勾股定理习题大全(超全)

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(完整版)勾股定理练习题(含答案)

希望教育勾股定理练习题1. 下列说法正确的是（）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2．2. Rt△ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+3．如果Rt△的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（）A 、2kB 、k+1C 、k 2－1D 、k 2+14. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（）A ．42B ．32C ．42 或 32D ．37 或 337.※直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（）S d （A（B（C ）（D）2dd 2d +d+8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（）A ：3B ：4C ：5D ：79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足则三角形的形状是（ 2(6)100a -+=）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是．12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿.　13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是三角形．15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿.　16. 在Rt△ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．17．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BBC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是．18．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是，另外一边的平方是．19．一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是．20．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．21、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？ 22.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？23．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？24．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？25．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？AE答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3．解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长.答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解.答案：C.5．解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15，所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案: 260cm ．6．解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7．解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角．8．解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3．9．解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10．解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5．答案：cm 5．二、综合发展11．解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm 13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解.答案：6.5s ．15．解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s ，可得速度是20m/s=72km/h ＞70km/h ．答案：这辆小汽车超速了．A 观测点。

勾股定理练习题(含答案)

勾股定理练习题(含答案)勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说法正确的是（）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2．2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+3．如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（）A 、2kB 、k+1C 、k 2－1D 、k 2+1 4. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 5．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定 6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 7.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（）（A 22d S d + （B 2d S d - （C ）222d S d + （D ）22d S d +8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（）A ：3B ：4C ：5D ：79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形 11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是．12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿. 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是三角形． 15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．17．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是，另外一边的平方是．18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是．19．一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是．ACB二、综合发展:1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？AECDB5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？A小汽车小汽车BC观答案: 一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3．解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长. 答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解. 答案：C.5．解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15，所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案: 260cm ．6．解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7．解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角．8．解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3．9．解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10．解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5．答案：cm 5．二、综合发展11．解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ． 12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m，也就是两树树梢之间的距离是13m，两再利用时间关系式求解.答案：6.5s．15．解析：本题和14题相似，可以求出BC的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s，可得速度是20m/s=72km/h＞70km/h．答案：这辆小汽车超速了．。

(完整版)勾股定理经典例题(含答案)

经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

勾股定理练习题(含答案)

勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说法正确的是（）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2． 2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 3．如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（）A 、2kB 、k+1C 、k 2－1D 、k 2+14. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 337.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（）（A 2d + （B d（C ）2d （D ）d8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（）A ：3B ：4C ：5D ：79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是． 12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿. 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是三角形．15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿. 16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．17．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是，另外一边的平方是． 18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是．19．一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是．二、综合发展:1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．AB2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？AEB15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？观测点答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3．解析：设另一条直角边为x，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x．然后再求它的周长.答案：C．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解.答案：C.5．解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15，所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案: 260cm ．6．解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7．解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角．8．解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3．9．解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10．解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5．答案：cm 5．二、综合发展11．解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm 13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m, 所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解. 答案：6.5s ．15．解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s ，可得速度是20m/s=72km/h ＞70km/h ．答案：这辆小汽车超速了．。

中考数学复习《勾股定理》专项练习题-附带有答案

中考数学复习《勾股定理》专项练习题-附带有答案一、单选题1．线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．Ba= √41，b=4，c=5C．a= 34，b=1，c= 54D．a=40，b=50，c=602．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．65B．95C．125D．1653．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和9，则b的面积为（）A．16 B．2 C．32 D．1304．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在图中找出格点C，使得△ABC是腰长为无理数的等腰三角形，点C的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．75．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A=10，S B=8，S C=9，S D=4则下列判断不正确的是（）A．S E=18B．S F=13C．S M=31D．S M−S E=176．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.1B．√5C．2√2D．2√37．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么(a+b)2的值为（）.A．49 B．25 C．13 D．18．如图，在△ABC中∠C=60°，AC=4，BC=3 .分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN交AC于点D，则CD的长为（）A．1 B．75C．32D．3二、填空题9．如图，△ABC中AB=AC=10，BC=16，△ABC的面积是.10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC＝4 √2，则BC＝．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是12．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为m．13．活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如已知△ABC中∠A=30°，AC=3，∠A所对的边为√3，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为三、解答题14．如图，点C在∠DAB内部，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD＝CB，若AD＝5，求AB的长．15．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．AD＝1，BD＝4，CD＝2．求证：∠ACB＝90°．16．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC=25米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C 点的距离．17．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，E为AC边上一点，且满足∠AED＝2∠DCB．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠B＝90°，AD＝6，AE＝9，求CE的长．18．如图，在正△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使AD=CE，AE，BD相交于点M（1）如图1，求∠BME的度数；（2）如图2，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H①求证：2MH+DM=AE；②若BE=2EC=2，求BH的长．答案1．D2．C3．A4．C5．D6．B7．A8．B9．4810．511．1.512．2.213．2√3或√314．解：解法一：连结AC∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B∴∠CDA=∠CBA=90°在Rt△ABC与Rt△ADC中有AC=AC，CD=CB∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴AB=AD=5解法二：连结AC∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B∴∠CDA=∠CBA=90°∵CD=CB∴由勾股定理得：AB= √AC2−BC2 = √AC2−CD2 =AD=515．证明：∵CD是△ABC的高∴∠ADC=∠BDC=90°．∵AD=1，BD=4，CD=2∴AC2=AD2+CD2=12+22=5，BC2=BD2+CD2=42+22=20，AB2=（1+4）2=25．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形∴∠ACB=90°．16．解：由勾股定理得；BC2=AC2−AB2=252−202=225∴BC=15（米）∵BD=AB−AD=20−12=8（米）∴在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=√DB2+BC2=√82+152=17∴此时小鸟到地面C点的距离17米．答；此时小鸟到地面C点的距离为17米．17．（1）证明：∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠DCB即∠ACB=2∠DCB又∵∠AED=2∠DCB∴∠ACB=∠AED∴DE//BC；（2）解：∵DE//BC∴∠EDC=∠BCD，∠B=∠ADE=90°∵∠BCD=∠ECD∴∠EDC=∠ECD∴ED=CE∵AD=6，AE=9∴DE=√AE2−AD2=√92−62=3√5∴CE=3√5．18．（1）解：∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°又∵AD=CE ∴△ABD≌△CAE(SAS)∴∠BME=∠ABD+∠BAE=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°（2）解：①∵BH⊥AE ∠BME=60°∴∠HBM=30°∴BM=2MH∵△ABD≌△CAE ∴AE=BD=BM+MD=2MH+MD②过点E作EG⊥AB于点GBE=2EC=2 ∴AB=BC=3∴使用ABC=60°∴BG=1，AG=2，由勾股定理可得，GE= √3，AE= √7设HE=x，则AH= √7 -x由勾股定理得32-（√7 -x）2=22-x2解得x= √77再由勾般定理可得：BH= 3√21.7。

勾股定理习题大全(超全)

C勾股定理评估试卷（1）第一阶段1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A ）30 （B ）28 （C ）56 （D ）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（A ）4 cm（B ）8 cm （C ）10 cm（D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）（A ）25（B ）14（C ）7（D ）7或254. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）645. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）72425207152024257252024257202415(A)(B)(C)(D)6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A ）钝角三角形（B ）锐角三角形（C ）直角三角形（D ）等腰三角形. 7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) （A ） 25 （B ） 12.5 （C ） 9 （D ） 8.5 8. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) （A ）等边三角形（B ）钝角三角形（C ）直角三角形（D ）锐角三角形.9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（）. （A ）50a 元（B ）600a 元（C ）1200a 元（D ）1500a 元 10.如图，A B ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（）.（A ）12 （B ）7 （C ）5 （D ）135米3米（第10题）（第11题）（第14题）二、填空题（每小题3分，24分）11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.12. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则222AB AC BC ++=______. 13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.（第15题）（第16题）（第17题） 15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米. 16. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交BC 于D若BC =8，AD =5，则AC 等于______________. 17. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______.18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.CAC等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿＿.一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（） A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是（）.（A ）20cm （B ）10cm （C ）14cm （D ）无法确定在Rt △ABC 中，斜边AB=2，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．Rt △一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt △的周长为（） A 、121 B 、120 C 、132 D 、不能确定如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对26．如果Rt △的两直角边长分别为n 2－1，2n （n >1），那么它的斜边长是（）A 、2n B、n+1 C 、n 2－1 D 、n 2+127.在△ABC 中,,90︒=∠C 若,7=+b a △ABC 的面积等于6，则边长c= 如图△ABC 中，BC BM AC AN BC AC ACB ====︒=∠,,5,12,90则MN=下列说法正确的是（）A ．若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2ABC一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为20如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 如图，数轴上的点A 所表示的数为x，则x 2—10的立方根为（）A ．．2 D ．-2把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（） A ． 2倍B ． 4倍C ． 6倍D ． 8倍小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m ，当它把绳子的下端拉开5 m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（） A ．8cm B ．10cm C ．12cm D ．14cm△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（）（Ａ）4 （Ｂ）6 （Ｃ）16 （Ｄ）55第二阶段一、选择题1、有六根细木棒，它们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（）（A）2、4、8 （B）4、8、10 （C）6、8、10 （D）8、10、122、木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么他要选择的三根木条的长度应符合下列哪一组数据？（）A.25，48，80 B．15，17，62 C．25，59，74 D．32，60，683、如果直角三角形的三条边2，4，a，那么a的取值可以有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个4、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（）（A）2厘米（B）4厘米（C）6厘米（D）8厘米5、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S1、S2、S3，则S 1、S2、S3之间的关系是（）（A）S1+S2>S3（B）S1+S2<S3（C）S1+S2=S3（D）S12+S22=S32二、填空题1、若直角三角形斜边长为6，则这个三角形斜边上的中线长为______.2、如果直角三角形的两条直角边的长分别是5cm和12cm，那么这个直角三角形斜边上的中线长等于 cm．3、如图，CD是Rt⊿ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= ．4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3．已知BC＝3cm，则AB＝ cm．5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 .6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米．7、如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，观测者从测点A 、B 分别测得∠BAC ＝90°，∠ABC ＝30°，又量得BC ＝160 m ，则A 、B 两点之间的距离为 m （结果保留根号）8、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而c 2＝＋．化简后即为c 2＝．第6题图abc11、已知第一个等腰直角三角形的面积为1，以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形，又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形，以此类推，第13个等腰直角三角形的面积是 .12、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′ 到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′等于1米；②大于1米；③小于1米.其中正确结论的序号是________________.13、观察下面各组数：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（9，40，41）、…，可发现：4＝2132-，12＝2152-，24＝2172-，…，若设某组数的第一个数为k，则这组数为（k，，）。

勾股定理测试题及答案

勾股定理测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 勾股定理适用于哪种三角形？A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形答案：B2. 如果直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A3. 一个直角三角形的斜边长度为13，一条直角边为5，另一条直角边的长度是多少？A. 12B. 10C. 8D. 6答案：A4. 勾股定理的公式是什么？A. a + b = cB. a * b = cC. a^2 + b^2 = c^2D. a^2 - b^2 = c^2答案：C5. 如果一个三角形的三边长分别为7、24和25，那么这个三角形是直角三角形吗？A. 是B. 不是答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 直角三角形中，如果一条直角边长为x，另一条直角边长为y，斜边长为z，根据勾股定理，我们有________。

答案：x^2 + y^2 = z^27. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么斜边的长度是________。

答案：108. 在一个直角三角形中，如果斜边的长度是20，一条直角边长为15，另一条直角边的长度是________。

答案：5√3 或25√3/39. 勾股定理的发现归功于古希腊数学家________。

答案：毕达哥拉斯10. 勾股定理在数学中也被称为________定理。

答案：毕达哥拉斯定理三、解答题（每题5分，共20分）11. 一个直角三角形的斜边长度为17，一条直角边长为8，求另一条直角边的长度。

答案：根据勾股定理，另一条直角边的长度为√(17^2 - 8^2) =√(289 - 64) = √225 = 15。

12. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为9和12，求斜边的长度。

答案：根据勾股定理，斜边的长度为√(9^2 + 12^2) = √(81 + 144) = √225 = 15。

13. 一个直角三角形的斜边长度为25，一条直角边长为15，求另一条直角边的长度。

勾股定理经典例题(含答案)

经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法 1.在Rt△ABC中,∠C=90°(1)已知a=6, c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求 a. 思绪点拨:写解的进程中,必定要先写上在哪个直角三角形中,留意勾股定理的变形运用. 解析：(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=(2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=(3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=触类旁通【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是若干?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是 4. 类型二：勾股定理的结构运用 2.如图,已知：在中,,,. 求：BC的长.思绪点拨：由前提,想到结构含角的直角三角形,为此作于D,则有,,再由勾股定理盘算出AD.DC的长,进而求出BC的长. 解析：作于D,则因, ∴（的两个锐角互余）∴（在中,假如一个锐角等于, 那么它所对的直角边等于斜边的一半）.依据勾股定理,在中,. 依据勾股定理,在中,. ∴.触类旁通【变式1】如图,已知：,,于P. 求证：.解析：贯穿连接BM,依据勾股定理,在中,. 而在中,则依据勾股定理有. ∴又∵（已知）, ∴. 在中,依据勾股定理有, ∴. 【变式2】已知：如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求：四边形ABCD的面积.剖析：若何结构直角三角形是解本题的症结,可以贯穿连接AC,或延伸AB.DC交于F,或延伸AD.BC交于点E,依据本题给定的角应选后两种,进一步依据本题给定的边选第三种较为简略. 解析：延伸AD.BC交于 E.∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°.∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==.∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE==. ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=类型三：勾股定理的现实运用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3.如图所示,在一次夏令营运动中,小明从营地A点动身,沿北偏东60°偏向走了到达B点,然后再沿北偏西30°偏向走了500m到达目标地C点. （1）求A.C两点之间的距离.（2）肯定目标地C在营地A的什么偏向.解析：（1）过B点作BE//AD∴∠DAB=∠ABE=60°∵30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90°即△ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m,AB=由勾股定理可得：所以（2）在Rt△ABC中, ∵BC=500m,AC=1000m ∴∠CAB=30°∵∠DAB=60°∴∠DAC=30°即点C在点A的北偏东30°的偏向触类旁通【变式】一辆装满货色的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门外形如图的某工场,问这辆卡车可否经由过程该工场的厂门?【答案】因为厂门宽度是否足够卡车经由过程,只要看当卡车位于厂门正中央时其高度是否小于CH．如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥ＡＢ, 与地面交于H．解：OC＝1米(大门宽度一半), OD＝0.8米（卡车宽度一半）在Rt△OCD中,由勾股定理得：CD＝＝＝０.６米, CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．是以高度上有0.4米的余量,所以卡车能经由过程厂门．（二）用勾股定理求最短问题4.国度电力总公司为了改良农村用电电费过高的近况,今朝正在全国各地农村进行电网改革,某地有四个村庄A.B.C.D,且正好位于一个正方形的四个极点,现筹划在四个村庄结合架设一条线路,他们设计了四种架设筹划,如图实线部分．请你关心盘算一下,哪种架设筹划最省电线．思绪点拨：解答本题的思绪是：最省电线就是线路长最短,经由过程运用勾股定理盘算线路长,然落后行比较,得出结论．解析：设正方形的边长为1,则图（1）.图（2）中的总线路长分离为AB+BC+CD＝3,AB+BC+CD＝ 3 图（3）中,在Rt△ABC中同理∴图（3）中的路线长为图（4）中,延伸EF交BC于H,则FH ⊥BC,BH＝CH由∠FBH＝及勾股定理得：EA＝ED＝FB＝FC＝∴EF＝1－2FH＝1－∴此图中总线路的长为4EA+EF＝3＞ 2.828>2.732 ∴图（4）的衔接线路最短,即图（4）的架设筹划最省电线．触类旁通【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高ＡＢ为4cm,ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A动身,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短旅程．解：如图,在Rt△ＡＢＣ中,ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm,依据勾股定理得（提问：勾股定理）∴ AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．答：最短旅程约为１０．７７cm．类型四：运用勾股定理作长为的线段5.作长为..的线段.思绪点拨：由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,相似地可作.作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB,使AB为斜边;（2）以AB为一条直角边,作另一向角边为1的直角.斜边为;（3）按序如许做下去,最后做到直角三角形,如许斜边...的长度就是....触类旁通【变式】在数轴上表示的点.解析：可以把看作是直角三角形的斜边,,为了有利于绘图让其他双方的长为整数,而10又是9和1这两个完整平方数的和,得别的双方分离是3和1.作法：如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为.类型五：逆命题与勾股定理逆定理6.写出下列原命题的逆命题并断定是否准确1．原命题：猫有四只脚．（准确）2．原命题：对顶角相等（准确）3．原命题：线段垂直等分线上的点,到这条线段两头距离相等．（准确）4．原命题：角等分线上的点,到这个角的双方距离相等．（准确）思绪点拨：控制原命题与逆命题的关系.解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不准确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不准确）3. 逆命题：到线段两头距离相等的点,在这条线段的垂直等分线上．•（准确）4. 逆命题：到角双方距离相等的点,在这个角的等分线上．（准确）总结升华：本题是为了进修勾股定理的逆命题做预备.7.假如ΔABC的三边分离为a.b.c,且知足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,断定ΔABC的外形.思绪点拨：要断定ΔABC的外形,须要找到a.b.c的关系,而标题中只有前提a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该前提入手,解决问题.解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0.∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0.∴ a=3,b=4,c=5.∵ 32+42=52,∴ a2+b2=c2.由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形.总结升华：勾股定理的逆定理是经由过程数目关系来研讨图形的地位关系的,在证实中也常要用到.触类旁通【变式1】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.【答案】：贯穿连接AC∵∠B=90°,AB=3,BC=4∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）∴AC=5∵AC2+CD2=169,AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）【变式2】已知:△ABC的三边分离为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),断定△ABC是否为直角三角形.剖析:本题是运用勾股定理的的逆定理, 只要证实:a2+b2=c2即可证实：所以△ABC是直角三角形.【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB.请问FE与DE是否垂直?请解释.【答案】答：DE⊥EF.证实：设BF=a,则BE=EC=2a, AF=3a,AB=4a,∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2.衔接DF（如图）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2.∴ DF2=EF2+DE2,∴ FE⊥DE.经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的根本用法 1.若直角三角形两直角边的比是3：4,斜边长是20,求此直角三角形的面积.思绪点拨：在直角三角形中知道双方的比值和第三边的长度,求面积,可以先经由过程比值设未知数,再依据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积.解析：设此直角三角形两直角边分离是3x,4x,依据题意得：（3x）2+（4x）2＝202化简得x2＝16; ∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96 总结升华：直角三角形边的有关盘算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程（组）求解. 触类旁通【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积.【答案】如图,等边△ABC,作AD⊥BC于 D 则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等）∴BD＝ 1 在直角三角形ABD中,AB2＝AD2+BD2,即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝ 3 ∴AD＝S△ABC＝BC·AD＝注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为 a.【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积. 【答案】设此直角三角形两直角边长分离是x,y,依据题意得：由（1）得：x+y＝7, （x+y）2＝49,x2+2xy+y2＝49 (3) (3)－(2),得：xy＝12∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm2）【变式3】若直角三角形的三边长分离是n+1,n+2,n+3,求n. 思绪点拨：起首要肯定斜边（最长的边）长n+3,然后运用勾股定理列方程求解. 解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2化简得：n2＝ 4 ∴n＝±2,但当n＝－2时,n+1＝－1<0,∴n＝ 2 总结升华：留意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在标题没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情形下,起首要先肯定斜边,直角边. 【变式4】以下列各组数为边长,能构成直角三角形的是（）A.8,15,17 B.4,5,6 C.5,8,10 D.8,39,40 解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行断定, 对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）来断定. 例如：对于选择D, ∵82≠（40+39）×（40－39）, ∴以8,39,40为边长不能构成直角三角形. 同理可以断定其它选项.【答案】：A【变式5】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.解：贯穿连接AC∵∠B=90°,AB=3,BC=4∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）∴AC=5∵AC2+CD2=169,AD2=169 ∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36类型二：勾股定理的运用2.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN＝30°,点A处有一所中学,AP＝160m.假设拖沓机行驶时,四周100m以内会受到噪音的影响,那么拖沓机在公路MN上沿PN偏向行驶时,黉舍是否会受到噪声影响？请解释来由,假如受影响,已知拖沓机的速度为18km/h,那么黉舍受影响的时光为若干秒？思绪点拨：（1）要断定拖沓机的噪音是否影响黉舍A,本质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并盘算其长度.（2）请求出黉舍受影响的时光,本质是请求拖沓机对黉舍A的影响所行驶的旅程.是以必须找到拖沓机行至哪一点开端影响黉舍,行至哪一点后停止影响黉舍. 解析：作AB⊥MN,垂足为 B. 在RtΔABP中,∵∠ABP＝90°,∠APB＝30°, AP＝160,∴AB＝AP＝80. （在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半）∵点A到直线MN的距离小于100m, ∴这所中学会受到噪声的影响. 如图,假设拖沓机在公路MN上沿PN偏向行驶到点C处黉舍开端受到影响,那么AC＝100(m), 由勾股定理得：BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60.同理,拖沓机行驶到点D处黉舍开端离开影响,那么,AD＝100(m),BD＝60(m), ∴CD＝120(m). 拖沓机行驶的速度为: 18km/h＝5m/s t＝120m÷5m/s＝24s.答：拖沓机在公路MN上沿PN偏向行驶时,黉舍会受到噪声影响,黉舍受影响的时光为24秒. 总结升华:勾股定理是求线段的长度的很主要的办法,若图形缺乏直角前提,则可以经由过程作关心垂线的办法,结构直角三角形以便运用勾股定理.触类旁通【变式1】如图黉舍有一块长方形花圃,有少少数工资了避开拐角而走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m）,却踩伤了花卉.解析：他们本来走的路为3+4＝7(m) 设走“捷径”的路长为xm,则故少走的路长为7－5＝2(m) 又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了4步路.【答案】4【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,如许的三角形称为单位正三角形. （1）直接写出单位正三角形的高与面积. （2）图中的平行四边形ABCD含有若干个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是若干？（3）求出图中线段AC的长（可作关心线）.【答案】（1）单位正三角形的高为,面积是. （2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,是以其面积. （3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示）,则在Rt△ACK中,,,故类型三：数学思惟办法（一）转化的思惟办法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,结构直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决．3.如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E.F分离是AB.AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5．求线段EF的长.思绪点拨：现已知BE.CF,请求EF,但这三条线段不在统一三角形中,所以症结是线段的转化,依据直角三角形的特点,三角形的中线有特别的性质,不妨先衔接AD．解：衔接AD．因为∠BAC=90°,AB=AC．又因为AD为△ABC的中线, 所以AD=DC=DB．AD⊥BC．且∠BAD=∠C=45°．因为∠EDA+∠ADF=90°．又因为∠CDF+∠ADF=90°．所以∠EDA=∠CDF．所以△AED≌△CFD（ASA）．所以AE=FC=5．同理：AF=BE=12．在Rt△AEF中,依据勾股定理得：,所以EF=13.总结升华：此题考核了等腰直角三角形的性质及勾股定理等常识.经由过程此题,我们可以懂得：当已知的线段和所求的线段不在统一三角形中时,应经由过程恰当的转化把它们放在统一向角三角形中求解.（二）方程的思惟办法4.如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,,求..的值.思绪点拨：由,再找出.的关系即可求出和的值. 解：在Rt△ABC中,∠A=60°,∠B=90°-∠A=30°, 则,由勾股定理,得. 因为,所以,,,. 总结升华：在直角三角形中,30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半. 触类旁通：【变式】如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长. 解：因为△ADE与△AFE关于AE对称,所以AD=AF,DE=EF. 因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°, 在Rt△ABF中,AF=AD=BC=10cm,AB=8cm,所以.所以. 设,则. 在Rt△ECF中,,即,解得.即EF的长为5cm.。

勾股定理练习题及答案(共6套)

勾股定理课时练（1）的值是（）1.在直角三角形ABC中，斜边AB=1,则AB2+眈2€AC2A.2B.4C.6D.82•有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD〃BC,斜腰DC的长为10cm,Z D=120°,则该零件另一腰AB的长是cm（结果不取近似值）.3.__________________________________________________ 直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为•4•一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m?5•如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处,那么这棵树折断之前的高度是米.第5题图6.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，求飞机每小时飞行多少千米？7.如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.第7题图8.一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm,AB=4cm,BD=12cm。

求CD的长.第8题图9.如图，在四边形ABCD中，ZA=60°,ZB=ZD=90°,BC=2,CD=3,求AB的长.n第9题图10.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家•他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯平方米18元请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?5m12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源.为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米.早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00,甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？、选择题1•下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（2•满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）C.三边之比为訂:2:驀D.三个内角比为1：2：33•已知三角形两边长为2和6,要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（）A 迈B.^10C.4-込或2颅D.以上都不对4. 五根小木棒，其长度分别为7,15,20，24,25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）CD25,则三角形的最大内角的度数是.其面积为. 7•已知三角形ABC 的三边长为a ,b ,c 满足.「,c=8，则此三角形为三角形.a +b 二10,ab=188. 在三角形ABC 中，AB=12cm ,AC=5cm ,BC=13cm ,则BC 边上的高为AD=cm . 三、解答题9. 如图，已知四边形ABCD 中，Z B =90°,AB =3,BC =4,CD =12,AD =13，求四边形ABCD 的面积.第9题图勾股定理的逆定理（2）A.9,12，15B.C.0.2，0.3,0.4D.40，41，9A.三个内角比为1：2：1B.三边之比为1：2：A B二、填空题5.△ABC 的三边分别是7、24、6•三边为9、12、15的三角(A)(B)(C)25 (D)110.如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4,CE=4BC，F为CD的中点，连接AF、AE,问A AEF是什么三角形？请说明理由.11.如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.12.如图，为修通铁路凿通隧道AC,量出ZA=40°ZB=50°,AB=5公里，BC=4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AB凿通？勾股定理的逆定理（3）一、基础•巩固1•满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为1：2：3B.三边长的平方之比为1：2：3C.三边长之比为3：4：5D.三内角之比为3：4：5二、综合•应用9.如图18—2—9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3,1）,B（2,4）,△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论12.已知：如图18—2—10，四边形ABCD，AD〃BC,AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD勾股定理的应用（4）2.求知中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量ZA=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m，若每平方米草皮需要200天，问学校需要投入多少资金买草皮？3..（12分）如图所示，折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的长。

勾股定理习题集(含答案)

勾股定理习题集一、选择题（本大题共13小题，共39.0分）1.下列命题中，是假命题的是A. 在中，若，则是直角三角形B. 在中，若，则是直角三角形C. 在中，若：：：4：5，则是直角三角形D. 在中，若a：b：：4：5，则是直角三角形2.已知中，a、b、c分别为、、的对边，则下列条件中：，；；：：：3：2；：：：4：5；其中能判断是直角三角形的有个．A. 1B. 2C. 3D. 43.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，4.如图，直线l上有三个正方形，，，若，的面积分别为5和11，则b的面积为A. 4B. 6C. 16D. 555.一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，6.直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为A. B. 5 C. 25 D. 77.如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，则8.9.A. 136B. 64C. 50D. 8110.如图，在矩形ABCD中，，，将矩形沿AC折叠，点D落在处，则重叠部分的面积是11.12.A. 8B. 10C. 20D. 3213.如图，第1个正方形设边长为的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边依此不断连接下去通过观察与研究，写出第2016个正方形的边长为14.15.A. B.C. D.16.如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是A. 8cmB.C.D. 1cm17.中，，，高，则的周长为A. 42B. 32C. 42或32D. 37或3318.如图，在中，，，，是的平分线若，分别是AD和AC上的动点，则的最小值是A. B. 4 C. D. 519.如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为A. B.C. D.二、填空题（本大题共15小题，共45.0分）20.如图，，，，，则阴影部分的面积______ ．21.若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为______ ．22.如图，在中，，，是AB的中点，过点D作于点E，则DE的长是______．23.24.25.26.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为3cm，则图中所有正方形的面积之和为______ ．27.28.29.30.31.如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是______ ．32.33.34.35.36.如图是由一系列直角三角形组成的螺旋形，37.，则第n个直角38.三角形的面积为______ ．39.40.41.42.如图，在中，，，点M为BC中点，43.于点N，则MN的长是______ ．44.45.46.如图，点P是等边内一点，连接，，，：PB：：4：5，以AC为边作≌，连接，则有以下结论：是等边三角形；是直角三角形；；其中一定正确的是______ 把所有正确答案的序号都填在横线上47.48.49.50.如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：，，，其中说法正确的结论有______ ．51.已知，如图长方形ABCD中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则的面积为______ ．52.若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的第三条边长为______ ．53.如图，矩形ABCD中，，，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积______ ．54.55.56.57.如果一架25分米长的梯子，斜边在一竖直的墙上，这时梯足距离墙角7分米，若梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将向右滑______ 分米．58.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将绕点B顺时针旋转到的位置若，，，则______ 度59.60.61.62.63.已知a是的整数部分，，其中b是整数，且，那么以a、b为两边的直角三角形的第三边的长度是______ ．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）64.如图，在中，，，，垂足为，，求AB的长．65.66.67.68.69.70.如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知，，求EC的长．71.72.四、解答题（本大题共8小题，共64.0分）73.如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，、D为两村庄，，，于，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等求E应建在距A多远处？74.75.76.77.78.79.如图，在中，，，，求的面积．80.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．81.作于D，设，用含x的代数式表示CD，则______ ；82.请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；83.利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．84.85.如图，一个长方体形的木柜放在墙角处与墙面和地面均没有缝隙，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处86.请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；87.当，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；88.求点到最短路径的距离．89.在中，，、、的对边长分别为a、b、c，设的面积为S，周长为l．90.如果，观察上表猜想：______ ，用含有m的代数式表示；说出中结论成立的理由．91.点，的位置如图，在网格上确定点C，使，．92.在网格内画出；93.直接写出的面积为______．94.如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处已知，求：95.的长；96.阴影部分的面积．97.98.99.100.小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索．101.【思考题】如图，一架米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么点B将向外移动多少米？102.请你将小明对“思考题”的解答补充完整：103.解：设点B将向外移动x米，即，104.则，105.而，在中，由得方程______，106.解方程得______，______，107.点B将向外移动______米108.解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：109.【问题一】在“思考题”中，将“下滑米”改为“下滑米”，那么该题的答案会是米吗？为什么？110.【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？111.请你解答小聪提出的这两个问题．112.113.如图，有一段15m长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分或全部为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF．114.怎样围成一个面积为的长方形场地？115.长方形场地面积能达到吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．答案和解析【答案】1. C2. C3. C4. C5. B6. B7. B8. B9. B10. A11. C12. C13. A14. 2415. 12016.17. 2718. 4719.20.21.22.23.24. 5或25.26. 827. 13528. 或529. 解：在中，，，，；即，．在中，．30. 解：四边形ABCD为矩形，，，，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，，在中，，，设，则，，在中，，，解得，的长为3cm．31. 解：设，则，由勾股定理得：在中，，在中，，由题意可知：，所以：，解得：分所以，E应建在距A点15km处．32.33. 解：如图，木柜的表面展开图是矩形或．故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的或；蚂蚁沿着木柜表面矩形爬过的路径的长是．蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形爬过的路径的长，蚂蚁沿着木柜表面爬过的路径的长是．，故最短路径的长是．作于E，，是公共角，∽ ，即，则为所求．34.35. 536. 解：如图，，，；由勾股定理得：；由题意得：设为，；；，，而，∽，，解得：．．由题意得：，阴影矩形．37. ；；舍去；38. 解：设，则，依题意得：，整理得，解得，，当时，当时不合题意舍去能围成一个长14m，宽9m的长方形场地．设，则，依题意得整理得故方程没有实数根，长方形场地面积不能达到．【解析】1. 解：A、在中，若，则是直角三角形，是真命题；B、在中，若，则是直角三角形，是真命题；C、在中，若：：：4：5，则是直角三角形，是假命题；D、在中，若a：b：：4：5，则是直角三角形，是真命题；故选C．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2. 解：，，此三角形是直角三角形，故本小题正确；：：：3：2，设，则，，，，此三角形是直角三角形，故本小题正确；：：：4：5，设，则，．，，解得，，，，此三角形不是直角三角形，故本小题错误；，设，则，，解得：，，此三角形是直角三角形，故本小题正确．故选C．分别根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．3. 解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、，能构成直角三角形，故符合题意；D、，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．4. 解：、b、c都是正方形，，；，，，，≌，，；在中，由勾股定理得：，即，运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．5. 解：由题可知，在等腰三角形中，底边的一半、底边上的高以及腰正好构成一个直角三角形，且，符合勾股定理，故选B．根据等腰三角形的三线合一，得底边上的高也是底边上的中线根据勾股定理知：底边的一半的平方加上高的平方应等于腰的平方，即可得出正确结论．考查了等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理．6. 解：设一直角边为x，则另一直角边为，根据题意得，解得：或，则另一直角边为3和4，根据勾股定理可知斜边长为，故选：B．设一直角边为x，则另一直角边为，可得面积是，根据“面积为6”作为相等关系，即可列方程，解方程即可求得直角边的长，再根据勾股定理求得斜边长．此题主要利用三角形的面积公式寻找相等关系，同时也考查了勾股定理的内容找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．7. 解：由题意可知：，，，，如果连接BD，在直角三角形ABD和BCD中，，即，因此，故选B．连接BD，即可利用勾股定理的几何意义解答．本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．8. 解：重叠部分的面积是矩形ABCD的面积减去与的面积再除以2，矩形的面积是32，，，由翻折而成，，，，，，．故选B．解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力．9. 解：第2016个正方形的边长．第一个正方形的边长是2，设第二个的边长是x，则，则，即第二个的边长是：；设第三个的边长是y，则，则，同理可以得到第四个正方形的边长是，则第n个是：．正确理解各个正方形的边长之间的关系是解题的关键，大正方形的边与相邻的小正方形的边，正好是同一个等腰直角三角形的斜边与直角边．10. 解：易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理对角线长为：，故折痕长不可能为8cm．故选：A．根据勾股定理计算出最长折痕即可作出判断．考查了折叠问题，勾股定理，根据勾股定理计算后即可做出选择，难度不大．11. 解：此题应分两种情况说明：当为锐角三角形时，在中，，在中，的周长为：；当为钝角三角形时，在中，，在中，，．的周长为：当为锐角三角形时，的周长为42；当为钝角三角形时，的周长为32．故选C．本题应分两种情况进行讨论：当为锐角三角形时，在和中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将的周长求出；当为钝角三角形时，在和中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将的周长求出．此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．12. 解：如图，过点C作交AB于点M，交AD于点P，过点P作于点Q，是的平分线．，这时有最小值，即CM的长度，，，，．，即的最小值为．故选：C．过点C作交AB于点M，交AD于点P，过点P作于点Q，由AD是的平分线得出，这时有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用，得出CM的值，即的最小值．本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足有最小值时点P和Q的位置．13. 解：的面积，由勾股定理得，，则，解得，故选：A．根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．14. 解：在中，，，，，即可判断为直角三角形，阴影部分的面积．答：阴影部分的面积．故答案为：24．先利用勾股定理求出AB，然后利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积．此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出三角形ABD为直角三角形．15. 解：设三边分别为，，，则，，三边分别为，，，，三角形为直角三角形，．故答案为：120．根据已知可求得三边的长，再根据三角形的面积公式即可求解．此题主要考查学生对直角三角形的判定及勾股定理的逆定理的理解及运用．16. 解：过A作于F，连接CD；中，，，则；中，，；，；，即．故答案为：．过A作BC的垂线，由勾股定理易求得此垂线的长，即可求出的面积；连接CD，由于，则、等底同高，它们的面积相等，由此可得到的面积；进而可根据的面积求出DE的长．此题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的求法等知识的综合应用能力．17. 解：最大的正方形的边长为3cm，正方形G的面积为，由勾股定理得，正方形E的面积正方形F的面积，正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积正方形D的面积，图中所有正方形的面积之和为，故答案为：27．根据正方形的面积公式求出正方形G的面积，根据勾股定理计算即可．本题考查的是勾股定的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为c，那么．18. 解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：；；；即最大正方形E的边长为：，所以面积为：．故答案为：47．分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为，，，由勾股定理得出，，，即最大正方形的面积为．本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．19. 解：根据题意可知：，，第n个直角三角形的直角边长为．第n个直角三角形的另一条直角边长为1．第n个直角三角形的面积为．故答案为：．这是一个规律性题目，第一个三角形的斜边正好是第二个三角形的直角边，依次进行下去，且有一个直角边的边长为从而可求出面积．本题考查勾股定理的应用，应用勾股定理求出三角形的斜边正好是下一个三角形的直角边．20. 解：连接AM，，点M为BC中点，三线合一，，，，，根据勾股定理得：，又，．连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．21. 解：是等边三角形，则，又≌ ，则，，是正三角形，正确；又PA：PB：：4：5，设，则：，，，根据勾股定理的逆定理可知：是直角三角形，且，正确；又是正三角形，，正确；错误的结论只能是．故答案为．先运用全等得出，，从而，得出是等边三角形，，，再运用勾股定理逆定理得出，由此得解．本题主要考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的性质以及等边三角形的知识，解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．22. 解：为直角三角形，根据勾股定理：，故本选项正确；由图可知，，故本选项正确；由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为，即；故本选项正确；由可得，又，得，，整理得，，，故本选项错误．正确结论有．故答案为．根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．23. 解：长方形折叠，使点B与点D重合，，，，解得：，的面积为：，故答案为：．首先翻折方法得到，在设出未知数，分别表示出线段，，的长度，然后在中利用勾股定理求出AE的长度，进而求出AE的长度，就可以利用面积公式求得的面积了．此题主要考查了图形的翻折变换和学生的空间想象能力，解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可．24. 解：该直角三角形的第三条边长为x，直角三角形的两条边长为，，且满足，，．若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：，；若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：，；第三边的长为5或．故答案为：5或．设该直角三角形的第三条边长为x，先根据非负数的性质求出a、b的值，再分4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．25. 解：四边形ABCD是矩形，，，，，．与关于BD对称，≌，，，．设DE为x，则，，由勾股定理，得，解得：，，．故答案为90．根据轴对称的性质及矩形的性质就可以得出，由勾股定理就可以得出DE的值，由三角形的面积公式就可以求出结论．本题考查了轴对称的性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．26. 解：如下图所示：AB相当于梯子，是梯子和墙面、地面形成的直角三角形，是下滑后的形状，，即：分米，分米，分米，BD是梯脚移动的距离．分米．分米，在中，由勾股定理可得：，分米，分米，故答案为：8．梯子和墙面、地面形成的直角三角形，如下图所示可将该直角三角形等价于和，前者为原来的形状，后者则是下滑后的形状由题意可得出分米，分米，分米，在中，由勾股定理可得：，将AB、CB的值代入该式求出AC的值，；在中，求出OD的值，分米，即求出了梯脚移动的距离．本题主要考查勾股定理在实际中的应用，通过作相应的等价图形，可以使解答更加清晰明了．27. 解：连接绕点B顺时针旋转到是直角，是直角三角形，与全等，，，，，，是直角三角形，，．故答案为：135．首先根据旋转的性质得出，是直角三角形，进而得出，即可得出答案．此题主要考查了旋转的性质，根据已知得出是直角三角形是解题关键．28. 解：，，，，，又是整数，且，，．分两种情况：若为直角边，则第三边；若为斜边，则第三条边．故答案为或5．先根据，可得出a的值，根据，结合b是整数，且，求出b、c的值，再分情况讨论，为直角边，为斜边，根据勾股定理可求出第三边的长度．本题考查了估算无理数的大小、勾股定理的知识，注意“夹逼法”的运用是解答本题的关键．29. 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，易求得，故，由此可证得是等腰三角形，即可求出AD的长，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求出AB的长．此题主要考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的应用；求得是正确解答本题的关键．30. 根据矩形的性质得，，，再根据折叠的性质得，，在中，利本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了勾股定理．31. 根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．32. 解：，，，故答案为：；，，，，解得：；由得：，．直接利用BC的长表示出DC的长；直接利用勾股定理进而得出x的值；利用三角形面积求法得出答案．此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出AD的长是解题关键．33. 根据题意，先将长方体展开，再根据两点之间线段最短．本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．34. 解：的面积，周长，故当a、b、c三边分别为3、4、5时，，，故，同理将其余两组数据代入可得为，．应填：，，通过观察以上三组数据，可得出．，，．，，，即．的面积，周长，分别将3、4、，、12、，、15、17三组数据代入两式，可求出的值；通过观察以上三组数据，可得出：；根据，，可得出：，即．本题主要考查勾股定理在解直角三角形面积和周长中的运用．在中，，．故的面积为．故答案为：5．先连结AB，再确定C点，连结，即可求解；根据勾股定理得到，的长，再根据三角形面积公式即可求解．本题考查了勾股定理，学生作图与根据图象分析处理、以及计算面积的能力．36. 证明∽，列出比例式，求出，得到．，即可解决问题．运用阴影该题主要考查了旋转变换的性质及其应用、勾股定理及其应用等问题．37. 解：，故答案为；，舍去，．不会是米，若米，则米米米，米米米，，，该题的答案不会是米．有可能．设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有，解得：或舍当梯子顶端从A处下滑米时，点B向外也移动米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．直接把C、C、的值代入进行解答即可；把中的换成可知原方程不成立；设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米代入中方程，求出x的值符合题意．本题考查的是解直角三角形的应用及一元二次方程的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解答此题的关键．38. 首先设，则，进而利用面积为得出等式求出即可；结合中求法利用根的判别式分析得出即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，表示出长方形的面积是解题关键．。

(完整版)勾股定理习题(附答案)

C勾股定理评估试卷（1）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A ）30 （B ）28 （C ）56 （D ）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（A ）4 cm（B ）8 cm （C ）10 cm（D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）（A ）25（B ）14（C ）7（D ）7或254. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）645. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A ）钝角三角形（B ）锐角三角形（C ）直角三角形（D ）等腰三角形. 7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) （A ） 25 （B ） 12.5 （C ） 9 （D ） 8.5 8. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) （A ）等边三角形（B ）钝角三角形（C ）直角三角形（D ）锐角三角形.9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（）. （A ）50a 元（B ）600a 元（C ）1200a 元（D ）1500a 元 10.如图，A B ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（）.（A ）12 （B ）7 （C ）5 （D ）135米3米（第10题）（第11题）（第14题）二、填空题（每小题3分，24分）11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.12. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则222AB AC BC ++=______. 13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.（第15题）（第16题）（第17题） 15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米. 16. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交BC 于D若BC =8，AD =5，则AC 等于______________. 17. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______.18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.EABCDBDE ABCD第18题图7cm三、解答题（每小题8分，共40分）19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.21. 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？22. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。

勾股定理练习题(含答案)

勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说法正确的是（）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2．2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 3．如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（）A 、2kB 、k+1C 、k 2－1D 、k 2+14. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 7.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（）（A 2d （B d（C ）2d （D ）d8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（）A ：3B ：4C ：5D ：79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是． 12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿. 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是三角形．15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．17．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是，另外一边的平方是．18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是．19．一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是．二、综合发展:1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．ACB2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？ 3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？小汽车小汽车AE答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3．解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长.答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解. 答案：C.5．解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15，所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案: 260cm ．6．解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7．解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角．8．解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3． 9．解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10．解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5．答案：cm 5．二、综合发展11．解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm 13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解. 答案：6.5s ．15．解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s ，可得速度是20m/s=72km/h ＞70km/h ．答案：这辆小汽车超速了．。

初中勾股定理练习题精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版第一章《勾股定理》练习题一、选择题（8×3′=24′） 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，则下列结论中恒成立的是（） A 、2ab<c 2 B 、2ab ≥c 2 C 、2ab>c 2 D 、2ab ≤c 22、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（） A 、5 B 、25 C 、7 D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、8个4、下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，（a>b=c ），那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。

其中正确的是（） A 、①② B 、①③ C 、①④ D 、②④5、若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ，则此△为（） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、不能确定6、已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（） A 、40 B 、80 C 、40或360 D 、80或3607、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上一点，且DA=DB=5，又△DAB 的面积为10，那么DC 的长是（） A 、4 B 、3 C 、5 D 、4.58、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。

现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（） A 、2㎝ B 、3㎝ C 、4㎝ D 、5㎝二、填空题（12×3′=36′）9、在△ABC 中，点D 为BC 的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=___________。

勾股定理练习题(含答案)

勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说法正确的是（）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2． 2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 3．如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（）A 、2kB 、k+1C 、k 2－1D 、k 2+14. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 337.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（）（A 2d （B d（C ）2d （D ）d8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（）A ：3B ：4C ：5D ：79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是． 12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿. 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是三角形．15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿. 16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．17．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是，另外一边的平方是． 18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是．19．一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是．二、综合发展:1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．AB2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？AEB15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？观测点答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3．解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长. 答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解. 答案：C.5．解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15，所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案: 260cm ．6．解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7．解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角．8．解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3．9．解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10．解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5．答案：cm 5．二、综合发展11．解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm 13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m, 所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解.答案：6.5s．15．解析：本题和14题相似，可以求出BC的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s，可得速度是20m/s=72km/h＞70km/h．答案：这辆小汽车超速了．。

(完整版)《勾股定理》练习题及答案

《勾股定理》练习题及答案测试1 勾股定理(一)学习要求掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．课堂学习检测一、填空题1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______．2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．(1)若a＝5，b＝12，则c＝______；(2)若c＝41，a＝40，则b＝______；(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______；(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C 所走的路程为______．4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．二、选择题6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )．(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )．2(A)4 (B)6 (C)8 (D)108．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )．(A)150cm2 (B)200cm2 (C)225cm2 (D)无法计算三、解答题9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c； (4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．综合、运用、诊断一、选择题10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．(A)1个(B)2个 (C)3 (D)4个二、填空题11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．三、解答题13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．拓展、探究、思考14．如图，△ABC中，∠C＝90°．(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究S1＋S2与S3的关系；图①(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究S1＋S2与S3的关系；(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S 1＋S 2与S 3的关系．测试2 勾股定理(二)学习要求掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．课堂学习检测一、填空题1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，此时甲、乙两人相距______km ． 3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m 路，却踩伤了花草．4．如图，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m ．二、选择题5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高( )． (A)5m(B)7m(C)8m(D)10m6．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为( )． (A)212 (B)310 (C)56(D)58三、解答题7．在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处；另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?综合、运用、诊断一、填空题9．如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC为______米．10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______(取3)二、解答题：11．长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．12．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?9 10 11 12拓展、探究、思考13．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD ＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．测试3 勾股定理(三)学习要求熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．课堂学习检测一、填空题1．在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB＝______，AB边上的高CE＝______．2．在△ABC中，若AB＝AC＝20，BC＝24，则BC边上的高AD＝______，AC边上的高BE＝______．3．在△ABC中，若AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝10，则AC＝______，AB边上的高CD＝______．4．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为______．5．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则AC ＝______，AB ＝______，BC 边上的高AE ＝______．二、选择题6．已知直角三角形的周长为62+，斜边为2，则该三角形的面积是( )．(A)41 (B)43 (C)21 (D)17．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )． (A)7 (B)7或41(C)24(D)24或7三、解答题8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点，AD ＝5，BE ＝102求AB 的长．9．在数轴上画出表示10-及13的点．综合、运用、诊断10．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝20，AB ＝10，延长AB 到D ，使CD ＋DB ＝AC ＋AB ，求BD 的长．11．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长．12．如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长．13．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．拓展、探究、思考14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少?15．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，S n(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝______，第n个正方形的面积S n＝______．测试4 勾股定理的逆定理学习要求掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．课堂学习检测一、填空题1．如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)4．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为____________； ②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为____________； ③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为____________．5．若△ABC 中，(b －a )(b ＋a )＝c 2，则∠B ＝____________；6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是______三角形． 7．若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以a －2、a 、a ＋2为边的三角形的面积为______．8．△ABC 的两边a ，b 分别为5，12，另一边c 为奇数，且a ＋b ＋c 是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．二、选择题9．下列线段不能组成直角三角形的是( )． (A)a ＝6，b ＝8，c ＝10 (B)3,2,1===c b a (C)43,1,45===c b a (D)6,3,2===c b a10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．(A)1∶1∶2(B)1∶3∶4 (C)9∶25∶26(D)25∶144∶16911．已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．(A)一定是等边三角形 (B)一定是等腰三角形 (C)一定是直角三角形(D)形状无法确定综合、运用、诊断一、解答题12．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．13．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．14．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．15．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?拓展、探究、思考16．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．17．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．18．观察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有没有发现其中的规律?请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．参考答案第十八章勾股定理测试1 勾股定理(一)1．a 2＋b 2，勾股定理． 2．(1)13； (2)9； (3)2，3； (4)1，2．3．52． 4．52，5． 5．132cm ． 6．A ． 7．B ． 8．C ． 9．(1)a ＝45cm ．b ＝60cm ； (2)540； (3)a ＝30，c ＝34； (4)63； (5)12．10．B ． 11．.5 12．4． 13．.310 14．(1)S 1＋S 2＝S 3；(2)S 1＋S 2＝S 3；(3)S 1＋S 2＝S 3．测试2 勾股定理(二)1．13或.119 2．5． 3．2． 4．10． 5．C ． 6．A ． 7．15米． 8．23米． 9．⋅3310 10．25． 11．.2232- 12．7米，420元． 13．10万元．提示：作A 点关于CD 的对称点A ′，连结A ′B ，与CD 交点为O ．测试3 勾股定理(三)1．;343415,34 2．16，19.2． 3．52，5． 4．.432a 5．6，36，33． 6．C ． 7．D8．.132 提示：设BD ＝DC ＝m ，CE ＝EA ＝k ，则k 2＋4m 2＝40，4k 2＋m 2＝25．AB ＝.1324422=+k m9．,3213,31102222+=+=图略．10．BD ＝5．提示：设BD ＝x ，则CD ＝30－x ．在Rt △ACD 中根据勾股定理列出(30－x )2＝(x ＋10)2＋202，解得x ＝5．11．BE ＝5．提示：设BE ＝x ，则DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ．在Rt △ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2，∴32＋(9－x )2＝x 2．解得x ＝5．12．EC ＝3cm ．提示：设EC ＝x ，则DE ＝EF ＝8－x ，AF ＝AD ＝10，BF ＝622=-AB AF ，CF ＝4．在Rt △CEF中(8－x )2＝x 2＋42，解得x ＝3．13．提示：延长FD 到M 使DM ＝DF ，连结AM ，EM ．14．提示：过A ，C 分别作l 3的垂线，垂足分别为M ，N ，则易得△AMB ≌△BNC ，则.172,34=∴=AC AB 15．128，2n －1．测试4 勾股定理的逆定理1．直角，逆定理． 2．互逆命题，逆命题． 3．(1)(2)(3)． 4．①锐角；②直角；③钝角． 5．90°． 6．直角．7．24．提示：7＜a ＜9，∴a ＝8． 8．13，直角三角形．提示：7＜c ＜17． 9．D ． 10．C ． 11．C ． 12．CD ＝9． 13．.51+14．提示：连结AE ，设正方形的边长为4a ，计算得出AF ，EF ，AE 的长，由AF 2＋EF 2＝AE 2得结论． 15．南偏东30°．16．直角三角形．提示：原式变为(a －5)2＋(b －12)2＋(c －13)2＝0．17．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可变形为(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0． 18．352＋122＝372，[(n ＋1)2－1]2＋[2(n ＋1)]2＝[(n ＋1)2＋1]2．(n ≥1且n 为整数)。