第十章 线性分组码
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线性分组码
系统码的校验矩阵和生成矩阵可以转换。
13
线性分组码的性质
线性分组码中任意两个码字的模2加仍为一个码字，这个性 质称为码的封闭性。 零矢量必须是任一线性分组码中的一个码字，称为零码字。 生成矩阵中各行都是一个码字，且生成矩阵的各行是线性 无关的（任意两行相加不为零）。任意码字C是生成矩阵中 各行的某一线性组合。 校验矩阵的各行应该是线性无关的，否则将得不到r个线性 无关的监督关系式，从而得不到r个独立的监督位。
23
汉明码
汉明码实际上是(2m-1, 2m-m-1)线性分组码，其校验行有m行，共有 n=2m-1列，任一列都不为零且两两互不相等，因此能纠正任何单 个错误。 汉明码的校验矩阵一般有两种构造方式： 一是校验矩阵的标准形式，即H=[PI] 式中P为m×(n-m)维矩阵，I为m×m维单位阵。按这种校验矩阵编 出的码是系统码。 二是校验矩阵的列是按二进制数的自然顺序从左到右排列的非零 列，例如，当n=7,k=4时，H中的第一列为[0 0 1]，第二列为[0 1 0]，…,第七列为[1 1 1]，按这种校验矩阵编出的码是非系统码。 发生单个错误时，伴随式是H中与错误位置对应的列，所以汉明码 伴随式二进制数的值就是错误位置的序号。
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例题-由生成矩阵生成码字
由生成矩阵 所有码字为
m 000
1 0 0 1 1 1 0 G 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1
生成的（7，3）码的
C 0000000
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
在校验方程的矩阵形式中，令
1 1 则校验方程可以写成 H 1 0
HCT=0 或CHT=0
信息论基础线性分组码PPT
设码字x5 (x0 , x1, x2 , x3, x4 )， 可得 信息位 码字
00 00000 01 01101 10 10111 11 11010
x2
x3
x0 x0
x1
x4 x0 x1
20
线性分组码的基本概念
改写为
1 1
x0 x0
1 0
x1 x1
1 x2 0 0 x2 1
二战期间在路易斯维尔大学当教授，1945年参加曼哈顿计划， 负责编写电脑程式，计算物理学家所提供方程的解。该程式 是判断引爆核弹会否燃烧大气层，结果是不会，于是核弹便 开始试验。
1946至76年在贝尔实验室工作。他曾和约翰·怀尔德·杜奇、 克劳德·艾尔伍德·香农合作。1956年他参与了IBM 650的程 式语言发展工作。
码字无关！
记S= en·HT ，称之为接收序列rn的伴随式.
36
线性分组码的译码
（n，k）线性分组码的校验矩阵，用列向量
表出：
h1,1
h1,2
H
h2,1
h2,2
h1,n
h2,n
h1
h2
hn
hnk
,1
hnk ,2
hnk
,n
其中，hn-i为H矩阵的第i列.
37
线性分组码的译码
设en=(e1， e2，…，en)=(0，…，ei1，0，…，ei2，0，…， ei3，0，…，eit，0，…，0)
信息位 码字
00 00000
1(01) 1(10) 11
01 01101 10 10111
f (11) 11010
11 11010
1(01101) 1(10111) 11010
f (1(01) 1(10)) 1(01101) 1(10111)
线性分组码
二、线性分组码的严格数学定义2
2. 定理1 (码的封闭性）
设CH为由监督矩阵H定义的分组码，则c1,c2CH : c1+c2CH 证明： 由c1CH，得Hc1T=0T;
由c2CH，得Hc2T=0T;
所以 H(c1+c2)T=H(c1T+c2T) =Hc1T+Hc2T=0T c1+c2满足HcT=0T，所以c1+c2 CH
+
+
考虑如何用串行方式？
三、G与H的关系4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
D0
D1
+
D2
+
D3
+
D0
D1
+
D2
+
D3
+
m4m5m6
m6
m6
D0
D1
m6+m5 m6
D0
D1
m6
m6
+
D2
+
D3
+
m4m5
m6+m5
m6+m5
+
D2
m6+m5+m6
=m5
+
D3
+
m4
m5+m4
互为对偶码，若CH=CG, 则称为自对偶码（P62)
[Q In-k] [IkP]T= [QIn-k] [IkT PT]T= Q + PT = 0
所以 P= - QT 或 Q = -PT
由此得 G=[Ik P] = [ Ik –QT] H=[Q In-k]= [ -PT In-k]
三、G与H的关系2
线性分组码(免费)
线性分组码8.3.1 基本概念是一组固定长度的码组，可表示为（n, k），通常它用于前向纠错。
在分组码中，监督位被加到信息位之后，形成新的码。
在编码时，k个信息位被编为n位码组长度，而n-k个监督位的作用就是实现检错与纠错。
当分组码的信息码元与监督码元之间的关系为线性关系时，这种分组码就称为。
对于长度为n的二进制线性分组码，它有种可能的码组，从种码组中，可以选择M=个码组（k<n）组成一种码。
这样，一个k比特信息的线性分组码可以映射到一个长度为n码组上，该码组是从M=个码组构成的码集中选出来的，这样剩下的码组就可以对这个分组码进行检错或纠错。
线性分组码是建立在代数群论基础之上的，各许用码的集合构成了代数学中的群，它们的如下：（1）任意两许用码之和（对于二进制码这个和的含义是模二和）仍为一许用码，也就是说，线性分组码具有封闭性；（2）码组间的最小码距等于非零码的最小码重。
在8.2.1节中介绍的奇偶监督码，就是一种最简单的线性分组码，由于只有一位监督位通常可以表示为（n,n-1），式（8-5）表示采用偶校验时的监督关系。
在接收端解码时，实际上就是在计算：（8-6）其中，…表示接收到的信息位，表示接收到的监督位，若S＝0，就认为无错；若S＝1就认为有错。
式（8-6）被称为监督关系式，S是校正子。
由于校正子S的取值只有“0”和“1”两种状态，因此，它只能表示有错和无错这两种信息，而不能指出错码的位置。
设想如果监督位增加一位，即变成两位，则能增加一个类似于式（8-6）的监督关系式，计算出两个校正子和，而共有4种组合：00，01，10，11，可以表示4种不同的信息。
除了用00表示无错以外，其余3种状态就可用于指示3种不同的误码图样。
同理，由r个监督方程式计算得到的校正子有r位，可以用来指示-1种误码图样。
对于一位误码来说，就可以指示-1个误码位置。
对于码组长度为n、信息码元为k位、监督码元为r＝n - k位的分组码（常记作（n，k）码），如果希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示一位错码的n种可能，则要求：（8-7) 下面通过一个例子来说明的。
线 性 分 组 码
即: ( A1+A2 ) ·HT =0
所以 ( A1+A2 )也是一个许用码组.
由封闭性可知两个码组(A1、A2 )的码距必是另一码组 ( A1+A2 )的码重。
1 .2 汉明码
汉明码是一种能够纠正单个错误的线性分组码。它有 以下特点：
（1）最小码距dmin＝3，可纠正一位错误； （2）码长n与监督元个数r之间满足关系式：
1 1 1 0 1 0 0
0
1 1 0 1 0 1 0 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 T 0
1 0 1 1 0 0 1
0
上式可以记作：HAT=0T或AHT=0 。
其中： 0 0 0 0
A a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0
1 1 1 0 1 0 0
H 1 1 0 1 0 1 0 P Ir
E B A
其中பைடு நூலகம்=［en-1,en-2,…,e1,e0］，且：
ei
0
1
；当bi=ai ；当bi≠ai
式(10.6)也可写作
B AE
令S=BHT，称为伴随式或校正子。
S BHT (A E)HT EHT
因此，校正子仅与E有关，即错误图样与校正子之 间有确定的关系。如表10.4所示, 用于检错并能纠正一位 错码。
n 2r 1
通常二进制汉明码可以表示为：
n,k 2r 1 , 2r 1 r
（7，4）系统汉明码的编码器电路：
a6
a6
a5
a5
a4
a4
a3
a3
a2
a1
a0
（7，4）系统汉明码的译码器电路：
b6
a6
b5
a5
线性码和线性分组码
• G中任一元g与H相加得到旳子集称为H旳陪集
• 举例
– 陪集不相交
– 陪集首
H的陪集
– 商集
• 整数群旳子群
– m旳全部倍数
H
– 剩余类
线性空间、线性码与线性分组码
• 利用线性空间中旳子空间作为许用码字旳编码 称线性码
• 当线性空间为有限维空间时即为线性分组码 • GF(q)上旳n维线性空间Vn中旳一种k维子空间
• 中任一矢量r是许用码字旳充要条件是
r h1T
hT2
hT nk
0
h1
H
h2
hnk
校验矩阵
对偶码
• 用校验矩阵H中行矢量张成旳子空间是一 种(n ,n-k)线性分组码，它与码C互为对偶 码
自由距与校验矩阵
• 校验矩阵旳秩为df -1 • 例：纠一种错旳码设计
– 自由距至少为3 – 校验矩阵旳秩至少为2，即任两个列矢量不同 – 当冗余位数m固定时，最多旳非零列矢量个数为2m -1 – 最高效率为(2m-1，2m-1-m，3)码，称为汉明码，是完
线性分组码译码旳基本措施
• 码C作为一种子群，它旳每一种陪集在码 C旳正交空间H中旳投影是一种点，而不 同旳陪集投影不同。
• 每一种陪集有一种最小码重，作为陪集 首，代表最可能旳错误图案。
• 这就引出了伴随式译码：s=rHT，将s与 最可能旳e建一张表，即可经过查表法实 现译码。
小结：引入线性码旳好处
– 对自由距为d旳码，球半径为s(C) = (d-1)/2
• 能够覆盖整个码空间旳以许用码字为中心半径 相等旳球，其最小半径称为码旳覆盖半径 t(C)，
– 显然球半径不不小于覆盖半径 – 当相等时称为完备码，在k和d相不变旳码中n最小 – 当给定编码参数n和k时，覆盖半径越小码距就能够
线性分组码
x1 + x 2 + x 4 = 0 x1 + x 3 + x 5 = 0 x + x + x = 0 3 6 2
1 1 0 1 0 0 令 H= 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1
6
则 校 验 方 程 （2） 可 写 为
H (x ) 0 或 x H
码字
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x6
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
x1 x 2 x3 x4 x 5 x6
3
译码规则
给 定 信 道 X ， Q ( y x ), Y , 设 有 函 数 F : Y X ， 对 每 一 个 输 出 符 号 y Y都 有 唯 一 确 定 的 输 入 符 号 x X与 之 对 应 ， 则 称 这 样 的 函 数 为 译 码 规则，记为
F ( y ) x, y Y , x X 显然对于同一信道，译码规则不是唯一的。
u1 u2 u3 u1 u 2 u1 u 3 u2 u3
(1) 中 构 造 的 码 字 中 x1 x 2 x 3 称 为 信 息 元 ， x 4 x 5 x 6 称 为 校 验 元 。
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校验元由方程组
x4 = x1 + x 2 x5 = x1 + x 3 x = x + x 2 3 6
k n
G F (2 ) G F ( 2 )
k
n
它 的 一 个 线 性 变 换 ， 可 用 G F(2) 上 的 k n阶 矩 阵 表 示
线性分组码
• 伴随式是校验矩阵列向量的线性表示。以 下列校验矩阵为例，考察不同错误模式下 的伴随式结构。
• 因此，列向量的线性无关性，与纠错能力 密切相关。：任意d-1个列向量线性无关。
1 0 1 1 0 0 0 H 1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
n-k+1，即d<=n-k+1。
伴随式的计算电路
• 根据校验矩阵H，得到校正子S各元素的数学 表达式，进而给出对应的电路。
• 软件实现方式， sT=HRT为算法。
1 0 1 1 0 0 0 H 1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
C3 =C6 C4 C2 =C6 C5 C4 C1=C6 C5 C0 =C5 C4
C6
1
1
1 0
0 1 1 1
1 1 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0
0
0 1
C5 CC43 C2 C1
• 汉明码定义：最小码距d=3的（n=2m-1，k=2m-m-1）线性 分组码的统称。
两种特殊的H矩阵
• 系统的H矩阵：将重量为1的n-k个列向量排 列成单位阵形式，其他列向量任意放置。 构成系统汉明码的H矩阵。
• 按列向量的二进制数从小到大排列，得到 特殊的非系统汉明码。当发生单个错误的 时候，伴随式的二进制数的大小，就是接 收码字发生错误的位置。因此，译码非常 简单。这种汉明码是最常用的。
• （n,k）的线性分组码，H矩阵列向量中没有0向量，且任 意两列互不相等，即可构成最小码距为3的分组码。H矩阵 为n-k行n列的矩阵，列向量一共有2n-k-1个，即n= 2n-k-1， 满足这种关系，最小码距为3的（n,k）线性分组码称为汉 明码。
线性分组码
(C6,C5,C4,C3,C2,C1,C0)
C6,C5,C4为信息元，C3,C2,C1,C0为监督元，
监督元可按下面方程组计算
每个码元取“0”或“1”
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信息论
3 线性分组码
3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 1.线性分组码的一致校验矩阵 一致校验方程： 按规则通过已知的信息元得到校验元的一组方程称为校验方 程。由于所有码字都按同一规则确定，又称为一致校验方程。 由于校验方程是线性的，即校验元和信息元之间是线性运算 关系，所以由线性校验方程所确定的分组码是线性分组码。
H 阵的每一行都代表一个监督方程，即 H 阵的 r 行代表了 r 个监督方 程，也表示由H 所确定的码字有 r 个监督元。 电子信息工程学院 10
信息论
3 线性分组码
3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 1.线性分组码的一致校验矩阵
H 的标准形式还说明了相应的监督元是由哪些信息元
决定的。 例如 (7,3) 码的H 阵的第一行为 (1011000)，说明此 码的第一个监督元等于第一个和第三个信息元的模2和， 依此类推。
3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 1.线性分组码的一致校验矩阵 系数矩阵 H 的后四列组成一个 (4×4) 阶单位子阵，用 I4 表示，H 的其余部分用 P 表示
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信息论
3 线性分组码
3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 1.线性分组码的一致校验矩阵 推广到一般情况：对 (n,k) 线性分组码，每个码字中的 r (=n-k) 个监督元与信息元之间的关系可由下面的线性方程组确定
信息论
3 线性分组码
线性分组码是指分组码中信息元和校验元是用线性方程联 系起来的一种差错控制码。
线性分组码
–例
1 1 1 0 1 0 0
H 11
1 0
0 1
1 1
0 0
1 0
0 1
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（n,k）码的监督矩阵
• 满足HA＝0的所有需用码组A可以解如下方程得：
a6
a5
1 1 1 0 1 0 0 a4 0
（n，k）码的构造
• 方法
– 1、已知H或G，直接得到（n，k）线性分组码。 – 2、找出n维空间的n个基，任意选择k个作为（n，k）码的生
成矩阵G。 （如何找出合适的基使构成的码具有大的最小码距？） – 3、n维空间中任意挑选2^k个码字作为（n，k）码的需用码
组，并与2^k个信息码字构成一一映射。（注：此时不能保证 构造出的（n，k）码是线性码） – 4、其它
• (0000000) (0001011) (0010101) (0011110) • (0100110) (0101101) (0110011) (0111000) • (1000111) (1001100) (1010010) (1011001) • (1100001) (1101010) (1110100) (1111111)
» 如：汉明码、循环码、BCH码等代数构造方法
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（n，k）汉明码
• 汉明码是一种特殊的线性分组码，满足关系
码（n，n－k）称为（n，k）码的对偶码。
1 1 1 0 1 0 0
H 11
1 0
0 1
1 1
0 0
1 0
0 1
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（n,k）码的监督矩阵
• 满足HA＝0的所有需用码组A可以解如下方程得：
a6
a5
1 1 1 0 1 0 0 a4 0
（n，k）码的构造
• 方法
– 1、已知H或G，直接得到（n，k）线性分组码。 – 2、找出n维空间的n个基，任意选择k个作为（n，k）码的生
成矩阵G。 （如何找出合适的基使构成的码具有大的最小码距？） – 3、n维空间中任意挑选2^k个码字作为（n，k）码的需用码
组，并与2^k个信息码字构成一一映射。（注：此时不能保证 构造出的（n，k）码是线性码） – 4、其它
• (0000000) (0001011) (0010101) (0011110) • (0100110) (0101101) (0110011) (0111000) • (1000111) (1001100) (1010010) (1011001) • (1100001) (1101010) (1110100) (1111111)
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（n，k）汉明码
• 汉明码是一种特殊的线性分组码，满足关系
码（n，n－k）称为（n，k）码的对偶码。
线性分组码
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2、某（n,k）系统线性分组码的全部码字如下： 、 ）系统线性分组码的全部码字如下： 00000 01011 10110 11101 求： （1）n = ? , k = ? ） 和监督矩阵H。 （2）码的生成矩阵 和监督矩阵 。 ）码的生成矩阵G和监督矩阵
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系数矩阵 H 的后四列组成一个 (4×4) 阶单位子阵，用 I4 表示，H 的其余部分用 P 表示
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6.3.2 线性分组码的监督方程和监督矩阵
推广到一般情况：对 (n,k) 线性分组码，每个码字中的 r(r=n－k) 个监督元与信息元之间的关系可由下面的线性 方程组确定
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010 011 100 101 110 111
6.3.2 线性分组码的监督方程和监督矩阵
(3) 监督矩阵
为了运算方便，将式 (5.1)监督方程写成 矩阵形式，得 式(5.2)可写成 H CT=0T或 C HT=0 CT、HT、0T分别表 示C、H、0的转置 矩阵。
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6.3.2 线性分组码的监督方程和监督矩阵
6. 3 一、名词解释
线性分组码
线性分组码：通过预定的线性运算将长为 k 位的信息码组变换 成 n 长的码字 ( n>k )。由 2k 个信息码组所编成的 2k个码字集 合，称为线性分组码。 码矢：一个 n 长的码字可以用矢量来表示 码矢
C = (Cn－1,Cn－2,…,C1,C0 ) 1 2
所以码字又称为码矢。 ( n, k ) 线性码 线性码：信息位长为 k，码长为 n 的线性码。 编码效率/编码速率/码率：R=k /n。它说明了信道的利用效率， 编码效率 R是衡量码性能的一个重要参数。 是衡量码性能的一个重要参数
线性分组码
一、 线性分组码的基本原理差错控制编码的基本作法是：在发送端被传输的信息序列上附加一些监督码元，这些多余的码元与信息之间以某种确定的规则建立校验关系。
接收端按照既定的规则检验信息码元与监督码元之间的关系，一旦传输过程中发生差错，则信息码元与监督码元之间的校验关系将受到破坏，从而可以发现错误，乃至纠正错误。
对于（n ，k ）线性分组码编码器，输出的n 比特码字包含k 比特信息码元和k n -比特监督码元。
如图1所示。
根据图1的表示法，码字最右边的k n -比特为监督比特，最左边k 比特与相应的信息比特相同。
因此有⎩⎨⎧--=--==+-1,, , 1,,1,0 , n k n i m k n i b c k n i i i （1）k n -个监督比特是k 个信息比特的线性和，可以用一般的多项式表示：1)1(1100--+++=k k i m p m p m p b i i i （2） 系数的定义如下⎪⎩⎪⎨⎧=i im ,0m ,1不依赖于如果依赖于如果j j ij b b p （3）系数ij p 的选择要是生成矩阵的各行线性独立，且校验式唯一。
式（1）和式（2）给出了（n ，k ）线性分组码的数学结构。
这两个等式可以用矩阵表示法重新表示为一种紧凑的形式。
为此，我们定义k ⨯1的信息矢量m ，()k n -⨯1监督矢量b 和n ⨯1的码矢量c ，其形式分别为 ],,,[021m m m k k --=m （4）],,,[021b b b k n k n ----=b （5）],,,[021c c c n n --=c（6）注意，这三个都是行矢量。
这样就可以用紧凑的矩阵形式将定义监督比特的联立等式写为m P c = （7） 其中，P 为()k n k -⨯的系数矩阵，其定义如下：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------------------0,02,01,00,22,21,20,12,11,1p p p p p p p p p k n k n k k n k k n k k k n k k n k P （8） 其中，ij p 取值1或0。
《线性分组码》PPT课件
3.从剩下的元素中任取一个重量最轻的，按相同方式 构成第三行，依此类推…
34
伴随式译码
陪集首 陪集
伴随式
35
伴随式译码
(6,3)码的标准阵
陪集首
伴随式
36
伴随式译码
BSC下，二元线性码正确译 码的概率：
第l个陪集
首的重量
重量为i的陪 集首的数量
37
伴随式译码
译码步骤： 计算接收矢量的伴随式 由伴随式确定陪集首 将陪集首作为错误图样e
将v译为c=v-e
38
最小距离和纠错能力
Th. v属于码字集合的充要条件是v的非 零码元与H相应列的乘积之和为0。
推论：若矩阵H中任意d-1列线性无关，相应码的最小距离至少为d。
39
最小距离和纠错能力
1.最小距离与纠错能力：(n,k) 线性码能纠t个错误的充要条件是码的最小距离 为
[证明]：设码C的最小距离为dmin,以码字为中心，以 t为半径的球应不相交。反证若相交，设V为其中元 素，C1,C2来自两相交球的码字，有三角不等式。
所以码字又称为码矢。 编码速率/编码效率/码率/传信率：R=k/n。它说明了信道的利用效率，R是衡量码
性能的一个重要参数。
2
线性分组码
码字重量：码字中非0码元符号的个数，汉明重量。 在二元线性码中，码字重量是码字中含“1”的个数。
等重码: 所有码字具有相同的重量. 汉明距离：在(n,k)分组码中，两个码字 U、V 之间 对应码元位上符号取值不同的个数。 最小距离dmin：任意两个码字间距离最小值.
10
线性分组码
证明 （要证明，第一个码中任一个码字也是第二个 码中的码字；第二个码中任一个码字也是第一个码 中的码字）
34
伴随式译码
陪集首 陪集
伴随式
35
伴随式译码
(6,3)码的标准阵
陪集首
伴随式
36
伴随式译码
BSC下，二元线性码正确译 码的概率：
第l个陪集
首的重量
重量为i的陪 集首的数量
37
伴随式译码
译码步骤： 计算接收矢量的伴随式 由伴随式确定陪集首 将陪集首作为错误图样e
将v译为c=v-e
38
最小距离和纠错能力
Th. v属于码字集合的充要条件是v的非 零码元与H相应列的乘积之和为0。
推论：若矩阵H中任意d-1列线性无关，相应码的最小距离至少为d。
39
最小距离和纠错能力
1.最小距离与纠错能力：(n,k) 线性码能纠t个错误的充要条件是码的最小距离 为
[证明]：设码C的最小距离为dmin,以码字为中心，以 t为半径的球应不相交。反证若相交，设V为其中元 素，C1,C2来自两相交球的码字，有三角不等式。
所以码字又称为码矢。 编码速率/编码效率/码率/传信率：R=k/n。它说明了信道的利用效率，R是衡量码
性能的一个重要参数。
2
线性分组码
码字重量：码字中非0码元符号的个数，汉明重量。 在二元线性码中，码字重量是码字中含“1”的个数。
等重码: 所有码字具有相同的重量. 汉明距离：在(n,k)分组码中，两个码字 U、V 之间 对应码元位上符号取值不同的个数。 最小距离dmin：任意两个码字间距离最小值.
10
线性分组码
证明 （要证明，第一个码中任一个码字也是第二个 码中的码字；第二个码中任一个码字也是第一个码 中的码字）
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22
校验矩阵
从另一个角度来看检验矩阵：
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每个(n,k)分组码都有一个维数为n-k的对偶码,参数 (n,n-k),记为空间V， V的维数是n-k。 G的校验矩阵H作为V的生成矩阵, 有
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生成矩阵和校验矩阵的关系
例 (7,4)线性码的生成矩阵为
5
线性分组码
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有限域上的分组码 当D是素数时，分组码可以充分利用有限域GF(D)的 代数运算，使得编码和译码更加简便。
定义 取GF(D)上的一个K行N列的矩阵G，它是满行秩 的。(N, K)分组码定义为 (u1, u2, …, uN)=(x1, x2, …, xK)G 其中(x1, x2, …, xK)是信息向量，(u1, u2, …, uN)是对应 的码字。 （1）称此码为D元(N, K)线性分组码。 （2）称矩阵G为此码的生成矩阵。
第10章 线性分组码
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10.1 线性分组码 10.2生成矩阵和校验矩阵 10.3特殊的线性分组码 10.4伴随式和最小距离译码
线性分组码
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分组码：将长为 k 位的信息码组变换成 n 重的 码字 (n>k)。由 2k 个信息码组所编成的 码字集 合，称为(n,k)分组码。 码矢：一个 n 长的码字可以用矢量来表示 C=(Cn－1,Cn－2,…,C1,C0 ) 所以码字又称为码矢。 编码速率/编码效率/码率/传信率：R=k/n。它 说明了信道的利用效率，R是衡量码性能的一 个重要参数。
该码是系统码
13
线性分组码
例
1 G 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1
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二元(5, 3)线性分组码的生成矩阵是
该码不是系统码，但是将生成矩阵经过可逆变换后， 变成了一个系统码的生成矩阵
1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1
Hale Waihona Puke 若S=0，可能是E =0 没有出错，接收字是一个码字；
也可能是E≠0,但E为一个码字,这时有错误不能发现. 这类错误称为不可检验错误图样。对于BSC其概率为：
Ai码中重量为i的码字数目
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伴随式译码
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举例：(7,3)码接收矢量 R 的伴随式计算. 设发送码矢C=1010011，接收码字R＝1010011，R与 C相同。
8
线性分组码
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（命题3和命题4告诉我们，一个N维向量是一个码字 ，当且仅当它是生成矩阵G的第1行~第L行的线性组 合。还告诉我们，线性分组码的码字集合构成一个 线性空间。
这个线性空间是几维的？
L维的，因为生成矩阵G的第1行~第L行恰好是该线性 空间的一组基底）
9
线性分组码
若关系成立，则认为 R 是一个码字；否则判为码 字在传输中发生了错误；
伴随式： S=RHT= (C+E) HT=CHT+EHT
由于CHT=0，所以 S=EHT 伴随式仅与错误图样有关，而与发送的具体码字 无关；
29
伴随式
若S≠0，有错误出现。
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伴随式仅与错误图样有关，与发送的具体码字无关；
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命题5 设一个D元(N, K)线性分组码的生成矩阵为G 。设另一个D元(N, K)线性分组码的生成矩阵为 G’=MG，其中M是K阶可逆方阵。则两个码的码字集 合完全重合，只是信息向量与码字的对应关系不 同。 换句话说，如果把线性分组码的生成矩阵G做可逆行 变换变成另一个生成矩阵，则不改变码字集合，只 改变信息向量与码字的对应关系。
19
校验矩阵
将监督方程写成矩 阵形式，得
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可写成 H CT=0T 或 C HT= 0
校验矩阵
20
校验矩阵
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校验矩阵 H 的后三列组成一个 (3×3) 阶单位子 阵，用 I3 表示，H 的其余部分用 P 表示
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校验矩阵
推广到一般情况：对 (n,k) 线性分组码，每个码 字中的 r(r=n－k) 个监督元与信息元之间的关系 可由下面的线性方程组确定
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线性分组码
线性分组码的特例：系统码
定义 D元(N,K)线性分组码的生成矩阵为
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G=[PK×(N-K),IK]，其中IK是K阶单位阵，PK×(N-K)是(NK)×K阶矩阵。则称此码为系统码。
此时信息向量(x1, x2, …, xK)的码字是 (u1,u2,…,uN)=(x1,x2,…,xK)G =((x1,x2,…,xK) PK×(N-K),x1,x2,…,xK)。
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线性分组码
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线性分组码：ci,cj是GF(q)上(n,k)分组码中的两 个码字,a,b GF(q)上两个元素,如果aci+bcj也是一个 码字,称码为线性分组码。(包含全0码字，取a=-b)
码的最小距离是衡量码的抗干扰能力（检、纠错能 力）的重要参数。码的最小距离越大，码的抗干扰 能力就越强。
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生成矩阵
例 (7,4) 线性码的生成矩阵为
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校验矩阵
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一致监督方程/一致校验方程：确定由信息元得到监 督元规则的一组方程称为监督方程/校验方程。由 于所有码字都按同一规则确定，又称为一致监督 方程/一致校验方程。 由于一致监督方程是线性的，即监督元和新信源之 间是线性运算关系，所以由线性监督方程所确定 的分组码是线性分组码。
例如：(7,3) 码的两个码字 U=0011101,V=0100111， 它们之间第2、3、4和6位不同。因此，码字 U 和 V 的距离为4。
3
线性分组码
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汉明球：以码字C为中心，半径为 t 的汉明球是与 C 的 (t ) 汉明距离≤ t 的向量全体 SC(t) SC R d (C, R) t 任意两个汉明球不相交最大程度取决于任意两个码字之 间的最小汉明距离dmin。
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线性分组码
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线性分组码的代数结构 命题1 不同的信息向量对应不同的码字。 （变换u=xG是单射） 命题2 生成矩阵G的第1行是信息向量(1, 0, 0, …, 0)的码字； 生成矩阵G的第2行是信息向量(0, 1, 0, …, 0)的码字； … 生成矩阵G的第K行是信息向量(0, …, 0, 0, 1)的码字。
生成矩阵：由于矩阵 G 生成了 (n,k) 线性码，称矩阵 G 为 (n,k) 线性码的生成矩阵。
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生成矩阵
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线性系统分组码: 通过行初等变换，将 G 化为前 k 列是单位子阵的标准形式
kbit信息位
(n-k)bit校验位
线性系统分组码：用标准生成矩阵Gk×n 编成的码字， 这种信息数字(k位)在前,校验数字(r=n－k位)在后的 线性分组码称为线性系统分组码。
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线性分组码
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证明 （要证明，第一个码中任一个码字也是第二个 码中的码字；第二个码中任一个码字也是第一个码 中的码字） 设在第一个码中，u是信息向量x的码字： u=xG； 则在第二个码中，u是信息向量xM-1的码字： u=xM-1MG= xM-1G’。 设在第二个码中，u是信息向量x的码字： u=xG’； 则在第一个码中，u是信息向量xM的码字： u=xMM-1G’= xMG。
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其对应的校验矩阵为
校验方程
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校验矩阵的特性
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最小重量/Wmin ：线性分组码CI中，非0码字重量 最小值，叫做码CI的最小重量：
Wmin =min{W(V),V∈CI ,V≠0}
最小距离与最小重量的关系：线性分组码的最小 距离等于它的最小重量。 [证明]：设线性码CI，且U∈CI, V∈CI，又设 U－V= Z ，由线性码的封闭性知，Z∈CI 。因 此，d(U,V)=W(Z)，由此可推知，线性分组码 的最小距离必等于非0码字的最小重量。
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校验矩阵的特性
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由ciHT=0,所以H的列矢量线性相关. 又最小距离dmin等于最小重量,所以H中存在 dmin个列线性相关. H中小于或等于dmin-1个列肯定是线性独立的 .(不存在重量为dmin-1的码，使其与H的内积 为0) 所以
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第10章 线性分组码
因此，该码的码字集合与一个系统码的码字集合相同
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第10章 线性分组码
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10.1 线性分组码 10.2生成矩阵和校验矩阵 10.3特殊的线性分组码 10.4伴随式和最小距离译码 10.5循环码
生成矩阵和校验矩阵
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设ui是码字ci的k个信息位,{ci}构成一个K维子空间sC, 选k个线性独立的码字gi构成sC的基底,则码字C C=u0g0+u1g1+…+uk-1gk-1
10.1 线性分组码 10.2生成矩阵和校验矩阵 10.3特殊的线性分组码 10.4伴随式和最小距离译码
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伴随式和最小距离译码