线性分组码-习题
线性分组码
系统码的校验矩阵和生成矩阵可以转换。
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线性分组码的性质
线性分组码中任意两个码字的模2加仍为一个码字，这个性 质称为码的封闭性。 零矢量必须是任一线性分组码中的一个码字，称为零码字。 生成矩阵中各行都是一个码字，且生成矩阵的各行是线性 无关的（任意两行相加不为零）。任意码字C是生成矩阵中 各行的某一线性组合。 校验矩阵的各行应该是线性无关的，否则将得不到r个线性 无关的监督关系式，从而得不到r个独立的监督位。
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汉明码
汉明码实际上是(2m-1, 2m-m-1)线性分组码，其校验行有m行，共有 n=2m-1列，任一列都不为零且两两互不相等，因此能纠正任何单 个错误。 汉明码的校验矩阵一般有两种构造方式： 一是校验矩阵的标准形式，即H=[PI] 式中P为m×(n-m)维矩阵，I为m×m维单位阵。按这种校验矩阵编 出的码是系统码。 二是校验矩阵的列是按二进制数的自然顺序从左到右排列的非零 列，例如，当n=7,k=4时，H中的第一列为[0 0 1]，第二列为[0 1 0]，…,第七列为[1 1 1]，按这种校验矩阵编出的码是非系统码。 发生单个错误时，伴随式是H中与错误位置对应的列，所以汉明码 伴随式二进制数的值就是错误位置的序号。
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例题-由生成矩阵生成码字
由生成矩阵 所有码字为
m 000
1 0 0 1 1 1 0 G 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1
生成的（7，3）码的
C 0000000
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
在校验方程的矩阵形式中，令
1 1 则校验方程可以写成 H 1 0
HCT=0 或CHT=0
信息论与编码复习题
一、填空题1. 设信源X 包含4个不同离散消息，当且仅当X 中各个消息出现的概率为___1/4___时，信源熵达到最大值，为__2__，此时各个消息的自信息量为__2 __。
2.如某线性分组码的最小汉明距dmin=4，则该码最多能检测出___3____个随机错，最多能纠正__1____个随机错。
3.克劳夫特不等式是唯一可译码___存在___的充要条件。
4.平均互信息量I(X;Y)与信源熵和条件熵之间的关系是___(X;Y)=H(X)-H(X/Y )___。
5._信源___提高通信的有效性，_信道____目的是提高通信的可靠性，_加密__编码的目的是保证通信的安全性。
6.信源编码的目的是提高通信的 有效性 ，信道编码的目的是提高通信的 可靠性 ，加密编码的目的是保证通信的 安全性 。
7.设信源X 包含8个不同离散消息，当且仅当X 中各个消息出现的概率为__1/8__时，信源熵达到最大值，为___3____。
8.自信息量表征信源中各个符号的不确定度，信源符号的概率越大，其自信息量越_小___。
9.信源的冗余度来自两个方面，一是信源符号之间的__相关性__，二是信源符号分布的__不均匀性__。
10.最大后验概率译码指的是 译码器要在已知r 的条件下找出可能性最大的发码 作为译码估值 ，即令 =maxP( |r)_ __。
11.常用的检纠错方法有__前向纠错___、反馈重发和混合纠错三种。
二、单项选择题1.下面表达式中正确的是（A ）。
A.∑=j i j x y p 1)/( B.∑=i i j x y p 1)/( C.∑=j j j iy y x p )(),(ω D.∑=ii j i x q y x p )(),( 2.彩色电视显像管的屏幕上有5×105 个像元，设每个像元有64种彩色度，每种彩度又有16种不同的亮度层次，如果所有的彩色品种和亮度层次的组合均以等概率出现，并且各个组合之间相互独立。
线性分组码-习题
1. 已知一个(5, 3)线性码C 的生成矩阵为：11001G 011010111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）求系统生成矩阵；（2）列出C 的信息位与系统码字的映射关系；（3）求其最小Hamming 距离，并说明其检错、纠错能力； （4）求校验矩阵H ；（5）列出译码表，求收到r =11101时的译码步骤与译码结果。
解：（1）线性码C 的生成矩阵经如下行变换：23132110011001101101011010011100111100111001101101010100011100111⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦将第、加到第行将第加到第行得到线性码C 的系统生成矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111000*********S G （2）码字),,,(110-=n c c c c 的编码函数为[][][]111000*********)(210m m m m f c ++==生成了的8个码字如下(3) 最小汉明距离d =2，所以可检1个错，但不能纠错。
(4) 由],[],,[)()(k n Tk n k k n k k n I A H A I G --⨯-⨯-==，得校验矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1010101111H(5) 消息序列m =000,001,010,011,100,101,110,111，由c =mGs 得码字序列c 0=00000, c 1=00111,c 2=01010, c 3=01101, c 4=10011, c 5=10100,c 6=11001, c 7=11110则译码表如下：当接收到r =(11101)时，查找码表发现它所在的列的子集头为(01101)，所以将它译为c =01101。
2．设（7, 3）线性码的生成矩阵如下010101000101111001101G ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）求系统生成矩阵；（2）求校验矩阵； （3）求最小汉明距离； （4）列出伴随式表。
第八章线性分组码
第八章线性分组码8.1 什么是检错码？什么是纠错码？两者有什么不同？答：能发现错误但不能纠正错误的码称为检错码；不仅能发现错误而且还能纠正错误的码称为纠错码。
8.2 试述分组码的概念，并说明分组码的码率r的意义。
答：分组码是把信息序列以每k个码元分组，即每k个码元组成一个信息组。
n表示码长,k 表示信息位的数目，码率r=k/n，它说明在一个码字中信息为所占的比重。
8.3 什么是码的生成矩阵和校验矩阵？一个（n，k）线性分组码的生产矩阵和校验矩阵各是几行几列的矩阵？答：线性分组码的2个码字将组成n维向量空间的一个k维子空间，而线性空间可由其基底张成，因此线性分组码的个码字完全可由k个独立的向量组成的基底张成。
设k个向量为（7.3-2）将它们写成矩阵形式：（7.3-3）（n,k）码中的任何码字，均可由这组基底的线性组合生成。
即C=MG=(mk-1,mk-2,m0)G式中M=(mk-1,mk-2,m0)是k个信息元组成的信息组。
这就是说，每给定一个信息组，通过式（7.3-3）便可求得其相应的码字。
故称这个由k 个线性无关矢量组成的基底所构成的k×n阶矩阵G为码的生成矩阵（Generator Matrix）。
校验矩阵H 的每一行代表求某一个校验位的线性方程的系数(n-k)线性分组码有r=n-k 个校验元，故须有r 个独立的线性方程，因此H 矩阵必由线性无关的r 行组成，是一个(n-k)×n 阶矩阵，一般形式为一个（n,k ）线性分组码生成矩阵有k 行n 列校验矩阵有(n-k)行n 列。
8.4 什么样的码成为系统码？系统码的生成矩阵和校验矩阵在形式上有何特点？答：若信息组为不变的形式，称在码字的任意k 位中出现的码为系统码；一个系统码的生成矩阵G ，其左边k 行k 列是一个k 阶单位方阵，系统码的校验矩阵H ，其右边r 行r 列组成一个r 阶单位方阵。
8.5 什么是对偶码？试举例说明之。
6.2 线性分组码
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线性分组码的性质
• 线性分组码中任意两个码字的模 2 加仍为一个码字，这个 性质称为码的封闭性。 封闭性 • 零矢量必须是任一线性分组码中的一个码字，称为零码字。 零码字 • 生成矩阵中各行都是一个码字，且生成矩阵的各行是线性无 关的（任意两行相加不为零）。任意码字 C 是生成矩阵中 各行的某一线性组合。 • 校验矩阵的各行应该是线性无关的，否则将得不到 r 个线性 无关的监督关系式，从而得不到 r 个独立的监督位 。
由于gip是系统码的生成矩阵则有?则得一致校验矩阵为??????????1001110g01001110011101101111011101111101101011??????????????????????tpqp和1011000111010011000100110001????????????hqi例题16由生成矩阵生成码字由生成矩阵生成的73码的所有码字为100111001001110011101??????????gmc00000000000010011101010010010101101110101001001110101101001111011010011111110100线性分组码17?1校验矩阵与生成矩阵?2线性分组码的纠检错能力?3校验矩阵与最小距离的关系?4线性分组码的伴随式?5线性分组码的译码?6汉明码线性分组码的检纠错能力18?信道编码后的码字在信道传输过程中由于干扰的存在使得一些码元发生错误产生错误码字
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线性分组码
• • • • • • 1 2 3 4 5 6 校验矩阵与生成矩阵 线性分组码的纠、检错能力 校验矩阵与最小距离的关系 线性分组码的伴随式 线性分组码的译码 汉明码
线性分组码
C mG
G是一个k*n阶矩阵，称为(n,k)码的生成矩阵。
7
1 0 G 0
0 0 1 0 0 1
p11 p 21 p k1
p12 p 22 pk 2
p1( n k ) p 2( nk ) I P k pk ( nk )
n 1
u和v之间的距离表示2个码字对应位不同的数目。
如(7,3)码的两个码字：u=0011101
v=0100111
它们之间的距离d=4
4
码的最小距离的dmin ：在（n,k）线性码字集合中， 任意两个码字间的距离最小值，是衡量抗干扰能力的 重要参数，dmin越大，抗干扰能力越强。 码字的重量W：码字中非零码元符号的个数；在二元 线性码中，码字的重量是码字中含“1”的个数。 码的最小重量Wmin：线性分组码中，非零码字重量的 最小值，称为码的最小重量，表示为：
限， 性能界限，即码的译码错误概率的上、下 限。 对码距限而言，最重要的限是汉明限，普 洛特金限和吉尔伯特－瓦尔沙莫夫限，汉 明码和普洛特金限告诉我们，在给定码长n 和码的传输速率R=k/n下，最小距离可以达 到的最大值，故它们都是上限，而吉尔伯 特一瓦尔沙莫夫限给出了码的最小距离的 下限。
HC 0
T
T
r=n-k
H
阵是n列，(n-k)行的矩阵；
为了得到确定的码，r个监督方程必须是线性
无关的，即要求H阵的秩为r。
6
2. 生成矩阵G
把方程组写成矩阵的形式为
h11 h 21 h r1
h12 h1k h 22 h 2k h r2 h rk
m 信道编码
C
线性分组码的例子
ab 集合Grm(r,m)={v0,v1,…,vm,v1v2,v1v3,…,vm-1vm ,…,
vm-r+1…vm}共有k(r,m)个元素，是(2m,k)RM码的生成向 量，即可张成整个码空间的基。将每个元素看成矩阵 的一行，就得到生成矩阵。 集合Grm(r-1,m)是Grm(r,m)的真子集，是r-1阶RM码的 生成矩阵。
这 个码的交织构成了一个(
)交织码，记为
观察上述11个生成向量，注意到除了v1v2，其他生成向量每连续4个分量一组求和都是0，可推出：
当且仅当上述矩阵的每一行的错误模式都是可 维数(信息序列的长度)：
观察上述11个生成向量，注意到除了v1v2，其他生成向量每连续4个分量一组求和都是0，可推出：
纠正错误模式时，错误可纠正 若w(sP)=2 or 3,则令e=(0,sP)并转步骤8
量首构成了标准阵的所有陪集首
(23,12)格雷码通过增加一个总的奇偶校验位，构成(24,12)码，最小距离为8，但非完备码
m-r-1阶RM码(m-r-1,m)的对偶码是r阶RM码(r,m)
可将所有重量为t=1的n=2 -1个向量作为陪集 交织码简单说就是按列的方式传输码字
aij被正确译码后，考虑
m
格雷码的译码
设错误模式为e=(x,y)，校正子s=eHT=(x,y) HT =(x,y)[I P]T=x+yPT=x+yP，可得到y=(x+s)P
对任何可纠正错误模式e，满足w(e)<4，有四种可能: (1)w(y)=0,w(x)<=3, (2)w(y)=1,w(x)<=2,
(3)w(y)=2,w(x)<=1, (4)w(y)=3,w(x)<=0，令ej分别表示 这四种可能的错误模式，ej=(x,y)，其中w(y)=j，
信息论基础——线性分组码
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线性分组码的基本概念
信息位 00 01 10 11 x2 x0 x1 00000 x3 x0 x x x 01101 0 1 4 码字 10111 11010
信息位k=2 码字数M=4
可见，码字的三个校验元都由其前两位线 性组合得到，即可由的线性方程组求得；
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线性分组码的基本概念
f1 : GF (2) 2 GF (2)5
信息位 00 01 10 11 码字 00000 01101 10111 11010
1 ( 0 1 ) 1 ( 1 0 ) 1 1
f( 1 1 ) 1 1 0 1 0
1 ( 0 1 1 0 1 )1 ( 1 0 1 1 1 ) 1 1 0 1 0
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线性分组码的基本概念
汉明距离： 指（n,k）分组码中两个码字xn 、 yn对应位取 值不同的个数；记为d（xn ， yn）.
5 5 ( 1 0 1 0 1 ) , y ( 0 1 1 1 1 ) 例： x
d(x ,y ) 3
5 5
31
线性分组码的基本概念
线性分组码的最小距离： 称（n,k）分组码中任两个码字汉明距离的最小 值，为该分组码的最小距离d.
f ( 1 ( 0 1 ) 1 ( 1 0 ) ) 1 ( 0 1 1 0 1 ) 1 ( 1 0 1 1 1 ) 线性编码
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线性分组码的基本概念
例题1： 下面是某个（n，k）线性二元码的全部码字
x16=000000 x26=100011 x36=010101 x46=001111 x56=110110 x66=101100 x76=011010 x86=111001 求n、k的值；
ch20线性分组码2
6.2.6 线性分组码的译码
6.2 线 性 分 组 码
因此，选择重量最轻的元素作陪集首，按标准阵列译码就是 按最小距离译码； 所以标准阵列译码法也是最佳译码法。 定理6.2.7：在标准阵列中，一个陪集的所有 2k 个 n 重有相同的 伴随式，不同的陪集伴随式互不相同。 [证明]： 设 H 为给定 (n,k) 线性码的监督矩阵，在陪集首为 El 的陪集 中的任意矢量 R 为 R=El+Ci, i=1,2,…,2k 其伴随式为 S=RHT=(El+Ci)HT=ElHT+CiHT =ElHT 上式表明：陪集中任意矢量的伴随式等于陪集首的伴随式。 即同一陪集中所有伴随式相同。 不同陪集中，由于陪集首不同所以伴随式不同。
k
在对应码矢下面构成阵列第二行； 在第二次剩下的 n 重中，选取重量最轻的 n 重 E3，放在 E2 下 面，并将 E3 分别加到第一行各码矢上，得到第三行； …，继续这样做下去，直到全部 n 重用完为止。得到表6.2.2所示 的给定 (n,k) 线性码的标准阵列。
6.2.6 线性分组码的译码
6.2 线 性 分 组 码
6.2.2 一致监督方程和一致监督矩阵
6.2 线 性 分 组 码 (2) 举例
信息码组 (101)，即C6=1, C5=0, C4=1 代入 (6.2.1) 得： C3=0, C2=0, C1=1, C0=1 由信息码组 (101) 编出的码字为 表 6.2.1 (1010011)。其它7个码字如表6.2.1。
6.2.6 线性分组码的译码
6.2 线 性 分 组 码
定义：(n,k) 线性码的所有 2n－k 个伴随式，在译码过程中若都 用来纠正所有小于等于 t = ⎣(d − 1) / 2⎦ 个随机错误，以及部分
线性分组码
• 伴随式是校验矩阵列向量的线性表示。以 下列校验矩阵为例，考察不同错误模式下 的伴随式结构。
• 因此，列向量的线性无关性，与纠错能力 密切相关。：任意d-1个列向量线性无关。
1 0 1 1 0 0 0 H 1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
n-k+1，即d<=n-k+1。
伴随式的计算电路
• 根据校验矩阵H，得到校正子S各元素的数学 表达式，进而给出对应的电路。
• 软件实现方式， sT=HRT为算法。
1 0 1 1 0 0 0 H 1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
C3 =C6 C4 C2 =C6 C5 C4 C1=C6 C5 C0 =C5 C4
C6
1
1
1 0
0 1 1 1
1 1 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0
0
0 1
C5 CC43 C2 C1
• 汉明码定义：最小码距d=3的（n=2m-1，k=2m-m-1）线性 分组码的统称。
两种特殊的H矩阵
• 系统的H矩阵：将重量为1的n-k个列向量排 列成单位阵形式，其他列向量任意放置。 构成系统汉明码的H矩阵。
• 按列向量的二进制数从小到大排列，得到 特殊的非系统汉明码。当发生单个错误的 时候，伴随式的二进制数的大小，就是接 收码字发生错误的位置。因此，译码非常 简单。这种汉明码是最常用的。
• （n,k）的线性分组码，H矩阵列向量中没有0向量，且任 意两列互不相等，即可构成最小码距为3的分组码。H矩阵 为n-k行n列的矩阵，列向量一共有2n-k-1个，即n= 2n-k-1， 满足这种关系，最小码距为3的（n,k）线性分组码称为汉 明码。
103线性分组码
10.3 线性分组码10.3.1 线性分组码的基本概念1. 线性分组码及其描述方法()k n ,线性分组码是把信息码元序列的每k 个码元(Symbol)分成一组，通过线性变换，映射成由n 个码元组成的码组，且每一码组仅与本码组的k 个信息位有关，与其他码组的信息无关。
对于线性分组码，码组中任一码元都是信息码元的线性组合。
例10.3.1 设某（7，4）二进制线性分组码编码器的输入信息组（又称信息段）是m ()0123m m m m =,编码输出是A ()0123456a a a a a a a =，已知输入、输出码元之间的关系式是36m a =，25m a =，14m a =，03m a =，1232m m m a ++=，0231m m m a ++=，0130m m m a ++=，这里，“+”指模二加。
求编码时“码组到信息”间的映射关系以及输出码组集合。
解 将题中所给输入、输出码元之间的线性变换关系用线性方程组描述如下：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====o o oomm m a m m m a m m m a m a m a m a m a 1323112323142536监督位信息位 （10.3.1） 还可以将式（10.3.1）改写成矩阵形式： A []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00010110010101010011010001110123m m m m （模2加） = m G （10.3.2） 分别令信息组()0123m m m m 为（0000），（0001），…，（1111），代入上面的矩阵算式，不难算得各信息组对应的码组，列于表10.3.1 。
2. 线性分组码性质表10.3.1 反映出线性分组码所具备的基本性质：(1) 一个()k n ,线性分组码共有k 2个许用码组；(2) 对加法满足封闭性，即线性分组码中任意两个码组之和（模二加）仍是分组码中的一个码组；(3) 全零码是线性分组码中的一个码组；(4) 线性分组码各码组之间的最小码距，等于除全零码外的码组的最小重量。
信息论与编码第六章课后习题答案(曹雪虹)(word文档良心出品)
第六章：信道编码(本章复习大纲我重新修改了一下，尤其要关注红色内容)1、基本概念：差错符号、差错比特；差错图样：随机差错、突发差错；纠错码分类：检错和纠错码、分组码和卷积码、线性码与非线性码、纠随机差错码和纠突发差错码；矢量空间、码空间及其对偶空间； 有扰离散信道的编码定理：-()NE R e P e （掌握信道编码定理的内容及减小差错概率的方法）；线形分组码的扩展与缩短（掌握奇偶校验码及缩短码的校验矩阵、生成矩阵与原线形分组码的关系）。
2、线性分组码(封闭性)：生成矩阵及校验矩阵、系统形式的G 和H 、伴随式与标准阵列译码表、码距与纠错能力、完备码(汉明码)、循环码的生成多项式及校验多项式、系统形式的循环码。
作业：6-1、6-3、6-4、6-5和6-6选一、6-7 6-8和6-9选一 6-1 二元域上4维4重失量空间的元素个数总共有24=16个，它们分别是(0,0,0,0),(0,0,0,1)…(1,1,1,1)，它的一个自然基底是(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0)和(1,0,0,0)；其中一个二维子空间含有的元素个数为22个，选取其中一个自然基底为(0,0,0,1)和(0,0,1,0)，则其二维子空间中所包含的全部矢量为(0,0,0,0,),(0,0,0,1),(0,0,1,0)和(0,0,1,1)(注选择不唯一)；上述子空间对应的对偶子空间可以有三种不同的选择：(0,0,0,0) ,(0,1,0,0),(1,0,0,0)，(1,1,0,0)或(0,0,0,0) ,(0,1,0,0)或(0,0,0,0) (1,0,0,0)。
(注意本题中所包含的关于矢量空间的一些基本概念)6-3 由题设可以写出该系统(8,4)码的线形方程组如下：736251403320231012100321v u v u v u v u v u u u v u u u v u u u v u u u=⎧⎪=⎪⎪=⎪=⎪⎨=++⎪⎪=++⎪=++⎪⎪=++⎩(注：系统码高四位与信息位保持一致，u i 为信息位) 把上述方程组写成矩阵形式，可以表示为 V =U G ，其中V 为码字构成的矢量，即V =(v 7,v 6,v 5,v 4,v 3,v 2,v 1,v 0)，U 为信息位构成的矢量，即U =( u 3,u 2,u 1,u 0)，观察方程组可得系统生成矩阵为：[]44*41000110101001011G I |P 0010011100011110⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦由系统生成矩阵和校验矩阵的关系可得：4*441101100010110100H P |I 0111001011100001T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦由校验矩阵可以看出，矩阵H 的任意三列都是线性无关的(任意三列之和不为0)，但存在四列线性相关的情况(如第1、5、6、8列，这四列之和为0)，即校验矩阵H 中最小的线性相关的列数为4，从而得该线性分组码的最小码距为4。
第九章练习题_all
简答：1．某分组码的最小码距是16，该码用于纠错，可保证纠正 位错。
若用于检错，可保证检出 位错。
答：7,152．已知某(40,36)线性分组码的最小码距是5，问该码用于纠错时可保证纠正几位错？若用于检错则能可保证检出几位位错？该码的编码率是多少？ 答：2,4,0.93．（10分）某分组码的最小码距是7，若该码用于纠错，可保证纠正多少位错？若用于检错，可保证检出多少位错？答： min 7d =，可纠min 132d t -⎢⎥==⎢⎥⎣⎦个错，可保证检出min 1e d =-个错。
4．已知某线性分组码的最小码距是15，问该码用于纠错时能保证纠正几位错？用于检错时能保证检出几位错？将该码的两个不相同的码字相加，结果最少有几个1？ 答：最小码距是15，故可保证纠正7位错，保证检出14位错。
因为是线性码，相加的结果还是码字，两个不同的码字相加，结果是非全零码字，故最少有15个“1”。
5．将(7,4)汉明码的编码结果按行写入一个10行7列的存储阵列，每行一个码字，一共是10个码字。
再按列读出后通过信道传输。
若传输这10个码字时，信道中发生了连续15个错误，请问接收端解交织并译码后，能译对几个码字？答：（7,4）汉明码可以纠正1位错。
错误数大于1必然译错。
通过交织的方法，15个连续错分散到10组码字之中，其中有5个码字有两个错，5个码字有1个错。
故可以译对5个码字。
计算：1．（12分）假设二元信道的的差错率是p ，差错类型为随机错。
求解下面的问题：1．(4,3)偶校验码通过此信道传输，不可检出的错误的出现概率是多少？2．(5,1)重复码通过此信道传输，不可纠正的错误的出现概率是多少？ 解：1.()()2224221416127P C p p p pp p =-+=-+2. ()()()233445322551110156P C p p C pp p p p p =-+-+=-+2．（15分）某信源的信息速率为3600bit/s ，信源输出通过一个2/3率的FEC 编码器后用8PSK 方式传送，8PSK 采用了滚降系数为1的频谱成形。
线性分组码
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2、某（n,k）系统线性分组码的全部码字如下： 、 ）系统线性分组码的全部码字如下： 00000 01011 10110 11101 求： （1）n = ? , k = ? ） 和监督矩阵H。 （2）码的生成矩阵 和监督矩阵 。 ）码的生成矩阵G和监督矩阵
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系数矩阵 H 的后四列组成一个 (4×4) 阶单位子阵，用 I4 表示，H 的其余部分用 P 表示
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6.3.2 线性分组码的监督方程和监督矩阵
推广到一般情况：对 (n,k) 线性分组码，每个码字中的 r(r=n－k) 个监督元与信息元之间的关系可由下面的线性 方程组确定
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010 011 100 101 110 111
6.3.2 线性分组码的监督方程和监督矩阵
(3) 监督矩阵
为了运算方便，将式 (5.1)监督方程写成 矩阵形式，得 式(5.2)可写成 H CT=0T或 C HT=0 CT、HT、0T分别表 示C、H、0的转置 矩阵。
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6.3.2 线性分组码的监督方程和监督矩阵
6. 3 一、名词解释
线性分组码
线性分组码：通过预定的线性运算将长为 k 位的信息码组变换 成 n 长的码字 ( n>k )。由 2k 个信息码组所编成的 2k个码字集 合，称为线性分组码。 码矢：一个 n 长的码字可以用矢量来表示 码矢
C = (Cn－1,Cn－2,…,C1,C0 ) 1 2
所以码字又称为码矢。 ( n, k ) 线性码 线性码：信息位长为 k，码长为 n 的线性码。 编码效率/编码速率/码率：R=k /n。它说明了信道的利用效率， 编码效率 R是衡量码性能的一个重要参数。 是衡量码性能的一个重要参数
线性分组码(9,4)
＊**＊*＊*＊**＊＊＊*＊**＊＊实践教学*＊**＊＊＊*＊*＊*****＊*＊兰州理工大学计算机与通信学院计算机通信课程设计题目:线性分组码(9,4）码的编译码仿真设计专业班级:姓名：学号：指导教师：成绩：目录前言 (1)第一章线性分组码原理 (2)1.1差错控制概述 (2)1。
2差错控制原理 (2)1.3线性分组码概念 (3)1.4线性分组码的基本原理 (3)第二章线性分组码的编码 (4)2。
1生成矩阵 (4)2.2校验矩阵 (6)第三章线性分组码的译码 (7)3.1纠错码的介绍 (7)3.2纠错的原理 (7)3。
3线性分组码译码原理 (8)第四章推导过程 (9)4。
1编码过程 (9)4。
2译码过程 (9)第五章仿真结果分析 (12)5.1编码程序流程图 (12)5。
2译码程序流程图 (13)5。
3运行结果分析 (13)设计总结.............................................................................................................. 错误!未定义书签。
致谢. (16)参考文献 (18)附录 (19)前言计算机通信是一种以数据通信形式出现，在计算机与计算机之间，计算机与终端设备之间进行信息传递的方式。
它是现代计算机技术与通信技术相结合的产物,在军队指挥自动化系统、武器控制系统、信息处理系统、决策分析系统、情报检索系统以及办公自动化系统等领域得到了广泛应用。
按通信覆盖地域的广度，计算机通信通常分为局域网、城域网、广域网三类.在通常情况下,计算机通信都是由多台计算机通过通信线路连接成计算机通信网进行的，这样可共享网络资源，充分发挥计算机系统的效能。
近年来,随着计算机、卫星通信及高速数据网的飞速发展,数据的交换、数据的交换理和存储技术得到了广泛的应用，人们对数据传输和存储系统的可靠性提出了越来越高的要求.因此,如何控制差错、提高数据传输和存储的可靠性，成为现代数字通信系统设计的重要课题。
第十章线性分组码
Wuhan University
可写成 H CT=0T 或C HT=0
校验矩阵
20
校验矩阵
Wuhan University
校验矩阵 H 的后三列组成一个 (3×3) 阶单位子阵 ，用 I3 表示，H 的其余部分用 P 表示
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推广到一般情况：对 (n,k) 线性分组码，每个码字 中的 r(r=n－k) 个监督元与信息元之间的关系可由 下面的线性方程组确定
该码是系统码
13
线性分组码
例 二元(5, 3)线性分组码的生成矩阵是
1 G 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1
Wuhan University
该码不是系统码，但是将生成矩阵经过可逆变换后， 变成了一个系统码的生成矩阵
1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1
=R-Cm=(R0-Cm0,R1-Cm1,…,Rn-1-Cm,n-1)， 其中Ei=0，表示第i位无错；Ei=1，表示第i位有错 对于离散无记忆对称信道， 最大似然译码就是从所有可能码字中选择一个与接 收字的汉明距离最小,即最小汉明距离译码
28
伴随式
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用监督矩阵译码：接收到一个接收字 R 后，校验 RHT=0 是否成立?
6
线性分组码
Wuhan University
线性分组码的代数结构 命题1 不同的信息向量对应不同的码字。 （变换u=xG是单射） 命题2 生成矩阵G的第1行是信息向量(1, 0, 0, …, 0)的码字； 生成矩阵G的第2行是信息向量(0, 1, 0, …, 0) 的码字； … 生成矩阵G的第K行是信息向量(0, …, 0, 0, 1) 的码字。
纠错码复习题
纠错码复习题
1.设一个线性分组码的生成矩阵为
1 0 0 0 1 1 1
0 1 0 0 1 0 1
G0= 0 0 1 0 0 1 1
0 0 0 1 1 1 0
(1)求该码的码率R；
(2)求出该码的全部码字，该码是系统码吗？为什么？
(3)求出该码的最小距离，该码能纠多少个错？
(4)求出该码的监督矩阵H;
(5)设计该码的编码电路；
(6)作出该码的标准阵列译码表，并求对码字（1101110）译码；
(7)该码是完备码码？为什么？
(8)若在该码加一奇偶校验位，求变化后的H'。
2.用GF(2)上素多项式f(x)=x3+x+1构造GF(8)，
（1）写出用多项式表达的全部元素；
（2）写出该域的矢量表示法；
（3）设α为本原元，写出该域的幂表示法；
（4）写出该域用α表示的加、乘法表;
（5）设计GF(2)上n=7,纠一个错的BCH码，写出其g(x).
3.设计GF(2)上的[7,3]循环码，要求：
（1）求该码的生成多项式g(x),校验多项式h(x);
（2）写出系统形式的生成矩阵G和校验矩阵H;
（3）写出优化的系统串行编码器；
（4）写出该码的译码器。
4.数字音频广播中，使用了（4,1）卷积码，G(D)=(1+D2+D3+D5+D6, 1+D+D2+D3+D6, 1+D+D4+D6,
1+D2+D3+D5+D6),
(1)求该码的基本生成矩阵g∞;
(2)求该码的编码电路；
(3)求出相对应于信息序列（101100……）的码序列。
6.2线性分组码解析
（2）系统码的校验矩阵称为一致校验矩阵，记作
H s [Qkr , I r ]rn
T
例6.2.3：P177已知一个（5，3）线 性分组码的生成矩阵为
1 0 1 1 0 G 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0
求它相应的系统码生成矩阵Gs和一致校验矩阵Hs。
根据C=0 ) G13 [1 1 1]
生成的码字 (000)，（111）：称为许用码组。 由0，1组成的长为3的其余码字有23-2个：称为禁 用码组。
例：已知二进制消息长为k,则消息为m=(m0， m1，…mk-1)，生成码长为n的码字C=(c0， c1…cn-1)，由m生成C满足下列约束方程：
第6章 信道编码
信道编码
6.1 信道编码简介
6.2 线性分组码
6.3 循环码
线性分组码
线性分组码（n,k）：
分组特性：码长和消息长度恒定
码长为n，其中消息位为k位,且每输出n位只和当前 的k位输入有关；
线性特性：码字c的各位码元是消息m各位的线性组 合 c=mG
一个（n,k）线性分组码的码字 c可以表示为
例6.2.2：P176已知（4，3）奇偶校 验码的生成矩阵，求生成的所有码字。
解：由奇偶校验码的生成矩阵
Gk n
而C=mG,所以
1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1
由生成规则得：全部的生成码字为：000—>0000， 001—>0011，010—>0101，011—>0110， 100—>1001，101—>1010，110—>1100，111—>1111
信息论与编码理论-第7章线性分组码-习题解答-20071206
第7章 线性分组码习 题1. 已知一个(5, 3)线性码C 的生成矩阵为：11001G 011010111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）求系统生成矩阵；（2）列出C 的信息位与系统码字的映射关系；（3）求其最小Hamming 距离，并说明其检错、纠错能力； （4）求校验矩阵H ；（5）列出译码表，求收到r =11101时的译码步骤与译码结果。
2．设（7, 3）线性码的生成矩阵如下010101000101111001101G ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）求系统生成矩阵；（2）求校验矩阵； （3）求最小汉明距离； （4）列出伴随式表。
3．已知一个(6, 3)线性码C 的生成矩阵为：.0 1 1 1 0 01 1 0 0 1 01 0 10 0 1G ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=（1） 写出它所对应的监督矩阵H ；（2） 求消息M =(101)的码字；（3） 若收到码字为101010，计算伴随式，并求最有可能的发送码字。
4．设(6, 3)线性码的信息元序列为x 1x 2x 3，它满足如下监督方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000631532421x x x x x x x x x （1）求校验矩阵，并校验10110是否为一个码字；（2）求生成矩阵，并由信息码元序列101生成一个码字。
习题答案1. 已知一个(5, 3)线性码C 的生成矩阵为：11001G 011010111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）求系统生成矩阵；（2）列出C 的信息位与系统码字的映射关系；（3）求其最小Hamming 距离，并说明其检错、纠错能力； （4）求校验矩阵H ；（5）列出译码表，求收到r =11101时的译码步骤与译码结果。
解：（1）线性码C 的生成矩阵经如下行变换：23132110011001101101011010011100111100111001101101010100011100111⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦将第、加到第行将第加到第行得到线性码C 的系统生成矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111000*********S G （2）码字),,,(110-=n c c c c 的编码函数为[][][]111000*********)(210m m m m f c ++==生成了的8个码字如下(3) 最小汉明距离d =2，所以可检1个错，但不能纠错。
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1. 已知一个(5, 3)线性码C 的生成矩阵为：
11001G 0
11010
1
11⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（1）求系统生成矩阵；
（2）列出C 的信息位与系统码字的映射关系；
（3）求其最小Hamming 距离，并说明其检错、纠错能力； （4）求校验矩阵H ；
（5）列出译码表，求收到r =11101时的译码步骤与译码结果。
解：
（1）线性码C 的生成矩阵经如下行变换：
23132110011
00110110101101001110
0111100111
001101101010100011100111⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥−−−−−−→⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−−→⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
将第、加到第行
将第加到第行
得到线性码C 的系统生成矩阵为
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111000*********S G （2）码字),,,(110-=n c c c c 的编码函数为
[][][]111000*********)(210m m m m f c ++==
生成了的8个码字如下
(3) 最小汉明距离d =2，所以可检1个错，但不能纠错。
(4) 由],[],,[)()(k n T
k n k k n k k n I A H A I G --⨯-⨯-==，得校验矩阵
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=1010101111H
(5) 消息序列m =000,001,010,011,100,101,110,111，由c =mGs 得码字序列
c 0=00000, c 1=00111,c 2=01010, c 3=01101, c 4=10011, c 5=10100,c 6=11001, c 7=11110
则译码表如下：
当接收到r =(11101)时，查找码表发现它所在的列的子集头为(01101)，所以将它译为c =01101。
2．设（7, 3）线性码的生成矩阵如下
010101000101111001101G ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（1）求系统生成矩阵；
（2）求校验矩阵； （3）求最小汉明距离； （4）列出伴随式表。
解：
（1）生成矩阵G 经如下行变换
13
23
01010101
0011010010111001011110011010
10101010011011
0011010010111010101001010100010111⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥−−−−→⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−→⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
交换第、行交换第、行
得到系统生成矩阵：
100110101010100010111S G ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（2）由],[],,[)()(k n T
k n k k n k k n I A H A I G --⨯-⨯-==，得校验矩阵为
1101000101010001100101010001H ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
（3）由于校验矩阵H 的任意两列线性无关，3列则线性相关，所以最小汉明距离d =3。
（4）（7, 3）线性码的消息序列m =000,001,010,011,100,101,110,111，由c =mGs 得码字序列：c 0=0000000，c 1=0010111，c 2=0101010，c 3=0111101，c 4=1001101，c 5=1011010，c 6=1100111，c 7=1110000。
又因伴随式有
24=16
种组合，差错图样为1的有771=⎛⎫
⎪⎝⎭
种，
差错图样为2的有7212=⎛⎫ ⎪⎝⎭
种，而由T
T
Hr He =，则计算陪集首的伴随式，构造伴
随表如下：
3．已知一个(6, 3)线性码C 的生成矩阵为：
.0 1 1 1 0 01 1 0 0 1 01 0 1
0 0 1G ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=
（1） 写出它所对应的监督矩阵H ；
（2） 求消息M =(101)的码字；
（3） 若收到码字为101010，计算伴随式，并求最有可能的发送码字。
解：
（1）线性码C 的生成矩阵G 就是其系统生成矩阵G S ，所以其监督矩阵H 直接得出：
101100011010110001H =⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（2）消息M =(m 0,m 1,m 2)=(101)，则码字c 为：
[][][]()100101001110101011c f m ==+=
（3）收到码字r =(101010)，则伴随式
()()101011110101010001100010001T
rH ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
又（6, 3）线性码的消息序列m =000,001,010,011,100,101,110,111，由c =mGs 得码字序列：c 0=000000，c 1=001110，c 2=010011，c 3=011101，c 4=100101，c 5=101011，c 6=110110，c 7=111000。
伴随式有23=8种情况，则计算伴随式得到伴随表如下：
伴随式（001）对应陪集首为（000001），而c=r+e ，则由收到的码字r =(101010)，最有可能发送的码字c 为：c =（101011）。
4．设(6, 3)线性码的信息元序列为x 1x 2x 3，它满足如下监督方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00
631
532421x x x x x x x x x （1）求校验矩阵，并校验10110是否为一个码字； （2）求生成矩阵，并由信息码元序列101生成一个码字。
解：
（1）由监督方程直接得监督矩阵即校验矩阵为：
110100011010101001H =⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
因为收到的序列10110为5位，而由（6, 3）线性码生成的码字为6位，所以10110不是码字。
（2）由],[],,[)()(k n T
k n k k n k k n I A H A I G --⨯-⨯-==，则生成矩阵为：
100101010110001011S G G =⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
信息码元序列M=（101），由c =mGs 得码字为c ：
()()()()012100101010110001011101110c m m m =++=。