九、图形的相似与全等
图形的相似与全等
图形的相似与全等相似和全等是几何学中常用的概念，用来描述图形之间的关系。
在本文中，我们将讨论图形的相似性和全等性，并且探讨它们之间的区别以及它们在几何学中的应用。
一、相似性相似性是指两个图形在形状上相似，但尺寸可能不同。
两个相似的图形有着相同的形状和对应的角度，但是它们的大小可能不一样。
相似性可以通过比较两个图形的边长比例来判断。
如果两个图形的对应边的比例相等，则它们是相似的。
例如，在三角形中，如果两个三角形的对应边长的比例相等，则它们是相似的。
相似三角形的各个角度是相等的，但是它们的边长和面积可以不同。
相似性在测量图形的尺寸时非常有用，因为它允许我们通过测量较小图形的尺寸来推导出较大图形的尺寸。
相似性也适用于其他图形，如矩形、圆形和多边形。
当两个图形相似时，它们的形状是相同的，只是尺寸不同。
相似性在建筑、地图制图和工程设计等领域有广泛的应用。
二、全等性全等性是指两个图形在形状和尺寸上完全相同。
当两个图形全等时，它们的所有边长、角度和面积都相等。
全等性可以通过比较两个图形的边长和角度来确定。
以三角形为例，如果两个三角形的三个对应边长和对应角度都相等，则它们是全等的。
全等三角形的形状和尺寸完全一样，它们可以互相重合。
全等性在测量和构造几何图形时非常重要，因为全等的图形可以用来证明其他几何定理和推导出其他图形的性质。
除了三角形，其他图形如矩形、圆形和多边形也可以存在全等的情况。
全等性在几何学中起着重要的作用，它提供了一种精确测量和比较图形的方法。
三、相似性与全等性的区别相似性和全等性之间存在着一些重要的区别。
首先，相似性只要求两个图形在形状上相似，而全等性要求两个图形在形状和尺寸上完全相同。
相似的图形可以有不同的尺寸，而全等的图形尺寸必须完全相同。
其次，相似性可以通过比较边长的比例来判断，而全等性需要比较边长和角度。
在确定两个三角形是否相似时，我们只需要比较两个三角形的边长比例。
但是，要确定两个三角形是否全等，我们需要比较边长和角度。
几何图形的相似与全等
几何图形的相似与全等是几何学中的两个重要概念。
它们在日常生活、工程设计、艺术创作等领域都有着广泛的应用。
下面将对这两个概念进行详细探讨，分析其定义、性质、判定方法以及应用。
一、全等几何图形1. 定义：如果两个几何图形能够完全重合，那么这两个图形就称为全等图形。
全等图形意味着两个图形的形状和大小都完全相同。
2. 性质：全等图形的对应角相等、对应边相等、对应边上的高线相等、对应边上的中线相等、周长相等、面积相等。
这些性质使得全等图形在实际应用中具有很高的价值，例如在建筑设计、机械制造等领域，需要保证各个部件之间的尺寸完全相同，以确保整体的稳定性和性能。
3. 判定方法：判定两个图形是否全等，通常有以下几种方法：* SSS（边边边）判定：如果两个三角形的三组对应边分别相等，则这两个三角形全等。
* SAS（边角边）判定：如果两个三角形的两组对应边分别相等，且夹角也相等，则这两个三角形全等。
* ASA（角边角）判定：如果两个三角形的两组对应角分别相等，且夹角所对的边也相等，则这两个三角形全等。
* AAS（角角边）判定：如果两个三角形的两个对应角分别相等，且其中一个角所对的边也相等，则这两个三角形全等。
* RHS（直角边、斜边、边）判定：在一个直角三角形中，如果一个直角边和斜边分别等于另一个直角三角形的一条直角边和斜边，那么这两个直角三角形全等。
4. 应用：全等图形在实际生活中的应用非常广泛。
例如，在建筑设计中，建筑师需要确保各个部件之间的尺寸完全相同，以确保建筑的整体稳定性和美观性。
在机械制造中，工程师需要利用全等图形的性质来制造各种精确的机械部件。
此外，在地图绘制、艺术创作等领域也广泛运用全等图形的概念。
二、相似几何图形1. 定义：如果两个几何图形的形状相同但大小不一定相同，那么这两个图形就称为相似图形。
相似图形意味着两个图形的对应角相等、对应边之间的比例相等。
2. 性质：相似图形的对应角相等、对应边之间的比例相等、对应边上的高线之间的比例相等、对应边上的中线之间的比例相等、周长之间的比例相等、面积之间的比例等于对应边之间的比例的平方。
初中数学知识归纳相似变换和全等变换的性质
初中数学知识归纳相似变换和全等变换的性质相似变换和全等变换是初中数学中非常重要的概念，它们在几何图形的研究和解决问题中起着至关重要的作用。
了解它们的性质和特点，能够帮助我们更好地理解几何图形的变换过程，并能够应用于各种数学问题的解决中。
一、相似变换的性质相似变换是指在平面上进行的一种变换，通过等比例的缩放、平移、旋转或镜像等操作，将一个图形变换成另一个与之相似的图形。
相似变换的性质如下：1. 边长比例相等：在相似变换中，两个相似图形的对应边的长度之比是相等的。
即若两个图形A和B相似，对应边的长度之比为a:b，则可以表示为AB/aB = AC/aC = BC/bC。
2. 角度相等：在相似变换中，两个相似图形的对应角的度数是相等的。
即若两个图形A和B相似，对应角的度数相等，可以表示为∠A = ∠B。
3. 面积比例相等：在相似变换中，两个相似图形的面积之比等于对应边长的平方之比。
即若两个图形A和B相似，对应边长之比为a:b，则面积之比为A: B = (a^2:b^2)。
4. 直线平行：在相似变换中，图形中直线的平行性保持不变。
即如果两个图形A和B相似，那么其中的平行线段保持平行关系。
二、全等变换的性质全等变换也是一种平面上的变换，通过平移、旋转和镜像等操作，将一个图形变换成另一个与之完全重合的图形。
全等变换的性质如下：1. 边长相等：在全等变换中，两个全等图形的对应边的长度是相等的。
即若两个图形A和B全等，则它们对应边的长度是完全相等的，可以表示为AB = aB = aC = BC。
2. 角度相等：在全等变换中，两个全等图形的对应角的度数是相等的。
即若两个图形A和B全等，则对应角的度数是完全相等的，可以表示为∠A = ∠B。
3. 面积相等：在全等变换中，两个全等图形的面积是相等的。
若两个图形A和B全等，则它们的面积完全相等，可以表示为A = B。
4. 其他性质：全等变换还具有对称性、传递性和自反性等性质。
图形的相似与全等判定
图形的相似与全等判定图形是我们日常生活中经常会遇到的事物，无论是自然界中的山川湖海，还是人工构建的建筑物和艺术品，都离不开图形的存在。
在数学中，我们对图形的相似性和全等性进行研究和判定，这不仅仅是为了满足学科的需求，更是为了帮助我们更好地理解和应用图形。
图形的相似性是指两个图形之间存在一种比例关系，即它们的形状和结构相似，但大小不一样。
相似性的判定主要依靠比例和角度的关系。
在平面图形中，如果两个图形的对应边的比例相等，并且对应角度相等，那么它们就是相似的。
例如，如果两个三角形的三个内角分别相等，而且它们的对应边的比例也相等，那么这两个三角形就是相似的。
图形的相似性在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在地图制作中，我们常常需要将实际地理图形缩小或放大到合适的比例，以便能够在有限的纸张上展示出来。
这就需要我们对图形的相似性有深入的了解和判定能力。
此外，在建筑设计、工程测量等领域中，也需要通过相似性的判定来进行设计和计算。
相似性的判定方法有很多种，其中一种常用的方法是利用比例关系。
通过求解两个图形的对应边的比例，我们可以判断它们是否相似。
另外，我们还可以通过求解两个图形的对应角度，来判断它们是否相似。
这些判定方法都需要基于一定的数学知识和计算能力，因此在学习过程中需要加强对这些知识的理解和掌握。
与相似性相对应的是全等性。
全等性是指两个图形在形状和结构上完全相同，大小也相等。
全等性的判定主要依靠边和角的对应关系。
在平面图形中，如果两个图形的对应边相等，并且对应角也相等，那么它们就是全等的。
例如，如果两个三角形的三个内角分别相等，而且它们的对应边也相等，那么这两个三角形就是全等的。
全等性的判定在实际生活中也有着重要的应用。
例如，在制作模型、雕塑等艺术品时，我们需要保证每个部分的形状和结构都完全相同，这就需要我们对全等性有深入的了解和判定能力。
此外，在工程测量、制作模具等领域中，也需要通过全等性的判定来进行设计和计算。
相似与全等的判定
相似与全等的判定相似与全等是几何学中经常用到的概念，用来描述不同图形之间的关系。
在几何学中，相似和全等这两个概念具有重要的意义和应用。
下面将详细介绍相似与全等的判定方法及其应用。
一、相似的判定相似是指两个图形在形状上相同，但尺寸大小可能不同。
相似的判定有以下几种方法：1. AAA相似判定法当两个三角形的对应角分别相等时，这两个三角形是相似的。
三角形相似的判定法中，AAA相似判定法是最常用的一种方法。
2. AA相似判定法除了AAA相似判定法外，还可以通过两个三角形的两个角分别相等以及它们的对应边成比例来判断两个三角形是否相似。
3. 直角三角形相似判定法直角三角形的相似判定法是指当两个直角三角形的一个锐角相等时，这两个直角三角形是相似的。
二、全等的判定全等是指两个图形在形状和大小上完全一致。
全等的判定有以下几种方法：1. SSS全等判定法当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形是全等的。
2. SAS全等判定法除了SSS全等判定法外，还可以通过两个三角形的两条边和它们的夹角相等来判断两个三角形是否全等。
3. ASA全等判定法ASA全等判定法是指当两个三角形的一个角和两边分别相等时，这两个三角形是全等的。
三、相似与全等的应用相似与全等在几何学中有广泛的应用，在测量、构图等方面起着重要的作用。
1. 测量利用相似与全等的性质，可以通过测量图形的一些部分来推断出其它部分的长度或面积等。
比如，在实际测量中，我们可以利用相似三角形的性质来测量高楼的高度或测量难以直接测量的物体的尺寸。
2. 构图相似和全等的性质也在几何构图中起着重要作用。
通过相似或全等的构图，可以按比例放大或缩小图形，使得构图更加精确。
3. 几何推理相似与全等的概念也经常用于几何推理中。
通过判断图形的相似或全等关系，可以得出一些结论，推导出一些几何属性和定理。
总结：相似与全等的判定是几何学中重要的概念。
相似用来描述两个图形在形状上相同但大小可能不同，全等则表示两个图形在形状和大小上完全一致。
相似和全等的概念及判定方法
相似和全等的概念及判定方法相似和全等是几何学中常用的概念，用于描述两个图形之间的关系。
相似和全等既有共同点，也有不同之处。
在几何学中，相似和全等的判定方法有其独特的规则和标准。
一、相似的概念及判定方法1. 相似的概念相似是指两个图形在形状上相同，但大小可能不同的关系。
就像我们平时所说的“相似”的概念一样，相似的图形可以相互比较，可以通过比例关系来描述。
2. 相似的判定方法（1）AAA判定法则：若两个三角形的三个内角分别相等，则这两个三角形相似。
（2）SAS判定法则：若两个三角形的一对内角相等，与这对角的两边分别成比例，则这两个三角形相似。
（3）SSS判定法则：若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似。
二、全等的概念及判定方法1. 全等的概念全等是指两个图形在形状和大小上完全相同的关系。
如果两个图形是全等的，它们的对应的边长和角度完全相等。
2. 全等的判定方法（1）SSS全等法则：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等。
（2）SAS全等法则：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
（3）ASA全等法则：若两个三角形的一对角和两边分别相等，则这两个三角形全等。
（4）RHS全等法则：若两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，则这两个直角三角形全等。
三、相似和全等的联系与区别相似和全等都是在描述两个图形之间的关系，但其判定方法和条件是不同的。
联系：相似和全等都需要比较两个图形的边长和角度。
区别：相似只需要满足角度相等或边长成比例即可，而全等需要同时满足角度和边长完全相等。
结语相似和全等是几何学中常用的概念，用于描述和比较不同图形之间的关系。
了解相似和全等的概念及判定方法，对于解决几何学问题具有重要的意义。
通过学习相似和全等的概念和判定方法，我们可以在实际问题中应用几何学知识，提高解决问题的能力。
图形的相似与全等性质及判断方法
图形的相似与全等性质及判断方法图形是学习几何学中的重要内容之一，通过对图形的相似与全等性质的学习，可以帮助我们更好地理解和判断不同图形之间的关系。
本文将介绍图形的相似与全等性质以及判断方法。
一、图形的相似性质相似是指两个或两个以上的图形形状和角度相等，但是尺寸不同。
相似性质可以通过以下几种方式来确定：1.比例关系：在相似图形中，各对应边的长度之比相等。
如果两个图形的边长比例相等，那么它们就是相似的。
比如，三角形ABC与三角形DEF相似，可以表示为：△ABC∼△DEF。
2.角度相等：相似图形的对应角度是相等的。
例如，如果一个直角三角形的两个角度与另一个直角三角形的两个角度分别相等，那么这两个三角形就是相似的。
3.侧角对应相等：相似图形的对应侧角是相等的。
如果一个图形的两个对应侧角与另一个图形的两个对应侧角分别相等，那么这两个图形就是相似的。
二、图形的全等性质全等是指两个图形完全相同，包括形状、大小和角度都相等。
全等性质可以通过以下几种方式来确定：1.对应边相等：全等图形的对应边的长度相等。
如果两个图形的对应边的长度都相等，那么它们就是全等的。
2.对应角度相等：全等图形的对应角度相等。
如果两个图形的对应角度都相等，那么它们就是全等的。
3.对应角度和边相等：全等图形的对应角度和对应边都相等。
如果两个图形的对应角度和对应边都相等，那么它们就是全等的。
三、图形的判断方法在判断两个图形是否相似或全等时，我们可以使用以下方法：1.比较边长：通过比较两个图形的边长是否满足比例关系，可以判断它们是否相似。
2.比较角度：通过比较两个图形的角度是否相等，可以判断它们是否相似或全等。
3.比较侧角：通过比较两个图形的对应侧角是否相等，可以判断它们是否相似。
4.比较边和角：通过比较两个图形的对应边和对应角是否相等，可以判断它们是否全等。
需要注意的是，判断图形的相似与全等性质时，我们需要考虑的是整体的形状和角度，而不仅仅是一部分的边长或角度。
如何判断图形的相似和全等
如何判断图形的相似和全等？
判断图形的相似和全等是几何学中常见的问题，它们有着特定的判定条件和方法。
下面将介绍如何判断图形的相似和全等的步骤。
一、相似图形的判断：
1. 相似图形具有相同的形状，但可能不同的大小。
2. 判断两个图形是否相似，需要满足以下条件：
-对应角相等：两个图形的对应角度相等。
-对应边成比例：两个图形的对应边长成比例，即相似比例。
-对应边的比例恒定：对于任意两个对应边，它们的比例都相等。
3. 如果满足以上条件，即可判定两个图形相似。
二、全等图形的判断：
1. 全等图形具有相同的形状和大小。
2. 判断两个图形是否全等，需要满足以下条件：
-对应边相等：两个图形的对应边长相等。
-对应角度相等：两个图形的对应角度相等。
3. 如果满足以上条件，即可判定两个图形全等。
需要注意的是，判断相似和全等图形时，只需考虑对应的角和边，不需要考虑其他部分的相等性或相似性。
在实际问题中，可以利用相似和全等的性质来解决几何问题，如计算未知边长、角度等。
熟练掌握判断相似和全等图形的方法，可以更好地解决与几何相关的问题。
判断相似和全等图形是几何学中重要的基本技巧，也是学习更高级几何学和应用数学的基础。
通过实际操作和练习，可以提高判断准确性和效率。
图形的相似与全等判断
图形的相似与全等判断在初中数学中，图形的相似与全等是一个重要的概念。
相似与全等是图形的一种性质，通过判断两个图形是否相似或全等，我们可以进一步研究它们的性质和关系。
本文将以具体的例子来说明图形的相似与全等的判断方法，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一概念。
一、相似的判断相似是指两个图形的形状相似，但大小可以不同。
判断两个图形是否相似，我们可以从以下几个方面入手。
1. 边比例判断相似的图形的对应边的长度之比是相等的。
例如，我们有两个三角形，它们的边长分别是2cm、3cm、4cm和4cm、6cm、8cm。
我们可以计算两个三角形的边长之比：2/4=3/6=4/8=1/2。
因此，这两个三角形是相似的。
2. 角度判断相似的图形的对应角度是相等的。
例如，我们有两个矩形，它们的内角分别是90度和90度。
这两个矩形的角度相等，因此它们是相似的。
3. 边角对应判断相似的图形的对应边和对应角度之间存在一一对应的关系。
例如，我们有两个三角形，它们的对应边长之比为1/2，对应角度相等。
这两个三角形是相似的。
通过以上的判断方法，我们可以准确地判断两个图形是否相似。
相似的图形在形状上相似，但大小可以不同，这一性质在实际生活中有着广泛的应用，例如地图的缩放、相似三角形的求解等。
二、全等的判断全等是指两个图形的形状和大小完全相同。
判断两个图形是否全等，我们可以从以下几个方面入手。
1. 边长判断全等的图形的对应边长是相等的。
例如，我们有两个正方形，它们的边长分别是4cm和4cm。
这两个正方形的边长相等，因此它们是全等的。
2. 角度判断全等的图形的对应角度是相等的。
例如，我们有两个等腰三角形，它们的顶角分别是60度和60度。
这两个等腰三角形的角度相等，因此它们是全等的。
3. 边角对应判断全等的图形的对应边和对应角度之间存在一一对应的关系。
例如，我们有两个直角三角形，它们的对边和对角度分别相等。
这两个直角三角形是全等的。
通过以上的判断方法，我们可以准确地判断两个图形是否全等。
图形的相似与全等
图形的相似与全等相似与全等是几何学中重要的概念，用于描述图形之间的关系。
在本文中，我们将详细讨论图形的相似与全等，并且探究它们在几何学中的应用。
一、相似图形相似图形是指形状相同但尺寸不同的图形。
比如，两个三角形的内角相等，边的对应比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
相似图形之间存在以下性质：1. 边长比例：相似图形的对应边之间的长度比例相等。
即若两个图形相似，则其对应边的比例关系为 a/b = c/d。
2. 角度相等：相似图形的对应角度相等。
这是相似性的重要特征。
3. 面积比例：相似图形的面积比等于对应边长比的平方。
即若两个相似图形的对应边长比为 a/b，那么它们的面积比为 (a/b)^2。
相似图形的应用非常广泛，例如在地图制作、模型缩放等领域。
我们可以通过相似性来计算未知图形的尺寸，并且在设计中保持比例关系。
二、全等图形全等图形是指图形形状和尺寸完全相同的图形。
如果两个图形全等，意味着它们的每个角度和边长都完全相等。
全等图形之间存在以下性质：1. 边长相等：全等图形的对应边长相等。
2. 角度相等：全等图形的对应角度相等。
3. 周长和面积相等：全等图形的周长和面积完全相等。
全等图形常常用于证明几何定理和计算几何问题。
在三角形学中，全等三角形可以通过所给的条件进行判定，从而推导出其他相关结果。
三、图形的相似与全等在实际中的应用图形的相似与全等在实际中有广泛的应用。
以下是一些例子：1. 建筑设计：建筑设计师使用相似和全等图形来确保建筑物各个部分之间的比例恰当，并保持整体的协调性。
2. 地图制作：地图制作时，为了在有限的空间内显示大片的地理信息，会使用相似图形进行缩放，以保持地图的准确性。
3. 工程测量：在工程测量中，相似性被广泛应用于测量模型或实际场景中的各个部分，从而推导出其他未知尺寸。
4. 三角测量：通过测量相似或全等三角形的边长，我们可以计算出无法直接测量的高度或距离。
总结：图形的相似与全等是几何学中重要的概念，它们帮助我们理解和描述图形之间的关系。
几何图形的相似与全等
几何图形的相似与全等几何图形的相似与全等是几何学中的基本概念，它们在我们的日常生活和学习中都起着重要的作用。
在本文中，我们将探讨相似图形和全等图形的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、相似图形的定义与性质相似图形指的是形状相似但大小不同的两个图形。
当两个图形中对应的角度相等且对应的边长成比例时，我们称这两个图形为相似图形。
相似图形的性质如下：1. 对应角相等性质：相似图形中，对应的角度相等。
这意味着两个相似图形可以通过旋转、平移或反射的方式获得。
2. 边长成比例性质：相似图形中，对应的边长成比例。
即两个相似图形的对应边长的比例是相等的。
3. 面积比等于边长比的平方性质：如果两个相似图形的边长比为a:b，那么它们的面积比为a²:b²。
这个性质可以通过计算对应边长的比例和面积的关系得到。
二、全等图形的定义与性质全等图形指的是形状和大小都相同的两个图形。
当两个图形的对应边长和对应角度都相等时，我们称这两个图形为全等图形。
全等图形的性质如下：1. 边长相等性质：全等图形中，对应的边长相等。
这意味着两个全等图形的对应边长的长度是完全相等的。
2. 对应角度相等性质：全等图形中，对应的角度相等。
这意味着两个全等图形的对应角度的大小是完全相等的。
3. 面积相等性质：如果两个全等图形面积相等，则它们的对应边长和对应角度都相等。
三、相似与全等图形的应用相似和全等图形在实际问题中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 工程测量：在工程测量中，我们可以使用相似和全等图形的性质来进行尺寸的测量和放大缩小比例的确定。
通过对特定图形进行测量，我们可以得到其他相似图形的尺寸。
2. 地图缩放：地图中的区域在进行缩放时需要保持相对的比例不变，这时我们可以利用相似图形的性质进行缩放的计算。
3. 三角形的计算：在解决三角形相关问题时，相似和全等图形的性质可以帮助我们确定未知角度和边长的大小。
通过观察、比较和计算图形的相似性或全等性，我们可以推导出所需的结果。
什么是图形的相似和全等的判定
什么是图形的相似和全等的判定？图形的相似性和全等性是几何中常用的两种形状关系。
相似图形是指具有相同形状但可能不同大小的图形，而全等图形是指具有相同形状和大小的图形。
下面将分别介绍图形相似和全等的定义、判定方法和应用。
1. 图形的相似性：相似图形是指具有相同形状但可能不同大小的图形。
相似图形具有以下特点：-对应角相等：两个相似图形的对应角度相等。
-对应边成比例：两个相似图形的对应边的长度之比相等。
图形的相似性判定方法包括：-角-角-角相似判定法：如果两个三角形的对应角度分别相等，则这两个三角形是相似的。
-边-边-边相似判定法：如果两个三角形的对应边的长度之比相等，则这两个三角形是相似的。
相似图形应用包括：-比例计算：在相似图形中，可以利用对应边成比例的特点，通过已知条件求解未知量的比例关系。
-测量与缩放：通过相似图形的比例关系，可以实现测量和缩放的转换，例如地图的缩放和放大。
2. 图形的全等性：全等图形是指具有相同形状和大小的图形。
全等图形具有以下特点：-对应边相等：两个全等图形的对应边长度相等。
-对应角相等：两个全等图形的对应角度相等。
图形的全等性判定方法包括：- SSS全等判定法：如果两个三角形的三条边长度分别相等，则这两个三角形是全等的。
-SAS全等判定法：如果两个三角形的一个边长和夹角的度数分别相等，则这两个三角形是全等的。
全等图形应用包括：-几何证明：在几何证明中，可以利用全等图形的性质进行推导和证明。
-刚体运动：在物体的刚体运动中，全等图形的性质可以用于描述物体的位置和姿态的变化。
通过掌握图形相似和全等的定义、判定方法和应用，我们可以在几何中判断和应用图形的相似性和全等性，并在实际问题中应用这些判定方法。
图形的相似与全等
定义法：根据相似图形的定义，如 果两个图形形状相同但大小不同， 则它们相似。
平行法：如果两个图形一组对应边 平行，且对应角相等，则它们相似。
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判定定理法：根据相似图形的判定 定理，如果两个图形对应角相等且 对应边的比值相等，则它们相似。
综合法：根据综合法，如果两个图形 一组对应边平行且对应边的比值相等， 或者一组对应角相等且对应边的比值 相等，则它们相似。
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边角边相等：两边和夹角分别相等 的两个三角形全等
角角角相等：三个角分别相等的两 个三角形全等
建筑设计：利用全等图形设计出对 称、美观的建筑结构
艺术创作：全等图形可以创造出独 特的视觉效果，丰富艺术作品的表 现力
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机械制造：在机械零件设计中，全 等图形可以用来表示完全相同的部 分
科学实验：在物理、化学等实验中， 全等图形可以用来表示实验器材的相 同部分，便于实验操作和结果分析
PART THREE
相似与全等都 是图形之间的 相等关系，但 全等更严格， 要求形状和大
小都相等。
相似图形是大 小不同的图形， 但形状相同， 可以用于研究 图形的性质和
规律。
全等图形是完 全重合的图形， 可以通过平移、 旋转或翻转等 方式实现重合。
相似与全等的 关系可以通过 相似比和全等 变换来描述和
证明。
定义不同：相似是指两个图形形状相同，大小可以不；全等是指两个图形形状和大小都完 全相同。
性质不同：相似只要求形状相同，不要求大小相等；全等要求形状和大小都相等。
判定方法不同：相似可以通过对应角相等、对应边成比例来判定；全等可以通过完全重合来 判定。
图形的相似与全等关系
图形的相似与全等关系图形是我们日常生活中常见的事物，无论是自然界中的山水、花草，还是人造物中的建筑、家具，都离不开图形的存在。
图形的相似与全等关系是几何学中的重要概念，它们帮助我们理解和描述图形之间的关系，进而解决实际问题。
本文将探讨图形的相似与全等关系，并探讨它们在几何学中的应用。
一、相似关系相似关系是指两个图形在形状上相似，但大小不一样。
具体来说，如果两个图形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个图形就是相似的。
例如，两个三角形的对应边长比相等，对应角相等，那么这两个三角形就是相似的。
相似关系在几何学中有着广泛的应用。
首先，相似关系可以帮助我们计算图形的未知边长或角度。
通过已知边长或角度的比例关系，我们可以推导出未知边长或角度的值。
其次，相似关系还可以用于解决实际问题。
例如，在地图上测量两个城市之间的距离时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量已知距离和角度，计算出未知距离。
二、全等关系全等关系是指两个图形在形状和大小上完全相同。
具体来说，如果两个图形的对应边长相等，对应角度相等，那么这两个图形就是全等的。
例如，两个三角形的对应边长和角度都相等，那么这两个三角形就是全等的。
全等关系在几何学中也有着重要的应用。
首先，全等关系可以帮助我们证明两个图形的性质相同。
通过证明两个图形全等，我们可以得出它们其他性质的相等。
其次，全等关系还可以用于解决实际问题。
例如，在建筑设计中，我们需要保证两个房间的大小和形状完全相同，这就要求我们在设计和施工过程中保持全等关系。
三、相似与全等的区别相似关系和全等关系在几何学中都起着重要的作用，但它们之间有着明显的区别。
首先，相似关系只要求对应边成比例和对应角相等，而不要求对应边长相等。
而全等关系则要求对应边长和角度都相等。
其次，相似关系下的图形可以有不同的大小，而全等关系下的图形大小完全相同。
最后，相似关系可以通过缩放、旋转和翻转等变换得到，而全等关系则只能通过平移、旋转和翻转等刚性变换得到。
图形的相似和全等判定
应用：证明两个图形是否全等，解决几何问题
边边边相等：三边对应相等的两个三角形全等 边角边相等：两边和它们之间的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角相等：两个角和它们之间的夹边对应相等的两个三角形全等 角角边相等：两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
边边边相等：如果 两个多边形的所有 对应边都相等，则 它们全等
相似与全等是两种不同的几何概念 相似是指两个图形形状相同，大小可以不同 全等是指两个图形能够完全重合，大小和形状都相同 相似和全等在几何学中有着广泛的应用
相似判定方法：基于形状的判定，考虑角度和边长的相对关系
全等判定方法：基于边的长度和角度的判定，考虑边的长度和角度是否完全相等
关系：全等是相似的一种特殊情况，相似不一定全等 选择：根据实际情况选择合适的判定方法
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01.
02.
03.
相似图形的定义：两个图形形状相同，大小可以不同 相似图形的性质：对应角相等，对应边成比例 相似图形的判定定理：SAS、SSS、ASA、AAS、HL 相似图形的应用：证明、作图、计算等
定义：两个三角形如果对应角相等，则它们相似
定理1：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似
边角边相等：如果两 个多边形的两个对应 边和它们之间的夹角 相等，则它们全等
角边角相等：如果两 个多边形的两个对应 角和它们之间的夹边 相等，则它们全等
角角边相等：如果两个 多边形的两个对应角和 它们之间的一个非夹边 相等，则它们全等
证明两个三角形全等 证பைடு நூலகம்两个矩形全等 证明两个正方形全等 证明两个梯形全等
定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似
相似和全等的认识和判定
相似和全等的认识和判定相似和全等是数学中常用的概念，用于描述物体或数值之间的关系。
在数学问题中，正确的认识和判定相似和全等的能力是非常重要的。
本文将介绍相似和全等的概念，并从几何和代数两个角度来探讨如何准确地认识和判定它们。
一、相似的认识和判定相似是指两个事物在形状上相似，但大小可能不同。
在几何中，两个图形相似的条件是对应角相等，并且对应边的比例相等。
例如，在平面几何中，如果两个三角形的三个内角分别相等，且对应边的长度之比相等，那么这两个三角形就是相似的。
在代数中，如果两个代数式的形式相同，但系数可能不同，那么这两个代数式相似。
例如，2x和6x都是2倍于x的代数式，所以它们相似。
判定两个图形或代数式相似的方法是通过比较对应角和对应边的比例是否相等。
如果满足相似的条件，我们可以说这两个事物是相似的。
二、全等的认识和判定全等是指两个事物在形状和大小上完全相同。
在几何中，两个图形全等的条件是对应角相等，并且对应边的长度相等。
例如，在平面几何中，如果两个三角形的三个内角分别相等，且对应边的长度也相等，那么这两个三角形就是全等的。
在代数中，如果两个代数式的形式相同，并且所有的系数也相同，那么这两个代数式全等。
例如，2x和2x就是全等的，因为它们的形式相同且系数相同。
判定两个图形或代数式全等的方法是通过比较对应角和对应边的长度是否相等。
只有满足全等的条件，我们才能说这两个事物是全等的。
三、相似和全等的区别相似和全等的区别主要体现在大小上。
相似是指形状相同但大小可能不同，而全等则表示形状和大小都相同。
以三角形为例，如果两个三角形的形状相同但一个三角形较另一个三角形的边长更大，这两个三角形就是相似的；如果两个三角形的形状和边长完全相同，这两个三角形就是全等的。
四、总结相似和全等是数学中常用的概念，用于描述物体或数值之间的关系。
在几何和代数两个领域，相似和全等都有明确的定义和判定条件。
相似和全等之间的区别在于大小，相似表示形状相同但大小可能不同，而全等表示形状和大小都相同。
图形的相似与全等
图形的相似与全等图形是我们生活中随处可见的一种形式，它们以各种各样的形状和尺寸出现在我们的周围。
在几何学中，我们学习了图形的相似与全等，这是两个重要的概念。
本文将探讨图形的相似与全等，以及它们在几何学中的应用。
一、相似图形相似图形是指形状相似但尺寸不同的图形。
换句话说，如果两个图形的形状相同，但尺寸不同，那么它们就是相似图形。
例如，两个等腰三角形，一个边长为2厘米，另一个边长为4厘米，它们的形状相同，但尺寸不同，因此它们是相似图形。
相似图形有一些重要的性质。
首先，相似图形的对应边长成比例。
也就是说，如果两个图形相似，那么它们对应的边长之间存在一个比例关系。
例如，如果一个图形的边长是另一个图形边长的两倍，那么这两个图形就是相似的。
其次，相似图形的对应角度相等。
这是因为相似图形的形状相同，所以它们的对应角度也相等。
例如，两个相似的直角三角形，它们的对应角度都是90度。
相似图形在实际生活中有许多应用。
例如，地图是相似图形的一个重要应用。
地图上的各个地区的形状相同，但尺寸不同，以便在有限的空间内展示整个地球的地理信息。
此外，相似图形还用于计算机图形学、建筑设计等领域。
二、全等图形全等图形是指形状和尺寸都相同的图形。
换句话说，如果两个图形的形状和尺寸都相同，那么它们就是全等图形。
例如，两个边长都是3厘米的正方形，它们的形状和尺寸都相同，因此它们是全等图形。
全等图形有一些重要的性质。
首先，全等图形的对应边长相等。
也就是说，如果两个图形全等，那么它们对应的边长是相等的。
例如，如果一个图形的边长是3厘米，那么另一个图形的边长也是3厘米。
其次，全等图形的对应角度相等。
这是因为全等图形的形状相同，所以它们的对应角度也相等。
例如，两个全等的等边三角形，它们的对应角度都是60度。
全等图形在几何学中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，全等图形可以用来保证建筑物的各个部分的形状和尺寸都相同，从而保证建筑物的稳定性和美观性。
此外，在制图和测量中，全等图形也被广泛使用。
形的相似与全等关系
形的相似与全等关系形的相似与全等是几何学中重要的概念和关系。
通过对物体的形状、大小和角度等特征进行比较和分析，我们可以判断它们之间的相似性或全等性。
这些关系在几何推理和实际应用中非常有用。
一、相似关系相似是指两个或多个物体的形状相似，但大小可以不同。
在相似的图形中，对应角度相等，对应边的比例相等。
我们可以通过比较图形的角度和边长的比例来判断它们是否相似。
例如，两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应角相等并且对应边的比例相等，即AB/DE = AC/DF = BC/EF，那么我们可以说这两个三角形是相似的。
相似关系可以扩展到其他形状，如长方形、圆形等。
相似的物体可以有不同的大小，但它们的形状和结构是相似的。
相似关系在几何学中常用于测量、建模和设计等领域。
二、全等关系全等是指两个或多个物体的形状和大小都完全相同。
在全等的图形中，对应边相等，对应角度也相等。
我们可以通过比较图形的边长和角度来判断它们是否全等。
例如，两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边相等并且对应角度相等，即AB=DE，AC=DF，BC=EF，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么我们可以说这两个三角形是全等的。
全等关系是相似关系的特殊情况，它要求形状和大小都完全相同。
全等图形在几何学中常用于证明和推理，以及测量和精确建模等方面。
全等图形在实际生活中也有广泛应用，如制图、建筑设计、机械制造等领域。
三、相似与全等之间的关系相似与全等之间存在一定的关系。
当两个物体相似时，并不能够说它们是全等的；而当两个物体全等时，它们必定也是相似的。
相似是相对于大小而言的，而全等则要求形状和大小都完全相同。
相似的图形可以通过等比例变换得到全等图形，全等图形也可以通过等比例变换得到相似的图形。
对于相似的图形，我们可以通过相似比例来计算其边长、面积和体积等数值。
而对于全等的图形，它们的所有属性都完全相同。
在实际应用中，我们常常根据相似和全等关系来解决测量、比例、放缩和模型设计等问题。
相似与全等的认识
相似与全等的认识相似与全等是数学中常用的概念，它们在几何学、代数学等领域都有着重要的应用。
相似与全等虽然看起来相似，但实际上在定义和性质上存在着明显的差异。
本文将详细介绍相似和全等的概念以及它们之间的区别。
1. 相似的定义和性质相似是指两个或多个事物在形状上有一定的相似性质，但大小或比例可以不同。
在数学中，我们通常用“∼”或“∽”来表示相似。
设两个图形A和B，若存在一个变换f，使得A经过f的变换后变为B，那么称A与B相似。
这里的变换可以是平移、旋转、镜像等。
相似具有以下性质：1.1 两个相似图形的对应边的比例相等。
设图形A与B相似，对应边的长度分别为a与b，则有a/b=k（比例因子），其中k为正常数。
1.2 两个相似图形的对应角度相等。
设图形A与B相似，对应角度分别为α与β，则有α=β。
通过相似的性质，我们可以进行一些有关长度、面积等方面的推导和计算。
例如，当两个三角形相似时，根据对应边的比例可以求得它们的面积比。
2. 全等的定义和性质全等是指两个图形在形状和大小上完全相同，各个部分完全重合。
在数学中，我们通常用符号“≌”来表示全等。
设两个图形A和B，若A与B的所有对应边长相等，所有对应角度相等，那么称A与B全等。
全等具有以下性质：2.1 两个全等图形的对应边的长度相等。
设图形A与B全等，对应边的长度分别为a与b，则有a=b。
2.2 两个全等图形的对应角度相等。
设图形A与B全等，对应角度分别为α与β，则有α=β。
2.3 全等图形的面积相等。
全等的概念在几何学中应用非常广泛。
例如，当两个三角形全等时，它们的三个对应边长相等，各个对应角度也相等。
3. 相似与全等的区别相似与全等在定义和性质上存在着明显的差异。
它们的区别主要体现在以下几个方面：3.1 形状与大小：相似是指形状相似，但大小可以不同；全等是形状和大小都相同。
3.2 变换要求：相似需要存在一个变换将一个图形变为另一个相似的图形；全等要求图形的所有对应边长和对应角度都相等。
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2008年中考数学第一轮复习九、图形的相似与全等汪健苏州市立达学校【课标要求】1．图形的相似（1）了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例的线段，会判断已知线段是否成比例．通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．（2）通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方．（3）了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件及其主要性质．（4）了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小．（5）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）．2．图形的全等（1）了解图形全等的概念，知道根据图形全等的概念识别全等图形；知道全等图形的对应边、对应角相等，会利用图形的全等解决一些简单的问题．（2）经历三角形全等的识别方法的探索过程，在与三角形相似的比较中加深认识，并运用这些方法识别三角形的全等．（3）经历直角三角形全等的特殊识别方法的探索过程，并会运用各种方法识别直角三角形的全等．3．命题与证明（1）理解证明的必要性．（2）了解命题、定义、公理的含义，会区分命题的题设（条件）和结论．（3）结合具体的例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立逆命题不一定成立．（4）通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的．（5）通过实例，体会反证法的含义．（6）掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据．4．尺规作图（1）掌握下列基本作图：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作角的平分线、作线段的垂直平分线．（2）会利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及其底边上的高作等腰三角形．（3）探索如何过一点、两点和不在同一直线上三点作圆．（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法．（不要求证明）【课时分布】图形的相似及其全等在第一轮复习时大约需要5个课时，下表为内容及课时安排：（仅供参考）【知识回顾】 1．知识脉络2．基础知识线段的比、成比例线段、黄金分割． 比例基本性质：dc b a =⇒ad =bc ．相似多边形的特征和识别． 相似三角形的相似比． 相似三角形的识别：(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； (2)如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角对应相等，那么这两个三角形相似；(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似； (4)如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 相似三角形的性质：(1)若两个三角形相似，则这两个三角形的对应边成比例，对应角相等．(2)若两个三角形相似，则它们对应中线的比，对应角平分线的比，对应高的比，周长比都等于相似比．(3)若两个三角形相似，则它们面积比等于相似比的平方． (4)直角三角形中的射影定理．利用图形的位似将一个图形放大和缩小． 全等三角形的识别：S ．S ．S ．、S ．A ．S ．、A ．S ．A ．、A ．A ．S ．、HL ． 命题、定理、公理．基本作图及简单的作图题． 3．能力要求例1 如图，在△AFD 和△BEC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD =CB ，（2）AE =CF ，（3）∠B =∠D ，（4）AD ∥BC ．请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程．【分析】本题提供了四个论断，让我们创编一道“知其三可推其一”的真命题．根据论断和题目要求，可组成四个命题，其中一个命题满足“两边一角”，是个假命题，其余三个都是真命题，现列举一个如下：【解】已知：如图，△AFD 和△BEC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，若AE =CF ，∠B =∠D ，AD ∥BC ．求证：AD =CB ．证明：∵AE =CF ， ∴AF =CE ．∵AD ∥BC , ∴∠A =∠C ．在△ADF 和△CBE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠=.,,C A D B CE AF ∴△ADF ≌△CBE ．∴AD =CB ．【说明】本题是一道开放题，目的是考察命题的组成和三角形全等的识别与性质．题目本身并不难，可让学生先练习，让学生列举出四种情形，逐一讨论，从而达到复习的效果，教师讲评时要注意解题书写规范．例2 已知∠AOB =900，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个三角板的直角顶点与C 重合，它的两条直角边分别与OA 、OB (或它们的反向延长线)相交于点D 、E ．当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时(如图1)，易证：OD +OE =2OC ． 当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?ABCDEF若成立，请给予证明；若不成立，线段OD 、OE 、OC 之间又有怎样的数量关系?请写出 你的猜想，不需证明．图1 图2 图3【分析】观察图形容易发现图2、图3中线段OC 长不变，线段OD ，OE 长在变化，为探索线段OD 、OE 、OC 之间的数量关系，我们可将图2、图3通过添线向图1转化，再利用图1中的结论进行解题．【解】图2结论：OD +OE =2OC ；图3结论：OE －OD =2OC ． 【证明】图2中过C 分别作OA 、OB 的垂线，垂足分别为P 、Q ．由于OC 平分∠AOB ，则CP =CQ ，四边形OQCP 为正方形． ∵∠PCQ =∠DCE =900， ∴∠PCD =∠QCE ． ∴△CPD ≌△CQE ， ∴DP =EQ ．∵OP +OQ =2OC ， 又OP =OD +DP ，OQ =OE －EQ ， ∴OD +DP +OE －EQ =2OC ．即 OD +OE =2OC ．【说明】本题中的三幅图是一个特殊到一般的过程，而解一般问题可联想到特殊情况．解决本题的关键是构造全等三角形，将图2、图3中的一般图形向图1中的特殊图形转化．会转化，会联想，就需要思维的灵活性，这就要求我们在平时的教学过程中加强培养和训练．另本题创设以三角板为情境也是目前考题的一个热点，大家在复习时要多关注．例3 已知：如图，Rt △ABC ≌Rt △ADE ，其中∠ABC =∠ADE =90°．试以图中标有字母的点为端点，连结两条线段，让所连结的两条线段分别满足相等、平行和垂直关系，请把它们写出来并证明．【分析】观察图形根据对称性我们不难发现有：CD =BE ，DB ∥CE ，AF ⊥BD ，AF ⊥CE ． 这些结论是否正确，还需要进行验证．在证明它们所在的三角形全等条件不够时，应从已知的两个全等的直角三角形入手．【解】如图1，连结CD 、BE ，得：CD =BE ． 证明：∵△ABC ≌△ADE ，∴AD =AB ，AC =AE ．CEADB F又∠CAB =∠EAD ，∴∠CAD =∠EAB ． ∴△ADC ≌△ABE ． ∴CD =BE ．图1 图2 图3 图4如图2，连结DB 、CE ，得：DB ∥CE ． 证明：∵△ABC ≌△ADE ，∴AD =AB ，BC =DE ，∠ABC =∠ADE ． ∴∠ADB =∠ABD ．∴∠BDF =∠FBD ． ∴FB =FD ． ∴FC =FE ．∴∠FCE =∠FEC ． ∵∠BDF +∠FBD =∠FCE +∠FEC ， ∴∠FCE =∠DBC ． ∴DB ∥CE ．如图3，连结DB 、AF ，得AF ⊥B D ． 证明：∵△ABC ≌△ADE ，∴AD =AB ，∠ABC =∠ADE =90°．又AF =AF ， ∴△ADF ≌△ABF ．∴∠DAF =∠BAF ． ∴AF ⊥BD ． 如图4，连结CE 、AF ，得AF ⊥CE ．证明：∵△ABC ≌△ADE ， ∴AD =AB ，AC =AE ，∠CAB =∠EAD ，∠ABC =∠ADE =90°． 又AF =AF ，∴△ADF ≌△ABF ． ∴∠DAF =∠BAF ． ∴∠CAF =∠EAF ． ∴AF ⊥BD ．【说明】本题结论具有开放性，可以鼓励学生从多角度、多侧面地思考问题，这样就突出了问题的探究性，让学生自主探究也是新课标所倡导的，我们教师平时要加强这方面的训练．本题新颖有趣，处理得好可有效地激发学生的学习兴趣，从而提高学生的解题能力．例4 如图，已知∠MON =90º，等边三角形ABC 的一个顶点A 是射线OM 上的一定点，顶点B 与点O 重合，顶点C 在∠MON 内部．（1）当顶点B 在射线ON 上移动到B 1时，在∠MON 内部作出以AB 1为一边的等边三角形AB 1C 1；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2） 设AB 1与OC 交于点Q ，AC 的延长线与B 1C 1交于点D ．求证：AQ AB AD AC ⋅=⋅1； （3）连结CC 1，试猜想∠ACC 1为多少度？并证明你的猜想．【分析】三边相等的三角形是等边三角形，因此分别以A 、B 1两点为圆心，AB 1长为半径作弧，两弧的交点即为点C 1；把（2）中的等积式改写成比例式，通过相应的三角形相似来证明；对于问题（3）可先通过度量得到猜想，再进行证明． 【解】（1）如图，△AB 1C 1即为所作的等边三角形． 证明：（2）∵△AOC 与△AB 1C 1等边三角形，CE ADBF CE ADB FCEADB FCEAD BF∴∠ACB =∠AB 1D =60º． 又∵∠CAQ =∠B 1AD ，∴△ACQ ∽△AB 1D ． ∴11,AC AQ AC AD AQ AB AB AD=⋅=⋅即．(3) 猜想∠ACC 1=90º． 证明：∵△AOC 和△AB 1C 1为正三角形， ∴AO =AC ，AB 1=AC 1，∠OAC =∠C 1AB 1．∴∠OAC －∠CAQ =∠C 1AB 1－∠CAQ ，∴∠OAB 1=∠CAC 1． ∴△AO B 1 ≌ △AC C 1． ∴∠ACC 1=∠AOB 1=90º．【说明】题目中要求作出正△AB 1C 1，是考查学生的作图能力，因此对于基本作图，教学中应当给予一定的重视；同时利用相似三角形证明比例线段（或进行计算）的方法我们应熟练掌握；问题(3) 根据对图形的观察和度量先得出猜想，进而去证明猜想，这样既培养学生的合情推理能力，又给了学生一个探索的平台．例5 操作：如图，在正方形ABCD 中，P 是CD 上一动点（与C 、D 不重合），使三角尺的直角顶点与点P 重合，并且一条直角边始终经过点B ，另一直角边与正方形的某一边所在直线．．．．交于点E ． 探究：（1）观察操作结果，哪一个三角形与△BPC 相似？并证明你的结论； （2）当点P 位于CD 的中点时，你找到的三角形与△BPC 的周长比是多少？ 【分析】本题旨在考查学生的动手操作能力和探究能力．解答这类问题，一要仔细审题，抓住关键的字、词，二要从多种角度思考问题，以保证对问题解答的全面． 【解】（1）如图1，若另一条直角边与AD 交于点E ，则△PDE ∽△BCP ． 证明：在△PDE 和△BCP 中，∵∠1+∠3=900，∠2+∠3=900，∴∠1=∠2． 又∠PDE =∠BCP =900，∴△PDE ∽△BCP ．图1 图2 图3 图4或如图2，若另一条直角边与BC 的延长线交于点E ， 同理可证：△PCE ∽△BCP 或△BPE ∽△BCP ．（2）如图3，当PC =PD 时，若另一条直角边与AD 交于点E ，则21=BCPD ．又∵△PDE ∽△BCP ，∴△PDE 与△BCP 的周长比是1︰2．或如图4，当PC =PD 时，若另一条直角边与BC 的延长线交于点E ，则21=BCPC ．又∵△PCE ∽△BCP ，∴△PCE 与△BCP 的周长比是1︰2．或如图4，当PC =PD 时，若另一条直角边与BC 的延长线交于点E ，∵25=BPBE ， 又△BPE ∽△BCP ，∴△BPE 与△BCP 的周长比是5︰2．【说明】本题图中的相似三角形是相似形中较常见的一个基本图形，我们应掌握它．解本题时要把问题考虑全面，防止漏解．例6 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =900，AB =2，AD =5，P 是AD 上一动点（不与A ，D 重合），PE ⊥BP ，P 为垂足，PE 交DC 于点E ．（1）△ABP 与△DPE 是否相似？请说明理由；（2）设AP =x ，DE =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并指出x 的取值范围；（3）请你探索在点P 运动的过程中，四边形ABED 能否构成矩形？如果能，求出AP 的长；如果不能，请说明理由；（4）请你探索在点P 运动的过程中，△BPE 能否成为等腰三角形？如果能，求出AP 的长；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）由题设条件不难证明△ABP ∽△DPE ；（2）可通过（1）中相似三角形的性质来列出y 与x 之间的函数关系式；（3）、（4）结合矩形、等腰三角形的特征先得到方程，再通过解方程求出AP 长．【解】（1）△ABP ∽△DPE ．证明：∵AB ∥CD ，∠A =900， ∴∠D =∠A =900． ∵PE ⊥BP ， ∴∠APB +∠DPE ==900． 又∠APB +∠ABP ==900， ∴∠DPE =∠ABP ． ∴△ABP ∽△DPE ． （2）∵△ABP ∽△DPE ， ∴AB PD PADE =， 即25x xy -=．∴xxy25212+-= （0＜x ＜5）．（3）能构成矩形．当DE =AB =2时，四边形ABED 为矩形． 故由（2）得：225212=+-x x，解得：11=x ，42=x ．因此当AP =1或AP =4时，四边形ABED 是矩形． （4）能成为等腰三角形．当AP =DE 时，有△ABP ≌△DPE ，此时△BPE 为等腰三角形． 故由（2）得：xx x=+-25212，解得：31=x ，02=x （舍去）．因此当AP =3时，△BPE 是等腰三角形．【说明】本题是三角形相似与四边形、函数和方程相结合的综合题，内涵较丰富，要求呈阶梯型，思维的层次分明，是我们教师考察学生综合分析问题和解决问题能力的一道好题． 【复习建议】1、复习这部分内容时，首先让学生通过对一些基本题的练习，进行查漏补缺，掌握本单元的基本知识和基本技能．2、在复习讲评题目时，要加强对问题的分析，注重方法上的指导，抓问题的思考点和关键点，A CBDEP让学生既能对已知条件能够展开丰富的联想，又能反推解决目标问题所需的条件．3、在复习这一单元的计算题时，要善于利用相似三角形的相关知识建立方程，通过方程将一些几何问题转化为代数问题来解答．4、在复习这一单元的证明题时，要突出转化的数学思想，通过转化寻找量和量之间的关系，从而找到解题的思路和策略．5、这一单元的开放型考题比较多，因此在复习时要加强对问题的变式（图）训练，例如改变问题设问的方式，猜想在什么条件下，可以得出结论；或者在已有的条件下猜想可以获得哪些的结论；或改变原图形的构造，产生出新的图形，再问原来的结论是否成立，或通过动手操作得到猜想，再进行证明等等，这样就可将静态的几何问题演变为动态的几何问题，从而培养学生的思维，提高学生的解题能力．6、加强图形相似与其他知识的联系，例如联系平行四边形、梯形和圆的有关内容；联系求动点在运动过程中生成函数的问题；联系与实际生活相关的问题等，这样可培养和提高学生的综合分析问题和解决问题能力．。