2018届人教A版 数系的扩充与复数的引入 单元测试
第3章 数系的扩充与复数的引入单元测试(A卷基础篇)(人教A版)(原卷word版)
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数系的扩充与复数的引入单元测试(A卷基础篇)(人教A版)满分:100分考试时间:90分钟学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________题号一二三总分得分第Ⅰ卷(选择题)评卷人得分一.选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)1.(2019•西湖区校级模拟)复数i﹣3的虚部是()A.3 B.﹣3 C.1 D.i2.(2019春•泉州期末)若z=(m﹣2)+(m+1)i为纯虚数,则实数m的值为()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.23.(2019秋•金凤区校级月考)设复数z=﹣1+2i,(i为虚数单位),则复数z的共轭复数在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.(2019春•临夏市校级月考)已知复数z=a+(2﹣b)i的实部和虚部分别是2和3,则a,b的值是()A.2,5 B.1,3 C.2,﹣1 D.2,15.(2019秋•中山区校级期中)复数(2i﹣1)•i的共轭复数是()A.2﹣i B.2+i C.﹣2﹣i D.﹣2+i6.(2019•玉山县校级模拟)已知复数在复平面内对应的点位于第二象限,则实数a的取值范围为()A.a<6 B.C.D.a>67.(2019秋•浙江期中)复数z=(1+i)(2﹣i)(i为虚数单位),则|z|=()A.2 B.1 C.D.8.(2020•天河区一模)若复数为纯虚数,则|3﹣ai|=()A.B.13 C.10 D.9.(2019秋•沙坪坝区校级月考)已知复数z满足z=1+i(其中i为虚数单位),则()A.B.C.D.10.(2019•安徽模拟)已知i是虚数单位,是z的共轭复数,若复数,则()A.0 B.1 C.D.2第Ⅱ卷(非选择题)评卷人得分二.填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)11.(2019秋•句容市校级月考)i是虚数单位,复数.12.(2019春•宜宾期末)复数的共轭复数是.13.(2019秋•莲都区校级月考)若z(3+4i)=5(i为虚数单位)则|z|=,z的实部为.14.(2019春•扬州期末)设a∈R,若复数(2﹣i)(a+2i)在复平面内对应的点位于直线y=﹣x上,则a =.评卷人得分三.解答题(共3小题,每小题10分,共30分)15.(2019春•哈尔滨期中)实数m取怎样的值时,复数z=m2﹣m﹣6+(m2﹣2m﹣15)i是:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?16.(2019春•嘉兴期中)已知复数,其中i为虚数单位,a∈R.(Ⅰ)若z∈R,求实数a的值;(Ⅱ)若z在复平面内对应的点位于第一象限,求实数a的取值范围.17.(2019春•闵行区校级期中)已知复数z=(i)2是一元二次方程mx2+nx+1=0(m,n∈R)的一个根.(1)求m和n的值;(2)若z1=(a﹣2i)z,a∈R,z1为纯虚数,求|a+2i|的值.。
人教A版高中数学选修一单元测评(三)数系的扩充与复数的引入.docx
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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作单元测评(三)数系的扩充与复数的引入(时间:90分钟 满分:120分) 第Ⅰ卷(选择题,共50分)一、选择题:本大题共10小题,共50分.1.“a =0”是“复数z =a +b i(a ,b ∈R )为纯虚数”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:复数z =a +b i(a ,b ∈R )为纯虚数的充要条件是a =0且b ≠0. 答案:B2.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1-i 22=a +b i(a ,b ∈R ,i 是虚数单位),则a 2-b 2的值为( ) A .0 B .1 C .2D .-1解析:⎝ ⎛⎭⎪⎫1-i 22=1-2i +i 22=-i =a +b i. 所以a =0,b =-1,所以a 2-b 2=0-1=-1. 答案:D3.已知复数z 1=3+4i ,z 2=t +i ,且z 1·z 2是实数,则实数t 等于( ) A.34 B.43 C .-43D .-34解析:z 1·z 2=(3+4i)(t -i)=(3t +4)+(4t -3)i ,因为z 1·z 2是实数,所以4t -3=0,所以t =34.答案:A4.如图在复平面上,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i ,-2+i,0,那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )A .3+iB .3-iC .1-3iD .-1+3i解析:OC →=OA →+OB →=1+2i -2+i =-1+3i ,所以C 点对应的复数为-1+3i.答案:D5.设z ∈C ,若z 2为纯虚数,则z 在复平面上的对应点落在( ) A .实轴上B .虚轴上C .直线y =±x (x ≠0)上D .以上三项都不对解析:设z =x +y i(x ,y ∈R ),则z 2=(x +y i)2=x 2-y 2+2xy i.∵z 2为纯虚数,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2-y 2=0,xy ≠0.∴y =±x (x ≠0). 答案:C6.已知复数z =x +y i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ,y ∈R ,x ≥12,满足|z -1|=x ,那么z 在复平面上对应的点(x ,y )的轨迹是( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线解析:∵z =x +y i(x ,y ∈R ,x ≥12),满足|z -1|=x , ∴(x -1)2+y 2=x 2,故y 2=2x -1. 答案:D7.当z =-1-i2时,z 100+z 50+1的值等于( )A .1B .-1C .iD .-i解析:∵z 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-i 22=-2i2=-i. ∴z 100+z 50+1=(-i)50+(-i)25+1 =i 50-i 25+1=-i. 答案:D8.复数z 在复平面内对应的点为A ,将点A 绕坐标原点,按逆时针方向旋转π2,再向左平移一个单位,向下平移一个单位,得到B 点,此时点B 与点A 恰好关于坐标原点对称,则复数z 为( )A .-1B .1C .iD .-i解析:设z =a +b i ,B 点对应的复数为z 1,则z 1=(a +b i)i -1-i =(-b -1)+(a -1)i ,∵点B 与点A 恰好关于坐标原点对称,∴⎩⎪⎨⎪⎧ -b -1=-a ,a -1=-b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =0,∴z =1. 答案:B9.如果复数z 满足|z +i|+|z -i|=2,那么|z +1+i|的最小值是( ) A .1 B. 2 C .2D. 5解析:|z +i|+|z -i|=2,则点Z 在以(0,1)和(0,-1)为端点的线段上,|z +1+i|表示点Z 到点(-1,-1)的距离.由图知最小值为1.答案:A10.设z 1,z 2是复数,则下列结论中正确的是( )A .若z 21+z 22>0,则z 21>-z 22B .|z 1-z 2|=z 21+z 22-4z 1z 2C .z 21+z 22=0⇔z 1=z 2=0D .|z 21|=|z 1|2解析:A 错,反例:z 1=2+i ,z 2=2-i ; B 错,反例:z 1=2+i ,z 2=2-i ; C 错,反例:z 1=1,z 2=i ; D 正确,z 1=a +b i ,则|z 21|=a 2+b 2,|z 1|2=a 2+b 2,故|z 21|=|z 1|2.答案:D第Ⅱ卷(非选择题,共70分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.11.在复平面内,已知复数z =x -13i 所对应的点都在单位圆内,则实数x 的取值范围是__________.解析:∵z 对应的点Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ,-13都在单位圆内, ∴|OZ |<1,即x 2+⎝⎛⎭⎪⎫-132<1.∴x 2+19<1,∴x 2<89,∴-223<x <223. 答案:-223<x <22312.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d =ad -bc ,则对复数z =x +y i(x ,y ∈R )符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i =3+2i 的复数z 等于__________. 解析:由定义运算,得⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i =2z i -z =3+2i , 则z =3+2i -1+2i =(3+2i )(-1-2i )(-1+2i )(-1-2i )=15-85i.答案:15-85i13.设x ,y 为实数,且x 1-i +y 1-2i =51-3i ,则x +y =__________.解析:x 1-i +y 1-2i =51-3i ⇒x (1+i )(1-i )(1+i )+y (1+2i )(1+2i )(1-2i )=5(1+3i )(1-3i )(1+3i )⇒12x (1+i )+15y (1+2i)=12(1+3i)⇒⎩⎪⎨⎪⎧12x +15y =12,12x +2y 5=32,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =5,所以x +y =4. 答案:414.已知复数z 0=3+2i ,复数z 满足z ·z 0=3z +z 0,则复数z =__________. 解析:z =z 0z 0-3=3+2i 2i =3i -2-2=1-32i.答案:1-32i三、解答题:本大题共4小题,满分50分.15.(12分)已知复数z 1满足(z 1-2)i =1+i ,复数z 2的虚部为2,且z 1·z 2为实数,求z 2.解:由(z 1-2)i =1+i 得, z 1-2=1+ii =(1+i)(-i)=1-i , ∴z 1=3-i.(6分)依题意可设z 2=x +2i(x ∈R ),则z 1·z 2=(3-i)(x +2i)=3x +2+(6-x )i 为实数,∴x =6,∴z 2=6+2i.(12分)16.(12分)设z 1是方程x 2-6x +25=0的一个根. (1)求z 1;(2)设z 2=a +i(其中i 为虚数单位,a ∈R ),若z 2的共轭复数z 2满足|z 31·z 2|=1255,求z 22.解:(1)因为Δ=62-4×25=-64,所以z 1=3-4i 或z 1=3+4i.(4分) (2)由|(3±4i)3·(a -i)|=625,得125a 2+1=1255,a =±2.(8分)当a =-2时,z 22=(-2+i)2=3-4i ;(10分) 当a =2时,z 22=(2+i)2=3+4i.(12分)17.(12分)设w =-12+32i , (1)求证:1+w +w 2=0;(2)计算:(1+w -w 2)(1-w +w 2). 解:(1)证明:∵w =-12+32i , ∴w 2=(-12+32i)2=14+2(-12)(32i)+(32i)2 =14-32i -34=-12-32i.∴1+w +w 2=1-12+32i -12-32i =0. (6分)(2)由1+w +w 2=0知,(w -1)(1+w +w 2)=0, ∴w 3-1=0,∴w 3=1.∴(1+w -w 2)(1-w +w 2)=(-2w 2)(-2w ) =4w 3=4.(12分)18.(14分)设z 1,z 2∈C ,(1)求证:|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2;(2)设|z1|=3,|z2|=5,|z1+z2|=6,求|z1-z2|.解:(1)证明:设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R),则|z1+z2|2+|z1-z2|2=|(a+c)+(b+d)i|2+|(a-c)+(b-d)i|2=(a+c)2+(b+d)2+(a-c)2+(b-d)2=2a2+2c2+2b2+2d2=2(a2+b2)+2(c2+d2),又2|z1|2+2|z2|2=2(a2+b2)+2(c2+d2),故|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2.(7分)(2)∵|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2,∴62+|z1-z2|2=2×32+2×52.∴|z1-z2|2=68-36=32.∴|z1-z2|=4 2.(14分)。
2018年高中数学人教A版选修1-2第3章数系的扩充与复数的引入检测习题含解析.docx
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人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修1-2 习题第三章检测(时间 :90 分钟满分:120分)一、选择题 (本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.已知a,b∈ R ,则“a=b”是“(a-b)+ (a+b )i为纯虚数”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 (a-b)+ (a+b )i 为纯虚数的充要条件是实数a,b 满足-即a=b ,且 a≠-b,也就是 a=b ≠0.故选B.答案 B2.如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是()A. AB. BC.CD.D解析设 z=a+b i( a,b∈R),则其共轭复数为所以表示 z与的两点关于 x 轴对称 .故选 B .答案 B3.设i是虚数单位,若复数a∈ R)是纯虚数,则a的值为()-A. -3B. -1C.1D.3解析由已知 ,得 a-复数 a为纯虚数 ,∴a- 3=0,即 a= 3.--答案 D4.设z=1+ i(i是虚数单位),则等于A. -1-iB. -1+iC.1 -iD.1+ i解析∵z=1+ i,= (1-i)+ (1+ 2i-1)= 1+ i,故选 D.答案 D5.设a,b为实数,若复数则1人教 A 版 2018-2019 学年高中数学修1-2 A. aC.a解析由可得1+ 2i = (a-b )+ (a+b )i .-解得故 A .由两复数相等可以得到答案 A6. i是虚数位,复数i3A. -iB.iC.-1D.1解析原式 =- i-答案 D7.已知复数z=( a2-a-2)+ (|a-1|- 1)i(a∈ R )不是虚数,有()A. a≠0B. a≠2C.a≠0,且 a≠2D.a≠-1解析若 z 虚数 ,- -解得 a=- 1.--而已知 z 不是虚数 ,所以 a≠-1.故 D.答案 D8.已知i虚数位,a数,复数z= (1-2i)( a+ i)在复平面内的点M ,“a是点在第四象限的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 z=(1- 2i)(a+ i)=a+ 2+ (1-2a)i, 所以复数z 在复平面内的点M 的坐 (a+ 2,1-2a),所以点 M 在第四象限的充要条件是a+ 2> 0,且 1-2a< 0,解得 a故 C.答案 C9.投两枚骰子,得到其向上的点数分m 和 n,复数 (m+n i)( n-mi) 数的概率 ()A2222,所以 m=n ,可以取解析因 (m+n i)( n-mi)= 2mn+(n -m )i 数 ,所以 n =m .因骰子的点数正数1,2,⋯ ,6,共 6 种可能 .所以所求概率故 C.2答案 C10.复数z= (x-2)+y i(x,y∈ R)在复平面内对应向量的模为2,则|z+ 2|的最大值为 ()A.2B.4C.6D.8解析因为 |z|= 2,所以-即(x-2)2+y 2= 4,故点 (x,y)在以 (2,0) 为圆心 ,2 为半径的圆上,而|z+2|=|x+y i|它表示点 (x,y)与原点的距离,结合图形 (图略 )易知 |z+ 2| 的最大值为4,故选 B.答案 B二、填空题 (本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.i是虚数单位,计算-的结果为解析---- - ---答案 -i12.设复数z满足i(z+ 1)=- 3+ 2i(i为虚数单位 ),则 z的实部是.---故 z的实部为 1.解析∵i( z+1)=- 3+2i,∴ z+1-答案 113.设复数z在对应法则f的作用下和复数w ·i对应 ,即f:z→w·i,则当 w=- 1+ 2i 时 ,复数z=.解析∵f:z→ w·i,且 w=- 1+ 2i,·i=- 1+2i, 则答案 2-i14.在复平面内,若z=m2(1+ i) -m(4+ i) -6i所对应的点在第二象限,则实数 m 的取值范围是.解析∵z=m 2-4m+ (m2-m- 6)i 所对应的点在第二象限,-解得 3<m< 4.- -答案 (3,4)2有实数根 ,则纯虚数 m=.15.若关于x的方程x + (2-i) x+(2m-4)i = 0解析设 m=b i( b∈R ,且 b≠0),方程的实根为x0,则有从而有于是解得-于是 m= 4i.-答案 4i三、解答题 (本大题共 5 小题 ,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)32求实数取什么值时复数是16.(8分)已知复数z=(2+ i) m-(1) 零 ;(2) 虚数 ;(3) 纯虚数 ;(4) 复平面上第二、四象限平分线上的点对应的复数.分析先将复数z化简整理为a+b i( a,b∈R) 的代数形式 ,再根据复数的分类及其几何意义求解即可.解因为 m∈R ,所以复数222z=(2+ i) m -3m(1+ i)- 2(1-i)= (2m -3m-2)+ (m -3m+2)i .--即 m= 2时 ,z 为零 .(1)当-(2)当 m2-3m+2≠0,即 m≠2,且 m≠1 时,z 为虚数 .--即 m=时 ,z 为纯虚数 .(3)当-(4)当 2m2-3m-2=- (m2-3m+2),即 m= 0 或 m=2 时,z 是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数 .17.(8分)设复数z的共轭复数为已知(1)求复数 z及(2) 求满足 |z1-1|=|z| 的复数 z1对应的点的轨迹方程.解 (1--故z=2+ i.(2)设 z1=x+y i(x,y∈R ),则 |(x-1)+y i|故(x-1)2+y2=5.即复数 z1对应的点的轨迹方程为(x-1)2+y 2= 5.18.(9分)已知z=1+ i,a,b为实数.(1)若ω=z 2+求(2)若-求的值解(1)∵ ω=z 2+∴|ω|--(2)由条件-得即∴ (a+b )+ ( a+ 2)i=1+i,4解得19.(10分)已知复数z满足|z|的虚部为所对应的点在第一象限(1)求 z;(2)22在复平面上对应的点分别为A,B,C,求 cos∠ ABC.若 z,z,z-z解(1)设 z=x+y i( x,y∈R ).∵ |z|①又z2= (x+y i) 2=x 2-y2+ 2xyi,∴ 2xy= 2,∴ xy= 1.②-由①② 可解得或-∴z=1+i 或 z=- 1- i.又x>0,y> 0,∴ z=1+ i.222(2)z = (1+ i) = 2i, z-z = 1+ i-2i=1-i .∴ A(1,1),B(0,2),C(1,-1),∴ cos∠ ABC20.(10分)已知复数z1= cosα+ isinα,z2= cosβ-isinβ,且z1求复数分析解答本题的关键是利用复数相等的充要条件先将复数问题实数化,再结合三角函数的知识求解.解由 z1得 cos α+ isin α-∴ cos α+ isin α+cos β+ isin β即 (cos α+ cos β)+ i(sin α+ sin β)5∴ cos2α+ sin2α--整理,得cosβ= 1β,①将①代入 sin 2β+ cos2β= 1,可解得 sin β= 0 或 sin β当sin β= 0 时 ,cos β= 1,cos α=当 sin β时,cosβ=α= 1,sinα= 0.∴ z1=或 z12= 1,z =6。
人教A版选修2-2数学:第三章《数系的扩充与复数的引入》综合测试2(新人教A版选修2—2).docx
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高中新课标数学选修(2-2)第三章测试题一、选择题1.0a =是复数()z a bi a b =+∈R ,为纯虚数的( )A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件D.既不是充分也不必要条件 答案:B2.若12z i =+,23()z ai a =+∈R ,12z z +的和所对应的点在实轴上,则a 为( ) A.3 B.2C.1D.1-答案:D3.复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上,则( ) A.2a ≠或1a ≠ B.2a ≠且1a ≠ C.0a = D.2a =或0a =答案:D4.设1z ,2z 为复数,则下列四个结论中正确的是( )A.若22120z z +>,则2212z z >-B.12z z -C.22121200z z z z +=⇔== D.11z z -是纯虚数或零 答案:D5.设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+,t ∈R ,则下列命题中正确的是( ) A.z 的对应点Z 在第一象限B.z 的对应点Z 在第四象限 C.z 不是纯虚数 D.z 是虚数 答案:D6.若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根,则方程的另一个根为( ) A.1i - B.1i -+ C.1i -- D.i 答案:A7.已知复数1cos z i θ=-,2sin z i θ=+,则12z z ·的最大值为( )A.32 D.3答案:A 8.已知m ∈R ,若6()64m mi i +=-,则m 等于( )A.2-B.C.D.4答案:B9.在复平面内,复数12ω=-+对应的向量为OA u u u r ,复数2ω对应的向量为OB u u u r .那么向量AB u u u r对应的复数是( )A.1 B.1- D.答案:D10.在下列命题中,正确命题的个数为( ) ①两个复数不能比较大小;②123z z z ∈C ,,,若221221()()0z z z z -+-=,则13z z =; ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数,则实数1x =±; ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ;⑤若a b ,是两个相等的实数,则()()a b a b i -++是纯虚数; ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =.A.0 B.1 C.2 D.3 答案:B11.复数()a bi a b +∈R ,等于它共轭复数的倒数的充要条件是( ) A.2()1a b += B.221a b += C.221a b -= D.2()1a b -=答案:B12.复数z 满足条件:21z z i +=-,那么z 对应的点的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 答案:A 二、填空题13.若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限,则θ为第 象限角. 答案:一14.复数z i =与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为 . 答案:60°15.已知2z i =-,则32452z z z -++= . 答案:2 16.定义运算a b ad bc c c =-,则符合条件2132i z zi-=+的复数z = . 答案:7455i -三、解答题17.已知复数(2)()x yi x y -+∈R ,的模为3,求yx的最大值. 解:23x yi -+=∵,22(2)3x y -+=∴,故()x y ,在以(20)C ,为圆心,3为半径的圆上,yx表示圆上的点()x y ,与原点连线的斜率. 如图,由平面几何知识,易知yx的最大值为3. 18.已知1z i a b =+,,为实数. (1)若234z z ω=+-,求ω;(2)若2211z az bi z z ++=--+,求a ,b 的值.解:(1)2(1)3(1)41i i i ω=++--=--, 2ω=∴;(2)由条件,得()(2)1a b a ii i+++=-,()(2)1a b a i i +++=+∴,121a b a +=⎧⎨+=⎩,,∴解得12a b =-⎧⎨=⎩,.19.已知2211z x x i =++,22()z x a i =+,对于任意x ∈R ,均有12z z >成立,试求实数a 的取值范围. 解:12z z >∵, 42221()x x x a ++>+∴,22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立.当120a -=,即12a =时,不等式成立; 当120a -≠时,21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩, 综上,112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦,. 20.已知()z i z ω=+∈C ,22z z -+是纯虚数,又221116ωω++-=,求ω. 解:设()z a bi a b =+∈R ,2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bia b +-+=++. 22z z -+∵为纯虚数, 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩,.∴222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++ 222()44a b b =+++844b =++ 124b =+.12416b +=∴.1b =∴.把1b =代入224a b +=,解得a =.z i =∴.2i ω=∴.21.复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =,z 对应的点在第一象限内,若复数0z z ,,对应的点是正三角形的三个顶点,求实数a ,b 的值.解:2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···,由4z =,得224a b +=. ①∵复数0,z ,z 对应的点是正三角形的三个顶点,z z z =-∴,把22z a bi =--代入化简,得1b =. ② 又Z ∵点在第一象限内,0a <∴,0b <.由①②,得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩.故所求a =1b =-.22.设z 是虚数1z z ω=+是实数,且12ω-<<.(1)求z 的值及z 的实部的取值范围.(2)设11zzμ-=+,求证:μ为纯虚数; (3)求2ωμ-的最小值.(1)解:设0z a bi a b b =+∈≠R ,,,, 则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.因为ω是实数,0b ≠,所以221a b +=,即1z =.于是2a ω=,即122a -<<,112a -<<.所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭,;(2)证明:2222111211(1)1z a bi a b bi bi z a bi a b a μ------====-++++++.因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,,0b ≠,所以μ为纯虚数;(3)解:22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,,所以10a +>,故223ωμ-·≥431-=. 当111a a +=+,即0a =时,2ωμ-取得最小值1. 高中新课标数学选修(2-2)第三章测试题一、选择题1.实数x ,y 满足(1)(1)2i x i y ++-=,则xy 的值是( ) A.1 B.2C.2-D.1-答案:A2.复数cos z i θ=,[)02πθ∈,的几何表示是( ) A.虚轴B.虚轴除去原点C.线段PQ ,点P ,Q 的坐标分别为(01)(01)-,,, D.(C)中线段PQ ,但应除去原点 答案:C3.z ∈C ,若{}22(1)1M z z z =-=-|,则( )A.{}M =实数B.{}M =虚数C.{}{}M实数复数苘D.{}M ϕ=答案:A4.已知复数1z a bi =+,21()z ai a b =-+∈R ,,若12z z <,则( ) A.1b <-或1b > B.11b -<< C.1b > D.0b >答案:B5.已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是( ) A.1个圆 B.线段C.2个点D.2个圆答案:A6.设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·,则12i -+的原象为( ) A.2i - B.2i + C.2i -+ D.13i +-答案:A7.设A ,B 为锐角三角形的两个内角,则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B8.已知()22f z i z z i +=++,则(32)f i +=( ) A.9i B.93i +C.9i -D.93i --答案:B 9.复数2()12miA Bi m AB i-=+∈+R ,,,且0A B +=,则m =( )B.23 C.23-D.2答案:C10.(32)(1)i i +-+表示( ) A.点(32),与点(11),之间的距离 B.点(32),与点(11)--,之间的距离 C.点(32),与原点的距离 D.点(31),与点(21),之间的距离 答案:A11.已知z ∈C ,21z -=,则25z i ++的最大值和最小值分别是( )11 B.3和1C.和3答案:A12.已知1z ,2z ∈C ,12z z +=1z =2z =12z z -=( )A.1 B.12C.2答案:D 二、填空题13.若()1()f z z z =-∈C ,已知123z i =+,25z i =-,则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.答案:19172626i - 14.“复数z ∈R ”是“11z z=”的 . 答案:必要条件,但不是充分条件 15.A ,B 分别是复数1z ,2z 在复平面上对应的两点,O 为原点,若1212z z z z +=-,则AOB △为 . 答案:直角16.若n 是整数,则6(1)(1)nn i i -+-=· . 答案:8±或8i ±三、解答题17.已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上,1z +=z . 解:设()z a bi a b =+∈R ,,则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+, 由题意得4120ba b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩,,①又由1z +=22(1)2a b ++=, ② 由①,②解得21a b =-⎧⎨=⎩,,2z i =-+∴.18.实数m 为何值时,复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭.(1)为实数; (2)为虚数; (3)为纯虚数;(4)对应点在第二象限.解:226(815)5m m z m m i m +-=++++.(1)z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠,解得3m =-; (2)z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩,,解得3m ≠-且5m ≠-;(3)z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩,,解得2m =;(4)z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩,,解得5m <-或32m -<<.19.设O 为坐标原点,已知向量1OZ u u u u r ,2OZ u u u u r分别对应复数12z z ,,且213(10)5z a i a =+-+,22(25)1z a i a=+--,a ∈R .若12z z +可以与任意实数比较大小,求1OZ u u u u r ,2OZ u u u u r 的值.解:213(10)5z a i a =--+,则31232[(10)(25)]51z z a a i a a+=++-+-+-的虚部为0, 22150a a +-=∴.解得5a =-或3a =. 又50a +≠∵,3a =∴.则138z i =+,21z i =-+,1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ,,2(11)OZ =-u u u u r ,. 1258OZ OZ =u u u u r u u u u r ∴·.20.已知z 是复数,2z i +与2zi-均为实数,且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限,求实数a 的取值范围.解:设()z x yi x y =+∈R ,,2(2)z i x y i +=++为实数,2y =-∴.211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数, 4x =∴,则42z i =-.22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限, 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩,,∴解得26a <<. 21.已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b . (1)求实数a ,b 的值;(2)若复数z 满足2z a bi z --=,求z 为何值时,z 有最小值并求出最小值. 解:(1)将b 代入题设方程,整理得2(69)()0b b a b i -++-=, 则2690b b -+=且0a b -=,解得3a b ==;(2)设()z x yi x y =+∈R ,,则2222(3)(3)4()x y x y -++=+, 即22(1)(1)8x y ++-=.∴点Z 在以(11)-,为圆心,22为半径的圆上, 画图可知,1z i =-时,min 2z =.。
最新人教A版高中数学选修1-2 第三章 数系的扩充与复数的引入 测试卷
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选修1-2 第三章 数系的扩充与复数的引入 测试卷(时间:90分钟 满分:150分)一、选择题(共12小题,满分60分,每小题5分)1.i 是虚数单位,复数7-i 3+i=( ) A .2+i B .2-iC .-2+iD .-2-i解析:7-i 3+i=(7-i )(3-i )10=20-10i 10=2-i.故选B. 答案:B2.已知复数z =-i 3(-1+2i )2(i 为虚数单位),则z 在复平面内所对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析:因为z =i -3-4i =i (-3+4i )(-3-4i )(-3+4i )=-4-3i 25=-425-325i ,所以z 在复平面内所对应的点在第三象限,故选C.答案:C3.若复数z 满足(z -3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z -为( )A .2+iB .2-iC .5+iD .5-i解析:因为(z -3)(2-i)=5,所以z -3=52-i =5(2+i )(2-i )(2+i )=2+i , 所以z =5+i ,所以z -=5-i.故选D.答案:D4.设复数z =-1-i(i 为虚数单位),z 的共轭复数是z -,则2-z -z等于( ) A .-1-2i B .-2+iC .-1+2iD .1+2i解析:由题意可得2-z -z =2-(-1+i )-1-i=(3-i )(-1+i )(-1-i )(-1+i )=-1+2i ,故选C. 答案:C5.|(3+2i)-(4-i)|等于( ) A.58 B.10C .2D .-1+3i解析:3+2i -(4-i)=-1+3i ,|-1+3i|=10.答案:B6.已知复数z 1=2+a i(a ∈R ),z 2=1-2i ,若z 1z 2为纯虚数,则|z 1|=( ) A. 2 B. 3C .2 D. 5解析:由于z 1z 2=2+a i 1-2i =(2+a i )(1+2i )(1-2i )(1+2i )=2-2a +(4+a )i 5为纯虚数,则a =1, 则|z 1|=5,故选D.答案:D7.已知i 为虚数单位,复数z 1=a +2i ,z 2=2-i ,且|z 1|=|z 2|,则实数a 的值为( )A .1B .-1C .1或-1D .±1或0解析:因为复数z 1=a +2i ,z 2=2-i ,且|z 1|=|z 2|,所以a 2+4=4+1,解得a =±1,故选C.答案:C8.已知复数z =-12+32i ,则z -+|z |=( ) A .-12-32i B .-12+32i C.12+32i D.12-32i 解析:因为z =-12+32i , 所以z -+|z |=-12-32i +⎝⎛⎭⎫-122+322=12-32i.故选D. 答案:D9.设z =(2t 2+5t -3)+(t 2+2t +2)i ,t ∈R ,则以下结论正确的是( )A .z 对应的点在第一象限B .z 一定不为纯虚数C.z -对应的点在实轴的下方D .z 一定为实数解析:∵t 2+2t +2=(t +1)2+1>0,∴z 对应的点在实轴的上方.又∵z 与z -对应的点关于实轴对称. ∴C 项正确.故选C.答案:C10.复数2+i 与复数13+i 在复平面上的对应点分别是A ,B ,若O 为坐标原点,则∠AOB 等于( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析:∵13+i =3-i (3+i )(3-i )=310-i 10, ∴它在复平面上的对应点为B ⎝⎛⎭⎫310,-110, 而复数2+i 在复平面上的对应点是A (2,1),显然AO =5,BO =1010,AB =41010. 由余弦定理得 cos ∠AOB =AO 2+BO 2-AB 22AO ·BO =22, ∴∠AOB =π4.故选B.答案:B11.已知z -是复数z 的共轭复数,z +z -+z ·z -=0,则复数z 在复平面内对应的点的轨迹是( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线解析:设z =x +y i(x ,y ∈R ),则z -=x -y i ,代入z +z -+z ·z -=0,得x +y i +x -y i +x 2+y 2=0,即x 2+y 2+2x =0,整理得(x +1)2+y 2=1.∴复数z 在复平面内对应的点的轨迹是圆.故选A.答案:A12.已知复数z =(x -2)+y i(x ,y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3,则y x 的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析:因为|(x -2)+y i|=3,所以(x -2)2+y 2=3,所以点(x ,y )在以C (2,0)为圆心,以3为半径的圆上,如图,由平面几何知识-3≤y x≤ 3.故选D. 答案:D二、填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)13.若a 是复数z 1=1+i 2-i的实部,b 是复数z 2=(1-i)3的虚部,则ab =________. 解析:∵z 1=1+i 2-i=(1+i )(2+i )5=15+35i ,∴a =15,∵z 2=(1-i)3=-2-2i ,∴b =-2,∴ab =-25. 答案:-2514.i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a +i)是纯虚数,则实数a 的值为________.解析:由(1-2i)(a +i)=(a +2)+(1-2a )i 是纯虚数可得a +2=0,1-2a ≠0,解得a =-2. 答案:-215.设复数a +b i(a ,b ∈R )的模为3,则(a +b i)(a -b i)=________.解析:∵|a +b i|=a 2+b 2=3,∴(a +b i)(a -b i)=a 2+b 2=3.答案:316.若复数z =(m 2-4m )+(m 2-6m +9)i(m ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限,其中i 为虚数单位,则实数m 的取值范围为________.解析:由题可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m 2-4m ,m 2-6m +9),因为点(m 2-3m ,m 2-6m +9)位于第二象限,所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2-4m <0m 2-6m +9>0,解得0<m <3或3<m <4,故实数m 的取值范围为(0,3)∪(3,4).答案:(0,3)∪(3,4)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知复数z 1=2-3i ,z 2=15-5i (2+i )2, 求:(1)z 1z 2;(2)z 1z 2. 解析:因为z 2=15-5i (2+i )2=15-5i 3+4i =(15-5i )(3-4i )(3+4i )(3-4i )=25-75i 25=1-3i , 所以(1)z 1z 2=(2-3i)(1-3i)=-7-9i.(2)z 1z 2=2-3i 1-3i =(2-3i )(1+3i )(1-3i )(1+3i )=11+3i 10=1110+310i. 18.(12分)设z =a +b i ,a ,b ∈R ,b ≠0,若ω=z +1z是实数,且-1<ω<2. (1)求z 的实部的取值范围;(2)设u =1-z 1+z,求证:u 为纯虚数. 解析:(1)因为z =a +b i ,a ,b ∈R ,b ≠0,所以ω=a +b i +1a +b i =⎝⎛⎭⎫a +a a 2+b 2+⎝⎛⎭⎫b -b a 2+b 2i. 因为ω是实数,所以b -b a 2+b 2=0,即a 2+b 2=1. 又-1<ω<2,所以-1<a +a a 2+b 2<2,即-1<2a <2,解得-12<a <1, 所以z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫-12,1. (2)由题意及(1)可得u =1-z 1+z =1-a -b i 1+a +b i =(1-a -b i )(1+a -b i )(1+a +b i )(1+a -b i )=1-a 2-b 2-2b i (1+a )2+b 2=-b a +1i ,因为a ∈⎝⎛⎭⎫-12,1,a ,b ∈R ,b ≠0,所以u 为纯虚数. 19.(12分)已知复数z 满足(1+2i)z -=4+3i.(1)求复数z ;(2)若复数(z +a i)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a 的取值范围.解析:(1)∵(1+2i)z -=4+3i ,∴z -=4+3i 1+2i =(4+3i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=10-5i 5=2-i , ∴z =2+i.(2)由(1)知z =2+i ,则(z +a i)2=(2+i +a i)2=[2+(a +1)i]2=4-(a +1)2+4(a +1)i , ∵复数(z +a i)2在复平面内对应的点在第一象限,∴⎩⎪⎨⎪⎧4-(a +1)2>0,4(a +1)>0,解得-1<a <1, 即实数a 的取值范围为(-1,1).20.(12分)已知复数z 1满足(1+i)z 1=-1+5i ,z 2=a -2-i ,其中i 为虚数单位,a ∈R ,若|z 1-z -2|<|z 1|,求a 的取值范围.解析:因为z 1=-1+5i 1+i=2+3i ,z 2=a -2-i ,z -2=a -2+i , 所以|z 1-z -2|=|(2+3i)-(a -2+i)|=|4-a +2i|=(4-a )2+4, 又因为|z 1|=13,|z 1-z -2|<|z 1|,所以(4-a )2+4<13,所以a 2-8a +7<0,解得1<a <7.所以a 的取值范围是(1,7).21.(12分)设z -为复数z 的共轭复数,满足|z -z -|=2 3.(1)若z 为纯虚数,求z .(2)若z -z -2为实数,求|z |.解析:(1)设z =b i(b ∈R 且b ≠0),则z -=-b i ,因为|z -z -|=23,则|2b i|=23,即|b |=3,所以b =±3,所以z =±3i.(2)设z =a +b i(a ,b ∈R ),则z -=a -b i ,因为|z -z -|=23,则|2b i|=23,即|b |=3,因为z -z -2=a +b i -(a -b i)2=a -a 2+b 2+(b +2ab )i.z -z -2为实数,所以b +2ab =0.因为|b |=3,所以a =-12, 所以|z |=⎝⎛⎭⎫-122+(±3)2=132. 22.(12分)已知复数z 满足|z |=2,z 2的虚部是2.(1)求复数z ;(2)设z ,z 2,z -z 2在复平面上的对应点分别为A ,B ,C ,求△ABC 的面积. 解析:(1)设z =a +b i(a ,b ∈R ),则z 2=a 2-b 2+2ab i ,由题意得a 2+b 2=2且2ab =2,解得a =b =1或a =b =-1,所以z =1+i 或z =-1-i.(2)当z =1+i 时,z 2=2i ,z -z 2=1-i ,所以A (1,1),B (0,2),C (1,-1),所以S △ABC =1.当z =-1-i 时,z 2=2i ,z -z 2=-1-3i ,所以A (-1,-1),B (0,2),C (-1,-3),所以S △ABC =1.。
2018年秋高中数学 章末综合测评3 数系的扩充与复数的引入 新人教A版选修1-2
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章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知z =11-20i ,则1-2i -z 等于( ) A .z -1 B .z +1 C .-10+18iD .10-18iC [1-2i -z =1-2i -(11-20i)=-10+18i.] 2.3+i 1+i=( ) 【导学号:48662171】A .1+2iB .1-2iC .2+iD .2-iD [3+i 1+i =3+i 1-i 1+i1-i =3-3i +i +12=2-i. 故选D.]3.若复数z 满足z1-i=i ,其中i 为虚数单位,则z =( ) A .1-i B .1+i C .-1-iD .-1+iA [由已知得z =i(1-i)=i +1,则z =1-i ,故选A.]4.若复数z 满足i z =2+4i ,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )【导学号:48662172】A .(2,4)B .(2,-4)C .(4,-2)D .(4,2)C [z =2+4ii =4-2i 对应的点的坐标是(4,-2),故选C.]5.若a 为实数,且(2+a i)(a -2i)=-4i ,则a =( ) A .-1 B .0 C .1D .2B [∵(2+a i)(a -2i)=-4i ,∴4a +(a 2-4)i =-4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a =0,a 2-4=-4.解得a =0.故选B.]6.z 1=(m 2+m +1)+(m 2+m -4)i ,m ∈R ,z 2=3-2i ,则“m =1”是“z 1=z 2”的( )【导学号:48662173】A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件A [因为z 1=z 2,所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2+m +1=3m 2+m -4=-2,解得m =1或m =-2,所以m =1是z 1=z 2的充分不必要条件.]7.设z 的共轭复数是z ,若z +z =4,z ·z =8,则zz等于( )A .iB .-iC .±1D .±iD [设z =x +y i(x ,y ∈R ),则z =x -y i ,由z +z =4,z ·z =8得,⎩⎪⎨⎪⎧x +y i +x -y i =4,x +y i ·x -y i =8,⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =2,x 2+y 2=8,⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =±2.所以zz =x -y i x +y i =x 2-y 2-2xy ix 2+y 2=±i.]8.如图1所示在复平面上,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i ,-2+i,0,那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )【导学号:48662174】图1A .3+iB .3-iC .1-3iD .-1+3iD [OC →=OA →+OB →=1+2i -2+i =-1+3i ,所以C 对应的复数为-1+3i.] 9.若复数2-b i1+2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数,则b =( )A . 2B .23C .-23D .2C [因为2-b i1+2i=2-b i1-2i5=2-2b 5-4+b 5i ,又复数2-b i 1+2i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数,所以2-2b 5=4+b 5,即b =-23.]10.设z ∈C ,若z 2为纯虚数,则z 在复平面上的对应点落在( )【导学号:48662175】A .实轴上B .虚轴上C .直线y =±x (x ≠0)上D .以上都不对C [设z =x +y i(x ,y ∈R ),则z 2=(x +y i)2=x 2-y 2+2xy i.∵z 2为纯虚数,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2-y 2=0,xy ≠0.∴y =±x (x ≠0).]11.已知0<a <2,复数z 的实部为a ,虚部为1,则|z |的取值范围是( ) A .(1,5) B .(1,3) C .(1,5)D .(1,3)C [由已知,得|z |=a 2+1. 由0<a <2,得0<a 2<4,∴1<a 2+1<5. ∴|z |=a 2+1∈(1,5).故选C.]12.设z 1,z 2是复数,则下列结论中正确的是( )【导学号:48662176】A .若z 21+z 22>0,则z 21>-z 22 B .|z 1-z 2|=z 21+z 22-4z 1z 2 C .z 21+z 22=0⇔z 1=z 2=0 D .|z 21|=|z 1|2D [A 错,反例:z 1=2+i ,z 2=2-i ;B 错,反例:z 1=2+i ,z 2=2-i ;C 错,反例:z 1=1,z 2=i ;D 正确,z 1=a +b i ,则|z 21|=a 2+b 2,|z 1|2=a 2+b 2,故|z 21|=|z 1|2.]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.已知复数z =(5+2i)2(i 为虚数单位),则z 的实部为________. 21 [复数z =(5+2i)2=21+20i ,其实部是21.] 14.a 为正实数,i 为虚数单位,⎪⎪⎪⎪⎪⎪a +i i =2,则a =________.【导学号:48662177】3 [a +ii=a +i ·-ii·-i=1-a i ,则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a +i i =|1-a i|=a 2+1=2,所以a 2=3.又a 为正实数,所以a = 3.]15.设a ,b ∈R ,a +b i =11-7i1-2i (i 为虚数单位),则a +b 的值为________.8 [a +b i =11-7i1-2i=11-7i 1+2i 1-2i1+2i =25+15i5=5+3i ,依据复数相等的充要条件可得a =5,b =3.从而a +b =8.]16.已知i 为虚数单位,复数z 1=3-a i ,z 2=1+2i ,若z 1z 2在复平面内对应的点在第四象限,则实数a 的取值范围为________.【导学号:48662178】⎝ ⎛⎭⎪⎫-6,32 [z 1z 2=3-a i 1+2i=3-a i 1-2i 1+2i 1-2i =3-2a 5-6+a 5i ,因为z 1z 2在复平面内对应的点在第四象限,所以⎩⎪⎨⎪⎧3-2a >0,6+a >0⇒-6<a <32.]三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)设复数z =lg(m 2-2m -2)+(m 2+3m +2)i ,当m 为何值时, (1)z 是实数? (2)z 是纯虚数? [解] (1)要使复数z为实数,需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2-2m -2>0m 2+3m +2=0,解得m =-2或-1.即当m =-2或-1时,z 是实数.(2)要使复数z 为纯虚数,需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2-2m -2=1m 2+3m +2≠0,解得m =3.即当m =3时,z 是纯虚数.18.(本小题满分12分)已知复数z 1=1-i ,z 1·z 2+z 1=2+2i ,求复数z 2.【导学号:48662179】[解] 因为z 1=1-i ,所以z 1=1+i ,所以z 1·z 2=2+2i -z 1=2+2i -(1+i)=1+i. 设z 2=a +b i(a ,b ∈R ),由z 1·z 2=1+i ,得(1-i)(a +b i)=1+i , 所以(a +b )+(b -a )i =1+i ,所以⎩⎪⎨⎪⎧a +b =1b -a =1,解得a =0,b =1,所以z 2=i.19.(本小题满分12分)计算:(1)2+2i 41-3i5;(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i. [解] (1)原式=161+i41-3i 41-3i=162i2-2-23i 21-3i =-6441+3i21-3i=-161+3i×4=-41+3i=-1+3i.(2)原式=(3+11i)(3-4i)+2i =53+21i +2i =53+23i.20.(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |=1,且(3+4i)z 是纯虚数,求z 的共轭复数z .【导学号:48662180】[解] 设z =a +b i(a ,b ∈R ),则z =a -b i 且|z |=a 2+b 2=1,即a 2+b 2=1.① 因为(3+4i)z =(3+4i)(a +b i)=(3a -4b )+(3b +4a )i ,而(3+4i)z 是纯虚数, 所以3a -4b =0,且3b +4a ≠0.② 由①②联立,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =45,b =35,或⎩⎪⎨⎪⎧a =-45,b =-35.所以z =45-35i ,或z =-45+35i.21.(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |=2,z 2的虚部是2. (1)求复数z ;(2)设z ,z 2,z -z 2在复平面上的对应点分别为A ,B ,C ,求△ABC 的面积. [解] (1)设z =a +b i(a ,b ∈R ),则z 2=a 2-b 2+2ab i , 由题意得a 2+b 2=2且2ab =2, 解得a =b =1或a =b =-1, 所以z =1+i 或z =-1-i.(2)当z =1+i 时,z 2=2i ,z -z 2=1-i ,所以A (1,1),B (0,2),C (1,-1),所以S △ABC =1. 当z =-1-i 时,z 2=2i ,z -z 2=-1-3i ,所以A (-1,-1),B (0,2),C (-1,-3),所以S △ABC =1. 22.(本小题满分12分)已知z 为虚数,z +9z -2为实数. (1)若z -2为纯虚数,求虚数z . (2)求|z -4|的取值范围.【导学号:48662181】[解] (1)设z =x +y i(x ,y ∈R ,y ≠0),则z -2=x -2+y i ,由z -2为纯虚数得x =2,所以z =2+y i ,则z +9z -2=2+y i +9y i=2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y -9y i∈R ,得y -9y=0,y =±3,所以z =2+3i 或z =2-3i.(2)因为z +9z -2=x +y i +9x +y i -2=x +9x -2x -22+y 2+⎣⎢⎡⎦⎥⎤y -9y x -22+y 2i∈R ,所以y -9yx -22+y 2=0,, 所以|z -4|=|x +y i -4|=x -42+y 2=x -42+9-x -22=21-4x ∈(1,5).。
高中数学(人教A版)选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入测试题(含详解)
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A.0
B.2
C.- 2i
D.2i
解析
32+-23ii-
3-2i 2+3i
i 2-3i i 2+3i = 2-3i + 2+3i
= i+i=2i.
答案 D
ab
1 -1
10.定义运算 c d =ad- bc,则符合条件 z zi = 4+2i 的
复数 z 为( )
A .3-i
B.1+3i
C. 3+i
D.1-3i
1 -1
解析 依题意知,
= zi + z= 4+ 2i,
z zi
∴ z(1+i) =4+ 2i.
4+2i ∴ z= 1+i =(2+i)(1-i)=3-i.
答案 A 11.复数 z=a+bi( a,b∈R)是方程 z2=- 3+4i 的一个根,则 z
等于 ( )
A .1±2i
B.- 1±2i
C.1+2i,或- 1-2i
B.z2= x2+y2
C.|z- z |≥2x
D.|z|≤ |x|+ |y|
解析 ∵z=x+yi ,(x,y∈R),
则 z =x-yi,∴ z- z =2yi,
∴ |z- z |=|2y|≥2y,故 A、C 错. 又 z2= x2- y2+2xyi ≠x2+y2,故 B 错.因此,正确答案为 D. 答案 D 二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填 在题中的横线上 )
D.2+i ,或- 2-i
解析 若按复数相等的充要条件去解方程组, 计算量很大, 本题 可采用验证的方法.∵ (1+ 2i)2=1+4i+(2i) 2=- 3+4i,∴ z=1+2i
或- 1-2i.
答案 C
12.对任意复数 z=x+yi(x,y∈R),i 为虚数单位,则下列结论
高中数学人教A版选修2-2:《数系的扩充与复数的引入》单元测试题 含解析
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质量检测《数系的扩充与复数的引入》(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.i是虚数单位,复数7-i3+i=()A.2+i B.2-iC.-2+i D.-2-i2.(全国卷Ⅱ)若a为实数,且(2+a i)(a-2i)=-4i,则a=() A.-1 B.0C.1 D.23.若复数z满足z1-i=i,其中i是虚数单位,则z=()A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i4.设i是虚数单位,则复数2i1-i在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.已知(1-i)2z=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i6.设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数是z,则2-zz等于()A.-1-2i B.-2+i C.-1+2i D.1+2i7.已知复数z=-12+32i,则z+|z|=()A.-12-32i B.-12+32iC.12+32i D.12-32i8.已知复数z满足(1-i)z=i2 016(其中i为虚数单位),则z的虚部为()A.12B.-12C.12i D.-12i9.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形10.设z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论正确的是() A.z对应的点在第一象限B.z一定不为纯虚数C.z对应的点在实轴的下方D.z一定为实数11.设z的共轭复数为z,若z+z=4,z·z=8,则zz等于()A.1 B.-iC.±1 D.±i12.已知复数z=(x-2)+y i(x,y∈R)在复平面内对应的向量的模为3,则yx的最大值是()A.32 B.33C.12 D. 3二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.把答案填在题中的横线上)13.已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为________.14.i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为________.15.设复数a+b i(a,b∈R)的模为3,则(a+b i)(a-b i)=________.16.若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根,则纯虚数m=________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(m∈R),试求m取何值时?(1)z是实数.(2)z是纯虚数.(3)z对应的点位于复平面的第一象限.18.(本小题满分12分)已知(1+2i)z=4+3i,求z及z z .19.(本小题满分12分)已知z=1+i,a,b为实数.(1)若ω=z2+3z-4,求|ω|;(2)若z2+az+bz2-z+1=1-i,求a,b的值.20.(本小题满分12分)虚数z满足|z|=1,z2+2z+1z<0,求z.21.(本小题满分12分)已知复数z满足|z|=2,z2的虚部是2.(1)求复数z;(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.22.(本小题满分12分)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.质量检测《数系的扩充与复数的引入》(参考答案)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.i 是虚数单位,复数7-i3+i=( ) A .2+i B .2-i C .-2+iD .-2-i解析:选B 7-i3+i=(7-i)(3-i)10=20-10i10=2-i.2.(全国卷Ⅱ)若a 为实数,且(2+a i)(a -2i)=-4i ,则a =( ) A .-1 B .0 C .1D .2解析:选B ∵(2+a i)(a -2i)=-4i , ∴4a +(a 2-4)i =-4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a =0,a 2-4=-4.解得a =0.故选B.3.若复数z 满足z1-i=i ,其中i 是虚数单位,则z = ( )A .1-iB .1+iC .-1-iD .-1+i解析:选Az =(1-i)i =-i 2+i =1+i ,z =1-i ,故选A.4.设i 是虚数单位,则复数2i1-i在复平面内所对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限解析:选B 2i1-i =2i(1+i)(1-i)(1+i)=2(i -1)2=-1+i ,由复数的几何意义知-1+i 在复平面内的对应点为(-1,1),该点位于第二象限,故选B.5.已知(1-i)2z =1+i(i 为虚数单位),则复数z =( ) A .1+i B .1-i C .-1+iD .-1-i解析:选D 由(1-i)2z =1+i ,得z =(1-i)21+i =-2i 1+i =-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-1-i ,故选D.6.设复数z =-1-i(i 为虚数单位),z 的共轭复数是z ,则2-z z等于( )A .-1-2iB .-2+iC .-1+2iD .1+2i 解析:选C 由题意可得2-z z=2-(-1+i)-1-i=(3-i)(-1+i)(-1-i)(-1+i)=-1+2i ,故选C.7.已知复数z =-12+32i ,则z +|z |=( ) A .-12-32i B .-12+32i C.12+32iD.12-32i解析:选D 因为z =-12+32i ,所以z +|z |=-12-32i + ⎝ ⎛⎭⎪⎫-122+322=12-32i.8.已知复数z 满足(1-i)z =i 2 016(其中i 为虚数单位),则z 的虚部为( )A.12 B .-12 C.12iD .-12i解析:选B ∵2 016=4×504,∴i 2 016=i 4=1.∴z =11-i =12+12i ,∴z =12-12i ,∴z 的虚部为-12.故选B.9.A ,B 分别是复数z 1,z 2在复平面内对应的点,O 是原点,若|z 1+z 2|=|z 1-z 2|,则三角形AOB 一定是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形解析:选B 根据复数加(减)法的几何意义,知以OA ――→,OB ――→为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB 为直角三角形.10.设z =(2t 2+5t -3)+(t 2+2t +2)i ,t ∈R ,则以下结论正确的是( ) A .z 对应的点在第一象限 B .z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D .z 一定为实数解析:选C ∵t 2+2t +2=(t +1)2+1>0,∴z 对应的点在实轴的上方.又∵z 与z 对应的点关于实轴对称.∴C 项正确.11.设z 的共轭复数为z ,若z +z =4,z ·z =8,则zz 等于( ) A .1 B .-i C .±1D .±i解析:选D 设z =a +b i(a ,b ∈R),则z =a -b i ,由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a =4,a 2+b 2=8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =±2.因此⎩⎪⎨⎪⎧z =2+2i ,z =2-2i ,或⎩⎪⎨⎪⎧z =2-2i ,z =2+2i.所以zz =2-2i 2+2i =1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i 2=-i ,或z z =2+2i 2-2i =1+i 1-i =(1+i)2(1-i)(1+i)=2i2=i ,所以z z =±i.12.已知复数z =(x -2)+y i(x ,y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3,则yx 的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析:选D 因为|(x-2)+yi|=3,所以(x-2)2+y2=3,所以点(x ,y)在以C(2,0)为圆心,以 为半径的圆上,如图,由平面几何知识-3≤yx ≤ 3.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.把答案填在题中的横线上)13.已知复数z =(5+2i)2(i 为虚数单位),则z 的实部为________. 解析:复数z =(5+2i)2=21+20i ,其实部是21. 答案:2114.i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a +i)是纯虚数,则实数a 的值为________. 解析:由(1-2i)(a +i)=(a +2)+(1-2a )i 是纯虚数可得a +2=0,1-2a ≠0,解得a =-2.答案:-215.设复数a +b i(a ,b ∈R)的模为3,则(a +b i)(a -b i)=________. 解析:∵|a +b i|=a 2+b 2=3,∴(a +b i)(a -b i)=a 2+b 2=3. 答案:316.若关于x 的方程x 2+(2-i)x +(2m -4)i =0有实数根,则纯虚数m =________.解析:设m =b i(b ∈R 且b ≠0),则x 2+(2-i)x +(2b i -4)i =0,化简得(x 2+2x -2b )+(-x -4)i =0,即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+2x -2b =0,-x -4=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-4,b =4,∴m =4i.答案:4i三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设复数z =lg(m 2-2m -2)+(m 2+3m +2)i(m ∈R),试求m 取何值时?(1)z 是实数. (2)z 是纯虚数.(3)z 对应的点位于复平面的第一象限.解:(1)由m 2+3m +2=0且m 2-2m -2>0,解得m =-1或m =-2,复数表示实数.(2)当实部等于零且虚部不等于零时,复数表示纯虚数. 由lg(m 2-2m -2)=0,且m 2+3m +2≠0, 求得m =3,故当m =3时,复数z 为纯虚数.(3)由lg(m 2-2m -2)>0,且m 2+3m +2>0,解得m <-2或m >3,故当m <-2或m >3时,复数z 对应的点位于复平面的第一象限.18.(本小题满分12分)已知(1+2i)z =4+3i ,求z 及z z .解:设z =a +b i(a ,b ∈R),则z =a -b i.∴(1+2i) (a -b i)=4+3i , ∴(a +2b )+(2a -b )i =4+3i. 由复数相等,解得⎩⎪⎨⎪⎧a +2b =4,2a -b =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =1.∴z =2+i.∴zz =z ·zz ·z =z 2|z |2=4-1+4i 5=35+45i.19.(本小题满分12分)已知z =1+i ,a ,b 为实数. (1)若ω=z 2+3z -4,求|ω|; (2)若z 2+az +bz 2-z +1=1-i ,求a ,b 的值.解:(1)ω=(1+i)2+3(1-i)-4=-1-i , 所以|ω|= 2.(2)由条件,得(a +b )+(a +2)ii =1-i ,所以(a +b )+(a +2)i =1+i , 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a +b =1,a +2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =2.20.(本小题满分12分)虚数z 满足|z |=1,z 2+2z +1z <0,求z . 解:设z =x +y i(x ,y ∈R ,y ≠0),∴x 2+y 2=1. 则z 2+2z +1z =(x +y i)2+2(x +y i)+1x +y i=(x 2-y 2+3x )+y (2x +1)i.∵y ≠0,z 2+2z +1z <0,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x +1=0, ①x 2-y 2+3x <0, ②又x 2+y 2=1. ③由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧ x =-12,y =±32.∴z =-12±32i.21.(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |=2,z 2的虚部是2.(1)求复数z ;(2)设z ,z 2,z -z 2在复平面上的对应点分别为A ,B ,C ,求△ABC 的面积. 解:(1)设z =a +b i(a ,b ∈R),则z 2=a 2-b 2+2ab i ,由题意得a 2+b 2=2且2ab =2,解得a =b =1或a =b =-1,所以z =1+i 或z =-1-i.(2)当z =1+i 时,z 2=2i ,z -z 2=1-i ,所以A (1,1),B (0,2),C (1,-1),所以S △ABC =1.当z =-1-i 时,z 2=2i ,z -z 2=-1-3i ,所以A (-1,-1),B (0,2),C (-1,-3),所以S △ABC =1.22.(本小题满分12分)已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数z 2的虚部为2,且z 1·z 2是实数,求z 2.解:∵(z 1-2)(1+i)=1-i ,∴z 1-2=1-i 1+i =(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i 2=-i , ∴z 1=2-i.设z 2=a +2i(a ∈R), 则z 1·z 2=(2-i)(a +2i)=(2a +2)+(4-a )i. 又∵z 1·z 2∈R ,∴a =4.∴z 2=4+2i.。
高中数学新人教A版选修1_2数系的扩充与复数的引入单元测试 (1)6
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第三章数系的扩充与复数的引入时间120分钟,满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复数i(3-2i)= ( C )A.2-3i B.3+2iC.2+3i D.3-2i[解析]i(3-2i)=3i-2i2=3i+2,故选C.2.已知集合M{1,2,z i},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z =( )A.-2i B.2iC.-4i D.4i解析:选C 由M∩N={4},知4∈M,故z i=4,故z=4i=4ii2=-4i.3.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:选B ∵ab=0,∴a=0或b=0.由复数a+bi=a-b i为纯虚数,得a=0且b≠0.∴“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数”的必要不充分条件.4.复数z1=3+i,z2=1-i,则z=z1·z2在复平面内对应的点位于 ( D ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[解析]z=(3+i)(1-i)=4-2i,所以复数z对应的点Z(4,-2)在第四象限.5.已知复数z =1+3i1-i,则z 的实部为( ) A .1 B .2 C .-2D .-1解析:选D 因为z =1+3i 1-i =(1+3i)(1+i)(1-i)(1+i)=-2+4i2=-1+2i ,故z 的实部为-1.6.(安徽高考)设i 是虚数单位,表示复数z 的共轭复数.若z =1+i ,则zi +i·=( )A .-2B .-2iC .2D .2i解析:选C 因为z =1+i ,所以zi +i·z =-i +1+i +1=2.7.设x ∈R ,则“x =1”是“复数z =(x 2-1)+(x +1)i 为纯虚数”的 ( A )A .充分必要条件B .必要不充分条件C .充分不必要条件D .既不充分也不必要条件[解析] z 是纯虚数⇔⎩⎨⎧x 2-1=0x +1≠0⇔x =1,故选A .8.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c b d =ad +bc ,则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1z -1z i =4+2i 的复数z 为( ) A .3-i B .1+3i C .3+iD .-1-3i解析:选D 由已知得z i -z =4+2i , ∴z =4+2i -1+i =(4+2i)(-1-i)2=-1-3i.9.已知f (x )=x 2,i 是虚数单位,则在复平面中复数f (1+i)3+i对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析:选A 因为f (1+i)3+i=2i 3+i =15+35i ,所以选A.10.若复数z =lg(m 2-2m +2)+i·lg(m 2+3m -3)为实数,则实数m 的值为 ( C )A .1B .-4C .1或-4D .以上都不对[解析] 由已知,得⎩⎨⎧m 2-2m +2>0lg m 2+3m -3 =0,即⎩⎨⎧m 2-2m +2>0m 2+3m -3=1,解得m =1或-4.11.已知复数z =i +i 2+i 3+…+i 2 0131+i ,则复数z 在复平面内对应的点位于( A )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限[解析] ∵i n=⎩⎨⎧i n =4k +1,-1 n =4k +2,-i n =4k +3,1 n =4k ,k ∈Z ,∴i +i 2+i 3+…+i 2 013=503×(i+i 2+i 3+i 4)+i 2 013=503×0+i =i ,∴z =i 1+i =i 1-i 1+i 1-i =1+i 2,在复平面内的对应点(12,12)在第一象限.12.对任意复数ω1、ω2,定义ω1]2,其中ω-2是ω2的共轭复数,对任意复数z 1、z 2、z 3,有如下四个命题:①(z 1+z 2)*z 3=(z 1] ( B )A .1B .2C .3D .4[解析] ∵ω1].∴①左边=(z 1+z 2)z 3,右边=z 1z 3+z 2z 3=(z 1+z 2)z 3,左边=右边,正确.②左边=z 1(z 2+z 3)=z 1(z 2+z 3),右边=z 1z 2+z 1z 3=z 1(z 2+z 3),左边=右边,正确.③左边=(z 1z 2)z 3,右边=z 1(z 2z 3)=z 1(z 2z 3),左边≠右边,不正确. ④左边=z 1z 2,右边=z 2z 1,左边≠右边,不正确,选B .二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,将正确答案填在题中横线上)13.若i 为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z 表示复数z ,则复数z1-2i的共轭复数是________.解析:由题图知z =2+i ,则z 1-2i =2+i 1-2i =(2+i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=i , 其共轭复数是-i. 答案:-i14.在复平面内,复数1+i 与-1+3i 分别对应向量 OA 和OB ,其中O 为坐标原点,则|AB |=________.解析:由题意知A (1,1),B (-1,3),故|AB |=(-1-1)2+(3-1)2=2 2. 答案:2 215.a 为正实数,i 为虚数单位,⎪⎪⎪⎪⎪⎪a +i i =2,则a =________. 解析:a +i i =(a +i)·(-i)i·(-i)=1-a i ,则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a +i i =|1-a i|= a 2+1=2, 所以a 2=3.又因为a 为正实数,所以a = 3. 答案: 316.若复数z 满足z =|z |-3-4i ,则z = 76-4i . [解析] 设复数z =a +b i(a 、b ∈R), 则⎩⎨⎧a =a 2+b 2-3b =-4,∴⎩⎨⎧a =76b =-4.∴z =76-4i.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.实数k 为何值时,复数z =(k 2-3k -4)+(k 2-5k -6)i 满足下列条件? (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数; (4)0.解:(1)当k 2-5k -6=0, 即k =6或k =-1时,z 是实数. (2)当k 2-5k -6≠0,即k ≠6且k ≠-1时,z 是虚数. (3)当⎩⎨⎧ k 2-3k -4=0,k 2-5k -6≠0,即k =4时,z 是纯虚数.(4)当⎩⎨⎧k 2-3k -4=0,k 2-5k -6=0,即k =-1时,z 是0.18.复数z =(1+i)3(a +b i)1-i 且|z |=4,z 对应的点在第一象限内,若复数0,z ,z 对应的点是正三角形的三个顶点,求实数a ,b 的值.解:z =(1+i)2·(1+i)1-i (a +b i)=2i·i·(a +b i)=-2a -2b i ,由|z |=4,得a 2+b 2=4.①∵复数0,z ,z 对应的点是正三角形的三个顶点, ∴|z |=|z -z |,把z =-2a -2b i 代入化简,得|b |=1.② 又∵z 对应的点在第一象限内, ∴a <0,b <0.由①②,得⎩⎨⎧a =-3,b =-1.故所求a =-3,b =-1.19.已知z 1、z 2为复数,(3+i)z 1为实数,z 2=z 12+i,且|z 2|=52,求z 2.[解析] 设z 1=x +y i(x 、y ∈R), ∴(3+i)z 1=(3+i)(x +y i) =3x -y +(x +3y )i , ∴x +3y =0,∴x =-3y . ∴z 2=z 12+i=x +y i 2+i=x +y i 2-i 5=-3y +y i 2-i5=-y +y i ,∵|z 2|=52,∴|z 2|2=50, ∴(-y )2+y 2=50, ∴y =±5, 当y =5时,z 2=-5+5i ,当y =-5时,z 2=5-5i.20.已知复数z 满足|z |=2,z 2的虚部是2. (1)求复数z ;(2)设z ,z 2,z -z 2在复平面上的对应点分别为A 、B 、C ,求△ABC 的面积. [解析] (1)设z =a +b i(a 、b ∈R),则z 2=a 2-b 2+2ab i ,由题意得a 2+b 2=2且2ab =2,解得a =b =1或a =b =-1,所以z =1+i 或z =-1-i.(2)当z =1+i 时,z 2=2i ,z -z 2=1-i ,所以A (1,1)、B (0,2)、C (1,-1),所以S △ABC =1.当z =-1-i 时,z 2=2i ,z -z 2=-1-3i , 所以A (-1,-1),B (0,2),C (-1,-3),所以S △ABC =12×2×1=1.21.设z =log 2(1+m )+ilog 12(3-m )(m ∈R).(1)若z 在复平面内对应的点在第三象限,求m 的取值范围; (2)若z 在复平面内对应的点在直线x -y -1=0上,求m 的值.[解析](1)由已知,得⎩⎨⎧log 21+m <0, ①log 12 3-m <0, ②解①得-1<m <0. 解②得m <2. 故不等式组的解集为{m |-1<m <0}, 因此m 的取值范围是{m |-1<m <0}.(2)由已知得,点(log 2(1+m ),log 12(3-m ))在直线x -y -1=0上,即log 2(1+m )-log 12(3-m )-1=0,整理得log 2[(1+m )(3-m )]=1.从而(1+m )(3-m )=2,即m 2-2m -1=0,解得m =1±2,且当m =1±2时都能使1+m >0,且3-m >0. 故m =1± 2.22.已知复数z 1=i(1-i)3,(1)求|z1|;(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.[分析] (1)利用模的定义求解;(2)可以利用三角代换,也可利用几何法数形结合.[解析](1)z1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i),∴|z1|=22+ -2 2=2 2.(2)解法一:|z|=1,∴设z=cosθ+isinθ,|z-z1|=|cosθ+isinθ-2+2i|= cosθ-2 2+ sinθ+2 2=9+42sin θ-π4.当sin(θ-π4)=1时,|z-z1|取得最大值9+42,从而得到|z-z1|的最大值22+1.解法二:|z|=1可看成半径为1,圆心为(0,0)的圆,而z1对应坐标系中的点(2,-2).∴|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上的点距离最大,则|z-z1|max =22+1.。
2018秋新版高中数学人教A版选修1-2习题:第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2
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3.1.2 复数的几何意义课时过关·能力提升基础巩固1复数z=3+i2对应的点在复平面的( )A.第一象限内B.实轴上C.虚轴上D.第四象限内=3+i2=3‒1∴复数z对应的点在实轴上.故选B.2设x,y均是实数,i是虚数单位,复数(x-2y)+(5-2x-y)i的实部大于0,虚部不小于0,则复数z=x+y i在复平面上的点集用阴影表示为图中的( )3在复平面内,复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,则实数a的值为( )A.a=0或a=2B.a=0C.a≠1,且a≠2D.a≠1或a≠2复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,∴a2-2a=0.∴a=0或a=2.故选A.4在复平面内,O为原点,向量OA对应的复数为‒1+2i,若点A关于直线y=‒x的对称点为B,则向量OB对应的复数为( )A.-2-iB.-2+iC.1+2iD.-1+2i量OB对应的复数为A(-1,2)关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),∴向-2+i.5复数z与它的模相等的充要条件是( )A.z为纯虚数B.z是实数C.z是正实数D.z是非负实数z=|z|,∴z为实数,且z≥0.故选D.6复数z=-5-12i 在复平面内对应的点到原点的距离为 .|z|=(-5)2+(-12)2=13,∴复数z 在复平面内对应的点到原点的距离为13.7在复平面内,表示复数z=(m-3)+2mi 的点在直线y =x 上,则实数m 的值为 .在复平面内,z=(m-3)+y=x 上,∴m-3=m=9.2mi 表示的点在直线2m ,解之得8已知复数x 2-6x+5+(x-2)i 在复平面内的对应点在第三象限,则实数x 的取值范围是 .,1<x<2.得{x 2-6x +5<0,x -2<0,解得9在复平面内,A ,B ,C 三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i .(1)求向量AB ,AC ,BC 对应的复数;(2)判定△ABC 的形状.由复数的几何意义,知OA =(1,0),OB =(2,1),OC =(‒1,2),∴AB =OB ‒OA =(1,1),AC =OC ‒OA =(‒2,2),BC =OC ‒OB =(‒3,1),1+i,-2+2i,-3+i .∴AB ,AC ,BC 对应的复数分别为(2)∵|AB |=2,|AC |=22,|BC |=10,∴|AB |2+|AC |2=|BC |2,∴△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形.10在复平面内,已知a ∈R ,则复数z=(a 2-2a+4)-(a 2-2a+2)i 所对应的点在第几象限?复数z 所对应的点的轨迹是什么?a 2-2a+4=(a-1)2+3≥3,-(a 2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1,∴z 的实部为正数,虚部为负数,∴复数z 所对应的点在第四象限.设z=x+y i(x ,y ∈R ),则{x =a 2-2a +4,y =-(a 2-2a +2),消去a 2-2a ,得y=-x+2(x ≥3),∴复数z 对应点的轨迹是一条射线,其方程为y=-x+2(x ≥3).能力提升1设z=(2t 2+5t-3)+(t 2+2t+3)i,t ∈R ,则以下结论正确的是( )A .z 对应的点在第一象限B .z 一定不是纯虚数C .z 一定是纯虚数D .z 对应的点在实轴上方2t 2+5t-3=≥2,2(t +54)2‒498≥‒498,t 2+2t +3=(t +1)2+2∴复数z 对应的点在实轴上方.故选D .2已知平行四边形OABC ,O ,A ,C 三点对应的复数分别为0,1+2i,3-2i,则向量AB 的模|AB |等于( )A .5B .25C .4D .13OABC 是平行四边形,故AB =OC ,因D .此|AB |=|OC |=|3‒2i |=13,故选3满足条件|z-i |+|z+i |=3的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A .一条直线B .两条直线C .圆D .椭圆★4设A ,B 为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cos B-tan A )+itan B 对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限A ,B 为锐角三角形的两个内角,所以A+B >π2,即A A>cos B ,cos B-tan A=cos B B-sin A<0.>π2‒B,sin ‒sinAcosA <cos 又tan B>0,所以点(cos B-tan A ,tan B )在第二象限,故选B .5若复数z 1=3-5i,z 2=1-i,z 3=-2+a i 在复平面内所对应的点在同一条直线上,则实数a= .z 1,z 2,z 3分别对应点P 1(3,-5),P 2(1,-1),P 3(-2,a ),由已知可a=5.得-5+13-1=a +1-2-1,从而可得6在复平面内,O 是原点,已知复数z 1=-1+2i,z 2=1-i,z 3=3-2i,它们所对应的点分别是A ,B ,C ,∈R ),则x+y 的值是 .若OC =xOA +yOB (x ,y,得OA =(‒1,2),OB =(1,‒1),OC =(3,‒2),则+=x (‒1,2)+y (1,‒1)=(-x+y ,2x-y ).由OC =xOA +yOB ,可x+y=5.得{-x +y =3,2x -y =-2,解得{x =1,y =4,故7当实数m 分别取什么值时,复数z=(m 2+5m+6)+(m 2-2m-15)i(1)是实数; (2)是虚数; (3)是纯虚数; (4)对应点在实轴上方; (5)对应点在直线x+y+5=0上.由m 2-2m-15=0,得m=5或m=-3.故当m=5或m=-3时,z 为实数.(2)由m 2-2m-15≠0,得m ≠5,且m ≠-3.故当m ≠5,且m ≠-3时,z 为虚数.(3)m=-2.由{m 2-2m -15≠0,m 2+5m +6=0,得故当m=-2时,z 为纯虚数.(4)由m 2-2m-15>0,得m<-3或m>5.故当m<-3或m>5时,z 的对应点在实轴上方.(5)由(m 2+5m+6)+(m 2-2m-15)+5=0,得mm =-3-414或=-3+414.故当m m ,z 的对应点在直线x+y+5=0上.=-3-414或=-3+414时★8已知z 1=x 2∈R 均有|z 1|>|z 2|成立,试求实数a 的取值范围.+x 2+1i,z 2=(x 2+a)i 对任意的x|z 1||z 1|>|z 2|,=x 4+x 2+1,|z 2|=|x 2+a|,且x ∈R 恒成立等价于(1-2a )x 2+(1-a 2)>0恒成立.∴x 4+x 2+1>|x 2+a|对若1-2a=0,解得a=12,当a ,0·x 2.=12时+(1-14)>0恒成立若1-2a ≠0,则{1-2a >0,Δ=-4(1-2a )(1-a 2)<0,解得-1<a a ∈<12.故(-1,12).综上可得实数a 的取值范围是-1<a ≤12.。
2018届人教A版 数系的扩充与复数的引入 单元测试
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数系的扩充与复数的引入一、选择题1.(2016·唐山一中模拟)若i 为虚数单位,图中复平面内点Z 表示复数z ,则表示复数z 1+i的点是( ) A .E B .FC .GD .H解析:依题意得z =3+i ,z 1+i =3+i 1+i =(3+i )(1-i )(1+i )(1-i )=4-2i 2=2-i , 该复数对应的点的坐标是(2,-1),选D.答案:D2.设i 是虚数单位,则复数i 1-i的虚部是( ) A.i 2 B.12C .-12D .-i 2解析:i 1-i =i (1+i )(1-i )(1+i )=-12+12i ,则其虚部为12. 答案:B3.已知x ,y ∈R ,i 为虚数单位,且(x -2)i -y =-1+i ,则(1+i)x +y 的值为( )A .4B .-4C .4+4iD .2i解析:由x -2=1, y =1,得(1+i)4=(2i)2=-4.答案:B4.定义:若z 2=a +b i(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),则称复数z 是复数a +b i 的平方根.根据定义,则复数-3+4i 的平方根是( )A .1-2i 或-1+2iB .1+2i 或-1-2iC .-7-24iD .7+24i解析:设(x +y i)2=-3+4i ,则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-y 2=-3,xy =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,y =2或⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-2. 答案:B5.在复平面内,复数z =cos3+isin3(i 是虚数单位)对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析:因为π2<3<π,所以cos3<0,sin3>0,故点(cos3,sin3)在第二象限,即复数z =cos3+isin3对应的点位于第二象限.答案:B6.(2016·广州模拟)已知复数a +b i =i(1-i)(其中a ,b ∈R ,i 是虚数单位),则a +b 的值为( )A .-2B .-1C .0D .2解析:∵a +b i =i(1-i)=1+i ,∴a =1,b =1,则a +b =2. 答案:D7.已知复数z =(tan θ-3)i -1i,即“θ=π3”是“z 是纯虚数”的( )A .充要条件B .必要不充分条件C .充分不必要条件D .既不充分也不必要条件解析:当θ=π3时,z 是纯虚数;反之不成立.故“θ=π3”是“z是纯虚数”的充分不必要条件.答案:C8.若(x +i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位),则x =( )A .±1B .2C .-1D .1解析:(x +i)2=x 2-1+2x i ,因为(x +i)2是纯虚数,所以x =±1. 答案:A9.(2016·郑州模拟)设i 是虚数单位,若复数1-i 2-a i为实数,则实数a 为( )A .2B .-2C .-12 D.12解析:1-i 2-a i =(2+a )+(a -2)i 4+a 2为实数,即a =2. 答案:A10.(2016·皖北协作区联考)已知集合A ={1,2z 2,z i},B ={2,4},i 为虚数单位,若A ∩B ={2},则纯虚数z 为( )A .iB .-iC .2iD .-2i解析:∵A ∩B ={2},且z 为纯虚数,∴z i =2,∴z =-2i ,故选D.答案:D11.(2016·湖北黄冈模拟)复数z 1,z 2在复平面内分别对应点A ,B ,z 1=3+4i ,将点A 绕原点O 逆时针旋转90°得到点B ,则z 2=( )A .3-4iB .-4-3iC .-4+3iD .-3-4i解析:由题意知A (3,4),B (-4,3),即z 2=-4+3i ,z 2=-4-3i.答案:B12.设0<θ<π2,a ∈R ,⎝⎛⎭⎪⎫a +22i (1-i)=cos θ+22i ,则θ的值为( ) A.π12 B.5π12 C.π3 D.π4解析:由条件,得a +22+⎝ ⎛⎭⎪⎫22-a i =cos θ+22i ,∴⎩⎨⎧a +22=cos θ,22-a =22,解得cos θ=22. 又0<θ<π2,∴θ=π4.故选D.答案:D二、填空题 13.(2016·济南模拟)若复数z 满足z -1=cos θ+isin θ,则|z |的最大值为________.解析:∵z -1=cos θ+isin θ, ∴z =(1+cos θ)+isin θ,∴|z |=(1+cos θ)2+sin 2θ=2(1+cos θ)≤2×2=2.答案:214.(2016·青岛一模)已知复数z 满足(2-i)z =1+i ,i 为虚数单位,则复数z =________.解析:∵(2-i)z =1+i ,∴z =1+i 2-i =(1+i )(2+i )(2-i )(2+i )=1+3i 5=15+35i. 答案:15+35i15.若1+2i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c =0的一个复数根,则b =________,c =________.解析:∵实系数一元二次方程x 2+bx +c =0的一个虚根为1+2i.∴其共轭复数1-2i 也是方程的根,由根与系数的关系知,⎩⎪⎨⎪⎧(1+2i )+(1-2i )=-b ,(1+2i )(1-2i )=c , ∴b =-2,c =3.答案:-2 316.设f (n )=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i 1-i n +⎝ ⎛⎭⎪⎫1-i 1+i n (n ∈N *),则集合{f (n )}中元素的个数为________.解析:f (n )=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i 1-i n +⎝ ⎛⎭⎪⎫1-i 1+i n =i n +(-i)n , f (1)=0,f (2)=-2,f (3)=0,f (4)=2,f (5)=0,…. ∴集合中共有3个元素.答案:3。
2018年秋高中数学 章末综合测评3 数系的扩充与复数的引入 新人教A版选修1-2
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章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知z =11-20i ,则1-2i -z 等于( ) A .z -1 B .z +1 C .-10+18iD .10-18iC [1-2i -z =1-2i -(11-20i)=-10+18i.] 2.3+i 1+i=( ) 【导学号:48662171】A .1+2iB .1-2iC .2+iD .2-iD [3+i 1+i =+-+-=3-3i +i +12=2-i.故选D.]3.若复数z 满足z1-i=i ,其中i 为虚数单位,则z =( ) A .1-i B .1+i C .-1-iD .-1+iA [由已知得z =i(1-i)=i +1,则z =1-i ,故选A.]4.若复数z 满足i z =2+4i ,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )【导学号:48662172】A .(2,4)B .(2,-4)C .(4,-2)D .(4,2)C [z =2+4ii =4-2i 对应的点的坐标是(4,-2),故选C.]5.若a 为实数,且(2+a i)(a -2i)=-4i ,则a =( ) A .-1 B .0 C .1D .2B [∵(2+a i)(a -2i)=-4i ,∴4a +(a 2-4)i =-4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a =0,a 2-4=-4.解得a =0.故选B.]6.z 1=(m 2+m +1)+(m 2+m -4)i ,m ∈R ,z 2=3-2i ,则“m =1”是“z 1=z 2”的( )【导学号:48662173】A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件A [因为z 1=z 2,所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2+m +1=3m 2+m -4=-2,解得m =1或m =-2,所以m =1是z 1=z 2的充分不必要条件.]7.设z 的共轭复数是z ,若z +z =4,z ·z =8,则zz等于( )A .iB .-iC .±1D .±iD [设z =x +y i(x ,y ∈R ),则z =x -y i ,由z +z =4,z ·z =8得,⎩⎪⎨⎪⎧x +y i +x -y i =4,x +yx -y =8,⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =2,x 2+y 2=8,⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =±2.所以zz =x -y i x +y i =x 2-y 2-2xy ix +y =±i.]8.如图1所示在复平面上,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i ,-2+i,0,那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )【导学号:48662174】图1A .3+iB .3-iC .1-3iD .-1+3iD [OC →=OA →+OB →=1+2i -2+i =-1+3i ,所以C 对应的复数为-1+3i.] 9.若复数2-b i1+2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数,则b =( )A . 2B .23C .-23D .2C [因为2-b i1+2i=-b-5=2-2b 5-4+b 5i ,又复数2-b i1+2i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数,所以2-2b 5=4+b 5,即b =-23.]10.设z ∈C ,若z 2为纯虚数,则z 在复平面上的对应点落在( )【导学号:48662175】A .实轴上B .虚轴上C .直线y =±x (x ≠0)上D .以上都不对C [设z =x +y i(x ,y ∈R ),则z 2=(x +y i)2=x 2-y 2+2xy i.∵z 2为纯虚数,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2-y 2=0,xy ≠0.∴y =±x (x ≠0).]11.已知0<a <2,复数z 的实部为a ,虚部为1,则|z |的取值范围是( ) A .(1,5) B .(1,3) C .(1,5)D .(1,3)C [由已知,得|z |=a 2+1. 由0<a <2,得0<a 2<4,∴1<a 2+1<5. ∴|z |=a 2+1∈(1,5).故选C.]12.设z 1,z 2是复数,则下列结论中正确的是( )【导学号:48662176】A .若z 21+z 22>0,则z 21>-z 22 B .|z 1-z 2|=z 21+z 22-4z 1z 2 C .z 21+z 22=0⇔z 1=z 2=0 D .|z 21|=|z 1|2D [A 错,反例:z 1=2+i ,z 2=2-i ;B 错,反例:z 1=2+i ,z 2=2-i ;C 错,反例:z 1=1,z 2=i ;D 正确,z 1=a +b i ,则|z 21|=a 2+b 2,|z 1|2=a 2+b 2,故|z 21|=|z 1|2.]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.已知复数z =(5+2i)2(i 为虚数单位),则z 的实部为________. 21 [复数z =(5+2i)2=21+20i ,其实部是21.] 14.a 为正实数,i 为虚数单位,⎪⎪⎪⎪⎪⎪a +i i =2,则a =________.【导学号:48662177】3 [a +ii=a +--=1-a i ,则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a +i i =|1-a i|=a 2+1=2,所以a 2=3.15.设a ,b ∈R ,a +b i =11-7i1-2i (i 为虚数单位),则a +b 的值为________.8 [a +b i =11-7i1-2i=-+-+=25+15i 5=5+3i ,依据复数相等的充要条件可得a =5,b =3.从而a +b =8.]16.已知i 为虚数单位,复数z 1=3-a i ,z 2=1+2i ,若z 1z 2在复平面内对应的点在第四象限,则实数a 的取值范围为________.【导学号:48662178】⎝ ⎛⎭⎪⎫-6,32 [z 1z 2=3-a i 1+2i=-a-+-=3-2a 5-6+a 5i ,因为z 1z 2在复平面内对应的点在第四象限,所以⎩⎪⎨⎪⎧3-2a >0,6+a >0⇒-6<a <32.]三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)设复数z =lg(m 2-2m -2)+(m 2+3m +2)i ,当m 为何值时, (1)z 是实数? (2)z 是纯虚数?[解] (1)要使复数z 为实数,需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2-2m -2>0m 2+3m +2=0,解得m =-2或-1.即当m =-2或-1时,z 是实数.(2)要使复数z 为纯虚数,需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2-2m -2=1m 2+3m +2≠0,解得m =3.即当m =3时,z 是纯虚数.18.(本小题满分12分)已知复数z 1=1-i ,z 1·z 2+z 1=2+2i ,求复数z 2.【导学号:48662179】[解] 因为z 1=1-i ,所以z 1=1+i ,所以z 1·z 2=2+2i -z 1=2+2i -(1+i)=1+i. 设z 2=a +b i(a ,b ∈R ),由z 1·z 2=1+i , 得(1-i)(a +b i)=1+i , 所以(a +b )+(b -a )i =1+i ,所以⎩⎪⎨⎪⎧a +b =1b -a =1,解得a =0,b =1,所以z 2=i.19.(本小题满分12分)计算:(1)+4-35;(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i. [解] (1)原式=+4-34-3 =2-2-232-3=-64+32-3=-16+3=-41+3i=-1+3i. (2)原式=(3+11i)(3-4i)+2i =53+21i +2i =53+23i.20.(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |=1,且(3+4i)z 是纯虚数,求z 的共轭复数z .【导学号:48662180】[解] 设z =a +b i(a ,b ∈R ),则z =a -b i 且|z |=a 2+b 2=1,即a 2+b 2=1.① 因为(3+4i)z =(3+4i)(a +b i)=(3a -4b )+(3b +4a )i ,而(3+4i)z 是纯虚数, 所以3a -4b =0,且3b +4a ≠0.②由①②联立,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =45,b =35,或⎩⎪⎨⎪⎧a =-45,b =-35.所以z =45-35i ,或z =-45+35i.21.(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |=2,z 2的虚部是2. (1)求复数z ;(2)设z ,z 2,z -z 2在复平面上的对应点分别为A ,B ,C ,求△ABC 的面积. [解] (1)设z =a +b i(a ,b ∈R ),则z 2=a 2-b 2+2ab i , 由题意得a 2+b 2=2且2ab =2, 解得a =b =1或a =b =-1, 所以z =1+i 或z =-1-i.(2)当z =1+i 时,z 2=2i ,z -z 2=1-i , 所以A (1,1),B (0,2),C (1,-1),所以S △ABC =1. 当z =-1-i 时,z 2=2i ,z -z 2=-1-3i ,所以A (-1,-1),B (0,2),C (-1,-3),所以S △ABC =1. 22.(本小题满分12分)已知z 为虚数,z +9z -2为实数. (1)若z -2为纯虚数,求虚数z . (2)求|z -4|的取值范围.【导学号:48662181】[解] (1)设z =x +y i(x ,y ∈R ,y ≠0),。
人教A版高中数学选修高二新单元测试数系的扩充与复数的引入Word含答案
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第三章综合素质检测时间120分钟,满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2010·安徽文,2)已知i 2=-1,则i (1-3i )=( ) A.3-i B.3+i C .-3-iD .-3+i[答案] B[解析] 该题考查复数的四则运算 i(1-3i)=-3i 2+i =3+i ,故选B.2.复数z =-1+i 1+i +1在复平面内所对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限[答案] A[解析] z =-1+i1+i +1=1+i ,故复数z 所对应的点为(1,1),在第一象限.3.复数⎝⎛⎭⎪⎫1-i 1+i 10的值是( ) A .-1 B .1 C .-32D .32[答案] A[解析] 本题主要考查复数的基本运算,1-i1+i =-i ,(-i )10=-1,故选A.4.若z 1=(x -2)+yi 与z 2=3x +i (x 、y ∈R )互为共轭复数,则z 1对应的点在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限[答案] C[解析] 由已知得⎩⎨⎧ x -2=3x ,y =-1,∴⎩⎨⎧x =-1,y =-1,∴z 1=-3-i ,故选C.5.对于复平面,下列命题中真命题的是( )A .虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的B .实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限的点的集合是一一对应的C .实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的D .实轴上侧的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的 [答案] D[解析] 复数的几何意义是平面内的点与复数建立一一对应关系,其中实数对(a ,b )对应复数的实部与虚部.6.设复数z 满足z +|z |=2+i ,那么z 等于( ) A .-34+iB.34-i C .-34-iD.34+i[答案] D[解析] 方法一:设z =x +yi (x ,y ∈R ), 则x +yi +|x -yi |=2+i , 即x +x 2+y 2+yi =2+i ,∴⎩⎨⎧x +x 2+y 2=2y =1把y =1代入x +x 2+y 2=2中, 得x 2+1+x =2, ∴x =34,∴z =34+i .方法二:代入法验证答案易得. 7.复数z 满足方程|z +21+i|=4,那么复数z 的对应点P 组成的图形为( ) A .以(1,-1)为圆心,4为半径的圆 B .以(1,-1)为圆心,2为半径的圆 C .以(-1,1)为圆心,4为半径的圆 D .以(-1,1)为圆心,2为半径的圆 [答案] C [解析] |z +21+i|=|z +(1-i )| =|z -(-1+i )|=4,设-1+i 的对应点为C (-1,1),则|PC |=4,因此动点P 的轨迹是以C (-1,1)为圆心,4为半径的圆. 8.若x 是纯虚数,y 是实数,且2x -1+i =y -(3-y )i ,则x +y 等于( ) A .1+52iB .-1+52iC .1-52iD .-1-52i[答案] D[解析] 设x =it (t ∈R 且t ≠0), 于是2ti -1+i =y -(3-y )i , ∴-1+(2t +1)i =y -(3-y )i , ∴⎩⎨⎧y =-12t +1=-(3-y )∴⎩⎪⎨⎪⎧t =-52y =-1∴x +y =-1-52i .9.已知复数(x -2)+yi (x ,y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3,则yx 的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3[答案] D[解析] 因为|(x -2)+yi |=3,所以(x -2)2+y 2=3,所以点(x ,y )在以C (2,0)为圆心,以3为半径的圆上,如图,由平面几何知识知-3≤yx ≤ 3.10.设复数z 为虚数,条件甲:z +1z 是实数,条件乙:|z |=1,则( ) A .甲是乙的必要非充分条件 B .甲是乙的充分非必要条件 C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的必要条件,也不是乙的充分条件 [答案] C[解析] 本题考查复数的运算和充要条件的判断.设z =a +bi (b ≠0且a ,b ∈R ),则z +1z =a +bi +1a +bi =⎝ ⎛⎭⎪⎫a +a a 2+b 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫b -b a 2+b 2i .因为z +1z 为实数,所以b =b a 2+b 2.因为b ≠0,所以a 2+b 2=1,所以|z |=1.而当|z |=1,a 2+b 2=1,条件甲显然成立.11.如果复数z 满足条件|2z +1|=|z -i |,那么在复平面内z 对应的点的轨迹是( ) A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线[答案] A[解析] 设z =a +bi (a ,b ∈R ),则|(2a +1)+2bi |=|a +(b -1)i |,所以(2a +1)2+4b 2=a 2+(b -1)2,化简,得3a 2+3b 2+4a +2b =0,此为圆的方程.12.设z =(2t 2+5t -3)+(t 2+2t +2)i ,t ∈R ,则以下结论正确的是( ) A .z 对应的点在第一象限 B .z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D .z 一定为实数 [答案] C[解析] ∵t 2+2t +2=(t +1)2+1>0, ∴z 对应的点在实轴的上方. 又∵z 与z 对应的点关于实轴对称. ∴C 项正确.二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,将正确答案填在题中横线上) 13.(2010·上海文,4)若复数z =1-2i (i 为虚数单位),则z ·z +z =________. [答案] 6-2i[解析] 本题考查了复数的基本运算. ∵z ·z =|z |2=5,∴原式=5+(1-2i )=6-2i .14.已知复数z 1=cos α+isin α,z 2=cos β+i sin β,则复数z 1·z 2的实部是__________ [答案] cos(α+β)[解析] z 1·z 2=(cos α+i sin α)(cos β+i sin β) cos αcos β-sin αsin β+(cos αsin β+sin αcos β)i =cos(α+β)+sin(α+β)i 故z 1·z 2的实部为cos(α+β).15.实数m 满足等式|log 3m +4i |=5,则m =________.[答案] 27或127[解析] 本题考查有关复数模的运算.由|log 3m +4i |=5,得(log 3m )2+16=25,(log 3m )2=9,所以log 3m =±3,m =27或m =127.16.设θ∈[0,2π],当θ=________时,z =1+sin θ+i (cos θ-sin θ)是实数. [答案] π4或54π[解析] 本题主要考查复数的概念.z 为实数,则cos θ=sin θ,即tan θ=1.因为θ∈[0,2π],所以θ=π4或54π.三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本题满分12分)已知复数z 满足z z -i (3z )=1-3i ,求z . [解析] 将方程两边化成a +bi 的形式,根据复数相等的充要条件来解. 设z =x +yi (x ,y ∈R ),则 x 2+y 2-i [3(x +yi )]=1-(3i ), 即x 2+y 2-3y -3xi =1+3i ,由复数相等得⎩⎨⎧x 2+y 2-3y =1-3x =3解得⎩⎨⎧ x =-1y =0或⎩⎨⎧x =-1y =3∴z =-1或z =-1+3i .18.(本题满分12分)已知复数x 2+x -2+(x 2-3x +2)i (x ∈R )是复数4-20i 的共轭复数,求实数x 的值.[解析] 因为复数4-20i 的共轭复数为4+20i ,由题意得 x 2+x -2+(x 2-3x +2)i =4+20i , 根据复数相等的充要条件,得⎩⎨⎧x 2+x -2=4, ①x 2-3x +2=20. ② 方程①的解为x =-3或x =2. 方程②的解为x =-3或x =6. 所以实数x 的值为-3.[点评] 本题主要考查共轭复数的概念和复数相等的充要条件. 19.(本题满分12分)已知z =1+i , (1)求w =z 2+3z -4(2)如果z 2+az +bz 2-z +1=1-i ,求实数a 、b .[解析] (1)w =-1-i(2)z 2+az +b z 2-z +1=(1+i )2+a +ai +b (1+i )2-1-i +1 =(a +b )+(a +2)i i=(a +2)-(a +b )i ∴(a +2)-(a +b )i =1-i ∴a =-1 b =220.(本题满分12分)设a 、b 为共轭复数,且(a +b )2-3abi =4-6i ,求a 和b . [解析] ∵a 、b 为共轭复数,∴设a =x +yi (x ,y ∈R ) 则b =x -yi ,由(a +b )2-3abi =4-6i ,得 (2x )2-3(x 2+y 2)i =4-6i ,即⎩⎨⎧ 4x 2=4-3(x 2+y 2)=-6,∴⎩⎨⎧x 2=1y 2=1 ∴⎩⎨⎧x =±1y =±1∴a =1+i ,b =1-i ;a =-1+i ,b =-1-i ; a =1-i ,b =1+i ;a =-1-i ,b =-1+i .21.(本题满分12分)证明:在复数范围内,方程|z |2+(1-i )z -(1+i )z =5-5i2+i 无解.[证明] 原方程可化简为|z |2+(1-i )z -(1+i )z =1-3i . 设z =x +yi (x ,y ∈R ),代入上述方程,整理得 x 2+y 2-2xi -2yi =1-3i ,根据复数相等的充要条件,得⎩⎨⎧x 2+y 2=1, ①2x +2y =3. ②将②代入①,消去y 整理,得8x 2-12x +5=0.因为Δ=-16<0,所以上述方程无实数解.所以原方程在复数范围内无解.[点评]本题主要考查复数代数形式的运算,解决本题的关键是将复数问题转化为实数问题来求解.22.(本题满分14分)复数z满足|z+i|+|z-i|=2,求|z+1+i|的最大值与最小值.[解析]在复平面内,|z+i|+|z-i|=2表示复数z对应的点Z到点A(0,-1),B(0,1)的距离之和为2,而|AB|=2,所以点Z的轨迹为以A,B为端点的线段(包括两端点).而|z +1+i|=|z-(-1-i)|表示点Z到点C(-1,-1)的距离,因而,问题的几何意义是求线段AB上的点到点C的距离的最大值与最小值,如右图.易知|z+1+i|max=|BC|=5,|z+1+i|min=|AC|=1.[点评]本题主要考查复数|z-z1|的几何意义,即|z-z1|表示复数z与z1对应的两点之间的距离.利用数形结合法是求解本题的关键.。
人教A版选修2-2单元测评(五)数系的扩充与复数的引入(A卷).docx
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单元测评(五) 数系的扩充与复数的引入(A 卷)(时间:90分钟 满分:120分) 第Ⅰ卷(选择题,共50分)一、选择题:本大题共10小题,共50分. 1.已知i 是虚数单位,则3+i1-i =( )A .1-2iB .2-iC .2+iD .1+2i解析:3+i 1-i =(3+i )(1+i )2=1+2i.答案:D2.复数z =i(i +1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A .-1-i B .-1+i C .1-iD .1+i解析:∵z =i(i +1)=-1+i ,∴z =-1-i. 答案:A3.复数z =-1+i 1+i -1在复平面内所对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析:-1+i 1+i -1=(-1+i )(1-i )(1+i )(1-i )-1=2i 2-1=-1+i.答案:B4.若复数(1+b i)(2+i)是纯虚数(i 是虚数单位,b 是实数),则b 等于( )A .-2B .-12C.12D .2解析:(1+b i)(2+i)=2-b +(2b +1)i 为纯虚数,∴b =2. 答案:D5.若复数z =2i +21+i ,其中i 是虚数单位,则复数z 的模为( )A.22B. 2C. 3D .2解析:由题意,得z =2i +21+i =2i +2(1-i )(1+i )(1-i )=1-i ,复数z 的模|z |=12+(-1)2= 2. 答案:B6.已知f (n )=i n -i -n (i 2=-1,n ∈N ),集合{f (n )|n ∈N }的元素个数是( )A .2B .3C .4D .无数个解析:f (0)=i 0-i 0=0, f (1)=i -i -1=i -1i=2i ,f (2)=i 2-i -2=0, f (3)=i 3-i -3=-2i ,由i n 的周期性知{f (n )|n ∈N }={0,-2i,2i}. 答案:B7.若1+2i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c =0的一个复数根,则( )A .b =2,c =3B .b =-2,c =3C .b =-2,c =-1D .b =2,c =-1解析:由题意可得(1+2i)2+b (1+2i)+c =0⇒-1+b +c +(22+2b )i =0,所以⎩⎪⎨⎪⎧-1+b +c =022+2b =0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b =-2,c =3.答案:B8.若(a -2i)i =b -i ,其中a ,b ∈R ,i 是虚数单位,则复数z =a +b i 的模等于( )A .0 B. 2 C .5D. 5解析:∵2+a i =b -i ,a ,b ∈R , ∴a =-1,b =2, ∴|z |=a 2+b 2= 5. 答案:D9.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d =ad -bc ,则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 -1z z i =4+2i 的复数z为( )A .3-iB .1+3iC .3+iD .1-3i解析:由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 -1z z i =z i +z , 得z i +z =4+2i ,即z =4+2i 1+i=3-i.答案:A10.若复数z 满足|z |2-2|z |-3=0,则复数z 对应点的轨迹是( ) A .一个圆 B .线段 C .两个点D .两个圆解析:由|z |2-2|z |-3=0,得(|z |-3)(|z |+1)=0, ∴|z |=3或|z |=-1(舍去), ∴复数z 对应点的轨迹为一个圆. 答案:A第Ⅱ卷(非选择题,共70分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.11.若(x 2-1)+(x 2+3x +2)i 是纯虚数,则实数x 的值为________.解析:⎩⎪⎨⎪⎧x 2-1=0x 2+3x +2≠0∴x =1.答案:112.若复数z 同时满足z -z =2i ,z =i z (i 为虚数单位),则z =________.解析:设复数z =a +b i(a ,b ∈R ),则⎩⎪⎨⎪⎧(a +b i )-(a -b i )=2i ,a -b i =(a +b i )i ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =1,,∴z =-1+i. 答案:-1+i13.下面四个命题:①0比-i 大;②两个复数当且仅当其和为实数时,互为共轭复数;③x +y i =1+i 的充要条件为x =y =1;④任何纯虚数的平方都是负实数.其中错误命题的序号是________.解析:①实数与虚数不能比较大小;②两个复数互为共轭复数时其和为实数,但是两个复数的和为实数时,这两个复数不一定是共轭复数;③x +y i =1+i 的充要条件为x =y =1是错误的,因为没有表明x ,y 是否是实数;④若z =b i(b ≠0)为纯虚数,则z 2=-b 2<0,故①②③均是错误命题,④是正确的.答案:①②③14.已知复数z =(3+i)2(i 为虚数单位),则|z |=________. 解析:因为z =(3+i)2=8+6i ,所以|z |=82+62=10. 答案:10三、解答题:本大题共4小题,满分50分. 15.(12分)已知复数z 1=2-3i ,z 2=15-5i(2+i )2.求: (1)z 1·z 2;(2)z 1z 2.解:z 2=15-5i(2+i )2=1-3i.4分(1)z 1·z 2=(2-3i)(1-3i)=-7-9i.8分(2)z 1z 2=2-3i 1-3i =1110+310i.12分 16.(12分)已知复数z 满足|z |=1+3i -z ,求(1+i )2(3+4i )22z 的值.解:设z =a +b i(a ,b ∈R ), 而|z |=1+3i -z ,即a 2+b 2-1-3i +a +b i =0,则⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2+a -1=0,b -3=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-4,b =3.∴z =-4+3i ,8分∴(1+i )2(3+4i )22z =2i (-7+24i )2(-4+3i )=24+7i4-3i =3+4i.12分17.(12分)已知复数z 1=-2i(1+i). (1)求|z 1|;(2)若|z |=1,求|z -z 1|的最大值. 解:(1)∵z 1=-2i(1+i)=2-2i , ∴|z 1|=4+4=2 2.6分(2)如图所示,由|z |=1可知,z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1,圆心为O (0,0)的圆,而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2,-2).所以|z -z 1|的最大值可以看成是点Z 1(2,-2)到圆上的点的距离的最大值.由图知|z -z 1|max =|z 1|+r (r 为圆半径)=22+1.12分18.(14分)设z 1是方程x 2-6x +25=0的一个根. (1)求z 1;(2)设z2=a+i(其中i为虚数单位,a∈R),若z2的共轭复数z2满足|z31·z2|=1255,求z22.解:(1)因为Δ=62-4×25=-64,所以z1=3-4i或z1=3+4i4分(也可设z1=a+b i(a,b∈R),利用复数相等的充要条件求解.)(2)由|(3±4i)3·(a-i)|=1255,得125a2+1=1255,a=±2.10分当a=-2时,z22=(-2+i)2=3-4i;12分当a=2时,z22=(2+i)2=3+4i.14分。
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二、填空题
7.复数(i为虚数单位)的实部等于__________。
解析:直接运算得,=-(3+i)=-3-i,故实部为-3。
答案:-3
8.若(x+i)i=-1+2i(x∈R),则x=__________。
解析:(x+i)i=-1+xi=-1+2i,由复数相等的定义知x=2。
答案:2
9.已知i是虚数单位,计算=__________。
解析:===。
答案:
三、解答题
10.要使复数z=a2-a-6+i为纯虚数,其中的实数a是否存在?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由。
解析:假设z为纯虚数,
则有
由①得a=-2或a=3。
当a=-2时,②式左端无意义。
当a=3时,②式不成立。
故不存在实数a,使z为纯虚数。
11.复数z=(a,b∈R),且|z|=4,z对应的点在第一象限,若复数0,z,对应的点是正三角形的三个顶点,求实数a,b的值。
答案:A
5.i为虚数单位,2=()
A.1B.-1
C.i D.-i
解析:2==-1,选B。
答案:B
6.已知a,b∈R,i是虚数单位.若a+i=2-bi,则(a+bi)2=()
A.3-4iB.3+4i
C.4-3i D.4+3i
解析:由a+i=2-bi可得a=2,b=-1,则(a+bi)2=(2-i)2=3-4i。
答案:C
4.设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=()
A.2+3iB2i)(2-i)=5,所以z=+2i=+2i=2+i+2i=2+3i。
方法二:设z=a+bi(a,b∈R),所以[a+(b-2)i](2-i)=5,利用复数相等即实部与实部、虚部与虚部分别相等,得到解得所以z=2+3i,故选A。
数系的扩充与复数的引入
一、选择题
1.已知复数z满足(3-4i)z=25,则z=()
A.-3-4iB.-3+4i
C.3-4i D.3+4i
解析:由(3-4i)z=25⇒z===3+4i,选D。
答案:D
2.=()
A.1+2iB.-1+2i
C.1-2i D.-1-2i
解析:==-1+2i,故选B。
答案:B
3.若复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位),则|z|=()
A.1B.2
C.D.
解析:方法一:设z=a+bi(a,b∈R),则由z(1+i)=2i,得(a+bi)·(1+i)=2i,所以(a-b)+(a+b)i=2i,由复数相等的条件得解得a=b=1,所以z=1+i,故|z|==。
方法二:由z(1+i)=2i,得z===i-i2=1+i,所以|z|==。