高考数学大一轮复习 第八章 第9节 直线与圆锥曲线的位置关系课件

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(3)(方法一)设直线 l 与椭圆 E 交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
A，B 的中点 M 的坐标为(x0，y0)，
设直线 l 方程为 y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，
与x42＋y32＝1 联立得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
由 Δ＞0 得 4k2－m2＋3＞0，
【尝试解答】 (1)设动圆圆心的坐标为(x，y)(x＞0)， 因为动圆在 y 轴右侧与 y 轴相切，同时与圆 F2 相外切， 所以|CF2|－x＝1， ∴ x－12＋y2＝x＋1，化简整理得 y2＝4x，曲线 C 的方 程为 y2＝4x(x＞0)；
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(2)依题意，c＝1，|PF1|＝73，可得 xp＝23， ∴|PF2|＝53，又由椭圆定义得 2a＝|PF1|＋|PF2|＝73＋53＝4， a＝2. ∴b2＝a2－c2＝3，所以曲线 E 的标准方程为x42＋y32＝1；
一动圆在 y 轴右侧与 y 轴相切，同时与圆 F2 相外切，此动圆 的圆心轨迹为曲线 C，曲线 E 是以 F1，F2 为焦点的椭圆．
(1)求曲线 C 的方程； (2)设曲线 C 与曲线 E 相交于第一象限点 P，且|PF1|＝73， 求曲线 E 的标准方程；
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(3)在(1)、(2)的条件下，直线 l 与椭圆 E 相交于 A、B 两 点，若 AB 的中点 M 在曲线 C 上，求直线 l 的斜率 k 的取值 范围．
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2．当 a＝0，b≠0 时，即得到一个一元一次方程，则直 线 l 与圆锥曲线 E 相交，且只有一个交点，
①若 E 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关 系是 平行 ；
②若 E 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关 系是 平行或重合 ．
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二、圆锥曲线的弦长 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A、B
直线与椭圆的另一个交点为 M，与 y 轴的交点为 B，若|AM|
＝|MB|，则该椭圆的离心率为
．
【答案】
6 3
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5．(2013·山东高考)抛物线 C1：y＝21px2(p＞0)的焦点与双
曲线 C2：x32－y2＝1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M.
若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p＝( )
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规律方法 1 1.在第(2)问方法一中，根据 Δ＞0 求 t 的范 围，进而去求 k 的取值范围，这是求解的关键．
2．涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”， 构造出 kAB＝yx11－－yx22和 x1＋x2，y1＋y2，整体代换，求出中点或 斜率，体现“设而不求”的思想．
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A. 163
B.
3 8
C.2 3 3 【答案】 D
D.4 3 3
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6．(2014·课标全国卷Ⅱ改编)设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的
焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐
标原点，则△OAB 的面积为
．
【答案】
9 4
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考向一 [156] 中点弦、弦长问题 已知 F1(－1,0)、F2(1,0)，圆 F2：(x－1)2＋y2＝1，
两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝__1_＋__k_2_|x_2_－__x1_|＝ 1＋k12 |y2－y1|.
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1．直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系为 ()
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】 A
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2．若直线 y＝kx 与双曲线x92－y42＝1 相交，则 k 的取值范
第九节 直线与圆锥曲线的位置关系
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[考情展望] 1.考查直线与圆锥曲线方程的联立，根与系 数的关系，整体代入和设而不求的思想.2.通过研究直线与圆 锥曲线的位置关系，考查圆锥曲线中的弦长、中点弦问题， 最值与范围问题，定点与定值等问题.3.高考对圆锥曲线的综 合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、 平面向量等知识在解决问题中的综合应用．
围是( )
A.0，23 C.－23，23
B.－23，0 D.－∞，－23∪23，＋∞
【答案】 C
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3．已知倾斜角为 60°的直线 l 通过抛物线 x2＝4y 的焦点，
且与抛物线相交于 A、B 两点，则弦 AB 的长为
．
【答案】 16
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4．过椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左顶点 A 且斜率为 1 的
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一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关 于 x(或 y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或 ay2＋by＋c＝0)． 1．当 a≠0，可考虑一元二次方程的判别式 Δ，有 ①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线 相交 ； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 相切 ； ③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线 相离 ．
对点训练 设抛物线过定点 A(－1,0)，且以直线 x＝1 为 准线．
(1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程； (2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M，N，且线段 MN 恰被直线 x＝－12平分，设弦 MN 的垂直平分线的方程为 y＝ kx＋m，试求 m 的取值范围．
①
由韦达定理得 x1＋x2＝－3＋8km4k2，∴x0＝－3＋4km4k2，y0＝
3＋3m4k2，将 M－3＋4km4k2，3＋3m4k2代入 y2＝4x， 整理得 m＝－16k39＋4k2，
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②
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将②代入①得 162k2(3＋4k2)＜81，令 t＝4k2(t＞0)，则 64t2
＋192t－81＜0，∴0＜t＜38.∴－ 86＜k＜ 86且 k≠0. (方法二)设直线 l 与椭圆 E 交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，
B 的中点 M 的坐标为(x0，y0)， 将 A，B 的坐标代入椭圆方程中，得33xx2221＋＋44yy2221－－1122＝＝00，， 两式相减得 3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0， ∴yx11－ －yx22＝－34xy00，
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∵y20＝4x0，∴直线 AB 的斜率 k＝yx11－ －yx22＝－136y0， 由(2)知 xp＝23，∴y2p＝4xp＝83，∴yP＝±236， 由题设－236＜y0＜236(y0≠0)，∴－ 86＜－136y0＜ 86， 即－ 86＜k＜ 86(k≠0)．