圆过定点问题(非常好)

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圆过定点问题

班级_________________姓名_______________

1．已知定点G（﹣3，0），S是圆C：（X﹣3）2+y2=72（C为圆心）上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E．设点E的轨迹为M．

（1）求M的方程；

（2）是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1．

（Ⅰ）判断圆C1与圆C2的位置关系；

（Ⅱ）若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长，则动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

3．已知定点A（﹣2，0），B（2，0），及定点F（1，0），定直线l：x=4，不在x轴上的动点M到定点F 的距离是它到定直线l的距离的倍，设点M的轨迹为E，点C是轨迹E上的任一点，直线AC与BC分

别交直线l与点P，Q．

（1）求点M的轨迹E的方程；

（2）试判断以线段PQ为直径的圆是否经过定点F，并说明理由．

4．如图，已知椭圆C：+y2=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆上，且异于点A、B，直线AP、

BP与直线l：y=﹣2分别交于点M、N，

（ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k1、k2，求证：k1•k2为定值；

（ⅱ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

5．如图所示，已知圆C：x2+y2=r2（r＞0）上点处切线的斜率为，圆C与y轴的交点

分别为A，B，与x轴正半轴的交点为D，P为圆C在第一象限内的任意一点，直线BD与AP相交于点M，直线DP与y轴相交于点N．

（1）求圆C的方程；

（2）试问：直线MN是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．

6．二次函数f（x）=3x2﹣4x+c（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为⊙C．（1）求实数c的取值范围；

（2）求⊙C的方程；

（3）问⊙C是否经过某定点（其坐标与c的取值无关）？请证明你的结论．

7．如图，抛物线M：y=x2+bx（b≠0）与x轴交于O，A两点，交直线l：y=x于O，B两点，经过三点O，A，B作圆C．

（I）求证：当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上；

（II）求证：圆C经过除原点外的一个定点；

（III）是否存在这样的抛物线M，使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径？

8．在平面直角坐标系xoy中，点M到两定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离之和为4，设点M的轨迹是曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）若直线l：y=kx+m与曲线C相交于不同两点A、B（A、B不是曲线C和坐标轴的交点），以AB为直径的圆过点D（2，0），试判断直线l是否经过一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

9．如图．直线l：y=kx+1与椭圆C1：交于A，C两点，A．C在x轴两侧，

B，D是圆C2：x2+y2=16上的两点．且A与B．C与D的横坐标相同,纵坐标同号．

（I）求证：点B纵坐标是点A纵坐标的2倍，并计算||AB|﹣|CD||的取值范围；

（II）试问直线BD是否经过一个定点？若是，求出定点的坐标：若不是，说明理由．

10．已知A（﹣1，0），B（2，0），动点M（x，y）满足=，设动点M的轨迹为C．

（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是什么图形；

（2）求动点M与定点B连线的斜率的最小值；

（3）设直线l：y=x+m交轨迹C于P，Q两点，是否存在以线段PQ为直径的圆经过A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．

11．已知定直线l：x=﹣1，定点F（1，0），⊙P经过F且与l相切．

（1）求P点的轨迹C的方程．

（2）是否存在定点M，使经过该点的直线与曲线C交于A、B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；若有，请求出M点的坐标；若没有，请说明理由．

12．已知动圆P与圆M：（x+1）2+y2=16相切，且经过M内的定点N（1，0）．

（1）试求动圆的圆心P的轨迹C的方程；

（2）设O是轨迹C上的任意一点（轨迹C与x轴的交点除外），试问在x轴上是否存在两定点A，B，使得直线OA与OB的斜率之积为定值（常数）？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B 的坐标；若不存在，请说明理由．

13．已知在△ABC中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0），点C在x轴上方．

（Ⅰ）若点C的坐标为（2，3），求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；

（Ⅱ）若∠ACB=45°，求△ABC的外接圆的方程；

（Ⅲ）若在给定直线y=x+t上任取一点P，从点P向（Ⅱ）中圆引一条切线，切点为Q．问是否存在一个定点M，恒有PM=PQ？请说明理由．

2015年03月12日yinyongxia100的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．填空题（共1小题）

1．已知定点G（﹣3，0），S是圆C：（X﹣3）2+y2=72（C为圆心）上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E．设点E的轨迹为M．

（1）求M的方程；

（2）是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：（1）由已知条件推导出点E的轨迹是以G，C为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出动点E的轨迹方程．

（2）假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其方程为y=x+m，由，

得3x2+4mx+2m2﹣18=0．由此能求出符合题意的直线l存在，所求的直线l的方程为y=x或y=x﹣2．解答：解：（1）由题知|EG|=|ES|，

∴|EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6．

又∵|GC|=6，

∴点E的轨迹是以G，C为焦点，长轴长为6的椭圆，

∴动点E的轨迹方程为=1．…（4分）

（2）假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，

其方程为y=x+m，

由消去y，化简得3x2+4mx+2m2﹣18=0．

∵直线l与椭圆C相交于A，B两点，

∴△=16m2﹣12（2m2﹣18）＞0，

化简得m2＜27，解得﹣3．…（6分）

∴x1+x2=﹣，x1•x2=．

∵以线段AB为直径的圆恰好经过原点，

∴=0，所以x1x2+y1y2=0．…（8分）

又y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2，

x1x2+y1y2=2x1x2+m（x1+x2）+m2=﹣+m2=0，

解得m=．…（11分）