第三章线性分组码

角度，每个码字可以看成是n维线性空间中的一个矢量，n个码元正是n
个矢量元素。码元取自字符集X={ x0, x1,L , xq1}, 当q=2时是二进制 码，q>2时是q进制（q元）码。多进制q一般取素数或素数的幂次，实
用中多见的是q=3或q=2b (b是正整数)。当q= 2b 时，每码元可携带b bit
产生一个（n-k）线性码，那么也能用n-k个基底产生一个有 2nk 个码矢 的（n,n-k）线性码，称之为（n-k）线性码的对偶码。将D空间的n-k个
基底排列起来，可构成一个（n-k） n矩阵，称为码空间C的校验矩阵
H，它正是（n,n-k）对偶码的生成矩阵，它的每一行是对偶码的一个码
字。C和D的对偶是相互的，G和C的生成矩阵，又是D的校验矩阵；而H
第四章
4.1 线性分组码基本概念 4.2 生成矩阵和校验矩阵 4.3 伴随式与译码 4.4 码的纠、检错能力与MDC码 4.5 完备码与汉明码 4.6 扩展码、缩短码与删信码 4.7 分组码的性能限
4.1 线性分组码基本概念
（n,k）线性分组码是把信息流的每k个码元（symbol）分成一组，
通过线性变换，映射成由n个码元组成的码字（codeword）。从空间的
信息，长度为n的q元分组码码字可以映射成长度N=bn的二元分组码码
字。
纠错编码的任务是在n维n重矢量空间的 2n 种组合中选择个 2k 构成
一个子空间，或称许用码码集C，然后设法将k比特信息组一一对应的映
射到许用码码集C。不同的编码算法对应不同的码集C以及不同的映射
算法，把这样的码称为(n,k)线性分组码。不编码时，一个二进制码元可
携带1b信息（传输率为1b/符号）；编码后，n个二进制码元携带kb信
息（传输率为（k/n）b/符号）。定义k/n= 者说是效率。
Rc为二元分组码的码率，或
4.1 线性分组码基本概念
综上所述，编码算法的核心问题是： ①寻找最佳的码空间，或者等效地说，寻找最佳的一组（k个）基 底，以张成一个码空间。
②k维k重信息组空间 2k的个矢量以何种算法一一对应的映射到k维n
c=[ cn1, L , c1, c0 ]=mG= mk1L m1m0 gk1L g1g0 T
式中，G称为该码的生成矩阵，是k行n列矩阵：
4.2 生成矩阵和校验矩阵
g(k 1)(n1) L
G [gk1L
g1g0 ]T
M
g1(n1) g0(n1)
L L
g(k 1)1 M g11 g01
重码空间C。 由于上述映射是两个线性空间之间的线性交换，“线性分组码”由
此 得名。又因为这些矢量在加法运算下构成交换群，所以也称之为“群 码”。返回
4.2 生成矩阵和校验矩阵
在讨论生成矩阵之前，先看一个例题。
例4.1 （6，3）二进制分组码的输入信息组是m=( m2m1m0),码 组输出是c=( c5c4c3c2c1c0 )。已知输入、输出码元之间的关系式 是 c5 m2 , c4 m1, c2 m2 m1, c1 m2 m1 m0 , c0 m2 m0，求码集
是D的生成矩阵，又是C的校验矩阵。
4.2 生成矩阵和校验矩阵
由于C的基底和D的基底正交，空间C和空间D也正交，它们互为零空间。
因此，（n-k）线性码的任意码字c一定正交于其对偶码的任意一个码字，也必 定正交于校验矩阵H的任意一个行矢量，即
cHT 0
式中，0代表零阵，它是 1nn(n k) 1(n k) 全零矢量。 式 cHT 0 可以
码字
（ c5c4c3c2c1c0 )
000000 001011 010110 011101 100111 101100 110001 111010
4.2 生成矩阵和校验矩阵
在以上编码过程中，核心的因素是矩阵G，它决定了变换规则，也 决定了码集C。矩阵G可以看成是由3个行矢量组成的，所有码字是这3 个行矢量的线性组合：
用来检验一个n重矢量是否为码字：若等式成立（得零矢量），该n重必为码字， 否则必不是码字。
由于生成矩阵的每个行矢量都是一个码字，因此必有：
T
GH 0
这里，0代表一个尺寸为 [k n][n(n k)] k (n k)的零矩阵。
验证H的方法是看它的行矢量是否与G的行矢量正交，即式
T
GH
0是否成
g(k 1)0
M
ຫໍສະໝຸດ Baidu
g10 g00
L 其中 gi [gi(n1) L gi1gi0 ],i=k-1,
,0,是G中第i行的行矢量。
与任何一个（n,k）线性码的码空间C相对应，一定存在一个对偶空
间D。事实上，码空间基底数k只是n维n重空间的全部n个基底的一部
分，若能找出另外n-k个基底，也就找到了对偶空间D。既然用K个基底能
二进制码取值于GF(2),6位二进制有 26=64种组合，而3位的信息
组只有8种组合，一一对应到8个码字。可见，码集C包含64种组合中 的8种。分别令信息组 m2m1m0 为（000），（001），…，（111）， 带入上面的矩阵算式，不难算得各信息组对应的码字如下表所示：
信息组
( m2m1m0)
000 000 010 011 100 101 110 111
立。此处，
GH T [Ik MP][PT MInk ]T [Ik P] [PInk ] [P] [P] 0
式中，两个相同的矩阵模2加后为全零矩阵。这就证明了H确实校验矩阵。
4.2 生成矩阵和校验矩阵
C以及编码时的映射算法。 解：将关系式列成线性方程组，然后写成矩阵形式如下：
c5 m2
c4 cc32
m1 m0 m2 m1
c5c4c3c2c1c0 )
1
(m2
m1m0
)
0
0
0 1 0
0 0 1
1 1 0
1 1 1
1
0
c
mG
1
c1 m2 m1 m0 c0 m2 m0
4.2 生成矩阵和校验矩阵
c m2 (100111) m1(010110) m0(001011)
可以验证，这里的3个行矢量线性无关，可以作为基底张成一个三 维6重的码空间，该空间是六维6重空间的子空间。
从上例得到的启示是：码集其实是一个子空间，只要找到一组合 适的基底，它们的线性组合就能产生整个码集。
不失一般性，C也可以扩展为k维n重码空间,即：