二元函数微积分——偏导数和全微分(课资参考)

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微积分教学课件第8章多元函数微积分学第3节偏导数与全微分

在点M0处的切线M0Tx 对 x 轴的斜率： f x ( x0 , y0 )
同理，偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面x x0 所截得的曲线在点M0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的斜率.
3
例1 求 z x2 3xy y2在点(1,2) 处的偏导数．
解
z 2x 3 y , x
xy3
( x 2)arctan
xy x2 y2
,
求 f y (2,1) .
解 f (2, y) 2 y3 ， f y(2, y) 6 y2 ，
f y (2,1) 6 .
此题若先求出 f y( x, y) ,再代入,则麻烦.
7
求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求.
例5
设
f (x, y)
A f x( x0 , y0 ), B f y( x0 , y0 )
证 z Ax By o()，令 y 0，则 | x | ,
f x( x0 ,
y0 )
lim
x0
f ( x0
x, y0 ) x
f ( x0,
y0 )
A x o(| x |)
lim
A,
x0
x
同理可得 B f y( x0 , y0 ) .
z x
x1 8 ，
y2
z 3x 2 y , y
z y

二元函数微积分偏导数和全微分(课堂PPT)

4、求二元函数 z y ln( x 2 y 2 ) 的一阶偏导数。
5、已知二元函数 z ln( x y ) ，证明：关系式
x z y z 1 x y 2
.
15
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
x zfx(x,y), y zfy(x,y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
exy(xy)xexy
z2 xy
y
( z ) x
exy(xy)yexy
z2 (z ) yx x y
exy(xy)x exy
2z z
y2
y
() y
exy(xy)yexy
.
18
例6. 证明函数 u1,r x2y2z2满足拉普拉斯 r
方程 u x2u2 y2u2 z2u2 0
证： u x
1 r2
二元函数微积分
一元函数微分学推广
二元函数微分学注意: 善于类比, 区别异同
.
1
二元函数的基本概念
一、区域二、二元函数的概念
.
2
区域
平面点集：平面上满足某个条件的一切点构成的集合。
平面区域：由平面上一条或几条曲线所围成的部分平面点集称为平面区域，
y 通常记作D。
边界
·

D8.2偏导数与全微分

在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
高等数学
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20
由微分定义 :
lim z lim (Ax By ) o ( ) 0
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
解： z 2x 3y ; z 3x 2y .
x
y
z x
x1 y2
21 3 2 8 ,
z y
x 1 y2
31 2 2 7 .
高等数学
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6
例2 . 设 f (x, y) x2 cos(1 y) ( y 1) sin x 1 y
求函数在点(1 , 1) 处的偏导数.
第二节
第八章
偏导数与全微分
一、偏导数概念及其计算二、偏导数的几何意义三、偏导数与连续的关系四、高阶偏导数五、全微分
一、偏导数定义及其计算法
一元函数 : y f (x)
在x0点导数 :
f
(x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
问题 : 对z f (x, y)怎样定义导数?
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5.2 二元函数的偏导数与全微分

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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z x fx (x, y) ,
z y fy(x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f (x , y)
的二阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
§5.2 二元函数的偏导数与全微分
注: 定理3 的逆定理不成立 . 偏导数存在函数不一定可微 !
反例: 函数 f (x, y)
xy ,
x2 y2
0,
x2 y2 0
x2 y2 0
易知 fx (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0) y]
变量 x的偏导函数，简称偏导数.
记作
z x
，
f x
，
zx
或
f

x
(
x,
y).
同理可以定义函数z f (x, y)对自变量 y 的偏导
数，记作
z y
，
f y
，
zy
或
f
y(
x,
y)
.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
偏导数的概念可以推广到二元以上函数

二元函数连续偏导数和全微分之间的关系

二元函数连续偏导数和全微分之间的关系我们先来了解一下二元函数的连续偏导数和全微分的概念。

对于一个二元函数 f(x, y)，如果它在某个点 (a, b) 处的偏导数存在且连续，那么我们称 f(x, y) 在该点处具有连续偏导数。具体来说，如果函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处可微，那么它的偏导数 f_x(a, b) 和 f_y(a, b) 存在且连续。

全微分，即函数的微分，可以理解为在某一点处的近似线性化。假设函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处可微，那么它在该点的全微分 df(a, b) 可以表示为：

df(a, b) = f_x(a, b) * dx + f_y(a, b) * dy

dx 和 dy 是自变量 x 和 y 在点 (a, b) 处的微小变化量。全微分相当于函数在某一点处的线性近似，它将函数在该点附近的变化量分解成了在 x 轴和 y 轴的变化量的线性组合。

根据全微分的定义，我们可以将其进一步拆分成 dx 和 dy 两部分：

当 dx 和 dy 很小时，可以认为 df(a, b) 和 dx, dy 之间存在着近似的线性关系。也就是说，当 dx 和 dy 趋近于 0 时，全微分 df(a, b) 与 dx, dy 之间的差异可以忽略不计。

这就是说在微积分中的一个重要结论——全微分等于二元函数的连续偏导数与自变量微小变化量的乘积之和。

这个结论只在函数的偏导数连续的条件下成立。如果函数的偏导数在某个点不连续，那么全微分与偏导数之间的关系是不存在的。

总结一下，二元函数的连续偏导数和全微分之间存在着密切的关系。全微分可以通过函数的连续偏导数与自变量微小变化量的乘积之和来表示。在微积分中，这个关系是非常有用的，它可以帮助我们理解函数在某一点附近的变化情况，并进一步推导出函数的各种性质和定理。

二元函数的全微分与偏微分

在数学中，二元函数指的是由两个变量所组成的函数。在微积

分学中，我们常常需要通过求全微分和偏微分来研究它们的性质。本文将详细介绍二元函数的全微分与偏微分的概念、公式、性质

和应用。

一、全微分

全微分指的是对二元函数在全部自变量变化下的微小变化的描述。用数学语言表述，就是对二元函数f(x,y)进行全微分得到：

df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy

其中，dx和dy分别是自变量x和y的微小变化，∂f/∂x和∂f/∂y

是分别对应自变量的偏导数。

由此可见，全微分是对于在全部自变量变化下函数的总体变化

的描述。它是一个线性映射，可以看成是一个一阶线性微分方程。

二、偏微分

偏微分指的是对二元函数在某一个自变量上的微小变化的描述。用数学语言表述，就是对二元函数f(x,y)在x处进行偏微分得到：

∂f/∂x = lim [f(x+Δx, y) - f(x, y)] / Δx

其中Δx是自变量x的微小变化。同样地，我们也可以对y进

行偏微分，得到

∂f/∂y = lim [f(x, y+Δy) - f(x, y)] / Δy

通过对函数在不同自变量上的偏微分，可以衡量函数对于不同

自变量的敏感程度。我们将偏导数求出之后，就可以得到函数在

某一个点上的切线斜率。

三、全微分与偏微分的关系

可以证明，在全微分df存在的情况下，二元函数f的所有偏导

数都存在，且偏导数等价于全微分中对应自变量的系数。也就是说，对于全微分中的dx和dy，我们可以将它们当做对应自变量的

微小变化，然后通过求偏微分来得到对应自变量的系数。这样，

二元函数微积分——偏导数和全微分解读

x, y 的变化范围 D 称为函数的定函数 z 也称为因变量，
义域。
类似的，可以定义三元函数 u f ( x, y , z ) 及三元以上的函数。
自变量个数一元函数
一个：
定义域
在数轴上讨论（区间）
x
y
二元函数两个： x,
在平面上讨论
（区域）
偏导数
一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数
z z x y x y ( ) e ( x y)x e 2 x x x 2 z z ( ) e x y ( x y) e x y y xy y x
2
2
z z ( ) x y x y yx x y e ( x y )x e
r2
内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号
2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法
先求后代（把其他变量视为常数）
利用定义
逐次求导法
练习
1、求二元函数 z x ye 的各二阶偏导数。
2 y
3 3 2
2、求二元函数 z x y 3 xy 的各二阶偏导数。
z z ( ) 2 y y y
2
e
x y
( x y)y e
x y
例6. 证明函数

多元函数(二元函数微积分)

第八章多元函数（二元函数微积分）

本章内容简介

许多实际问题牵涉到的因素是多方面的，在数学上，则反映为一个变量依赖于几个变量，于是就提出了多元函数及其微分的问题，本章将在一元微积分的基础上，讨论多元函数主要是二元函数的偏导数、全微分和重积分。本章基本要求

1．了解多元函数的概念，了解二元函数的表示法与几何意义． 2．了解二元函数的极限与连续的直观意义．

3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,掌握求多元复合函数偏导数和全微分的方法,会用隐函数的求导法则.

4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件。会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值．会求简单多元函数的最大值和最小值，会求解一些简单的应用题．

5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法．会计算无界区域上的较简单的二重积分．本章重点

多元函数的概念，多元函数的偏导数和全微分的概念，多元复合函数的求导法则，多元函数的极值的概念、求法及其应用，二重积分的计算方法。

第一节空间解析几何简介

一元函数→二元函数→多元函数)(x f y =),(y x f z =),,,(21n x x x f y L = 几何基础：空间解析几何。

平面解析几何：平面中的点坐标 ↔),(y x 平面曲线↔方程)(x f y = 空间解析几何：空间点↔坐标

),,(z y x 空间曲面↔方程),(y x f z =

一、空间直角坐标系

1、空间直角坐标系的规定：（1）相同的单位长度（2）右手法则

D9.2偏导数与全微分

lim 0 , x 0 y 0
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lim 0 x 0 y 0
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24
z
f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y x y
lim 0 , x 0 y 0
2
2
f x y (0,0) lim
lim
y 0
y 0
1
f y x (0,0) lim
x 0
x
lim
x 0
1
二者不等
高等数学
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15
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
解:

f ( x,1) x
f x (1,1)
2
f (1, y ) cos(1 y )
f x ( 1, 1)
7
高等数学
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例3. 设
解:
zx y,
x z y
z x
求
y
z x
,
x y
,
y z
,
x y
说明: 此例表明,

z y
第二节偏导数与全微分

二元函数连续偏导数和全微分之间的关系

我身边的榜样高考作文5篇

总有那么一群人，像高树的旗帜，指引人们战胜困难，走向明天;总有那么一群人，在工作中兢兢业业，带领大家奋勇前进，他们是我们身边的榜样。这里给大家分享一些写我身边的榜样的高中作文，希望对大家有所帮助。

写我身边的榜样的高中作文篇1

篆刻，是中国传承千年的传统艺术，集书法和镌刻为一体，雄劲中不失精妙，古朴里透着新雅。暑假里，我们就跟随着老师，寻访了篆刻大师潘海宾，走进了神韵绵长的篆刻世界。

一进潘海宾大师的工作室，我们就看见了排列整齐的柜子里，展示着一件件精美的雕刻作品：桃源三结义，刘备、关羽和张飞的形象栩栩如生;你看这枚“牧童遥指杏花村”，牛儿灯笼似的大眼似乎写满了对诗人的好奇;再看这“猴子摘桃”，它们互帮互助的神情样貌，让人体会到了友爱的温暖……这些题材都来源于生活，潘老师认为艺术作品不是摆在橱柜里毫无感情的展示品，而是贴近人心的有灵魂的智慧结晶。“篆刻的刀法分两种，一种是切刀，一种是冲刀。”“篆刻有许多字体，如甲骨文、鸟虫篆、铁线篆等。”听着潘老师娓娓道来，我更加深入地了解了篆刻的博大精深。

终于，我们要动手了。大家先将印石表面的蜡磨去，接着就开始设计自己要刻的文字，我设计的是“言”字。篆体字必须方方正正，要填满整的个石头的表面。用铅笔打好草稿之后，我拿起一把刀，小心翼翼地在这块近乎透明的白石上雕刻起来。过了一会儿，我就刻了两三个笔画。剩下的，则是弧线。我呼了一口气，决定创造一下“奇迹”：切刀中带着一些冲，遇到角就刻得圆润些。功夫不负有心人，一番精雕细琢之后，我终于成功了!

偏导数与全微分的概念与计算

偏导数与全微分的概念与计算在微积分中，偏导数和全微分是两个重要的概念。它们在各个科学领域中都有广泛的应用，尤其在物理学、经济学和工程学等领域中更是不可或缺的工具。本文将介绍偏导数和全微分的基本概念，并探讨它们的计算方法和应用。

一、偏导数的概念与计算

在多元函数中，如果我们只关注某一个变量对函数的变化率，而将其他变量视为常数，那么我们就可以引入偏导数的概念。偏导数表示了函数在某个特定方向上的变化率。

对于一个函数$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，它的偏导数可以用以下符号表示：

$\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$

其中，$\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$表示对于变量$x_i$的偏导数。例如，对于一个二元函数$f(x, y)$，它的偏导数可以表示为

$\dfrac{\partial f}{\partial x}$和$\dfrac{\partial f}{\partial y}$。

计算偏导数的方法与计算普通导数的方法类似。对于一个以$x_i$为变量的函数$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，我们只需要将函数中所有不含$x_i$的变量视为常数，然后对$x_i$求导即可。

例如，对于函数$f(x, y) = x^2y + \sin(xy)$，我们先计算

$\dfrac{\partial f}{\partial x}$，将变量$y$视为常数，得到：

$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y\cos(xy)$

二元函数的偏导数和全微分

二元函数是含有两个变量的函数，如f(x,y)=x^2+y^2。也可以

理解为在二维平面上，每一个点(x,y)对应一个函数值f(x,y)。在对

二元函数进行求导和微分时，会有一些特殊的情况需要注意。

一、偏导数

偏导数指在二元函数中，对其中一个变量求导数，而将另一变

量视为常数，即在二元函数f(x,y)中，对x求导数，将y视为常数，则得到的导数即为偏导数，表示f对x的变化率。同理，对y求导，将x视为常数，得到的导数即为偏导数，表示f对y的变化率。偏导数用符号表示为∂f/∂x和∂f/∂y，其中∂符号表示偏导运算符。

以f(x,y)=x^2+y^2为例，求∂f/∂x和∂f/∂y。先对x求偏导：

∂f/∂x=2x

这个结果表示，在点(x,y)处，当x增加一定量时，f的值会增

加2x的量。再对y求偏导：

∂f/∂y=2y

这个结果表示，在点(x,y)处，当y增加一定量时，f的值会增加2y的量。

二、方向导数

在二元函数中，除了可以求在x和y方向上的偏导数外，还可以求在任意方向上的导数，即方向导数。假设在点(x,y)处沿着方向l的方向导数为Dlf(x,y)，则Dlf(x,y)定义为：

Dlf(x,y)=lim(h→0)f(x+cosθh,y+sinθh)-f(x,y)/h

其中，θ是方向角，定义为向量l与x轴正半轴的夹角。需要注意的是，在二元函数中，方向导数只有在函数在该点可微分时才有意义。

三、全微分

二元函数在一点(x0,y0)上的全微分，也称为微分，表示在该点变化极小的函数值的线性近似。假设在点(x0,y0)处，函数f(x,y)在变化时微小的偏移量为Δx和Δy，在这个微小的偏移量下，

二元函数微分

引言

在微积分中，函数是一种非常重要的概念。函数的微分是微积分中的基本运算之一，它描述了函数在某一点的局部变化率。在这篇文章中，我们将重点讨论二元函数的微分，即具有两个自变量的函数。

二元函数的定义

二元函数是一种接受两个变量作为输入，并产生一个输出的函数。它可以用以下形式表示：

f(x, y)

其中，x和y分别是函数的自变量，f(x, y)表示函数的取值。

偏导数

在计算二元函数的微分时，我们需要引入偏导数的概念。偏导数描述了函数在每个自变量上的变化率。

偏导数的定义

偏导数表示当一个变量变化时，函数在该变量上的变化率。对于二元函数f(x, y)，它的偏导数可以用以下符号表示：

∂f/∂x 和∂f/∂y

其中，∂表示偏导数的符号。

计算偏导数

计算偏导数时，我们将其中一个自变量视为常数，对另一个自变量求导。例如计算∂f/∂x时，将y视为常数，对x求导。

在计算过程中，需要注意一些求导的规则： - 对于多项式函数，我们可以直接按照求导公式进行计算。 - 对于幂函数，将指数乘到系数上，并将指数减1。 - 对于三角函数和指数函数，可以利用基本的求导公式进行计算。

全微分

全微分是对二元函数的微分的扩展，它不仅考虑了自变量的变化，还考虑了函数本身的变化。

全微分的定义

对于二元函数f(x, y)，全微分可以用以下符号表示：

df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy

其中，dx和dy是自变量x和y的微小变化量。

计算全微分

为了计算全微分df，我们需要计算偏导数。然后，将偏导数乘以自变量的微小变化量，并将结果相加。

二元函数的偏导数与全微分

在数学中，二元函数是指一个含有两个变量的函数，可以表示为

f(x, y)。当我们研究二元函数时，其中两个重要的概念是偏导数和全微分。本文将介绍二元函数的偏导数和全微分的概念以及其应用。

一、偏导数的定义和计算

偏导数是指在多元函数中，对其中一个变量求导时将其它变量视为

常数。对于一个二元函数f(x, y)，它的偏导数可以表示为∂f/∂x和∂f/∂y，分别代表对x和y的偏导数。

计算偏导数的方法与单变量函数的导数类似。对于偏导数∂f/∂x，我

们将y视为常数，只对x进行求导。同样地，对于偏导数∂f/∂y，我们

将x视为常数，只对y进行求导。

二、全微分的定义和计算

全微分是指当函数的变量同时发生微小变化时，函数值的变化量。

对于二元函数f(x, y)，它的全微分可以表示为df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy。

全微分可以用来近似估计函数变量的变化量。当给定f(x, y)中x和

y的微小增量dx和dy时，可以通过计算全微分df来估计函数值的微

小变化。

三、偏导数和全微分的应用

偏导数和全微分在数学和应用领域中具有广泛的应用。以下是一些

常见的应用场景：

1. 最优化问题：在优化问题中，我们通过计算偏导数来找到函数的

最大值或最小值。通过对偏导数的分析，我们可以确定函数取得极值

的位置。

2. 线性回归分析：在线性回归分析中，我们通过计算全微分来确定

各个自变量对因变量的影响程度。通过观察全微分中各个偏导数的值，可以衡量不同变量对结果的贡献度。

3. 物理学应用：在物理学中，偏导数和全微分被广泛用于描述物体

二元函数的偏导数与全微分

二元函数的偏导数与全微分二元函数是指有两个自变量的函数，例如 $z=f(x,y)$，其中

$x$ 和 $y$ 是自变量，$z$ 是因变量。在微积分中，二元函数的偏导数和全微分是比较重要的概念。

一、偏导数的定义

偏导数是指在多元函数中，对某一个变量求导时，把其他变量当作常数来对函数进行求导。对于二元函数 $z=f(x, y)$，它的偏导数可以用符号 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial

z}{\partial y}$ 表示。其中 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 表示当

$y$ 固定时，$z$ 对 $x$ 的变化率；$\frac{\partial z}{\partial y}$ 表示当 $x$ 固定时，$z$ 对 $y$ 的变化率。

例如，二元函数 $z=x^2y$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和$\frac{\partial z}{\partial y}$，则有：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=2xy$$

$$\frac{\partial z}{\partial y}=x^2$$

二、全微分的定义

对于二元函数 $z=f(x,y)$，它的全微分可以表示为：

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial

y}dy$$

全微分表示 $z$ 在 $(x, y)$ 处的微小变化量，可以理解为

二元函数的全微分

二元函数的全微分指的是，对于一个由两个变量 x 和 y 组成的函数f(x,y)，它在固定一个点 (x0,y0) 处的微小变化Δx 和Δy 所产生的函数值变化Δf(x0,y0) 的近似值。全微分的概念在数学、物理和工程学中都有广泛的应用，比如在微积分和偏微分方程中，以及在热力学和流体力学中，都有重要的应用。

一、二元函数的全微分定义

二元函数的全微分可以定义为：

∆f(x0,y0) = (∂f/∂x)Δx + (∂f/∂y)Δy

其中∆f(x0,y0) 是在点 (x0,y0) 处的函数值变化，∂f/∂x 和∂f/∂y 分别是函数 f(x,y) 对 x 和 y 的偏导数，Δx 和Δy 分别是 x 和 y 在点 (x0,y0) 处的微小变化。这个公式也可以写成以下形式：

df(x,y) = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy

其中 df(x,y) 是由一个或多个变量定义的函数 f(x,y) 的全微分，dx 和 dy 分别代表 x 和 y 的微小增量。

二、二元函数的全微分的性质

二元函数的全微分具有以下性质：

1.全微分是线性的。即对于任意的常数 a 和 b，有 df(a,b) = a df(x,y) + b df(u,v)。

2.全微分满足链式法则。即若 f(x,y) 和 g(u,v) 都是可微的二元函数，且y 是以 u 和 v 为自变量的函数 y = h(u,v)，则有：

df(x,y) = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)(∂y/∂u)du + (∂f/∂y)(∂y/∂v)dv