2013考研数学模拟卷数三2标准答案

2013考研数学模拟卷数三2答案

2013考研数学模拟卷数三2答案2013考研数学模拟试卷二【数三】解析一、选择题（1）C解：由⎰⎰+=-+='xxduu g x dt t x g x x f 0)(cos ln )(cos ln )(得)(cos sin )(x g xxx f +-=''于是321])(sin cos 1[lim )(lim 0-=--=+⋅-=''→→xx g x x x x x f x x 03)0()(lim)0(,0)0(0≠-=''-''='''=''⇒→xf x f f f x可见))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点，故选（C ）（2）B解：由一阶导数判断函数单调性，二阶导数判断凹凸性，选B 。

（3）A解：正项级数∑∞=+1)1ln(n na 收敛，所以0>na且)(0∞→→n an又1)1ln(lim =+∞→nn n a a ，于是正项级数∑∞=1n na 与∑∞=+1)1ln(n na 有相同的敛散性，即∑∞=1n na 收敛，且∑∞=+11n n a 也收敛。

又)(21)1(111++++≤=-n n n n n n na a a a a a ，级数∑∞=++11)(n n na a收敛，所以，由比较判别法，级数11)1(+∞=∑-n n n na a 绝对收敛。

（4）B 解：x x x 1arctan124-有三个间断点，其中1±=x 为无穷间断点，曲线有两条铅直渐近线（0=x 非无穷间断点）。

21,10,00,1)(λλλ==⇒⎩⎨⎧≤>-=-DX EX x x e x F x ，所以C B A ,,都不对。

因为0)(,2)(=-=+Y X E Y X E λ，而),max(Y X 的分布函数不是⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(22x x e x F x λ，所以D 对。

2013年考研数学三真题及答案解析

a 0
0
,
B
1
1 b
，当
a,
b
为何值时，存在矩阵
C
使得
AC
CA
B
，并求所有矩阵
C
。
（21）（本题满分 11 分）
a1 b1
设二次型
f
x1, x2, x3
2 a1x1
a2x2
a3x3 2
b1x1
b2x2
b3x3 2 ，记
a2
,
b2
。
a3
b3
（I）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T T ；
1 a 1 2 0 0
（6）矩阵
a
b
a
与
0
b
0
相似的充分必要条件为
1 a 1 0 0 0
（A） a 0, b 2
（B） a 0,b为任意常数
（C） a 2,b 0
（D） a 2,b为任意常数
（7）设 X1，X2，X3 是随机变量，且 X1~N(0,1)，X2 ~N(0,22），X3 ~ N(5,32 ) , Pj P{2 X j 2}( j 1, 2,3), 则（）（A） P1 P2 P3 （B） P2 P1 P3 （C） P3 P1 P2 （D） P1 P3 P2
aij Aij 0(i, j 1, 2,3),则 A ____
（14）设随机变量 X 服从标准正态分布 X ~N(0,1) ,则 E( Xe2X ) = ________。
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分）
（10）设函数 z z(x, y) 由方程 (z y) x

2013年考研数三真题与答案解析(完整版)

2013 年考研数三真题及答案解析一、选择题1 —8 小题．每小题4 分，共 32 分．、１．当 x0 时，用 o(x) 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（ A ） x o ( x 2 ) o(x 3 )（ B ） o( x) o(x 2 ) o( x 3 )（ C ） o( x 2 ) o( x 2 )o( x 2 )（ D ） o(x) o( x 2 ) o( x 2 )【详解】由高阶无穷小的定义可知（ A ）（ B ）（ C ）都是正确的，对于（ D ）可找出反例，例如当 x 0时 f (x)x 2x 3 o( x), g( x)x 3o(x 2 ) ，但 f (x)g(x)o( x) 而不是o( x 2 ) 故应该选（ D ）．xx2．函数 f ( x)1的可去间断点的个数为（）x( x1) ln x（A ）0（ B ）1（ C ）2（D ）3【详解】当 x ln xx1e xln x1 ~ x ln x ，0 时， xxx ln xlim f ( x) limx1lim 1 ，所以 x 0是函数 f ( x) 的可去间断点．x 0x 0x( x 1) ln xx 0x ln xxx ln xlim f ( x) limx1lim 1，所以 x1 是函数 f ( x) 的可去间断点．x 1x 1x( x 1) ln xx 02 x ln x2xxxln xlim f ( x)lim1lim，所以所以 x1不是函数 f (x) 的(x 1) ln xx1x1x(x 1) ln xx 1可去间断点．故应该选（ C ）．３．设 D k 是圆域 D( x, y) | x 2y 2 1 的第 k 象限的部分，记 I k( y x)dxdy ，则D k（）（ A ） I 1B I 2 0C 3 0D I 4 0（）（） I（）【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知k 2121I k( yx)dxdy( k 1) d(sincos )rdrD k321kcos |k 2sin132所以 I 1I 30,I 22 , I 4 2 ，应该选（ B ）．3 3４．设 a n 为正项数列，则下列选择项正确的是（）（A ）若 a na n 1 ，则( 1) n 1 a n 收敛；n 1k2 (sinsin ) dk 1 2（B ）若( 1)n 1 a n 收敛，则 a n a n 1 ；n 1（C ）若a n 收敛．则存在常数 P 1，使 lim n p a n 存在；n 1n（D ）若存在常数 P 1，使 lim n p a n 存在，则a n 收敛．nn 1【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（ D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（ A ）（ B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（ A ），但少一条件 lim a n0 ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，n选项（ B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（ A ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价．（ B ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．（ C ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．（ D ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价．【详解】把矩阵 A ，C 列分块如下： A 1, 2,, n , C 1 , 2 , , n ，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知i b i1 1 b i 2 2b in n (i 1,2, , n) ，得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即 A CB 1 ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B ）．1 a 12 06．矩阵 a b a与矩阵0 b 0 相似的充分必要条件是1 a 10 0（） a0,b2（） a 0， b 为任意常数AB（ C ） a 2,b 0（D ） a 2 ， b 为任意常数2 01 a 12 0 0 【详解】注意矩阵 0 b0 是对角矩阵，所以矩阵 A= a ba 与矩阵0 b 0 相 0 01 a 10 0似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．1a 1 E Aa b a ( 2(b 2)2b 2a 2 )1a1从而可知 2b 2a 2 2b ，即 a 0 ， b 为任意常数，故选择（ B ）．7 ．设 X 1,X 2,X 3是随机变量，且X 1~ N (0,1), X 2 ~ N(0,22), X 3 ~ N(5,32) ，P iP 2 X i2 ，则（A ） P 1 P 2 P 3（B ） P 2 P 1 P 3（C ） P 3P 2 P 1（D ） P 1P 3P 2【详解】若 X ~ N(, 2)，则 X~ N(0,1)P 1 2 (2) 1， P 2P2X 22PX 2 12 (1) 1，12P 3 P2X 32 P2 5 X3 52 5 7 7333( 1)1)33，P 3P 217 3 (1) 0．3(1)23故选择（ A ）．8．设随机变量 X 和 Y 相互独立，且X 和 Y 的概率分布分别为X0 1 2P1/21/41/8Y -1 0 P1/31/3则PXY2 （）（A ）1（B ）1（C ）1（D ） 128 63P 1/8 1 1/312【详解】PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX1111 3,Y12424612，故选择（ C）．二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4分，满分 24分 .把答案填在题中横线上）9．设曲线y f (x) 和 y x 2x 在点1,0处有切线，则lim nf n．n n2【详解】由条件可知 f 10, f ' (1)1．所以f12 n n f (1)lim nf lim2 2 f '(1)2n22n 2n nn22n10．设函数z z x, y 是由方程z y x xy 确定，则z|(1,2 )．x【详解】设 F x, y, z F x x, y, z( z y) x l z y)当 x 1, y 2 时，z0 ，所以11．ln x2 d x．(1x)1(z y x xy，则)y, F z (x,ny, z) x(z y) x 1，(z|(1, 2 )2 2 ln 2 ．x【详解】1ln x2 dx1ln xd1ln x |111dx ln x|1 ln 2 (1 x) 1 x1x x(1 x)x112．微分方程y y 1 y0 的通解为．411【详解】方程的特征方程为r0，两个特征根分别为412，所以方程通2x解为 y (C1 C 2 x) e2，其中 C1 ,C2为任意常数．13．设A aij是三阶非零矩阵， A 为其行列式，A ij为元素 a ij的代数余子式，且满足Aij aij0(i , j1,2,3) ，则A=．【详解】由条件 Aijaij0(i, j 1,2,3) 可知 AA* T 0 ，其中 A * 为 A 的伴随矩阵，从而可知A* A *T3 1A ，所以 A 可能为1或 0．An,r (A)n但由结论 r ( A * )1, r ( A) n 1 可知， A A * T 0 可知 r ( A)r ( A*) , 伴随矩阵的秩只0, r ( A) n1能为 3，所以 A 1.14．设随机变量 X 服从标准正分布 X ~ N ( 0,1) ，则 E Xe 2X．【详解】E Xe 2 X1 x 2x(x 2)2e 2(x 2) 2xe2xe 2dxe2dx( x 22)e 2dx222 2e 2t 2t 2te 2 dt 2e 2 dte 2 E( X ) 2e 2 2e 2 ．2所以为 2e 2 ．三、解答题15．（本题满分 10 分）当 x0时，1 cosx cos2x cos3x 与 ax n 是等价无穷小，求常数a, n ．【分析】主要是考查 x 0 时常见函数的马克劳林展开式．【详解】当 x 0时，122 )，c x o 1 s xo( x1(2x) 22cos2 x1 o(x2 ) 1 2 x 2 o(x 2 )，2cos3x11(3x)2o( x 2 ) 1 9 x 2 o( x 2 ) ，2 2所以1 cosx cos2xcos3x1 (1 1 x2 o( x 2 ))(12x 2 o(x 2 ))(1 9 x 2o( x 2 )) 7x 2o( x 2 )22，由于 1cosx cos2 x cos3x 与 ax n 是等价无穷小，所以 a7, n 2 ．16．（本题满分10 分）设 D 是由曲线 y3x ，直线 x a (a 0) 及 x 轴所转成的平面图形，V x ,V y 分别是 D 绕 x轴和 y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若10V x V y ，求 a 的值．【详解】由微元法可知a252 dxa3a 3V xy x 3 dx；5aa 47x 3dx6a 3V y2 xf ( x) dx 2；0 7由条件 10V x V y ，知 a 7 7 ．17．（本题满分 10 分）设平面区域 D 是由曲线 x3 y, y3x, x y 8 所围成，求x 2 dxdy ．D【详解】x 2dxdyx 2dxdyx 2dxdy2x 2dx x dyx 2dx x dy416 ．3 x6 8 xDD 1D 20 32 3318．（本题满分 10 分）设生产某产品的固定成本为6000 元，可变成本为20 元 / 件，价格函数为 P60Q,（P1000是单价，单位：元， Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（ 1）该的边际利润．（ 2）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义．（ 3）使得利润最大的定价 P ．【详解】（1）设利润为Q 2 y ，则 y PQ (6000 20Q ) 40Q6000 ，1000边际利润为 y'40Q .500（ 2）当 P=50 时， Q=10000，边际利润为 20．经济意义为：当 P=50 时，销量每增加一个，利润增加20．（3）令 y'0，得Q20000 , P20000 40.601000019．（本题满分 10 分）设函数 f x 在 [0,) 上可导， f0 0 ，且 lim f (x)2 ，证明x（1）存在 a 0 ，使得 f a1;（2）对（ 1）中的 a，存在(0, a) ，使得 f ' ( 1 ．)a【详解】证明（ 1）由于lim()2，所以存在X0，当 x X 时，有3，f x5x22又由于 f x在 [0,) 上连续，且 f 00 ，由介值定理，存在a0 ，使得 f a 1;（2）函数f x 在 [0,a] 上可导，由拉格朗日中值定理，存在(0, a) ，使得 f ' ()f (a) f (0)1．a a20．（本题满分 11 分）1a, B 01，问当 a, b 为何值时，存在矩阵C，使得AC CA B ，并求出设 A01b1所有矩阵 C．【详解】显然由 AC CA B 可知，如果C存在，则必须是x1x22 阶的方阵．设C，x3x4则 AC CA B 变形为x2ax3ax1x2ax40 1，x1x3x4x2ax3 1 bx2ax30即得到线性方程组ax1x2ax41，要使 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方x1x3x41x2ax3b程组的增广矩阵进行初等行变换如下01a0010111a10a101a00 A |b011100001，1a01a0b0000b所以，当 a1, b0 时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得AC CA B ．10111此时， A | b011000000，00000x1111所以方程组的通解为x x20C11C2，也就是满足 AC CA B 的矩阵x3010x4001C为C1C1C2C1，其中 C1 , C2为任意常数．C1C221．（本题满分 11 分）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2(a1 x1 a2 x2 a3 x3 ) 2(b1 x1 b2 x2 b3 x3 )2．记a1b1a2,b2．a3b3（1）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T T ；（2）若,正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2 y12y22．【详解】证明：（1）f ( x1, x2 , x3 ) 2(a1 x1 a2 x2a3 x3 ) 2(b1 x1b2 x2b3 x3 ) 2a1x1b12 x1, x2 , x3 a2a1 ,a2 , a3 x2x1 , x2 , x3 b2 b1, b2 ,b3a3x3b3x1x1x1, x2 , x3 2T x2x1, x2 , x3T x2x3x3x1x1, x2 , x3 2T T x2x3所以二次型 f 对应的矩阵为2T T ．证明（ 2）设A2T T ，由于1, T0则 A2T T22T2，所以为矩阵对应特征值向量；A2T T2T2，所以为矩阵对应特征值量；x1x2x31 2 的特征21的特征向而矩阵 A 的秩r ( A) r ( 2T T )r (2T ) r (T) 2，所以30 也是矩阵的一个特征值．故 f 在正交变换下的标准形为 2 y12y22．22．（本题满分11 分）设 X,Y是二维随机变量， X 的边缘概率密度为f X( x)3x2 ,0x 1，在给定0,其他X x(0x1) 的条件下，Y的条件概率密度为f Y( y / x)3y 2,0y x,x 3．X0,其他（1）求X ,Y的联合概率密度 f x, y ；（2） Y 的的边缘概率密度f Y ( y) ．【详解】（ 1）X , Y的联合概率密度 f x, y：f x, y f Y ( y / x) f X ( x)9 y 2,0 x1,0y x xX0,其他（2） Y 的的边缘概率密度f Y ( y) ：f Y ( y) f (x, y)dx 1 9 y29 y2ln y,0 y 1dxy x0,其他23．（本题满分11 分）2设总体X 的概率密度为 f (x; )x 3e x , x 00,，其中为为未知参数且大于零，其他X1X 2,X n为来自总体 X 的简单随机样本．（1）求的矩估计量；（2）求的极大似然估计量．【详解】（ 1）先求出总体的数学期望E（ X）2E(X)xf (x)dx2e x dx，x令 E(X)1nX X i，得的矩估计量n n 1（2）当x i0(i1,2, n) 时，似然函数为1 nX i．Xn i1n22nn 1xx iL ( )3 ei3ei 1n，i1x ix ii 1取对数， ln L() 2nlnn1 3nln x i ，x ii 1i 1令 d ln L( )0 ，得2nn10 ，di 1 xi解得的极大似然估计量为．。

2013年考研数三真题及答案解析(完整版)

2013 年考研数三真题及答案解析—8 小题．每小题4 分，共32 分．、一、选择题1x0 o(x) x １．当高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（时，用表示比）2233)(xx o（A）)o( x) o(x) o( x )o(x （B）22222)o(x) o( xo( x)) o( x )o( x o( x )D）（C）（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例【详解】由高阶无穷小的定义可知（2323 x 0 f (x)o(x ) xxxo( x) f (x)g(x)o( x), g( x)，但如当而不是时2o( x ) D故应该选（）．x x1f ( x)2．函数）的可去间断点的个数为（x( x1) ln x（A）0（（D）3 B）1（C）2x e1 ~ x ln x x x ln x0 1，【详解】当时，xln xx x1x ln x x0 f ( x)1 limlimf ( x)lim的可去间断点．，所以是函数x 0x 0x ln x x( x 1) ln x x 0x1x ln xx1 x1 f( x)limlimlimf ( x)，所以的可去间断点．是函数x 0x1 2 x ln x x( x 1) ln x2x 1x x1xln xx1 f (x)limlimlimf ( x)的，所以所以不是函数1 x(x 1) ln x(x 1) ln x x x11x可去间断点．故应该选（C）．22kIx)dxdy ( y D D 1 y( x, y) | x记的第是圆域象限的部分，３．设，则kkD k（）I II000 D B ）A（C4123 I0）（（（））【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知1k k2212I dr(sincos )r( yx)dxdyd(sinsin ) d k k 1( k1)032 D 2k k12cossin|k 132II 0,I, I 22所以，应该选（B）．143233a４．设为正项数列，则下列选择项正确的是（）nn 1a）若（A a ( 1) a 收敛；，则n nn 1n 1n 1 a aa ( 1)；收敛，则）若B（n 1nnn 1p aP 1 lim n a存在；，使收敛．则存在常数）若C（nn n n 1p alim nP 1a 收敛．（D）若存在常数存在，则，使nn n n 1D）正确，故应选（Ｄ）．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一lim a0 条件，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，nn选项（B）也不正确，反例自己去构造．n ５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价．A 的列向量组等价．）矩阵 C 的列向量组与矩阵（B的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．（C）矩阵 CB 的列向量组等价．（D）矩阵C 的列向量组与矩阵,, , , ,, , CA，由于ＡＢ＝Ｃ，，C 列分块如下：【详解】把矩阵A1 2n21 n则可知 b bb (i, n) 1,2,，得到矩阵C的列向量组可用矩阵 A 的i 2 2ii1 1in n1 A CB 列向量组线性表示．同时由于，同理可知矩阵B 可逆，即A 的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．应该选（）．B1a1200a0b0ba6．矩阵相似的充分必要条件是与矩阵1a1000a0,b2）（（），为任意常数a0b BAa 2b a 2,b0为任意常数，（D）C）（2001a1200a 00bab00b与矩阵【详解】注意矩阵A= 相是对角矩阵，所以矩阵001a01000似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．1a122 )2b 2a ((b 2)bE Aaa1a12a0 b 2b 2a 2b 从而可知为任意常数，故选择（，即，B）．22) ~ N(5,3,X,XXX), X~ N (0,1), X ~ N(0,2，是随机变量，且7 ．设131232PP 2 X 2 ，则ii PPPPPP）（B（A）213312PPPPPP）（D （C）132312X2 )，则~ N(0,1)X ~ N(,【详解】若X 2 P2 (2) 1X P2 (1) 11P22P，，12212X 52 557723P2XPP21)( 1)3333333，71PP3 (1) 03(1)2．233故选择（A）．8．设随机变量X 和Y 相互独立，且X 和Y 的概率分布分别为3P20X11/81/8P1/41/210-1Y1/31/31/3P PXY2则（）1111 A（）（CB （）））D（21286【详解】11111PX2,Y0PXPXY2PX1,Y3,Y1 2424612，故选择（C）．6 小题，每小题4分，满分24分 .把二、填空题（本题共答案填在题中横线上）2xx yyf (x) 1,0lim nfn在点和9．设曲线．处有切线，则n2nf 110, f ' (1)．所以【详解】由条件可知21f f (1)nn22 f '(1)lim2lim nf2n 2n2nnn22nz x |yxy z x, y zz确定，则10．设函数是由方程．(1,2 )x【详解】zyxy F x, y, z x设)(，则xx 1y, F (x,ny, z) x(z y)(F x, y, z( z y) l z y)，zx z |2 ln 2 20 z．2 x 1, y(1, 2 )，所以时，当xln x d x．11．2x)(11【详解】ln x || ln 2 dxx1ln x1ln xddxln112111 11(1 x)1 xxx(1 x)x1 y y0 y的通解为．12．微分方程411r0，两个特征根分别为【详解】方程的特征方程为，所以方程通2142,C x) e C y (C C ，其中解为为任意x2常数．2211a A aA A为元素为其行列式，．设13的代数余子式，且满足是三阶非零矩阵，ij ijijAa A 1,2,3) 0(i , j=，则．ijijAa T A *A*0 A1,2,3) 0(i, j的伴随矩阵，从为，其中A可知【详解】由条件ij ij而可知A* AA A 1 A0．，所以或可能为T 3 1*nn,r (A)*T ) r ( AA *r ( A)r ( A*) A0n11, r ( A)但由结论伴随矩阵的秩只,可知，可知1n0, r ( A)A1.3，所以能为2X E Xe X ~ N ( 0,1) ，则服从标准正分布X 14．设随机变量．【详解】2 X E Xedxe 2)e xe( x222(x 2)x(x 2) 222x222dxdxex1e2222e E( X ) 2eete e dt dt 22e．22t t 222222222e．所以为三、解答题15．（本题满分10 分）n cosx cos2x cos3x a, n x01ax是等价无穷小，求常数与．当时，x0 【分析】主要是考查时常见函数的马克劳林展开式．122x 0)时，【】，详解当c x o 1 s xo( x212222 (2x)o(x )2 x )o(x 11cos2 x，212229 (3x)x o( x ) )o( x 1cos3x1，222以所22222222 ) ))7xo( xx ))(1o( xo( x2xo(x ))(1x911cosx cos2xcos3x1 (122，n cosx cos2 x cos3x 1aax7, n 2是等价无穷小，所以与由于．分）．（本题满分16103x x a (aV ,V x x y0) 绕分别是D，直线轴所转成的平面图形，设 D 是由曲线及yx10VV y a 轴旋转一周所形成的立体的体积，若轴和的值．，求yx【详解】由微元法可知523a a23 dx dxVxy a；3 x005746aa3 dxx xf ( x) dx 22V a； 3y00710V V a7 7，知由条件．yx分）10 17．（本题满分2 dxdy x y 8 x3x, x3 y, y．所围成，求设平面区域 D 是由曲线416 dx dx dyx D【详解】22222dxdyx dxdydyx x dxdyx．xx83 x2x6023 D D33D2118．（本题满分10 分）Q,（P P6020 元/ 件，价格函数为元，可变成本为6000 设生产某产品的固定成本为1000是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该的边际利润．（2）当P=50 时的边际利润，并解释其经济意义．（3）使得利润最大的定价P．【详解】Q2）设利润为1（6000 y y PQ (6000 20Q ) 40Q，，则1000Q .y'40边际利润为500（2）当P=50 时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50 时，销量每增加一个，利润增加．20 20000Qy'040.20000 , P，得（3）令601000019．（本题满分10 分）lim2 f (x)0 0 ) [0, f xf，证明，且上可导，在设函数x a0 f a1;，使得（1）存在1f ' (a(0, a) )，使得）中的）对（（2 1 ．，存在a【详解】lim()2X0，3X x时，有，当）由于证明（1，所以存在f x5 f (x)x220 a0 f a 1; f 0) f [0,x，由介值定理，存在，使得上连续，且又由于在x [0,a] f上可导，由拉格朗日中值定理，在（2）函数f (a)f (0)1 f ' ()(0, a) ，使得．存在aa20．（本题满分11 分）1a01AC CAB , B a, b ，并求出C，使得为何值时，存在矩阵，问当A设11b0所有矩阵C．【详解】xx21ACB CA存在，则必须是可知，如果C显然由，C阶的方阵．设2xx43xaxaxxax0 142231B ACCA变形为则，xaxxxx1 b43213 xax032axxax1412，要使 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方即得到线性方程组xxx1413axxb32程组的增广矩阵进行初等行变换如下0011a001110aaa100110 A |b，01100a1100100b010a00bAC CAB 0 a1, b．C ，使得时，线性方程组有解，即存在矩阵所以，当1110100110 A | b此时，，0000000000x1111x0012所以方程组的通解为CxC ACCA B 001x的矩阵，也就是满足231 x1004C为C1 C , C 为任意常数．，其中CC1C2121CC2121．（本题满分11 分）22 ) b x(b x b x , x ) 2(a x a x a x ) f ( x , x．设二次型记333331*********ab11ab,．22ab332f ；对应的矩阵为（1）证明二次型T T222 yy ,f在正交变换下的标准形为．正交且为单位向量，证明2）若（12）1【详解】证明：（22) x )(b xb xb, xf ( x , x ) 2(a x a xa x 333121*********xbax1111x ,b, b , x b b ,a , a xx , x, x2 x , x aa 2312122232231213xxba3333xx11T T , x, xx, x , x 2xxx 32122312xx33x1TT2xx, x , x 3122x3 f 2．对应的矩阵为所以二次型T T TT1,A02，由于2）设证明（TT2TT A2 222的特征则为矩阵对应特征值，所以1向量；T2T T12A2的特征向为矩阵对应特征值，所以2量；TT) 2 ) ) r (0 r ( A) r ( 2r (2，所以也是矩阵的的秩而矩阵 A T 3T一个特征值．22y2 y f 在正交变换下的标准形为故．1222．（本题满分11 分）x 12，在给定( x)f ,03x X,Y度为概率密是二维随机变量，X 的边缘设X其他0,23y y x,,03f 1) ( y / x)X x(0x的条件概率密度为Y的条件下，x．YX其他0,X ,Y f x, y ；的联合概率密度（1）求f ( y) ．的的边缘概率密度Y （2）YX , Yf x, y的联合概率密度【详解】（1）：29 y ,0 x1,0yx( x) ( y / x) f ff x, yxXYX其他0,f ( y) ：的的边缘概率密度2）Y （Y29 y 12ln y,0 y 19 y dx f (x, y)dxf ( y)Y x y 0,其他23．（本题满分11 分）, x 0e3x2xf (x; )X 的概率密度为为为未知参数且大于零，设总体，其中其他0,X为来自总体X 的简单随机样本．,X X n12（1）求的矩估计量；（2）求的极大似然估计量．【详解】（1）先求出总体的数学期望E（X）dxe xf (x)dxE(X)，20x2xn11n X E(X)．令XX的矩估计量X ，得i i n n n 1i1 x1,2, n) 0(i）当2（时，似然函数为i1n2n2n ee x x i i 1)L (， 33 i n x i i1x ii 11nn ln x ln L(3) 2nln，取对数，i x i i 1i12n 0 1 d ln L( )，得0 令，nx d i 1 i．解得的极大似然估计量为。

2013考研数学三真题及答案解析

解析： lim | x |x 1 lim
e x ln| x|
lim x ln | x | 1.
x1 x(x 1) ln | x | x0 x(x 1) ln | x | x0 x(x 1) ln | x |
lim f(x)= lim x ln | x | 1
x1
x1 x(x 1) ln | x | 2
Dk
则（）
（A） I1 0 （B） I2 0 （C） I3 0 （D） I4 0 答案：（B）
解析：
Ik＝（y x)dxdy
Dk
k /2 d
(k 1) /2
1
(r
sin
r
cos )rdr
1
k /2
(sin cos )d
0
3 (k 1) /2
1
3
k /2 (sin
(k 1) /2
边际利润 L(P) 2000P 80000
（2）当 P=50 时的边际利润为 L(50) 2000 50 80000 2000 ，其经济意义为在 P=50 时，价格每提高 1 元，总利润减少 2000 元。
（3）由于
L(P)
2000P
80000
0, 0,
P P
40 40
，
L(P)
（7）设 X1，X2，X3 是随机变量，且 X1~N(0,1)，X2 ~N(0,22），X3 ~ N (5, 32 ) , Pj P{2 X j 2}( j 1, 2,3), 则（）（A） P1 P2 P3 （B） P2 P1 P3 （C） P3 P1 P2 （D） P1 P3 P2 答案：（A）
（C）若 n 1
an
收敛，则存在常数

2013年考研数三真题及答案解析(完整版)

2013年考研数三真题及答案解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、１．当0x时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（A ）)()(32x o x o x （B ）)()()(32x o x o x o （C ）)()()(222x o x o x o （D ）)()()(22x o x o x o 【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0x时)()(),()(2332x o xx g x o xxx f ，但)()()(x o x g x f 而不是)(2x o 故应该选（D ）．2．函数xx x xx f xln )1(1)(的可去间断点的个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）3【详解】当0ln xx 时，x x exxx xln ~11ln ，1ln ln limln )1(1lim)(lim 0x x x x x x x xx f xxxx，所以0x是函数)(x f 的可去间断点．21ln 2ln lim ln )1(1lim )(lim 011xx x x xx x xx f x xx x ，所以1x 是函数)(x f 的可去间断点．xx xx xx x xx f xxxxln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111，所以所以1x 不是函数)(x f 的可去间断点．故应该选（C ）．３．设k D 是圆域1|),(22yxy x D的第k 象限的部分，记kD kdxdy x y I )(，则（）（A ）1I （B ）2I （C ）3I （D ）4I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知2212211222)1(|cossin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k k k kk D kddrr ddxdyx y I k所以32,32,04231I I I I ，应该选（B ）．４．设n a 为正项数列，则下列选择项正确的是（）（A ）若1n na a ，则11)1(n n n a 收敛；（B ）若11)1(n n n a 收敛，则1n n a a ；（C ）若1n n a 收敛．则存在常数1P，使n pna n lim 存在；（D ）若存在常数1P ，使n pna n lim 存在，则1n n a 收敛．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A ）（B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ），但少一条件0lim nna ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价．（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价．（D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．【详解】把矩阵A ，C 列分块如下：nnCA,,,,,,,2121，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知),,2,1(2211n i b b b nini i i，得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即1CBA，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．应该选（B ）．6．矩阵1111aa b a a 与矩阵000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0b a （B ）0a ，b 为任意常数（C ）0,2ba（D ）2a，b 为任意常数【详解】注意矩阵00002b 是对角矩阵，所以矩阵A=1111aa b aa 与矩阵000002b 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．)22)2((111122a b b aa b a a AE从而可知b a b 2222，即0a，b 为任意常数，故选择（B ）．7．设321,,X X X 是随机变量，且)3,5(~),2,0(~),1,0(~23221N X N X N X ，22i iX PP ，则（A ）321P P P （B ）312P P P （C ）123P P P （D ）231P P P 【详解】若),(~2N X ，则)1,0(~N X1)2(21P ，1)1(212122222X P X PP ，)13737)1(3523535222333X PX P P ，23P P 0)1(32)1(3371．故选择（A ）．8．设随机变量X 和Y 相互独立，且X 和Y 的概率分布分别为X 0 1 2 3P P 1/21/41/81/8 Y -1 0 1 P1/31/31/3则2Y XP （）（A ）121（B ）81（C ）61（D ）21【详解】612412411211,30,21,12Y X P Y X P Y X P YX P ，故选择（C ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设曲线)(x f y和x xy 2在点0,1处有切线，则2lim nn nfn．【详解】由条件可知1)1(',01f f ．所以2)1('22222)1(221lim2lim f nn nf n f nn nfnn10．设函数y x z z ,是由方程xy yz x确定，则)2,1(|x z ．【详解】设xyy z zy x F x)(,,，则1)(),,(,)ln ()(,,x z xx y zx z y x F y y z y zzy x F ，当2,1y x时，0z ，所以2ln 22|)2,1(x z ．11．xd x x12)1(ln ．【详解】2ln |1ln)1(1|1ln 11ln )1(ln 111112xx dx x x xx xxd xd x x12．微分方程041yy y 的通解为．【详解】方程的特征方程为041r，两个特征根分别为2121，所以方程通解为221)(xe x C C y，其中21,C C 为任意常数．13．设ij a A是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0ji a A ijij ，则A = ．【详解】由条件)3,2,1,(0ji a A ijij可知0*TA A，其中*A 为A 的伴随矩阵，从而可知A AAA T13**，所以A 可能为1或0．但由结论1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r nA r n A r 可知，0*TA A 可知*)()(A r A r ,伴随矩阵的秩只能为3，所以.1A 14．设随机变量X 服从标准正分布)1,0(~N X ，则XXe E 2．【详解】XXeE 2dxex edxex dxexex x x x2)2(222)2(22222)22(222122222222)(2222e eX E e dt edt teett．所以为22e ．三、解答题15．（本题满分10分）当0x时，x x x 3cos 2cos cos 1与nax 是等价无穷小，求常数n a,．【分析】主要是考查0x时常见函数的马克劳林展开式．【详解】当x 时，)(211co s 22x o xx ，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x ，)(291)()3(2113cos 2222x o xx o x x，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o xx o xx o xx o xx x x ，由于x x x 3cos 2cos cos 1与nax 是等价无穷小，所以2,7n a ．16．（本题满分10分）设D 是由曲线3x y，直线a x )0(a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V 10，求a 的值．【详解】由微元法可知3532253a dxx dxy V a a x；3734762)(2adxx dx x xf V aa y ；由条件y x V V 10，知77a．17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3y x x y y x 所围成，求Ddxdy x 2．【详解】3416836223320222221x x x x D D Ddydxx dydxx dxdyx dxdyx dxdyx ．18．（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,100060Q P（P是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义．（3）使得利润最大的定价P ．【详解】（1）设利润为y ，则6000100040)206000(2QQQ PQ y，边际利润为.50040'Q y （2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20．（3）令0'y ，得.40100002000060,20000P Q19．（本题满分10分）设函数x f 在),0[上可导，00f ，且2)(lim x f x ，证明（1）存在0a，使得;1a f （2）对（1）中的a ，存在),0(a ，使得af 1)('．【详解】证明（1）由于2)(lim x f x，所以存在0X ，当X x 时，有25)(23x f ，又由于x f 在),0[上连续，且00f ，由介值定理，存在0a，使得;1a f （2）函数x f 在],0[a 上可导，由拉格朗日中值定理，存在),0(a ，使得aaf a f f 1)0()()('．20．（本题满分11分）设bBa A110,011，问当b a,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC ，并求出所有矩阵C ．【详解】显然由B CA AC可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设4321x x x x C，则B CA AC 变形为bax x x x x ax x ax ax x 1103243142132，即得到线性方程组bax x x x x ax x ax ax x 3243142132110，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下ba a baa a a bA 001000000101110101111011010010|，所以，当0,1ba时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得B CA AC．此时，0000000011011101|bA ，所以方程组的通解为100101110001214321C C x x x x x，也就是满足B CA AC 的矩阵C 为211211C C C C C C，其中21,C C 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f ．记321321,b b b a a a ．（1）证明二次型f 对应的矩阵为TT 2；（2）若,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22212y y．【详解】证明：（1）321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,,,,2,,,,,,,,,,2)()(2),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b b b b b x x x x x x a a a a a a x x x x b x b x b x a x a x a x x x f TT TT所以二次型f 对应的矩阵为TT 2．证明（2）设A TT2，由于,1T则2222TTT A ，所以为矩阵对应特征值21的特征向量；222TTT A，所以为矩阵对应特征值12的特征向量；而矩阵A 的秩2)()2()2()(TTTT r r r A r ，所以03也是矩阵的一个特征值．故f 在正交变换下的标准形为22212y y．22．（本题满分11分）设Y X ,是二维随机变量，X 的边缘概率密度为其他,010,3)(2x x x f X ，在给定)10(xx X的条件下，Y 的条件概率密度为其他,0,0,3)/(32x y x yx y f XY ．（1）求Y X ,的联合概率密度y x f ,；（2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ．【详解】（1）Y X ,的联合概率密度y x f ,：其他,00,10,9)()/(,2xy x x yx f x y f yx f X XY （2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ：其他,01,ln 99),()(212y y y dx x ydxy x f y f yY 23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为其他,00,);(32x e xx f x ，其中为为未知参数且大于零，n X X X ,21为来自总体X 的简单随机样本．（1）求的矩估计量；（2）求的极大似然估计量．【详解】（1）先求出总体的数学期望E （X ）22)()(dxexdxx xf X E x，令nn i X nXX E 11)(，得的矩估计量ni i X nX11．（2）当),2,1(0n i x i时，似然函数为ni iix ni inni x iex exL 11312132)(，取对数，ni i ni ix x n L 11ln 31ln2)(ln ，令0)(ln dL d ，得0121ni ix n，解得的极大似然估计量为．。

2013年考研数三真题与答案解析(完整版)

2013年考研数三真题及答案解析一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．、１．当x0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）2ox2ox33（A）()()xox（B）o(x)o(x)()（C）o(x2)o(x2)o(x2)（D）o(x)o(x2)o(x2)【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例2xoxgxxox332如当x0时()(),()()fxx，但f(x)g(x)o(x)而不是2o(x)故应该选（D）．2．函数 fx x1(x)的可去间断点的个数为（）x(x1)lnx（A）0（B）1（C）2（D）3xxlnx 【详解】当xlnx0时，x1e1~xlnx ，xx1xlnxlimf(x)limlimxx(x1)ln0xxx0xxln0 1，所以x0是函数f(x)的可去间断点．xx1xlnx limf(x)limlimx1x(x1)lnx2ln1xxxx0 12 ，所以x1是函数f(x)的可去间断点．xx1xlnx limf(x)limlimx(1)ln1x(x1)lnxxx1x1 x，所以所以x1不是函数f(x)的可去间断点．故应该选（C）．３．设2y2D是圆域D(x,y)|x1的第k象限的部分，记k I k(yx)dxdy，则Dk（）（A）0I（B）I20（C）I30（D）I401【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知Ik k112k(yx)dxdy2d(sincosrdr(sinsin)d)2k1(k1)3D22k1 3 sincosk2k|21所以22I1I0,I2,I4，应该选（B）．333４．设a为正项数列，则下列选择项正确的是（）n（A）若an a，则n1(1)n1a收敛；nn1（B）若( na收敛，则11)n a n a；n1n1（C）若n1 pa收敛．则存在常数P1，使limna n存在；nn（D）若存在常数P1，使plimna存在，则nnn1a收敛．n【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一条件lima0，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，nn选项（B）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．【详解】把矩阵A，C列分块如下：A1,2,,n,C1,2,,，由于ＡＢ＝Ｃ，n则可知(1,2,,)ib i1b i b inn in，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的122列向量组线性表示．同时由于B可逆，即 1ACB，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应该选（B）．1a12006．矩阵aba0b0相似的充分必要条件是与矩阵1a1000（A）a0,b2（B）a0，b为任意常数（C）a2,b0（D）a2，b为任意常数2001a1200【详解】注意矩阵0b0是对角矩阵，所以矩阵A=aba0b0相与矩阵0001a1000似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．1a1EAaba( 2bba(2)22 2 )1a1从而可知2b2a22b，即a0，b为任意常数，故选择（B）．22 7．设X1,X2,X3是随机变量，且X1~N(0,1),X~N(0,2),X~N(5,3)，23P i P2X i2，则（A）P1P2P3（B）P2P1P3（C）P3P2P1（D）P1P3P2X【详解】若X~N(,2)，则~N(0,1)X2P2(2)1，PP2X2P112(1)1，1222P 3 P2X2P3235X335235( 1)73731)，7P3P13(1)23(1)0．23故选择（A）．8．设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为X0123PP1/21/41/81/8Y-101P1/31/31/3则PXY2（）（A）112 （B）18（C）16（D）12【详解】PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y111212412416，故选择（C）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）2 9．设曲线yf(x)和yxx 在点1,0处有切线，则limnnfnn2．【详解】由条件可知f10,f'(1)1．所以2f1f(1)nn2limnflim2f2n2n2nnn22n'(1)2x 10．设函数zzx,y是由方程zyxy【详解】z确定，则|(1,2)x．x设Fxyzzyxy,,()，则xx1F x x,yzzyzyyFxyzxzy，,()l),(,n,)()(zz当x1,y2时，z0，所以|(1,2)22ln2x．lnx11．d x1(1)2x．【详解】lnx1lnx1dxlnxd|dxln1 12x(1x1x1x1x(1)1x) x1|1ln21 12．微分方程0yyy的通解为．41r，两个特征根分别为【详解】方程的特征方程为04x解为2y(C1Cx)e，其中C1,C2为任意常数．21 1，所以方程通2213．设A a是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aij为元素a ij的代数余子式，且满足ijA ij a ij0(i,j1,23)，则A=．,T 【详解】由条件A ij a0(i,j1,2,3)可知*0AA，其中A*为A的伴随矩阵，从ij 而可知AT31**AAA，所以A可能为1或0．n,r(A)n但由结论*Tr(A)1,r(A)n1可知，AA*0可知r(A)r(A*),伴随矩阵的秩只0,r(A)n1能为3，所以A1.14．设随机变量X服从标准正分布X~N(0,1)，则EXe2X．【详解】E2XXe222x(x2)(x2)21xe22x2xeeedx(x22)e2dx2222d x2e2tet 22dt 2 e2t2 dt2e E(X )22e22e．所以为2 2e．三、解答题15．（本题满分10分）当x0时，1cosxcos2xcos3x与nax是等价无穷小，求常数a,n．【分析】主要是考查x0时常见函数的马克劳林展开式．1 2ox2【详解】当x0时，()cxo1sx，2cos212ox2xox22x1(2x)()12()，2192ox2x2ox2cos3x1(3x)()1()，22所以1cosxcos2xcos3x1(1，1292ox2xoxxoxxox222222x())(12())(1())7(2)由于1cosxcos2xcos3x与nax是等价无穷小，所以a7,n2．16．（本题满分10分）设D是由曲线y，直线xa(a0)及x轴所转成的平面图形，V x,V y分别是D绕x3x 3x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10V x V y，求a的值．【详解】由微元法可知25aa3233V x ydxxdxa；005V476 aa33y2xf(x)dx2xdxa；07由条件10Vx V，知a77．y17．（本题满分10分）设平面区域D是由曲线x3y,y3x,xy8所围成，求x2．dxdyD【详解】D41623x68x22222xdxdyxdxdyxdxdyxdxdyxdxdy．xx032DD331218．（本题满分10分）Q 设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60,（P1000 是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义．（3）使得利润最大的定价P．【详解】2Q（1）设利润为y，则6000yPQ(600020Q)40Q，1000Q边际利润为y'40.500（2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20．20000（3）令y'0，得40.Q20000,P601000019．（本题满分10分）设函数fx 在[0,)上可导，f00，且limf(x)2x，证明（1）存在a0，使得fa1; （2）对（1）中的a ，存在(0,a)，使得f 1'()． a【详解】证明（1）由于limf(x)2，所以存在X0，当xX 时，有x3 25 f(x)，2又由于fx 在[0,)上连续，且f00，由介值定理，存在a0，使得fa1; （2）函数fx 在[0,a]上可导，由拉格朗日中值定理，存在(0,a)，使得 f f (a)f(0)1'()．aa20．（本题满分11分） A 设1 1 a 0,B 0 1 1 b，问当a,b 为何值时，存在矩阵C ，使得ACCAB ，并求出所有矩阵C ．【详解】显然由ACCAB可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设xx12C ，xx 34则ACCAB 变形为x 1 x 2 x 3 a x 3 x4 a x 1 x 2 x 2 ax 3a x 4 0 1 1 b，x 2 a x 3 0 即得到线性方程组 ax 1 x 1 x 3x 2 x 4a x 4 1 1，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方 x 2 a x 3b程组的增广矩阵进行初等行变换如下01a0010111Aa 10a101a00 |b ，1011100001a01a0b0000b所以，当a1,b0时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得ACCAB ．10111此时，01100 A|b ，0000000000x 1 111 所以方程组的通解为x010 2 xCC ，也就是满足ACCAB 的矩阵12x010 3 x 4001C 为1CCC121C ，其中C 1,C 2为任意常数．CC 1221．（本题满分11分）设二次型22f(x 1,x ,x)2(axaxax)(bxbxbx)．记23112233112233 a 1 b 1 a 2 , b 2 ．a 3b 3（1）证明二次型f 对应的矩阵为2T T；（2）若,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22 2y y ． 12【详解】证明：（1） f( x,x 12 , x)3 2(ax 11 a 2 x 2 ax 33 ) 2 (bx 11 b 2 x 2 b 3 x)32 a 1 x 1 b 1 x 12 x , 1 x 2 , x3 a 2 a 1 ,a,a 23 x 2x 1 , x , 2 x 3 b 2 b , 1 b 2 ,b 3 x 2a 3 x 3b 3 x 3x 1 x 1 x, 1 x, 2 x 3 2 T x 2 x, 1 x 2 , x 3 T x2x 3 x 3x1x, 1 x , 2 x 32TT x 2 x 3所以二次型f 对应的矩阵为TT 2．证明（2）设ATTT 2，由于1,0 2T TT则222A ，所以为矩阵对应特征值12的特征向量；2TTTA22，所以为矩阵对应特征值21的特征向量；TTrrTT 而矩阵A的秩()(2)(2)()2rAr，所以30也是矩阵的一个特征值．故f在正交变换下的标准形为22 2y y．1222．（本题满分11分）设X,Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为2x3x,01 f X(x)，在给定0,其他Xx(0x1)的条件下，Y的条件概率密度为23y,0yx,f Y y/x)．(3xX0,其他（1）求X,Y的联合概率密度fx,y；（2）Y的的边缘概率密度f(y)Y．【详解】（1）X,Y的联合概率密度fx,y：fx,yf(y/x)f XYX (x)29yx0,,0 x1,0y其他x（2）Y的的边缘概率密度f(y)Y：f Y(y)f(x,y)dxy29y1xdx92y ln y,0 y 10,其他23．（本题满分11分）2设总体X的概率密度为 f (x;)3x xe,x0 ，其中为为未知参数且大于零，0,其他X1X2,X为来自总体X的简单随机样本．n（1）求的矩估计量；（2）求的极大似然估计量．【详解】（1）先求出总体的数学期望E（X）2x，E(X)xf(x)dxedx02x令n1E(X)XX，得的矩估计量inn1X1nni1Xi．（2）当x0(i1,2,n)i时，似然函数为Ln 1n22nix xi1i()ee ，33 xn i1ix i i1取对数，nn 1 lnL()2nln3lnx ，ix i1ii1 dlnL() 令0dn 2n1 ，得0ix i 1，解得的极大似然估计量为．。

2013年考研数三真题与答案解析(完整版)

2013年考研数三真题及答案解析一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．、１．当x0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）2ox2ox33（A）()()xox（B）o(x)o(x)()（C）o(x2)o(x2)o(x2)（D）o(x)o(x2)o(x2)【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例2xoxgxxox332如当x0时()(),()()fxx，但f(x)g(x)o(x)而不是2o(x)故应该选（D）．2．函数 fx x1(x)的可去间断点的个数为（）x(x1)lnx（A）0（B）1（C）2（D）3xxlnx 【详解】当xlnx0时，x1e1~xlnx ，xx1xlnxlimf(x)limlimxx(x1)ln0xxx0xxln0 1，所以x0是函数f(x)的可去间断点．xx1xlnx limf(x)limlimx1x(x1)lnx2ln1xxxx0 12 ，所以x1是函数f(x)的可去间断点．xx1xlnx limf(x)limlimx(1)ln1x(x1)lnxxx1x1 x，所以所以x1不是函数f(x)的可去间断点．故应该选（C）．３．设2y2D是圆域D(x,y)|x1的第k象限的部分，记k I k(yx)dxdy，则Dk（）（A）0I（B）I20（C）I30（D）I401【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知Ik k112k(yx)dxdy2d(sincosrdr(sinsin)d)2k1(k1)3D22k1 3 sincosk2k|21所以22I1I0,I2,I4，应该选（B）．333４．设a为正项数列，则下列选择项正确的是（）n（A）若an a，则n1(1)n1a收敛；nn1（B）若( na收敛，则11)n a n a；n1n1（C）若n1 pa收敛．则存在常数P1，使limna n存在；nn（D）若存在常数P1，使plimna存在，则nnn1a收敛．n【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一条件lima0，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，nn选项（B）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．【详解】把矩阵A，C列分块如下：A1,2,,n,C1,2,,，由于ＡＢ＝Ｃ，n则可知(1,2,,)ib i1b i b inn in，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的122列向量组线性表示．同时由于B可逆，即 1ACB，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应该选（B）．1a12006．矩阵aba0b0相似的充分必要条件是与矩阵1a1000（A）a0,b2（B）a0，b为任意常数（C）a2,b0（D）a2，b为任意常数2001a1200【详解】注意矩阵0b0是对角矩阵，所以矩阵A=aba0b0相与矩阵0001a1000似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．1a1EAaba( 2bba(2)22 2 )1a1从而可知2b2a22b，即a0，b为任意常数，故选择（B）．22 7．设X1,X2,X3是随机变量，且X1~N(0,1),X~N(0,2),X~N(5,3)，23P i P2X i2，则（A）P1P2P3（B）P2P1P3（C）P3P2P1（D）P1P3P2X【详解】若X~N(,2)，则~N(0,1)X2P2(2)1，PP2X2P112(1)1，1222P 3 P2X2P3235X335235( 1)73731)，7P3P13(1)23(1)0．23故选择（A）．8．设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为X0123PP1/21/41/81/8Y-101P1/31/31/3则PXY2（）（A）112 （B）18（C）16（D）12【详解】PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y111212412416，故选择（C）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）2 9．设曲线yf(x)和yxx 在点1,0处有切线，则limnnfnn2．【详解】由条件可知f10,f'(1)1．所以2f1f(1)nn2limnflim2f2n2n2nnn22n'(1)2x 10．设函数zzx,y是由方程zyxy【详解】z确定，则|(1,2)x．x设Fxyzzyxy,,()，则xx1F x x,yzzyzyyFxyzxzy，,()l),(,n,)()(zz当x1,y2时，z0，所以|(1,2)22ln2x．lnx11．d x1(1)2x．【详解】lnx1lnx1dxlnxd|dxln1 12x(1x1x1x1x(1)1x) x1|1ln21 12．微分方程0yyy的通解为．41r，两个特征根分别为【详解】方程的特征方程为04x解为2y(C1Cx)e，其中C1,C2为任意常数．21 1，所以方程通2213．设A a是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aij为元素a ij的代数余子式，且满足ijA ij a ij0(i,j1,23)，则A=．,T 【详解】由条件A ij a0(i,j1,2,3)可知*0AA，其中A*为A的伴随矩阵，从ij 而可知AT31**AAA，所以A可能为1或0．n,r(A)n但由结论*Tr(A)1,r(A)n1可知，AA*0可知r(A)r(A*),伴随矩阵的秩只0,r(A)n1能为3，所以A1.14．设随机变量X服从标准正分布X~N(0,1)，则EXe2X．【详解】E2XXe222x(x2)(x2)21xe22x2xeeedx(x22)e2dx2222d x2e2tet 22dt 2 e2t2 dt2e E(X )22e22e．所以为2 2e．三、解答题15．（本题满分10分）当x0时，1cosxcos2xcos3x与nax是等价无穷小，求常数a,n．【分析】主要是考查x0时常见函数的马克劳林展开式．1 2ox2【详解】当x0时，()cxo1sx，2cos212ox2xox22x1(2x)()12()，2192ox2x2ox2cos3x1(3x)()1()，22所以1cosxcos2xcos3x1(1，1292ox2xoxxoxxox222222x())(12())(1())7(2)由于1cosxcos2xcos3x与nax是等价无穷小，所以a7,n2．16．（本题满分10分）设D是由曲线y，直线xa(a0)及x轴所转成的平面图形，V x,V y分别是D绕x3x 3x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10V x V y，求a的值．【详解】由微元法可知25aa3233V x ydxxdxa；005V476 aa33y2xf(x)dx2xdxa；07由条件10Vx V，知a77．y17．（本题满分10分）设平面区域D是由曲线x3y,y3x,xy8所围成，求x2．dxdyD【详解】D41623x68x22222xdxdyxdxdyxdxdyxdxdyxdxdy．xx032DD331218．（本题满分10分）Q 设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60,（P1000 是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义．（3）使得利润最大的定价P．【详解】2Q（1）设利润为y，则6000yPQ(600020Q)40Q，1000Q边际利润为y'40.500（2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20．20000（3）令y'0，得40.Q20000,P601000019．（本题满分10分）设函数fx 在[0,)上可导，f00，且limf(x)2x，证明（1）存在a0，使得fa1; （2）对（1）中的a ，存在(0,a)，使得f 1'()． a【详解】证明（1）由于limf(x)2，所以存在X0，当xX 时，有x3 25 f(x)，2又由于fx 在[0,)上连续，且f00，由介值定理，存在a0，使得fa1; （2）函数fx 在[0,a]上可导，由拉格朗日中值定理，存在(0,a)，使得 f f (a)f(0)1'()．aa20．（本题满分11分） A 设1 1 a 0,B 0 1 1 b，问当a,b 为何值时，存在矩阵C ，使得ACCAB ，并求出所有矩阵C ．【详解】显然由ACCAB可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设xx12C ，xx 34则ACCAB 变形为x 1 x 2 x 3 a x 3 x4 a x 1 x 2 x 2 ax 3a x 4 0 1 1 b，x 2 a x 3 0 即得到线性方程组 ax 1 x 1 x 3x 2 x 4a x 4 1 1，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方 x 2 a x 3b程组的增广矩阵进行初等行变换如下01a0010111Aa 10a101a00 |b ，1011100001a01a0b0000b所以，当a1,b0时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得ACCAB ．10111此时，01100 A|b ，0000000000x 1 111 所以方程组的通解为x010 2 xCC ，也就是满足ACCAB 的矩阵12x010 3 x 4001C 为1CCC121C ，其中C 1,C 2为任意常数．CC 1221．（本题满分11分）设二次型22f(x 1,x ,x)2(axaxax)(bxbxbx)．记23112233112233 a 1 b 1 a 2 , b 2 ．a 3b 3（1）证明二次型f 对应的矩阵为2T T；（2）若,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22 2y y ． 12【详解】证明：（1） f( x,x 12 , x)3 2(ax 11 a 2 x 2 ax 33 ) 2 (bx 11 b 2 x 2 b 3 x)32 a 1 x 1 b 1 x 12 x , 1 x 2 , x3 a 2 a 1 ,a,a 23 x 2x 1 , x , 2 x 3 b 2 b , 1 b 2 ,b 3 x 2a 3 x 3b 3 x 3x 1 x 1 x, 1 x, 2 x 3 2 T x 2 x, 1 x 2 , x 3 T x2x 3 x 3x1x, 1 x , 2 x 32TT x 2 x 3所以二次型f 对应的矩阵为TT 2．证明（2）设ATTT 2，由于1,0 2T TT则222A ，所以为矩阵对应特征值12的特征向量；2TTTA22，所以为矩阵对应特征值21的特征向量；TTrrTT 而矩阵A的秩()(2)(2)()2rAr，所以30也是矩阵的一个特征值．故f在正交变换下的标准形为22 2y y．1222．（本题满分11分）设X,Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为2x3x,01 f X(x)，在给定0,其他Xx(0x1)的条件下，Y的条件概率密度为23y,0yx,f Y y/x)．(3xX0,其他（1）求X,Y的联合概率密度fx,y；（2）Y的的边缘概率密度f(y)Y．【详解】（1）X,Y的联合概率密度fx,y：fx,yf(y/x)f XYX (x)29yx0,,0 x1,0y其他x（2）Y的的边缘概率密度f(y)Y：f Y(y)f(x,y)dxy29y1xdx92y ln y,0 y 10,其他23．（本题满分11分）2设总体X的概率密度为 f (x;)3x xe,x0 ，其中为为未知参数且大于零，0,其他X1X2,X为来自总体X的简单随机样本．n（1）求的矩估计量；（2）求的极大似然估计量．【详解】（1）先求出总体的数学期望E（X）2x，E(X)xf(x)dxedx02x令n1E(X)XX，得的矩估计量inn1X1nni1Xi．（2）当x0(i1,2,n)i时，似然函数为Ln 1n22nix xi1i()ee ，33 xn i1ix i i1取对数，nn 1 lnL()2nln3lnx ，ix i1ii1 dlnL() 令0dn 2n1 ，得0ix i 1，解得的极大似然估计量为．。

2013年考研数三真题及答案解析(完整版)

倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。

周遭流岚升腾，没露出那真实的面孔。

面对那流转的薄雾，我会幻想，那里有一个世外桃源。

在天阶夜色凉如水的夏夜，我会静静地，静静地，等待一场流星雨的来临…许下一个愿望，不乞求去实现，至少，曾经，有那么一刻，我那还未枯萎的，青春的，诗意的心，在我最美的年华里，同星空做了一次灵魂的交流…秋日里，阳光并不刺眼，天空是一碧如洗的蓝，点缀着飘逸的流云。

偶尔，一片飞舞的落叶，会飘到我的窗前。

斑驳的印迹里，携刻着深秋的颜色。

在一个落雪的晨，这纷纷扬扬的雪，飘落着一如千年前的洁白。

窗外，是未被污染的银白色世界。

我会去迎接，这人间的圣洁。

在这流转的岁月里，有着流转的四季，还有一颗流转的心，亘古不变的心。

2013年考研数三真题及答案解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（A ）)()(32x o x o x =⋅ （B ）)()()(32x o x o x o = （C ）)()()(222x o x o x o =+ （D ）)()()(22x o x o x o =+【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2332x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是)(2x o 故应该选（D ）．2．函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x ex xx xln ~11ln -=-，1ln ln limln )1(1lim)(lim 0==+-=→→→x x x x x x x x x f x xx x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．21ln 2ln limln )1(1lim)(lim 011==+-=→→→xx x x xx x x x f x xx x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→xx x x xx x x x f x x x x ln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的可去间断点．故应该选（C ）．３．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk kk D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）．４．设{}n a 为正项数列，则下列选择项正确的是（）（A ）若1+>n n a a ，则∑∞=--11)1(n n n a 收敛；（B ）若∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则1+>n n a a ；（C ）若∑∞=1n na收敛．则存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在；（D ）若存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在，则∑∞=1n na收敛．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A ）（B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ），但少一条件0lim =∞→n n a ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价．（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价．（D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．【详解】把矩阵A ，C 列分块如下：()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121 ==，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i =+++=αααγ，得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即1-=CB A ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．应该选（B ）．6．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数（C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数【详解】注意矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 是对角矩阵，所以矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．)22)2((111122a b b aa baa A E -++--=---------=-λλλλλλλ从而可知b a b 2222=-，即0=a ，b 为任意常数，故选择（B ）．7．设321,,X X X 是随机变量，且)3,5(~),2,0(~),1,0(~23221N X N X N X ，{}22≤≤-=i i X P P ，则（A ）321P P P >> （B ）312P P P >> （C ）123P P P >> （D ）231P P P >> 【详解】若),(~2σμN X ，则)1,0(~N X σμ-1)2(21-Φ=P ，{}1)1(212122222-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤≤-=X P X P P ，{}())13737)1(3523535222333Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ--Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=X P X P P ，=-23P P 0)1(32)1(3371<Φ-<Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ+．故选择（A ）．8．设随机变量X 和Y 相互独立，且X 和Y 的概率分布分别为X 0 1 2 3P P1/21/41/81/8Y -1 0 1 P1/31/31/3则{}==+2Y X P （）（A ）121 （B ）81 （C ）61 （D ）21 【详解】{}{}{}{}612412411211,30,21,12=++=-==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P ，故选择（C ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ．【详解】由条件可知()1)1(',01==f f ．所以2)1('22222)1(221lim 2lim -=-=-+⋅+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→f nn n f n f n n nf n n 10．设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x=+确定，则=∂∂)2,1(|xz．【详解】设()xyy z z y x F x -+=)(,,，则()1)(),,(,)ln()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ，当2,1==y x 时，0=z ，所以2ln 22|)2,1(-=∂∂xz． 11．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ．【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 12．微分方程041=+'-''y y y 的通解为．【详解】方程的特征方程为041=+-λλr，两个特征根分别为2121==λλ，所以方程通解为221)(xe x C C y +=，其中21,C C 为任意常数．13．设()ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A = ．【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+TA A ，其中*A 为A 的伴随矩阵，从而可知A AA A T -===-13**，所以A 可能为1-或0．但由结论⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知，0*=+TA A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只能为3，所以.1-=A14．设随机变量X 服从标准正分布)1,0(~N X ，则()=XXeE 2 ．【详解】()=X Xe E 2dx ex edx ex dx exe x x x x⎰⎰⎰∞+∞---∞+∞-+--∞+∞--+-==2)2(222)2(22222)22(2221πππ22222222)(2222e e X E e dt e dt te e t t =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∞+∞--∞+∞--π．所以为22e ．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,．【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式．【详解】当→x 时，)(211cos 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ． 16．（本题满分10分）设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值．【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a ax ===⎰⎰；πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a a y ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ． 17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰Ddxdy x 2．【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx xx D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,100060QP -=（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义．（3）使得利润最大的定价P ．【详解】（1）设利润为y ，则6000100040)206000(2--=+-=Q Q Q PQ y ，边际利润为.50040'Q y -= （2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20．（3）令0'=y ，得.40100002000060,20000=-==P Q19．（本题满分10分）设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞→x f x ，证明（1）存在0>a ，使得();1=a f（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得af 1)('=ξ．【详解】证明（1）由于2)(lim =+∞→x f x ，所以存在0>X ，当X x >时，有25)(23<<x f ，又由于()x f 在),0[+∞上连续，且()00=f ，由介值定理，存在0>a ，使得();1=a f（2）函数()x f 在],0[a 上可导，由拉格朗日中值定理，存在),0(a ∈ξ，使得aa f a f f 1)0()()('=-=ξ．20．（本题满分11分）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出所有矩阵C ．【详解】显然由B CA AC =-可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321x xx x C ，则B CA AC =-变形为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-b ax x xx x ax x ax ax x 1103243142132，即得到线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=++-=+-bax x x x x ax x ax ax x 3243142132110，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=b a ab a aa ab A 0010000001011101010111011010010|，所以，当0,1=-=b a 时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得B CA AC =-．此时，()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000000000011011101|b A ，所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100101110001214321C C x x x x x ，也就是满足B CA AC =-的矩阵C 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=211211C C C C C C ，其中21,C C 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα．（1）证明二次型f 对应的矩阵为 TTββαα+2；（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22212y y +．【详解】证明：（1）()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++=321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,,,,2,,,,,,,,,,2)()(2),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b b b b b x x x x x x a a a a a a x x x x b x b x b x a x a x a x x x f T T TT ββααββαα所以二次型f 对应的矩阵为 TT ββαα+2．证明（2）设=A TTββαα+2，由于0,1==αβαT则()ααββαααββααα2222=+=+=T TT A ，所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征向量；()ββββααβββααβ=+=+=222T T T A ，所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向量；而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=TTTTr r r A r ββααββαα，所以03=λ也是矩阵的一个特征值．故f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 22．（本题满分11分）设()Y X ,是二维随机变量，X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,010,3)(2x x x f X ，在给定)10(<<=x x X 的条件下，Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0,0,3)/(32x y x y x y f XY ．（1）求()Y X ,的联合概率密度()y x f ,；（2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ．【详解】（1）()Y X ,的联合概率密度()y x f ,：()⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=⋅=其他,00,10,9)()/(,2x y x x y x f x y f y x f X XY（2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ：⎪⎩⎪⎨⎧<<-===⎰⎰∞+∞-其他,010,ln 99),()(212y y y dx x y dx y x f y f yY 23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,);(32x e x x f x θθθ，其中θ为为未知参数且大于零，n X X X ,21为来自总体X 的简单随机样本．（1）求θ的矩估计量；（2）求θ的极大似然估计量．【详解】（1）先求出总体的数学期望E （X ）θθθ===⎰⎰∞+-∞+∞-022)()(dx e xdx x xf X E x ，令∑===n n i X n X X E 11)(，得θ的矩估计量∑=∧==ni i X n X 11θ．（2）当),2,1(0n i x i =>时，似然函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∏∏n i i i x n i i n n i x i e x e x L 11312132)(θθθθθ，取对数，∑∑==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n i i n i i x x n L 11ln 31ln 2)(ln θθθ，令0)(ln =θθd L d ，得0121=-∑=n i i x n θ，解得的极大似然估计量为．。

2013年考研数三真题与答案解析(完整版)

2013 年考研数三真题及答案解析一、选择题1 —8 小题．每小题4 分，共 32 分．、１．当 x0 时，用 o(x) 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（ A ） x o ( x 2 ) o(x 3 )（ B ） o( x) o(x 2 ) o( x 3 )（ C ） o( x 2 ) o( x 2 )o( x 2 )（ D ） o(x) o( x 2 ) o( x 2 )【详解】由高阶无穷小的定义可知（ A ）（ B ）（ C ）都是正确的，对于（ D ）可找出反例，例如当 x 0时 f (x)x 2x 3 o( x), g( x)x 3o(x 2 ) ，但 f (x)g(x)o( x) 而不是o( x 2 ) 故应该选（ D ）．xx2．函数 f ( x)1的可去间断点的个数为（）x( x1) ln x（A ）0（ B ）1（ C ）2（D ）3【详解】当 x ln xx1e xln x1 ~ x ln x ，0 时， xxx ln xlim f ( x) limx1lim 1 ，所以 x 0是函数 f ( x) 的可去间断点．x 0x 0x( x 1) ln xx 0x ln xxx ln xlim f ( x) limx1lim 1，所以 x1 是函数 f ( x) 的可去间断点．x 1x 1x( x 1) ln xx 02 x ln x2xxxln xlim f ( x)lim1lim，所以所以 x1不是函数 f (x) 的(x 1) ln xx1x1x(x 1) ln xx 1可去间断点．故应该选（ C ）．３．设 D k 是圆域 D( x, y) | x 2y 2 1 的第 k 象限的部分，记 I k( y x)dxdy ，则D k（）（ A ） I 1B I 2 0C 3 0D I 4 0（）（） I（）【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知k 2121I k( yx)dxdy( k 1) d(sincos )rdrD k321kcos |k 2sin132所以 I 1I 30,I 22 , I 4 2 ，应该选（ B ）．3 3４．设 a n 为正项数列，则下列选择项正确的是（）（A ）若 a na n 1 ，则( 1) n 1 a n 收敛；n 1k2 (sinsin ) dk 1 2（B ）若( 1)n 1 a n 收敛，则 a n a n 1 ；n 1（C ）若a n 收敛．则存在常数 P 1，使 lim n p a n 存在；n 1n（D ）若存在常数 P 1，使 lim n p a n 存在，则a n 收敛．nn 1【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（ D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（ A ）（ B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（ A ），但少一条件 lim a n0 ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，n选项（ B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（ A ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价．（ B ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．（ C ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．（ D ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价．【详解】把矩阵 A ，C 列分块如下： A 1, 2,, n , C 1 , 2 , , n ，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知i b i1 1 b i 2 2b in n (i 1,2, , n) ，得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即 A CB 1 ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B ）．1 a 12 06．矩阵 a b a与矩阵0 b 0 相似的充分必要条件是1 a 10 0（） a0,b2（） a 0， b 为任意常数AB（ C ） a 2,b 0（D ） a 2 ， b 为任意常数2 01 a 12 0 0 【详解】注意矩阵 0 b0 是对角矩阵，所以矩阵 A= a ba 与矩阵0 b 0 相 0 01 a 10 0似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．1a 1 E Aa b a ( 2(b 2)2b 2a 2 )1a1从而可知 2b 2a 2 2b ，即 a 0 ， b 为任意常数，故选择（ B ）．7 ．设 X 1,X 2,X 3是随机变量，且X 1~ N (0,1), X 2 ~ N(0,22), X 3 ~ N(5,32) ，P iP 2 X i2 ，则（A ） P 1 P 2 P 3（B ） P 2 P 1 P 3（C ） P 3P 2 P 1（D ） P 1P 3P 2【详解】若 X ~ N(, 2)，则 X~ N(0,1)P 1 2 (2) 1， P 2P2X 22PX 2 12 (1) 1，12P 3 P2X 32 P2 5 X3 52 5 7 7333( 1)1)33，P 3P 217 3 (1) 0．3(1)23故选择（ A ）．8．设随机变量 X 和 Y 相互独立，且X 和 Y 的概率分布分别为X0 1 2P1/21/41/8Y -1 0 P1/31/3则PXY2 （）（A ）1（B ）1（C ）1（D ） 128 63P 1/8 1 1/312【详解】PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX1111 3,Y12424612，故选择（ C）．二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4分，满分 24分 .把答案填在题中横线上）9．设曲线y f (x) 和 y x 2x 在点1,0处有切线，则lim nf n．n n2【详解】由条件可知 f 10, f ' (1)1．所以f12 n n f (1)lim nf lim2 2 f '(1)2n22n 2n nn22n10．设函数z z x, y 是由方程z y x xy 确定，则z|(1,2 )．x【详解】设 F x, y, z F x x, y, z( z y) x l z y)当 x 1, y 2 时，z0 ，所以11．ln x2 d x．(1x)1(z y x xy，则)y, F z (x,ny, z) x(z y) x 1，(z|(1, 2 )2 2 ln 2 ．x【详解】1ln x2 dx1ln xd1ln x |111dx ln x|1 ln 2 (1 x) 1 x1x x(1 x)x112．微分方程y y 1 y0 的通解为．411【详解】方程的特征方程为r0，两个特征根分别为412，所以方程通2x解为 y (C1 C 2 x) e2，其中 C1 ,C2为任意常数．13．设A aij是三阶非零矩阵， A 为其行列式，A ij为元素 a ij的代数余子式，且满足Aij aij0(i , j1,2,3) ，则A=．【详解】由条件 Aijaij0(i, j 1,2,3) 可知 AA* T 0 ，其中 A * 为 A 的伴随矩阵，从而可知A* A *T3 1A ，所以 A 可能为1或 0．An,r (A)n但由结论 r ( A * )1, r ( A) n 1 可知， A A * T 0 可知 r ( A)r ( A*) , 伴随矩阵的秩只0, r ( A) n1能为 3，所以 A 1.14．设随机变量 X 服从标准正分布 X ~ N ( 0,1) ，则 E Xe 2X．【详解】E Xe 2 X1 x 2x(x 2)2e 2(x 2) 2xe2xe 2dxe2dx( x 22)e 2dx222 2e 2t 2t 2te 2 dt 2e 2 dte 2 E( X ) 2e 2 2e 2 ．2所以为 2e 2 ．三、解答题15．（本题满分 10 分）当 x0时，1 cosx cos2x cos3x 与 ax n 是等价无穷小，求常数a, n ．【分析】主要是考查 x 0 时常见函数的马克劳林展开式．【详解】当 x 0时，122 )，c x o 1 s xo( x1(2x) 22cos2 x1 o(x2 ) 1 2 x 2 o(x 2 )，2cos3x11(3x)2o( x 2 ) 1 9 x 2 o( x 2 ) ，2 2所以1 cosx cos2xcos3x1 (1 1 x2 o( x 2 ))(12x 2 o(x 2 ))(1 9 x 2o( x 2 )) 7x 2o( x 2 )22，由于 1cosx cos2 x cos3x 与 ax n 是等价无穷小，所以 a7, n 2 ．16．（本题满分10 分）设 D 是由曲线 y3x ，直线 x a (a 0) 及 x 轴所转成的平面图形，V x ,V y 分别是 D 绕 x轴和 y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若10V x V y ，求 a 的值．【详解】由微元法可知a252 dxa3a 3V xy x 3 dx；5aa 47x 3dx6a 3V y2 xf ( x) dx 2；0 7由条件 10V x V y ，知 a 7 7 ．17．（本题满分 10 分）设平面区域 D 是由曲线 x3 y, y3x, x y 8 所围成，求x 2 dxdy ．D【详解】x 2dxdyx 2dxdyx 2dxdy2x 2dx x dyx 2dx x dy416 ．3 x6 8 xDD 1D 20 32 3318．（本题满分 10 分）设生产某产品的固定成本为6000 元，可变成本为20 元 / 件，价格函数为 P60Q,（P1000是单价，单位：元， Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（ 1）该的边际利润．（ 2）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义．（ 3）使得利润最大的定价 P ．【详解】（1）设利润为Q 2 y ，则 y PQ (6000 20Q ) 40Q6000 ，1000边际利润为 y'40Q .500（ 2）当 P=50 时， Q=10000，边际利润为 20．经济意义为：当 P=50 时，销量每增加一个，利润增加20．（3）令 y'0，得Q20000 , P20000 40.601000019．（本题满分 10 分）设函数 f x 在 [0,) 上可导， f0 0 ，且 lim f (x)2 ，证明x（1）存在 a 0 ，使得 f a1;（2）对（ 1）中的 a，存在(0, a) ，使得 f ' ( 1 ．)a【详解】证明（ 1）由于lim()2，所以存在X0，当 x X 时，有3，f x5x f (x)22又由于 f x在 [0,) 上连续，且 f 00 ，由介值定理，存在a0 ，使得 f a 1;（2）函数f x 在 [0,a] 上可导，由拉格朗日中值定理，存在(0, a) ，使得 f ' ()f (a) f (0)1．a a20．（本题满分 11 分）1a, B 01，问当 a, b 为何值时，存在矩阵C，使得AC CA B ，并求出设 A01b1所有矩阵 C．【详解】显然由 AC CA B 可知，如果C存在，则必须是x1x22 阶的方阵．设C，x3x4则 AC CA B 变形为x2ax3ax1x2ax40 1，x1x3x4x2ax3 1 bx2ax30即得到线性方程组ax1x2ax41，要使 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方x1x3x41x2ax3b程组的增广矩阵进行初等行变换如下01a0010111a10a101a00 A |b011100001，1a01a0b0000b所以，当 a1, b0 时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得AC CA B ．10111此时， A | b011000000，00000x1111所以方程组的通解为x x20C11C2，也就是满足 AC CA B 的矩阵x3010x4001C为C1C1C2C1，其中 C1 , C2为任意常数．C1C221．（本题满分 11 分）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2(a1 x1 a2 x2 a3 x3 ) 2(b1 x1 b2 x2 b3 x3 )2．记a1b1a2,b2．a3b3（1）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T T ；（2）若,正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2 y12y22．【详解】证明：（1）f ( x1, x2 , x3 ) 2(a1 x1 a2 x2a3 x3 ) 2(b1 x1b2 x2b3 x3 ) 2a1x1b12 x1, x2 , x3 a2a1 ,a2 , a3 x2x1 , x2 , x3 b2 b1, b2 ,b3a3x3b3x1x1x1, x2 , x3 2T x2x1, x2 , x3T x2x3x3x1x1, x2 , x3 2T T x2x3所以二次型 f 对应的矩阵为2T T ．证明（ 2）设A2T T ，由于1, T0则 A2T T22T2，所以为矩阵对应特征值向量；A2T T2T2，所以为矩阵对应特征值量；x1x2x31 2 的特征21的特征向而矩阵 A 的秩r ( A) r ( 2T T )r (2T ) r (T) 2，所以30 也是矩阵的一个特征值．故 f 在正交变换下的标准形为 2 y12y22．22．（本题满分11 分）设 X,Y是二维随机变量， X 的边缘概率密度为f X( x)3x2 ,0x 1，在给定0,其他X x(0x1) 的条件下，Y的条件概率密度为f Y( y / x)3y 2,0y x,x 3．X0,其他（1）求X ,Y的联合概率密度 f x, y ；（2） Y 的的边缘概率密度f Y ( y) ．【详解】（ 1）X , Y的联合概率密度 f x, y：f x, y f Y ( y / x) f X ( x)9 y 2,0 x1,0y x xX0,其他（2） Y 的的边缘概率密度f Y ( y) ：f Y ( y) f (x, y)dx 1 9 y29 y2ln y,0 y 1dxy x0,其他23．（本题满分11 分）2设总体X 的概率密度为 f (x; )x 3e x , x 00,，其中为为未知参数且大于零，其他X1X 2,X n为来自总体 X 的简单随机样本．（1）求的矩估计量；（2）求的极大似然估计量．【详解】（ 1）先求出总体的数学期望E（ X）2E(X)xf (x)dx2e x dx，x令 E(X)1nX X i，得的矩估计量n n 1（2）当x i0(i1,2, n) 时，似然函数为1 nX i．Xn i1n22nn 1xx iL ( )3 ei3ei 1n，i1x ix ii 1取对数， ln L() 2nlnn1 3nln x i ，x ii 1i 1令 d ln L( )0 ，得2nn10 ，di 1 xi解得的极大似然估计量为．。

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填写在答题纸指定位置上。

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分。

请将答案写在答题纸指定位置上。

三、解答题：15~23小题，共94分。

请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2014新东方考研公共课辅导班2014新东方考研公共课联报VIP高辅班课程名称课时原价优惠价购买【协议】2014考研政英数联报VIP高辅班87511,6008,080【协议】2014考研政英联报VIP高辅班5747,8006,120【协议】2014考研英数联报VIP高辅班6388,4006,280【协议】2014考研政数联报VIP高辅班5737,0005,5802014新东方考研公共课联报协议班课程名称课时原价优惠价购买【协议】2014考研政英数全程联报协议班650 4,440 3,240【协议】2014考研政英全程联报协议班465 3,060 2,340【协议】2014考研英数全程联报协议班430 3,060 2,340【协议】2014考研政数全程联报协议班425 2,760 2,0702014新东方考研公共课联报班课程名称课时原价优惠价购买2014考研政英数全程联报班630 3,180 2,5002014考研政英全程联报班445 2,190 1,6902014考研英数全程联报班410 2,190 1,6902014考研政数全程联报班405 1,980 1,5102014新东方考研英语课程名称课时原价优惠价购买【协议】2014考研英语VIP高辅班3374,6004,140【协议】2014考研英语全程协议班245 2,120 1,5102014考研英语全程班225 2,120 1,0802014考研英语基础班120 780 7002014考研英语强化班75 680 6102014考研英语冲刺班25 280 2502014新东方考研英语二课程名称课时原价优惠价购买【协议】2014考研英语（二）全程协议班236 2,560 1,5102014考研英语（二）全程班195 2,560 1,0802014考研英语（二）预科班 6 120 1102014考研英语（二）基础班100 780 7002014考研英语（二）强化班53 680 6102014考研英语（二）冲刺班36 280 2502014考研英语（二）4年真题精讲班20 320 2902014新东方考研政治课程名称课时原价优惠价购买【协议】2014考研政治VIP高辅班2723,2002,880【协议】2014考研政治全程协议班240 1,740 1,2402014考研政治全程班220 1,740 8902014考研政治知识点精讲精练班95 780 7002014考研政治新大纲增补班 6 180 1602014考研政治冲刺班30 280 2502014考研政治时政精讲班 8 120 1102014考研政治点题班10 380 3402014新东方考研数学课程名称课时原价优惠价购买【协议】2014考研数学VIP高辅班3363,800 3,420【协议】2014考研数学全程协议班205 1,740 1,2402014考研数学全程班185 1,740 8902014考研数学基础预科班65 780 7002014考研数学分阶精讲精练班119 880 7902014考研数学冲刺班35 380 3402014考研数学3年真题精讲+答题技巧班30 480 430。

2013年全国考研数学三真题

n 1
（B）若 (1) n 1 an 收敛，则 an an 1
n 1

（C）若 an 收敛，则存在常数 P 1 ,使 lim n P an 存在
n 1 n

（D）若存在常数 P 1 ，使 lim n P an 存在，则 an 收敛
n n 1

（5）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 AB C , 则B可逆，则（（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价
（8）（C）解：
P X Y 2 P X 1，Y 1 P X 2，Y 0 P X 3 ， Y 1 1 1 1 1 1 1 1 P X 1 P Y 1 P X 2 P Y 0 P X 3 P Y 1 4 3 8 3 8 3 6
（I）证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T T ；（II）若 , 正交且均为单位向量，证明二次型 f 在正交变化下的标准形
2 为二次型 2 y12 y2 。
（22）（本题满分 11 分）设
X ,Y
是二维随机变量， X 的边缘概率密度为
2013 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定．．．位置上. （1）（D）解：（A）
xo( x 2 ) o( x 2 ) 0 x3 x2