
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例8-1 已知(6,3)码的生成矩阵为G，试求：(1) 编码码组 和各码组的码重；(2) 最小码距 d及min其差错控制能力。
解
(1) 由3位码组成的信息码组矩阵为D：
0 0
0 0
0 1
0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 1 1
D＝
ck = dk
ck +1 ck+2
= =
h11d1 h12d2 h1k dk h21d1 h22d2 h2k dk
G生成矩阵
cn = hm1d1 hm2d2 hmk dk
5
写成矩阵形式，有 C = D G ，G为生成矩阵(k*n)，且：
6.2线性分组码
线性特性：码字c的各位码元是消息m各位的线性组 合
一个（ 一个（n,k）线性分组码的码字 c可以表示为 ） 可以表示为
c=mG
其中m：长度为 的消息或 的消息或k维的消息向量 其中 ：长度为k的消息或 维的消息向量 Gk*n：k行n列的生成矩阵 列的生成矩阵 行 列的 矩阵运算采用模二加和模二乘。 矩阵运算采用模二加和模二乘。
1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 G = 0 1 0 1 1 R2 + R3 → R3 →0 1 0 1 1 R1 + R3 → R1 → 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 R1 ← → R 3 →0 1 0 1 1 = G S 0 0 1 1 1
线性分组码的性质
（1）零向量一定是一个码字，记作 θ = (0,0,L ,0) ）零向量一定是一个码字， （2）任意两码字的和仍是一个码字。 ）任意两码字的和仍是一个码字。 都可以表示为G的行向量的线性组合 （3）任意码字 都可以表示为 的行向量的线性组合。 ）任意码字c都可以表示为 的行向量的线性组合。
G的行向量是码集合中的码字（它们线性无关） 的行向量是码集合中的码字（它们线性无关） 的行向量是码集合中的码字
（4）线性分组码的最小距离等于最小非 码的码重： 码的码重： ）线性分组码的最小距离等于最小非0码的码重 码重：码字中的非0符号个数。
d min = min w(c)
c ≠θ
例：c = (0101) d = w(c)
系统码。 （1）则该码称为系统码。 ）则该码称为系统码
容易发现，若系统线性分组码的生成矩阵G 的左（右） 半部分是Ik*K的单位阵，则线性分组码的前（后）k位是 信息位，后n-k位是校验位。 若不是系统码，则可以通过简单行变换得到系统码生成 矩阵。
信息论基础——线性分组码
即校验位是由信息位线性组合得到.
17
线性分组码的基本概念
信息位 00 01 10 11 x2 x0 x1 00000 x3 x0 x x x 01101 0 1 4 码字 10111 11010
信息位k=2 码字数M=4
可见，码字的三个校验元都由其前两位线 性组合得到，即可由的线性方程组求得；
18
线性分组码的基本概念
f1 : GF (2) 2 GF (2)5
信息位 00 01 10 11 码字 00000 01101 10111 11010
1 ( 0 1 ) 1 ( 1 0 ) 1 1
f( 1 1 ) 1 1 0 1 0
1 ( 0 1 1 0 1 )1 ( 1 0 1 1 1 ) 1 1 0 1 0
30
线性分组码的基本概念
汉明距离： 指（n,k）分组码中两个码字xn 、 yn对应位取 值不同的个数；记为d（xn ， yn）.
5 5 ( 1 0 1 0 1 ) , y ( 0 1 1 1 1 ) 例： x
d(x ,y ) 3
5 5
31
线性分组码的基本概念
线性分组码的最小距离： 称（n,k）分组码中任两个码字汉明距离的最小 值，为该分组码的最小距离d.
f ( 1 ( 0 1 ) 1 ( 1 0 ) ) 1 ( 0 1 1 0 1 ) 1 ( 1 0 1 1 1 ) 线性编码
19
线性分组码的基本概念
例题1： 下面是某个（n，k）线性二元码的全部码字
x16=000000 x26=100011 x36=010101 x46=001111 x56=110110 x66=101100 x76=011010 x86=111001 求n、k的值；
17
线性分组码的基本概念
信息位 00 01 10 11 x2 x0 x1 00000 x3 x0 x x x 01101 0 1 4 码字 10111 11010
信息位k=2 码字数M=4
可见，码字的三个校验元都由其前两位线 性组合得到，即可由的线性方程组求得；
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线性分组码的基本概念
f1 : GF (2) 2 GF (2)5
信息位 00 01 10 11 码字 00000 01101 10111 11010
1 ( 0 1 ) 1 ( 1 0 ) 1 1
f( 1 1 ) 1 1 0 1 0
1 ( 0 1 1 0 1 )1 ( 1 0 1 1 1 ) 1 1 0 1 0
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线性分组码的基本概念
汉明距离： 指（n,k）分组码中两个码字xn 、 yn对应位取 值不同的个数；记为d（xn ， yn）.
5 5 ( 1 0 1 0 1 ) , y ( 0 1 1 1 1 ) 例： x
d(x ,y ) 3
5 5
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线性分组码的基本概念
线性分组码的最小距离： 称（n,k）分组码中任两个码字汉明距离的最小 值，为该分组码的最小距离d.
f ( 1 ( 0 1 ) 1 ( 1 0 ) ) 1 ( 0 1 1 0 1 ) 1 ( 1 0 1 1 1 ) 线性编码
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线性分组码的基本概念
例题1： 下面是某个（n，k）线性二元码的全部码字
x16=000000 x26=100011 x36=010101 x46=001111 x56=110110 x66=101100 x76=011010 x86=111001 求n、k的值；
第3章 线性分组码
由上式经移项运算，解出监督位为
a2 a6 a5 a4 a1 a 6 a 5 a 3 a0 a6 a4 a3
已知信息位后，就可直接计算出监督位。由此得出16个许用码组 表4-5（7，4）汉明码的许用码组 信息码 a6a5a4a3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 监督码 a2a1a0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 信息码 a6a5a4a3 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 监督码 a2a1a0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
§3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
一、 码的校验矩阵与生成矩阵
– ［n ，k ，d］分组码的编码问题就是在n 维 线性空间Vn 中，如何找出满足一定要求的， 有2k 个矢量组成的k 维线性子空间Vn ，k 。 – 或者说， 在满足给定条件(码的最小距离d或 码率R)下， 如何从已知的k 个信息元求得r=n -k 个校验元。
• 二进制(5,3)码
– K位信息空间23
• • • • • • • • 000 001 010 011 100 101 110 111
n位编码空间25
00000 00100 01000 01100 10000 10100 11000 11100 00001 00101 01001 01101 10001 10101 11001 11101 00010 00110 01010 01110 10010 10110 11010 11110 00011 00111 01011 01111 10011 10111 11011 11111
a2 a6 a5 a4 a1 a 6 a 5 a 3 a0 a6 a4 a3
已知信息位后，就可直接计算出监督位。由此得出16个许用码组 表4-5（7，4）汉明码的许用码组 信息码 a6a5a4a3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 监督码 a2a1a0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 信息码 a6a5a4a3 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 监督码 a2a1a0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
§3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
一、 码的校验矩阵与生成矩阵
– ［n ，k ，d］分组码的编码问题就是在n 维 线性空间Vn 中，如何找出满足一定要求的， 有2k 个矢量组成的k 维线性子空间Vn ，k 。 – 或者说， 在满足给定条件(码的最小距离d或 码率R)下， 如何从已知的k 个信息元求得r=n -k 个校验元。
• 二进制(5,3)码
– K位信息空间23
• • • • • • • • 000 001 010 011 100 101 110 111
n位编码空间25
00000 00100 01000 01100 10000 10100 11000 11100 00001 00101 01001 01101 10001 10101 11001 11101 00010 00110 01010 01110 10010 10110 11010 11110 00011 00111 01011 01111 10011 10111 11011 11111
103线性分组码
10.3 线性分组码10.3.1 线性分组码的基本概念1. 线性分组码及其描述方法()k n ,线性分组码是把信息码元序列的每k 个码元(Symbol)分成一组，通过线性变换，映射成由n 个码元组成的码组，且每一码组仅与本码组的k 个信息位有关，与其他码组的信息无关。
对于线性分组码，码组中任一码元都是信息码元的线性组合。
例10.3.1 设某（7，4）二进制线性分组码编码器的输入信息组（又称信息段）是m ()0123m m m m =,编码输出是A ()0123456a a a a a a a =，已知输入、输出码元之间的关系式是36m a =，25m a =，14m a =，03m a =，1232m m m a ++=，0231m m m a ++=，0130m m m a ++=，这里，“+”指模二加。
求编码时“码组到信息”间的映射关系以及输出码组集合。
解 将题中所给输入、输出码元之间的线性变换关系用线性方程组描述如下：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====o o oomm m a m m m a m m m a m a m a m a m a 1323112323142536监督位信息位 （10.3.1） 还可以将式（10.3.1）改写成矩阵形式： A []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00010110010101010011010001110123m m m m （模2加） = m G （10.3.2） 分别令信息组()0123m m m m 为（0000），（0001），…，（1111），代入上面的矩阵算式，不难算得各信息组对应的码组，列于表10.3.1 。
2. 线性分组码性质表10.3.1 反映出线性分组码所具备的基本性质：(1) 一个()k n ,线性分组码共有k 2个许用码组；(2) 对加法满足封闭性，即线性分组码中任意两个码组之和（模二加）仍是分组码中的一个码组；(3) 全零码是线性分组码中的一个码组；(4) 线性分组码各码组之间的最小码距，等于除全零码外的码组的最小重量。
第三章线性分组码
源自4.2 生成矩阵和校验矩阵
G [ g k 1 g ( k 1)( n 1) g1 g 0 ]T g1( n 1) g 0( n 1) g ( k 1)1 g11 g 01 g ( k 1)0 g10 g 00
其中 gi [ gi (n1) gi1gi 0 ] ,i=k-1, ,0,是G中第i行的行矢量。 与任何一个（n,k）线性码的码空间C相对应，一定存在一个对偶空 间D。事实上，码空间基底数k只是n维n重空间的全部n个基底的一部 分，若能找出另外n-k个基底，也就找到了对偶空间D。既然用K个基底能 产生一个（n-k）线性码，那么也能用n-k个基底产生一个有 2nk 个码矢 的（n,n-k）线性码，称之为（n-k）线性码的对偶码。将D空间的n-k个 基底排列起来，可构成一个（n-k） n矩阵，称为码空间C的校验矩阵 H，它正是（n,n-k）对偶码的生成矩阵，它的每一行是对偶码的一个码 字。C和D的对偶是相互的，G和C的生成矩阵，又是D的校验矩阵；而H 是D的生成矩阵，又是C的校验矩阵。
第四章
线性分组码
第四章
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 线性分组码基本概念 生成矩阵和校验矩阵 伴随式与译码 码的纠、检错能力与MDC码 完备码与汉明码 扩展码、缩短码与删信码 分组码的性能限
4.1 线性分组码基本概念
（n,k）线性分组码是把信息流的每k个码元（symbol）分成一组， 通过线性变换，映射成由n个码元组成的码字（codeword）。从空间的 角度，每个码字可以看成是n维线性空间中的一个矢量，n个码元正是n 个矢量元素。码元取自字符集X={ x0 , x1, , xq1}, 当q=2时是二进制 码，q>2时是q进制（q元）码。多进制q一般取素数或素数的幂次，实 用中多见的是q=3或q= 2b (b是正整数)。当q= 2b 时，每码元可携带b bit 信息，长度为n的q元分组码码字可以映射成长度N=bn的二元分组码码 字。 纠错编码的任务是在n维n重矢量空间的 2n 种组合中选择个 2k 构成 一个子空间，或称许用码码集C，然后设法将k比特信息组一一对应的映 射到许用码码集C。不同的编码算法对应不同的码集C以及不同的映射 算法，把这样的码称为(n,k)线性分组码。不编码时，一个二进制码元可 携带1b信息（传输率为1b/符号）；编码后，n个二进制码元携带kb信 息（传输率为（k/n）b/符号）。定义k/n= Rc为二元分组码的码率，或 者说是效率。
G [ g k 1 g ( k 1)( n 1) g1 g 0 ]T g1( n 1) g 0( n 1) g ( k 1)1 g11 g 01 g ( k 1)0 g10 g 00
其中 gi [ gi (n1) gi1gi 0 ] ,i=k-1, ,0,是G中第i行的行矢量。 与任何一个（n,k）线性码的码空间C相对应，一定存在一个对偶空 间D。事实上，码空间基底数k只是n维n重空间的全部n个基底的一部 分，若能找出另外n-k个基底，也就找到了对偶空间D。既然用K个基底能 产生一个（n-k）线性码，那么也能用n-k个基底产生一个有 2nk 个码矢 的（n,n-k）线性码，称之为（n-k）线性码的对偶码。将D空间的n-k个 基底排列起来，可构成一个（n-k） n矩阵，称为码空间C的校验矩阵 H，它正是（n,n-k）对偶码的生成矩阵，它的每一行是对偶码的一个码 字。C和D的对偶是相互的，G和C的生成矩阵，又是D的校验矩阵；而H 是D的生成矩阵，又是C的校验矩阵。
第四章
线性分组码
第四章
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 线性分组码基本概念 生成矩阵和校验矩阵 伴随式与译码 码的纠、检错能力与MDC码 完备码与汉明码 扩展码、缩短码与删信码 分组码的性能限
4.1 线性分组码基本概念
（n,k）线性分组码是把信息流的每k个码元（symbol）分成一组， 通过线性变换，映射成由n个码元组成的码字（codeword）。从空间的 角度，每个码字可以看成是n维线性空间中的一个矢量，n个码元正是n 个矢量元素。码元取自字符集X={ x0 , x1, , xq1}, 当q=2时是二进制 码，q>2时是q进制（q元）码。多进制q一般取素数或素数的幂次，实 用中多见的是q=3或q= 2b (b是正整数)。当q= 2b 时，每码元可携带b bit 信息，长度为n的q元分组码码字可以映射成长度N=bn的二元分组码码 字。 纠错编码的任务是在n维n重矢量空间的 2n 种组合中选择个 2k 构成 一个子空间，或称许用码码集C，然后设法将k比特信息组一一对应的映 射到许用码码集C。不同的编码算法对应不同的码集C以及不同的映射 算法，把这样的码称为(n,k)线性分组码。不编码时，一个二进制码元可 携带1b信息（传输率为1b/符号）；编码后，n个二进制码元携带kb信 息（传输率为（k/n）b/符号）。定义k/n= Rc为二元分组码的码率，或 者说是效率。
线性分组码
(C6,C5,C4,C3,C2,C1,C0)
C6,C5,C4为信息元，C3,C2,C1,C0为监督元，
监督元可按下面方程组计算
每个码元取“0”或“1”
电子信息工程学院 3
信息论
3 线性分组码
3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 1.线性分组码的一致校验矩阵 一致校验方程： 按规则通过已知的信息元得到校验元的一组方程称为校验方 程。由于所有码字都按同一规则确定，又称为一致校验方程。 由于校验方程是线性的，即校验元和信息元之间是线性运算 关系，所以由线性校验方程所确定的分组码是线性分组码。
H 阵的每一行都代表一个监督方程，即 H 阵的 r 行代表了 r 个监督方 程，也表示由H 所确定的码字有 r 个监督元。 电子信息工程学院 10
信息论
3 线性分组码
3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 1.线性分组码的一致校验矩阵
H 的标准形式还说明了相应的监督元是由哪些信息元
决定的。 例如 (7,3) 码的H 阵的第一行为 (1011000)，说明此 码的第一个监督元等于第一个和第三个信息元的模2和， 依此类推。
3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 1.线性分组码的一致校验矩阵 系数矩阵 H 的后四列组成一个 (4×4) 阶单位子阵，用 I4 表示，H 的其余部分用 P 表示
电子信息工程学院 7
信息论
3 线性分组码
3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 1.线性分组码的一致校验矩阵 推广到一般情况：对 (n,k) 线性分组码，每个码字中的 r (=n-k) 个监督元与信息元之间的关系可由下面的线性方程组确定
信息论
3 线性分组码
线性分组码是指分组码中信息元和校验元是用线性方程联 系起来的一种差错控制码。
第六章 线性分组码
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
第3章 线性分组码
它的标准阵列如下表所示。
000000 000001 000010 000100 001000 010000 100000 001001
001110 010101 100011 011011 101101 110110 111000 001111 001100 001010 000110 011110 101110 000111 010100 010111 010001 011101 000101 110101 011100 100010 100001 100111 101011 110011 000011 101010 011010 011001 011111 010011 001011 111011 010010 101100 101111 101001 100101 111101 001101 100100 110111 110100 110010 111110 100110 010110 111111 111001 111010 111100 110000 101000 011000 110001
结论2 一个线性码C的任意码字都可表示为生成矩阵的行 向量的一个线性组合 结论3 生成矩阵不唯一
第3章 线性分组码
定理1 两个k×n矩阵中若一个可以由另一个通过一系列 下述变换得到，则它们生成的GF(q) 上的[n, k]线性码等 价： (1) 对行置换。 (2) 对行乘以一个非零常量。 (3) 把一行乘以一个常量然后加到另一行上。 (4) 对列置换。 (5) 对任意列乘以一个非零常量。 证明：前三种运算（只是行变换）保留了生成矩阵的行 的线性独立性，那些变换只是改变了基。最后两种运算 （列变换）把矩阵变成能生成等价码的一个矩阵。
线性分组码
3.6.2标准阵列和译码 3.6.2译码
第三章
3.6.1信息传输系统模型
将信息传输系统模型简化成图3-3所 示的简化模型。
噪声源
E
信源
u
纠错码 编码器
c
编码信道
y
纠错码 译码器
ˆ y
信宿
图3-3 简化的信息传输系统模型
第三章
译码过程中的两个重要的概念
第三章
第三章
3.6.2标准阵列和译码
第三章
HGT 0
第三章
第三章
3.3系统线性分组码
第三章
第三章
第三章
第三章
第三章
第三章
第三章
常用的系统码有两种形式：信 息组被排在码字的最左边k位，或信 息组被排在码字的最右边k位。 一般来说，系统码的译码相对非 系统码要简单一些，但两者的纠错 能力完全等价，因此一般总希望线 性分组码采用系统码形式。
n 的码字
c (cn1cn2 c1c0 )(n k )
码字共有 n
位，其中k位为信息位， n k
位为校验位，称为一个
(n, k ) 分组码。
在分组码中，若c与u的对于关系是线性的， 则称为线性分组码。
第三章
第三章
例如3-1 有一个（5，2）分组码 C=｛00000，01011，10101，11110｝， 假设消息序列与码字的映射为：
对一个给定的线性码，它的生成矩阵不是唯 一的，因为生成矩阵的行可以有多种选择。
第三章
生成矩阵 G 提供了一种简明而有效地表示
线性分组码的方法。k×n阶矩阵可以生成 2k 个码字。因此，我们只需要一个生成矩阵
k 2 而不需要含 个码字的查询表。
6.2 线性分组码
⎡
⎢
H
=
⎢ ⎢
h0
h1 #
⎤⎡
⎥⎢
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
h0,0
h1,0 #
⎢⎣h
n−
k
−1
⎥ ⎦
⎢⎣hn−k −1,0
h0,1 h1,1 #
hn−k −1,1
" h0,n−1 ⎤
#
h1,n−1
⎥ ⎥
" #⎥
"
hn−k
−1,n
−1
⎥ ⎦
一致校验矩阵
由对偶空间的定义知，有对任意的 c∈C
cHT = 0
即H可以检验一个n重是否为码字，称H为码C的 一致校验矩阵。
例题
设二元（5,3）码，其生成矩阵为
⎡1 0 0 1 1⎤ G = ⎢⎢1 1 0 0 0⎥⎥
⎢⎣1 1 1 1 1⎥⎦
将其化为标准形式？
一致校验矩阵
与任何一个(n,k)码的码空间C相对应，一定存在一个 对偶空间D，它的每个矢量都与C中的每个矢量正交， 其维数为n-k。 事实上，若找出生成空间D的基底（n-k个）用这n-k个 矢量同样可以生成包含 2n个−k码字的(n,n-k)线性分组 码，我们称其(n,k)码的对偶码，生成矩阵为
pw(c) 1− p n−w(c)
w(e)≠0
w(c)≠0
e∈C
c∈C
• 令一个(n,k)线性分组码，Ai为码组中重量为i的码字的个 数，码字集合（码组）的重量分布为A0,A1,…An。这时码 字在转移概率为pe的BSC信道上的漏检概率为：
n
∑ Pud = Ai pei (1− pe )n−i i =1
• 例如：(7,4)汉明码的重量分布为：
线性分组码-Read
定义：（ n ， k ）码 C 中 2k － 1 个非零码字重量的
最小值称为该码的最小重量，记为W*
2、（n，k）码的最小重量等于码的最小距离，
即：W*＝d*
3、任何一个GF（2）上的（n，k）线性分组码，
其码字的重量或全部为偶数，或奇数重量码 字的个数与偶数重量码字的个数相等。
第二章 线性分组码
1、线性分组码对于码向量的加法运算是一个交 换群（构成阿贝尔群），所以线性分组码又称 群码。
定义：码长为n的码字c中不为0的码元个数称为 该码字的重量，记为W（c）。 • 码字重量满足不等式：
W（c1＋c2） ≤W（c1）＋W（c2）或
W(c1＋c2)＝W(c1)＋W(c2)－2W(c1c2)
第二章 线性分组码
第二章 线性分组码
定义：信息组以不变的形式，在码字的任意k位中 出现的码称为系统码，否则称为非系统码。如：
将码字生成的关系式用向量与矩阵乘积表示： C＝（m2,m1,m0）
100110 010101 001011
＝（m2,m1,m0）G
这里G称为该（6，3）码的生成矩阵，有了生成矩 阵就很容易把8个信息组变换成（6，3）码的8个码 字。
（证明其必要性）
第二章 线性分组码
二、标准阵列译码表
标准阵列法译码是一种在BSC中译码错误概率最小 的译码方法。 二元域（n，k）码的2k个码字，组成n维线性空间
中的一个k维子空间，这是一个子群。以这个子群
为基础，把整个n维空间的2n个元素划分陪集，可
以得到一个标准阵译码表。
第二章 线性分组码
标准阵译码表构成方法：
称S为R的伴随式（或校正子）
伴随式完全由E决定，它充分地反映了信道干扰情
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c =(1010011) e =(0100000) r =(1110011)
s = r HT = e HT = (0100000) c =(1010011) e =(1001000) r = (0011011)
101 | 1000 111 | 0100 110 | 0010 011 | 0001
T
=
G=
gk,n-1 gk,n-2
… gk,0
秩是多少？
G称为[n,k]码的生成矩阵。
G的标准形式[IkP], 称为典型生成矩阵。
三、G与H的关系
G的行矢量是码字， HgiT=0T, 有HGT= 0T, H与G所张成的空间互为零空间。 CH: H校验，G生成。 CG: G校验，H生成。 互为对偶码，若CH=CG, 则称为自对偶码（P62)
五、线性分组码的译码5
构造办法： a.按H的二进制数的顺序排列。 例GF(2)上的[7,4,3]的汉明码，m=3， 23-1=7个非零列，3维矢量按 0~7的二进制数排列 H= 1111000 1100110 1010101
b. 系统码 1110100 H= 1 1 0 1 0 1 0 1011001
+ + + +
考虑如何用串行方式？
三、G与H的关系4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
D0
D1
+
D2
+
D3
+
D0
D1
+
D2
+
D3
+
m4 m5 m6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
m6
m6
D0 D1 +
m6
D2 +
m6
D3 +
m6
m4 m5 m6+m5 m6+m5
..........
cn-1 cn-2 =0 c0
HcT=0T
hn-k,n-1hn-k,n-2 … hn-k,n-k00…1
二、线性分组码的严格数学定义
1.定义
GF(q)中的元素（q为素数幂）组成的(n-k)n矩阵，其秩为n-k。满足方程 HcT=0T的矢量c=(cn-1, cn-2, …ci,… ,c0) （ ciGF(q) )的集合称为[n,k]线性分组 码。H称为监督（检验)矩阵。 HcT=0T称为（一致）监督矩阵。
d min w(c)
c[ n, k ]
c1 d(c1,c2) d(c1,c3)
定理5：GF(2)上的[n,k,d]分组码中任何码字c1,c2满足: c2 w(c1+c2) = w(c1)+w(c2)- 2(c1c2) 内积 或 d(c1,c2) w(c1)+w(c2)
d(c2,c3)
r(x) - m(x)xn-k (mod g3(x))
除法电路
（见168页）
四、线性分组码的最小距离、检错和纠错能力
1. 检、纠错的必要条件：码字在一些码元发生错误后，还没有变成其它码字。 为使码具有强的检错、纠错能力，各码字的距离差别（汉明距离）足够大。 2. 线性分组码的最小距离d(最小汉明距离） 若[n,k]线性分组码的最小距离为d, 记为[n,k,d] 定理4：[n,k]分组码的最小距离d满足 d(c1,c2)=w(c1+c2)=w(c3)
D0 D1 + D2 +
m6+m4
D3 +
m4 m 5 m6
三、G与H的关系5
x6 x5x4 100| G= 0 1 0 | 001| x3 x2x 1110 0111 1101 g1(x)=x6+x3+x2+x=x(x5+x2+x+1) 写成多项式
=x(x+1)(x4+x3+x2+1) g2(x)=x5+x2+x+1=(x+1)(x4+x3+x2+1) 4+x3+x2+1 g (x)= x 6 3 2 4 3 2 3 g1(x)=x +x +x +x= x(x+1)(x +x +x +1) =x(x+1)g3(x) g2(x)=x5+x2+x+1=(x+1)(x4+x3+x2+1) =(x+1)g3(x)
[Q In-k] [IkP]T= [QIn-k] [IkT PT]T= Q + PT = 0
所以 P= - QT 或 Q = -PT
由此得 G=[Ik P] = [ Ik –QT] H=[Q In-k]= [ -PT In-k]
三、G与H的关系2
例： 已知[7，3]码（p52, 例3.1)
101 111 110 011 |1000 |0100 |0010 |0001
第三章 线性分组码
陆以勤
2005年3月
一、线性分组码的一般性定义
定义：通过预定的线性运算将k维q元（q为素数幂）信息数组变换成n维 （n>k)码数组（称码字），由qk个码字所成的集合，称为[n,k]线性分组码， 简称分组码。 码字用 （cn-1, cn-2, … , cn-k, cn-k-1, … , c1, c0)表示。 码率（传信率，信道利用率）R=k/n表示信息位所占的比重。 最简单的情况：在后面添加n-k个监督元，叫系统码（定义3.2.2)。
r2 r3
T
s = r HT = ( r 6 r5 r4 r3 r2 r1 r0 )
r6 + r 4 + r3 r6 + r 5 + r4 + r2 = r +r +r 6 5 1 r5 + r 4 + r0
r4 r5
T
= （s3 s2 s1 s0)
#43;
S1
+
S2
+
S3
五、线性分组码的译码3
二、线性分组码的严格数学定义4
由第2章定理3可知，必存在k个线性独立的码字g1, g2, … , gk, 使cCH:
c=mn-1g1+mn-2g2+… + mn-kgk =m G g1,n-1 g1,n-2 … g1,0 g2,n-1 g2,n-2 … g2,0
..........
基不同，G不同，但 生成的空间是一样的， 不同的G的意义是什 么？
0 T 1 1 1
s = r HT = e HT = (1001000)
101 | 1000 111 | 0100 110 | 0010 011 | 0001
T
=
1 1 1 0
T
+
1 0 0 0
T
=
(0110)
五、线性分组码的译码4
若e = (0, …,0, ei, 0, … 0) s= ei hi T 若为二进制，则s =hiT 若要各列彼此区分，各列互不相同，即任意两列线性无关 H(n-k)×n
H=
c=(c6c5c4c3c2c1c0) 由HcT=0T得 c3=c6+c4 c2=c6+c5+c4 c1=c6+c5 c0=c5+c4
P= -QT= 1110 0111 1101 G=[Ik P] = 100| 1110 010| 0111 001| 1101
三、G与H的关系3
设信息组m = (m6m5m4) c6=m6 c5=m5 c4=m4 c3=m6+m4=c6+c4 c2=m6+m5+m4=c6+c5+c4 c1=m6+m5=c6+c5 c0=m5+m4=c5+c4
(3) 纠正t个错误，或检测e(t) 个错误，则要求d t+e+1 (4) 纠正t个错误和个删除，则要求d 2t+ +1 e t
e
t
t
e
1
t
1
t
t
1
e
t
t
t
t
五、线性分组码的译码
1. 伴随式
c H cT = 0 T HrT= H(c+e)T= HcT+HeT= HeT 定义s rHT 称为接收字r 的伴随式（校正子）
2.再证维数为k 设cCH, 则HcT=0T. c与H的每一行矢量正交, 故c在由H的行矢量张成的n-k维线 性子空间Vn,n-k的零空间中(第2章定理17, 定理2.6.9), CH中每个码字和H张成的子 空间的矢量正交, 所以CH为H张成的子空间的零空间(第2章定理16, 定理2.6.8), 维 数为k (第2章定理18, 定理2.6.10)。
h1T h0T hn-1T hn-2T
= ei1 hi1T+ …+ei2 hi2T+…+ eit hi tT 发生错误的位所对应的列 向量的线性组合
五、线性分组码的译码2
101 | 1000 111 | 0100 例：[7，3]码， H= 110 | 0010 011 | 0001 101 | 1000 111 | 0100 110 | 0010 011 | 0001
最多可构成2n-k-1个互不相同的非零列，即必须保证 2n-k-1 n
取下限，得2n-k-1 = n，即为汉明码。
2. 汉明码
定义（定义3.3.1)：GF(2)上的线性分组码[n,k,d]称为汉明码，若满足下列条件： (1) n = 2m-1 (mN,且m3)； (2) k=2m-m-1 (3)n-k = m; (4) d=3。
二、线性分组码的严格数学定义2
s = r HT = e HT = (0100000) c =(1010011) e =(1001000) r = (0011011)
101 | 1000 111 | 0100 110 | 0010 011 | 0001
T
=
G=
gk,n-1 gk,n-2
… gk,0
秩是多少？
G称为[n,k]码的生成矩阵。
G的标准形式[IkP], 称为典型生成矩阵。
三、G与H的关系
G的行矢量是码字， HgiT=0T, 有HGT= 0T, H与G所张成的空间互为零空间。 CH: H校验，G生成。 CG: G校验，H生成。 互为对偶码，若CH=CG, 则称为自对偶码（P62)
五、线性分组码的译码5
构造办法： a.按H的二进制数的顺序排列。 例GF(2)上的[7,4,3]的汉明码，m=3， 23-1=7个非零列，3维矢量按 0~7的二进制数排列 H= 1111000 1100110 1010101
b. 系统码 1110100 H= 1 1 0 1 0 1 0 1011001
+ + + +
考虑如何用串行方式？
三、G与H的关系4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
D0
D1
+
D2
+
D3
+
D0
D1
+
D2
+
D3
+
m4 m5 m6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
m6
m6
D0 D1 +
m6
D2 +
m6
D3 +
m6
m4 m5 m6+m5 m6+m5
..........
cn-1 cn-2 =0 c0
HcT=0T
hn-k,n-1hn-k,n-2 … hn-k,n-k00…1
二、线性分组码的严格数学定义
1.定义
GF(q)中的元素（q为素数幂）组成的(n-k)n矩阵，其秩为n-k。满足方程 HcT=0T的矢量c=(cn-1, cn-2, …ci,… ,c0) （ ciGF(q) )的集合称为[n,k]线性分组 码。H称为监督（检验)矩阵。 HcT=0T称为（一致）监督矩阵。
d min w(c)
c[ n, k ]
c1 d(c1,c2) d(c1,c3)
定理5：GF(2)上的[n,k,d]分组码中任何码字c1,c2满足: c2 w(c1+c2) = w(c1)+w(c2)- 2(c1c2) 内积 或 d(c1,c2) w(c1)+w(c2)
d(c2,c3)
r(x) - m(x)xn-k (mod g3(x))
除法电路
（见168页）
四、线性分组码的最小距离、检错和纠错能力
1. 检、纠错的必要条件：码字在一些码元发生错误后，还没有变成其它码字。 为使码具有强的检错、纠错能力，各码字的距离差别（汉明距离）足够大。 2. 线性分组码的最小距离d(最小汉明距离） 若[n,k]线性分组码的最小距离为d, 记为[n,k,d] 定理4：[n,k]分组码的最小距离d满足 d(c1,c2)=w(c1+c2)=w(c3)
D0 D1 + D2 +
m6+m4
D3 +
m4 m 5 m6
三、G与H的关系5
x6 x5x4 100| G= 0 1 0 | 001| x3 x2x 1110 0111 1101 g1(x)=x6+x3+x2+x=x(x5+x2+x+1) 写成多项式
=x(x+1)(x4+x3+x2+1) g2(x)=x5+x2+x+1=(x+1)(x4+x3+x2+1) 4+x3+x2+1 g (x)= x 6 3 2 4 3 2 3 g1(x)=x +x +x +x= x(x+1)(x +x +x +1) =x(x+1)g3(x) g2(x)=x5+x2+x+1=(x+1)(x4+x3+x2+1) =(x+1)g3(x)
[Q In-k] [IkP]T= [QIn-k] [IkT PT]T= Q + PT = 0
所以 P= - QT 或 Q = -PT
由此得 G=[Ik P] = [ Ik –QT] H=[Q In-k]= [ -PT In-k]
三、G与H的关系2
例： 已知[7，3]码（p52, 例3.1)
101 111 110 011 |1000 |0100 |0010 |0001
第三章 线性分组码
陆以勤
2005年3月
一、线性分组码的一般性定义
定义：通过预定的线性运算将k维q元（q为素数幂）信息数组变换成n维 （n>k)码数组（称码字），由qk个码字所成的集合，称为[n,k]线性分组码， 简称分组码。 码字用 （cn-1, cn-2, … , cn-k, cn-k-1, … , c1, c0)表示。 码率（传信率，信道利用率）R=k/n表示信息位所占的比重。 最简单的情况：在后面添加n-k个监督元，叫系统码（定义3.2.2)。
r2 r3
T
s = r HT = ( r 6 r5 r4 r3 r2 r1 r0 )
r6 + r 4 + r3 r6 + r 5 + r4 + r2 = r +r +r 6 5 1 r5 + r 4 + r0
r4 r5
T
= （s3 s2 s1 s0)
#43;
S1
+
S2
+
S3
五、线性分组码的译码3
二、线性分组码的严格数学定义4
由第2章定理3可知，必存在k个线性独立的码字g1, g2, … , gk, 使cCH:
c=mn-1g1+mn-2g2+… + mn-kgk =m G g1,n-1 g1,n-2 … g1,0 g2,n-1 g2,n-2 … g2,0
..........
基不同，G不同，但 生成的空间是一样的， 不同的G的意义是什 么？
0 T 1 1 1
s = r HT = e HT = (1001000)
101 | 1000 111 | 0100 110 | 0010 011 | 0001
T
=
1 1 1 0
T
+
1 0 0 0
T
=
(0110)
五、线性分组码的译码4
若e = (0, …,0, ei, 0, … 0) s= ei hi T 若为二进制，则s =hiT 若要各列彼此区分，各列互不相同，即任意两列线性无关 H(n-k)×n
H=
c=(c6c5c4c3c2c1c0) 由HcT=0T得 c3=c6+c4 c2=c6+c5+c4 c1=c6+c5 c0=c5+c4
P= -QT= 1110 0111 1101 G=[Ik P] = 100| 1110 010| 0111 001| 1101
三、G与H的关系3
设信息组m = (m6m5m4) c6=m6 c5=m5 c4=m4 c3=m6+m4=c6+c4 c2=m6+m5+m4=c6+c5+c4 c1=m6+m5=c6+c5 c0=m5+m4=c5+c4
(3) 纠正t个错误，或检测e(t) 个错误，则要求d t+e+1 (4) 纠正t个错误和个删除，则要求d 2t+ +1 e t
e
t
t
e
1
t
1
t
t
1
e
t
t
t
t
五、线性分组码的译码
1. 伴随式
c H cT = 0 T HrT= H(c+e)T= HcT+HeT= HeT 定义s rHT 称为接收字r 的伴随式（校正子）
2.再证维数为k 设cCH, 则HcT=0T. c与H的每一行矢量正交, 故c在由H的行矢量张成的n-k维线 性子空间Vn,n-k的零空间中(第2章定理17, 定理2.6.9), CH中每个码字和H张成的子 空间的矢量正交, 所以CH为H张成的子空间的零空间(第2章定理16, 定理2.6.8), 维 数为k (第2章定理18, 定理2.6.10)。
h1T h0T hn-1T hn-2T
= ei1 hi1T+ …+ei2 hi2T+…+ eit hi tT 发生错误的位所对应的列 向量的线性组合
五、线性分组码的译码2
101 | 1000 111 | 0100 例：[7，3]码， H= 110 | 0010 011 | 0001 101 | 1000 111 | 0100 110 | 0010 011 | 0001
最多可构成2n-k-1个互不相同的非零列，即必须保证 2n-k-1 n
取下限，得2n-k-1 = n，即为汉明码。
2. 汉明码
定义（定义3.3.1)：GF(2)上的线性分组码[n,k,d]称为汉明码，若满足下列条件： (1) n = 2m-1 (mN,且m3)； (2) k=2m-m-1 (3)n-k = m; (4) d=3。
二、线性分组码的严格数学定义2