稀疏性正则化的图像泊松恢复模型及分裂Bregman迭代算法
稀疏平滑特性的多正则化约束图像盲复原方法
像， 这 是一 种严 重的“ 病态 问题” ［ 】 Ｉ ２ ］ ． 为 了能够很 好地 求解这类 “ 病 态 问题” ， 正 则化 技 术便孕 育而 生 了． 正 则化技
术也就 是在 求解 复原 图像 的过程 中加入 能够 反映真 实清 晰 图像 某种 内在特 性 的正则项 ， 以保证得 到 的解 具 有 这 种特性 ． 因此， 能够真实 、准 确地找 到反映原始清 晰图像 内在特 性的正则 项， 是 正则化技术成 功的关键．
数 的分布， 提 出 了一种 基于 贝叶斯 的单 幅运动模 糊 图像盲 复原方法 】 ． ２ ０ ０ ８年， Ｓ ｈ ａ ｎ等人 也利用这 种思想提 出一 种更 加合 理的分 段函数 ， 以便 更好 地近似 这类严 重 的拖 尾分布 ， 但 却认 为运 动模 糊退化 函数 只服从 某种指 数 的 分布 【 ６ Ｊ ． 文献 ［ ５ ， ６ ］ 已被 认为 是运动 模糊 盲复 原领域 中极 具代表 性 的两篇文 章． 这种严 重 的拖尾 分布是 基于 统计
用到了模糊图像的盲复原中【 ． 因为 Ｔ Ｖ － ｎ ｏ ｒ ｍ 存在分段常数特性， 所以该方法只能较好地适用于具有明显边缘
的Ｐ Ｓ Ｆ （ 比如运动模 糊 、理想 的低通滤波器 等等） ． 近 几年 的一些方 法认 为， 大多数 清晰 自然 图像 的边 缘都近似 地服 从一种 严重 的拖尾 分布。 而 模糊 图像 的边
不可 能得 到同一场景 的多幅不 同的模 糊 图像 ． ２ ０ １ ０ 年， Ａｌ ｍｅ ｉ ｄ ａ 等人根据 自然 图像边 缘 的稀 疏性原 理， 对 图像运用 了一种基 于稀疏先 验分布 的类 Ｔ Ｖ函数
正则化约 束， 提 出了一种适 用于 多种模糊情 况的 自然 图像盲 复原方法 【 ｌ 们 ． 该方法针对 无约 束的 Ｐ Ｓ Ｆ 以及有 约束 的 Ｐ Ｓ Ｆ都 能达 到较好 的复原效 果． 自然 图像边 缘 的这 种稀疏特性 能够 反映 出几 乎所有 自然 图像 的内在特 性， 具 有较 好 的普适 性。 但 是该方法对 于有约束 的 Ｐ Ｓ Ｆ也只运用 了一种 Ｔ Ｖ － ｎ ｏ ｒ ｍ 的正则化 约束．
交替迭代的变分修复模型及其分裂Bregman算法
交替迭代的变分修复模型及其分裂Bregman算法郝岩;冯象初;许建楼【期刊名称】《系统工程与电子技术》【年(卷),期】2011(33)12【摘要】In order to restore the damaged domain in image effectively, a variational inpainting model based on alternate iteration is proposed. By the properties of the new model, an efficient and fast numerical algorithm is introduced. In the new method, two decoupled subproblems are obtained by using an alternative minimization method, and the two subproblems are solved by using the split Bregman method respectively. Experimental results show the proposed new algorithm can not only get the better inpainting effect, but also improve the inpainting speed.%为对图像的缺损部分进行有效地修复,提出了一种交替迭代的变分修复模型.通过分析新模型的性质,给出一种高效且快速的迭代算法.新方法首先利用交替极小化方法化原问题为两个去耦的次问题,然后对两个次问题再分别利用分裂Bregman方法进行数值求解.实验结果表明,本文所提出的新算法不但修复效果较好,而且修复速度较快.【总页数】6页(P2749-2754)【作者】郝岩;冯象初;许建楼【作者单位】西安电子科技大学理学院,陕西西安710071;西安电子科技大学理学院,陕西西安710071;西安电子科技大学理学院,陕西西安710071;河南科技大学数学与统计学院,河南洛阳471003【正文语种】中文【中图分类】TP391.41【相关文献】1.加权变分去噪模型的分裂Bregman算法 [J], 刘燕雄;丁宣浩2.分数阶整体变分泊松去噪模型的分裂Bregman方法 [J], 张俊;马明溪;宁成臻;欧阳志奎3.基于交替分裂Bregman迭代算法的鲁棒多道预测反褶积方法 [J], 李钟晓;李振春4.基于全变分的运动分割模型及分裂Bregman算法 [J], 王诗言;于慧敏5.稀疏性正则化的图像泊松恢复模型及分裂Bregman迭代算法 [J], 孙玉宝;费选;韦志辉;肖亮因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一种基于稀疏正则化的图像盲复原方法
一种基于稀疏正则化的图像盲复原方法王书振;邹子健;李莉;张小平【摘要】在图像盲反卷积的过程中，最主要的难点是缺少点扩散函数的足够信息而导致的病态问题。
解决此问题可以通过对原始图像和点扩散函数同时进行正则化约束。
为了在图像复原过程中得到惟一、稳定的解，并保证图像恢复结果的有效性，提出了一种具有尺度不变性和稀疏性的正则化函数，并通过两组对比实验例证了利用该函数的图像盲复原算法具有良好的鲁棒性和收敛稳定性。
%10.3969/j.issn.1001-2400.2012.06.027【期刊名称】《西安电子科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(000)006【总页数】4页(P167-169,186)【关键词】图像盲复原;稀疏性表示;解卷积【作者】王书振;邹子健;李莉;张小平【作者单位】西安电子科技大学计算机学院,陕西西安 710071;西安电子科技大学计算机学院,陕西西安 710071;西安电子科技大学计算机学院,陕西西安 710071;西安电子科技大学计算机学院,陕西西安 710071【正文语种】中文【中图分类】TP751图像复原问题是图像处理中的经典问题之一,可用式(1)给出的卷积模型描述.式中,g为观测图像,p为成像系统的点扩散函数,λ为原始图像.在实际应用中,图像的质量均可能遭遇退化,主要表现为图像的模糊和噪声污染.图像反卷积就是利用观测图像和点扩散函数直接恢复原始图像.在文献[1-3]中有多种图像解卷积算法,例如逆滤波,维纳滤波,最小二乘滤波.这类算法都是假设成像系统的点扩散函数p是已知的,即根据观测图像和成像系统的先验知识,先确定合适的点扩散函数,再运用相应的解卷积算法恢复原始图像.图像盲反卷积则是不要求掌握成像系统的点扩散函数先验信息,直接利用观测图像对点扩散函数和原始图像进行估计.在文献[4-5]中给出了几种重要的图像盲反卷积算法,包括迭代盲反卷积算法(Iterative Blind Deconvolution,IBD),模拟退火算法(Simulated Annealing,SA),非负性和支持与约束条件的递归逆滤波算法(NAS-RIF).但这几种方法都存在着不足:迭代盲反卷积不能保证解的稳定性,模拟退火算法求解最优解的速度太慢,而NAS-RIF受噪声的影响比较大.同时,成像系统的确定性信息不足,不能保证求得的解是最优解.为了解决此问题,在图像盲复原过程中增加正则化的约束来提供一些确定性的信息,进而保证解的惟一性和稳定性.仿真结果表明,在对观测图像进行盲复原过程中增加正则化的约束,确实提高了恢复图像的质量. 图像复原问题通常是个病态问题,即在图像复原过程中由于噪声的存在导致复原的结果与真实图像相差甚远.解决图像复原病态问题的基本做法是对求出的解进行所谓的正则化约束[6-7],也就是抑制图像复原过程中噪声的放大,来减少数据波动对解的影响,从而保证解的稳定性并提高恢复图像的质量.在图像反卷积的处理中通过对正则化的运用,一定程度上解决了图像复原中解的非稳定性,以及数据不充足而导致解的非惟一性的问题,用数学模型可以表示为[8]这里的J(λ)就是对λ的约束.最常用的约束函数为欧几里得范数,由于它的简单性,故得到了广泛的运用.但是存在的问题是在很多实际应用中往往无法证明它是最佳的选择,同时它的数学易理解性往往会导致对结果产生误导.另外一种约束函数是,它不仅是凸函数,同时能保证解趋于稀疏,并可将求解问题转化为线性规划问题,从而得到最优解.或者令l p中的0＜p＜1作为约束函数,也能保证结果的稀疏性,但是它会导致目标函数的非凸性,在优化求解时不易解决[8].在文献[9]中运用的正则化函数是l1/l2,而本文中运用的正则化函数为l1与l0.5的比率,即l1/l0.5.由于在优化求解过程中,l2不能保证求解结果的稀疏性,同时在很多实际问题求解中并不能保证l2是最佳的求解选择[8].本文引入的l0.5则能保证求解结果的稀疏性.另一方面l1/l0.5函数和l0范数一样具有尺度不变性,同时l1/l0.5可以从获得图像各处的梯度信息来得到最优解,而l0范数往往很难进行优化求解.对l0范数的运用仅仅是停留在理论的层面上[10].鉴于以上l1/l0.5函数的良好特性,笔者利用该正则化函数有效地解决了图像盲复原方法中存在的病态问题.在真实的图像应用中,图像都会受到噪声的干扰.假设原始图像λ由于运动和噪声的影响,观测到的模糊图像是g,以此建立的数学模型为这里,n是高斯噪声,我们的目标就是通过盲复原算法估计出原始图像λ和点扩散函数p.在盲复原图像的过程中进行正则化约束就相当于对图像进行高通滤波处理[8],所以先对观测图像进行高频处理,即利用G x=,得到图像y,则y=[G xg,G yg].如果点扩散函数p是确定的,则对于求解λ的问题可以描述为而当原始图像和点扩散函数都不确定的情况下,解卷积问题实质上就是对观测图像g进行分解.因此,为了恢复出原始图像,建立的目标函数对于式(9)的问题,可以选用文献[10]中的迭代解卷积算法.在求解过程中,要先对λ0.5进行处理,即利用前一次迭代的结果确定的值,这样就可以将式(9)变成一个凸优化问题.之后对λ进行求导,实际就是对式(9)中的前两项求导,第3项为零,故利用文献[11]中的方法先可将式(9)前两项转化成给定一个初始值p,就可以通过文献[11]中的LUT算法求解,得到ω,然后将其代入式(10),此时式(10)对λ进行求导,得到令β=0,并代入之前求得的λ,就可求出p.如此进行迭代,一旦适当的p被估计出来,就可以利用模糊图像恢复出原始图像λ.非盲卷积的图像复原方法有很多种,这里运用文献[11]给出的快速非盲卷积算法.通过此算法能快速、准确地恢复出原始图像,并进行了去模糊的处理.实验随机使用了两幅图像,两幅图像都受到了运动模糊和噪声的影响,采用本文的复原方法结果如图1(c)和图2(c)所示,并将估计出的点扩散函数示于图1(b)和图2(b).运用迭代盲卷积的图像复原方法[12-13]的复原结果如图1(d)和图2(d)所示.为了定量比较恢复图与原始图的区别,使用信噪比从客观角度进行对比.信噪比定义为),式中的u为恢复图像,f是原始图像.从两组图(c)和图(d)的恢复结果的对比可以明显地看出,采用了稀疏正则化约束的盲图像复原方法能准确地恢复出原图像,并保证了图像细节的复原.传统的盲图像复原方法往往很难准确地估计出与图像相关的点扩散函数,同时由于噪声的影响,往往导致图像恢复效果很差.笔者运用了一种基于稀疏正则化约束的图像复原方案,该方案有效地解决了传统盲卷积点扩散函数难以准确确定的问题.通过实验验证了算法的有效性.后续还有很多内容值得研究,比如正则化函数的优化等等.【相关文献】[1]Andrews H C,Hunt B R.Digital Image Restoration[M].Englewood Cliffs:Prentice-Hall,1976.[2]Banham M R,Katsaggelos A K.Digital Image Restoration[J].IEEE Signal Processing Magazine,1997,14(2):24-41.[3]Sullivan J A O,Blahut R E,Snyder D rmation Theoretic Image Formation[J].IEEE Trans on Information Theory,1998,44(6):2094-2123.[4]Kundur D,Hatzinakos D.Blind Image Deconvolution[J].IEEE Signal Processing Magazine,1996,13(3):43-64.[5]Kundur D,Hatzinakos D.Blind Image Deconvolution Revisited[J].IEEE Signal Processing Magazine,1996,13(6):61-63.[6]Karayiannis N B,Venetsanopoulos A N.Regularization Theory in Image:the RegularizingOperator Approach[J].Optical Engineering,1989,28(7):761-780.[7]Karaviannix N B.Regularization Theory in Image Restoration-the Stabilizing Functional Approach[J].IEEE Trans on Acoustics,Speech and Signal Processing,1990,38(7):1155-1179.[8]Elad Michael.Sparse and Redurdant Representations From Theory to Applications in Signal and Image Processing[M].New York:Springer,2010.[9]Krishnan D,Tay T,Fergus R.Blind Deconvolution Using a Normalized Sparsity Measuer[C]//IEEE Conference on Computer Vision and PatternRecognition.Colorado:IEEE,2011:233-240.[10]You Yuli,Kaveh M.A Regularization Approach to Joint Blur Identification and Image Restoration[J].IEEE Trans on Information Theory,1996,5(3):416-428.[11]Krishnan D,Fergus R.Fast Image Deconvolution Using Hyper-LaplacianPriors[C]//Advances in Neural Information Processing System.Vancouver:Curran Associates Inc,2009:1033-1041.[12]Ayers G R,Dainty J C.Iterative Blind Deconvolution Method and ItsApplications[J].Optics Letters,1998,13(7):547-549.[13]Sumuraya F T,Miura N,Baba N.Iterative Blind Deconvolution Method Using Lucy’s Algorithm[J].Astronomy and Astrophysics,1994,282(02):699-708.。
基于前向后向算子分裂的稀疏性正则化图像超分辨率算法
1.2 图像稀疏表示模型
图像稀疏表示是一个新兴的图像模型,在这个模 型中,将图像信号u ∈ RN 表示为一组原子{ϕi }i∈I 的 线性组合: u = Φα (3) 其中I = {1, . . . , I }(I ∈ N)为原子参数指标集(为有 限集合),Φ ∈ RN ×I 为所有原子作为列向量组合而 成的字典矩阵.当I > N 时Φ 是过完备的冗余字典,表 示方式并不唯一,期望从中选择稀疏的表示系数α = (αi )i∈I ,即只有很少的为非零元素,∥α∥0 ≪ n,从而对 图像u形成稀疏表示. 传统地,通常采用傅立叶字典、 DCT以及小波字 典等非冗余的正交系统对图像形成表示,现代计算调 和分析研究表明,当{ϕi }i∈I 为过完备框架系统时,能 够对图像形成更为稀疏的表示.框架系数α = U x确 定信号x的一个完全且稳定的信号表示,其中U 为框 架算子,它是单射的有界线性算子,定义为:
2
自
动
化
学
报
XX 卷
稀疏表示理论认为自然图像在合适的过完备字 典下总存在稀疏的表示,即:大部分表示系数为零,只 有少数的非零大系数.图像稀疏表示模型能够刻画 图像的内在结构和先验属性,在图像去噪、去模糊、 压缩感知等反问题中已经得到了广泛的应用,并且 都获得了出色的实验结果[5,6,7] .因而本文提出了一 种新的基于稀疏表示正则化的多帧图像超分辨凸 变分模型,模型中的正则项刻画了理想图像在框架 字典下的稀疏性先验约束,保真项度量其在退化模 型下与观测信号的一致性,同时分析了该模型解最 优解条件.前向后向算子分裂法(Forward Backward Splitting:FBS)采取一种分而治之的策略,能够将复 杂问题分解为一系列简单子问题的迭代求解,是凸 分析中一种经典而有效的优化算法,具有很好的收 敛性.当前该数值优化算法在图像处理中得到了广 泛的应用[8] .因此,本文基于向前向后算子分裂法提 出了求解该模型的不动点迭代数值算法,每一次迭 代分解为仅对保真项的前向(显式)步与仅对正则 项的后向(隐式)步,从而可大幅度降低超分辨重建 的 计 算 复 杂 性;分 析 了 该 算 法 的 收 敛 性,并 采 取 序 贯策略(Continuation method)进一步提高算法的 收敛速度.针对可见光与红外图像序列进行了数值 仿真,实验结果验证了本文模型与数值算法的有效 性,同全变差图像模型相比,能够更加有效地保持恢 复图像的边缘、 轮廓等几何结构.
线性化Bregman迭代的图像恢复方法
线性化Bregman迭代的图像恢复方法作者：李媛解婷婷朱红霞来源：《卷宗》2015年第09期摘要：基于线性化Bregman迭代法带有软阈值算子的A+算法，结合广义逆迭代格式，提出一个新的混乱迭代方法求解图像的去模糊问题。
在算法上充分考虑对细节信息的有效利用.以弥补在每步迭代过程中为了去模糊而过滤掉的图像细节特征的损失，达到有效滤波的效果。
同时在计算时间和恢复效果之间取得平衡。
数值试验结果表明，该方法在提高计算效率的同时还能得到很好的图像恢复效果，特别是细节特征和稀疏纹理的恢复。
关键词：线性化Bregman；迭代法；广义逆；图像恢复图像恢复可看作是一个线性不适定问题的一个例子，这往往仿照形如b=Ax+n，我们目的是要计算出一个代表图像原场景的近似x，在大多情况下去模糊比去噪声更有效，因此重点是图像去模糊，由于线性方的程维数比较大，所以通常用迭代方法计算，迭代方法发展到现在已有很多种，由于任何一种迭代方法不可能对所有的图像恢复问题来说是最佳的，所以迭代算法的研究一直是很重要且活跃的，近年来模型应用范围十分广泛并且将其用于图像去模糊问题，有人将Bregman方法用于图像处理中优化模型的求解，得到了快速的具有显著效果的一系列算法。
在Bregman算法的基础上结合软阙值算子，将其应用在优化模型，取得了突破性的进展，本文以Bregman算法为基础结合广义逆的迭代技术，将其应用于求解优化模型，提出一个新的混乱迭代算法来解决图像去模糊问题。
1 线性化Bregman迭代法Osher等将优化的经典算法用于图像恢复TV模型的求解中得到了Bregman迭代正规化方法、线性化Bregman迭代法和分裂Bregman迭代法，并将其公式应用于直到满足终止准则综上分析，混乱迭代新算法在整体图片的去模糊过程中，其恢复效果和计算代价的性价比是最高的，在很多应用领域都需要快速的识别具体图片的细节目标，这时混乱迭代算法就是实际应用的最佳选择。
低秩与稀疏正则化在图像去噪与分割中的建模研究
低秩与稀疏正则化在图像去噪与分割中的建模研究低秩与稀疏正则化在图像去噪与分割中的建模研究摘要：图像去噪与分割是图像处理领域的重要问题。
为了提高图像去噪与分割的效果，近年来研究者们提出了许多基于低秩和稀疏正则化的方法。
本文将重点探讨低秩和稀疏正则化在图像去噪与分割中的建模研究。
首先介绍了低秩和稀疏正则化的基本原理和数学模型，然后详细讨论了低秩和稀疏正则化在图像去噪和分割中的应用方法，并通过实际案例进行验证。
最后，并对未来低秩和稀疏正则化在图像去噪与分割中的研究方向进行了展望。
1. 引言图像去噪与分割是图像处理领域的重要问题，广泛应用于计算机视觉、人工智能等领域。
图像去噪是指在有噪声的图像中恢复原始图像，而图像分割则是将图像划分为不同的区域，以实现目标检测、目标追踪等应用。
然而，由于各种因素的影响，图像往往存在各种不同类型的噪声，如高斯噪声、椒盐噪声等，这会影响到图像去噪与分割的效果。
2. 低秩与稀疏正则化的基本原理与模型2.1 低秩正则化低秩正则化是一种通过对图像矩阵进行降秩处理来恢复真实图像信息的方法。
低秩正则化的基本思想是，真实图像往往具有较低的秩，即具有较少的独立信息，而噪声和干扰会导致图像矩阵的秩升高。
因此，通过对图像矩阵进行低秩正则化处理，可以去除图像中的噪声和干扰，从而恢复原始图像。
2.2 稀疏正则化稀疏正则化是一种通过对图像进行稀疏表示处理来去噪和分割的方法。
稀疏正则化的基本思想是，真实图像在某种表示下可以被稀疏表示，即可以用较少的非零系数表示图像。
而噪声和干扰会导致图像在稀疏表示下的系数变得更加密集，因此通过对图像进行稀疏正则化处理，可以去除图像中的噪声和干扰，实现去噪和分割的效果。
3. 低秩与稀疏正则化在图像去噪中的研究与应用3.1 基于低秩正则化的图像去噪方法基于低秩正则化的图像去噪方法主要包括基于低秩矩阵分解的方法和基于低秩约束的方法。
低秩矩阵分解方法通过对图像矩阵进行SVD分解，将低秩约束转化为对特征值的约束，从而实现去噪的效果。
基于SplitBregman算法的图像复原
基于SplitBregman算法的图像复原作者：王世尧李宁来源：《计算机应用文摘》2022年第01期关键词：Split Pregman;图像复原;恢复图像中图法分类号：TP319 文献标识码：A图像复原的目的是在保证逼真度不破坏原始图像关键信息的前提下尽可能地复原图像。
一般来说，图像复原方法有两种：传统的图像复原方法是先确定点扩散函数，再复原退化图像，如等功率谱滤波、逆滤波和维纳滤波，这种方式较为常见。
还有一种图像复原方法是盲图像恢复。
当不确定模糊过程时，通常情况下我们只能根据图像系统的部分或少量信息来估计初始图像。
也正是由于原始信息的缺失，大大增加了盲图像恢复的难度。
然而，盲图像恢复具有对原始信息依赖性小的优点，这也是在实际生活中最常遇到的情况。
所以在正常应用中，盲图像恢复法的可行性和应用的广泛程度更高。
由于对点扩散函数的处理方式不尽相同，截至发稿前，图像盲复原法大体分为两类：第一类，预估计点扩散函数;第二类，点扩散函数和真实图像同步进行估计和预测。
目前，我们使用的绝大多数方法都是从第二类方法衍生而来，这也成为图像恢复方法的研究趋势。
盲图像恢复的模型和数值方法也在近年来不断被优化。
早前，Y.YOU和M.Kaveh提出了盲复原模型，这个模型在当时被广泛认可，它主要通过正则化来考虑联合的最小化问题。
而后，张航等人提出了针对关于线性图像的退化过程。
2009年，白向军团队对盲复原算法进行了复合和总结。
同年，T.Goldstein等人在高水平期刊上正式提出了本文介绍的Split Bregman算法，从而用它来求解正则化问题。
1图像盲复原技术为了更深入地研究图像盲复原技术，首先必须了解图像退化的机理，然后建立数学模型。
由于在实际的操作过程中存在很多因素导致图像质量下降，因此需要建立一个完善的数学模型。
在图像复原中，有如下通用模型。
在式（1）中：f为真实观测的图像（m维向量）;u为不被完全了解的真实图像（n维向量）;A为线性算子;∈为噪声，大多数情况下是高斯加性白噪声。
基于分离Bregman迭代协同稀疏性的图像压缩感知恢复算法
基于分离Bregman迭代协同稀疏性的图像压缩感知恢复算
法
张健;赵德斌
【期刊名称】《智能计算机与应用》
【年(卷),期】2014(004)001
【摘要】目前存在的CS恢复算法中大都采用固定的基函数,也就是在确定的域中对信号进行分解,比如:DCT域、小波域和梯度域,但这些域都忽略了自然信号的非平稳特性,缺乏自适应能力,从而不能够将图像分解得足够稀疏,也就使得CS恢复的效果很差,限制了CS在图像方面的应用.提出了一种基于分离Bregman迭代方法求解协同稀疏模型正则化的图像压缩感知恢复算法,能够在有效地刻画图像的局部平滑性和非局部自相似性的同时,获得更高质量的图像恢复效果.实验证明了本文提出算法的有效性,并且在峰值信噪比PSNR方面,比目前主流最好的算法高1 dB.【总页数】5页(P60-64)
【作者】张健;赵德斌
【作者单位】哈尔滨工业大学计算机科学与技术学院,哈尔滨150001;哈尔滨工业大学计算机科学与技术学院,哈尔滨150001
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.41
【相关文献】
1.基于小波树结构和迭代收缩的图像压缩感知算法研究 [J], 练秋生;肖莹
2.基于非局部相似性和交替迭代优化算法的图像压缩感知 [J], 陈书贞;李光耀;练秋生
3.基于分离Bregman迭代协同稀疏性的图像压缩感知恢复算法 [J], 张健;赵德斌;
4.基于Bregman迭代的CT图像重建算法 [J], 康慧;高红霞;胡跃明;郭琪伟
5.稀疏性正则化的图像泊松恢复模型及分裂Bregman迭代算法 [J], 孙玉宝;费选;韦志辉;肖亮
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
基于前向后向算子分裂的稀疏性正则化图像超分辨率算法概要
9期孙玉宝等: 基于前向后向算子分裂的稀疏性正则化图像超分辨率算法 1237 (a 目标函数值比率的衰减图形 (a The plot of ratio of objective function value (b 目标解相对误差的衰减图形 (b The plot of relative error Fig 4 图 4 针对两幅不同图像(Women、 Infrared person, 本文前向后向数值算法的收敛性图形 The plots of ratio of objective function value and relative error as a function of iteration number (Women, Infrared person 表1 Table 1 Image Women Women Infrared person Infrared person SRSR 与 TVSR 算法性能与运行时间的定量比较 The reconstruction results and run-time of SRSR and TVSR algorithms Algorithm TVSR SRSR TVSR SRSR Iteration 400 20 400 20 Time (s 530.9844 37.1406 512.9688 37.1094 PSNR 29.5291 32.5781 31.8422 36.2771 ReErr 0.0035 0.0018 0.0102 0.0037 4 结论与展望利用图像在框架下的稀疏表示模型, 本文提出了稀疏性正则化的图像超分辨模型 (SRSR, 能够有效保持超分率重建图像的几何结构, 同时采用前向后向的算法子分裂法能够有效降低数值算法的复杂度. 然而, 图像是复杂信号, 单一框架 (字典并不能稀疏表示其中的多种结构成份, 从而不利于 SR 重建, 因此字典中应包含多种结构类型的子字典, 但多个子字典级联组合而成的多成份字典并不存在相应的快速分解与重构算法, 如何解决此矛盾是一个关键, 作者已经在着手于该算法的研究, 将在随后的论文中作进一步探讨. 附录 A 定理 1 的证明证明. 令χ = l2 (I, {ei }i∈I 为 l2 (I 的标准正交基, 则变分模型(8 可改写为1 min α∈χ 2 m m ∗∇f1 = U ◦ ∇Ψ ◦ U ∗ , 其中∇Ψ = k=1 Hk (Hk α − gk . 记模型 (7 解的集合为 S. 由凸分析理论中算子运算的基本性质[11] , 可作如下推导: α ∈ S ⇔ 0 ∈ ∂ (f1 + f2 (α = ∂f2 (α + {∇f1 (α} ⇔ −∇f1 (α ∈ ∂f2 (α ⇔ (α − γ ∇f1 (α − α ∈ γ∂f2 (α ⇔ α = proxγ,f2 (α − γ ∇f1 (α ⇔ α = proxγ,f2 (α − γ (U ◦ ∇Ψ ◦ U ∗(α ⇔ (αi∈I = proxγ,f2 (αi − γηi i∈I 由文献 [8] 中例 2.19 (ii, 上式可进一步表示为: (αi∈I = (proxγ,λϕi (αi − γηi i∈I , 记T = proxγ, f2 (I − γη , 上述公式表明(αi i∈I 为变分模型(8 的解当且仅当α = T α, 由此第二个命题也自然成立. 从而, 命题得证. Hk U α −k=1 ∗ 2 gk 2 +λ i∈I ϕi ( α , ei 附录 B 定理 2 的证明 m 2 证明. 记 Tk = Hk U ∗ , f1 = 1 k=1 Tk α − gk 2 , 2 f2 = λ i∈I ϕi (αi , 由问题假设 Tk 为有界线性算子, 因此 m ∗ f1 ∈ Γ0 (H, 并且可微, ∇f1 = k=1 Tk (Tk α − gk , 其中根据模型 (8 对函数的{ϕi }i∈I 的假设, 由文献 [8] 中例 2.19 (i, 可知f2 = λ i∈I ϕi ( α, ei ∈ Γ0 (R. 由于{Hk }1≤k≤K : H → H , U ∗ : χ → H 皆为线性有界算子, Ψ ∈ Γ0 (R 且为有限函数, 则 f1 ∈ Γ0 (R, 并且1238 自动化学报 36 卷∗ Tk 为 Tk 的共轭算子. 根据 Lipschitz 连续的定义: ∇f1 (x − ∇f2 (y = m k=1 m k=1 m k=1 ∗ Tk Tk (x − y ≤ 12 Chen H G. Forward-Backward Splitting Techniques: Theory and Applications [Ph. D. dissertation], University of Washington, USA, 1994 13 Combettes P L. Solving monotone inclusions via compositions of nonexpansive averaged operators. Optimization, 2004, 53(5-6:475−504 ∗ Tk Tk (x − y ≤ ∗ Tk Tk x−y , ∀(x, y ∈ H2 因此, ∇f1 为 Lipschitz 连续,且 Lipschitz 常数为β = m k=1 ∗ Tk Tk . 进一步, 由文献 [12] 中引理 2.10.2, (∇f1 −1 是模数为1/β 的强单调算子. 令算子 T1 = ∇f1 , T2 = ∇f2 , 式 (13 即为前向后向后算子分裂算法应用于算子 T1 , T2 时的不动点迭代公式. 由问题假设, 依据文献 [13] 中推论 6.5, 满足其收敛性条件, 从而序列{αk } 能够收敛于凸变分问题 (7 的某一最优解. 孙玉宝南京理工大学博士研究生. 主要研究方向为图像建模与稀疏表示, 图像压缩与通信. E-mail: syb8692833@ (SUN Yu-Bao Ph. D. candidate at the School of Computer Science and Technology, Nanjing University of Science andTechnology. His research interest covers image modeling and sparse representation, image compression and communication. 费选南京理工大学博士研究生. 主要研究方向为图像压缩与质量评价, 分布式信源编码. E-mail: feixuan@ (FEI Xuan Ph. D. candidate at the School of Computer Science and Technology, Nanjing University of Science and Technology. His research interest covers image compression and quality assessment, and distributed source coding. 韦志辉教授, 博士. 主要研究方向为图像处理, 图像建模, 小波分析, 多尺度变换理论, 数字水印, 编码与压缩. 本文通信作者. E-mail: gswei@ (WEI Zhi-Hui Professor, Ph. D.. His research interest covers image processing, image modeling, wavelet analysis, multi-scale analysis, digital watermark, and image coding and compressing. Corresponding author of this paper. 肖亮副教授, 博士. 主要研究方向为变分偏微分方程在图像处理中的应用, 图像建模, 模式识别, 运动估计与跟踪, 虚拟现实与系统仿真. E-mail: xtxiaoliang@ (XIAO Liang Associate professor, Ph. D.. His research interest covers variational partial differential equations application in image processing, image modeling, pattern recognition, motion estimation and tracking, virtual reality and system simulation. References 1 Ng M K, Bose N K. Mathematical analysis of superresolution methodology. IEEE Signal Processing Magazine, 2003, 20(3: 62−74 2 Rudin L I, Osher S, Fatemi E. Nonlinear total variation based noise removal algorithms. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1992, 60(1-4: 259−268 3 Capel D, Zisserman A. Super-resolution enhancement of text image sequences. In: Proceedings of the 15th International Conference on Pattern Recognition. Washington D. C., USA: IEEE, 2000. 600−605 4 Ng M K, Shen H F, Lam E Y, Zhang L P. A total variation regularization based super-resolution reconstruction algorithm for digital video. EURASIP Journal on Applied in Signal Processing, 2007, 2007: 1−16 5 Protter M, Elad M. Image sequence denoising via sparse and redundant representations. IEEE Transactions on Image Processing, 2009,18(1: 27−35 6 Chaux C, Combettes P L, Pesquet J C, Wajs V R. A variational formulation for frame-based inverse problems. Inverse Problems, 2007, 23(6: 1495−1518 7 Lian Qiu-Sheng, Chen Shu-Zhen. Image reconstruction for compressed sensing basedon the combined sparse image representation. Acta Automatica Sinica, 2010, 36(3:385−391 (练秋生, 陈书贞. 基于混合基稀疏图像表示的压缩传感图像重构. 自动化学报, 2010, 36(3: 385−391 8 Combettes P L, Wajs V R. Signal recovery by proximal forward-backward splitting. Mul tiscale Modeling and Simulation, 2006, 4(4: 1168−1200 9 Candcs E J, Donoho D L. New tight frames of curvelets and optimal representation of objects with piecewise C 2 singularities. Communications on Pure and Applied Mathematics, 2004, 57(2: 219−266 10 Ela d M, Hel-Or Y. A fast super-resolution reconstruction algorithm for pure translational motion and common spaceimvariant blur. IEEE Transactions on Image Processing, 2001, 10(8: 1187−1193 11 Zalinescu C. Convex Analysis in General Vector Spaces. New Jersey: World Scientific, 2002。
基于稀疏正则优化的图像复原算法
基于稀疏正则优化的图像复原算法肖宿;韩国强【摘要】For speeding up image restoration and improving the restored results, a new algorithm was proposed. The image restoration was represented as a class of standard optimization problem, which was decomposed into two subproblems by the alternating minimization algorithm. By iteratively solving the two subproblems, a solution to the image restoration problems was obtained. During the subproblem solving, the iterative soft-thresholding algorithm was introduced for the denoising subproblem. In the experiment, the images blurred by different type of blur were restored. The experimental results show the effectiveness of the proposed algorithm. When dealing with the images, compared with Multilevel Thresholded Landweber (MLTL) and Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm (FISTA), the proposed algorithm can reduce the time by 28% and 71% respectively, and it improves the Signal-to-Noise Ratio (SNR) values by 0.7 dB to 3.5 dB.%为提高图像复原的速度,改进图像复原的质量,提出一种新算法.将图像复原表示为一类标准的优化问题,采用交替最小化把该优化问题分解为等价的两个子问题.通过迭代求解这两个子问题,获得图像复原问题的解.在此迭代过程中,引入迭代软阈值法处理图像降噪子问题.实验对不同类型的模糊图像进行了复原,其结果验证了算法的有效性.与多级阈值Landweber(MLTL)算法和快速收缩阈值算法(FISTA)相比,处理相同图像时,所提算法可分别节省28％和71％的时间,同时复原图像的信噪比(SNR)可提高0.7 ～3.5 dB.【期刊名称】《计算机应用》【年(卷),期】2012(032)001【总页数】3页(P261-263)【关键词】图像复原;约束优化问题;稀疏表示;交替最小化;迭代软阈值【作者】肖宿;韩国强【作者单位】淮北师范大学计算机科学与技术学院,安徽淮北235000;华南理工大学计算机科学与工程学院,广州510006【正文语种】中文【中图分类】TP391.4130 引言图像成像模型可表示为:或其中:y∈RM×1表示已知的观测图像;x∈RN×1表示未知的原始图像;线性算子H∈RM×N;n∈RM×1表示加性噪声;D∈RN×L表示字典。
基于稀疏测度PSF估计的天文图像复原改进算法
基于稀疏测度PSF估计的天文图像复原改进算法邵云龙【摘要】为了解决地基天文观测中由大气湍流造成的图像模糊问题,利用基于稀疏测度的 PSF估计算法实现 PSF准确信息的重构,提出一种变正则化参数的改进的稀疏测度PSF估计算法,通过选择合理的参数,提高了 PSF估计精度。
实验结果表明,改进后的算法能更准确地估计PSF,提高图像复原的效果。
%In order to overcome the blurring effect caused by atmosphere turbulence in ground-based astronomy,the PSF esti-mation algorithm based on sparsity measure is used to restore the accurate PSF information.An improved sparsity measure PSF estimation algorithm based on variational regularization parameters is proposed,which can adaptively correct the regu-larization parameter and improve the estimation precision of PSF.Experimental results show that the proposed algorithm can estimate PSF more accurately and the image restoration is improved.【期刊名称】《桂林电子科技大学学报》【年(卷),期】2015(000)004【总页数】5页(P310-314)【关键词】地基天文;大气湍流;稀疏测度【作者】邵云龙【作者单位】桂林电子科技大学信息与通信学院，广西桂林 541004【正文语种】中文【中图分类】TP391.41在地基天文中,通过光学望远镜观测天文目标时必须穿过厚厚的大气层这一非均匀介质,使得观测图像因受到大气湍流的影响出现严重的模糊[1]。
基于Bregman迭代的CT图像重建算法
引用格式 康慧, 高红霞, 胡跃明, 郭琪伟. 基于 Bregman 迭代的 CT 图像重建算法. 自动化学报, 2013, 39(9): 1570−1575
DOI 10.3724/SP.J.1004.2013.01570
第 39 卷 第 9 期 2013 年 9 月
自动化学报 ACTA AUTOMATICA SINICA
Vol. 39, No. 9 September, 2013
基于 Bregman 迭代的 CT 图像 重建算法
康 慧 1, 2 高红霞 1, 2 胡跃明 1, 2 郭琪伟 1, 2
摘 要 针对大规模集成电路领域 CT 重建图像的特点, 提出 TV 约束 条件下采用 l1 范数作正则项的重建模型, 并给出了基于 Bregman 迭代 的模型求解算法. 算法分为两步: 1) 采用 Bregman 迭代求解图像的 l1 范数作为正则项, 误差的加权 l2 范数作为保真项的约束极值问题; 2) 采 用 TV 约束对 1) 中得到的重建图像进行修正. 算法对 TV 约束条件下 采用 l1 作正则项的重建模型分开求解, 降低了算法的复杂度, 加快了收 敛速度. 算法在稀疏投影数据下可以快速重建 CT 图像且质量较好. 本 文采用经典的 Shepp-Logan 图像进行仿真实验并对实际得到的电路板 投影数据进行重建, 结果表明该算法可满足重建质量要求且重建速度有 较大提升.
Key words CT reconstruction, sparse projection data, Bregman iteration algorithm, l1 regularization, TV regularization
分裂bregman算法
分裂bregman算法
分裂Bregman算法是一种迭代算法，主要用于解决带有L1正则化的优化问题，例如L1最小化问题。
这种算法在图像处理、压缩感知等领域有广泛的应用。
基本思想是将原始问题转化为更简单的子问题，然后迭代地解决这些子问题，每次迭代都通过Bregman距离来更新解。
具体来说，对于一个优化问题
minimize f(x) + g(x)
其中f(x)是目标函数，g(x)是L1正则化项（也就是|x|的积分），分裂Bregman算法将其转化为两个子问题：1.
解决一个没有L1正则化的优化问题：
minimize f(x) + D_b[x, y]
其中D_b[x, y]是Bregman距离，初始时y取0。
2.
更新y的值：
y = y - t * grad D_b[x, y]
其中t是步长。
3.
这两个子问题交替迭代，直到收敛。
由于Bregman距离的存在，算法能够保证解的稀疏性，这对于L1最小化问题非常重要。
分裂Bregman算法的优点是能够处理大规模的优化问题，而且不需要对所有变量同时进行更新，这使得算法在实际应用中非常有效。
不过，算法也有一些缺点，比如对初值敏感，可能会陷入局部最优解等。
基于稀疏表示的图像超分辨率重建快速算法
( 1 . S chool of Comp uter S cience and T echnology , N anj ing Univ . of Science and T echnolog y , N anj ing 210094 , China; 2. Lab. of T hr ee D imensional Simulation, 60 th Inst. of General Staf f Dep t . of PLA , N anj ing 210016 , China)
k
, k = 1, 2,
,K
( 1)
式中, gk ! RL 表示第 k 帧低分辨率图像 ; u ! RN 表示原始
k
! RL 表 示加性随机噪 声; Fk !
基金项目 : 国家高技术研究发展计划 ( 863 计划 ) ( 2007A A 12Z142) ; 国 家自然科 学基金 ( 60672074, 60802039 ) ; 江苏省 研究生创 新基金资 助课题 作者简介 : 孙玉宝 ( 1982 ) , 男 , 博士研究生 , 主要研究方向Байду номын сангаас图像稀疏模型及其应用、 分布式仿真、 网络虚拟环境设计与开发。 E mail: s yb 8692833@ 126. com
[ 5]
数的原子揭示了信号的主要特征与内在结构, 从而为几何结 构保持的超分辨率重建奠定良好的基础。基于理想高分辨率 图像在字典下的稀疏表示为式( 3) , 图像退化模型可表示为 g k = Hk !+ ∀ k , k = 1, 2, ,K ( 4) 根据式( 4 ) , 为了超分辨重建高分辨率图像, 可建立一个新 的关于稀疏表示系数的变分问题, 相应地对理想图像的先 验约束转变为对系数的稀疏先验约束。根据正则化理论, 稀疏性正则化的超分辨重建模型可建模为如下变分问题
三种线性Bregman迭代重构算法性能分析
第28卷第2期2014年4月空军预警学院学报Journal of Air Force Early Warning AcademyV ol.28No.2Apr.2014收稿日期：2013-11-20作者简介：陈文峰(1989-)，男，硕士生，主要从事现代雷达目标检测技术研究.三种线性Bregman 迭代重构算法性能分析陈文峰，李少东，杨军（空军预警学院，武汉430019）摘要：针对线性Bregman 迭代在压缩感知稀疏信号重构中具有良好的重构性能和抗噪性能，从理论上对三种典型的线性Bregman 迭代重构算法进行了分析比较，给出了算法的步骤和应用条件，然后基于CS 重构指标进行了综合的仿真与分析，最后给出了三种算法的关系以及相应的结论．关键词：重构算法；Bregman 迭代；线性Bregman 迭代；压缩感知中图分类号：TN911.7文献标志码：A文章编号：2095-5839(2014)02-0084-05压缩感知(CS)理论[1]建立在信号可稀疏表示和逼近理论基础上，利用信号结构的稀疏特性，将压缩与采样合并进行，通过重构算法实现对信号的精确重构[2]．重构算法作为CS 的核心之一，其性能直接影响信号的重构精度．典型的重构算法有以正交匹配追踪(orthogonal match-ing pursuit,OMP)[3]算法为代表的贪婪类算法和以基追踪(base pursuit,BP)[4]为代表的L 1范数类算法．目前，对这2种基本算法主要围绕算法高效实现和高精度的统一展开[5-7]．然而，作为线性Bregman 迭代的3种典型算法：ΘT 线性Breg-man 迭代、Θ+线性Bregman 迭代和Θ-线性Breg-man 迭代，各算法的性能、相互关系、应用条件等均未有公开分析和讨论，缺乏对上述算法的综合评价分析．为此，本文在研究分析了线性Breg-man 迭代的3种算法基础上，对比其迭代格式和算法步骤、应用条件，从理论上对3种算法进行了分析；并通过仿真进行了性能分析，给出了相应的结论，为研究Bregman 迭代算法的统一理论奠定基础，同时也为线性Bregman 迭代算法的应用提供支撑．1CS 基本原理假设可稀疏信号为x ∈R N ×1，N 为信号长度，其对应稀疏基为Ψ∈R N ×N ，经过一个与稀疏基Ψ∈RN ×N不相关的矩阵Φ∈R M ×N(M <N )量测，得到量测值序列y ∈R M ×1，即y =Φx =ΦΨθ=Θθ(1)式中，θ∈R N ×1为信号x 经过Ψ变换的稀疏信号，Φ为量测矩阵，Θ=ΦΨ为感知矩阵．文献[8]证明了当感知矩阵Θ满足约束等距性(RIP)条件时，信号可以从量测值y 中完美的重构出来．此时只要求解min θ||θ||0s.t. y =Θθ}(2)即可得到信号x ．由于M <N ，式(2)是一个NP (non-deterministic polynomial)难的问题．对于满足特定性质的矩阵，有min θ||θ||1s.t. y =Θθ}(3)式(2)和式(3)等价[8]，从而将带约束的L 0范数最小化问题转化为带约束的L 1范数最小化问题．2三种线性Bregman 迭代将带约束的L 0范数最小化问题转化为带约束的L 1范数最小化问题之后，就可以利用凸优化算法进行求解．而线性Bregman 迭代正则化方法是一种基于L 1范数的有效优化算法．文献[9]求解了基追踪问题式(3)的线性Bregman 迭代，文献[6,10]在线性Bregman 迭代格式基础上，先后研究了另外2种线性Bregman 迭代算法．下面分别进行简要介绍．2.1ΘT 线性Bregman 迭代算法ΘT 线性Bregman 迭代是Bregman 迭代正则化的线性简化，通过感知矩阵的转置和残差的乘积迭代得到v k +1，v k +1通过收缩算子的迭代收缩和步长参数δ共同控制得到稀疏信号，相应的ΘT 迭代为v k +1=v k -ΘT (Θθk -y )θk +1=δT μ(v k +1)}(4)DOI:10.3969/j.issn.2095-5839.2014.02.002第2期陈文峰，等：三种线性Bregman 迭代重构算法性能分析T μ(v k +1)=[t μ(v 1k +1),t μ(v 2k +1),⋯,t μ(v M k +1)]T (5)t μ(vk +1m)={|v k +1m |≤μsgn(v k +1m )(|v k +1m |-μ)|v k +1m |≥μm =1,2,⋯,M(6)式中，θ0=v 0=0，μ>0为正则化参数，δ>0为步长参数，T μ(⋅)为收缩算子．式(4)—式(6)为ΘT 线性Bregman 迭代，相应的算法简记为LBT ．LBT 算法的步骤如下：Step 1θ0=v 0=0，δ>0，μ>0；Step 2while ”not converge ”,do v k +1=v k -ΘT (Θθk -y )；θk +1=δT μ(v k +1)；k =k +1.end while ；Step 3输出迭代结果θk ．2.2Θ+线性Bregman 迭代算法由于ΘT 线性Bregman 迭代存在停滞现象[7]，需要解决．Θ行满秩时，通过改变感知矩阵Θ的条件数即可解决此问题，并且条件数越小，收敛越快[6]．其中Θ的条件数定义[6]为cond(Θ)=λmax (ΘΘT )/λmin (ΘΘT )(7)式中λmax (ΘΘT)和λmin (ΘΘT)分别为ΘΘT最大和最小特征值．可见，加快收敛速度的思路就是降低感知矩阵的条件数．为此，在式(1)两边乘以(ΘΘT )-1/2，得到(ΘΘT )-1/2y =(ΘΘT )-1/2Θθ(8)令y 1=(ΘΘT )-1/2y 、Θ1=(ΘΘT )-1/2Θ，式(8)转化为y 1=Θ1θ(9)对式(9)应用迭代式(4)，有v k +1=v k -Θ1T (Θ1θk -y 1)θk +1=δT μ(vk +1)}(10)将y 1=(ΘΘT )-1/2y 、Θ1=(ΘΘT )-1/2Θ代入式(10)，可得v k +1=v k -((ΘΘT )-1/2Θ)T ((ΘΘT )-1/2Θθk -(ΘΘT )-1/2y )θk +1=δT μ(v k +1)}(11)式(11)可化简为vk +1=v k -ΘT (ΘΘT )-1(Θθk-y )θk +1=δT μ(vk +1)}(12)令Θ+=ΘT (ΘΘT )-1，得到Θ+线性Bregman 迭代．此时感知矩阵为Θ1=(ΘΘT )-1/2Θ，且Θ1ΘT1=((ΘΘT )-1/2Θ)((ΘΘT )-1/2Θ)T =I(13)cond(Θ1)=[λmax (Θ1Θ1T )/λmin (Θ1Θ1T )]1/2=1(14)可以看出，Θ+线性Bregman 迭代中感知矩阵条件数为最小，达到了消除ΘT 线性Bregman 迭代中停滞现象的目的．Θ+线性Bregman 迭代算法简记为LB+，相应的算法步骤如下：Step 1θ0=v 0=0，δ>0，μ>0；Step 2while ”not converge ”,do v k +1=v k -Θ+(Θθk -y )；θk +1=δT μ(v k +1)；k =k +1.end while ；Step 3输出迭代结果θk ．2.3Θ-线性Bregman 迭代算法当Θ非行满秩时，ΘΘT 不可逆，Θ+=ΘT (ΘΘT )-1不存在，用Θ-代替式(21)中的Θ+，得到Θ+线性Bregman 迭代的推广形式[10]，Θ-线性Bregman 迭代，Θ-为Θ的广义逆，定义[11]如下．对任意矩阵Θ∈R M ×N ，矩阵G ∈R N ×M ，有以下4个条件：①ΘG Θ=Θ；②G ΘG =G ；③(ΘG )T =ΘG ；④(G Θ)T =G Θ．若G 满足条件①，则称G 是Θ的广义逆矩阵，记为Θ-．若G 满足以上全部4个条件，则称G 是Θ的Moore-Penrose 逆矩阵，记为Θ+．所以Θ+为Θ-的一个特例，且当Θ满秩时，Θ+为ΘT (ΘΘT )-1．由Θ+为Θ-的一个特例知Θ+线性Bregman 迭代是Θ-线性Bregman 迭代的特例，将Θ-线性Bregman 迭代的算法记为LB -，其步骤如下：Step 1θ0=v 0=0，δ>0，μ>0；Step 2while ”not converge ”,do v k +1=v k -Θ-(Θθk -y )；θk +1=δT μ(v k +1)；k =k +1.end while ；Step 3输出迭代结果θk ．2.43种算法特点分析将3种算法统一表示为v k +1=v k -A (Θθk -y )θk +1=δT μ(vk +1)}(15)当A =ΘT 时式(15)为ΘT 线性Bregman 迭代，文献[12]证明了当μ→∞时由式(4)生成的序列{θk }k ∈N 的极限为基追踪问题式(3)的解，文献[13]进一步指出μ大于某个确定的数即可．这种迭代算法简单快速，只涉及矩阵和向量的乘法运算，收缩算子又保证了解的稀疏并消除了噪声，容易编程，且具有良好的抗噪性能，但在某些迭代过程中收敛十分缓慢，存在停滞现象，需要较多的迭代次数[7]．当A =Θ+时式(15)为Θ+线性Bregman 迭代，文献[12]证明了当μ→∞时序列{θk }k ∈N 的极限为基追踪问题是式(3)的解．此时85空军预警学院学报2014年Θ的条件数更小，收敛更快，所需的迭代次数也更少，因此不需要选择和LBT 一样大的μ，可以选择更小的μ，但在噪声条件下重构精度有所下降．当A =Θ-时式(15)为Θ-线性Bregman 迭代，Θ+线性Bregman 迭代是Θ-线性Bregman 迭代的特例，因此LB -具有类似LB ＋的性质，且当Θ行满秩时，Θ-=Θ+，LB -和LB ＋相同．图1给出了ΘT 、Θ+、Θ-线性Bregman 迭代三者的关系描述．+ − Ｔ图13种线性Bregman 迭代的关系3种算法中LBT 对感知矩阵要求最少，LB ＋和LB -是其特例；其中LB ＋是感知矩阵行满秩时的LBT 特例，该方法通过减小感知矩阵的条件数来加快收敛速度；而LB -对应感知矩阵非行满秩时的情况，是对LB ＋的推广．3算法性能指标CS 重构算法性能指标的评定一般包括重构精度、相对误差、峰值信噪比、重构时间等方面．本文主要从相对重构精度(error )和重构时间(ρ)两方面进行评定．设θ为原始信号，θ̂为重构信号，相对重构误差定义为error =||θ̂-θ||2/||θ||2(16)相对重构误差是对算法恢复出原始信号准确度的反映，error 越小，算法恢复出原始信号越准确，说明重构效果越好，算法越有效；反之亦然．重构精度定义为ρ=1-||θ̂-θ||2/||θ||2(17)重构精度是对算法恢复出原始信号程度的最为直观的反映，ρ越大，算法恢复出原始信号程度越高，说明重构效果越好，算法越有效；反之亦然．重构时间t 是衡量算法运算效率的主要方面，描述了算法的计算复杂度以及花费的代价，t 越小，说明算法运算效率越高，耗时越少，算法越有效；反之亦然．4仿真与分析感知矩阵Θ是128×256维的随机高斯矩阵，由于Θ的条件数越小收敛越快，需要的μ越小，LBT 中cond(Θ)≫1，选择μ=4×103和δ=7×10-4,由于Θ是行满秩的，从而Θ+=Θ-，调用pinv(⋅)生成Θ-，LB ＋和LB -中cond(Θ)=1，都选择μ=1、δ=0.9．随机幅度的稀疏信号θ是256×1维的，θ的稀疏度即非零个数K =10．仿真平台为Matlab R2008b ，操作系统为Windows XP ，处理器为Intel 酷睿E7500，主频为2.93GHz ，内存为2GB ．1)3种算法的可行性与有效性本仿真主要验证3种算法的可行性与有效性，停止准则为||Θθk -y ||/||y ||≤10-5，重构结果如图2所示．仿真结果中LBT 的相对重构误差error LBT =1.17×10-5，LB ＋的相对重构误差error LB ＋=8.31×10-5，LB -的相对重构误差error LB －=2.79×10-5．3种算法都能较好地重构出原始信号，验证了3种算法的可行性与有效性．４序号无量纲幅度３２１０-２０１５０５０１００２００２５０-１０．５０-２．００１５０５０１００２００２５０-１．５-０．５１．５２．００．５０-２．００１５０５０１００２００２５０-１．５-０．５１．５２．０无量纲幅度无量纲幅度序号序号原始信号ＬＢＴ重构信号原始信号ＬＢ＋重构信号原始信号ＬＢ-重构信号(a)LBT 算法(b)LB ＋算法(c)LB －算法图23种算法重构效果2)无噪声条件下重构性能比较停止准则为||Θθk -y ||/||y ||≤10-5，重构精度与迭代次数的关系如图3所示，Monte Carlo 仿真100次重构性能比较如表1所示．无噪声条件下，LB ＋和LB -收敛需要的迭代次数很少，很快就能达到很高的重构精度，精确重构出原始信号；LBT 收敛较慢，存在明显的停滞现象，但经过足够多的迭代后，也能达到很高的重构精度，精确重构出原始信号．由表1可以看出，LBT 收敛需要的迭代次数较多，运算时间也较长．LB ＋和LB -收敛需要的迭代次数较少，验证了Θ的条件数越小收敛越86第2期陈文峰，等：三种线性Bregman 迭代重构算法性能分析快．LB ＋和LB -具有相同的重构精度和需要的迭代次数，验证了Θ时LB ＋和LB -相同．LB ＋运算时间比LBT 小一个数量级，LB -的迭代次数虽然较少，但运算时间却远大于LB ＋，这是因为调用pinv(⋅)生成Θ-需要时间较长．迭代次数重构精度２００１０００８００６００４００００．２１．００．４０．６０．８ＬＢＴＬＢ+ＬＢ-图3无噪声时重构精度与迭代次数的关系表1无噪声条件下重构性能比较算法LBT LB ＋LB -迭代次数均值448.046.246.2标准差104.410.910.9最大值8539191相对误差均值×10-51.371.191.19标准差×10-61.172.102.10最大值×10-51.631.761.76运算时间/ms均值45.77.647.5标准差7.53.33.8最大值70.329.768.63)噪声条件下重构性能比较停止准则为残差的标准差小于噪声的均方根σ，即(1M∑i =1M((Θθk -y )i -1M ∑i =1M(Θθk -y )i )2)1/2<σ，信噪比定义为SNR =20lg(||Θθ||/σ2)，选择SNR =27dB ，限制迭代次数最多1000次，重构精度与迭代次数的关系如图4所示，Monte Carlo 仿真100次重构性能比较如表2所示．迭代次数０２００１０００８００６００４０００．２０．４０．６０．８１．０重构精度ＬＢＴＬＢ+ＬＢ-图4噪声时重构精度与迭代次数的关系表2噪声条件下重构性能比较算法LBT LB ＋LB -迭代次数均值346.023.123.1标准差123.76.16.1最大值7814040相对误差均值0.02920.05320.0532标准差0.00730.01160.0116最大值0.04810.08390.0839运算时间/ms 均值52.37.446.1标准差12.93.73.5最大值108.223.759.4SNR =27dB 时，LB ＋和LB -收敛需要的迭代次数很少，很快就能达到较高的重构精度，满足重构要求，能重构出原始信号；LBT 收敛较慢，依然有明显的停滞现象，但经过足够多的迭代后，重构精度要高于LB ＋和LB -．由表2可以看出，在SNR =27dB 时，经过有限次迭代，3种算法相对误差都较小，能够满足重构要求，具有良好的抗噪性能，LBT 的相对误差最小，LB ＋和LB -的相同．4)重构精度与信噪比的关系主要考察不同算法的重构精度对信噪比的敏感度．SNR 的取值范围是5dB ≤SNR ≤35dB ，步长为3，Monte Carlo 仿真100次．图5为重构精度与信噪比的关系．０．２１．０信噪比／ｄＢ１５５１０２０２５３０３５重构精度０．４０．６０．８ＬＢＴＬＢ+ＬＢ-图5重构精度与信噪比的关系由图5可以看出，在较低的信噪比下，3种算法都不能准确地重构出原始信号，在一定信噪比条件下随着信噪比的增大，3种算法的重构精度都越来越高，LBT 的重构精度高于LB ＋和LB -，LBT 的抗噪性能要好于LB ＋和LB -．5结束语本文基于CS 求解稀疏信号问题，研究分析了3种线性Bregman 迭代算法，给出了统一表示、相互关系和应用条件，进行了仿真分析比较验证．仿真结果证明：LBT 的重构精度高、抗噪性能好，但运算时间相对较长；LB ＋的运算时间较短，但重构精度和抗噪性能都不如LBT ．因为二者有统一的表示，下一步考虑将LBT 和LB ＋结合，形成运算时间相对较短，重构精度和抗噪性能相对较好的算法．参考文献：[1]DONOHO D pressed sensing[J].IEEE Trans.on Information Theory,2006,52(4):1289-1306.[2]许志强.压缩感知[J].中国科学:数学,2012,42(9):865-877.[3]TROPP A J,GILBERT A C.Signal recovery from ran-dom measurements via orthogonal matching pursuit[J].IEEE Trans.on Information Theory,2007,53(12):4655-4666.[4]NEEDELL D.Topics in compressed sensing[D].USA:University of California,2009:10-22.87空军预警学院学报2014年[5]王丽艳,韦志辉.低剂量CT 的线性Bregman 迭代重建算法[J].电子与信息学报,2013,35(10):2418-2424.[6]乔田田,王际朝,李维国,等．一种基于线性化Bregman 迭代的图像去模糊新方法[J].中国石油大学学报:自然科学版,2013,37(2):176-180.[7]OSHER S,MAO Yu,DONG Bin,et al ．Fast linearized Bregman iteration for compressive sensing and sparse de-noisng[R].USA:University of California Los Angeles,2008.[8]CANDES E J,TAO T .Decoding by linear programming [J].IEEE Trans.on Information Theory,2005,51(12):4203-4215.[9]YIN Wo-tao,OSHER S,GOLDFARB D,et al.Bregman iterative algorithms for l 1-minimization with applicationsto compressed sensing[J].SIAM Journal on Imaging Sci-ences,2008,1(1):143-168.[10]张慧,成礼智.A -线性Bregman 迭代算法[J].计算数学,2010,32(1):97-104．[11]张贤达.矩阵分析与应用[M].北京:清华大学出版社,2004:1-10.[12]CAI Jian-feng,OSHER S,SHEN Zuo-wei ．LinearizedBregman iterations for compressed sensing[J].Mathemat-ics of Computation,2009,78:1515-1536.[13]YIN Wo-tao.Analysis and generalizations of the linear-ized Bregman method[J].SIAM Journal on Imaging Sci-ences,2010,3(4):856-877.Performance analysis of three linear Bregman iterativereconstruction algorithmsCHEN Wen-feng,LI Shao-dong,YANG Jun(Air Force Early Warning Academy,Wuhan 430019,China)Abstract ：Considering that linear Bregman iteration being of better performances on reconstruction and anti-noise in reconstruction of compressive sensing sparse signals,this paper analyses and compares the three typical linear Bregman iteration reconstruction algorithms,and then gives the steps of algorithm and applicable conditions,performs the comprehensive simulation and analysis based on CS reconstruction index,and finally,puts forward the relations of three algorithms and relevant conclusions.Key words ：reconstruction algorithm ；Bregman iteration ；linearized Bregman iteration ；compressive sensing(CS)(上接第83页)Method of 4th-order model SAR imaging with range-migrationin time domainYANG Ran,LI Kun,DENG Hai-tao(No.38Research Institute,China Electronics Technology Group Corporation,Hefei 230088,China)Abstract ：Considering that the coupling of high squint SAR echoes is strong,this paper studies SAR imaging in terms of enhancing the approximation accuracy of high squint model and correction accuracy of range-jittery,and derives a model for 4th-order SAR imaging algorithm.In this scheme,the squint range is first expanded to the fourth power term for enhancing the approximation degree,and the compensation of range-migration is done in time domain,for the preliminary decoupling of range and azimuth.The signals are transferred to the bi-dimensional frequency domain for performing the correction of range curvature,by using the reversion method of series,and the focused SAR image can be achieved by the azimuth match filtering.This proposed method is of easy flow and real-time processing.The simulation results show that the method is of higher capability of squint mode process-ing and imaging resolution.Key words ：SAR imaging ；4th order model ；high squint mode ；high resolution88。
基于布雷格曼迭代的稀疏正则化图像复原方法
基于布雷格曼迭代的稀疏正则化图像复原方法陈曦【摘要】为了实现模糊噪声图像的清晰化复原,提出了一种基于布雷格曼迭代的稀疏正则化约束的图像复原算法.首先,运用差分算子,得到图像中各个方向上的梯度信息;然后,利用提取的梯度信息,得到图像边缘各个方向上的权重;并结合稀疏性原理,针对复原图像,提出了一种权重的稀疏性正则化约束;最后,运用了一种布雷格曼迭代(Bregman Iteration,BI)策略对提出的方法进行最优化求解.实验结果表明,较近几年的一些具有代表性的图像复原方法相比,不仅主观的视觉效果得到了较为明显的改进,而且客观的信噪比增量也增加了0.3～2.5 dB.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2014(014)009【总页数】5页(P189-193)【关键词】图像复原;梯度信息;稀疏性原理;权重的稀疏性正则化约束;布雷格曼迭代【作者】陈曦【作者单位】长江师范学院数学与计算机学院,重庆408100【正文语种】中文【中图分类】TN911.73在线性空间不变系统中，模糊图像的清晰化复原是一种线性的逆过程［1，2］，这种线性的逆过程被广泛应用于诸如遥感图像、医学图像、天文图像、自然图像等由于大气湍流;或者光学系统的像差及摄像机与物体之间的相对运动等因素而造成的模糊图像的复原处理中。
但是因为模糊退化函数自身的奇异性以及模糊图像中随机噪声的存在，使得对降质模糊图像的逆卷积一直以来都是一个严重的“病态问题”。
为了能够较好地解决这类“病态问题”，达到模糊图像清晰化复原的目的，发展出了大量的图像复原方法，其中，正则化方法就是最受欢迎，也是最有效的方法之一。
在正则化的方法中，全变差(total variation，TV)模型的正则化约束项因为其对图像边缘强大的保护能力，使得该模型自提出以来就一直受到人们的追捧，并沿用至今。
图像的全变差模型是Rudin等人于1992年提出的，最初是用于图像去噪处理的［3］。
基于分离Bregman迭代协同稀疏性的图像压缩感知恢复算法
差， 限制 了 ｃ ｓ 在图像方面的应用。提 出了一种基于分离 Ｂ ｒ ｅ ｇ ｍ ａ ｎ 迭代方法求解 协同稀疏模 型正则 化的 图像 压缩感知 恢复算 法 ， 能够在有效地刻画图像的局部平滑性和非局部 自 相似性 的同时 ， 获 得更高质量 的图像恢复效果 。实 验证 明了本文提 出算法 的有 效性 ， 并且在峰值信噪 比 Ｐ Ｓ Ｎ Ｒ方面 ， 比目前主流最好的算法高 １ ｄ Ｂ 。
第 ４卷 第 １期 ２ ０ １ ４年 ２月
智 能计 算机 与 应 用
Ｉ ＮＴＥＬＬ Ｉ ＧＥＮＴ ＣＯＭＰＵ ｒ ＥＲ ＡＮＤ ＡＰ ＰＵ ＣＡＴＩ ＯＮＳ
Ｖ０ １ ． ４ Ｎｏ ． １
Ｆ ｅ ｂ ． ２ ０１ ４
基 于分 离 Ｂ ｒ ｅ ｇ ｍ ａ ｎ迭 代 协 同 稀 疏 性 的 图像 压 缩 感知 恢 复 算 法
ｅ ｎｏ ｕ ｇ ｈ ｄｅ ｒｅ ｇ ｅ ｏ ｆ ｓ ｐ ａ ｍｉ ｔ ｙ．ｔ ｈ ｕ ｓ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｉ ｎｇ ｉ ｎ ｐ ｏ ｏ ｒ ｒ ｅ ｃ ｏ ｖ ｅ ｙ ｒ ｐ ｅ ｆｏ ｒ ｒ ｍａ ｎｃ ｅ ． Ｔｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｓ ａ ｎｅ ｗ ｃ ｏｌ ｌ ａ ｂｏ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｓ ｐａ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
关键词 ： 压缩感知 ； 协 同稀疏性 ； 图像恢复 ； 稀疏表示 ； 优化求解
黑森州斯加登范数正则的泊松图像复原
黑森州斯加登范数正则的泊松图像复原班级：电子1001 姓名：学号：摘要：泊松逆问题出现在许多现代成像应用，包括生物医学和天文的。
它面临的主要挑战是从一组相关的图像退化由测线性算子得到估计，并进一步破坏泊松噪声。
在本文中，提出了一个有效的框架，泊松图像重建，正规化的方法，它依赖对矩阵值的正规化运营商。
具体而言，就业规则涉及黑森州正规化运营商和暗影矩阵规范的潜在功能。
对于这个问题的解决方案中，我们提出了两种优化算法是专门为泊松自然的噪声。
这些算法的基础上增强拉格朗日公式的问题和对应两个乘法器的交替方向法的变体。
最后，我们提供了结果天然的和生物的泊松图像任务以及图像去模糊和展示的现实针对性和建议框架的有效性。
关键词：泊松噪声，斯加登规范，特征值优化，图像复原引言数字图像处理中的一个重要研究分支是物体图像的重建，它被广泛地应用于检测和观察中，而这种重建方法一般是根据物体的一些横截面部分的投影而进行的。
在一些应用中，某个物体内部结构图像的检测只能通过这种重建才不会有任何物理上的损失。
由于这种无损检测技术的显著优点，因此，它的适用面非常广泛，它在各个不同的应用领域中都显示出独特的重要，如医疗放射学，核医学，电子显微镜，无线和雷达天文学，光显微和全息成像学及理论视觉等领域都有应用。
本文中将介绍关于泊松图像重建的一些内容。
重建有三种模型：傅里叶变换重建、卷积法重建、代数重建法。
泊松方程该方法所用的核心数学工具是带狄里克雷边界条件的泊松偏微分方程, 狄里克雷边界条件指定了在影响域内未知函数的拉普拉斯算子。
以及在区域边界上的未知函数值的拉普拉斯算子。
由数学知识可知, 泊松方程的基本表达式如下：根据狄里克雷( Dirichlet ) 边界条件，可给出上的值，如图1 所示。
一、图像的退化图像的退化是指图像在形成、传输和记录过程中，由于成像系统、传输介质和设备的不完善，使图像的质量变坏。
图像复原就是要尽可能恢复退化图像的本来面目，它是沿图像退化的逆过程进行处理。
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11 期
孙玉宝等: 稀疏性正则化的图像泊松恢复模型及分裂 Bregman 迭代算法
1513
贝叶斯与多尺度分析框架, 文献 [3] 给出了另外一种 方法, 它对泊松似然函数进行多尺度分解, 同时通过 先验概率分布来约束解的正则性, 进一步应用最大 期望 (Expectation maximum, EM) 算法求解最大 化的后验概率, 然而该算法只适用于 Haar 小波下的 多尺度分析. 稀疏表示理论研究表明自然图像在合适的字典 下总存在稀疏的表示, 即大部分系数为零, 只有很少 的大系数, 非零的大系数揭示了信号的内在结构与 本质特征, 为进一步的图像检测与识别奠定了良好 的基础. 因而基于图像的稀疏表示先验知识, 稀疏性 正则化为求解图像恢复问题提供了一个新思路, 不 过当前稀疏性正则化方法仍然主要集中于高斯噪声 情形. 文献 [4] 提出了一个反卷积算法能够处理泊 松噪声下的图像去模糊问题, 该算法利用 VS (Variance stabilization) 变换, 将原先泊松噪声下退化模 型转化为高斯噪声下的非线性退化模型, 进而应用 类似高斯噪声下的凸变分模型进行求解, 模型的保 真项具有 Lipschitz 连续的梯度, 可采用前向后向的 邻近算子分裂法进行求解. 但 VS 变换只能保证变 换后噪声为近似高斯分布, 同时将会放大图像噪声 方差, 不利于图像恢复[5] . 本文提出了一种新的恢复模型, 无需 VS 变换 就能够直接处理泊松噪声. 在贝叶斯最大后验概率 (Bayesian maximum a posteriori, Bayesian-MAP) 框架下, 基于图像的稀疏表示先验知识, 建立了泊松 噪声下的图像恢复凸变分模型, 模型中的保真项由 给定理想图像时观测图像的似然概率分布导出, 具 体形式同数据退化模型和观测噪声相关, 针对泊松 噪声采用负 log 的泊松似然函数作为数据保真项, 能够自适应于泊松噪声的统计特性. 模型中非光滑 的正则性约束图像在冗余字典下表示系数的稀疏性, 字典应能够有效地匹配图像中的局部几何结构, 从 而有利于恢复图像中的重要结构成份. 综合考虑本 文凸变分模型的特点, 基于分裂 Bregman 迭代方 法[6] , 提出了求解该模型的多步迭代快速算法, 通过 引入中间变量与 Bregman 距离, 将原问题转化为两 个简单子问题的迭代求解, 大幅度降低了计算复杂 性. 对一些仿真与实测图像进行了实验验证, 并同上 述多种方法进行了比较. 实验结果表明: 由于采用 了自适应于泊松统计特性的保真项与匹配图像几何 结构特征的稀疏性正则项, 极大地改善了图像恢复 结果, 验证了本文模型与数值算法的有效性.
DOI
图像恢复, 稀疏表示, 泊松噪声, 分裂 Bregman 算法, 邻近算子
10.3724/SP.J.1004.2010.01512
Image Restoration Model under Poisson Noise Using Sparse Representations and Split Bregman Iteration Algorithm
要针对的是加性高斯噪声. 在光量子计数成像系统 中, 如 CCD 固态光电检测器阵列、 计算机断层扫描 (Computed tomography, CT)、天文成像、计算 X 射线成像 (Computed radiography, CR)、 共焦显微 成像等, 最终获取的图像往往受到量子噪声的污染. 量子噪声服从泊松分布的统计法则, 并非加性噪声, 且噪声强度与方差是信号依赖的, 统计上, 亮度大的 像素受到更多的干扰, 因此去除泊松噪声是一个困 难的任务. 针对泊松噪声情形的反卷积问题, 当前学者们 提出了一些模型与算法, 例如 Tikhonov-Miller 反滤 波、Richardson-Lucy (RL)[1] 算法等. 基于极大似 然 (Maximum likelihood, ML) 估计的 RL 算法能 够自适应于泊松噪声的统计特征, 得到了广泛的应 用, 但多次迭代后该算法会放大噪声, 在低信噪比情 形下更为严重, 可通过引入正则项来解决此问题, 基 于此, 文献 [2] 提出了全变差 (Total variation, TV) 正则化的 RL 算法. 在天文图像反卷积应用中, 多位 作者采用小波正则化的 RL 算法. 在生物医学图像 中, 小波变换也被广泛地应用于正则项的设计. 基于
图像恢复是生物医学成像、天文、遥感等诸多 领域中的基本问题, 然而当前的恢复模型与算法主
收稿日期 2009-09-02 录用日期 2010-01-13 Manuscript received September 2, 2009; accepted January 13, 2010 国家高技术研究发展计划 (863 计划) (2007AA12Z142), 国家自然科 学基金 (61071146, 60802039, 60672074), 高等学校博士点专项基金 (200802880018), 江苏省自然科学基金 (SBK201022367), 江苏省研 究生创新基金, 南京理工大学研究基金 (2010ZDJH07) 资助 Supported by National High Technology Research and Development Program of China (863 Program) (2007AA12Z142), National Natural Science Foundation of China (61071146, 60802039, 60672074), the Specialized Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education of China (200802880018), Natural Science Foundation of Jiangsu (SBK201022367), Graduate Innovation Foundation of Jiangsu Province, and Nanjing University of Science and Technology Research Funding (2010ZDJH07) 1. 南京理工大学计算机科学与技术学院模式识别与智能系统专业 南京 210094 2. 中国人民解放军总参谋部第六十研究所训练科研处 南京 210016 1. Department of Pattern Recognition and Artificial Intelligence, School of Computer Science and Technology, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094 2. Scientific Research Department of Military Training, 60th Research Institute of General Staff Department, Chinese People s Liberation Army, Nanjing 210016
为一组原子 {φ i }i∈I 的线性组合, 将原子作为列向量 形成字典 Φ ∈ RN ×I , 从而图像 u 可表示为
u = Φα
(1)