1.4.2正弦函数余弦函数的性质(周期性)
正弦函数、余弦函数的性质
2 T
二、奇偶性
y
o
x
正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数.
三、最大值与最小值
y
o
x
正弦函数当且仅当x 2k 且仅当x 2k
2
, k Z时取得最大值1, 当
2 余弦函数当且仅当x 2k , k Z时取得最大值1,当且仅 当x 2k , k Z时取得最小值 1.
解:(1)∵
3cos( x 2 ) 3cos x
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2
y 3cos x, x R 的值才能重复出现.
,函数
所以,函数 y 3cos x, x R 的周期是 2
(2) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) sin 2 x
§ 1.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质 (一)
引入
y
o
ห้องสมุดไป่ตู้
x
周期函数: 对于函数f(x),若存在一个非零常数 ,使 T
得当x取定义域内的每一个值 都有 时, f ( x T ) f ( x)
称之, 非零常数T叫做这个函数的周期.
新课
若在周期函数 的所有周期中存 f(x) 在一个最小的正数, 则这个最小正数就 叫做f(x)的最小正周期.
, k Z时取得最小值 1;
例2、求下列函数的最 及取得最值时自 值, 变量x的集合:
(1) y cos x 1, x R; ( 2) y 3 sin 2 x, x R;
小结
1. 周期函数的定义,周期,最小正周期
2. 三角函数的奇、偶性
3. 三角函数的单调性;
作业
一、 周期性 正弦函数是周期函数2k( k Z , k 0)都 ,
1[1].4.2正弦函数、余弦函数的性质——周期性
y=sinx(x∈R) ∈
2π x
X+2π π
4π
自变量x增加 时函数值不断重复地出现的 自变量 增加2π时函数值不断重复地出现的 增加 时函数值不断重复地 y
x o 4π π
y o
Sin(x+2kπ)=sinx (k z) π)=sinx
x 6π π 12π π
∈
8π π
周期函数的定义: 周期函数的定义:
Sin(x+2kπ)=sinx (k π)=sinx
∈z)
对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中 f(x), 存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就 存在一个最小的正数, 最小的正数 叫做f(x) 最小正周期。 f(x)的 叫做f(x)的最小正周期。
求下列函数的周期: 例 求下列函数的周期: (1)y=3cosx(x∈R) ) ∈ ) (2)y=sin2x(x∈R) ) ∈
1 π 变式一: 变式一:y=2sin( x- 6 2
)(x∈R) ∈
变式二: = A sin(ωx + ϕ)(A ≠ 0, ω > 0)(x ∈ R) y
练习: 求下列函数的周期: 练习: .求下列函数的周期: 1
x 的周期为2π? 以说 y = cos 的周期为 3 2.等式f ( x + T ) = f ( x ),强调:自变 x 强调:
x x (2)由诱导公式 cos( + 2π) = cos ,是否可 由诱导公式 3 3
量x本身加的常数才是周期, 3
的周期。其周期应为 ( x + 6π ) = cos
周期性
[问题 问题] 问题 1、今天星期一? 、今天星期一? 7天后星期几? 天后星期几? 天后星期几 14天后呢 14天后呢? 天后呢? 98天后呢? 天后呢? 天后呢 7K天后呢?其中 是非零整数 天后呢? 天后呢 其中k是非零整数 2、在数学当中,有没有周期性现 、在数学当中, 象?
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性函数的周期性1、(1)对于函数f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有f (x +T )=f (x ),那么函数f (x )就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期.2、A sin[(ωx +φ)+2π]=A sin(ωx +φ),A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x +2πω+φ=A sin(ωx +φ),即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +2πω=f (x ),所以f (x )=A sin(ωx +φ)(Aω≠0)是周期函数,2πω就是它的一个周期.3、由sin(x +2k π)=sin_x ,cos(x +2k π)=cos_x (k ∈Z )知,y =sin x 与y =cos x 都是周期函数,2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期,且它们的最小正周期都是2π.知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)对于y =sin x ,x ∈R ,恒有sin(-x )=-sin x ,所以正弦函数y =sin x 是奇函数,正弦曲线关于原点对称. (2)对于y =cos x ,x ∈R ,恒有cos(-x )=cos x ,所以余弦函数y =cos x 是偶函数,余弦曲线关于y 轴对称.知识点三 正弦、余弦函数的单调性[-1,1][-1,1]对于形如函数y =A sin(ωx +φ),Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T =2π|ω|来求解,对于y =|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解. 1、求下列函数的最小正周期. (1)y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3(x ∈R );(2)y =|sin x |(x ∈R ).2、下列函数是以π为周期的函数是( )A .y =sin xB .y =sin x +2C .y =cos2x +2D .y =cos3x -13.函数f (x )是周期函数,10是f (x )的一个周期,且f (2)=2,则f (22)=________.4.函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π4的最小正周期为2,则ω的值为________.类型二 三角函数的奇偶性对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断. 判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一:看函数的定义域是否关于原点对称; 关键点二:看f (x )与f (-x )的关系.1、判断下列函数的奇偶性.(1) f (x )=sin(-x )(2)f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π+2x +x 2sin x ; (3)f (x )=1-2cos x +2cos x -1.2、若函数y =cos(ωx +φ)是奇函数,则( )A .ω=0B .φ=k π(k ∈Z )C .ω=k π(k ∈Z )D .φ=k π+π2(k ∈Z )3、已知函数f (x )=ax +b sin x +1,若f (2018)=7,则f (-2018)=________.类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用1.设函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π2,x ∈R ,则f (x )是( ) A .最小正周期为π的奇函数 B .最小正周期为π的偶函数 C .最小正周期为π2的奇函数 D .最小正周期为π2的偶函数2、定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数,若f (x )的最小正周期是π,且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,f (x )=sin x ,求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值.2、已知函数f (x )=cos π3x ,求f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2020)的值.3、设函数f (x )=sin π3x ,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2018)=________.类型四 求正弦、余弦函数的单调区间用整体替换法求函数y =A sin(ωx +φ)或y =A cos(ωx +φ)的单调区间时,如果式子中x 的系数为负数,先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时,需将最终结果写成区间形式.1.函数y =sin2x 的单调递减区间。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
∴f(x)为奇函数.
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探究三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
[例 4] (1)下列函数中是奇函数,且最小正周期是 π 的函数是( )
A.y=cos|2x|
B.y=|sin x|
C.y=sinπ2+2x
D.y=cos32π-2x
[答案] D
∴f-π3=fπ3=sinπ3= 23.
∴f53π=
3 2.
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方法技巧 三角函数的周期性、奇偶性都是函数的整体性,两者结合起来,可使 更全面的研究函数图象特征.
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延伸探究 5.(1)若将例 3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变, 结果如何?
而 z+2π=2x+π3+2π=2(x+π)+π3,所以自变量 x 只要且至少要增加到 x+π,函
数值才能重复取得,所以函数 f(x)=sin2x+π3(x∈R)的最小正周期是 π.
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2.将本例(2)改为:求函数 y=|1+sin x|的最小正周期. 解析:∵y=|1+sin x|=1+sin x,∴T=2π.
f(5)=cos53π=12,f(6)=cos 2π=1,
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0.
同理可得,每连续六项的和均为 0,
即周期为 6.
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)=336×0+f(1)+f(2)+f(3)=12-12-1=-1. [答案] -1
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1.4.2正弦函数余弦函数的性质
讲授新课
例1. 求下列三角函数的周期:
练习1. 求下列三角函数的周期:
讲授新课 一般结论:
讲授新课
三个函数的周期是什么?
讲授新课 一般结论:
讲授新课 正弦、余弦函数的性质2——奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形, 说出函数图象有怎样的对称性?其特点 是什么?
y=sinx
y=cosx
讲授新课 正弦、余弦函数的性质2——奇偶性
讲授新课
例4.不通过求值,指出下列各式大于 0还是小于0.
例5、求函数y=sin(
1 2
x
3
),
x
2
,
2
的单调递增区间。
课堂小结
1. 正弦函数、余弦函数的周期性; 2.正弦函数、余弦函数的奇偶性; 3. 正弦函数、余弦函数的单调性.
补充作业:
1.已知sin(x ) 1 ,求sin(5 x) sin2 ( x)的值.
前提:定义域关于原点对称
讲授新课
例2.判断下列函数的奇偶性
讲授新课 正弦、余弦函数的性质3——单调性
增函数
减函数
讲授新课 正弦、余弦函数的性质3——单调性
增函数 减函数
对称轴 y=sinx的对称轴为
y=cosx的思考. 教材P.46习题1.4第11题.
讲授新课
例3.下列函数有最大值、最小值吗?如果 有,请写出取最大值、最小值时的自变 量x的集合,并说出最大值、最小值分别 是什么.
(3) 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx 可以说明.
结论:象这样一种函数叫做周期函数.
讲授新课
周期函数定义:
对于函数f(x),如果存在一个非零 常数T,使得当x取定义域内的每一个 值时,都有:f (x+T)=f(x).那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做 这个函数的周期.
正弦函数余弦函数函数周期性
最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分别为多少?
y 1
y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π 4π 6π
-1
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2
-1
2
2
2
思 考 2: 当 自 变 量 x 分 别 取 何 值 时 , 正 弦 函 数 y=sinx取得最大值1和最小值-1?
x
2
O
2
2-1
2
2
2
余弦函数当且仅当 x 2k 时取最大值1,
当且仅当 x (2k 1) 时取最小值-1.
思考4:根据上述结论函数y=Asinωx(ω≠0)的值域是什么?
[-|A| , |A|]
探究(三):正、余弦函数的正负值区间
1 y y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
(1) y sin x T 2
y
Asin( x )
T
2 | |
(2) y cos x T 2
y Acos( x )
T 2 | |
练习
• 已知函数 y f ( x) 的周期是3,且当 x [0,3] 时, f ( x) x2 1 ,求 f (1), f (5), f (16).
解(1)令 z 2x 则 y sin(2x ) sin z
3
3
y sin z 的对称轴为 z k ,k Z
即2x k
2
32
解得:对称轴为
x
k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
1.4.2 正弦、余弦函数的性质(一)
2π T= = 4π 3) y = 2 sin( x − ), x ∈ R 1 2 6 2 函数y = A sin(ω x + ϕ )及y = A cos(ω x + ϕ ), x ∈ R 2π ( A, ω , ϕ为常数, A ≠ 0, ω > 0)的周期T = ω
π
2π T= =π 2
课堂小结: 课堂小结:
1. 定义法 公式法: 2. 公式法:
周期求法
一般地, 一般地,函数 y=Asin(ωx+φ) 及 y=Acos(ωx+φ) (其中A ,ω,φ为常数, 为常数, 的周期是: 且 A≠0, ω≠0 )的周期是:
T= 2π
ω
(ω ≠ 0)
1、求下列函数的周期或函数值 、
利用正弦函数和余弦函数的图象, 例2.利用正弦函数和余弦函数的图象, 利用正弦函数和余弦函数的图象 求满足下列条件的x的集合 的集合: 求满足下列条件的 的集合:
2 (2) cos x ≤ 1 ,x ∈ (0, 5π ) (1) sin x ≥ 2 2 2
例3.求下列函数的定义域: 3.求下列函数的定义域: 求下列函数的定义域
π
2
,1 )
最低点: 最低点: ( 3π
2
,−1)
轴的交点: 与x轴的交点: (0, 0) (π , 0) (2π , 0) 轴的交点
y
-
y = cos x
x ∈ [0, 2π ]
1-
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
的图象上,关键点: 在函数 y = cos x, x ∈ [0, 2π ] 的图象上,关键点: 最高点: 最高点: (0,1) (2π ,1) 轴的交点: 与x轴的交点: ( 轴的交点 最低点: 最低点:
正弦函数、余弦函数的性质(一)
(2) 令 z 2x,x R,则 y sin z,z R
Q sin(z 2 ) sin z sin(2x 2 ) sin 2x 即 sin 2( x ) sin 2x,x R
y sin 2x 的周期是 ;
(3) y 2sin( 1 x ),x R .
26
解:令 z 1 x ,x R,则 y 2sin z,z R
有界性的条件.
例4 求函数 y 2sin x 1 的值域.
sin x 3
解:由已知得 (2 y)sin x 3 y 1
y 2, sin x 3 y 1
2 y 1 sin x 1 | 3 y 1 | 1 | 3 y 1 | | 2 y |
2 y
即 (3 y 1)2 (2 y)2 (4 y 1)(2 y 3) 0
y
y sin x , x R
1
3
5 2
2
3 2
2
0
-1
2
3 2
2 5 3 x
2
y
y cos x , x R
1
3
5 2
2
3 2
2
0
-1
2
3 2
2 5 3 x
2
观察正弦曲线与余弦曲线,可以得出以下结论: 1. 正弦函数和余弦函数的定义域、值域
y=sinx和y=cosx的定义域都是 ____R______. y=sinx和y=cosx的值域都是 __[-__1_,__1_]__.
即x∈[2kπ,2(k+1)π)(k∈Z)上的图象是完全相同的. 即自变量每相差2π,图象就“周而复始”重复出现. (这一特性从正弦线、余弦线的变化规律中也可以看出)
y
y sin x , x R
1.4.2 正弦 余弦函数的性质(单调性、最值)
3 5 对称中心: ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2
2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:
2
1 y sin x 3 2
y sin z
2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k, 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2
y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期;
2
2
1
2
2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴:x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)
人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质:1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT
解:(2)当x 2k , k Z时,函数取得最大值,ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
,ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
,ymin
1.
二、 正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值?如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么?
(1)y cos x 1, x R; (2)y sin x, x R.
解:(1)当x 2k , k Z时,ymax 11 2,
当x 2k , k Z时,ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值 域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例:
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢?
思考:y=sinx,x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2
1.4.2正弦函数余弦函数的性质说课稿
∴该函数既是奇函数,又是偶函数.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)∵函数 y=x2,y=cos x 的图象都关于 y 轴对称, 则 x2≠cos x 的解集关于原点对称, ∴函数定义域是一个关于原点对称的区间, 又 f(-x)=--xx22+-ccooss --xx=xx22-+ccooss xx=f(x), ∴该函数是偶函数. (3)由1co-s cxo-s 1x≥≥00,, 得 cos x=1,故 f(x)=0, ∴函数 f(x)= 1-cos x+ cos x-1既是奇函数也是偶函数.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
方法三:观察法(图象法). 三种方法各有所长,要根据函数式的结构特征,选择适当方法 求解,为了避免出现错误,求周期之前要尽可能将函数化为同 名同角三角函数,且函数的次数为 1.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2.确定函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法 (1)把 ωx+φ 看成一个整体,由 2kπ-2π≤ωx+φ≤2kπ+2π(k∈Z) 解出 x 的范围,所得区间即为增区间,由 2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ +32π(k∈Z)解出 x 的范围,所得区间即为减区间. (2)在求函数 y=Asin (ωx+φ)或 y=Acos (ωx+φ)的单调区间时, 当 ω<0 时,必须利用诱导公式转化成-ω>0 后再进行求解.
y∈[-1,1] 2π
y∈[-1,1] 2π
奇偶性
奇函数
偶函数
在[2kπ-π,2kπ]
单调性 在2kπ-2π,2kπ+2π(k∈Z)上递增; (k∈Z) 上递增;
在2kπ+2π,2kπ+32π(k∈Z)上递减
1.4.2正弦函数余弦函数的性质-(必修四-数学-优秀课件)
第15页,共26页。
归纳总结
一般地,函数 y Asin(x )及 y Acos(x ) (其中 A,,为常数,且 A 0, 0 )的周期是
T 2
若 0 则 T 2
第16页,共26页。
练习. 求下列函数的周期:
(1) y sin 3x, x R;(2) y cos x ;
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cos x(x R)
第25页,共26页。
函数 图形
y
1
2
0
-1
y=sinx
3
2
2
2
5 2
x
定义域 值域
最值
xR
y [1,1]
xx2222kk时时,,yymmaxin
1 1
单调性
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k
,
3
2
2k ]
减函数
奇偶性
奇函数
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
…
0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k,,
22
+2] k],kZ
其值从-1增至1
Байду номын сангаас
减区间为
[
2
+22k,,
33
2
+]2k],kZ
其值从 1减至-1
第20页,共26页。
余弦函数的单调性
必修四第一章《正弦函数余弦函数的性质》教学设计(王卫)
§1.4.2正弦函数余弦函数的性质评1节.二、教学目标及解析目标:1、通过图象理解正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值和对称性,体会数形结合方法;2、会求简单正弦函数、余弦函数的周期、单调区间、最值等。
解析:1、目标1在于让学生体会到数形结合、归纳的数学思想,能独立归纳出的正弦函数、余弦函数的性质。
2、目标2在于让学生学会运用性质对简单正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最值等的求解。
三、问题诊断分析本节课的教学中,学生可能出现如下几个问题:①函数周期性的定义是什么?②如何求出正弦函数、余弦函数的周期?③不理解正弦函数、余弦函数的单调区间?不能正确写出正弦函数、余弦函数的单调区间?学生出现这几个问题的原因是不理解正弦函数、余弦函数的本质,对函数的周期性、单调性理解不透彻。
学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强;在处理问题时学生考虑问题不深入,往往会造成错误的结果。
解决这些问题的关键是结合图像变化趋势加以理解;结合定义,通过例题加以模仿。
在此过程中,需要学生感受归纳的数学思想,找出函数之间的共同点和规律,通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。
四、教学条件支持本节课的教学中需要用到几何画板和智能黑板,因为使用几何画板有利于展示函数的图像,能够给学生直观的认识。
五、教学过程1、自学问题1:周期函数的概念是什么?问题2:正、余弦函数有怎样的奇偶性和单调性?问题3:正、余弦函数的最值与对称性分别是什么?2、互学导学问题1:周期函数的概念是什么?设计意图:让学生观察函数的图像,了解函数的变化规律,培养学生的归纳能力。
师生活动:学生思考并回答,教师指导。
小问题1:如何作出正弦函数、余弦函数的图象?答:描点法(几何法、五点法),图象变换法。
并要求学生回忆哪五个关键点。
小问题2:研究一个函数的性质从哪几个方面考虑?答:定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性等小问题3:正弦函数和余弦函数的图象分别是什么?二者有何相互联系?给出正弦、余弦函数的图象,让学生观察,并思考下列问题:世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律,如年有四季更替,月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性,在函数领域里,周期性是函数的一个重要性质.小问题4:由正弦函数的图象可知, 正弦曲线每相隔2π个单位重复出现,这一规律的理论依据是什么?sin(2)sin ()x k x k Z π+=∈小问题5:为了突出函数的这个特性,我们把函数f(x)=sinx 称为周期函数,2k π为这个函数的周期.一般地,如何定义周期函数?由inx k x s 2sin =+π)(知: 知:最小正周期是π2.小问题8:就周期性而言,对正弦函数有什么结论?对余弦函数呢?由x k x cos )2cos(=+π知: 正、余弦函数是周期函数,2k π(k ∈Z, k ≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.例1 求下列函数的周期: (1)y=3cosx,x ∈R ; (2)y=sin2x,x ∈R ;(3)y=2sin(2x -6π),x ∈R .(1) 因为3cos(x+2π)=3cosx,根据周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢?让学生自己试一试,加深对概念的理解.因为3cos(x+π)=-3cosx ≠3cosx,所以π不是周期.(2) 教师引导学生观察2x,可把2x 看成一个新的变量u,那么cosu 的最小正周期是2π,就是说,当u 增加到u+2π时,函数cosu 的值重复出现,而u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量x 增加到x+π且必须增加到x+π时函数值重复出现.因为sin2(x+π)=sin(2x+2π),所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.(3)因为2sin [21(x+4π)-6π]=2sin [(2x -6π)+2π]=2sin(2x -6π).所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为4π.解:(1)周期为2π; (2)周期为π; (3)周期为4π.变式1、P36练习第2题.小问题9:周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质,此外,正、余弦函数还具有哪些性质呢?我们将对此作进一步探究.问题2:正、余弦函数有怎样的奇偶性和单调性?设计意图:让学生观察函数的图像,了解函数的变化规律,数形结合,扫清了学生的思维障碍,更好地突破了教学的重难点,培养学生的归纳能力。
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(全)上课用
最大值: 当
x 0 2 k 时, 有最大值 y 1
最小值:当
x 2 k
有最小值 y 时,
1
四、正弦、余弦函数的最值
y
1 -4 -3 -2 -
y sin x( x R)
2 3 4 5 6
o
-1
当且仅当 x 2 k ,( k Z )时, (sin x ) max 1; 2 当且仅当 x 2 k,( k Z )时, (sin x ) min 1 . 2
| sin x |≤ 1 | cos x |≤ 1
练习
下列等式能否成立?
(1)2cos x 3
(2)sin 2 x 0.5
3 1 cos x 2
×
√
sin x 0.5 [1,1]
例1.求下列函数的定义域和值域。
定义域
值域
[2,4]
(1) y 3 sin x
三.定义域和值域
y
1
3 5 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
正弦函数 y sin x
定义域:R 值域:[-1,1] y
1
2
O
2
3 5 2
2 3
2
1
3 2
2
5 2
3
x
余弦函数 y cos x 定义域:R 值域:[-1,1]
x
当且仅当 x 2 k , ( k Z ) 时 , (cos x ) max 1;
当且仅当 x 2 k , ( k Z ) 时 , (cos x ) min 1 .
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第2
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时 正、余弦函数的性质1.掌握y =sin x ,y =cos x 的性质:周期性、奇偶性,了解其图象的对称性. 2.掌握y =sin x ,y =cos x 的单调性,会结合它们的图象说出单调区间,并能根据单调性比较大小.3.掌握y =sin x ,y =cos x 的最大值、最小值,会求简单三角函数的值域或最值,并能指出取得最大(小)值时自变量x 的值的集合.1.正弦函数的图象与性质正弦函数的图象与性质如下表所示:____当x =____________时,y 取最大值1正弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标为(k π,0)(k ∈Z ),即正弦曲线与x 轴的所有交点;正弦曲线也是轴对称图形,其所有的对称轴方程是x =k π+π2(k ∈Z ),所有对称轴垂直于x 轴,且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值.【做一做1】 已知函数y =sin x ,x ∈R ,则下列说法不正确的是( ) A .定义域是RB .最大值与最小值的和等于0C .在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2上是减函数 D .最小正周期是2π2.余弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质如下表所示:__当x =________时,y 取最大值1余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π+π2,0(k ∈Z ),即余弦曲线与x 轴的所有交点;余弦曲线也是轴对称图形,其所有的对称轴方程是x =k π(k ∈Z ),所有对称轴垂直于x 轴,且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值.【做一做2】 已知函数y =cos x ,x ∈R ,则下列说法错误的是( ) A .值域为[-1,1]B .是奇函数C .在定义域上不是单调函数D .在[0,π]上是减函数答案:1.R [-1,1] 2k π+π2(k ∈Z ) 2k π-π2(k ∈Z ) 2π 奇 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π2,2k π+π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π+π2,2k π+3π2【做一做1】 C2.R 2k π(k ∈Z ) 2k π+π(k ∈Z ) 2π 偶 [(2k -1)π,2k π] [2k π,(2k +1)π]【做一做2】 B正、余弦函数的性质与图象的关系剖析:(1)定义域是R ,反映在图象上是所有垂直于x 轴的直线与图象有且只有一个交点.(2)正、余弦函数的单调性,反映在图象上是曲线的上升与下降的情况.(3)正、余弦函数的周期性,反映在图象上是曲线有规律地重复出现.相邻两对称中心的间隔是半个周期,相邻两对称轴的间隔也是半个周期,相邻的对称中心与对称轴的间隔是四分之一个周期.(4)正、余弦函数的奇偶性,反映在图象上是曲线关于原点或y 轴对称,即sin(-x )=-sin x ,cos(-x )=cos x .(5)正、余弦函数的最大值和最小值,反映在图象上,就是曲线的最高点和最低点.题型一 判断三角函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性:(1)f (x )=sin x cos x ;(2)f (x )=1+sin x -cos 2x1+sin x.分析:先判断函数的定义域是否关于原点对称,再判断f (-x )与f (x )的关系,进而可确定函数的奇偶性.反思:1.判断函数奇偶性的依据是函数奇偶性的定义,定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提.另外还要注意诱导公式在判断f (x )与f (-x )之间关系时的应用.2.本例(2)中,易忽视f (x )的定义域,违背定义域优先的原则,而进行非等价变形,得f (x )=sin x (1+sin x )1+sin x=sin x ,从而导致结果错误.题型二 求三角函数的单调区间【例2】 求函数y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x +π4的单调递减区间. 反思:求函数y =A sin(ωx +φ)的单调区间时,利用整体思想,把ωx +φ看成一个整体,借助于正弦函数的单调区间来解决.题型三 求三角函数的值域(最值) 【例3】 求下列函数的值域: (1)y =3-2cos 2x ,x ∈R ;(2)y =cos 2x +2sin x -2,x ∈R .分析:(1)将2x 看成一个整体,利用余弦函数的值域求得;(2)把sin x 看成一个整体,利用换元法转化为求二次函数的值域.反思:求三角函数的值域的方法:①化为y =A sin(ωx +φ)+b 或y =A cos(ωx +φ)+b (A >0),则其值域为[-A +b ,A +b ].如本例(1)小题;②把sin x 或cos x 看成一个整体,利用换元法转化为求二次函数在闭区间上的值域,如本例(2)小题.题型四 比较三角函数值的大小 【例4】 比较下列各组数的大小: (1)sin 194°与cos 160°;(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8与sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π8.分析:(1)先将异名三角函数化为同名三角函数,并且利用诱导公式化到同一单调区间上.(2)先比较sin 3π8与cos 3π8的大小,然后利用正弦函数单调性求解.反思:比较三角函数值大小的步骤:①异名函数化为同名函数;②利用诱导公式把角化到同一单调区间上;③利用函数的单调性比较大小.题型五 易错辨析易错点 忽视x 的系数是-1【例5】 求y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x 的单调递增区间.错解:令π3-x =t ,∵y =sin t 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z ), ∴2k π-π2≤π3-x ≤2k π+π2(k ∈Z ),解得-2k π-π6≤x ≤-2k π+56π,即2k π-π6≤x ≤2k π+5π6(k ∈Z ),即y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π6,2k π+5π6(k ∈Z ). 错因分析:在π3-x 中,x 的系数-1是负数,应整体代入正弦函数的单调递减区间,求原函数的单调递增区间.答案:【例1】 解:(1)定义域为R .f (-x )=sin(-x )cos(-x )=-sin x cos x =-f (x ),∴f (x )是奇函数.(2)要使函数有意义,自变量x 的取值应满足1+sin x ≠0, ∴sin x ≠-1.∴x ≠2k π+32π,k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ,且x ≠2k π+3π2,k ∈Z .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=1+sin π2-cos2π21+sinπ2=1,但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2无意义,∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数. 【例2】 解:由于函数y =2sin x 的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π+π2,2k π+3π2(k ∈Z ). 令2k π+π2≤3x +π4≤2k π+3π2,得2k π3+π12≤x ≤2k π3+5π12(k ∈Z ). 故所求的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3+π12,2k π3+5π12(k ∈Z ). 【例3】 解:(1)∵-1≤cos 2x ≤1,∴-2≤-2cos 2x ≤2. ∴1≤3-2cos 2x ≤5,即1≤y ≤5.∴函数y =3-2cos 2x ,x ∈R 的值域为[1,5].(2)y =cos 2x +2sin x -2=-sin 2x +2sin x -1=-(sin x -1)2.∵-1≤sin x ≤1,∴函数y =cos 2x +2sin x -2,x ∈R 的值域为[-4,0]. 【例4】 解:(1)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°, cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°,∴sin 14°<sin 70°, 从而-sin 14°>-sin 70°,即sin 194°>cos 160°. (2)∵cos 3π8=sin π8,∴0<cos 3π8<sin 3π8<1.而y =sin x 在(0,1)内递增,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8<sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8. 【例5】 正解:∵y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x =-sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π3,∴要求原函数的单调递增区间,只需求y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π3的单调递减区间.令2k π+π2≤x -π3≤2k π+3π2(k ∈Z ),∴2k π+5π6≤x ≤2k π+116π(k ∈Z ).∴y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x 的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π+5π6,2k π+116π(k ∈Z ).1.函数y =sin 2cos xx+是( )A .奇函数B .偶函数C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数也不是偶函数2.下列关系式中正确的是( ) A .sin 11°<cos 10°<sin 168°B .sin 168°<sin 11°<cos10°C .sin 11°<sin 168°<cos 10°D .sin 168°<cos 10°<sin11°3.函数y =sin 2x -cos x 的值域是__________. 4.函数y =3-2π32cos 33x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为____________,此时自变量x 的取值集合是__________.5.求函数y =π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间.答案:1.A 定义域为R ,f (-x )=sin()2cos()x x -+-=sin 2cos xx-+=-f (x ),则f (x )是奇函数.2.C ∵sin 168°=sin(180°-168°)=sin 12°,cos 10°=sin 80°, sin 11°<sin 12°<sin 80°, ∴sin 11°<sin 168°<cos 10°.3.51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦设cos x =t ,-1≤t ≤1,则y =1-cos 2x -cos x =-t 2-t +1=21524t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭. 由于-1≤t ≤1,则有-1≤y ≤54. 4.5 {x |x =3k π+π,k ∈Z } 当2πcos 33x ⎛⎫+⎪⎝⎭=-1时,y max =3-2×(-1)=5.此时x 的取值集合为{x |x =3k π+π,k ∈Z }. 5.解:y =π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=π2sin 4x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.令2k π+π2≤x -π4≤2k π+3π2 (k ∈Z ),得 2k π+3π4≤x ≤2k π+7π4(k ∈Z ).函数y =π2sin 4x ⎛⎫-⎪⎝⎭的递增区间为 3π7π2π,2π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ).。
正弦函数、余弦函数的性质(二)
2
5 2
x
3
7 2
4
-1
3.正弦函数有多少个增区间和减区间?观察正弦函数 的各个增区间和减区间,函数值的变化有什么规律? 提示:
正弦函数有无数多个增区间和减区间.
在每个增区间上,函数值从 1 增大到 1 ,
在每个减区间上,函数值从 1 减Байду номын сангаас到 1 .
正弦函数在每一个闭区间 [ 2k , 2k ](k Z ) 2 2
y
1 -2
3 2
y=sinx
2
-
2
o
-1
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x sinx
2
…
0 0
…
2
…
0
…
3 2
-1
1
-1
(xR) 增区间为 [ , ] 2 2 3 减区间为 [ 2 , ] y=sinx
2
还有其他单调区间吗?
其值从-1增至1
D.最小正周期是 2π
2、已知函数 y=cosx,x∈R,则下列说法错误的是 ( B ) A.值域为[-1,1] B.是奇函数 C.在定义域上不是单调函数 D.在[0,π]上是减函数
3. (2015· 安徽高考) 已知函数 f x sin x ( , , 均为正的常数)的最小正周期为 ,
1 x , 函数 y sin z 的单调递增区间是 2 3
【变式练习】
求函数 y=cos2x 的单调区间.
解析:函数 y=cos2x 的单调增区间、单调减区间分别由下 面的不等式确定 2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z)① 2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z)② π 解①得,kπ- ≤x≤kπ(k∈Z), 2 π 解②得,kπ≤x≤kπ+ (k∈Z). 2 故 函 数 y = cos2x 的 单 调 增 区 间 、 单 调 减 区 间 分 别 为
1.4.2正弦函数余弦函数的性质(周期性)公开课
看图像
y Asin(wx c)
思考:w与
T之间存在什 么关系呢?
函数 w值 周期T w×T
y=sinx 1 2 2
y=sin2x 2
2
y 2sin(1 x - ) 26
1 2
4
2
结论:w与T的积是常数2
即wT 2
T 2
w
一般地,函数 y Asin(x ) 及 y Acos(x )
最小正周期是: T 2
A 0, 0
求下列函数的最小正周期 (1)y sin 3 x,x R (2)y cos(4x 2),x R
4 (3)y cos( 1 x),x R
2
解:(1) T
2
2
3
8
3ห้องสมุดไป่ตู้
4
(3)
T
2
2
|1
|
4
2
(2)T 2 2 42
基础达标
一、选择题
(2)因为sin( ) sin ,所以 y sin x 的周期是 ( )
42
4
2
判断正误
提示:只需判断对每一个x,是 否都有f(x+T)=f(x)成立。
(1)因为sin(x 2 ) sin x,所以 y sin x 的周期是2( )
(2)因为sin(
)
sin
,所以
y
sin
x 的周期是 (
§1.4.2 正弦函数、余弦函数 的性质 ----周期性
1.终边相同的角的三角函数值有何关系?
角与角 2k 的终边相同,同名函数值相
等,即
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan
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注意: 1.定义是对定义域中的每一个x值来说的, 只有个别的x值满足:f ( x T ) f ( x ) 不能说T 是y f ( x )的周期. 例如 : sin(
2
4
2
) sin
4
, 但是 sin(
3
2
) sin
3
.
就是说 sin( x
不能对x在定义域内的每一个值使 ) sin x ,因此
2
2
不是y sin x的周期.
练习:判断下列说法是否正确
2 2 sin( x ) sin x 则 (1)x 时, 3 3 3
√) 一定不是 y sin x 的周期 (
2 2 7 x (2) 时,sin( x 3 ) sin x 则 3 6
一定是 y sin x 的周期
2 3
o -1
x
如何用数学语言刻画周期性
1、周期的定义
对于函数 f ( x) ,如果存在一个非零常
数 T,使得当 个值时,都有
x 取定义域内的每一
f ( x T ) f ( x),
那么函数 f ( x) 就叫做周期函数,
非零常数 T 叫做这个函数的周期。
正弦函数和余弦函数的周期都是 2kπ
1 1 (3) 2sin( x ) 2sin( x 2 ) 2 6 2 6 1 1 2sin( x ) 2sin ( x 4 ) 2 6 6 2
1 y 2sin( x ) 的周期为4π 2 6
另解
归纳总结
一般地,函数 y A sin( x )及 y A cos( x ) (其中 A, , 为常数,且 A 0, 0 )的周期是
T
2
2
若 0 则 T
练习:
(1) 求下列函数的最小正周期
(1) f ( x ) sin(2 x
5 1 x (2) f ( x) cos( ) 2 3 2
)
2 2 T 1 2
2 2 T 4 | | 2
P36
练习 1, 2
( ) ×
2、最小正周期的定义 对于一个周期函数 f ( x) 如果在它所 有的周期中存在一个最小的正数,
那么这个最小的正数就叫做 f ( x)的 最小正周期。
说明: 我们现在谈到三角函数周期时,如果不加特别说明,一般都 是指的最小正周期;
2.等式f ( x T ) f ( x ),强调:自变 量x本身加的常数才是周期, 例如:f (2 x T ) f (2 x ), T 不是周期, 而应写成 T T f (2 x T ) f 2( x ) f (2 x ), 此时 才是 2 2 函数y f ( x )的周期.
这里的周期指的 是最小正周期!
y 3cos x, x R的周期为2
例 求下列函数的周期: (1)y=3cosx,x∈R; (2)y=sin2x,x∈R;
1 (3) y 2sin( x ), x R 2 6
解:(2)
sin(2 x) sin(2 x 2 ) sin(2x) sin 2( x ) y sin 2 x 的周期为π .
诱导公式sin(x+2π ) =sinx,的几何意义.
y o X X X+2π X+2π x
正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的 能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函 数的规律性?
y
正弦曲线
-2பைடு நூலகம்-
1
y sinx , x R
x
o
-1
2
3
4
余弦曲线
-2 -
y 1
y cosx , x R
例 求下列函数的周期: (1)y=3cosx, x∈R; (2)y=sin2x, x∈R;
1 (3) y 2sin( x ), x R 2 6 解:(1) cos x 是以2π 为周期的周期函数.
cos( x 2 ) cos x, 3cos( x 2 ) 3cos x,
小结:
1.周期函数、最小正周期的定义;
2. y A sin( x ) 和 y A cos( x )
型函数的周期的求法。
课后思考
函数 y = tan x是周期函数吗? 如果是,那么它的最小正周期是 多少?
作业:P46
3
1 解:设f ( x ) 2sin x 的周期为T . 6 2 f ( x T ) f ( x) 1 1 2sin ( x T ) 2sin x 6 6 2 2 1 1 1 2sin x T 2sin x 6 2 6 2 2 1 1 令u x , 则 sin u T sin u 2 6 2 T y sin u 的周期为2 2 , 即T 4 . 2
§1.4 正弦余弦函数的性质
(1)周期性
举例:
生活中“周而复始”的变化规律。
日出 日落 、白天 黑夜 、四季更替
问题: 三角函数值是否具有“周而复始”的变化规律?
公式(一)
sin( 2k ) sin ( k Z ), cos( 2k ) cos ( k Z ), tan( 2k ) tan ( k Z ).
思考:一个周期函数的周期有多少个?
1﹑sinx,cosx 的周期是2π ﹑4π ﹑6π ﹑ -2π ﹑-4π ﹑-6π ……2kπ . 2﹑如果T是函数f (x) 的周期,那么2T ﹑ 3T ……kT也是函数f(x)的周期. 3 ﹑对周期函数定义中的“定义域中的每一个 值x ”的要求,而不是某一个值.