线性分组码的例子

分组交织码
设有个 线性分组码Ci(n,ki),从这些码中，各取 一个码字做行，构成一矩阵 按列传输矩阵
这 个码的交织构成了一个( 织码，记为 用于纠正聚集突发错误
)交
Reed-Muller，RM码
r阶RM(r,m)码，纠正多个错误，Muller提出， Reed译码
码长： n=2m 维数(信息序列的长度)： 最小距离： dmin=2m-r
若令m=5，r=2，那么n=32，k(2,5)=16,dmin=8， 即存在一个(32,16)RM码
RM码的构造
设v0是全1向量， 1<=i<=m，由此定义了v0,v1,…,vm 定义向量运算 “”，ab=(a1b1,a2b2,…,anbn)，简记为 ab 集合Grm(r,m)={v0,v1,…,vm,v1v2,v1v3,…,vm-1vm ,…, vm-r+1…vm}共有k(r,m)个元素，是(2m,k)RM码的生成向 量，即可张成整个码空间的基。将每个元素看成矩阵 的一行，就得到生成矩阵。 集合Grm(r-1,m)是Grm(r,m)的真子集，是r-1阶RM码的 生成矩阵。
检测两个错，纠正一个错的码 SECDED
首先构造码长n=2m-1，最小距离为3的汉明码 从此汉明码的H阵中删除一些列，得到H0满足：
每列有奇数个1 1的个数尽可能小 每一行中1的个数都应该相等或极可能接近均值 第一个条件保证最小距离至少为4，二、三个条件为 了实现简单
Hsiao提出了一种构造H0的算法并找到了一些最优的SECDED码
格雷码的译码
设错误模式为e=(x,y)，校正子s=eHT=(x,y) HT =(x,y)[I P]T=x+yPT=x+yP，可得到y=(x+s)P 对任何可纠正错误模式e，满足w(e)<4，有四种可能: (1)w(y)=0,w(x)<=3, (2)w(y)=1,w(x)<=2, (3)w(y)=2,w(x)<=1, (4)w(y)=3,w(x)<=0，令ej分别表示 这四种可能的错误模式，ej=(x,y)，其中w(y)=j， 0<=j<4,令ui表示仅第i个分量为1的12维向量，pi=uiP表 示P的第i行
乘积码
构造过程：
对待编码的k1k2信息序列 置于右边矩阵的右上角 信息位的每一行采用C1中的码字进行编码,得到行校 验位，即得到k2xn1矩阵 对每一列采用C2中的码字进行编码，得到列校验位 和校验位的校验位
乘积码的最小距离dmin=d1d2 乘积码的码率较低
交织码
给定一个线性码C (n,k)，可以构造一个( ) 线性码 ，交织码,interleaved code 交织方法：取C的 个码字排成 行的矩阵形式， 然后按照逐列的方式传输该矩阵， 称为交织 深度或交织度，交织码和码C具有相同的dmin 交织码简单说就是按列的方式传输码字 当且仅当上述矩阵的每一行的错误模式都是可 纠正错误模式时，错误可纠正
RM码
Grm(r,m)中所有向量都是偶数重量 m-r-1阶RM码(m-r-1,m)的对偶码是r阶RM码 (r,m) 零阶RM码RM(0,m)是重复码 而(m-1)阶RM码是单奇偶校验码，k=2m-1
RM码的译码，例子说明
向量每连续4个分量一组求和都是0，可推出：
4个彼此独立的方程求a12的值，可用 此码是最小距离为4的(16,11)线性码，假设信息序列： 于校验，若接受序列中只有一个错误， 则4个值中只错一个，采用大多数原 则可纠错，这就是大数逻辑判决准则 译码 观察上述11个生成向量，注意到除了v1v2，其他生成
(24,12)格雷码的译码
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8.
计算接受序列r的校正子s 若w(s)<=3，则令e=(s,0)，跳到步骤8 若某个pi，有w(s+pi)<=2，令e=(s+pi,ui)，跳到步骤8 计算sP 若w(sP)=2 or 3,则令e=(0,sP)并转步骤8 若某个pi,w(sP+pi)=2，则令e=(ui,sP+pi),跳到步骤8 若校正子s与可纠错模式e不相同，则停止译码或要 求重传，译码错误 令译出的码字v’=r+e
若e=e0，则有s=x，w(s)=w(x)<=3,e=(x,y)=(s,0) 若e=e1,令y=ui,则有s=x+pi,即x=s+pi,e=(x,y)=(s+pi,ui) 若e=e2或e3,w(x)=0,则有e=(x,y)=(0,sP) 若e=e2且w(x)=1,令x=ui,则y=(x+s)P=(ui+s)P=pi+sP,故 e=(x,y)=(ui,pi+sP)
RM码的译码
aij被正确译码后，考虑
传输没出错，则有
利用基向量的特点，发现两个连续分量的和的关系， 构建ai的独立判定方程，再用大数逻辑判决译码 类似上面步骤，最后译码a0，共三步（r+1步）
(24,12)格雷码
汉明码外唯一一个非平凡二进制完备码(23,12) 格雷码，最小距离7 (23,12)格雷码通过增加一个总的奇偶校验位， 构成(24,12)码，最小距离为8，但非完备码 设其生成矩阵G=[P I12],P 如右，且满足： P沿对角线对称，且PP=I H=[I12,P]，自偶码
汉明码的改造
删除H的若干列，如重量为偶数的列，得到新的H， 其最小距离为4，称为“缩短的汉明码” 缩短汉明码保证校验位数目不变，减少了信息位的数 目，降低了码率 纠错能力没变，陪集首依然没变，全是重量为1的错 1 误模式，检错能力？ 译码：看校正子的情况：0，重量为奇数（可纠正1个 错，查表），重量为偶数（不可纠正错误） 漏检率很低，符合漏检率的理论上界，故是好的差错 检测码
汉明码的标准阵
可将所有重量为t=1的n=2m-1个向量作为陪集 首，共2m-1个，又因为n-k=m，即该码有2m个 陪集，因此0向量和所有重量为1的m维向量首 构成了标准阵的所有陪集首 故汉明码只能纠正t=1个错误，可用查表译码 完备码：若标准阵的陪集首全都是重量小于等 于t的向量（错误模式），即可纠正错误模式 的重量都小于等于t。 汉明码和(23,12)格雷码是完备码，完备码很少
线性分组码的ห้องสมุดไป่ตู้子
2009年秋
内容提要
汉明码 RM码 格雷码 交织码
汉明码
对任意整数m>2，存在满足如下条件的汉明码
码长n=2m-1 信息符号数k=2m-m-1 校验符号数n-k=m 纠错能力t=1（dmin=3）
该码的奇偶校验阵H由所有非零的m维列向量构成， 前m列可写成单位阵。 H的任何两列都不同，且非零，故任意两列相加不为0， 故最小距离至少为3；而任意两列之和必定为H的某个 列向量，因为H包括所有非零m维列向量，故有三个 列向量之和为0，所以最小距离为3
充分利用了码和错误模式的结构特 点设计算法
乘积码
乘积码是短的分量码构造高效长码的一种技术 设有两个线性码C1(n1,k1)和C2(n2,k2)，可构造一 个(n1n2,k1k2)的线性码，其码字是一个n1n2的矩 阵，此矩阵的每一行是C1的码字，每一列是C2 的码字，这是一个二维码，是C1和C2的直积 如右图所示乘积码 的码矩阵