第十章 线性分组码

生成矩阵：由于矩阵 G 生成了 (n,k) 线性码，称矩阵 G 为 (n,k) 线性码的生成矩阵。
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生成矩阵
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线性系统分组码: 通过行初等变换，将 G 化为前 k 列是单位子阵的标准形式
kbit信息位
(n-k)bit校验位
线性系统分组码：用标准生成矩阵Gk×n 编成的码字， 这种信息数字(k位)在前,校验数字(r=n－k位)在后的 线性分组码称为线性系统分组码。
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伴随式译码
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若接收字中有一位错误,设发送码矢C=1010011， 接收码字R＝1110011，伴随式
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伴随式译码
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当码元错误多于1个时,设发送码矢C=1010011，接收 码字R＝0011011，伴随式
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源自文库
伴随式译码
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线性分组码
线性分组码的特例：系统码
定义 D元(N,K)线性分组码的生成矩阵为
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G=[PK×(N-K),IK]，其中IK是K阶单位阵，PK×(N-K)是(NK)×K阶矩阵。则称此码为系统码。
此时信息向量(x1, x2, …, xK)的码字是 (u1,u2,…,uN)=(x1,x2,…,xK)G =((x1,x2,…,xK) PK×(N-K),x1,x2,…,xK)。
若S=0，可能是E =0 没有出错，接收字是一个码字；
也可能是E≠0,但E为一个码字,这时有错误不能发现. 这类错误称为不可检验错误图样。对于BSC其概率为：
Ai码中重量为i的码字数目
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伴随式译码
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举例：(7,3)码接收矢量 R 的伴随式计算. 设发送码矢C=1010011，接收码字R＝1010011，R与 C相同。
10.1 线性分组码 10.2生成矩阵和校验矩阵 10.3特殊的线性分组码 10.4伴随式和最小距离译码
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伴随式和最小距离译码
设发送码矢 Cm=(Cm0,Cm1,…,Cm,n-1), 接收字为 R=(R0,R1,…,Rn-1)
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信道错误图样为 E=(E0,E1,…,En-1)
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校验矩阵
从另一个角度来看检验矩阵：
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每个(n,k)分组码都有一个维数为n-k的对偶码,参数 (n,n-k),记为空间V， V的维数是n-k。 G的校验矩阵H作为V的生成矩阵, 有
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生成矩阵和校验矩阵的关系
例 (7,4)线性码的生成矩阵为
该码是系统码
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线性分组码
例
1 G 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1
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二元(5, 3)线性分组码的生成矩阵是
该码不是系统码，但是将生成矩阵经过可逆变换后， 变成了一个系统码的生成矩阵
1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1
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校验矩阵的特性
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由ciHT=0,所以H的列矢量线性相关. 又最小距离dmin等于最小重量,所以H中存在 dmin个列线性相关. H中小于或等于dmin-1个列肯定是线性独立的 .(不存在重量为dmin-1的码，使其与H的内积 为0) 所以
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第10章 线性分组码
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线性分组码
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有限域上的分组码 当D是素数时，分组码可以充分利用有限域GF(D)的 代数运算，使得编码和译码更加简便。
定义 取GF(D)上的一个K行N列的矩阵G，它是满行秩 的。(N, K)分组码定义为 (u1, u2, …, uN)=(x1, x2, …, xK)G 其中(x1, x2, …, xK)是信息向量，(u1, u2, …, uN)是对应 的码字。 （1）称此码为D元(N, K)线性分组码。 （2）称矩阵G为此码的生成矩阵。
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线性分组码
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（命题3和命题4告诉我们，一个N维向量是一个码字 ，当且仅当它是生成矩阵G的第1行~第L行的线性组 合。还告诉我们，线性分组码的码字集合构成一个 线性空间。
这个线性空间是几维的？
L维的，因为生成矩阵G的第1行~第L行恰好是该线性 空间的一组基底）
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线性分组码
例如：(7,3) 码的两个码字 U=0011101,V=0100111， 它们之间第2、3、4和6位不同。因此，码字 U 和 V 的距离为4。
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线性分组码
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汉明球：以码字C为中心，半径为 t 的汉明球是与 C 的 (t ) 汉明距离≤ t 的向量全体 SC(t) SC R d (C, R) t 任意两个汉明球不相交最大程度取决于任意两个码字之 间的最小汉明距离dmin。
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命题5 设一个D元(N, K)线性分组码的生成矩阵为G 。设另一个D元(N, K)线性分组码的生成矩阵为 G’=MG，其中M是K阶可逆方阵。则两个码的码字集 合完全重合，只是信息向量与码字的对应关系不 同。 换句话说，如果把线性分组码的生成矩阵G做可逆行 变换变成另一个生成矩阵，则不改变码字集合，只 改变信息向量与码字的对应关系。
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线性分组码
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证明 （要证明，第一个码中任一个码字也是第二个 码中的码字；第二个码中任一个码字也是第一个码 中的码字） 设在第一个码中，u是信息向量x的码字： u=xG； 则在第二个码中，u是信息向量xM-1的码字： u=xM-1MG= xM-1G’。 设在第二个码中，u是信息向量x的码字： u=xG’； 则在第一个码中，u是信息向量xM的码字： u=xMM-1G’= xMG。
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线性分组码
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线性分组码的代数结构 命题1 不同的信息向量对应不同的码字。 （变换u=xG是单射） 命题2 生成矩阵G的第1行是信息向量(1, 0, 0, …, 0)的码字； 生成矩阵G的第2行是信息向量(0, 1, 0, …, 0)的码字； … 生成矩阵G的第K行是信息向量(0, …, 0, 0, 1)的码字。
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线性分组码

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码字重量：码字中非0码元符号的个数，汉明重量。
在二元线性码中，码字重量是码字中含“1”的个数
。

等重码: 所有码字具有相同的重量.
汉明距离：在(n,k)分组码中，两个码字 U、V 之间 对应码元位上符号取值不同的个数。

最小距离dmin：任意两个码字间距离最小值.
若关系成立，则认为 R 是一个码字；否则判为码 字在传输中发生了错误；
伴随式： S=RHT= (C+E) HT=CHT+EHT
由于CHT=0，所以 S=EHT 伴随式仅与错误图样有关，而与发送的具体码字 无关；
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伴随式
若S≠0，有错误出现。
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伴随式仅与错误图样有关，与发送的具体码字无关；
=R-Cm=(R0-Cm0,R1-Cm1,…,Rn-1-Cm,n-1)， 其中Ei=0，表示第i位无错；Ei=1，表示第i位有错 对于离散无记忆对称信道， 最大似然译码就是从所有可能码字中选择一个与接 收字的汉明距离最小,即最小汉明距离译码
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伴随式
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用监督矩阵译码：接收到一个接收字 R 后，校验 RHT=0 是否成立?
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校验矩阵
将监督方程写成矩 阵形式，得
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可写成 H CT=0T 或 C HT= 0
校验矩阵
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校验矩阵
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校验矩阵 H 的后三列组成一个 (3×3) 阶单位子 阵，用 I3 表示，H 的其余部分用 P 表示
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校验矩阵
推广到一般情况：对 (n,k) 线性分组码，每个码 字中的 r(r=n－k) 个监督元与信息元之间的关系 可由下面的线性方程组确定
因此，该码的码字集合与一个系统码的码字集合相同
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第10章 线性分组码
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10.1 线性分组码 10.2生成矩阵和校验矩阵 10.3特殊的线性分组码 10.4伴随式和最小距离译码 10.5循环码
生成矩阵和校验矩阵
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设ui是码字ci的k个信息位,{ci}构成一个K维子空间sC, 选k个线性独立的码字gi构成sC的基底,则码字C C=u0g0+u1g1+…+uk-1gk-1
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生成矩阵
例 (7,4) 线性码的生成矩阵为
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校验矩阵
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一致监督方程/一致校验方程：确定由信息元得到监 督元规则的一组方程称为监督方程/校验方程。由 于所有码字都按同一规则确定，又称为一致监督 方程/一致校验方程。 由于一致监督方程是线性的，即监督元和新信源之 间是线性运算关系，所以由线性监督方程所确定 的分组码是线性分组码。
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线性分组码
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命题3 信息向量(x1, x2, …, xK)的码字是： x1数乘G的第1行，加x2数乘G的第2行，加…，加xK数乘G 的第k行。即任何一个码字都是生成矩阵G的线性组合 。 命题4 当u(1)和u(2)都是码字， u(1)+u(2)也是码字。（ 线性分组码的码字关于线性运算封闭） 证明 设 u(1)是信息向量x(1)的码字：u(1)=x(1)G； u(2)是信息向量x(2)的码字：u(2)=x(2)G。 则u(1)+u(2)=x(1)G+x(2)G=(x(1)+x(2))G，即u(1)+u(2)是信息 向量(x(1)+x(2))的码字。
第10章 线性分组码
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10.1 线性分组码 10.2生成矩阵和校验矩阵 10.3特殊的线性分组码 10.4伴随式和最小距离译码
线性分组码

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分组码：将长为 k 位的信息码组变换成 n 重的 码字 (n>k)。由 2k 个信息码组所编成的 码字集 合，称为(n,k)分组码。 码矢：一个 n 长的码字可以用矢量来表示 C=(Cn－1,Cn－2,…,C1,C0 ) 所以码字又称为码矢。 编码速率/编码效率/码率/传信率：R=k/n。它 说明了信道的利用效率，R是衡量码性能的一 个重要参数。
将2n个可能的向量分为2n-k个集合，集合中每个向量的伴 随式相同，这样的集合称为陪集 选择陪集中重量最轻的向量作为陪集代表，称陪集首。 1.s=0的陪集，即码C中的元素排第一行，c=(00…0) 排最左边，计e0. 2.从其余的元素中选重量最轻的元素e1,并与码C中的 元素相加，得到的元素分别列于相应的码字下面。 3.从剩下的元素中任取一个重量最轻的，按相同方式 构成第三行，依此类推…
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线性分组码

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线性分组码：ci,cj是GF(q)上(n,k)分组码中的两 个码字,a,b GF(q)上两个元素,如果aci+bcj也是一个 码字,称码为线性分组码。(包含全0码字，取a=-b)
码的最小距离是衡量码的抗干扰能力（检、纠错能 力）的重要参数。码的最小距离越大，码的抗干扰 能力就越强。
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其对应的校验矩阵为
校验方程
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校验矩阵的特性
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最小重量/Wmin ：线性分组码CI中，非0码字重量 最小值，叫做码CI的最小重量：
Wmin =min{W(V),V∈CI ,V≠0}
最小距离与最小重量的关系：线性分组码的最小 距离等于它的最小重量。 [证明]：设线性码CI，且U∈CI, V∈CI，又设 U－V= Z ，由线性码的封闭性知，Z∈CI 。因 此，d(U,V)=W(Z)，由此可推知，线性分组码 的最小距离必等于非0码字的最小重量。
码字的后K位恰好是信息向量(x1, x2, …, xK)，称 为码字的信息位。称码字的前N-K位为码字的一致 校验位。
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线性分组码
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例 二元(7, 4)码是线性分组码，生成矩阵G是由信 息向量(1000)、(0100)、(0010)、(0001)的码字组 成的4行
1 0 G 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1