圆过定点问题(非常好)

圆过定点问题(非常好)

圆过定点问题

班级_________________姓名_______________

的距离的倍，

：+y

）上点

：交于足=，设动点

2015年03月12日yinyongxia100的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．填空题（共1小题）

1．已知定点G（﹣3，0），S是圆C：（X﹣3）2+y2=72（C为圆心）上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E．设点E 的轨迹为M．

（1）求M的方程；

（2）是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

6

，由

y=x2

|EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6

6由

3

﹣，=

∴=0

=﹣m=

33

y=x2

二．解答题（共12小题）

2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1．

（Ⅰ）判断圆C

1与圆C2的位置关系；

（Ⅱ）若动圆C同时平分圆C

1的周长、圆C2的周长，则动

圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

|=，

即

由

或

﹣﹣1+2+

3．已知定点A（﹣2，0），B（2，0），及定点F（1，0），定直线l：x=4，不在x轴上的动点M到定点F的距离是它到

定直线l

的距离的倍，设点M的轨迹为E，点C是轨迹E

上的任一点，直线AC与BC分别交直线l与点P，Q．（1）求点M的轨迹E的方程；

（2）试判断以线段PQ为直径的圆是否经过定点F，并说明理由．

e=

，

（除去（±

，

=，∴，∴=

，令=∴==

==

在椭圆上，∴∴

4．如图，已知椭圆C ：+y2=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆上，且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=﹣2分别交于点M、N，

（ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k

1、k2，求证：k1•k2为

定值；

（ⅱ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

：+y

=，=

+y

=•=﹣

2+2）

2）

+

﹣

12+

2

2+2

2）

5．如图所示，已知圆C：x2+y2=r2（r＞0）上点处切线的斜率为，圆C与y轴的交点分别为A，B，与x轴正半轴的交点为D，P为圆C在第一象限内的任意一点，直线BD与AP相交于点M，直线DP与y轴相交于点N．（1）求圆C的方程；

（2）试问：直线MN是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．

）∵，

∴

∴

y=

，得（，）

，

=

=

y=x+

令，得

6．二次函数f（x）=3x2﹣4x+c（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为⊙C．

（1）求实数c的取值范围；

（2）求⊙C的方程；

（3）问⊙C是否经过某定点（其坐标与c的取值无关）？请证明你的结论．

﹣x+=0

，）和（，

＜

﹣x+

﹣，F=；

+cE+﹣，﹣x c+y+=0，）和（，﹣c+

y+=0y=，解得：或，，）和（，

7．如图，抛物线M ：y=x 2+bx （b ≠0）与x 轴交于O ，A 两点，交直线l ：y=x 于O ，B 两点，经过三点O ，A ，B 作圆C ．

（I ）求证：当b 变化时，圆C 的圆心在一条定直线上； （II ）求证：圆C 经过除原点外的一个定点；

（III ）是否存在这样的抛物线M ，使它的顶点与C 的距离不大于圆C 的半径？

出

则⇒，﹣﹣，∴

恒成立，∴⇒或

，﹣）

﹣|≤

8．在平面直角坐标系xoy中，点M到两定点F1（﹣1，0）

和F

2（1，0）的距离之和为4，设点M的轨迹是曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）若直线l：y=kx+m与曲线C相交于不同两点A、B（A、B不是曲线C和坐标轴的交点），以AB为直径的圆过点D （2，0），试判断直线l是否经过一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

=

的方程为；

﹣，=

=

∴

﹣，均满足△

﹣﹣）（，

过定点，定点坐标为（

9．（2013•温州二模）如图．直线l：y=kx+1与椭圆C1：

交于A，C两点，A．C在x轴两侧，B，

D是圆C2：x2+y2=16上的两点．且A与B．C与D的横坐标相同．纵坐标同号．

（I）求证：点B纵坐标是点A纵坐标的2倍，并计算||AB|﹣|CD||的取值范围；

（II）试问直线BD是否经过一个定点？若是，求出定点的坐标：若不是，说明理由．

，消掉得

⇒

由

则

+1=

∴

=2k

10．已知A（﹣1，0），B（2，0），动点M（x，y）满足=，设动点M的轨迹为C．

（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是什么图形；（2）求动点M与定点B连线的斜率的最小值；

（3）设直线l：y=x+m交轨迹C于P，Q两点，是否存在以线段PQ为直径的圆经过A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．