线性分组码的例子
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线性分组码(7,4)码设计说明书
前
言
设计数字通信系统时,应首先合理选择信道编译码码组种类，这样才可以在信号的 传输，以及接收环节达到较好的效果，线性分组码具有编译码简单，封闭性好等特点， 采用差错控制编码技术是提高数字通信可靠性的有效方法，是目前较为流行的差错控制 编码技术。 分组码是一组固定长度的码组，可表示为（n , k） ，通常它用于前向纠错。在分组 码中，监督位被加到信息位之后，形成新的码。在编码时，k 个信息位被编为 n 位码组 长度，而 n-k 个监督位的作用就是实现检错与纠错。 对于长度为 n 的二进制线性分组码，它有种可能的码组，从种码组中，可以选择 M= 个码组（k<n）组成一种码。这样，一个 k 比特信息的线性分组码可以映射到一个长度 为 n 码组上， 该码组是从 M=个码组构成的码集中选出来的， 这样剩下的码组就可以对这 个分组码进行检错或纠错。
上述方法构造的能纠正单个误码的线性分组码又称为汉明码。它具有以下一些特 点：码长 n＝2m－1，最小码距为 d＝3，信息码长 k＝2n－m－1，纠错能力 t＝1，监督码 长 r＝n－k＝m。这里 m 为≥2 的正整数。给定 m 后，就可构造出汉明码（n，k）。
5
第三章 推导过程
3.1 编码过程
监督阵 H 与生成矩阵 G 的关系： 由 H 与 G 的分块表示的矩阵形式 H [ P I n k ]
其中 A 为纠错输出码序列，E 为错码矩阵，B 为信道输出码。 对接收到的信息进行改正求出正确的编码，从而再提去更正后的接收序列的前四 位来提取信息位，以至获得信息矩阵 I。
8
第四章 仿真过程及结果分析
4.1 程序流程图
4.1.1 主程序流程图 主程序一开始就有欢迎界面，并对用户显示出了选择提示语句，可以选择编码器、 译码器、退出三种选择，当用户做出选择后便会进入各自的子程序，执行相应的功能， 整个主程序的流程如下：
言
设计数字通信系统时,应首先合理选择信道编译码码组种类，这样才可以在信号的 传输，以及接收环节达到较好的效果，线性分组码具有编译码简单，封闭性好等特点， 采用差错控制编码技术是提高数字通信可靠性的有效方法，是目前较为流行的差错控制 编码技术。 分组码是一组固定长度的码组，可表示为（n , k） ，通常它用于前向纠错。在分组 码中，监督位被加到信息位之后，形成新的码。在编码时，k 个信息位被编为 n 位码组 长度，而 n-k 个监督位的作用就是实现检错与纠错。 对于长度为 n 的二进制线性分组码，它有种可能的码组，从种码组中，可以选择 M= 个码组（k<n）组成一种码。这样，一个 k 比特信息的线性分组码可以映射到一个长度 为 n 码组上， 该码组是从 M=个码组构成的码集中选出来的， 这样剩下的码组就可以对这 个分组码进行检错或纠错。
上述方法构造的能纠正单个误码的线性分组码又称为汉明码。它具有以下一些特 点：码长 n＝2m－1，最小码距为 d＝3，信息码长 k＝2n－m－1，纠错能力 t＝1，监督码 长 r＝n－k＝m。这里 m 为≥2 的正整数。给定 m 后，就可构造出汉明码（n，k）。
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第三章 推导过程
3.1 编码过程
监督阵 H 与生成矩阵 G 的关系： 由 H 与 G 的分块表示的矩阵形式 H [ P I n k ]
其中 A 为纠错输出码序列，E 为错码矩阵，B 为信道输出码。 对接收到的信息进行改正求出正确的编码，从而再提去更正后的接收序列的前四 位来提取信息位，以至获得信息矩阵 I。
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第四章 仿真过程及结果分析
4.1 程序流程图
4.1.1 主程序流程图 主程序一开始就有欢迎界面，并对用户显示出了选择提示语句，可以选择编码器、 译码器、退出三种选择，当用户做出选择后便会进入各自的子程序，执行相应的功能， 整个主程序的流程如下：
线性分组码
系统码的校验矩阵和生成矩阵可以转换。
13
线性分组码的性质
线性分组码中任意两个码字的模2加仍为一个码字，这个性 质称为码的封闭性。 零矢量必须是任一线性分组码中的一个码字，称为零码字。 生成矩阵中各行都是一个码字，且生成矩阵的各行是线性 无关的（任意两行相加不为零）。任意码字C是生成矩阵中 各行的某一线性组合。 校验矩阵的各行应该是线性无关的，否则将得不到r个线性 无关的监督关系式，从而得不到r个独立的监督位。
23
汉明码
汉明码实际上是(2m-1, 2m-m-1)线性分组码，其校验行有m行，共有 n=2m-1列，任一列都不为零且两两互不相等，因此能纠正任何单 个错误。 汉明码的校验矩阵一般有两种构造方式： 一是校验矩阵的标准形式，即H=[PI] 式中P为m×(n-m)维矩阵，I为m×m维单位阵。按这种校验矩阵编 出的码是系统码。 二是校验矩阵的列是按二进制数的自然顺序从左到右排列的非零 列，例如，当n=7,k=4时，H中的第一列为[0 0 1]，第二列为[0 1 0]，…,第七列为[1 1 1]，按这种校验矩阵编出的码是非系统码。 发生单个错误时，伴随式是H中与错误位置对应的列，所以汉明码 伴随式二进制数的值就是错误位置的序号。
14
例题-由生成矩阵生成码字
由生成矩阵 所有码字为
m 000
1 0 0 1 1 1 0 G 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1
生成的（7，3）码的
C 0000000
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
在校验方程的矩阵形式中，令
1 1 则校验方程可以写成 H 1 0
HCT=0 或CHT=0
第二十四讲第六节线性分组码
可见二元集{0,1}对上述定义的加法及乘法运算封闭，并满足一个 “域”所要求的交换律、结合律、分配律等运算规则，因此{0,1}对所 规定的加法和乘法运算构成一个域，称为二元域，记作GF(2).
目前九页\总数四十五页\编于六点
注 用 G F ( 2 ) n 表 示 G F ( 2 ) 中 元 素 组 成 的 n 长 序 列 集 ， 其 加 法 和 乘 法 运 算 如 下 ：
目前七页\总数四十五页\编于六点
（n， k ）分组码
若校验位与信息位之间的关系是线性的，即上述编码 规则是线性的，称之为（n， k ）线性分组码！
目前八页\总数四十五页\编于六点
一、二元域——GF(2)
设{0,1}为一个二元集，在其上定义模2的加法和乘法运算 加法：
0 0 1 1 0 m o d 2 0 1 1 0 1 m o d 2 乘法： 0 0 0 1 1 0 0 111
它的一个生成矩阵
1 0 0 0 1 1
G
0
1
0
1
0
1
0 0 1 1 1 1
请写出它的校验矩阵H.
目前二十五页\总数四十五页\编于六点
0 1 1 1 0 0
H
1
0
1
0
1
0
1 1 1 0 0 1
1 0 0 0 1 1
G
0
1ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
0
1
0 0 1 1 1 1
目前二十六页\总数四十五页\编于六点
（优选）第二十四讲第六节线 性分组码
1
目前一页\总数四十五页\编于六点
引例
• 0后附加字符0，1后附加1；即只有00和11 被接受，且00视为0，11视为1；
目前九页\总数四十五页\编于六点
注 用 G F ( 2 ) n 表 示 G F ( 2 ) 中 元 素 组 成 的 n 长 序 列 集 ， 其 加 法 和 乘 法 运 算 如 下 ：
目前七页\总数四十五页\编于六点
（n， k ）分组码
若校验位与信息位之间的关系是线性的，即上述编码 规则是线性的，称之为（n， k ）线性分组码！
目前八页\总数四十五页\编于六点
一、二元域——GF(2)
设{0,1}为一个二元集，在其上定义模2的加法和乘法运算 加法：
0 0 1 1 0 m o d 2 0 1 1 0 1 m o d 2 乘法： 0 0 0 1 1 0 0 111
它的一个生成矩阵
1 0 0 0 1 1
G
0
1
0
1
0
1
0 0 1 1 1 1
请写出它的校验矩阵H.
目前二十五页\总数四十五页\编于六点
0 1 1 1 0 0
H
1
0
1
0
1
0
1 1 1 0 0 1
1 0 0 0 1 1
G
0
1ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
0
1
0 0 1 1 1 1
目前二十六页\总数四十五页\编于六点
（优选）第二十四讲第六节线 性分组码
1
目前一页\总数四十五页\编于六点
引例
• 0后附加字符0，1后附加1；即只有00和11 被接受，且00视为0，11视为1；
信息论与编码_第7章线性分组码
信息论与编码
Information and Coding Theory
第7章 线性分组码
王永容 机械与电气工程学院 wangyr416@
1
线性分组码
线性分组码概念 线性分组码的生成矩阵 线性分组码的校验矩阵 线性分组码的最小汉明重量 线性分组码的译码 完备码 汉明码
2
线性分组码概念 (n, k)线性分组码=“(n, k)分组”+“线性” 2元 (n, k)分组码 f : S=(F2)k C (F2)n m=(m2,…,mk)c=(c1c2,…,cn) C是(F2)n的一个k维线性子空间！
系统生成矩阵 1 0 0 1 1 1 Gs 0 1 0 1 1 0 I | P 0 0 1 0 1 1
校验矩阵 1 1 0 1 0 0 H P T | I 1 1 1 0 1 0 . 1 0 1 0 0 1
1 1 1 0 1 1 [000]. 0 0 1 0 0 1
17
线性分组码的校验矩阵
例7-2（续2）：求对偶码C
1 1 0 1 0 0 对偶码的生成矩阵=校验矩阵H 1 1 1 0 1 0 . 1 0 1 0 0 1
c mH , c1 m1 m2 m3 c m m 1 2 2 c3 m2 m3 c4 m1 c5 m2 c6 m3
f
F2n S=F2k
C
4
线性分组码
线性分组码概念 线性分组码的生成矩阵 线性分组码的校验矩阵 线性分组码的最小汉明重量 线性分组码的译码 完备码 汉明码
5
线性分组码的生成矩阵
生成矩阵 C是F2n的一个k维线性子空间，设{g1,g2,…, gk}是C的一个基
Information and Coding Theory
第7章 线性分组码
王永容 机械与电气工程学院 wangyr416@
1
线性分组码
线性分组码概念 线性分组码的生成矩阵 线性分组码的校验矩阵 线性分组码的最小汉明重量 线性分组码的译码 完备码 汉明码
2
线性分组码概念 (n, k)线性分组码=“(n, k)分组”+“线性” 2元 (n, k)分组码 f : S=(F2)k C (F2)n m=(m2,…,mk)c=(c1c2,…,cn) C是(F2)n的一个k维线性子空间！
系统生成矩阵 1 0 0 1 1 1 Gs 0 1 0 1 1 0 I | P 0 0 1 0 1 1
校验矩阵 1 1 0 1 0 0 H P T | I 1 1 1 0 1 0 . 1 0 1 0 0 1
1 1 1 0 1 1 [000]. 0 0 1 0 0 1
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线性分组码的校验矩阵
例7-2（续2）：求对偶码C
1 1 0 1 0 0 对偶码的生成矩阵=校验矩阵H 1 1 1 0 1 0 . 1 0 1 0 0 1
c mH , c1 m1 m2 m3 c m m 1 2 2 c3 m2 m3 c4 m1 c5 m2 c6 m3
f
F2n S=F2k
C
4
线性分组码
线性分组码概念 线性分组码的生成矩阵 线性分组码的校验矩阵 线性分组码的最小汉明重量 线性分组码的译码 完备码 汉明码
5
线性分组码的生成矩阵
生成矩阵 C是F2n的一个k维线性子空间，设{g1,g2,…, gk}是C的一个基
第七章线性分组码习题解答
第7章 线性分组码习题答案1. 已知一个(5, 3)线性码C 的生成矩阵为：11001G 011010111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）求系统生成矩阵；（2）列出C 的信息位与系统码字的映射关系；（3）求其最小Hamming 距离，并说明其检错、纠错能力； （4）求校验矩阵H ；（5）列出译码表，求收到r =11101时的译码步骤与译码结果。
解：（1）线性码C 的生成矩阵经如下行变换：23132110011001101101011010011100111100111001101101010100011100111⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦将第、加到第行将第加到第行得到线性码C 的系统生成矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111000*********S G （2）码字),,,(110−=n c c c c K 的编码函数为[][][]111000*********)(210m m m m f c ++==生成了的8个码字如下信息元系统码字000 00000 001 00111 010 01010 011 01101 100 10011 101 10100 110 11001 111 11110(3) 最小汉明距离d =2，所以可检1个错，但不能纠错。
(4) 由],[],,[)()(k n Tk n k k n k k n I A H A I G −−×−×−==，得校验矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1010101111H(5) 消息序列m =000,001,010,011,100,101,110,111，由c =mGs 得码字序列c 0=00000, c 1=00111,c 2=01010, c 3=01101, c 4=10011, c 5=10100,c 6=11001, c 7=11110则译码表如下：0000000111 010100110110011101001100111110 1000010111 110101110100011001000100101110 010******* 000100010111011111001000110110 0000100110 010110110010010101011100011111当接收到r =(11101)时，查找码表发现它所在的列的子集头为(01101)，所以将它译为c =01101。
纠错码Lecture5-线性分组码(II).
信道编码理
20
Lecture 5 线性分组码(II)
线性码的纠错能力
Plokin限和Hamming限都是必要条件，也就是说 任何线性或非线性码都是必需满足的，否则码就 构造不出。越接近这个限越有效，等于时码达到 最佳。 V－G限是充分条件，并限定于线性码，满足这一 条件必存在一个最小距离为d的[n,k]线性码。
信道编码理
7
Lecture 5 线性分组码(II)
增广(Augmented)码
基本原理
在原码基础上，增加一个信息元，删去一个校验元得 到 [n, k+1, da]码
基本实现方法
在原码生成矩阵G的基础上，再选择一个与G中各行都 不相关的n维向量，得到新矩阵Ga，该矩阵有n列，k+1 行，即得到一个[n, k+1, da]码 若原码中没有全1码，可在其G矩阵上增加一组全为1的 行，得到增广码的生成矩阵为：
信道编码理
11
Lecture 5 线性分组码(II)
RM码
Hadamard变换
1 1 H2 0 1
1 0 H4 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1
H2m H2
m
1 0 0 0 H8 0 0 0 0
增余删信(Expurgated)码
基本原理
在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。和 增广码构造过程相反
基本实现方法
删掉原码生成矩阵G中的一行，得到新矩阵Ge，该矩阵 有n列，k-1行，即得到一个[n, k-1, de]码 若[n, k, d]码的最小汉明距离d为奇数，则挑选所有偶数 重量的码字，即可构成[n, k-1, d+1]增余删信码 [Recall: 任何[n, k, d]线性分组码，码字的重量或全部为 偶数，或者奇数重量的码字数等于偶数重量的码字数]
线性分组码的基本性质
当仅出现一位误码时，有如下关系
S0 e0 e1 e3 e4 S1 e0 e1 e2 e5 S2 e0 e2 e3 e6
若没有误码： e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 0 应使得
S0 S1 S2 0
表示为矩阵形式
c0
c1 ... cn 1 a0 a0
a1
m0, 0 m1,0 ... ak 1 ... m k 1, 0
m0,1 m1,1 ... mk 1,1
m0,n 1 m1,n 1 ... ... ... mk 1,n 1 ... ...
d min 2t 1
wi
t dmin 1 wj wj
t
禁禁禁禁 禁禁禁禁
性质3 若要线性分组码能够检出任一码字中的 e 位误码，同 时能够纠正其中 t ( e t )位的误码， 则应满足
wi t dmin e 1 wj wj
禁禁禁禁 禁禁禁禁
t
dmin e t 1
线性分组码的生成矩阵与监督矩阵 差错控制编码一般可表示为
则接收码字 R 中一定出现了错误；
若
如果错误图样是一个许用码字，在错误不能被检测出； 如何错误图样不是一个许用图样，则可检测出该错误。
示例：构建一个可纠正一位误码、具有系统码结构的（7，4） 线性分组码。
解：该码的码字长度n＝7，信息位k＝4，监督位有n－k＝3位
伴随式共有 2nk 23 8 刚好可对于无误码，不同位置的7种1比特误码共8种状态 设建立伴随式与误码的对应关系
主要性质 （1）生成矩阵G中的每一行都是一个许用码字；
因为
c0 a0
6.2 线性分组码
– 当 S＝0 时，则接收到的 Y 为一码字，即满足检验方程 式。 – 若 S≠0 ，则说明 Y 不是码字，码字在传输过程中产生了 错误。
13
线性分组码的性质
• 线性分组码中任意两个码字的模 2 加仍为一个码字，这个 性质称为码的封闭性。 封闭性 • 零矢量必须是任一线性分组码中的一个码字，称为零码字。 零码字 • 生成矩阵中各行都是一个码字，且生成矩阵的各行是线性无 关的（任意两行相加不为零）。任意码字 C 是生成矩阵中 各行的某一线性组合。 • 校验矩阵的各行应该是线性无关的，否则将得不到 r 个线性 无关的监督关系式，从而得不到 r 个独立的监督位 。
由于gip是系统码的生成矩阵则有?则得一致校验矩阵为??????????1001110g01001110011101101111011101111101101011??????????????????????tpqp和1011000111010011000100110001????????????hqi例题16由生成矩阵生成码字由生成矩阵生成的73码的所有码字为100111001001110011101??????????gmc00000000000010011101010010010101101110101001001110101101001111011010011111110100线性分组码17?1校验矩阵与生成矩阵?2线性分组码的纠检错能力?3校验矩阵与最小距离的关系?4线性分组码的伴随式?5线性分组码的译码?6汉明码线性分组码的检纠错能力18?信道编码后的码字在信道传输过程中由于干扰的存在使得一些码元发生错误产生错误码字
16
线性分组码
• • • • • • 1 2 3 4 5 6 校验矩阵与生成矩阵 线性分组码的纠、检错能力 校验矩阵与最小距离的关系 线性分组码的伴随式 线性分组码的译码 汉明码
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线性分组码的性质
• 线性分组码中任意两个码字的模 2 加仍为一个码字，这个 性质称为码的封闭性。 封闭性 • 零矢量必须是任一线性分组码中的一个码字，称为零码字。 零码字 • 生成矩阵中各行都是一个码字，且生成矩阵的各行是线性无 关的（任意两行相加不为零）。任意码字 C 是生成矩阵中 各行的某一线性组合。 • 校验矩阵的各行应该是线性无关的，否则将得不到 r 个线性 无关的监督关系式，从而得不到 r 个独立的监督位 。
由于gip是系统码的生成矩阵则有?则得一致校验矩阵为??????????1001110g01001110011101101111011101111101101011??????????????????????tpqp和1011000111010011000100110001????????????hqi例题16由生成矩阵生成码字由生成矩阵生成的73码的所有码字为100111001001110011101??????????gmc00000000000010011101010010010101101110101001001110101101001111011010011111110100线性分组码17?1校验矩阵与生成矩阵?2线性分组码的纠检错能力?3校验矩阵与最小距离的关系?4线性分组码的伴随式?5线性分组码的译码?6汉明码线性分组码的检纠错能力18?信道编码后的码字在信道传输过程中由于干扰的存在使得一些码元发生错误产生错误码字
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线性分组码
• • • • • • 1 2 3 4 5 6 校验矩阵与生成矩阵 线性分组码的纠、检错能力 校验矩阵与最小距离的关系 线性分组码的伴随式 线性分组码的译码 汉明码
线性分组码
C mG
G是一个k*n阶矩阵，称为(n,k)码的生成矩阵。
7
1 0 G 0
0 0 1 0 0 1
p11 p 21 p k1
p12 p 22 pk 2
p1( n k ) p 2( nk ) I P k pk ( nk )
n 1
u和v之间的距离表示2个码字对应位不同的数目。
如(7,3)码的两个码字：u=0011101
v=0100111
它们之间的距离d=4
4
码的最小距离的dmin ：在（n,k）线性码字集合中， 任意两个码字间的距离最小值，是衡量抗干扰能力的 重要参数，dmin越大，抗干扰能力越强。 码字的重量W：码字中非零码元符号的个数；在二元 线性码中，码字的重量是码字中含“1”的个数。 码的最小重量Wmin：线性分组码中，非零码字重量的 最小值，称为码的最小重量，表示为：
限， 性能界限，即码的译码错误概率的上、下 限。 对码距限而言，最重要的限是汉明限，普 洛特金限和吉尔伯特－瓦尔沙莫夫限，汉 明码和普洛特金限告诉我们，在给定码长n 和码的传输速率R=k/n下，最小距离可以达 到的最大值，故它们都是上限，而吉尔伯 特一瓦尔沙莫夫限给出了码的最小距离的 下限。
HC 0
T
T
r=n-k
H
阵是n列，(n-k)行的矩阵；
为了得到确定的码，r个监督方程必须是线性
无关的，即要求H阵的秩为r。
6
2. 生成矩阵G
把方程组写成矩阵的形式为
h11 h 21 h r1
h12 h1k h 22 h 2k h r2 h rk
m 信道编码
C
线性分组码(1)
定理4：[n,k]分组码的最小距离d满足 d min w(c)
c1
c[n,k ]
d(c1,c2)=w(c1+c2)=w(c3)
d(c1,c2)
d(c1,c3)
定理5：GF(2)上的[n,k,d]分组码中任何码字c1,c2满足:
c2
w(c1+c2) = w(c1)+w(c2)- 2(c1•c2)
• 内积
+
r=c+e
e
h1,n-1 h1,n-2 … h1,0
H=
h2,n-1 h2,n-2 … h2,0
..........
= (hn-1, hn-2, … , h1,h0 )
hn-k,n-1hn-k,n-2 … hn-k,0
设e = (en-1, en-2, … , e1, e0 ) = (0, …, ei1, … , ei2, … , eit , … ,0 )
1111000 H= 1 1 0 0 1 1 0
1010101
b. 系统码 1110100
H= 1 1 0 1 0 1 0 1011001
五、线性分组码的译码6
3. 线性分组码的最小距离与H的关系
e1s1=e1 HT e2s2=e2 HT 若e1e2，希望s1s2 .即保证e与s有一一对应关系。 设e1= (0…ei1….ei2…eit…)
秩是多少？
基不同，G不同，但 生成的空间是一样的， 不同的G的意义是什 么？
G称为[n,k]码的生成矩阵。 G的标准形式[IkP], 称为典型生成矩阵。
三、G与H的关系
G的行矢量是码字， HgiT=0T, 有HGT= 0T, H与G所张成的空间互为零空间。
CH: H校验，G生成。 CG: G校验，H生成。
线性分组码
x1 + x 2 + x 4 = 0 x1 + x 3 + x 5 = 0 x + x + x = 0 3 6 2
1 1 0 1 0 0 令 H= 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1
6
则 校 验 方 程 （2） 可 写 为
H (x ) 0 或 x H
码字
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x6
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
x1 x 2 x3 x4 x 5 x6
3
译码规则
给 定 信 道 X ， Q ( y x ), Y , 设 有 函 数 F : Y X ， 对 每 一 个 输 出 符 号 y Y都 有 唯 一 确 定 的 输 入 符 号 x X与 之 对 应 ， 则 称 这 样 的 函 数 为 译 码 规则，记为
F ( y ) x, y Y , x X 显然对于同一信道，译码规则不是唯一的。
u1 u2 u3 u1 u 2 u1 u 3 u2 u3
(1) 中 构 造 的 码 字 中 x1 x 2 x 3 称 为 信 息 元 ， x 4 x 5 x 6 称 为 校 验 元 。
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校验元由方程组
x4 = x1 + x 2 x5 = x1 + x 3 x = x + x 2 3 6
k n
G F (2 ) G F ( 2 )
k
n
它 的 一 个 线 性 变 换 ， 可 用 G F(2) 上 的 k n阶 矩 阵 表 示
线性分组码
• 伴随式是校验矩阵列向量的线性表示。以 下列校验矩阵为例，考察不同错误模式下 的伴随式结构。
• 因此，列向量的线性无关性，与纠错能力 密切相关。：任意d-1个列向量线性无关。
1 0 1 1 0 0 0 H 1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
n-k+1，即d<=n-k+1。
伴随式的计算电路
• 根据校验矩阵H，得到校正子S各元素的数学 表达式，进而给出对应的电路。
• 软件实现方式， sT=HRT为算法。
1 0 1 1 0 0 0 H 1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
C3 =C6 C4 C2 =C6 C5 C4 C1=C6 C5 C0 =C5 C4
C6
1
1
1 0
0 1 1 1
1 1 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0
0
0 1
C5 CC43 C2 C1
• 汉明码定义：最小码距d=3的（n=2m-1，k=2m-m-1）线性 分组码的统称。
两种特殊的H矩阵
• 系统的H矩阵：将重量为1的n-k个列向量排 列成单位阵形式，其他列向量任意放置。 构成系统汉明码的H矩阵。
• 按列向量的二进制数从小到大排列，得到 特殊的非系统汉明码。当发生单个错误的 时候，伴随式的二进制数的大小，就是接 收码字发生错误的位置。因此，译码非常 简单。这种汉明码是最常用的。
• （n,k）的线性分组码，H矩阵列向量中没有0向量，且任 意两列互不相等，即可构成最小码距为3的分组码。H矩阵 为n-k行n列的矩阵，列向量一共有2n-k-1个，即n= 2n-k-1， 满足这种关系，最小码距为3的（n,k）线性分组码称为汉 明码。
线性分组码
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2、某（n,k）系统线性分组码的全部码字如下： 、 ）系统线性分组码的全部码字如下： 00000 01011 10110 11101 求： （1）n = ? , k = ? ） 和监督矩阵H。 （2）码的生成矩阵 和监督矩阵 。 ）码的生成矩阵G和监督矩阵
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系数矩阵 H 的后四列组成一个 (4×4) 阶单位子阵，用 I4 表示，H 的其余部分用 P 表示
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6.3.2 线性分组码的监督方程和监督矩阵
推广到一般情况：对 (n,k) 线性分组码，每个码字中的 r(r=n－k) 个监督元与信息元之间的关系可由下面的线性 方程组确定
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010 011 100 101 110 111
6.3.2 线性分组码的监督方程和监督矩阵
(3) 监督矩阵
为了运算方便，将式 (5.1)监督方程写成 矩阵形式，得 式(5.2)可写成 H CT=0T或 C HT=0 CT、HT、0T分别表 示C、H、0的转置 矩阵。
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6.3.2 线性分组码的监督方程和监督矩阵
6. 3 一、名词解释
线性分组码
线性分组码：通过预定的线性运算将长为 k 位的信息码组变换 成 n 长的码字 ( n>k )。由 2k 个信息码组所编成的 2k个码字集 合，称为线性分组码。 码矢：一个 n 长的码字可以用矢量来表示 码矢
C = (Cn－1,Cn－2,…,C1,C0 ) 1 2
所以码字又称为码矢。 ( n, k ) 线性码 线性码：信息位长为 k，码长为 n 的线性码。 编码效率/编码速率/码率：R=k /n。它说明了信道的利用效率， 编码效率 R是衡量码性能的一个重要参数。 是衡量码性能的一个重要参数
6.2 线性分组码
⎡
⎢
H
=
⎢ ⎢
h0
h1 #
⎤⎡
⎥⎢
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
h0,0
h1,0 #
⎢⎣h
n−
k
−1
⎥ ⎦
⎢⎣hn−k −1,0
h0,1 h1,1 #
hn−k −1,1
" h0,n−1 ⎤
#
h1,n−1
⎥ ⎥
" #⎥
"
hn−k
−1,n
−1
⎥ ⎦
一致校验矩阵
由对偶空间的定义知，有对任意的 c∈C
cHT = 0
即H可以检验一个n重是否为码字，称H为码C的 一致校验矩阵。
例题
设二元（5,3）码，其生成矩阵为
⎡1 0 0 1 1⎤ G = ⎢⎢1 1 0 0 0⎥⎥
⎢⎣1 1 1 1 1⎥⎦
将其化为标准形式？
一致校验矩阵
与任何一个(n,k)码的码空间C相对应，一定存在一个 对偶空间D，它的每个矢量都与C中的每个矢量正交， 其维数为n-k。 事实上，若找出生成空间D的基底（n-k个）用这n-k个 矢量同样可以生成包含 2n个−k码字的(n,n-k)线性分组 码，我们称其(n,k)码的对偶码，生成矩阵为
pw(c) 1− p n−w(c)
w(e)≠0
w(c)≠0
e∈C
c∈C
• 令一个(n,k)线性分组码，Ai为码组中重量为i的码字的个 数，码字集合（码组）的重量分布为A0,A1,…An。这时码 字在转移概率为pe的BSC信道上的漏检概率为：
n
∑ Pud = Ai pei (1− pe )n−i i =1
• 例如：(7,4)汉明码的重量分布为：
第六章 纠错编码 4 --线性分组码
编码中最重要的是要研究信息与码字的一一对应 映射关系，即(mk 1mk 2 ,
线性映射 m1m0 ) (cn 1cn 2 ,
c1c0 )
线性分组码生成矩阵
对线性分组码：码集C中任意一个码字C的第j个码元 c j 都是信息元mk 1 , mk 2 , 其中 gij {0,1}, 写成矩阵形式： gk 1 C cn-1cn 2 c1c0 m G mk 1mk 2 m1m0 g0 式中G称为该码的生成矩阵，它是k行n列的矩阵 m1 , m0的线性组合，规则如下： m1 g1 j m0 g 0 j c j mk 1 g ( k 1) j mk 2 g ( k 2) j
Vi 这组矢量中的任何一个
都不能由其他矢量的线性组合生成。
矢量空间相关定义和解释
矢量空间的基底：如果存在一组线性无关的矢量 V1 , V2 , Vk，这些矢量的线性组合的集合可以构成一个
矢量空间，则称这组矢量为这个矢量空间的基底。n维
矢量空间应包含n个基底，即n个基底张成了n维矢量空间。 子空间：若矢量空间V的一个元素子集Vs也能构成一个 矢量空间，则称Vs 为V的子空间。 矢量正交：若两个矢量的点积为零，即 Vi V j 0， 则称Vi 和V j正交。
个数，重数指构成矢量的有序元素的个数，两者不同。 矢量空间与其子空间一定具有相同的重数，不同的维 数。维数 重数，当维数 重数，表明是子空间。
码字与矢量、矢量空间
码字Ci 是n个码元的有序排列，是n维n重矢量空间Vn 的元素之一，但是矢量空间Vn的元素不一定是码字。 例如：k 位二进制信息有2k 种组合，如果将一个信息 组合对应成一个码字，那么总共有2k 个码字；而n重码 矢所在的n维n重矢量空间Vn应包含2n 种n重矢量，显然 还存在着 2n - 2k 种n重矢量不是码字。
7.3节线性分组码
2r 1 n 或 2r k r 1
当“=”成立时，构造的线性分组码 称为汉明码 —能纠1位错码
(n, k) (2r 1, 2r 1 r)
高效线性分组码
信息元和校验(parity check)元是平等的。此外，后者不应称为监督元。
南京邮电大学 通信与信息学院
课件制作：朱 5彤
例 (7, 4)汉明码
偶校验关系是经典使用的。它的一个特 点是：全0信息码必对应全0校验码。
编码时，用ai替代bi。校验位a2 、 a1、 a0的取值应使上3式中s1、 s2和s3为0 （无错码），即
课件制作：朱 7彤
a6 a5 a4 a2 0 a6 a5 a3 a1 0 a6 a4 a3 a0 0
南京邮电大学 通信与信息学院
课件制作：朱 彤
差错控制
南京邮电大学 通信与信息学院
课件制作：朱 彤
§3
线性分组码
南京邮电大学 通信与信息学院
课件制作：朱 彤
基本概念
线性码：按照一组线性方程构成的代数码。 即每个码字的校验码元是信息码元的线性组合。
代数码：建立在代数学基础上的编码。 分组码：每一码组的校验码元仅与本组中的信息码元有关。 线性分组码：按照一组线性方程构成的分组码。
[例2解]依次取从0000到1111信息码与G相乘，实际上就是把G中一行或 几行按位相加凑成前4位是所需信息码，则整个码组就是所需编码。例如， 第2行与第4行相加得0101101。所有码组见前述汉明码码字表(p.8)
[例3解] n=4，对于奇偶校验码来说，校验位r=1。H矩阵为14阵。由于 校验和式是把所有位都模2加，因此，H=[1 1 1 1]。 H中，P=[1 1 1](前3 位)，单位矩阵为[1]。因此， G为34阵，G=[I3 PT]100 1
线性分组码的例子
定义向量运算 “·”，a·b=(a1·b1,a2·b2,…,an·bn)，简记为
ab 集合Grm(r,m)={v0,v1,…,vm,v1v2,v1v3,…,vm-1vm ,…,
vm-r+1…vm}共有k(r,m)个元素，是(2m,k)RM码的生成向 量，即可张成整个码空间的基。将每个元素看成矩阵 的一行，就得到生成矩阵。 集合Grm(r-1,m)是Grm(r,m)的真子集，是r-1阶RM码的 生成矩阵。
这 个码的交织构成了一个(
)交织码，记为
观察上述11个生成向量，注意到除了v1v2，其他生成向量每连续4个分量一组求和都是0，可推出：
当且仅当上述矩阵的每一行的错误模式都是可 维数(信息序列的长度)：
观察上述11个生成向量，注意到除了v1v2，其他生成向量每连续4个分量一组求和都是0，可推出：
纠正错误模式时，错误可纠正 若w(sP)=2 or 3,则令e=(0,sP)并转步骤8
量首构成了标准阵的所有陪集首
(23,12)格雷码通过增加一个总的奇偶校验位，构成(24,12)码，最小距离为8，但非完备码
m-r-1阶RM码(m-r-1,m)的对偶码是r阶RM码(r,m)
可将所有重量为t=1的n=2 -1个向量作为陪集 交织码简单说就是按列的方式传输码字
aij被正确译码后，考虑
m
格雷码的译码
设错误模式为e=(x,y)，校正子s=eHT=(x,y) HT =(x,y)[I P]T=x+yPT=x+yP，可得到y=(x+s)P
对任何可纠正错误模式e，满足w(e)<4，有四种可能: (1)w(y)=0,w(x)<=3, (2)w(y)=1,w(x)<=2,
(3)w(y)=2,w(x)<=1, (4)w(y)=3,w(x)<=0，令ej分别表示 这四种可能的错误模式，ej=(x,y)，其中w(y)=j，
ab 集合Grm(r,m)={v0,v1,…,vm,v1v2,v1v3,…,vm-1vm ,…,
vm-r+1…vm}共有k(r,m)个元素，是(2m,k)RM码的生成向 量，即可张成整个码空间的基。将每个元素看成矩阵 的一行，就得到生成矩阵。 集合Grm(r-1,m)是Grm(r,m)的真子集，是r-1阶RM码的 生成矩阵。
这 个码的交织构成了一个(
)交织码，记为
观察上述11个生成向量，注意到除了v1v2，其他生成向量每连续4个分量一组求和都是0，可推出：
当且仅当上述矩阵的每一行的错误模式都是可 维数(信息序列的长度)：
观察上述11个生成向量，注意到除了v1v2，其他生成向量每连续4个分量一组求和都是0，可推出：
纠正错误模式时，错误可纠正 若w(sP)=2 or 3,则令e=(0,sP)并转步骤8
量首构成了标准阵的所有陪集首
(23,12)格雷码通过增加一个总的奇偶校验位，构成(24,12)码，最小距离为8，但非完备码
m-r-1阶RM码(m-r-1,m)的对偶码是r阶RM码(r,m)
可将所有重量为t=1的n=2 -1个向量作为陪集 交织码简单说就是按列的方式传输码字
aij被正确译码后，考虑
m
格雷码的译码
设错误模式为e=(x,y)，校正子s=eHT=(x,y) HT =(x,y)[I P]T=x+yPT=x+yP，可得到y=(x+s)P
对任何可纠正错误模式e，满足w(e)<4，有四种可能: (1)w(y)=0,w(x)<=3, (2)w(y)=1,w(x)<=2,
(3)w(y)=2,w(x)<=1, (4)w(y)=3,w(x)<=0，令ej分别表示 这四种可能的错误模式，ej=(x,y)，其中w(y)=j，
线性分组码(9,4)
＊**＊*＊*＊**＊＊＊*＊**＊＊实践教学*＊**＊＊＊*＊*＊*****＊*＊兰州理工大学计算机与通信学院计算机通信课程设计题目:线性分组码(9,4）码的编译码仿真设计专业班级:姓名：学号：指导教师：成绩：目录前言 (1)第一章线性分组码原理 (2)1.1差错控制概述 (2)1。
2差错控制原理 (2)1.3线性分组码概念 (3)1.4线性分组码的基本原理 (3)第二章线性分组码的编码 (4)2。
1生成矩阵 (4)2.2校验矩阵 (6)第三章线性分组码的译码 (7)3.1纠错码的介绍 (7)3.2纠错的原理 (7)3。
3线性分组码译码原理 (8)第四章推导过程 (9)4。
1编码过程 (9)4。
2译码过程 (9)第五章仿真结果分析 (12)5.1编码程序流程图 (12)5。
2译码程序流程图 (13)5。
3运行结果分析 (13)设计总结.............................................................................................................. 错误!未定义书签。
致谢. (16)参考文献 (18)附录 (19)前言计算机通信是一种以数据通信形式出现，在计算机与计算机之间，计算机与终端设备之间进行信息传递的方式。
它是现代计算机技术与通信技术相结合的产物,在军队指挥自动化系统、武器控制系统、信息处理系统、决策分析系统、情报检索系统以及办公自动化系统等领域得到了广泛应用。
按通信覆盖地域的广度，计算机通信通常分为局域网、城域网、广域网三类.在通常情况下,计算机通信都是由多台计算机通过通信线路连接成计算机通信网进行的，这样可共享网络资源，充分发挥计算机系统的效能。
近年来,随着计算机、卫星通信及高速数据网的飞速发展,数据的交换、数据的交换理和存储技术得到了广泛的应用，人们对数据传输和存储系统的可靠性提出了越来越高的要求.因此,如何控制差错、提高数据传输和存储的可靠性，成为现代数字通信系统设计的重要课题。
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汉明码的标准阵
可将所有重量为t=1的n=2m-1个向量作为陪集 首，共2m-1个，又因为n-k=m，即该码有2m个 陪集，因此0向量和所有重量为1的m维向量首 构成了标准阵的所有陪集首 故汉明码只能纠正t=1个错误，可用查表译码 完备码：若标准阵的陪集首全都是重量小于等 于t的向量（错误模式），即可纠正错误模式 的重量都小于等于t。 汉明码和(23,12)格雷码是完备码，完备码很少
汉明码的改造
删除H的若干列，如重量为偶数的列，得到新的H， 其最小距离为4，称为“缩短的汉明码” 缩短汉明码保证校验位数目不变，减少了信息位的数 目，降低了码率 纠错能力没变，陪集首依然没变，全是重量为1的错 1 误模式，检错能力？ 译码：看校正子的情况：0，重量为奇数（可纠正1个 错，查表），重量为偶数（不可纠正错误） 漏检率很低，符合漏检率的理论上界，故是好的差错 检测码
Reed-Muller，RM码
r阶RM(r,m)码，纠正多个错误，Muller提出， Reed译码
码长： n=2m 维数(信息序列的长度)： 最小距离： dmin=2m-r
若令m=5，r=2，那么n=32，k(2,5)=16,dmin=8， 即存在一个(32,16)RM码
RM码的构造
设v0是全1向量， 1<=i<=m，由此定义了v0,v1,…,vm 定义向量运算 “”，ab=(a1b1,a2b2,…,anbn)，简记为 ab 集合Grm(r,m)={v0,v1,…,vm,v1v2,v1v3,…,vm-1vm ,…, vm-r+1…vm}共有k(r,m)个元素，是(2m,k)RM码的生成向 量，即可张成整个码空间的基。将每个元素看成矩阵 的一行，就得到生成矩阵。 集合Grm(r-1,m)是Grm(r,m)的真子集，是r-1阶RM码的 生成矩阵。
若e=e0，则有s=x，w(s)=w(x)<=3,e=(x,y)=(s,0) 若e=e1,令y=ui,则有s=x+pi,即x=s+pi,e=(x,y)=(s+pi,ui) 若e=e2或e3,w(x)=0,则有e=(x,y)=(0,sP) 若e=e2且w(x)=1,令x=ui,则y=(x+s)P=(ui+s)P=pi+sP,故 e=(x,y)=(ui,pi+sP)
线性分组码的例子
2009年秋
内容提要
汉明码 RM码 格雷码 交织码
汉明码
对任意整数m>2，存在满足如下条件的汉明码
码长n=2m-1 信息符号数k=2m-m-1 校验符号数n-k=m 纠错能力t=1（dmin=3）
该码的奇偶校验阵H由所有非零的m维列向量构成， 前m列可写成单位阵。 H的任何两列都不同，且非零，故任意两列相加不为0， 故最小距离至少为3；而任意两列之和必定为H的某个 列向量，因为H包括所有非零m维列向量，故有三个 列向量之和为0，所以最小距离为3
充分利用了码和错误模式的结构特 点设计算法
乘积码
乘积码是短的分量码构造高效长码的一种技术 设有两个线性码C1(n1,k1)和C2(n2,k2)，可构造一 个(n1n2,k1k2)的线性码，其码字是一个n1n2的矩 阵，此矩阵的每一行是C1的码字，每一列是C2 的码字，这是一个二维码，是C1和C2的直积 如右图所示乘积码 的码矩阵
RM码
Grm(r,m)中所有向量都是偶数重量 m-r-1阶RM码(m-r-1,m)的对偶码是r阶RM码 (r,m) 零阶RM码RM(0,m)是重复码 而(m-1)阶RM码是单奇偶校验码，k=2m-1
RM码的译码，例子说明
向量每连续4个分量一组求和都是0，可推出：
4个彼此独立的方程求a12的值，可用 此码是最小距离为4的(16,11)线性码，假设信息序列： 于校验，若接受序列中只有一个错误， 则4个值中只错一个，采用大多数原 则可纠错，这就是大数逻辑判决准则 译码 观察上述11个生成向量，注意到除了v1v2，其他生成
乘积码
构造过程：
对待编码的k1k2信息序列 置于右边矩阵的右上角 信息位的每一行采用C1中的码字进行编码,得到行校 验位，即得到k2xn1矩阵 对每一列采用C2中的码字进行编码，得到列1d2 乘积码的码率较低
交织码
给定一个线性码C (n,k)，可以构造一个( ) 线性码 ，交织码,interleaved code 交织方法：取C的 个码字排成 行的矩阵形式， 然后按照逐列的方式传输该矩阵， 称为交织 深度或交织度，交织码和码C具有相同的dmin 交织码简单说就是按列的方式传输码字 当且仅当上述矩阵的每一行的错误模式都是可 纠正错误模式时，错误可纠正
(24,12)格雷码的译码
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8.
计算接受序列r的校正子s 若w(s)<=3，则令e=(s,0)，跳到步骤8 若某个pi，有w(s+pi)<=2，令e=(s+pi,ui)，跳到步骤8 计算sP 若w(sP)=2 or 3,则令e=(0,sP)并转步骤8 若某个pi,w(sP+pi)=2，则令e=(ui,sP+pi),跳到步骤8 若校正子s与可纠错模式e不相同，则停止译码或要 求重传，译码错误 令译出的码字v’=r+e
检测两个错，纠正一个错的码 SECDED
首先构造码长n=2m-1，最小距离为3的汉明码 从此汉明码的H阵中删除一些列，得到H0满足：
每列有奇数个1 1的个数尽可能小 每一行中1的个数都应该相等或极可能接近均值 第一个条件保证最小距离至少为4，二、三个条件为 了实现简单
Hsiao提出了一种构造H0的算法并找到了一些最优的SECDED码
格雷码的译码
设错误模式为e=(x,y)，校正子s=eHT=(x,y) HT =(x,y)[I P]T=x+yPT=x+yP，可得到y=(x+s)P 对任何可纠正错误模式e，满足w(e)<4，有四种可能: (1)w(y)=0,w(x)<=3, (2)w(y)=1,w(x)<=2, (3)w(y)=2,w(x)<=1, (4)w(y)=3,w(x)<=0，令ej分别表示 这四种可能的错误模式，ej=(x,y)，其中w(y)=j， 0<=j<4,令ui表示仅第i个分量为1的12维向量，pi=uiP表 示P的第i行
RM码的译码
aij被正确译码后，考虑
传输没出错，则有
利用基向量的特点，发现两个连续分量的和的关系， 构建ai的独立判定方程，再用大数逻辑判决译码 类似上面步骤，最后译码a0，共三步（r+1步）
(24,12)格雷码
汉明码外唯一一个非平凡二进制完备码(23,12) 格雷码，最小距离7 (23,12)格雷码通过增加一个总的奇偶校验位， 构成(24,12)码，最小距离为8，但非完备码 设其生成矩阵G=[P I12],P 如右，且满足： P沿对角线对称，且PP=I H=[I12,P]，自偶码
分组交织码
设有个 线性分组码Ci(n,ki),从这些码中，各取 一个码字做行，构成一矩阵 按列传输矩阵
这 个码的交织构成了一个( 织码，记为 用于纠正聚集突发错误
)交