3微分方程拉氏变换

§2.1 微分方程
§2. 1. 1 线性元部件及系统的微分方程
例1 R-L-C 串连电路
di ( t ) ur ( t ) L Ri( t ) uc ( t ) dt
i(t ) C duc ( t ) dt
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC RC uc ( t ) 2 dt dt
La f1(t) b f 2(t) a F1(s) b F2(s)
L f t s F s f 0


0
e -st f t 0 f t de st f t e st dt e st df t

at
f (t ) e
消去中间变量可得：
K1 K 2 K 3 K 4 K m 1 K1 K 2 K 3 K 4 K m L L L ur Tm Tm Tm
§2. 1. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例1）
例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
y( x ) E0 cos[ x(t )]
Fo K 2 x0
m x o ) K 2 xo K 1 ( xi xm ) f ( x
m x i x K2 K o 2 xo x o x K1 f
m K1 x i K2 x o K1 x
K1 K 2 K2 i xo xo x K1 f
§2 控制系统的数学模型 数学模型: 描述系统输入、输出变量以及
内部各变量之间关系的数学表
达式。 时域模型：微分方程 复域模型：传递函数
§2 控制系统的数学模型
建模方法：
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
1 (s j)t e 0 s j
1 1 1 1 2 j 2 2 2j s2 2 s j s j 2 j s
§2.2 Laplace 变换基础
4 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质
（2）微分定理 证明：L f t



0
0
0-f 0 s f t e st dt sF s f 0

L f n t s n F s s n-1 f 0 s n- 2 f 0 sf n- 2 0 f n1 0
0初条件下有： L f
模
（3）复数的共轭 （4）解析
F ( s) Fx jFy
若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。
§2.2 Laplace 变换基础
2 拉氏变换的定义
L[ f ( t )] F ( s ) f ( t ) e dt
ts 0
F ( s) f (t )
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 u ( t ) ur ( t ) c 2 dt L dt LC LC
§2. 1. 1 线性元部件及系统的微分方程 例2 弹簧—阻尼器系统
B :
Fi K 1 ( xi xm ) A: m x o ) Fm f ( x
§2.1 微分方程
线性定常系统微分方程的一般形式
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) an an 1 ... a1 a0 c(t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) bm b ... b b0 r (t ) m 1 1 m m 1 dt dt dt
K1 Kபைடு நூலகம்2 K1 o i x xo x f ( K1 K 2 ) K1 K 2
§2. 1. 1 线性元部件及系统的微分方程
例3 电枢控制式直流电动机
电枢回路： ur Ri Eb — 克希霍夫 电枢反电势：Eb ce m — 楞次定律 电磁力矩： M m cm i — 安培定律 m f m m M m — 牛顿定律 力矩平衡： J m m m
d h 1 |h0 h h0 h dt 2 h0
解. 在 h0处泰勒展开，取一次近似
代入原方程可得 在平衡点处系统满足
h h0
d ( h0 h) 1 1 ( h0 h) (Qr 0 Qr ) dt S S 2 h0 dh0 Qr 0 h0 dt S S
像函数
原函数
3 常见函数的拉氏变换
1 t 0 （1）阶跃函数 f (t ) 0 t 0 1 st 1 1 st 0 1 L1t 1 e dt e 0 s s s 0


（2）指数函数

f (t ) e at
f ( ) e s d e τ0 s F (s)
0 t 0 f t 1 0 t a , 求F(s) 0 t a
1 1 e as as 1 L f (t ) L1(t ) 1(t a ) e s s s
dh 1 h Qr 上两式相减可得线性化方程 dt S 2 S h0
建立微分方程的步骤
(1) 确定输入量和输出量；
(2) 将系统分解为各环节，依次确定各环节的输入 量与输出量，根据各环节的物理规律写出相应 的微分方程；
(3) 消去中间变量，就可以求得系统的微分方程； (4) 如果得到系统微分方程是非线性的，则在工作 点附近利用泰勒级数一次近似式将其线性化；
自动控制原理
郑州大学西亚斯国际学院 樊永良
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型（第 3 讲）
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 控制系统的时域数学模型 Laplace 变换基础 传递函数 典型环节及传递函数 动态结构图 动态结构图的等效变换
§2.7 信号流图和梅逊公式 §2.8 自动控制系统的传递函数
1
cos t
s 2 Lcos t Lsin t s 2 2 2 s s 1 1

sin t
§2.2 Laplace 变换基础
（3）积分定理
1 1 -1 L f t dt F s f 0 s s
（4）实位移定理
证明：L
L f (t 0 ) e τ0 s F (s)

f (t 0 ) 0
令
0
f (t 0 ) ets dt
t 0

例6
f ( ) e
s ( 0 )
d e
0 s



0
既有
y E0 sin x0 x
§2. 1. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例2）
例6 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Q 满足方程
dh 1 h Qr dt S S
式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Q 在其工作点附近做微量
变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。
线性定常微分方程求解
微分方程求解方法
§2.2 Laplace 变换基础
1 复数有关概念
（1）复数、复函数 复数
s j
复函数 F ( s) Fx ( s) Fy ( s)
例1 F ( s ) s 2 2 j （2）模、相角
F s Fx2 Fy2 Fy 相角 F s arctan Fx
st
1 jt L f(t) sin t e dt e e jt e st dt 2j 0 0
0


1 -(s-j )t e e (s j)t d t 2j
0


1 1 (s j)t e 2 j s j

例7 例8 例9
1 1 L1 t e Le ss sa s a s3 s - 3t 2 L e cos5t 2 2 2 s 3 5 s 5 s s 3 π π 2t Le 2 t cos( 5t ) L e cos 5 (t ) 3 15


0
t s F s
n n
§2.2 Laplace 变换基础
例2 求 解.
L (t ) ?
1 s δ 0 1 0 1 s
t 1t
Lδt L1t

例3 求 解.
Lcos( t ) ?
例4 X-Y 记录仪
§2. 1. 1 线性元部件及系统的微分方程
例4 X-Y 记录仪
反馈口： u u r u p 放大器： u K1u K u 电动机： Tm m m m 减速器： 2 K 2 m 绳 轮： L K 3 2 电 桥： u p K 4 L
at st
L[ f (t )] e e dt e s a t dt
1 (s a)t e sa
0


0
0

1 1 (01) sa sa
§2.2 Laplace 变换基础
（3）正弦函数

t0 0 f(t) sinωt t 0
消去中间变量 i, Mm , Eb 可得：
m m K m ur Tm
K u Tm m m m r
Tm J m R /( R f m ce cm ) 电机时间常数 K m cm /( R f m ce cm ) 电机传递系数
进一步有： 1 1 1 1 L f t dt n n F s n f 1 0 n1 f 2 0 f n 0 s s s s n个
1 F s s






§2.2 Laplace 变换基础
L f t dt
零初始条件下有：


例4 求 L[t]=?
t 1t dt 1 1 1 1 解. Lt L 1t dt t t 0 2 s s s s t2 t2 t dt 例5 求 L ? 2 2 2 1 1 1 t 1 2 解. L t 2 L t dt s s 2 s 2 t 0 s 3
解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数 1 y( x ) y( x0 ) y( x0 )( x x0 ) y( x0 )( x x0 )2 2!
取一次近似，且令
y( x ) y( x ) y( x0 ) E0 sin x0 ( x x0 )
解.
f (t ) 1(t ) 1(t a )
§2.2 Laplace 变换基础
（5）复位移定理
0
L e At f (t ) F (s A)
At t s


证明： 左 e f (t ) e
s A s 令
s t 0
( s A ) t dt dt 0 f (t ) e