2012高考数学热点考点精析：10导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例(新课标地区)

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[整理]高考数学热点考点精析：10导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例(新课标地区)

考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1．（2011·安徽高考文科·Ｔ10）函数()()21n f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则n 可能是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【思路点拨】代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案. 【精讲精析】选A. 代入验证,当n=1时，)2()1()(232x x x a x ax x f +-=-=，则)143()(2+-='x x a x f ，由)143()(2+-='x x a x f =0可知，1,3121==x x ，结合图象可知函数应在（0，31）递增，在）（1,31递减，即在31=x 处取得最大值，由,21)311(31)31(2=-⨯⨯=a f 知a 存在. 2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R ，2)(>'x f ，则f （x ）＞2x+4的解集为（A ）（-1，1）（B ）（-1，+∞）（C ）（-∞，-1）（D ）（-∞，+∞）【思路点拨】先构造函数)42()()(+-=x x f x g ，求其导数，将问题转化为求)(x g 单调性问题即可求解．【精讲精析】选B.构造函数)42()()(+-=x x f x g ，则=-)1(g 022)42()1(=-=+---f ，又因为2)(>'x f ，所以02)()(>-'='x f x g ，可知)(x g 在R 上是增函数，所以)42()(+>x x f 可化为0)(>x g ，即)1()(->g x g ，利用单调性可知，1->x ．选B.3．（2011·安徽高考理科·Ｔ10）函数()()1n m f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则,m n 的值可能是（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n == 【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出)(x f 的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n 的取值. 【精讲精析】选B.函数()()1n m f x ax x =-的导数11()()(1)(),m n m f x m n ax x x m n--'=-+--+则)(x f '在),0(n m m+上大于0，在)1,(nm m +上小于0，由图象可知极大值点为31，结合选项可得m=1,n=2.二、填空题4.（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值.【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值的时刻. 【精讲精析】答案：2由063)(2=-='x x x f 解得0=x 或2=x ，列表如下：∴当2=x 时，y 取得极小值.5．（2011·辽宁高考文科·Ｔ16）已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是【思路点拨】先求)(x f '，判断)(x f 的单调性．结合图象找条件．本题只要使)(x f 的最小值不大于零即可．【精讲精析】选A ，)(x f '=2-x e ．由)(x f '0>得2-x e 0>， ∴2ln >x ．由)(x f '0<得，2ln <x ． ∴)(x f 在2ln =x 处取得最小值．只要0)(min ≤x f 即可．∴02ln 22ln ≤+-a e ， ∴22ln 2-≤a ．∴a 的取值范围是]22ln 2,(--∞6.（2011·江苏高考·Ｔ12）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_________【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t 的表达式，然后考虑单调性求解最值。

导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例_OK

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(1)若f(x)在(0,+∞)内为单调函数，求p的取值范围；（2）当p≠0时，过点（1，0）作曲线y=f(x)的切线能作三条，求p的取值范围. 【解析】(1)f′(x)=px2-2x+p,x∈(0,+∞). ①p=0时,f′(x)=-2x<0,此时f(x)在(0,+∞)内单调递减.∴p=0.
②p>0时,f′(x)的对称轴为x= ∈(0,+∞),
(1)求全程运输成本Q（元）关于速度v的函数关系式；
（2）为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求
此时运输成本的最小值. 【解析】（1）Q=P·400
v
=
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=
=
(2)Q′= v-25v, 16
令Q′=0,则v=0（舍去）或v=80,
当0＜v＜80时，Q′＜0.
当80＜v≤100时，Q′＞0,
当a<0时，函数在(-∞,- ］上1 递减，
3a
在(- ,1)上递1增，在（ ,+∞）上1 递减，故当x取
3a 3a
3a
别取得1 极大值1和极小值，故选D.
3a
3a
,- 时分
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二、填空题（每小题3分，共9分）
6.函数y=2x3-2x2在区间［-1,2］上的最大值是____.
【解析】令y=f(x)=2x3-2x2, 则由f′(x)=6x2-4x=0.得x=0或x= . 2
∴当x=0时,f(x)max=m.∴m=3, 从而f(-2)=-37，f(2)=-5.∴最小值为-37.
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4.已知函数f(x)=ax3+bx2+c，其导函数

重点：利用导数知识解决实际生活中的最优化问题

在找到临界点后，需要判断这些点是否为极值点。如果函数在临界点的一侧递增，在另一侧递减，则该临界点是一个极大值点；如果函数在临界点的一侧递减，在另一侧递增，则该临界点是一个极小值点。
在确定了所有极值点后，需要比较这些点的函数值，以确定哪个点是最优解。如果目标是最小化函数，则选择函数值最小的极小值点作为最优解；如果目标是最大化函数，则选择函数值最大的极大值点作为最优解。
总结词
导数在最大利润问题中，可以帮助我们找到使利润最大的最优解。
总结词
导数在最大利润问题中，可以帮助我们找到使利润最大的最优解。
详细描述
在商业运营中，最大化利润是一个关键目标。导数的应用可以帮助我们找到使利润最大的最优解。例如，在定价策略中，我们可以通过求导找到最优的定价，以最大化利润。
详细描述
在商业运营中，最大化利润是一个关键目标。导数的应用可以帮助我们找到使利润最大的最优解。例如，在定价策略中，我们可以通过求导找到最优的定价，以最大化利润。
总结词：导数在最优化方案选择问题中，可以帮助我们找到最优的方案。
导数在解决最优化问题中的重要性
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02
导数大于零的区间内，函数值随自变量增大而增大。
单调递增
导数小于零的区间内，函数值随自变量增大而减小。
单调递减
不等式最值
利用导数研究函数在某区间内的单调性，进而确定不等式成立的条件和最值。
在某些情况下，可能存在多个最优解或没有最优解，这取决于问题的性质和约束条件。
实际案例分析
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04
总结词
导数在投资回报最大化问题中起到关键作用，通过求导数找到收益函数的最大值点，从而确定最优投资策略。
要点一
要点二
详细描述

导数及其应用生活中的优化问题举例

根据数据特点和预测需求，选择适合的时间序列预测模型，如 ARIMA、SARIMA、LSTM等。
模型参数设置
为预测模型设置合适的参数，以便进行模型训练和预测。
模型训练和优化
使用历史数据训练预测模型，并不断优化模型参数，以提高预测准确性。
时间序列预测模型的检验与应用
模型检验
使用独立的验证数据集评估预测模型的性能，比较实际值与预测值的差异。
导数及其应用生活中的优化问题举例
2023-11-08
contents
目录
• 导数的定义与计算 • 导数在生活中的应用 • 导数在优化问题中的应用举例 • 导数在最优问题中的应用 • 导数在时间序列预测中的应用 • 导数在其他领域的应用举例
01
导数的定义与计算
导数的定义
函数在某一点的导数
函数在某一点的导数描述了函数在该点的变化率。
通过运用导数，企业可以找到运营成本的最优解，以降低企业的运营成本。
在最小成本问题中，企业需要通过对运营成本的分析，寻找降低成本的途径。导数方法可以通过对成本函数进行求导，找到成本最低的运营方案。例如，在物流行业中，通过优化运输路线和装载方式可以降低运输成本。
04
导数在最优问题中的应用
最优路径问题
模型应用
将经过验证的预测模型应用于实际时间序列数据的预测，为决策提供支持。
06
导数在其他领域的应用举例
工程领域：结构优化设计、强度分析等
结构优化设计
在航空航天、建筑等领域，结构优化设计是至关重要的。导数可以帮助我们更好地理解结构的形状、尺寸和材料等参数对结构强度、刚度和稳定性的影响，从而优化设计。例如，通过有限元分析方法，利用导数求解结构中的应力、应变分布，进一步优化结构设计。

高中数学高考导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数()f x 满足22()2(),(2).8x e e x f x xf x f x '+==则x>0时,f(x)（）.A 有极大值，无极小值 .B 有极小值，无极大值 .C 既有极大值又有极小值 .D 既无极大值也无极小值【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。

【解析】选D.由题意知2332()2()()x x e f x e x f x f x x x x -¢=-=， x 2x 22g(x)e 2x f (x),g '(x)e 2x f '(x)4xf (x 2(()2())22(1).)x x xx e x f x xf x e e e x x则令¢==--+=-=-=--由()0g x ¢=得2x =,当2x =时,222min ()2208e g x e =-创= 即()0g x ³,则当0x >时,3()()0g x f x x ¢= , 故()f x 在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.2. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）相同已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,2)(2x x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是（）A.]0,(-∞B. ]1,(-∞C. ]1,2[-D. ]0,2[-【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用|)(|x f 在)0,0(处的切线为制定参数的标准.【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当0≤x 时，x x x f x g 2|)(|)(2-==，22)(-='x x g ，2)0(-='g ，故2-≥a .当0>x 时，)1ln(|)(|)(+==x x f x g ，11)(+='x x g 由于)(x g 上任意点的切线斜率都要大于a ，所以0≤a ，综上02≤≤-a .3. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T10)相同设已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（） A.0x R ∃∈，0()0f x =B.函数()y f x =的图象是中心对称图形C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A 项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x 0∈R,使f(x 0)=0,A 正确.B 项,假设函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为(m,n),按向量(,)a m n =--将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n 是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x 2+m 3+am 2+bm+c-n=0.上式对x ∈R 恒成立,故3m+a=0,得m=-3a ,n=m 3+am 2+bm+c=f 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为,33aa f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B 正确.C 项,由于()f x '=3x 2+2ax+b 是二次函数,f(x)有极小值点x 0,必定有一个极大值点x 1,若x 1<x 0,则f(x)在区间(-∞,x 0)上不单调递减,C 错误.D 项,若x 0是极值点,则一定有0()0f x '=.故选C.4.（2013·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数32()=+a +bx+f x x x c 有两个极值点1x ，2x ，若112()=f x x x <，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( ) A.3 B.4 C. 5 D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x 1或f(x)=x 2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A 。

高考理科数学考点解析导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)【解题指南】根据xf′(x)-f(x)<0,构造函数g(x)=,对函数g(x)=求导,利用其单调性及奇偶性确定f(x)>0成立的x的取值范围.【解析】选A.记函数()()f xg xx=，则''2()()()xf x f xg xx-=，因为当0x>时，'()()0xf x f x-<，故当0x>时，'()0g x<所以g(x)在(0,+∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,且g(-1)=g(1)=0.当0<x<1时,g(x)>0,则f(x)>0;当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0,综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).2.（2015·安徽高考文科·T10）函数()32f x ax bx cx d=+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（）A.a>0,b<0,c>0,d>0B.a>0,b<0,c<0,d>0C.a<0,b<0,c<0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d<0【解题指南】结合图像的特征及导函数的性质进行判断。

【解析】选A 。

由函数f(x)的图像可知a>0,令x=0得d>0，又/2()32f x ax bx c =++可知12x x ，是方程/()0f x =的两个根，由图可知120,0x x >>，所以121220030.03b x x b ac c x x a ⎧+=->⎪<⎧⎪⇒⎨⎨>⎩⎪=>⎪⎩，故选A.3. (2015·陕西高考理科·T12)对二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a 为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是 ( ) A.-1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点 C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上【解题指南】根据选项假设A 错误,利用导数推导函数的极值点及极值,与其余的选项相符,假设正确,从而确定答案.【解析】选A.若选项A 错误,则选项B,C,D 正确.f ′(x)=2ax+b,因为1是f(x)的极值点,3是f(x)的极值,所以{{{,解得,即,230230)1(3)1(a b a c b a c b a f f -=+==+=++='=,因为点(2,8)在曲线y=f(x)上,所以4a+2b+c=8,即4a+2×(-2a)+a+3=8,解得:a=5,所以b=-10,c=8,所以f(x)=5x 2-10x+8,因为f(-1)=5×1-10×(-1)+8=23≠0,所以-1不是f(x)的零点,所以选项A 错误,选项B 、C 、D 正确.4.(2015·福建高考理科·T10) 若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（） A ．11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【解题指南】利用导数与单调性的关系及构造函数法求解.【解析】选C.因为f ′(x)>k>1,构造函数g(x)=f(x)-kx,所以g(x)在R 上单调递增,又>0,所以g >g(0)即f->-1,得到f>,所以C 选项一定错误.A,B,D 都有可能正确.5.(2015·福建高考文科·T12)“对任意x∈,ksinxcosx<x ”是“k<1”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】构造函数,利用导数求出k 的范围. 【解析】选B.令g(x)=ksinxcosx-x=sin2x-x,因为x∈,2x∈,当k ≤0时,sin2x>0,g(x)<0恒成立,当0<k ≤1时,g ′(x)=kcos2x-1,因为<1,所以此时g ′(x)<0,g(x)在上单调递减,又g(0)=0,所以g(x)<g(0)=0成立,当k>1时,g ′(x)=0有一个根x 0且在区间(0,x 0)单调递增,此时g(x)<0不恒成立,故k 的范围是k ≤1,k ≤1不能推出k<1,充分性不成立,但是k<1能推出k ≤1,必要性成立.6.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T12)设函数f(x)=e x (2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x 0,使得f(x 0)<0,则a 的取值范围是 ( )A.)1,23[e -B. )43,23[e -C. )43,23[e D. )1,23[e【解题指南】构造函数g(x)=e x (2x-1),y=ax-a,使得f(x 0)<0,即g(x 0)在直线y=ax-a 的下方.【解析】选D.设g(x)=e x (2x-1),y=ax-a,由题意知存在唯一的整数x 0,使得g(x 0)在直线y=ax-a 的下方.因为g ′(x)=e x (2x+1),所以当x<-时,g ′(x)<0,当x>-时,g ′(x)>0,所以,当x=-12时,[g(x)]min =-2.当x=0时,g(0)=-1,g(1)=e,直线y=ax-a 恒过点(1,0),且斜率为a,故-a>g(0)=-1,且g(-1)=-3e -1≥-a-a,解得≤a<1.二、填空题7.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T14)已知函数f =ax 3+x+1的图象在点处的切线过点,则a= .【解题指南】先对函数f =ax 3+x+1求导,求出在点处的切线方程.【解析】因为f ′(x)=3ax 2+1,所以图象在点处的切线的斜率k=3a+1,所以切线方程为y-7=(3a+1)(x-2),即y=(3a+1)x-6a+5,又切点为,所以f(1)=3a+1-6a+5=-3a+6,又f(1)=a+2,所以-3a+6=a+2,解得a=1. 答案:18.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T16)已知曲线y=x+lnx 在点(1,1)处的切线与曲线y=ax 2+(a+2)x+1相切,则a= .【解题指南】先对函数y=x+ln x 求导,然后将(1,1)代入到导函数中,求出切线的斜率,从而确定切线方程,再将切线方程与曲线y=ax 2+(a+2)x+1联立,利用Δ=0求出a 的值.【解析】y ′=1+,则曲线y=x+ln x 在点(1,1)处的切线斜率为k=y ′=1+1=2,故切线方程为y=2x-1.因为y=2x-1与曲线y=ax 2+(a+2)x+1相切,联立⎩⎨⎧+++=-=1)2(122x a ax y x y 得ax 2+ax+2=0,显然a ≠0,所以由Δ=a 2-8a=0⇒a=8. 答案:89.（2015·安徽高考理科·T15）设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）(1)3,3a b =-=-；(2)3,2a b =-=；(3)3,2a b =->；(4)0,2a b ==;(5)1,2a b ==【解题指南】利用导数的单调性及极值判断各选项。

第二章第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

第二章第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课下练兵场一、选择题1.(2009·广东高考)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是 ( ) A.(－∞，2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2，＋∞) 解析：f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2. 答案：D2.已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为 ( ) A.－1 B.0 C.1 D.±1 解析：可以求出f (x )＝x 4－2x 2＋c ，其中c 为常数.由于f (x )过(0，－5)，所以c ＝－5，又由f′(x )＝0，得极值点为x ＝0和x ＝±1.又x ＝0时，f (x )＝－5，故x的值为0. 答案：B3.若函数f (x )＝ax 3－3x 在(－1,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是 ( ) A.a ＜1 B.a ≤1 C.0＜a ＜1 D.0＜a ≤1 解析：∵f ′(x )＝3ax 2－3，由题意f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立.若a ≤0，显然有f ′(x )＜0；若a ＞0，由f ′(x )≤0x ≥1，∴0＜a ≤1，综上知a ≤1.答案：B4.若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是先增后减的函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是 ( )解析：依题意，f ′(x )在[a ，b ]上是先增后减的函数，则在f (x )的图象上，各点的切线的斜率先随x 的增大而增大，然后随x 的增大而减小，观察四个选项中的图象，只有选项C 满足要求. 答案：C5.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间[0，π2]上的值域为 ( )A [211,e 22π] B(211,e 22π)C[ 21,e π] D(21,e π)解析：f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x ，0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )是[0，π2]上的增函数，∴f (x )的最大值为f ( π2 )＝21e 2πf (x )的最小值为f (0)＝12，∴f (x )在[0，π2]上的值域为[211,e 22π]答案：A6.已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈(－π2，π2)时，f (x )＝x ＋sin x ，则 ( )A.f (1)<f (2)<f (3)B.f (2)<f (3)<f (1)C.f (3)<f (2)<f (1)D.f (3)<f (1)<f (2) 解析：由f (x )＝f (π－x )，得函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，又当x ∈(－π2，π2)时，f ′(x )＝1＋cos x >0恒成立，所以f (x )在(－π2，π2)上为增函数，f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，且0<π－3<1<π－2<π2，所以f (π－3)<f (1)<f (π－2)，即f (3)<f (1)<f (2). 答案：D二、填空题7.f(x)＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为 . 解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2， f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6.若c ＝2，f ′(x)＝3x 2－8x ＋4，令f′(x )＞0⇒x ＜23或x ＞2，f ′(x )＜0⇒23＜x ＜2，故函数在⎝⎛⎭⎫－∞，23及(2，＋∞)上单调递增，在223⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，∴x ＝2是极小值点.故c ＝2不合题意，c ＝6. 答案：6 8.若函数f (x )＝2x x a+ (a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为 .解析：f′(x )＝22222222,()()x a x a x x a x a +--=++当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意. ∴f (x )ma x ＝f (1)＝11a +＝33，a ＝3－1. 答案：3－19.给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数.以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是 .(把你认为正确的序号都填上)①f(x)＝sin x ＋cos x ； ②f(x)＝ln x －2x ； ③f(x)＝－x 3＋2x －1； ④f(x)＝xe x .解析：对于①，f ″(x )＝－(sin x ＋cos x )，x ∈(0，π2)时，f ″(x)<0恒成立；对于②，f″(x )＝－21x，在x ∈(0，π2)时，f ″(x )<0恒成立；对于③，f ″(x )＝－6x ，在x ∈(0，π2)时，f ″(x )<0恒成立；对于④，f ″(x )＝(2＋x )·e x 在x ∈(0，π2)时f ″(x )>0恒成立，所以f (x )＝x e x 不是凸函数. 答案：④ 三、解答题10.(2009·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若当x ≥0时，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围. 解：(1)f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a ). 由已知a >1，∴2a >2，∴令f ′(x )>0，解得x >2a 或x <2，∴当x ∈(－∞，2)∪(2a ，＋∞)时，f (x )单调递增，当x ∈(2,2a )时，f (x )单调递减.综上，当a >1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)是增函数，在区间(2,2a )是减函数. (2)由(1)知，当x ≥0时，f (x )在x ＝2a 或x ＝0处取得最小值. f (2a )＝13(2a )3－(1＋a )(2a )2＋4a ·2a ＋24a＝－43a 3＋4a 2＋24a ＝－43a (a －6)(a ＋3)，f (0)＝24a .解得1<a<6.故a 的取范围是(1,6). 11.已知函数f (x )＝ln x －ax. (1)当a >0时，判断f (x )在定义域上的单调性；(2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求a 的值.解：(1)由题得f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2.∵a>0，∴f′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知：f ′(x )＝2x ax ， ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，∴a ＝－32(舍去).②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (e)＝1－e a ＝32，∴a ＝－e2(舍去).③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a . 当1<x <－a 时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(1，－a )上为减函数；当－a <x <e 时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(－a ，e)上为增函数，∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32⇒a ＝－e .综上可知：a ＝－ e.12.某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a (3≤a ≤5)元的管理费，预计当每件产品的售价为x (9≤x ≤11)元时，一年的销售量为(12－x )2万件.(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q (a ). 解：(1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为： L ＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9,11]. (2)L ′(x )＝(12－x )2－2(x －3－a )(12－x )＝(12－x )(18＋2a －3x ).令L ′(x )＝0得x ＝6＋23a 或x ＝12(不合题意，舍去).∵3≤a ≤5，∴8≤6＋23a ≤283.在x ＝6＋23a 两侧L ′的值由正值变负值.所以，当8≤6＋23a ≤9，即3≤a ≤92时，L max ＝L (9)＝(9－3－a )(12－9)2＝9(6－a )；当9＜6＋23a ≤283，即92＜a ≤5时，L max ＝L (6＋23a )＝(6＋23a －3－a )[12－(6＋23a )]2＝4(3－13a )3，∴399(6) 3,2()194(3) 532a a Q a a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩≤≤≤即当3≤a ≤92时，当每件售价为9元，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝9(6－a )万元；当92＜a ≤5时，当每件售价为(6＋32a )元，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝4(3 －13a )3万元.。

高考数学考点10导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例.docx

考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)【解题指南】根据xf′(x)-f(x)<0,构造函数g(x)=f(x)x ,对函数g(x)=f(x)x求导,利用其单调性及奇偶性确定f(x)>0成立的x的取值范围.【解析】选A.记函数()()f xg xx=，则''2()()()xf x f xg xx-=，因为当0x>时，'()()0xf x f x-<，故当0x>时，'()0g x<所以g(x)在(0,+∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,且g(-1)=g(1)=0.当0<x<1时,g(x)>0,则f(x)>0;当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0,综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).2.（2015·安徽高考文科·T10）函数()32f x ax bx cx d=+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（）A.a>0,b<0,c>0,d>0B.a>0,b<0,c<0,d>0C.a<0,b<0,c<0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d<0【解题指南】结合图像的特征及导函数的性质进行判断。

高考数学考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1.（2012•山东高考文科•Ｔ10）与（2012•山东高考理科•Ｔ9）相同函数cos 622x x xy -=-的图象大致为（）【解题指南】本题可利用函数的奇偶性，及函数零点的个数，取点验证法可得.【解析】选D.由()()x f x x x f x x x x -=--=--=---226cos 22)6cos(知()x f 为奇函数，当12π=x 时，y>0，随着x 的变大，分母逐渐变大，整个函数值越来越接近y 轴，只有D 选项满足.2.（2012·新课标全国高考理科·T10）已知函数f(x)=()1ln 1x x+-,则y=f(x)的图象大致为（）【解题指南】令()ln(1)g x x x =+-，通过对()g x 单调性与最值的考查，判断出在不同的区间段f(x)的函数值的正负，最后利用排除法得正确选项。

【解析】选B.()ln(1)()1()010,()00()(0)0x g x x x g x xg x x g x x g x g '=+-⇒=-+''⇒>⇔-<<<⇔>⇒<=得：0x >或10x -<<均有()0f x <，排除,,A C D3.（2012·辽宁高考文科·Ｔ8）函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞）（D ）（0，+∞）【解题指南】保证函数有意义的前提下，利用0y '≤解得单调减区间【解析】选B. 由211(ln )0112y x x x x x ''=-=-≤⇒-≤≤，又函数的定义域为(0,)+∞故单调减区间为](0,1.4.（2012·陕西高考文科·Ｔ9）设函数()f x =2x +ln x ，则（） (A) x=12为()f x 的极大值点 (B) x=12为()f x 的极小值点(C) x=2为()f x 的极大值点 (D) x=2为()f x 的极小值点【解题指南】先根据导数等于0求出极值点，再根据导数的正、负判断函数的单调性，判断极值点是极大值点还是极小值点.【解析】选D. ∵()f x =2x +ln x ，∴221()f x x x '=-+，令()0f x '=，即222120x x x x --+==，解得2x =，当2x <时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，所以x=2为()f x 的极小值点.5.（2012·福建高考文科·Ｔ12）已知32()69f x x x x abc =-+-，a b c <<且()()()0f a f b f c ===．现给出如下结论：①(0)(1)0f f >；②(0)(1)0f f <；③(0)(3)0f f >；④(0)(3)0f f <．其中正确结论的序号是（） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【解题指南】首先要构画函数的草图，因此，要求导，分析单调性，然后分别求出(0)f ，(1)f ，(3)f ，再判断各命题的真假．【解析】选C.f ′(x)=3x 2-12x+9=3(x-1)(x-3),函数在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,又因为f(a)=f(b)=f(c)=0,所以a ∈(-∞,1),b ∈(1,3),c ∈(3,+∞), f(1)=4-abc,f(3)=-abc,f(0)=-abc.又因为f(b)=b 3-6b 2+9b-abc=b(b 2-6b+9)-abc=b[(b-3)2-ac]=0,所以ac 为正数,所以a 为正数,则有f(0)<0,f(1)>0,f(3)<0,所以②③正确.6.（2012·江西高考理科·Ｔ10）如右图，已知正四棱锥S-ABCD 所有棱长都为1,点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记()01SE x x =<<,截面下面部分的体积为()V x ，则函数()y V x =的图象大致为（）A B C D【解题指南】分102x <<与112x ≤<两种情况讨论，当102x <<时，将截面上面部分的几何体分割为两个锥体，用间接法求出截面下面部分的体积V （x ）,然后通过V （x ）的解析式得到图象，当112x ≤<时，同理可得。

高考数学复习点拨：利用导数解决生活中的优化问题

利用导数解决生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为生活中的优化问题。

导数是解决优化问题的有力工具，利用导数解决优化问题的主要步骤为：1．建立优化问题的数学模型，写出优化问题中变量间的函数关系式，确定函数的定义域；2．求函数的导数ｆ'(x)，解方程ｆ'(x)=0，求出极值点；3．比较函数在区间端点和在极值点的取值大小，确定其最大（小）者为最大（小）值；4．检验所得结果是否符合问题的实际意义。

其中，关键在于如何建立优化问题的数学模型。

什么是数学建模？当人们面对一个实际问题时，不是直接就现实材料本身寻找解决问题的办法，而是经过一番必要而且合理的假设和简化，恰当地运用数学语言、方法去近似地刻划实际问题，得到一个数学结构（数学模型），通过数学上的结构揭示其实际问题中的含义，合理地返回到实际中去，这个过程就称为数学建模。

数学建模的全过程应该包括：（1）分析问题：了解问题的实际背景，掌握第一手资料。

（2）假设化简：根据问题的特征和目的，对问题进行化简，并用精确的数学语言来描述。

（3）建立模型：在假设的基础上利用适当的数学工具、数学知识，来刻划变量之间的数量关系，建立其相应的数学结构。

（4）求解并检验模型：对模型求解，并将求解结果与实际情况相比较，以此来验证模型的准确性。

例：用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如下图),问:该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解：（1）读题：把“问题情境”翻译为数学语言，找出问题的目标与条件的关系因为焊接而成的容器为长方体，所以求容器的容积最大即为求长方体的体积最大，而长方体的高x满足0<x<24条件。

（2）建模：设容器的高为xcm,，容器的体积为V(x)cm3，则V(x)=x（90-2x）（48-2x）=4x3-276x2+4320x (0<x<24)（3）求解：∵V'(x)=12 x2-552x+4320由V'(x)=12 x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36 (舍去）当0<x<10 时，V'(x)>0, 那么V(x)为增函数；当10<x<24时，V'(x)<0, 那么V(x)为减函数；所以,在定义域（0，24）内，函数V(x)只有当x=10时取得最大值，其最大值为V(10)=1960（cm3）答：当容器的高为10cm时,容器的容积最大，最大容积是1960（cm3）由此例可知，要完成数学建模这一过程，必须过三关：1．事理关：读懂题意，知道讲的是什么事件；2．文理关：需要将“问题情境”的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达关系；3．数理关：在构建数学模型的过程中，要求有对数学知识的检索能力，认定或构建相适应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，此后解答过程也需要较扎实的基础知识和较强的数理能力。

导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

导数在研究函数图像中的应用
总结词
通过求导可以绘制函数的图像，并分析函数的形态和变化趋势。
详细描述
利用导数可以求出函数的拐点、凹凸区间、切线斜率等性质，这些性质有助于绘制函数的图像。通过分析导数的正负和变化趋势，可以确定函数在不同区间的增减性和变化速率，进而绘制出精确的函数图像。
02 导数在解决生活中的优化问题举例
导数在最大利润问题中的应用
总结词
导数在解决最大利润问题中起到关键作用，通过求导数找到利润函数的极值点，从而确定最大利润。
VS
详细描述
在商业、金融、投资等领域中，最大利润问题是一个核心问题。导数可以帮助我们找到利润函数的极值点，从而确定在什么情况下能够获得最大利润。例如，在投资组合优化中，通过求导数可以找到最大化收益的投资组合。
03 导数的实际应用案例分析
导数在物理学中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如在研究物体的运动轨迹时，通过求导数可以得到物体在任意时刻的速度和加速度。
热传导
在研究热传导问题时，导数可以用来描述温度随时间的变化率，通过求解导数方程，可以得到温度分布的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描述应力和应变的关系，通过求解导数方程，可以得到物体的变形和受力情况。
导数在最小成本问题中的应用
总结词
导数在最小成本问题中扮演着重要角色，通过求导数找到成本函数的极值点，从而确定最小成本。
详细描述
在生产、运输、工程等领域中，最小成本问题是一个常见的问题。导数可以帮助我们找到成本函数的极值点，从而确定在什么情况下成本最低。例如，在生产过程中，通过求
导数可以找到生产某一产品的最低成本方案。

导数——生活中的优化问题应用举例

导数——生活中的优化问题应用举例导言：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.本文主要阐述如何利用导数,解决一些生活中的优化问题.导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面: 1.与几何学有关的最值问题 2.与物理学有关的最值问题3.与利润及其成本有关的最值问题4.效率最值问题注意点：在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值.知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤.典例剖析1.与几何学有关的最值问题例：（11江西文18）如图，在=2,2ABC B AB BC P AB π∆∠==中，，为边上一动点，PD//BC 交AC 于点D,现将'',PDA .PDA PD PDA PBCD ∆∆⊥沿翻折至使平面平面（1）当棱锥'A PBCD -的体积最大时，求PA 的长；（2）若点P 为AB 的中点，E 为''.AC B DE ⊥的中点，求证：A 解：（1）设x PA =，则)2(31312xx x S PA V PDCB PBCDA -=⋅='底面- 令)0(,632)22(31)(32>-=-=x x x x x x f ，则232)(2x x f -='由上表易知：当332==x PA 时，有PBCD A V -'取最大值。

高考数学复习点拨：如何利用导数解答生活中的优化问题

如何利用导数解答生活中的优化问题山东胡彬生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．本文主要阐述如何利用导数,解决一些生活中的优化问题．导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题.一．解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质,提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．二．利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。

磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所成的扇形区域.磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit ）。

为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于m ，每比特所占用的磁道长度不得小于n 。

为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r 与R 之间的环形区域．（1）是不是r 越小，磁盘的存储量越大？（2） r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解:由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于r 与R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于m ，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达R rm -。

由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达2r n π.所以，磁盘总存储量()f r =R rm-×2rn π2()r R r mn π=-. （1）它是一个关于r 的二次函数,从函数解析式上可以判断，不是r 越小,磁盘的存储量越大．（2）为求()f r 的最大值,计算()0f r '=．()2()2f r R r mn π'=- 令()0f r '=，解得2R r = 当2R r <时，()0f r '>；当2R r >时，()0f r '<．因此2R r =时,磁盘具有最大存储量。

导数在研究函数中的应用于生活中的优化问题举例

人的一生会经历风风雨雨，不是每一件事都由我们所控制，有些事的结果甚至会出乎我们的意料。

无论结果怎样，这对我们都不是最重要的，重要的是我们曾为它而经历过、拼搏过，只要有这个过程，我们就不会后悔。

第二十节导数在研究函数中的应用于生活中的优化问题举例知识梳理 1、函数的单调性与导数设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.2、函数的极值与导数(1)极值定义：极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值；极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＞)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极小值.(2)判别方法：①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.3、函数的最值(1)求()y f x =在(,)a b 内的极值（极大或者极小值）(2)将()y f x =的各极值点与(),()f a f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。

注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质) 第一部分基础自测1、当0>x 时，xx x f 4)(+=的单调减区间是______________.2、函数)(x f 的导函数),(x f '若,0)()1(>'⋅+x f x 则下列结论中正确的是（）A. 1-=x 一定是函数)(x f 的极大值点B. 1-=x 一定是函数)(x f 的极小值点C. 1-=x 不是函数)(x f 的极值点D. 1-=x 不一定是函数)(x f 的极值点3、函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值，最小值分别是_______.4、函数x x x f ln )(-=的单调递减区间为_________________.5、2)()(c x x x f -=在2=x 处有极大值，则常数c 的值为._________ 第二部分课堂考点讲解1、设函数.)1()(2ax e x x f x --=（1）若,21=a 求)(x f 的单调区间；（2）若当0≥x 时，,0)(≥x f 求a 的取值范围.2、设函数,20,1cos sin )(π<<++-=x x x x x f 求函数)(x f 的单调区间与极值.3、已知).0(3)(3>-=a ax x x f（1）当1=a 时，求)(x f 的单调区间；（2）求函数)(x f y =在]1,0[上的最小值.4、已知函数))((R x x f ∈的图像上任一点),(00y x 处的切线方程为),()1)(2(02000x x x x y y -⋅--=-那么函数)(x f 的单调减区间是_________. 第三部分考题演练1、设函数.1)(2ax x e x f x ---=若a=0，求)(x f 的单调区间；2、已知关于x 的函数).()(),(ln 2)(2x g x x f R a x a xx g +=∈+=（1）试讨论函数)(x g 的单调区间；（2）若,0≥a 试证)(x f 在区间（0,1）内有极值.3、已知函数),,()(22R b a bx x ax x f ∈++=)()()(x f x f x g '+=是奇函数.（1）求)(x f 的表达式（2）讨论)(x g 的单调性，并求)(x g 在区间]2,1[上的最大值与最小值.。

导数在研究函数中的应用和生活中的优化问题举例

由(2)可得，当x在区间[ 1 ,e]上变化时，f′(x),f(x)的变化
e
情况如下表：
x f′(x)
f(x)
1
( 1 ,1)
1
(1,e) e
e
e
–
0
+
2-
2 e
单调递减极小值1 单调递增 2
又2- 2 <2，所以函数f(x)(x∈[ 1 ,e])的值域为[1,2].
e
e
据此可得，若

m M
1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考炙手可热的考点，必须高度重视该部分内容的基础知识和基本方法，以达到熟练掌握、灵活运用的程度. 2.选择题、填空题侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属于中高档题.
知，x1= 1 ，x2=1，再结合图象可知函数应在(0，1 )递增，在
3
3
( 1 ，1)递减，即在x= 1 处取得极大值，由f( 1 )=a× 1 ×(1-
3
3
3
3
1 )2= 1 ，知a存在.
3
2
8.(2012·重庆高考)已知函数f(x)=ax3＋bx＋c在点x=2处取得极值c-16. (1)求a，b的值； (2)若f(x)有极大值28，求f(x)在［-3,3］上的最小值. 【解题指南】根据题意可先利用极值的定义求出a,b的值,然后再利用导数求出函数在［-3,3］上的最小值.
第七节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
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1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)，会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 3.会利用导数解决某些实际问题.

导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中的应用导数是微积分中的一个基本概念，它描述了函数在其中一点的变化率。

由于函数在不同点的变化率是函数的重要性质之一，所以导数在研究函数中有着广泛的应用。

下面将从几个方面探讨导数在研究函数中的应用。

首先，导数可以用来求函数的最值。

在实际问题中，我们经常需要找到一个函数的最大值或最小值，这些最值往往代表了问题中的其中一种最优解。

通过计算函数的导数，我们可以找到函数在哪些点取得最大值或最小值，从而解决问题。

例如，在经济学中，我们利用导数来确定一个企业的生产量，以使其利润最大化。

在物理学中，我们利用导数来确定一个物体在何时达到最大速度。

其次，导数可以用来求函数的图像特征。

函数的导数可以描述函数在每一点的斜率，从而揭示函数的图像特征。

通过函数的导数，我们可以确定函数在哪些点上是递增的、递减的，从而得到函数的增减性质。

我们可以通过导数的符号和零点来确定函数的极值点和拐点，从而得到函数的凹凸性质。

例如，在物理学中，我们可以通过求一个物体的位移函数的导数来确定物体的速度函数。

进一步地，我们可以通过速度函数的导数来确定物体的加速度函数。

此外，导数还可以用来进行近似计算。

在很多实际问题中，往往难以通过精确计算来得到一个准确的结果。

然而，通过导数的概念，我们可以通过局部线性化来得到一个近似结果。

也就是说，我们可以用一个线性函数来替代原函数，从而得到一个较好的近似结果。

这种近似计算方法被广泛应用于物理、工程等领域。

例如，在计算器中，我们可以通过导数的近似计算方法来快速地计算一个函数的值。

最后，导数还可以用来研究函数的变化趋势。

函数的导数可以描述函数的变化趋势，它可以告诉我们函数在一些点上的变化速率。

通过导数的大小和正负号，我们可以确定函数是递增还是递减，从而得到函数的趋势。

例如，在金融学中，我们可以通过计算股票价格的导数来判断股票市场的走势。

总之，导数在研究函数中有着广泛的应用。

通过求函数的导数，我们可以求函数的最值，研究函数的图像特征，进行近似计算，以及研究函数的变化趋势。