空间解析几何考题
空间解析几何练习与答案
空间解析几何与向量代数测试题一、 选择题(每小题6分，共24分 )1．点)1,3,2(-M 关于xoy 平面的对称点是（ ）（A ）)1,3,2(-- （B ）)1,3,2(--- （C ）)1,3,2(-- （D ）)1,3,2(-2．设向量,+=，则必有( )（A ）=- （B ）=+ （C ）0=⋅ （D ）=⨯3．向量{}z y x a a a ,,=，{}z y x b b b ,,=，{}z y x c c c ,,=， 则p n m a -+=34在x 轴上投影是（ ）（A ）x x x c b a -+34 （B ）()x x x c b a -+±34（C ）x x x c b a -+34 （D )y y y c b a -+344．平面0=+++D Cz By Ax 过x 轴，则( )（A ）0==D A （B ）0,0≠=D A （C ）0,0=≠D A （D ）0==C B二、填空题 (每小题6分，共30分 )1．向量{}z y x a a a ,,=与三坐标轴正向夹角分别为γβα,,，则的方向余弦中的=αcos _____________2．平面0218419=++-z y x 和0428419=++-z y x 之间的距离等于__________3．球面2222R z y x =++与a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线的方程是______________（其中R a <<0）4．设向量a 的方向角3πα=，β为锐角，βπγ-=，且4=，则=___________.5．方程14222=+-z y x 表示的曲面是______________ 三、解答下列各题（46分 ）1．（12分） 求经过原点且垂直于两平面 0352:1=++-z y x π，073:2=--+z y x π的平面方程。
2．（12分）已知ABC ∆的顶点分别为)3,2,1(A ，)5,4,3(B 、)7,4,2(C ，求ABC ∆的面积.3．（10分）设{}1,4,1-=，{}5,4,3-=，求∧),sin(b a4．（12分）一直线在xoz 坐标面上，且过原点又垂直于直线 152132-=-+=-z y x ，求它的对称式方程.空间解析几何与向量代数测试题答案一、1．C 解：y x ,坐标不变，z 坐标变为相反数2．C 解：由已知条件得22)()(b a b a +=- ⋅-=⋅∴22 即0=⋅3． A解：由向量的线性运算易得)34,34,34(z z z y y y x x x c b a c b a c b a a -+-+-+=又向量a 在x 轴的投影就是直角坐标系中的坐标x a即 x x a a j =Pr =x x x c b a -+344． A 解：平面必过原点故0=D ；0,}0,0,1{,},,{=⇒⊥==A i i C B A .二、1．222z y x xa a a a ++ 2．1 解：184194221222=++-=d3．⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 解：⎩⎨⎧=+=++a z x R z y x 2222消去z 得：2222)(R x a y x =-++ 与0=z 联立得 ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 4．{}6,6,2- 解：43411)(cos cos ,21cos 22=-=-+=βπβα }6,6,2{}223,223,21{4223cos cos 83cos 2-=-⋅=⇒=-=⇒=⇒a γββ5．单叶双曲面三、解：1． 21,ππ法向量分别为{}5,1,21-=n ，{}1,3,12-=n …………….….4分 所求平面法向量为{}7,7,1421-=⨯=n n n ………………8分 又平面经过原点，故所求平面方程为 02=--z y x ……..………12分2．解：根据向量积的定义，可知三角形的面积A S ABC =∠=∆……………3分 由于{}{}421,2,2,2，，==，因此2642122+-==⨯ ………… 7分于是142)6(4216421222=+-+=+-=∆S ABC …………10分 3．()533018,cos -=-==∧ ………….5分 ()54,sin =∧ ……..…....10分 4．由直线在xoz 面上，可知此直线垂直于y 轴。
土木工程师-公共基础-高等数学-空间解析几何
土木工程师-公共基础-高等数学-空间解析几何[单选题]1.设α、β均为非零向量，则下面结论正确的是()。
[2017年真题]A.α×β＝0是α与β垂直的充要条件B.α·β＝0（江南博哥）是α与β平行的充要条件C.α×β＝0是α与β平行的充要条件D.若α＝λβ（λ是常数），则α·β＝0正确答案：C参考解析：AC两项，α×β＝0是α与β平行的充要条件。
B项，α·β＝0是α与β垂直的充要条件。
D项，若α＝λβ（λ是常数），则α与β相互平行，则有α×β＝0。
[单选题]5.过点（2，0，－1）且垂直于xOy坐标面的直线方程是()。
[2019年真题]A.B.C.D.正确答案：C参考解析：垂直于xOy面的直线的方向向量为（0，0，1），由于过点（2，0，－1），则直线的点向式方程为：。
[单选题]6.设直线方程为则该直线()。
[2010年真题]A.过点（－1，2，－3），方向向量为i＋2j－3kB.过点（－1，2，－3），方向向量为－i－2j＋3kC.过点（1，2，－3），方向向量为i－2j＋3kD.过点（1，－2，3），方向向量为－i－2j＋3k正确答案：D参考解析：把直线方程的参数形式改写成标准形式：（x－1）/1＝（y＋2）/2＝（z－3）/（－3），则直线的方向向量为±（1，2，－3），过点（1，－2，3）。
[单选题]7.下列平面中，平行于且与yOz坐标面非重合的平面方程是()。
[2018年真题]A.y＋z＋1＝0B.z＋1＝0C.y＋1＝0D.x＋1＝0正确答案：D参考解析：D项，平面方程x＋1＝0化简为x＝－1，显然平行yOz坐标面，且不重合。
ABC三项，均不平行于yOz坐标面。
[单选题]8.已知直线L：x/3＝（y＋1）/（－1）＝（z－3）/2，平面π：－2x ＋2y＋z－1＝0，则()。
[2013年真题]A.L与π垂直相交B.L平行于π但L不在π上C.L与π非垂直相交D.L在π上正确答案：C参考解析：直线L的方向向量为±（3，－1，2），平面π的法向量为（－2，2，1），由于3/（－2）≠（－1）/2≠2/1，故直线与平面不垂直；又3×（－2）＋（－1）×2＋2×1＝－6≠0，所以直线与平面不平行。
空间解析几何试题
空间解析几何一、 填空题（每小题4分，共20分）1、已知2,==a b 且2⋅=a b , 则⨯=a b ；2、已知三向量,,a b c 两两互相垂直，且1,1===a b c ，则向量=+-s a b c 的模等于 ；3、旋转曲面2z =是由曲线 绕z 轴旋转一周而得；4、空间曲线⎩⎨⎧==+x z 1y x 在yOz 面上的投影为 ； 5、当λ=____时,直线231x y z ==-平行于平面40x y z λ++=。
二、选择题（每小题4分，共20分）1、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有 ；（A ）-+a b =a b ； （B ）=a b ； （C ）0⋅a b =； （D ）⨯a b =0．2、已知{}{}2,1,21,3,2---a =,b =，则Pr j b a = ；（A ）53； （B ）5； （C ）3； （D ． 3、直线11z 01y 11x -=-=--与平面04z y x 2=+-+的夹角为 ； （A ）6π； （B ）3π； （C ）4π； （D ）2π． 4、点(1,1,1)在平面02=+-+1z y x 的投影为 ；（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,21； （B ）13,0,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （C ）()1,1,0-；（D ）11,1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 5、方程222231x y z -+=表示 曲面，其对称轴在 上；(A)单叶双曲面,x 轴; (B)双叶双曲面,x 轴;(C)单叶双曲面,y 轴; (B)双叶双曲面,z 轴;三、 判断题（每题3分，共18分）１．若0≠a ，且c a b a ⋅=⋅或c a b a ⨯=⨯，则c b =。
（ ）2．与ox,oy,oz 三个坐标轴之正向有相等夹角的向量，其方向角必为3,3,3πππ。
（ ） 3．平面1432===z y z 与6x+4y+3z+12=0平行。
( ） 4．向量)()(c a b c a a ⋅-⋅与c 恒垂直。
空间解析几何习题答案解析(最新整理)
一、计算题与证明题1．已知, , , 并且． 计算．1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a a c c b b a ⨯+⨯+⨯解：因为, , , 并且1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a 所以与同向，且与反向a b b a +c 因此，，0=⨯b a 0=⨯c b 0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a 2．已知, , 求．3||=⋅b a 4||=⨯b a ||||b a ⋅解：（1）3cos ||=⋅=⋅θb a b a（2）4sin ||=⋅=⨯θb a b a 得()222)1(+()252=⋅b a 所以5=⋅b a 4．已知向量与共线, 且满足, 求向量的坐标．x )2,5,1(,-a 3=⋅x ax 解：设的坐标为，又x ()z y x ,,()2,5,1-=a 则 （1）325=-+=⋅z y x x a 又与共线，则x a 0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y kyx j y x i z y z y x kj i 所以()()()05252222=-+++--y x x z z y 即 （2）010*********22=-++++xy xz yz z y x 又与共线，与夹角为或x a x a 0π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax 整理得（3）103222=++z y x 联立解出向量的坐标为()()()321、、x ⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,1016．已知点, 求线段的中垂面的方程．)7,8,3(A )3,2,1(--B AB 解：因为,()7,8,3A )3,2,1(--B 中垂面上的点到的距离相等，设动点坐标为，则由得AB B A 、()z y x M ,,MB MA =()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x 化简得027532=-++z y x 这就是线段的中垂面的方程。
「空间解析几何复习资料含答案」
空间解析几何练习题1. 求点),,(c b a M 分别关于(1)xz 坐标面（2）x 轴(3）原点 对称点的坐标.2. 设 )2,,3(x A -与)4,2,1(-B 两点间的距离为29，试求x ．3. 证明 )3,2,1(A )5,1,3(B )3,4,2(C 是一个直角三角形的三个顶点．4. 设ABC ∆的三边a BC =，b CA =,c AB =，三边的中点依次为D ,Ｅ，F ,试用向量c b a表示 AD ，BE ,CF ,并证明:0=++CF BE AD ．5. 已知：k j i a 2+-=,k j i b -+=3求b a 32+,b a 32-．6. 已知:向量a 与x 轴,y 轴间的夹角分别为060=α,0120=β求该向量a 与z 轴间的夹角γ．7. 设向量a 的模是5,它与x 轴的夹角为4π，求向量a 在x 轴上的投影． 8. 已知：空间中的三点)2,1,0(-A ,)5,3,1(-B ，)2,1,3(--C 计算：AC AB 32-,AC AB 4+．9. 设{}1,0,2-=a ,{}2,2,1--=b 试求b a -，b a 52+,b a +3. 10. 设：{}1,2,2-=a ,试求与a 同方向的单位向量.11. 设:k j i a 253++=,k j i b 742--=，k j i c 45-+=,c b a u -+=34试求（1)u 在y 轴上的投影；(2)u 在x 轴和z 轴上的分向量；． 12. 证明：22)()(b a b a b a -=-⋅+. 13. 设：{}1,0,3-=a ,{}3,1,2--=b 求b a ⋅,∧⋅)(b a .14. 设→→→→-+=k j x i a 2,→→→→+-=k j i b 23且→→⊥b a 求x 15. 设{}2,1,0-=a ，{}1,1,2-=b 求与a 和b 都垂直的单位向量.16. 已知：空间中的三点)0,1,1(A ,)3,1,2(-B ,)2,1,2(-C 求ABC ∆的面积．17. (1）设a ∥b 求b a ⋅ （2)1==求b a ⋅18. 3=5=，试确定常数k 使b k a +,b k a -相互垂直.19. 设向量a 与b 互相垂直,∧⋅)(c a 3π=，∧⋅)(c b 6π=1=2=3=b ++．20. 设：k j i a 53+-=，k j i b 32+--=求b a ⋅21. 设:k j i a --=63，k j i b 54-+=求(1）a a ⋅；（2))3()23(b a b a -⋅+；(3）a 与b 的夹角．22. 设:∧⋅)(b a 6π=1=3=,．23. 设:{}2,1,1-=a ,{}1,2,1--=b ,试求:(1）b a ⋅;（２)b a ⨯;(３）∧⋅)cos(b a ．24. 3=26=72=,求b a ⋅.25. 设a 与b 相互垂直,3=4=，试求(1))()(b a b a -⨯+;（2）)2()3(b a b a -⨯-. 26. 设:0=++c b a 证明：a c c b b a ⨯=⨯=⨯27. 已知:k j i a -+=23，k j i b 2+-=，求(1)b a ⨯;（2))32()2(b a b a -⨯+;（３）i b a ⨯+)((4)b i a +⨯． 28. 求与{}1,2,2=a {}6,10,8---=b 都垂直的单位向量．29. 已知:{}1,6,3--=a ,{}5,4,1-=b ,{}12,4,3-=c 求c b a b c a )()(⋅+⋅在向量c 上的投影. 30. 设:d c b a ⨯=⨯，d b c a ⨯=⨯且c b ≠,d a ≠证明d a -与c b -必共线． 31. 设:b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直,求非零向量a 与b 的夹角.32. 设:{}6,3,2-=a {}2,2,1--=b 向量c 在向量a 与b 423=，求向量c 的坐标．33. 4=3=，∧⋅)(b a 6π=求以b a 2+和b a 3-为边的平行四边形面积.34. 求过点)1,2,7(0-P ,且以{}3,4,2-=n 为法向量的平面方程．ﻩ35. 过点)1,0,1(0-P 且平行于平面53=--z y x 的平面方程. ﻩ36. 过点)2,3,1(-M 且垂直于过点)1,2,2(-A 与)1,2,3(B 的平面方程. 37. 过点)2,1,3(-A ，)1,1,4(--B ，)2,0,2(C 的平面方程.38. 过点)1,1,2(0P 且平行于向量{}1,1,2=a 和{}3,2,3-=b 的平面方程.39. 过点M o (1，1-,1)且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 40. 将平面方程 01832=+-+z y x 化为截距式方程,并指出在各坐标轴上的截距．41. 建立下列平面方程（1)过点(3-,１,2-)及z 轴;(2)过点Ａ（3-,1,2-）和Ｂ(3，0,５）且平行于x 轴; (3）平行于x y 面，且过点Ａ（3，１,5-）;(4）过点P 1（1,5-，1）和P 2(3，２，2-)且垂直于x z 面． 42． 求下列各对平面间的夹角（1），62=+-z y x 32=++z y x ;（2)09543=--+z y x ,07662=-++z y x . 43. 求下列直线方程(１)过点(2,1-，3-)且平行于向量{}123，，--=s ； （2)过点M o (3，4,2-)且平行z 轴; (3）过点M 1（1，2，3)和M ２(1，０,4); (4)过原点，且与平面0623=-+-z y x 垂直． 4４. 将下列直线方程化为标准方程（1）⎩⎨⎧=--+=-+-084230432z y x z y x ； (2)⎩⎨⎧-=+=422z y y x ； (3)⎩⎨⎧=+=-+00123z y z x45． 将下列直线方程化成参数式方程(1）⎩⎨⎧-==-+-250125z y z y x ； (2）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-025126y z x ．４6. 求过点(1,1，1)且同时平行于平面012=+-+z y x 及012=+-+z y x 的直线方程．４7. 求过点（３,１，2-）且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 48． 求通过两直线211111-=-+=-z y x 与 112111-=+=--z y x 的平面方程． 64.求下列各对直线的夹角 （１)74211+=-=-z y x ,131256--=-=+z y x ; (２）⎩⎨⎧=-+-=-+-012309335z y x z y x ,⎩⎨⎧=-++=+-+0188302322z y x z y x .49. 证明直线31141+=-=-z y x 与 ⎩⎨⎧=--+=++0207z y x z y x 相互平行． ５0. 设直线 ｌ的方程为：nz y x 42311+=--=- 求ｎ为何值时,直线ｌ 与平面052=+--z y x 平行？51. 作一平面，使它通过z 轴，且与平面0752=--+z y x 的夹角为3π.５2. 设直线ｌ在平面01:=+++z y x π 内,通过直线⎩⎨⎧=+=++0201:1z x z y l与平面π的交点，且与直线ｌ1垂直、求直线l 的方程. 5３. 求过点（1，2，１)而且与直线⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 与 ⎩⎨⎧=+-=+-02z y x z y x 平行的平面方程． 54. 一动点到坐标原点的距离等于它到平面04=-z 的距离,求它的轨迹方程.５5. 直线⎩⎨⎧=-+=-+023012:z x y x l 与平面012:=--+z y x π 是否平行？若不平行,求直线ｌ与平面π的交点,若平行，求直线l 与平面π的距离.５６. 设直线ｌ经过两直线35811:1--==--z y x l ,⎪⎩⎪⎨⎧--=+=+=tz t y tx l 101152143:2 的交点，而且与直线l １与l 2都垂直,求直线l 的方程． ５7. 已知直线：⎩⎨⎧=-+-=+-+04201:1z y x z y x l 及点 )213(，，-p 过点ｐ作直线ｌ与直线l 1垂直相交,求直线ｌ的方程.58. 方程:019224222=-+--++z y x z y x 是否为球面方程,若是球面方程，求其球心坐标及半径． ５9. 判断方程：11462222=-+-++z y x z y x 是否为球面方程，若是球面方程,求其球心坐标及半径．60. 将曲线：⎩⎨⎧==052y xz 绕ｘ 轴旋转一周,求所成的旋转曲面方程．61． 将曲线：⎩⎨⎧==+0369422z y x 绕ｙ 轴旋转一周,求所成的旋转曲面方程.62. 说明下列旋转曲面是怎样形成的（1)10343222=++z y x ； （2）24222=+-z y x ; （3）1222=--z y x ; (4)222)(y x a z +=-. ６3. 指出下列方程在空间中表示什么样的几何图形（1）14322=+y x ; （２）13222=-y x ； （3)x z 42=； （4)13422=+z y .自测题 （A ）(一) 选择题1．点M)5,1,4(-到 x ｙ 坐标面的距离为（ ）Ａ．5 Ｂ．４ Ｃ．1 Ｄ．422．点A )3,1,2(-关于y z 坐标面的对称点坐标 ( ） A.)3,1,2(-- B ．)3,1,2(-- C.)3,1,2(- D ．)3,1,2(-- 3.已知向量{}{}{}3,1,4,2,2,2,1,5,3--==-=c b a ,则=+-c b a 432( ）A ．{}16,0,20B ．{}20,4,5-C ．{}20,0,16- D.{}16,0,20- ４.设向量k j i a 424--=,k j i b 236+-=，则)3)(23(b a b a +-＝（ ） A.2０ B ．16- C.３２ Ｄ.32-5.已知：→→-AB prj D C B A CD，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(＝ （ ）A.4 B ．1 C.21Ｄ．2 6．设=-⨯+-+=+-=)()(22b a b a k j i b k j i a ，则， （ ） A ．k j i 53++- Ｂ.k j i 1062++- Ｃ.k j i 1062-- D ．k j i 543++ 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置( )A ．平行于x 轴 Ｂ.平行于ｙ 轴 C.平行于ｚ 轴 D.过z 轴. 8.平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系( ) Ａ．平行 Ｂ．垂直 C.相交 D.重合 9．直线37423zy x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ) A.平行 B ．垂直 C.斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线⎩⎨⎧=-+=+-07201z x y 的距离为（ )Ａ.5 B ．61 Ｃ．51 D.81 (二) 填空题1．设=--x B x A ，则，两点间的距离为，，与29)421()2,,3(___＿_＿___．2.设c b a u 23-+-=，c b a v +-=2，则=-v u 32______＿＿__＿___＿． 3．当m=____＿__＿_＿_＿＿时，k j i 532+-与k j m i 23-+互相垂直．4.设kj i a ++=2，kj i b 22+-=，kj i c 243+-=，则)(b a prj c += ．4． 设k j i a +-=2，k j i b 32-+=，则)2()2(b a b a -⨯+＝＿＿＿＿_＿___． 5． 与)0,3,4()1,2,3(--B A 和等距离的点的轨迹方程为____＿__________. 6． 过点），，（715，），，（204-且平行于z 轴的平面方程_＿___＿____＿____. 7． 设平面：03222,01=--+=+-+z y x z y x 与 平行，则它们之间的距离_＿＿_＿__＿_.8． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为＿____＿______＿_． 10．曲面方程为：44222=++z y x ,它是由曲线＿_＿__＿__绕_____＿＿___＿＿_旋转而成的.(三) 解答题1.求平行于{}的单位向量2,3,6-=a .2.已知作用于一点的三个力{}{}{}5,4,3,3,2,1,4,3,2321-==--=F F F 求合力的大小与方向.3． 如果{}1,1,2-=a ,{}1,2,1-=b 求a 在b 上的投影．4． 用向量方法，求顶点在)4,4,3(),5,3,1(),1,1,2(-----的三角形的三个内角． 5． 设k i a 2+-=,k j i b -+=2,k j i c 22++=，试将下列各式用k j i ,,表示． （1) c b a ⨯⨯)(; （２))()(c a b a ⨯⨯⨯．6． 求经过点（1,2,0)且通过z 轴的平面方程．7． 在平面02=--z y x 上找一点ｐ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等. 8． 求过 )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( 的圆的方程,并求该圆在坐标平面ｘｏy 上的投影曲线方程. 9.求过点(1,２，１)且同时平行0132=-++z y x 和053=+-+z y x 两平面的直线方程． 10．方程：12222=++z y x 表示什么图形？自测题(B)（一） 选择题1.设{}{}{}0,2,1,3,1,1,1,3,2-=-=-=c b a ，则=⨯⨯c b a )(( ) A ．8 B ．1０ C.{}1,1,0-- Ｄ．{}21,1,22.设{}{}2,2,2,2,1,1-=-=b a ，则同时垂直于a 和b 的单位向量( ） A.}0,21,21{± Ｂ.}0,21,21{± C.}0,2,2{± D.}0,2,2{±3．若==-+=b a b k j i a ，则，14//236( ) A.)4612(k j i -+± Ｂ．)612(j i +± Ｃ.)412(k i -± Ｄ．)46(k j -± 4.若ϕ的夹角与，则3121321)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(M M M M M M M （ ) A ．6π B ．2π C.3π Ｄ.4π5．过)320()231(),412(321，，和，，，，M M M ---，的平面方程（ ) Ａ．015914=--+z y x Ｂ.06872=--+z y x C ．015914=-+-z y x D.015914=-++z y x 6．求平面062=-+-z y x 与平面052=-++z y x 的夹角( ) A.2π B ．6π C.3π D ．4π ７．直线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 各系数满足（ )条件,使它与y 轴相交．A.021==A A Ｂ.2121D D B B =C.021==C CD.021==D D 8.设点⎩⎨⎧=-+-=+-+-04201)2,1,3(z y x z y x l M o ，直线,则M O 到l 的距离为( )A ．223 B ．553 C.453 D.22９．直线夹角为与平面62241312=++-=-=-z y x z y x ( ） A.3０o B ．６0o C ．9０o D ．65arcsin10.过点)5,2,1(---且和三个坐标平面都相切的球面方程（ ）A ．22225)1()1()1(=+++++z y x Ｂ．22225)5()5()5(=+++++z y x Ｃ．22225)2()2()2(=+++++z y x D.22225)5()5()5(=-+-+-z y x (二) 填空题１.设k j i a 32+-=，j i b +=2,k j i c ++-=,则c b a 与+是否平行_______＿__. 2．设}8,5,3{=a ，}7,4,2{--=b ,}4,1,5{-=c ,则c b a -+34在x 轴上的投影＿＿＿__________＿___.3.化简：=⨯--⨯+++⨯++a c b b c b a c c b a )()()(____＿＿_＿＿__＿＿__＿＿＿.4.直线 ⎩⎨⎧=---=-+-01205235:z y x z y x l 和平面 07734:=-+-z y x π的__＿_____＿_＿位置关系．５．过直线⎩⎨⎧=+-+=-+-025014z y x z y x 且与x 轴平行的平面方程__＿___________＿____.6．原点==+-k kz y x ，则，的距离为到平面262)0,0,0(＿_＿_＿__＿＿_______＿． 7．与平面0522=+++z y x ，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程＿_____＿______________.８．动点到点(0,０,5)的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为＿_＿__＿______＿__＿． ９.曲面方程：259916222=--z y x 则曲面名称为___＿＿__＿______＿_．10．曲线⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z yx z 在ｙ z 面上的投影方程＿__＿_＿_____＿__． (三) 解答题1.设}0,1,1{},1,1,0{},1,1,1{===c b a 并令c z b y a x d ++=（x ,y ，z 为数量) 求 （1)d ; （2）当z y x d ,,}3,2,1{时，=． 2．求平行于}2,3,6{-=a 的单位向量.3.确定ｋ值，使三个平面:328,1423,23=--=++=+-z y x z y x z y kx 通过同一条直线.4．已知两个不平行的向量a 与b ,2=⋅b a 1=4=，设)(3)(2Xa b b a c -⨯=，求(1))(c b a +⋅; （； (3）的夹角余与c b 弦. 5.求以向量i k k j j i +++,,为棱的平行六面体的体积. 6．垂直平分连接)3,5,2(),1,3,4(B A -的线段的平面方程.7.求与平面4362=+-z y x 平行平面，使点)8,2,3(为这两个平面公垂线中点．8.在平面02=--z y x 上找一点p 使它与点)3,1,2()1,3,4(),5,1,2(---及之间的距离相等． 9.方程:0448422=-+-+y x y x 表示什么曲面？9． 方程组⎩⎨⎧=-++=--++0122046222z y x y x z y x 图形是什么?若是一个圆，求出它的中心与半径．参考答案 参考答案练习题1．(1)),,(c b a -； （２）),,(c b a --; （3)),,(c b a ---.２.51-==x x 或. 3.算出距离后，证明满足勾股定理 4.略５.k j i b a ++=+1132； k j i b a 75732+--=-.6．13545或=γ． 7.225． 8．}13,4,11{4},18,8,11{32-=+-=-AC AB AC AB ．9．}5,2,7{3},12,10,9{52},1,2,1{--=+--=+=-b a b a b a . 10.单位向量为}31,32,32{-．11.(1）7； (２)u 在x 轴的分向量i 13，u 在z 轴的分向量k 9-; (3)299=u.12.利用数量积运算法则． 1３.9-=⋅b a ； 70359arccos)(-=∧πb a . 14.x =４． １5.单位向量：)24(211k j i ++±. 16．1723=∆ABC S .17.(1)若a 与b 同向,则b a b a ⋅=⋅，若a 与b反向，则b a b a ⋅-=⋅;（2）)cos(b a ∧.１8．53±=k ． 19.3617+=++c b a ． 20.16=⋅b a ．2１．（1）46； （2)2-; (３）4838arccos)(-=∧πb a ． 22．23. ２３.(1)3； （2）k j i 333--; (3)21．24.30±。
空间解析几何及多元微分学练习题参考答案
空间解析几何和多元微分学练习题参考答案1．若®®®®++=k j i a 863，2=®b ，则与®a ，x 轴均垂直的向量=®b þýüîíì-±56,58,0。
2．以点A )0,0,2(，B )0,3,0(，C )6,0,0(，D )8,3,2(为顶点的四面体的体积V=14。
3．曲线ïîïíì=+-=-+4)2(4)2(2222y x z x 在yoz 面上的投影曲线方程为：ïîïíì=+-±=+±044422x y z ，投影柱面方程为：44422+-±=+±y z 。
4．xoz 面上的曲线19422=-z x 分别绕x 轴和z 轴旋转所成旋转曲面方程为：1994222=--z y x ，1944222=-+z y x 。
5．求两平面0622:1=+-+z y x p ，884:2=-+-z y x p 所成二面角的角平分面方程。
解：法一，设),,(z y x P 为所求平面上任意一点，则由题意有：2222228)1(4884)2(21622+-+-+-=-+++-+z y x z y x消去绝对值得 )884()6222(3-+-±=+-+z y x z y 即026147010257=-+-=+++z y x z y x 和法二，所求平面过两平面1p 与2p 的交线，故可设其方程为：0)622(884=+-++-+-z y x z y x l在该平面上任取一点， 如令4430--===l lz y x 可得，然后由点)443,0,0(--l l 到两平面的距离相等可解得3±=l ，从而得到所求平面方程。
高二数学必修二：空间解析几何习题解析
高二数学必修二：空间解析几何习题解析解析题目一：已知平面α过点A(1,2,3)，且与平面x-2y+z+5=0垂直，求平面α的解析式。
解析过程：由题可知，平面α过点A(1,2,3)，设平面α的解析式为Ax+By+Cz+D=0，代入点A得到A+2B+3C+D=0。
平面α与平面x-2y+z+5=0垂直，两个平面的法向量垂直，即平面α的法向量与平面x-2y+z+5=0的法向量的点积为0。
平面x-2y+z+5=0的法向量为(1,-2,1)，则有A+B+C=0。
联立方程组得到A=-3B，C=-2B，代入A+2B+3C+D=0中得到D=5B。
平面α的解析式为-3Bx+By-2Bz+5B=0，若取B=1，则平面α的解析式为 -3x+y-2z+5=0。
解析题目二：已知直线l过A(2,1,5)且与平面x+2y-3z+4=0平行，求直线l的解析式。
解析过程：由题可知，直线l过点A(2,1,5)，设直线的解析式为\[\begin{cases}x=2+at \\y=1+bt \\z=5+ct \\\end{cases}\]其中a，b，c为参数。
直线l与平面x+2y-3z+4=0平行，由平行条件可知直线l的方向向量与平面的法向量平行。
平面x+2y-3z+4=0的法向量为(1,2,-3)。
设直线l的方向向量为(m,n,p)，则有\[m:1=n:2=p:-3\]。
取m=1，得到直线l的方向向量为(1,2,-3)。
直线l的解析式为\[\begin{cases}x=2+t \\y=1+2t \\z=5-3t \\\end{cases}\]解析题目三：已知点A(1,2,3)和直线l的方向向量为(2,1,-1)，求直线l的解析式。
解析过程：由题可知，直线l的方向向量为(2,1,-1)，设直线的解析式为\[\begin{cases}x=1+2t \\y=2+t \\z=3-t \\\end{cases}\]其中t为参数。
直线l的解析式为\[\begin{cases}x=1+2t \\y=2+t \\z=3-t \\\end{cases}\]解析题目四：已知平面α过点A(1,2,3)，且与直线l:x=2t,y=3-t,z=4t相交于点B，求点B的坐标。
大学解析几何考试题及答案
大学解析几何考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是解析几何的研究对象？A. 平面曲线B. 空间曲线C. 空间曲面D. 质点运动答案：D2. 在平面直角坐标系中，点P(x, y)关于原点的对称点的坐标是：A. (-x, -y)B. (x, -y)C. (-x, y)D. (y, x)答案：A3. 如果直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，那么它的斜率k等于：A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/2答案：B4. 椭圆的标准方程是：A. (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1B. (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1C. (x/a)^2 + (y/b)^2 = 0D. (x/a)^2 - (y/b)^2 = 0答案：A5. 一个圆的圆心在原点，半径为1，那么它的方程是：A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 0C. x^2 + y^2 = 2D. x^2 + y^2 = -1答案：A6. 如果两条直线的方程分别为y = mx + b1和y = mx + b2，那么这两条直线：A. 相交B. 平行C. 重合D. 垂直答案：B7. 抛物线y^2 = 4ax的准线方程是：A. x = -aB. x = aC. y = -aD. y = a答案：A8. 双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的渐近线方程是：A. y = ±(b/a)xB. y = ±(a/b)xC. y = ±(a/b)xD. y = ±(b/a)x答案：D9. 点A(3, 4)关于直线y = x的对称点B的坐标是：A. (4, 3)B. (2, 3)C. (3, 2)D. (4, 5)答案：A10. 直线x = 2y + 3与圆x^2 + y^2 = 25相交于两点，这两点的距离是：A. 2√5B. 4√5C. 5√2D. 10答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 在平面直角坐标系中，点P(2, -1)到原点的距离是_________。
空间解析几何(练习题参考答案)
1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程．39．02=+-z y3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等．7．)51,1,57(．5．已知：→→-AB prj D C B A CD，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ）A ．4B ．1C ．21D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ）A ．平行于x 轴B ．平行于y 轴C ．平行于z 轴D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线37423zy x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线⎩⎨⎧=-+=+-07201z x y 的距离为（ ）A ．5B ．61 C ．51 D ．81 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ．3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直．4．设++=2，22+-=，243+-=，则)(b a p r j c += ．4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：44222=++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的．3．34-=m ； 4．2919 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线1422=+z y 绕z 轴旋转而成．1．设{}{}{}0,2,1,3,1,1,1,3,2-=-=-=，则=⨯⨯)(（ ） A ．8 B ．10 C ．{}1,1,0-- D ．{}21,1,23．若==-+=，则14//236（ ） A ．)4612(-+± B ．)612(+± C ．)412(-± D ．)46(-± 4．若ϕ与，则3121321)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(M M M M M M M （ ） A ．6π B ．2π C ．3π D ．4π6．求平面062=-+-z y x 与平面052=-++z y x 的夹角（ ） A ．2π B ．6π C ．3π D ．4π 8．设点⎩⎨⎧=-+-=+-+-04201)2,1,3(z y x z y x l M o ，直线，则M O 到l 的距离为（ ）A ．223 B ．553 C ．453 D ．229．直线夹角为与平面62241312=++-=-=-z y x z y x （ ） A ．30o B ．60o C ．90oD ．65arcsin1．D 3．A 4．C 6．C 8．A 9．D7．求与平面4362=+-z y x 平行平面，使点)8,2,3(为这两个平面公垂线中点． 3．确定k 值，使三个平面：328,1423,23=--=++=+-z y x z y x z y kx 通过同一条直线．5．求以向量i k k j j i +++,,为棱的平行六面体的体积．7．与平面0522=+++z y x ，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程_____________________．8．动点到点（0,0,5）的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为________________． 9．曲面方程：259916222=--z y x 则曲面名称为________________．10．曲线⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z yx z 在y z 面上的投影方程______________．1．设32+-=，+=2，++-=，则与+是否平行__________．1．不平行7．33222±=++z y x ； 8．25102-=-z x ；9．双叶双曲面； 10．⎩⎨⎧==+--++02342222x z y z yz y练习题选参考答案1．两非零向量→a 、→b 垂直，则有0=⋅→→b a 或0Pr =→→a j b；平行则有0=⨯→→b a 或→→=b a λ或两向量对应坐标成比例。
空间解析几何习题
4．设 AM MB ，证明：对任意一点 O ，有 OM 1 (OA OB) 。 2
5．已知两点 M1 (0, 1, 2) 和 M 2 (1, 1, 0) ，用坐标表示式表示向量 M1M 2 及 2M1M 2 。 6．向量 a 4i 4 j 7k 的终点 B 的坐标为（2，-1，7），求它的始点 A 的坐标，并求 a 的模及其方向余弦。 7．已知三力 F1 (1, 2, 3), F2 (2, 3, 4), F3 (3, 4, 5) 同时作用于一点，求合力 F 的 大小和方向余弦。
5．已知向量 a, b, c 满足条件 a b c O ，证明 a b b c c a 。
3．在 ABC 中，设 M ， N ， P 分别为 BC ， CA AB 的中点，试用 a BC, b CA, c AB 表示向量 AM ， BN ， CP 。
习题 0—3
（2） a b 。 |a| |b|
1
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
空间解析几何习题答案
一、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅． 解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a, 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1） 又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y ky x j y x i z y z yx kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3） 联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程． 解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--BAB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x化简得027532=-++z y x 这就是线段AB 的中垂面的方程。
空间解析几何复习资料含答案
空间解析几何练习题1. 求点),,(c b a M 分别关于（1）xz 坐标面（2）x 轴（3）原点 对称点的坐标． 2. 设 )2,,3(x A -与)4,2,1(-B 两点间的距离为29，试求x ． 3. 证明 )3,2,1(A )5,1,3(B )3,4,2(C 是一个直角三角形的三个顶点．4. 设ABC ∆的三边=，=，=，三边的中点依次为D ，E ，F ，试用向量表示 ，，，并证明：=++ ．5. 已知：k j i a 2+-=，k j i b -+=3求b a 32+，b a 32-．6. 已知：向量与x 轴，y 轴间的夹角分别为060=α，0120=β求该向量与z 轴间的夹角γ．7. 设向量的模是5，它与x 轴的夹角为4π，求向量在x 轴上的投影． 8. 已知：空间中的三点)2,1,0(-A ，)5,3,1(-B ，)2,1,3(--C 计算：32-，4+．9. 设{}1,0,2-=a ，{}2,2,1--=b 试求b a -，b a 52+，b a +3． 10. 设：{}1,2,2-=，试求与a 同方向的单位向量．11. 设：253++=，742--=，45-+=，-+=34试求（1）在y 轴上的投影；（2）在x 轴和z 轴上的分向量；（3 ．12. 证明：22)()(-=-⋅+．13. 设：{}1,0,3-=a ，{}3,1,2--=b 求⋅，∧⋅)(． 14. 设→→→→-+=k j x i a 2，→→→→+-=k j i b 23且→→⊥b a 求x15. 设{}2,1,0-=，{}1,1,2-=求与和都垂直的单位向量．16. 已知：空间中的三点)0,1,1(A ，)3,1,2(-B ，)2,1,2(-C 求ABC ∆的面积．17. （1）设∥求⋅ （21==求⋅18. 3=5=，试确定常数k 使k +，k -相互垂直．19. 设向量与互相垂直，∧⋅)(c a 3π=，∧⋅)(c b 6π=1=2=3=+．20. 设：53+-=，32+--=求b a ⋅21. 设：k j i a --=63，k j i b 54-+=求（1）a a ⋅；（2）)3()23(-⋅+；（3）a 与b 的夹角．22. 设：∧⋅)(6π=1=3=． 23. 设：{}2,1,1-=a ，{}1,2,1--=，试求：（1）b a ⋅；（2）b a ⨯；（3）∧⋅)cos(．24. 3=26=72=，求b a ⋅．25. 设a 与b 相互垂直，3=4=，试求（1）)()(b a b a -⨯+；（2）)2()3(b a b a -⨯-．26. 设：0=++c b a 证明：a c c b b a ⨯=⨯=⨯27. 已知：-+=23，2+-=，求（1）b a ⨯；（2）)32()2(-⨯+；（3）⨯+)(（4）b i a +⨯． 28. 求与{}1,2,2=a {}6,10,8---=b 都垂直的单位向量．29. 已知：{}1,6,3--=a ，{}5,4,1-=b ，{}12,4,3-=c 求c b a b c a )()(⋅+⋅在向量上的投影．30. 设：d c b a ⨯=⨯，d b c a ⨯=⨯且c b ≠，d a ≠证明d a -与c b -必共线．31. 设：b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求非零向量a 与b 的夹角．32. 设：{}6,3,2-={}2,2,1--=向量在向量与423=，求向量的坐标．33. 4=3=，∧⋅)(b a 6π=求以2+和3-为边的平行四边形面积． 34. 求过点)1,2,7(0-P ，且以{}3,4,2-=为法向量的平面方程． 35. 过点)1,0,1(0-P 且平行于平面53=--z y x 的平面方程． 36. 过点)2,3,1(-M 且垂直于过点)1,2,2(-A 与)1,2,3(B 的平面方程． 37. 过点)2,1,3(-A ，)1,1,4(--B ，)2,0,2(C 的平面方程．38. 过点)1,1,2(0P 且平行于向量{}1,1,2=和{}3,2,3-=的平面方程．39. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程．40. 将平面方程 01832=+-+z y x 化为截距式方程，并指出在各坐标轴上的截距．41. 建立下列平面方程（1）过点（3-，1，2-）及z 轴；（2）过点A （3-，1，2-）和B （3，0，5）且平行于x 轴；（3）平行于x y 面，且过点A （3，1，5-）；（4）过点P 1（1，5-，1）和P 2（3，2，2-）且垂直于x z 面．42. 求下列各对平面间的夹角（1），62=+-z y x 32=++z y x ；（2）09543=--+z y x ，07662=-++z y x ．43. 求下列直线方程（1）过点（2，1-，3-）且平行于向量{}123，，--=；（2）过点M o (3，4，2-)且平行z 轴；（3）过点M 1（1，2，3）和M 2（1，0，4）；（4）过原点，且与平面0623=-+-z y x 垂直．44. 将下列直线方程化为标准方程（1）⎩⎨⎧=--+=-+-084230432z y x z y x ； （2）⎩⎨⎧-=+=422z y y x ； （3）⎩⎨⎧=+=-+00123z y z x 45. 将下列直线方程化成参数式方程（1）⎩⎨⎧-==-+-250125z y z y x ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-025126y z x ． 46. 求过点（1，1，1）且同时平行于平面012=+-+z y x 及012=+-+z y x 的直线方程．47. 求过点（3，1，2-）且通过直线12354z y x =+=-的平面方程． 48. 求通过两直线211111-=-+=-z y x 与 112111-=+=--z y x 的平面方程． 64．求下列各对直线的夹角（1）74211+=-=-z y x ，131256--=-=+z y x ； （2）⎩⎨⎧=-+-=-+-012309335z y x z y x ，⎩⎨⎧=-++=+-+0188302322z y x z y x ．49. 证明直线31141+=-=-z y x 与 ⎩⎨⎧=--+=++0207z y x z y x 相互平行． 50. 设直线 l 的方程为：nz y x 42311+=--=- 求n 为何值时,直线l 与平面052=+--z y x 平行？51. 作一平面，使它通过z 轴，且与平面0752=--+z y x 的夹角为3π． 52. 设直线l 在平面01:=+++z y x π 内，通过直线⎩⎨⎧=+=++0201:1z x z y l 与平面π的交点，且与直线l 1垂直、求直线l 的方程．53. 求过点（1，2，1）而且与直线 ⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 与 ⎩⎨⎧=+-=+-002z y x z y x 平行的平面方程． 54. 一动点到坐标原点的距离等于它到平面04=-z 的距离，求它的轨迹方程．55. 直线⎩⎨⎧=-+=-+023012:z x y x l 与平面012:=--+z y x π 是否平行？若不平行，求直线l 与平面π的交点，若平行，求直线l 与平面π的距离．56. 设直线l 经过两直线35811:1--==--z y x l ，⎪⎩⎪⎨⎧--=+=+=t z t y t x l 101152143:2 的交点，而且与直线l 1与l 2都垂直，求直线l 的方程．57. 已知直线：⎩⎨⎧=-+-=+-+04201:1z y x z y x l 及点 )213(，，-p 过点p 作直线l 与直线l 1垂直相交，求直线l 的方程．58. 方程：019224222=-+--++z y x z y x 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．59. 判断方程：11462222=-+-++z y x z y x 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．60. 将曲线：⎩⎨⎧==052y x z 绕x 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．61. 将曲线：⎩⎨⎧==+0369422z y x 绕y 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．62. 说明下列旋转曲面是怎样形成的（1）10343222=++z y x ； （2）24222=+-z y x ； （3）1222=--z y x ； （4）222)(y x a z +=-． 63. 指出下列方程在空间中表示什么样的几何图形（1）14322=+y x ； （2）13222=-y x ； （3）x z 42=； （4）13422=+z y ．自测题 (A)(一) 选择题1．点M )5,1,4(-到 x y 坐标面的距离为 （ ）A ．5B ．4C ．1D ．422．点A )3,1,2(-关于y z 坐标面的对称点坐标 （ ）A ．)3,1,2(--B ．)3,1,2(--C ．)3,1,2(-D ．)3,1,2(--3．已知向量{}{}{}3,1,4,2,2,2,1,5,3--==-=c b a ，则=+-c b a 432（ ）A ．{}16,0,20B ．{}20,4,5-C ．{}20,0,16-D ．{}16,0,20-4．设向量424--=，236+-=，则)3)(23(+-=（ ）A ．20B ．16-C ．32D ．32-5．已知：→→-AB prjD C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ） A ．4 B ．1 C ．21 D ．2 6．设=-⨯+-+=+-=)()(22，则 （ ）A ．k j i 53++-B ．k j i 1062++-C ．1062--D ．k j i 543++7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ）A ．平行于x 轴B ．平行于y 轴C ．平行于z 轴D ．过z 轴．8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．重合9．直线37423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内10．设点)0,1,0(-A 到直线⎩⎨⎧=-+=+-07201z x y 的距离为（ ） A ．5 B ．61 C ．51 D ．81 (二) 填空题1．设=--x B x A ，则，两点间的距离为，，与29)421()2,,3(_________．2．设23-+-=，+-=2，则=-32_______________．3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直．4．设++=2，22+-=，243+-=，则)(b a p r j c += ．4． 设+-=2，32-+=，则)2()2(-⨯+=_________．5． 与)0,3,4()1,2,3(--B A 和等距离的点的轨迹方程为_______________．6． 过点），，（715，），，（204-且平行于z 轴的平面方程_______________．7． 设平面：03222,01=--+=+-+z y x z y x 与 平行，则它们之间的距离_________．8． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________．10．曲面方程为：44222=++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的．(三) 解答题1．求平行于{}的单位向量2,3,6-=a ．2．已知作用于一点的三个力{}{}{}5,4,3,3,2,1,4,3,2321-==--=F F F 求合力的大小与方向．3． 如果{}1,1,2-=，{}1,2,1-=求在上的投影．4． 用向量方法，求顶点在)4,4,3(),5,3,1(),1,1,2(-----的三角形的三个内角．5． 设2+-=，-+=2，22++=，试将下列各式用,,表示．（1） c b a ⨯⨯)(； （2）)()(c a b a ⨯⨯⨯．6． 求经过点（1,2,0）且通过z 轴的平面方程．7． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等．8． 求过 )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( 的圆的方程，并求该圆在坐标平面xoy 上的投影曲线方程．9．求过点（1,2,1）且同时平行0132=-++z y x 和053=+-+z y x 两平面的直线方程．10．方程：12222=++z y x 表示什么图形？自测题（B ）(一) 选择题1．设{}{}{}0,2,1,3,1,1,1,3,2-=-=-=，则=⨯⨯)(（ ）A ．8B ．10C ．{}1,1,0--D ．{}21,1,22．设{}{}2,2,2,2,1,1-=-=，则同时垂直于a 和b 的单位向量（ ）A ．}0,21,21{± B ．}0,21,21{± C ．}0,2,2{± D ．}0,2,2{±3．若==-+=b a b k j i a ，则，14//236（ ）A ．)4612(k j i -+±B ．)612(j i +±C ．)412(k i -±D ．)46(k j -±4．若ϕ，则3121321)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(M M M M M M M （ ）A ．6πB ．2πC ．3πD ．4π 5．过)320()231(),412(321，，和，，，，M M M ---，的平面方程（ ）A ．015914=--+z y xB ．06872=--+z y xC ．015914=-+-z y xD ．015914=-++z y x6．求平面062=-+-z y x 与平面052=-++z y x 的夹角（ ）A ．2πB ．6πC ．3πD ．4π 7．直线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 各系数满足（ ）条件，使它与y 轴相交． A ．021==A A B ．2121D D B B = C ．021==C C D ．021==D D 8．设点⎩⎨⎧=-+-=+-+-04201)2,1,3(z y x z y x l M o ，直线，则M O 到l 的距离为（ ）A ．223 B ．553 C ．453 D ．229．直线夹角为与平面62241312=++-=-=-z y x z y x （ ） A ．30o B ．60o C ．90o D ．65arcsin 10．过点)5,2,1(---且和三个坐标平面都相切的球面方程（ ）A ．22225)1()1()1(=+++++z y xB ．22225)5()5()5(=+++++z y xC ．22225)2()2()2(=+++++z y xD ．22225)5()5()5(=-+-+-z y x(二) 填空题1．设32+-=，+=2，++-=，则与+是否平行__________．2．设}8,5,3{=，}7,4,2{--=，}4,1,5{-=，则-+34在x 轴上的投影_________________．3．化简：=⨯--⨯+++⨯++)()()(__________________．4．直线 ⎩⎨⎧=---=-+-01205235:z y x z y x l 和平面 07734:=-+-z y x π的___________位置关系． 5．过直线⎩⎨⎧=+-+=-+-025014z y x z y x 且与x 轴平行的平面方程___________________． 6．原点==+-k kz y x ，则，的距离为到平面262)0,0,0(_________________．7．与平面0522=+++z y x ，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程_____________________．8．动点到点（0,0,5）的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为________________．9．曲面方程：259916222=--z y x 则曲面名称为________________．10．曲线⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z y x z 在y z 面上的投影方程______________． (三) 解答题1．设}0,1,1{},1,1,0{},1,1,1{===并令z y x ++=（x ,y ,z 为数量）求 （1）； （2）当z y x ,,}3,2,1{时，=．2．求平行于}2,3,6{-=a 的单位向量．3．确定k 值，使三个平面：328,1423,23=--=++=+-z y x z y x z y kx 通过同一条直线．4．已知两个不平行的向量与，2=⋅1=4=，设)(3)(2Xa b b a c -⨯=，求（1）)(+⋅； （2； （3）的夹角余与弦．5．求以向量i k k j j i +++,,为棱的平行六面体的体积．6．垂直平分连接)3,5,2(),1,3,4(B A -的线段的平面方程．7．求与平面4362=+-z y x 平行平面，使点)8,2,3(为这两个平面公垂线中点．8．在平面02=--z y x 上找一点p 使它与点)3,1,2()1,3,4(),5,1,2(---及之间的距离相等．9．方程：0448422=-+-+y x y x 表示什么曲面？9． 方程组⎩⎨⎧=-++=--++0122046222z y x y x z y x 图形是什么？若是一个圆，求出它的中心与半径．参考答案参考答案练习题1．（1）),,(c b a -； （2）),,(c b a --； （3）),,(c b a ---．2．51-==x x 或． 3．算出距离后，证明满足勾股定理 4．略5．++=+32； i 75732+--=- ．6． 13545或=γ． 7．225． 8．}13,4,11{4},18,8,11{32-=+-=-． 9．}5,2,7{3},12,10,9{52},1,2,1{--=+--=+=-． 10．单位向量为}31,32,32{-． 11．（1）7； （2）在x 轴的分向量i 13，在z 轴的分向量9-； （3）299=u ． 12．利用数量积运算法则． 13．9-=⋅； 70359arccos )(-=∧π． 14．x =4． 15．单位向量：)24(211k j i ++±． 16．1723=∆ABC S ． 17．(1)若a 与b 同向，则b a b a ⋅=⋅，若a 与b 反向，则b a b a ⋅-=⋅；（2）)cos(b a ∧．18．53±=k ． 19．3617+=++c b a ． 20．16=⋅b a ． 21．（1）46； （2）2-； （3）4838arccos )(-=∧πb a ． 22．23． 23．（1）3； （2）k j i 333--； （3）21．24．30±。
空间解析几何习题答案解析(可编辑修改word版)
(- 2 y - 5z )2+ (z + 2x )2+ (5x - y )2x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 12 + 52 + (- 2)2 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 3010 5 ⎪一、计算题与证明题1．已知| a |= 1, | b |= 4 ,| c |= 5 , 并且 a + b + c = 0 ． 计算 a ⨯ b + b ⨯ c + c ⨯ a ．解：因为| a |= 1, | b |= 4 , | c |= 5 , 并且 a + b + c = 0 所以 a 与b 同向，且 a + b 与c反向因此 a ⨯ b = 0 ， b ⨯ c = 0 ， c ⨯ a = 0 所以 a ⨯ b + b ⨯ c + c ⨯ a = 02．已知| a ⋅ b |= 3 , | a ⨯ b |= 4 , 求| a | ⋅ | b |．解： | a ⋅ b |= a ⋅ b cos= 3（1）| a ⨯ b |= a ⋅ b sin = 4(1)2 + (2)2 得(a ⋅ b )2= 25（2）所以a ⋅b = 54．已知向量 x 与 a (,1,5,-2) 共线, 且满足a ⋅ x= 3 , 求向量 x 的坐标． 解：设 x 的坐标为(x , y , z )，又 a = (1,5,-2) 则 a ⋅ x = x + 5 y - 2z = 3 又 x 与 a 共线，则 x ⨯ a = 0即（1）i j kx yz = y 1 5 - 2 5 z i - x - 2 1 y j + x y k- 2 1 5= (- 2 y - 5z )i + (z + 2x ) j + (5x - y )k = 0所以 = 0即29x 2 + 5 y 2 + 26z 2 + 20 yz + 4xz - 10xy = 0 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为0 或（2）cos 0 = 1 =x ⋅ a=3整理得x 2 + y 2 + z 2 = 310（3）联立(1)、(2)、(3) 解出向量 x 的坐标为⎛ 1 ⎝ , 1, 2 - 1 ⎫ ⎭a ⋅b a ⋅ b x 2 + y 2 + z 2 12 + 12 + 02 ⎩- ⎪ ⎪⎪6．已知点 A (3,8,7) , B (-1,2,-3) 求线段 AB 的中垂面的方程．解：因为 A (3,8,7) , B (-1,2,-3)AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M (x , y , z ) ，则由 MA ==MB 得化简得2x + 3y + 5z - 27 = 0这就是线段 AB 的中垂面的方程。
空间解析几何的模拟试题
空间解析几何的模拟试题在空间解析几何中，模拟试题是非常重要的一部分，它能够帮助我们更好地理解和掌握相关知识。
本文将通过几个模拟试题，来介绍空间解析几何的基本概念和解题方法。
下面就让我们来一起探索吧！第一题：已知线段AB的中点为O(1,2,3)，A点坐标为(-3,4,5)，求B点的坐标。
解题思路：由于O是AB线段的中点，可以得出以下关系式：OB = OA - 2AO根据向量的加减法，可以得到B点的坐标为：B(-3,4,5) - 2(1,2,3) = (-5,0,-1)第二题：已知直线L1过点A(2,-1,3)和点B(1,2,4)，直线L2经过点C(-2,3,1)且与直线L1垂直，求直线L2的方程。
解题思路：设直线L2的方程为r = P + tQ，其中P为直线上的任意一点，Q为直线的方向向量。
由于L2与L1垂直，所以Q应与L1的方向向量q=(1-2,2-(-1),4-3) = (-1,3,1)垂直。
因此，Q与q的点积为0，即(-1,3,1)·(-1,3,1) = 0。
根据点积的性质，可以得到以下方程：-1×(-1) + 3×3 + 1×1 = 0解得1+9+1=11，所以Q=(-1,3,1)/√11又因为L2经过点C(-2,3,1)，所以直线L2的方程为：r = (-2,3,1) + t(-1,3,1)/√11第三题：已知平面α过点A(1,2,3)，且法向量为n=(2,-1,3)，点P(4,-3,5)在平面α上，求点P在平面α上的投影点Q的坐标。
解题思路：由于点P在平面α上的投影点Q，在平面上，所以向量PQ与法向量n垂直。
根据向量的垂直性质，可以得到以下关系式：(4-1,-3-2,5-3)·(2,-1,3) = 0解得(3,-5,2)·(2,-1,3) = 0即3×2 + (-5)×(-1) + 2×3 = 0化简得6 + 5 + 6 = 0求解得向量PQ为(3,-5,2)。
空间解析几何答案
空间解析几何复习题（答案）1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅． 解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a3．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a, 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1） 又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y kyx j y x i z y z y x kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3）联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 4．向量a , b , c 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和, 求向量c 的坐标．解：r c b a ===且它们两两所成的角相等，设为θ 则有1101101=⨯+⨯+⨯=⋅b a 则21cos rb a b a =⋅⋅=θ 设向量c 的坐标为()z y x ,,则11cos 0112=⋅⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅rr r b a y x z y x c a ϑ （1） 11cos 1102=⋅⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅r r r c b z y z y x c b ϑ （2） 2011222222=++==++=r z y x c所以2222=++z y x （3）联立（1）、（2）、(3)求出⎪⎩⎪⎨⎧===101z y x 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-=313431z y x所以向量c 的坐标为()1,0,1或⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,34,315．已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D ， (1)求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥BCD A -的体积． (3) 求BCD ∆的面积．(4) 求点A 到平面BCD 的距离．解：因为()103，，A ，()1,4,2-B ,()3,2,0-C ,()3,0,2--D 所以()0,10,1--=()2,8,3--=AC()4,6,5---=（1）(),,是以它们为邻边的平行六面体的体积()17612120001003465283101=+--++---------=V （2）由立体几何中知道，四面体ABCD （三棱锥BCD A -）的体积3881766161=⨯==V V T（3）因为()222，，-=，()444--=，，k j i kj iBD BC 01616444222+--=---=⨯()()216161622=-+-=，这是平行四边形BCED 的面积因此S S BCD 21=∆□BCED 2821621=⨯= (4)设点A 到平面BCD 的距离为H ，由立体几何使得三棱锥BCD A -的体积H S V BCD T ⋅=∆31所以22112112838833==⋅==∆BCDT S V H 6．求经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与坐标平面xOz 垂直的平面的方程． 解：与xoy 平面垂直的平面平行于y 轴，方程为0=++D Cz Ax (1)把点()123，，A 和点()321--，，B 代入上式得03=++D C A (2)03=+--D C A (3)由（2），（3）得2D A -=,2DC =代入（1）得022=++-D z Dx D 消去D 得所求的平面方程为02=--z x7．求到两平面0623:=-+-z y x α和1152:=+-+z y x β距离相等的点的轨迹方程． 解；设动点为()z y x M ,,，由点到平面的距离公式得()()()2222221025101025213623-++-+-+-=+-+-+-z y x z y z所以()10102512914623+-+-±=-+-z y x z y x8．已知原点到平面α的距离为120, 且α在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2-, 求α 的方程．解：设截距的比例系数为k ，则该平面的截距式方程为1562=++-kz k y k x 化成一般式为0306515=-++-k z y x 又因点()0,0,0O 到平面α的距离为120，则有()120651530222=++--k求出2864±=k所以，所求平面方程为028********=±++-z y x9．若点)1,0,2(-A 在平面α上的投影为)1,5,2(-B , 求平面α的方程． 解：依题意，设平面的法矢为()2,5,4-=n 代入平面的点法式方程为()()()0125524=----+z y x整理得所求平面方程为035254=+--z y x10．已知两平面02467:=--+z y mx α与平面0191132:=-+-z my x β相互垂直，求m 的值．解：两平面的法矢分别为()6,1,1--=m n ，()11,3,22m n -=，由1n ⊥2n ，得066212=--m m求出1966-=m 11．已知四点)0,0,0(A , )3,5,2(,-B , )2,1,0(-C , )7,0,2(D , 求三棱锥ABC D -中ABC面上的高．解：已知四点()()()()7,0,2,2,1,0,3,5,2,0,0,0D C B A --,则()()()9,1,2,4,5,0,7,0,2--=--=--=DC DB DA为邻边构成的平行六面体的体积为()912450702,,-------==V()[]80700090++--++-=()87090-+-=28=由立体几何可知，三棱锥ABC D -的体积为314286161=⨯==-V V ABC D设D 到平面ABC 的高为H则有 ABC ABC D S H V ∆-⋅=31所以 ABCABCD S V H ∆-=3又()()2,1,0,3,5,2-==k j i kj i 24721352++=--=⨯所以，692124721222=++==∆S ABC 因此，696928692869213143==⨯=H 12．已知点A 在z 轴上且到平面014724:=+--z y x α的距离为7, 求点A 的坐标． 解：A 在z 轴上，故设A 的坐标为()200，，，由点到平面的距离公式，得()()7724147222=-+-++-z所以69147±=+-z 则692±=z那么A 点的坐标为()692,0,0±A13．已知点．A 在z 轴上且到点)1,2,0(-B 与到平面9326:=+-z y x α的距离相等, 求点A 的坐标。
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《 空 间 解 析 几 何 》 试卷A班级： 姓名： 学号： 分数：我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。
试卷共 5页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。
一．选择题（每小题3分，共10分）1. 平面的法式方程是 （ ）.Ａ. 0=+++D Cz By Ax Ｂ. 1=++r zq y p xＣ. ()0,1cos cos cos 0cos cos cos 222>=++=-++p p z y x γβαγβα其中Ｄ. ()0,1cos coscos 0cos cos cos 222>=++=+++p p z y x γβαγβα其中2. 两向量 21,n n 互相垂直的充要条件是 （ ）. Ａ. 021=⋅n n Ｂ. 021=⨯n n Ｃ. 21n n λ=. Ｄ. 以上都不对3. 平面0:11111=+++D z C y B x A π 与平面0:22222=+++D z C y B x A π 互相垂直的充要条件是 （ ）. Ａ.212121C C B B A A == Ｂ. 0212121=++C C B B A AＣ. 021212121=+++D D C C B B A A Ｄ. 以上都不对.4. 1111111:n z z m y y l x x l -=-=-与2222222:n z z m y y l x x l -=-=-是异面直线，则必有 （）.Ａ.0212121=++n n m m l l Ｂ.0212121≠++n n m m l lＣ. 0212121222111=---z z y y x x n m l n m lＤ. 0212121222111≠---z z y y x x n m l n m l .5. 若向量γβα,,线性无关，则在该向量组中必有 （ ）Ａ. 每个向量都可以用其它向量表示。
Ｂ. 有某个向量可以用其它向量表示。
Ｃ. 每个向量都不能用其它向量表示。
Ｂ. 有某个向量不能用其它向量表示。
二．判断正误（各2分），并用举例、证明、给出正确答案（不必写出推算过程）、或表叙有关定理等方法，说明你的判断依据（各3分），（共25分）。
1. 若c a b a⨯=⨯，且0≠a ，则有c b=答： 是，否（将不对的划去，下同） 理由：2. 若b a b a-=+，则有a b⊥。
答：是，否 理由：3. 方程1=r 在球坐标系和柱坐标系下表示的是同一个曲面。
答：是，否 理由：4. 方程()()()042,,332=-+--=yx z y x y x z z y x F是一个锥面方程。
答：是，否 理由：5. 存在某个过x 轴的平面，它与椭球面 194222=++z y x 交线是一个圆。
答：是，否 理由：三．计算（第四题10分，其它每题各7分，共45分）（1）设平面在三个坐标轴的截距的比依次为1:)2(:2-，并且该平面到原点的距离为3，求此平面的方程。
（2）求直线⎩⎨⎧=++-=--+02012z y x z y x 在平面034=++-z y x 的投影柱面。
（3）求由两平面2 x - y + z = 7，x + y + 2 z = 11所成的两面角的角平分面方程。
（4）判断直线的相互位置。
如果它们相交或平行，求出它们所在的平面；如果是异面直线，求出它们之间的距离和公垂线方程（各5分）。
ⅰ.01123-==-z y x 与 10211z y x =-=+ ；ⅱ.⎩⎨⎧=-+=+-0623022y x z y x 与⎩⎨⎧=-+=--+01420112z x z y x（5）设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=zx z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这个柱面的方程。
（6）求出直线11112-==-z y x 围绕z 轴旋转一周所形成的曲面的方程，并用平行截痕法画 出该曲面的图像。
四. 证明题（每题5分，共10分） 1. 三角形的三条高线相交于一点。
2. 方程 (x + y )(y + z )= x+2 y + z 表示一个柱面，并求出柱面母线的方向向量。
五. 作出曲面24x z -=，24x y -=，及三坐标平面所围成的立体在第一卦象部分的立体图形。
答案：一．选择题（每小题3分，共15分）1. B.2. D .3. B .4. B .5. C. 二．填空题（每小题3分，共15分）1. 1. ππk 22+-2. 1sinh3. i k ⎪⎭⎫ ⎝⎛±32ππ.4. 1.5. 1!+m sm .三．计算（每题7分，共49分）（1）设()()23233xy l x i y x my z f ++-= 为解析函数，试确定m 、l 的值。
解：2323,3xy l x v y x my u +=-= （2分）由柯西—黎曼方程 x y y x v u v u -==,，得2222333,26y l x x y m y x l y x --=-=- （3分）。
故当l = -3 , m = 1时，函数解析（2分）。
（2）()i Ln +1 解：()()分）其中实部、虚部各分）（分）（2(4)24(2ln 21311ln 1ππk i i Arg i i i Ln ++=+++=+（3）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰czz d z e cos Re ，其中c 为从1- i 到0的曲线y = - x 2解：()()()()()()()分）（分）（分）（分）（11cosh 1sin 1cos 1cos Re 21sinh 1cos 1sin 1cosh 1sin 1cos 121sin 12sin cos 101--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∴++--=-+-=+=+⎰⎰--e z d z e e i e i e ze z d z ec z i iz cz（4）⎰=1cos z z d z z 解：)1(2)3(cos 2cos 3cos 01分分分），可得由柯西积分公式（在复平面中解析，所以因为i z i z d z zz z z ππ====⎰（5）()z d z z z z ⎰=++2sin 1sin 1解：被积函数()zz z sin 1sin 1++的奇点有πk a k = 和() ,2,1,01±±=-=k k b k π，除10-=b 是可去奇点外，都是一级极点（1分）。
因只有00=a 和10-=b 在曲线2=z 内（1分），故由留数定理，得()()()()()分）（分）（分）（11sin 220sin 1sin 1lim 221,sin 1sin 1Re 0,sin 1sin 1Re 2sin 1sin 102iz z z i z z z s z z z s i z d z z z z z πππ=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+'++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++→=⎰（6）给定调和函数 y x u -=3，求调和函数v ，使得复函数iv u z f +=)(成为一个解析函数，且满足1)(=-i f 。
解：()()()()分）。
故所求调和函数为分）。
（从而有时得知当，又由分）（为任意实常数）（其中分）（分）（得，又由分）（1(3313,0,1,01131,11233,3++===-===-++=∴+=∴='-=+==∴==⎰y x v c v y x i f c c y x v c x x c x c u v x c y dy v u v y x x y（7）将复函数z sin 展成（z-1）的幂级数，并写出级数的收敛域。
解：已知()()()()+-+-+-=++-+-+-=+n n n n z n z z z z n z z z z 2421253!211!41!211cos !1211!51!31sin()分）3(∞<z所以有()[]()()()()()()()()()()()()())2(1!12111!511!3111cos 1!2111!411!2111sin )2(1sin 1cos 1cos 1sin 11sin sin 1253242分分⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+--+---++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+--+--=-+-=+-=+ n nn nz n z z z z n z z z z z z四. 积分变换（每题5分，共15分） 1. 已知()t e t t f 2-=，求 L ()[]t f 解：[]()[][])2(21,)3(12分分+==∴=-s e t L t f L st L t2. 已知()412++=s s s F ，求 L -1()[]s F解：()[])2(2sin 212cos )3(4221421211分分t t s L s s L s F L +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=---3. 用拉普拉斯变换的微分性质证明 []11sin 2+=s t L解：()()()()()()()[]()[]()()()[][]()[]11sin 11sin sin 200,11000;sin ,cos sin 222+=-=-'--=''='=-=''='=s t L t L s t L f f s t f L s t f L f f t t f t t f t t f 从而得到分得分由微分性质分，并且有满足五. 证明题（6分）：设幂级数∑∞=0n nn z a 在z 0 处条件收敛，证明z 0 是该级数收敛域边界上的点。
证明：首先，因为幂级数∑∞=0n nn z a 在z 0 处收敛，由阿贝尔定理，对一切满足0z z <的z，都有幂级数∑∞=0n nn z a 在z处绝对收敛，从而知收敛半径0z R ≥ （3分）。
其次，若0z R >，则由于幂级数∑∞=0n nn z a在R z <中绝对收敛，故幂级数∑∞=0n nn z a 应该在z 0 处绝对收敛，这与已知产生矛盾。
因此得到0z R =，进而z 0 是该级数收敛域边界 上的点。
证毕（3分）。