高考数学玩转压轴题专题 2.12已知函数增或减导数符号不改变 Word版 含答案

专题2.12 已知函数增或减导数符号不改变 【题型综述】
用导数研究函数的单调性
（1）用导数求函数的单调区间
求函数的定义域D →求导'()f x →解不等式'()f x ＞()<0得解集P →求D P ，得函数的单调递增（减）区间．
一般地，函数()f x 在某个区间可导，'()f x ＞0⇒()f x 在这个区间是增函数
一般地，函数()f x 在某个区间可导，'()f x ＜0⇒()f x 在这个区间是减函数
（2）单调性的应用（已知函数单调性）
一般地，函数()f x 在某个区间可导，()f x 在这个区间是增(减)函数⇒'()f x ≥()≤0。

常用思想方法：
函数在某区间上单调递增，说明导数大于或等于零恒成立．，而函数在某区间上单调递减，说明导数小于或等于零恒成立．
【典例指引】
例1．已知函数()()2
21ln f x ax a x x =+--， R a ∈． ⑴ 若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线经过点()2,11，求实数a 的值；
⑵ 若函数()f x 在区间()2,3上单调，求实数a 的取值范围．
【思路引导】
（1）根据题意，对函数f x （）求导，由导数的几何意义分析可得曲线y f x =（） 在点11f （，（））处的切线方程，代入点
211（，），计算可得答案； （2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（23，）上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答
案；
∴若函数()f x 在区间()2,3上单调递增，则210y ax =-≥在()2,3恒成立，
410{ 610
a a -≥∴-≥，得14a ≥； 若函数()f x 在区间()2,3上单调递减，则210y ax =-≤在()2,3恒成立，
410{ 610
a a -≤∴-≤，得16a ≤， 综上，实数a 的取值范围为11,,64
⎛
⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 例2．已知函数()2
ln f x x a x =+．（x ＞0） （1）当2a =-时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若x x f x g 2)()(+
=在[)1,+∞上是单调增函数，求实数a 的取值范围． 【思路引导】
（1）函数求导，令()0f x '>得函数增区间，令()0f x '<得函数的减区间；
（2）函数()22ln g x x a x x
=++为[)1,+∞上单调增函数，只需()0g x '≥在[)1,+∞上恒成立即可．
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．
例3．已知函数．
（1）若曲线在点处的切线的倾斜角为，求实数的值；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的范围
【思路引导】
（1）根据切线的倾斜角为得到切线的斜率，根据导数的几何意义可以知道处的导数即为切线的斜率，建立等量关系，求出a即可;
（2）根据函数在区间上单调递增，可转化成，对恒成立，将参数a分离，转化成当时，不等式恒成立，利用均值不等式求出不等式右边函数的最小值，进而得实数a的范围。