北京一零一中学高一第二学期数列测试(含答案)

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北京101高一下学期期末数学

北京101中学2016-2017学年下学期高一年级期中考试数学试卷（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 在中，，，，则边的值为（）．A. B. C. D.2. 已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于（）．A. B. C. D.3. 下列结论正确的是（）．A. 若，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，则4. 已知，，则的取值范围是（）．A. B. C. D.5. 在中，角，，的对边分别为，，．若，且，则（）．A. B. C. D.6. 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列三个函数：，，，则（）．A. ，，为“同形”函数B. ，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数C. ，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数D. ，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数7. 已知函数，若且，则的值是（）．A. B. C. D.8. 已知，，且对任意，都有：①；②．以下三个结论：①；②；③．其中正确的个数为（）．A. B. C. D.二、填空题共6小题．9. 在等差数列中，，，则前项之和__________．10. 已知，函数的最小值是__________．11. 计算：__________．12. 在等比数列中，，，则数列的前项和__________．13. 在中，若，，成等差数列，且三个内角，，也成等差数列，则的形状为__________．14. 给出下列命题：①若，则；②若，，则；③若，则；④；⑤若，，则，；⑥正数，满足，则的最小值为．其中正确命题的序号是__________．三、解答题（共5小题，分值分别为8分、8分、10分、12分、12分，共50分）15. 在中，，，分别是角，，的对边，且，，．求：（）的值．（）的面积．16. 某工厂生产的某种产品，当年产量在吨至吨之间时，年生产总成本（万元）与年产量（吨）之间的关系可近似地表示成，问年产量为多少时，每吨的平均成本最低？并求出该最低成本．17. 已知函数（，为常数）．（）求函数的最小正周期．（）求函数的单调递减区间．（）当时，的最小值为，求的值．18. 设数列{a n}的前n项和为S n=2n2，{b n}为等比数列，且a1=b1，b2（a2-a1）=b1．（）求数列和的通项公式．（）设，求数列的前项和．19. 已知点在函数的图象上，数列的前项和为，数列的前项和为，且是与的等差中项．（）求数列的通项公式．（）设，数列满足，．求数列的前项和．（）在（）的条件下，设是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数，，恒有成立，且（为常数，），试判断数列是否为等差数列，并说明理由．。

2023-2024学年北京市第一零一中学高一下学期期末考试数学试题(含解析)

2023-2024学年北京市第一零一中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.sin π8cos π8的值为( )A. 12B.22C.24D. 142.已知复数z 满足z (3+i )=3+i 2，则z =( )A. 35−15iB. 35+15iC. 34−14iD. 34+14i3.如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面( )A. 没有其他公共点B. 仅有这一个公共点C. 仅有两个公共点D. 有无数个公共点4.已知奇函数f (x )的图象的一条对称轴为直线x =12，那么f (x )的解析式可以为( )A. y =sin(3πx )B. y =cos (x +π4)C. y =sin (π2x +π3)D. y =tan(πx )5.将边长为4的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，折起后点D 记为D′.若BD′=4，则四面体ABCD′的体积为( )A.16 23B.8 23C. 162D. 826.“α+β=π2+2kπ，k ∈Z ”是“sin α=cos β”的( )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.在▵ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知A =π3，b =2，给出下列五个a 的值：① 2；②3；③142；④2；⑤3.其中能使得△ABC 存在且唯一确定的是( )A. ①④ B. ②③C. ④⑤D. ②④⑤8.在▵ABC 中，cos B =−12，AB =BC =2，已知点P 满足AP =λAB +(1−λ)AC ，且AB ⋅AP =92，则λ=( )A. 14B. 13C. 12D. 349.在▵ABC 中，若c =4，b−a =1，cos C =−14，则sin A 为( )A. 18B.158 C. 16D.15610.如图，四棱锥S−ABCD中，底面是正方形，各侧棱都相等，记直线SA与直线AD所成角为α，直线SA与平面ABCD所成角为β，二面角S−AB−C的平面角为γ，则( )A. α>β>γB. γ>α>βC. α>γ>βD. γ>β>α二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

北京一零一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)

北京一零一中2022-2023学年度第二学期期末考试高一数学（本试卷满分120分，考试时间100分钟）命题：高一备课组审稿：贺丽珍一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（） A. 1,3a b ==− B. 1,3a b =−= C. 1,3a b =−=− D. 1,3a b == 【答案】B 【解析】【分析】利用复数相等的条件可求,a b .【详解】3i 1i a b +=−+，而,a b 为实数，故1,3a b =−=，故选：B.2. 已知向量a 、b 满足1a = ，b = ，23a b −= ，则a b ⋅= （）A. 2−B. 1−C. 1D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得a b ⋅的值.【详解】因为1a = ，b = ，23a b −=，则22224414349a b a b a b a b −=+−⋅=+×−⋅=，解得1a b ⋅=.故选：C.3. 已知向量(0,1),(a b c k ==−= .若2a b − 与c 共线，则k =（）A. 1B. 3C.12D.32【答案】A 【解析】【分析】根据向量坐标运算得2a b −，利用向量共线得到方程，解出即可.【详解】2a b − ，由2a b − 与c31k k =⇒=故选：A.4. 已知α为第二象限角，sin cos αα+cos2α=（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【详解】21312sin cos (sin cos ),221sin 2sin 232433k k ππααααπαπαα++=+<<+∴+=∴=−253cos 2424cos 292k k παππαπα=+<<+∴ A.5. 对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α，β都平行于γ； ③存在直线l ⊂α，直线m β⊂，使得//l m ；④存在异面直线l ，m ，使得//l α，l //β，//m α，//m β．其中，可以判定α与β平行的条件有（） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】【分析】直线与平面位置关系，平面与平面的位置关系，对选项进行逐一判断，确定正确选项即可．【详解】解：①若存在平面γ，使得α，β都垂直于γ，则α与β平行或相交，故①错误．②若存在平面γ，使得α，β都平行于γ，因为α与β是不重合的两个平面，所以α与β平行，故②正确．③若存在直线l ⊂α，直线m β⊂，使得//l m ，则α与β平行或相交，故③错误；的④若存在异面直线l ，m ，使得//l α，l //β，//m α，//m β，则可以判定α与β平行．可在α面内作//l l ′，//m m ′，因为l ，m 是异面直线，则l ′与m ′必相交．又//l β ，//m β， //l β′∴，//m β′，//αβ∴，即④正确．故选：B ．6. 若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（） A.8π B.4π C.38π D.34π 【答案】C 【解析】【分析】先利用辅助角公式化简，然后利用三角函数的图像平移得到新的解析式，结合函数为偶函数即可求得ϕ的最小正值.【详解】())4f x x π=+，将函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位得()2)4f x x πϕ=+−，由该函数为偶函数可知:242k ππϕπ−=+()k z ∈ ，即82k ππϕ=−−()k z ∈，当1k =−时，38πϕ= ，所以的最小正值是为38π. 故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式，三角函数的图象平移，三角函数奇偶性，是中档题.7. 在ABC 中，“AB AC BA BC ⋅=⋅”是“AC BC = ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：若AB AC BA BC ⋅=⋅，则cos cos AB AC A BA BC B ⋅=⋅ ， ∴cos cos AC A BC B =，由正弦定理得s s s in cos in co B A A B =，所以in 0()s A B −=，因为(),0,A B π∈，所以(),A B ππ−∈−，所以A B =，∴AC BC =，反之也成立，故“AB AC BA BC ⋅=⋅”是“AC BC = ”的充要条件；故选：C8. 钝角三角形ABC ，1,AB BC ==，则2AC =（）A. 4−B. 4+C. 7D. 7或1【答案】D 【解析】【分析】首先根据面积公式求角B ，再结合余弦定理求2AC .【详解】11sin 1sin 22ABC S AB BC B B =×××=× 所以1sin 2B =，30B = 或150 ，当30B = 时，2222cos 13211AC AB BC AB BC B =+−⋅⋅=+−×=, 即1AC AB ==，此时120A ∠= ，满足题意，当150B = ，2222cos 13217AC AB BC AB BC B =+−⋅⋅=++×=，满足题意，所以21AC =或7. 故选：D9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D −的棱长均为4，60BAD ∠=°，以1D 为球心，面11BCC B 的交线长为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】先找出平面11BCC B 截球面的截面圆的圆心是11B C 的中点O ，再找到截面圆的半径和交线，从而得解.【详解】连接11,BD B D ，如图，因为直四棱柱1111ABCD A B C D −的棱长均为4，60BAD ∠=°，所以111111,,ABD A B D B C D 是正三角形，则114BD B D ==，取11B C 的中点O ，连接1D O ，则111D O B C ⊥，1D O =易知1BB ⊥平面111B C D ，又1D O ⊂平面111B C D ，所以1BB ⊥1D O ，又1111111,,B C BB B B C BB =⊂ 平面11BCC B ，所以1D O ⊥平面11BCC B ，故平面11BCC B 截球面的截面圆的圆心是点O ，取1BB 和1CC 的中点E F 、，连接11,,EF D E D F ，则OE OF ===11D ED F ==故E F 、在球面上，又OE OF ==4EF =，即222OE OF EF +=，所以OEF 为直角三角形，EOF ∠90=°，球面与侧面11BCC B 的交线是侧面上以O 为圆心， EF，则 124EF=××=.故选：B.10. 设函数()y f x =的定义域为D ，若存在常数a 满足[,]a a D −⊆，且对任意的1],[x a a ∈−，总存在2[,]x a a ∈−，使得()()121f x f x ⋅−=，称函数()f x 为()P a 函数.给出以下四个结论：①函数()3x f x =是(1)P 函数； ②函数3()f x x =是(2)P 函数；③若函数12()log ()f x x t =+是(2)P 函数，则4t =； ④若函数()sin f x x b =+是π()2P函数，则b =. 其中正确结论序号是（） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①③④【答案】C 【解析】【分析】根据题中所给定义，结合条件，逐一检验各个选项，分析整理，即可得答案.【详解】对于①，()3x f x =定义域为R ，当1a =时，有[1,1]R −⊆，对任意1[1,1]x ∈−，11()3xf x =，令[]211,1x x =∈−，则1101211()()()()3331x x f x f x f x f x −⋅−=⋅−=⋅==，函数()3x f x =是(1)P 函数，①正确；对于②，3()f x x =定义域为R ，当2a =时，有[2,2]R −⊆，当10x =时，1()0f x =，显然不存在2[2,2]x ∈−，使得12()()1f x f x ⋅−=，此时12()()0f x f x ⋅−=，②错误；对于③，若t =4，12()log (4)f x x =+的定义域为(4,)−+∞，2a =，(4,)[2,2]⊆−−+∞，因为12[2,2],[2,2]x x ∈−∈−，则2[2,2]x −∈−，当[2,2]x ∈−时，4[2,6]x +∈，12()log (4)f x x =+为增函数，则1212()[log 2,log 6]f x ∈，显然1212120log 2log 6log 121<<<=，因此12()(0,1),()(0,1)f x f x ∈−∈，12()()(0,1)f x f x ⋅−∈，即12()()1f x f x ⋅−≠，③错误；对于④，当22x ππ−≤≤时，1sin 1x −≤≤，则()[1,1]f x b b ∈−+，因为函数()sin f x x b =+是P (2π)函数，则对任意1[,]22x ππ∈−，总存在2[,]22x ππ∈−使12()()1f x f x ⋅−=，又2ππ[],22x −∈−，取21x x =，则11()()1f x f x ⋅−=，当12x π=时，有(1)(1)1b b −+=，解得b =，当b =时，函数()sin f x x =在[,]22ππ−上单调递增，的1ππ[],22x ∀∈−，11()sin 1]f x x =−+，令211sin 1]()x f x −==−，此时2sin [1,1]x ∈−，则有2[,]22x ππ∈−，即对1ππ[],22x ∀∈−，总存在2[,]22x ππ∈−使得12()()1f x f x ⋅−=，当b =时，同理对1ππ[],22x ∀∈−，总存在2[,]22x ππ∈−使得12()()1f x f x ⋅−=，所以b =，④正确，所以正确结论的序号是①④. 故选：C【点睛】关键点睛：解题的关键是掌握P (a )函数的定义，并根据选项所给条件，结合各个函数的性质，进行分析和判断作答.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数z 满足1z =，则2i z −的最小值是_______. 【答案】1 【解析】【分析】由1z =可得221a b +=，则2i z −=11b −≤≤可得2i z −的最小值. 【详解】设i z a b =+，,R a b ∈1z = ，221a b ∴+=，则11b −≤≤，2i z −===当1b =时，min 2i 1z −=. 故答案为：1.12. 若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为____________．【解析】【详解】试题分析：因为，圆锥的侧面积为，底面积为，所以，22{,rl r ππππ==解得，1,2,r l h ====高213r h π=考点：圆锥的几何特征点评：简单题，圆锥之中，要弄清r,h,l 之间的关系，熟练掌握面积、体积计算公式． 13. 若cos α＝17，cos (α＋β)＝－1114，α∈0,2π，α＋β∈,2ππ，则β＝________.【答案】3π【解析】【分析】根据角的凑配可得()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+−=+++ ，再根据已知条件结合同角三角函数进行代入即可得解.【详解】()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+−=+++ ，又1cos 7α=，α∈0,2π ，得sin α=；()11cos 14αβ+=−，α＋β∈,2ππ ，得()sin αβ+，则1111cos 1472β=−×+=，由α∈0,2π，α＋β∈,2ππ得0,2πβ∈，所以3πβ=．故答案为：3π14. 已知平面向量a ，b ，c 满足：2a b == ，2a b ⋅=− ，12c a b −−= ，则a ，b 之间的夹角为_______，a c ⋅的取值范围是_______.【答案】 ①. 2π3②. [1,3] 【解析】【分析】空1：直接利用向量夹角公式即可；空2：利用坐标法，不妨令(2,0),(a b −，设(,)c m n =，得到221(1)(4m n −+=，求出m 的范围，再利用a c ⋅即可.【详解】因为 ||||2,2a b a b ==⋅=− ，所以2c 214||||os ,a b a b b a ⋅−===−⋅，因为[],0,πa b ∈ ，所以2π,3a b =，不妨令(2,0),(a b −，设(,)c m n = ，所以由 12c a b −−= ,可得221(1)(4m n −+=，所以21(1)4m −≤，所以11122m −≤−≤，解得1322m ≤≤，所以2[1,3]a c m ⋅=∈，故答案为：2π3；[1,3]. 15. 在正方体1111ABCD A B C D −中，棱长为2，已知点P ，Q 分别是线段1AD ，1AC 上的动点（不含端点）.给出下列四个结论：（1）直线PQ 与直线1B C 垂直；（2）直线PQ 与直线CD 不可能平行；（3）二面角P AC Q −−（4）PQ QC +的最小值是83. 其中所有正确结论的序号是_______.【答案】（1）（3）（4）【解析】【分析】证明出1B C ⊥平面11ABC D ，利用线面垂直的性质可判断（1）；取P 、Q 分别为1AD 、1AC 的中点，利用中位线的性质以及平行线的传递性可判断（2）；利用二面角的定义可判断（3）；将1ACC △和11AC D △延展至同一平面，分析可知当1CP AD ⊥时，PQQC +取最小值，根据三角形边与角的关系可求得PQ QC +的最小值，可判断（4）.【详解】对于（1），因为11//AB C D ，则A 、B 、1C 、1D 四点共面，因为四边形11BB C C 为正方形，则11B C BC ⊥，因为AB ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，则1B C AB ⊥，因1AB BC B = ，AB 、1BC ⊂平面11ABC D ，所以，1B C ⊥平面11ABC D ，因PQ ⊂平面11ABC D ，所以，1B C PQ ⊥，（1）对；对于（2），当P 、Q 分别为1AD 、1AC 的中点时，11//PQ C D ，又因为11//CD C D ，此时//PQ CD ，（2）错；对于（3），因为1P AD ∈、1Q AC ∈，平面PAC 即为平面1ACD ，平面QAC 即为平面1ACC ，所以，二面角P AC Q −−即为二面角11D AC C −−，取上下底面中心点分别为1,O O ，分别连接11111,,,,,O O AC A C DO DO D C ，平面1ACC 即为平面11A ACC ，由题知1OO ⊥底面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以1OO AC ⊥，易知1D ADC ==，又因为O 为AC 中点，则DO AC ⊥，因为平面11A ACC ∩平面1D AC AC =，DO ⊂平面1D AC ，1OO ⊂面11A ACC ，则二面角11D AC C −−即为1DOO ∠，因为1OO ⊥平面1111D C B A ，11D O ⊂平面1111D C B A ，所以111OO D O ⊥，而111112D O D B ==1D O，所以1sin DOO ∠，则（3）正确；对于（4），因为1CC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1CC AC ⊥，同理可得111CD AD ⊥，为为因为AC =，同理可得1AD =，1AC =，将1ACC △和11AC D △延展至同一平面，如下图所示：在1Rt ACC中，111sin CC CAC AC ∠=，11cos AC CAC AC ∠=，因为111CC D C =，1AC AD =，11AC AC =，所以，111ACC AD C △≌△，所以，111D AC CAC ∠=∠，故112CAD CAC ∠=∠，所以，()1111sin sin 22sin cos 2CAD CAC CAC CAC ∠=∠=∠∠，当1CP AD ⊥时，PQ QC +取最小值，且最小值为18sin 3AC CAD ∠==，（4）对. 故答案为：（1）（3）（4）.【点睛】关键点睛：本题第（3）小问的关键时利用二面角的定义在图中找到所对应的角，再利用勾股定理求出相关线段长，则得到其正弦值，第（4）问的关键是将其转化到同一平面内，再利用二倍角等知识点得到最值.三、解答题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 已知函数()2π2cos sin 216f x x x=++−. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得到()g x 的图象，当π0,2x∈ 时，求()g x 的值域.【答案】（1）πT = （2）32 −【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）根据三角函数的变换规则得到()g x 的解析式，再由x 的取值范围求出π23x −的范围，最后结合正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】因为()2π2cos sin 216f x x x=++−ππcos2sin2coscos 2sin 66x x x =++3cos22x x1πsin2223x x x=+=+，即()π23f x x =+，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.【小问2详解】将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得到()3π2π323πg x x x=−+=−，又π0,2x∈ ，所以ππ2π2,333x −∈− ，所以πsin 23x −∈，则()32g x ∈ −，即()g x 在π0,2上的值域为32 − .17. 如图，ABC 中，AC BC ==，四边形ABED 是正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G ，F 分别是EC ，BD 的中点.（1）求证：//GF 平面ABC ；（2）求证：平面BCD ⊥平面ACD . 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取BE 的中点H ，连接HF ，GH ，则由三角形中位线定理得//HG BC ，//HF DE ，再结合正方形的性质可得//HF AB ，则//HG 平面ABC ，由理//HF 平面ABC ，从而可证得平面//HGF 平面ABC ，进而可证得结论；（2）由已知面面垂直可得AD ⊥平面ABC ，则AD BC ⊥，再由AC BC AB ==结合勾股定理逆定理可得ACBC ⊥，再由面线垂直和面面垂直的判定定理可证得结论.【小问1详解】证明：如图，取BE 的中点H ，连接HF ，GH ．G ，F 分别是EC 和BD 的中点，//HG ∴BC ，//HF DE ．又四边形ADEB 为正方形，//DE ∴AB ，从而//HF AB ． BC ⊂ 平面ABC ，HG ⊄平面ABC ， //HG ∴平面ABC ，同理//HF 平面ABC ，又HG HF H = ，,HG HF ⊂平面HGF ，∴平面//HGF 平面ABC ，GF ⊂ 平面HGF ，则//GF 平面ABC .【小问2详解】ADEB ∵为正方形，AD AB ∴⊥．又平面ABED ⊥平面ABC ，且平面ABED ∩平面ABC AB =，AD ⊂面ADEB ，AD ∴⊥平面ABC ，∵BC ⊂平面ABC ，∴AD BC ⊥，设1AB =，AC BC AB ==，AC BC ∴==，∴222CA CB AB +=，∴ACBC ⊥．又AD AC A = ，AD ，AC ⊂平面ACD ，BC ∴⊥平面ACD ，而BC ⊂平面BCD ，∴平面BCD ⊥平面ACD ．18. 在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222sin sin sin sin A C A C B +=，（1）求B 的大小；（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得ABC 存在且唯一，求ABC 的面积.条件①：2b =；条件②：1c =+；条件③：1sin 2A =. 【答案】（1）π4B =（2 【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再利用余弦定理即可得解；（2）选①②，利用余弦定理求出边a ，即可得解.选①③，先利用正弦定理求出边a ，从而可得角A ，再根据三角形内角和定理结合两角和得正弦公式求出sin C ，再根据三角形得面积公式即可得解.选②③，先根据1sin 2A =，π4B =求出角A ，再根据三角形内角和定理结合两角和得正弦公式求出sinC ，利用正弦定理求出边a ，再根据三角形得面积公式即可得解. 【小问1详解】因为222sin sin sin sin A C A C B +=，由正弦定理得222a c b +−=，则222cos 2a c b B ac+−==又()0,πB ∈，所以π4B =；【小问2详解】选①②，则π2,1,4b c B =+=，由2222sin b a c ac B =+−，得)2441a +++，解得a =a =经检验，符合题意，所以ABC 有两解，与题意矛盾.选①③，则1π2,sin ,24b A B ===，因为sin sin a bA B =，所以sin sin b A a b B==<，故A B <，所以π6A =，则()1sin sin 2C A B =+=+，所以11sin 222ABC S ab C ==×=△选②③，则1π1,sin ,24c A B ==，因为3π0,4∈A ，所以π6A =，所以()1sin sin 2C A B =+=，因为sin sin a cA C=，所以a所以11sin 222ABC S ab C ==×=△19. 如图，正四棱锥S ABCD −，4SA SB SC SD ====，AB =，P 为侧棱SD 上的点，且3SP PD =，（1）求正四棱锥S ABCD −的表面积；（2）求点S 到平面PAC 的距离；（3）侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC .若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.【答案】（1）8+ （2）3 （3）存在，且2SEEC= 【解析】【分析】（1）取AB 的中点G ，连接SG ，计算出SG 的长，再结合三角形和正方形的面积公式可求得正四棱锥S ABCD −的表面积；（2）连接BD 交AC 于点O ，连接SO 、OP ，证明出SP ⊥平面PAC ，计算出SP 的长，即为所求；（3）取SD 的中点为Q ，过Q 作PC 的平行线交SC 于E ，连接BQ 、BE ，由线面平行的判定可得//BQ 平面PAC ，根据等比例性质有//QE PC ，再根据线面平行的判定得//QE 平面PAC ，最后由面面平行的判定及性质即可确定存在性. 【小问1详解】解：取AB 的中点G ，连接SG ，因为4SA SB SC SD ====，AB =SG AB ⊥，且SG =所以，正四棱锥S ABCD −的表面积为21442SAB ABCD S S AB SG AB +=×××+ △288=×+=+【小问2详解】解：连接BD 交AC 于点O ，连接SO 、OP ，如下图所示：因为四边形ABCD 是边长为4BD SB SD ===，故SBD 是边长为4的等边三角形，因为AC BD O = ，则O 为BD 、AC 的中点，所以，SO BD ⊥，且sin 604SO SB = 11603022OSD BSD ∠=∠=×=，因为3SP PD =，则334344SP SD ==×=，由余弦定理可得2222cos30129233OP SO SP SO SP =+−⋅=+−× ，所以，222SP OP SO +=，所以，SP OP ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，因为SA SC =，O 为AC 的中点，则AC SO ⊥，因为SO BD O ∩=，SO 、BD ⊂平面SBD ，所以，AC ⊥平面SBD ，因为SP ⊂平面SBD ，所以，SP AC ⊥，因为OP AC O ∩=，OP 、AC ⊂平面PAC ，所以，SP ⊥平面PAC ，因此，点S 到平面PAC 的距离为3SP =. 【小问3详解】解：在侧棱SD 上存在一点E ，使//BE 平面PAC ，满足2SEEC=，理由如下：取SD 的中点为Q ，因为3SP PD =，则PQ PD =，过Q 作PC 的平行线交SC 于E ，连接BQ 、BE .在BDQ △中，因为O 、P 分别为BD 、DQ 的中点，则//BQ PO ，因为PO ⊂平面PAC ，⊄BQ 平面PAC ，所以//BQ 平面PAC ，由2SE SQEC QP==，则//QE PC ，因为PC ⊂平面PAC ，QE ⊄平面PAC ，所以//QE 平面PAC ，而BQ QE Q = ，BQ 、QE ⊂平面BEQ ，故面//BEQ 面PAC ，又BE ⊂面BEQ ，则//BE 平面PAC ，此时2SEEC=. 20. 已知有穷数列()12:,,,,3N A a a a N N ∗∈≥N 满足{}()1,0,11,2,,i a i N ∈−=.给定正整数m ，若存在正整数,()s t s t ≠，使得对任意的{0,1,2,,1}k m ∈− ，都有s k t k a a ++=，则称数列A 是m -连续等项数列.（1）判断数列:1,1,0,1,0,1,1A −−−是否是3-连续等项数列，并说明理由；（2）若项数为N 的任意数列A 都是2-连续等项数列，求N 的最小值；（3）若数列12:,,,N A a a a 不是4-连续等项数列，而数列112:,,,,1N A a a a − ，数列212:,,,,0N A a a a 与数列312:,,,,1N A a a a 都是4-连续等项数列，且30a =，求N a 的值.【答案】（1）是，理由见解析；（2）11；（3）0. 【解析】【分析】（1）根据新定义直接验证数列:1,1,0,1,0,1,1A −−−作答.（2）先根据新定义证明11N ≥时，数列A 一定是2−连续等项数列，再验证10n ≤时，A 不是2−连续等项数列即可.（3）由123,A A A 都是4−连续等项数列可得21123,,,1i N i N i N i a a a a a a a −+−++====−，21123,,,0,j N j N j N j a a a a a a a −+−++====21123,,,1k N k N k N k a a a a a a a −+−++====，再由反证法证得{}min ,,1i j k =，即可得出N a 的值.【小问1详解】数列A 是3−连续等项数列，理由如下:数列:1,1,0,1,0,1,1A −−−中，2435461,0,1a a a a a a ==−====−，即有24(0,1,2)k k a a k++==，所以数列A 是3−连续等项数列. 【小问2详解】设集合{{}{}}(,)|1,0,1,1,0,1Sx y x y ∈−∈−，则S 中的元素个数为23=9，因为在数列A 中{}1,0,1(1,2,,)i a i N ∈−=，所以1(,)(1,2,,1)i i a a S i N +∈=− ，若11N ≥，则1109N −≥>，所以在1223341(,),(,),(,),,(,)N N a a a a a a a a − 这1N −个有序数对中，至少有两个有序数对相同，即存在正整数,()s t s t ≠，使得11,t s s t a a a a ++==，所以当项数11N ≥时，数列A 一定是2−连续等项数列，若3N =，数列0,0,1不是2−连续等项数列；若4N =，数列0,0,1,1不是2−连续等项数列；若5N ，数列0,0,1,1,0不是2−连续等项数列；若6N =，数列0,0,1,1,0,1−不是2−连续等项数列；若7N =，数列0,0,1,1,0,1,1−不是2−连续等项数列；若8N =，数列0,0,1,1,0,1,1,1−−不是2−连续等项数列；若9N =，数列0,0,1,1,0,1,1,1,1−−−不2−连续等项数列；若10N =,数列0,0,1,1,0,1,1,1,1,0−−−不是2−连续等项数列，所以N 的最小值为11. 【小问3详解】因为12,A A 与3A 都是4−连续等项数列，所以存在两两不等的正整数,,(,,2)i j k i j k N <−,使得21123,,,1i N i N i N i a a a a a a a −+−++====−，是21123,,,0,j N j N j N j a a a a a a a −+−++====21123,,,1k N k N k N k a a a a a a a −+−++====，下面用反证法证明{}min ,,1i j k =，假设{}min ,,1i j k >，因为{}1113,,,1,0,1i j k N a a a a −−−−∈−，所以1113,,,i j k N a a a a −−−−中至少有两个数相等，不妨设11i j a a −−=，则111122,,,,i j i j i j i j a a a a a a a a −−++++==== 所以A 是4−连续等项数列，与题设矛盾，所以{}min ,,1i j k =，所以22230N i j k a a a a a +++=====. 【点睛】方法点睛：对于新定义问题，一般先要读懂定义内容，第一问一般是给具体的函数或数列验证是否满足所给定义，只需要结合新定义，验证即可，在验证过程中进一步加强对新定义的理解，第二步一般在第一步强化理解的基础上，所给函数或数列更加一般或复杂，进一步利用新定义处理，本题第三问根据12,A A 与3A 都是4−连续等项数列得出21123,,,1i N i N i N i a a a a a a a −+−++====−，21123,,,0,j N j N j N j a a a a a a a −+−++====21123,,,1k N k N k N k a a a a a a a −+−++====，利用反证法求{}min ,,1i j k =是关键点.。

北京101中学下学期高一年级期末考试数学试卷-最新教育文档

北京101中学2019-2019学年下学期高一年级期末考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共10小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 不等式21-+x x ≤0的解集是（） A. {x|-1≤X ≤2}B. {x|-1≤X<2}C. {x|x>2或x ≤-1}D. {x|x<2} 2. 设等差数列{a n }的前n 项和S n ，若a 4+a 10=4，则S 13=（）A. 13B. 14C. 26D. 523. 在△ABC 中，若sin 2A+sin 2B<sin 2C ，则△ABC 的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定 4. 已知直线l 1的方程为3x+4y-7=0，直线l 2的方程为3x+4y+1=0，则直线l 1和l 2的距离为（） A. 58 B. 59 C. 54 D. 109 5. 设某直线的斜率为k ，且k ∈（-3，33），则该直线的倾斜角α的取值范围是（） A. （3π，65π） B. （6π，32π） C. [0，3π）（65π，π） D. [0，6π）（32π，π） 6. 对于直线m ，n 和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A. m ⊥n ，m ∥α，n ∥βB. m ⊥n ，α β=m ，n ⊂αC. m ∥n ，n ⊥β，m ⊂αD. m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β 7. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下四个命题：①BM ⊥平面ADNE ；②CN ∥平面ABFE ；③平面BDM ∥平面AFN ；④平面BDE ⊥平面NCF 。

其中正确命题的序号是（）A. ②③B. ①②③C. ②③④D. ①②③④ 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A. 38 B. 34C. 2D. 4 9. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。

北京市海淀区一零一中学高一数学下学期期末考试试题(含解析)

北京市海淀区北京一零一中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题:在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.不等式1 xx->0的解集是（）A. （－∞，0）U（1，+∞）B. （－∞，0）C. （1，+∞）D. （0，1）【答案】A【解析】【分析】由题意可得，()1010xx xx->⇔->，求解即可.【详解】()1010xx xx->⇔->，解得1x>或0x<，故解集为（－∞，0）U（1，+∞），故选A.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题.2.如图，长方体1111ABCD A B C D-的体积为1V，E为棱1CC上的点,且113CE CC=，三棱锥E－BCD的体积为2V，则21VV=（）A.13B.16C.19D.118【答案】D【解析】【分析】分别求出长方体1111ABCD A B C D -和三棱锥E －BCD 的体积，即可求出答案. 【详解】由题意，11ABCD V S CC =⋅，21111113321318BCD ABCD ABCD V S CE S CC S CC ⎛⎫⎛⎫=⋅==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭V ，则21118V V =. 故选D.【点睛】本题考查了长方体与三棱锥的体积的计算，考查了学生的计算能力，属于基础题.3.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是所在棱的中点，则MN 与平面1BB D 的位置关系是（）A. MN ⊂平面1BB DB. MN 与平面1BB D 相交C. MN //平面1BB DD. 无法确定MN 与平面1BB D 的位置关系【答案】C 【解析】【分析】取CD 的中点E ，连结,ME EN ，可证明平面//EMN 平面1BB D ，由于MN ⊂平面EMN ，可知//MN 平面1BB D .【详解】取CD 的中点E ，连结,ME EN ，显然11//,////EM BD EN CC BB ，因为EM ⊄平面1BB D ，EN ⊄平面1BB D ，所以//EM 平面1BB D ，//EN 平面1BB D ，又EM EN E =I ，故平面//EMN 平面1BB D ，又因为MN ⊂平面EMN ，所以//MN 平面1BB D . 故选C.【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了线面平行、面面平行的证明，属于基础题.4.已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（） A. 11x y x y->- B. cos cos 0x y -<C.110x y-> D. ln x +ln y >0【答案】A 【解析】【分析】结合选项逐个分析，可选出答案.【详解】结合x ，y ∈R ，且x >y >0，对选项逐个分析：对于选项A ，0x y ->，110y xx y xy--=<，故A 正确；对于选项B ，取2πx =，3π2y =，则3cos cos cos 2cos 1002x y -=π-π=->，故B 不正确；对于选项C ，110y x x y xy--=<，故C 错误；对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确. 故选A.【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.5.等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A. a 1＝1 B. a 3＝1 C. a 4＝1 D. a 5＝1【答案】B 【解析】分析：由题意知25511T a q （）==，由此可知211a q =，所以一定有31a =．详解2342551111111T a a q a q a q a q a q =⋅⋅⋅⋅==：（），211a q ∴= ，31a ∴= ．故选：B ．点睛：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．6.设α，β为两个平面，则能断定α∥β的条件是（） A. α内有无数条直线与β平行 B. α，β平行于同一条直线 C. α，β垂直于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面【答案】C 【解析】【分析】对四个选项逐个分析，可得出答案.【详解】对于选项A ，当α，β相交于直线l 时，α内有无数条直线与β平行，即A 错误；对于选项B ，当α，β相交于直线l 时，存在直线满足：既与l 平行又不在两平面内，该直线平行于α，β，故B 错误；对于选项C ，设直线AB 垂直于α，β平面，垂足分别A,B ，假设α与β不平行，设其中一个交点为C ，则三角形ABC 中，90ABC BAC ︒∠=∠=，显然不可能成立，即假设不成立，故α与β平行，故C 正确；对于选项D ，α，β垂直于同一平面，α与β可能平行也可能相交，故D 错误. 【点睛】本题考查了面面平行的判断，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.7.如图，A ，B 是半径为1的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中△PAB 的面积的最大值为（）A.1sin 2β+sin2β B. sin β+12sin2β C. β+sin β D. β+cos β【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理可得，22sin ABR APB==∠，则2sin AB β=，12ABC S AB h =⋅V ，当点P 在AB的中垂线上时，h 取得最大值，此时ABP △的面积最大，求解即可. 【详解】在ABP △中，由正弦定理可得，22sin ABR APB==∠，则2sin AB β=.12ABC S AB h =⋅V ，当点P 在AB 的中垂线上时，h 取得最大值，此时ABP △的面积最大. 取AB 的中点C ，过点C 作AB 的垂线，交圆于点D ，取圆心为O ，则2221sin cos OC OB BC ββ=-=-=（β为锐角），1cos CD DO OC β=+=+.所以ABP △的面积最大为()()1112sin 1cos sin sin cos sin sin 2222S AB DC βββββββ=⋅=⋅+=+=+. 故选B.【点睛】本题考查了三角形的面积的计算、正弦定理的应用，考查了三角函数的化简，考查了计算能力，属于基础题.8.已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC ，△ABC 2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°.则球O 的体积为（） A. 86π B. 43π6πD.3π2【答案】D 【解析】【分析】计算可知三棱锥P －ABC 的三条侧棱互相垂直，可得球O 是以PA 为棱的正方体的外接球，球的直径23d PA =O 的体积.【详解】在△PAC 中，设PAC θ∠=，2PA PB PC x ===，,0EC y x =>，0y >，因为点E ，F 分别是PA ，AB 的中点，所以1,2EF PB x AE x ===，在△PAC 中，22cos 222x θ=⨯⨯，在△EAC 中，22cos 22x θ=⨯⨯整理得221x y -=-，因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以6CF =，又因为∠CEF =90°，所以2232x y +=，所以12x =，所以21PA PB PC x ====.又因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以PA,PB,PC 两两垂直，则球O 是以PA 为棱的正方体的外接球，则球的直径233d PA ==，所以外接球O 的体积为33443πππ3322d V r ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故选D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.二、填空题。

2019-2020学年北京市101中学高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京市101中学高一第二学期期末数学试卷一、填空题（共10小题）.1．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα＝．2．已知f（x）＝cos2x﹣sin2x，则f（x）的最小正周期是．3．已知A（1，2），B（2，3），C（﹣2，5），则＝；4．在△ABC中，a＝2，b＝2，A＝30°，则角B＝．5．设α，β是两个不同的平面，1是直线且1⊂α，则“1⊥β”是“α⊥β”的条件（参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要）．6．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为60，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．7．若在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝．8．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3cm，AC＝4cm，AB ⊥AC，AA1＝12cm，则球O的表面积为cm2．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是．10．如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是．二、选择题（共5小题）.11．设向量，满足||＝2，||＝1，＜，＞＝60°，则|+2|＝（）A．2 B．2 C．D．1212．下列函数中，周期为1的奇函数是（）A．y＝1﹣2sin2πx B．C．D．y＝sinπx cosπx13．要想得到函数的图象，只需将函数y＝sin x的图象上所有的点（）A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D．横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度14．在△ABC中，＝sin2（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形15．在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（）A．点F的轨迹是一条线段B．A1F与BE是异面直线C．A1F与D1E不可能平行D．三棱锥F﹣ABD1的体积为定值三、解答题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．已知函数f（x）＝2sin（2x﹣）．（1）求函数f（x）的对称轴；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值与最小值．17．在△ABC中，a，b，c分别是角A．B，C的对边，且c＝（1）求b的值（2）△ABC的面积．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，F分别为棱AB，BC，C1B1中点．（1）求证：AC1∥平面B1DE；（2）求证：AF∥平面B1DE．19．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C+c＝b．（1）求角A的大小；（2）若a＝1，求△ABC周长l的最大值．20．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，F为A1C 的中点，如图2．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1BD；（Ⅱ）求证：平面A1OB⊥平面A1OC；（Ⅲ）线段OC上是否存在点G，使得OC⊥平面EFG？说明理由．参考答案一、填空题．共10道小题．每道小题4分，共40分．1．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα＝．【分析】由三角函数的定义可直接求得sinα．解：∵知角a的终边经过点P（﹣3，4），∴sinα＝＝．故答案为：．2．已知f（x）＝cos2x﹣sin2x，则f（x）的最小正周期是π．【分析】利用二倍角的余弦函数以及函数的周期求解即可．解：函数f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，函数的周期为：＝π．故答案为：π．3．已知A（1，2），B（2，3），C（﹣2，5），则＝0；【分析】首先求出、的坐标，而后可求•＝0．解：＝（1，1），＝（﹣3，3），•＝1×（﹣3）+1×3＝0．故答案为：0．4．在△ABC中，a＝2，b＝2，A＝30°，则角B＝60°或120°．【分析】由已知及正弦定理可求sin B的值，结合范围B∈（30°，180°），可求B的值．解：∵，A＝30°，∴由正弦定理，可得：sin B＝＝＝，∵b＞a，可得：B∈（30°，180°），∴B＝60°或120°．故答案为：60°或120°．5．设α，β是两个不同的平面，1是直线且1⊂α，则“1⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件（参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要）．【分析】面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．根据题意由判断定理得l⊥β⇒α⊥β．若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．由α⊥β，直线l⊂α得不到l⊥β，故可得出结论．．解：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．因为直线l⊂α，且l⊥β所以由判断定理得α⊥β．所以直线l⊂α，且l⊥β⇒α⊥β若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．所以“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．6．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为60，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是5．【分析】设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，由题意可得abc＝60，再由棱锥体积公式求得三棱锥E﹣BCD的体积．解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，由题意可得，abc＝60，∵E为CC1的中点，∴．故答案为：5．7．若在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝．【分析】又A的度数求出sin A和cos A的值，根据sin A的值，三角形的面积及b的值，利用三角形面积公式求出c的值，再由cos A，b及c的值，利用余弦定理求出a的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值．解：由∠A＝60°，得到sin A＝，cos A＝，又b＝1，S△ABC＝，∴bc sin A＝×1×c×＝，解得c＝4，根据余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝1+16﹣4＝13，解得a＝，根据正弦定理＝＝＝＝，则＝．故答案为：8．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3cm，AC＝4cm，AB ⊥AC，AA1＝12cm，则球O的表面积为169πcm2．【分析】由于直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC为直角三角形，我们可以把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积．解：由题意，三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面ABC为直角三角形，把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为＝13，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的表面积是4πR2＝169πcm2．故答案为：169π．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是．【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．解：∵，＝＝＝＝||＝，∴||＝1，||＝﹣1，∴＝（）（）＝＝﹣＝﹣2++2＝，故答案为：10．如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是2+2．【分析】由三角函数的定义设等腰三角形的底角为θ，则θ∈（0，），则等腰三角形的底边为2cosθ，高为sinθ，由二倍角公式及辅助角公式S阴＝（2cosθ）2+4×＝2sin2θ+2cos2θ+2＝2sin（2θ+）+2，再求函数的最大值即可解：设等腰三角形的底角为θ，则θ∈（0，），则等腰三角形的底边为2cosθ，高为sinθ，则S阴＝（2cosθ）2+4×＝2sin2θ+2cos2θ+2＝2sin（2θ+）+2，又2（，），当2θ＝，即时，S阴取最大值2+2，故答案为：2+2．二、选择题．共5道小题，每道小题5分，共25分．每道小题给出的选项中有且仅有一个选项正确．11．设向量，满足||＝2，||＝1，＜，＞＝60°，则|+2|＝（）A．2 B．2 C．D．12【分析】直接利用向量的模以及数量积的运算法则求解即可．解：向量，满足||＝2，||＝1，＜，＞＝60°，则|+2|2＝＝4+4××1+4＝12，则|+2|＝2．故选：B．12．下列函数中，周期为1的奇函数是（）A．y＝1﹣2sin2πx B．C．D．y＝sinπx cosπx【分析】对A先根据二倍角公式化简为y＝cos2πx为偶函数，排除；对于B验证不是奇函数可排除；对于C求周期不等于1排除；故可得答案．解：∵y＝1﹣2sin2πx＝cos2πx，为偶函数，排除A．∵对于函数，f（﹣x）＝sin（﹣2πx+）≠﹣sin（2πx+），不是奇函数，排除B．对于，T＝≠1，排除C．对于y＝sinπx cosπx＝sin2πx，为奇函数，且T＝，满足条件．故选：D．13．要想得到函数的图象，只需将函数y＝sin x的图象上所有的点（）A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D．横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度【分析】根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：将函数y＝sin x的图象上所有的点横坐标缩短为原来的倍，可得y＝sin2x，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，可得y＝sin2（x﹣）＝sin（2x﹣）．故选：C．14．在△ABC中，＝sin2（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【分析】由倍角公式化简已知可得＝，结合余弦定理可得＝，可得：a2+b2＝c2，即可判定得解．解：∵＝sin2，∴＝，∵cos B＝，又由余弦定理可得cos B＝，∴可得：a2+b2＝c2，∴三角形为以∠C为直角的直角三角形．故选：A．15．在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（）A．点F的轨迹是一条线段B．A1F与BE是异面直线C．A1F与D1E不可能平行D．三棱锥F﹣ABD1的体积为定值【分析】分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，以及体积公式分别进行判断．解：对于A．设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．∴A正确．对于B．∵平面A1MN∥平面D1AE，BE和平面D1AE相交，∴A1F与BE是异面直线，∴B正确．对于C，由A知，平面A1MN∥平面D1AE，∴A1F与D1E不可能平行，∴C错误．对于D，因为MN∥EG，则F到平面AD1E的距离是定值，三棱锥F﹣AD1E的体积为定值，所以D正确；故选：C．三、解答题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．已知函数f（x）＝2sin（2x﹣）．（1）求函数f（x）的对称轴；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值与最小值．【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程．（2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值．解：（1）函数f（x）＝2sin（2x﹣）．令2x﹣（k∈Z），解得x＝（k∈Z），所以函数f（x）的对称轴方程为：x＝（k∈Z）．（2）由于x∈[0，]，所以，故sin（2x﹣）．则：﹣1≤f（x）≤2．故：当x＝0时，函数的最小值为﹣1．当x＝时，函数的最大值为2．17．在△ABC中，a，b，c分别是角A．B，C的对边，且c＝（1）求b的值（2）△ABC的面积．【分析】（1）由A与C度数求出B的度数，再由c及C的度数，利用正弦定理求出b 的值即可；（2）由b，c及sin A的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．解：（1）∵A＝105°，C＝30°，∴B＝45°，又c＝，sin C＝，∴由正弦定理＝得：b＝＝＝2；（2）∵b＝2，c＝，sin A＝sin105°＝sin（60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°＝，∴S△ABC＝bc sin A＝×2××＝．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，F分别为棱AB，BC，C1B1中点．（1）求证：AC1∥平面B1DE；（2）求证：AF∥平面B1DE．【分析】（1）由已知利用三角形的中位线的性质可证DE∥AC，进而利用线面平行的判定定理即可证明AC∥平面B1DE．（2）由已知可证B1ECF是平行四边形，进而证明FC∥B1E，利用线面平行的判定证明FC∥平面B1DE，根据面面平行的判定证明平面ACF∥平面B1DE，根据面面平行的性质即可可证AF∥平面B1DE．【解答】证明：（1）在△ABC中，D，E分别为棱AB，BC中点．所以DE∥AC，因为DE⊂平面B1DE，AC⊄平面B1DE，所以AC∥平面B1DE．（2）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC B1C1，因为E，F分别为BC，C1B1中点，所以CE B1F，所以B1ECF是平行四边形，所以FC∥B1E，因为FC⊄平面B1ED，B1E⊂平面B1ED，所以FC∥平面B1DE，又因为AC∥平面B1DE，AC∩CF＝C，所以平面ACF∥平面B1DE，所以AF∥平面B1DE．19．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C+c＝b．（1）求角A的大小；（2）若a＝1，求△ABC周长l的最大值．【分析】（1）由题意利用正弦定理，两角和差的三角公式，求得cos A的值，可得A的值．（2）利用正弦定理求得b、c的解析式，可得周长l的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得△ABC的周长l的最大值．解：（1）△ABC中，∵，∴由正弦定理可得sin A cos C+sin C＝sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∴sin C＝cos A sin C，∴cos A＝．结合A∈（0，π），可得A＝．（2）由正弦定理得，∴周长＝．∵，∴，∴，故△ABC的周长l的最大值为3．20．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，F为A1C的中点，如图2．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1BD；（Ⅱ）求证：平面A1OB⊥平面A1OC；（Ⅲ）线段OC上是否存在点G，使得OC⊥平面EFG？说明理由．【分析】（Ⅰ）取线段A1B的中点H，连接HD，HF，推导出四边形DEFH为平行四边形，从而EF∥HD．由此能证明EF∥平面A1BD．（Ⅱ）推导出A1O⊥DE，CO⊥A1O，CO⊥BO，从而CO⊥平面A1OB，由此能证明平面A1OB⊥平面A1OC．（Ⅲ）假设线段OC上存在点G，使得OC⊥平面EFG，连接GE，GF，则必有OC⊥GF，且OC⊥GE．推导出EO＝EC，这与EO＝1，矛盾，从而线段OC上不存在点G，使得OC⊥平面EFG．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）取线段A1B的中点H，连接HD，HF．（1分）因为在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC，．因为H，F分别为A1B，A1C的中点，所以HF∥BC，，所以HF∥DE，HF＝DE，所以四边形DEFH为平行四边形，所以EF∥HD．因为EF⊄平面A1BD，HD⊂平面A1BD，所以EF∥平面A1BD．（Ⅱ）因为在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，所以AD＝AE．所以A1D＝A1E，又O为DE的中点，所以A1O⊥DE．因为平面A1DE⊥平面BCED，且A1O⊂平面A1DE，所以A1O⊥平面BCED，所以CO⊥A1O．在△OBC中，BC＝4，OB＝OC＝＝＝2，所以CO⊥BO，所以CO⊥平面A1OB，所以平面A1OB⊥平面A1OC．解：（Ⅲ）线段OC上不存在点G，使得OC⊥平面EFG．否则，假设线段OC上存在点G，使得OC⊥平面EFG，连接GE，GF，则必有OC⊥GF，且OC⊥GE．在Rt△A1OC中，由F为A1C的中点，OC⊥GF，得G为OC的中点．在△EOC中，因为OC⊥GE，所以EO＝EC，这与EO＝1，矛盾！所以线段OC上不存在点G，使得OC⊥平面EFG．。

北京第一零一中学选修二第一单元《数列》检测题(有答案解析)

一、选择题1．我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.问：齐去长安多少里？（） A ．1125B ．1250C ．2250D ．25002．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩3．已知数列{}n a 满足11a =，()*12nn n a a n a +=∈+N ，若()*11(2)1n n b n n a λ+⎛⎫=-⋅+∈ ⎪⎝⎭N ，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（） A ．23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ< 4．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，102103101aa -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（）A ．102B ．203C ．204D ．2055．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若110,,22n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（） A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知数列{}n b 满足12122n n b n λ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（） A ．101,3B ．110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(-1，1)D ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭7．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4aD ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a8．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且675S S S >>，有下面4个结论： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ，其中正确结论的序号为（） A ．②③B ．①②C ．①③D ．①④9．已知等比数列{}n a 的前n 项和()232nn S λλ=+-⋅（λ为常数），则λ=（） A ．2-B ．1-C ．1D ．210．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是A ．21n n n a a a ++=+B ．13599100a a a a a ++++=C ．2499a a a a +++=D ．12398100100S S S S S ++++=-11．定义12...nnp p p +++为n 个正数12,,......n p p p 的“均倒数”，若已知正整数数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231920111b b b b b b +++=（） A ．1920 B ．120C ．1011 D ．11112．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，334S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是（） A ．0,1B ．[]1,0-C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题13．数列{}n a 满足2121231722222n n a a a a n n -+++⋅⋅⋅+=-，若对任意0λ>，所有的正整数n 都有22n k a λλ-+>成立，则实数k 的取值范围是_________．14．数列1，()12+，()223234122,1222,(1222()2),....+++++++++的前n 项之和n S =____________.15．已知数列{}n a 为等差数列，1351a a a ++=，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，若当且仅当20n =时，n S 取到最大值，则246a a a ++的取值范围是________16．已知等差数列{} n a 的前n 项和为n S ，若1100OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则100S =____________.17．设数列{}n a 的前n 项和,n S 若11a =-，()*1102n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为_______．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足318S =，3180n S -=，270n S =，则n =________.19．等差数列{}n a 中，若15939a a a ++=，371127a a a ++=，则数列{}n a 前11项的和为__________．20．数列{}n a 满足， 123231111212222n na a a a n ++++=+，写出数列{}n a 的通项公式__________.三、解答题21．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知520S =，23a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 的通项公式2nn b =，将数列{}n a 中与{}n b 的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列{}n c ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2020T . 22．在①535S =，②122114b b S -=，③35S T =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：已知正项等差数列{}n a 的公差是等差数列{}n b 的公差的两倍，设n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，且13a =，23T =，________，设2n b n n c a =⋅，求{}n c 的前n 项和n A .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 23．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足()220n n S n n S -+=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设14n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：1n T < 24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()()31n n n S a n a -=-．（1）求n a ；（2）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1n T <．25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，从条件①()11n n na n a +=+，②()12n n n a S +=，③22n n n a a S +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，____. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 和n T .26．已知数列{}n a 满足1122n n n a a a +=+()N n *∈，11a =. （1）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式. （2）若记n b 为满足不等式11122k nn a -⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()N n *∈的正整数k 的个数，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求关于n 的不等式4032n S <的最大正整数解.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由题意可知，良马每日行的距离{}n a 以及驽马每日行的距离{}n b 均为等差数列，确定这两个数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得结果. 【详解】由题意可知，良马每日行的距离成等差数列，记为{}n a ，其中1103a =，公差113d =. 驽马每日行的距离成等差数列，记为{}n b ，其中197b =，公差20.5d =-. 设长安至齐为x 里，则1291292a a a b b b x +++++++=，即9813980.521039979225022x ⨯⨯⨯⨯=⨯++⨯-=，解得1125x =. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于得出长安至齐的距离等于良马和驽马九日所行的距离之和的 2倍，并结合题意得知两匹马所行的距离成等差数列，解题时要充分抓住题中信息进行分析，将实际问题转化为数学问题来求解.2．B解析：B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题.3．C解析：C 【分析】由数列递推式()*12n n n a a n a +=∈+N 得到11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入1(2)2nn b n λ+=-⋅，当2n ≥时，1n n b b +>，且21b b >求得实数λ的取值范围. 【详解】解：由12n n n a a a +=+得，1121n na a +=+ 则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭由11a =，得1112a +=， ∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列， ∴111222n n na -+=⨯=，由()*11(2)1n nb n n a λ+⎛⎫=-⋅+∈⎪⎝⎭N ，得1(2)2nn b n λ+=-⋅，因为数列{}n b 是单调递增数列，所以2n ≥时，1n n b b +>，1(2)2(12)2n n n n λλ--⋅--⋅∴>，即12n λ+<，所以32λ<，又∵1b λ=-，2(12)224b λλ=-⋅=-，由21b b >，得24λλ->-，得23λ<，综上：实数λ的取值范围是2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故选：C . 【点睛】解决数列的单调性问题的3种方法：（1）作差比较法根据1n n a a +>的符号判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；（2）作商比较法根据1n na a +(0n a >或0n a <)与1的大小关系进行判断；（3）数形结合法结合相应函数的图象直观判断.4．C解析：C 【分析】由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由10210310a a ->，即1021031a a >，则有21021a q ⨯>，即0q >。

2023北京一零一中学高一下学期期末数学试题及答案

2023北京一零一中高一（下）期末数学（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（）A. 1,3a b ==−B. 1,3a b =−=C. 1,3a b =−=−D. 1,3a b ==2. 已知向量a 、b 满足1a =，3b =，23a b −=，则a b ⋅=（） A. 2−B. 1−C. 1D. 23. 已知向量(3,1),(0,1),(,3)a b c k ==−=.若2a b −与c 共线，则k =（） A. 1B. 3C. 12D.324. 已知α为第二象限角，sin cos 3αα+=，则cos2α=（）A. B. 9−C.9D.35. 对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α，β都平行于γ； ③存在直线l ⊂α，直线m β⊂，使得//l m ；④存在异面直线l ，m ，使得//l α，l //β，//m α，//m β．其中，可以判定α与β平行的条件有（） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（） A.8π B.4π C.38π D.34π 7. 在ABC 中，“AB AC BA BC ⋅=⋅”是“AC BC =”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 钝角三角形ABC 的面积是4，1,AB BC ==，则2AC =（）A. 4−B. 4+C. 7D. 7或19. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D −的棱长均为4，60BAD ∠=︒，以1D 为球心，面11BCC B 的交线长为（）A.π2C.π3D.10. 设函数()y f x =的定义域为D ，若存在常数a 满足[,]a a D −⊆，且对任意的1],[x a a ∈−，总存在2[,]x a a ∈−，使得()()121f x f x ⋅−=，称函数()f x 为()P a 函数.给出以下四个结论：①函数()3x f x =是(1)P 函数； ②函数3()f x x =是(2)P 函数；③若函数12()log ()f x x t =+是(2)P 函数，则4t =；④若函数()sin f x x b =+是π()2P 函数，则b =. 其中正确结论的序号是（） A. ①②B. ①③C. ①④D. ①③④二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数z 满足1z =，则2i z −的最小值是_______.12. 若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为____________． 13. 若cos α＝17，cos (α＋β)＝－1114，α∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，α＋β∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则β＝________.14. 已知平面向量a ，b ，c 满足：2a b ==，2a b ⋅=−，12c a b −−=，则a ，b 之间的夹角为_______，a c ⋅的取值范围是_______.15. 在正方体1111ABCD A B C D −中，棱长为2，已知点P ，Q 分别是线段1AD ，1AC 上的动点（不含端点）.给出下列四个结论：（1）直线PQ 与直线1B C 垂直；（2）直线PQ 与直线CD 不可能平行；（3）二面角P AC Q −−；（4）PQ QC +的最小值是83. 其中所有正确结论的序号是_______.三、解答题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 已知函数()2π2cos sin 216f x x x ⎛⎫=++− ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得到()g x 的图象，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.17. 如图，ABC 中，2AC BC AB ==，四边形ABED 是正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G ，F 分别是EC ，BD 的中点.（1）求证：//GF 平面ABC ；（2）求证：平面BCD ⊥平面ACD .18. 在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222sin sin sin sin A C A C B +=，（1）求B 的大小；（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得ABC 存在且唯一，求ABC 的面积.条件①：2b =；条件②：1c =；条件③：1sin 2A =.19. 如图，正四棱锥S ABCD −，4SA SB SC SD ====，AB =P 为侧棱SD 上的点，且3SP PD =，（1）求正四棱锥S ABCD −的表面积；（2）求点S 到平面PAC 的距离；（3）侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC .若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由. 20. 已知有穷数列()12:,,,,3N A a a a N N *∈≥N 满足{}()1,0,11,2,,i a i N ∈−=.给定正整数m ，若存在正整数,()s t s t ≠，使得对任意的{0,1,2,,1}k m ∈−，都有s k t k a a ++=，则称数列A 是m -连续等项数列.（1）判断数列:1,1,0,1,0,1,1A −−−是否是3-连续等项数列，并说明理由；（2）若项数为N 的任意数列A 都是2-连续等项数列，求N 的最小值；（3）若数列12:,,,N A a a a 不是4-连续等项数列，而数列112:,,,,1N A a a a −，数列212:,,,,0N A a a a 与数列312:,,,,1N A a a a 都是4-连续等项数列，且30a =，求N a 的值.参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.11.1.12.313.3π 14.2π3；[1,3]. 15.①②③.三、解答题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. （1）因为()2π2cos sin 216f x x x ⎛⎫=++− ⎪⎝⎭ππcos2sin2coscos 2sin 66x x x =++3cos222x x =+1πcos2sin22223x x x ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，即()π23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==. （2）将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得到()3π2π323πg x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎡⎤=−+=⎝⎭⎝−⎢⎥⎦⎭⎣，又π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π2,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，所以πsin 232x ⎡⎤⎛⎫−∈−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则()32g x ⎡∈⎢⎣−，即()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为32⎡−⎢⎣.17. （1）证明：如图，取BE 的中点H ，连接HF ，GH ． G ，F 分别是EC 和BD 的中点，//HG ∴BC ，//HF DE ．又四边形ADEB 为正方形，//DE ∴AB ，从而//HF AB ． BC ⊂平面ABC ，HG ⊄平面ABC ， //HG ∴平面ABC ，同理//HF 平面ABC ，又HG HF H =，,HG HF ⊂平面HGF ，∴平面//HGF 平面ABC ，GF ⊂平面HGF ，则//GF 平面ABC .（2）ADEB ∵为正方形，AD AB ∴⊥．又平面ABED ⊥平面ABC ，且平面ABED ⋂平面ABC AB =，AD ⊂面ADEB ，AD ∴⊥平面ABC ，∵BC ⊂平面ABC ，∴AD BC ⊥，设1AB =，2AC BC AB ==，2AC BC ∴==， ∴222CA CB AB +=，∴AC BC ⊥．又ADAC A =，AD ，AC ⊂平面ACD ，BC ∴⊥平面ACD ，而BC ⊂平面BCD ，∴平面BCD ⊥平面ACD ．18. （1）因为222sin sin sin sin A C A C B +=，由正弦定理得222a c b +−=，则222cos 22a cb B ac +−==，又()0,πB ∈，所以π4B =；（2）选①②，则π2,1,4b c B ==+=，由2222sin b a c ac B =+−，得)2441a =+++，解得a =a =经检验，符合题意，所以ABC 有两解，与题意矛盾.选①③，则1π2,sin ,24b A B ===，因为sin sin a bA B =，所以sin sin b A a b B==<，故A B <，所以π6A =，则()1sin sin 222C A B =+=⨯=，所以111sin 22242ABC S ab C ==⨯=△.选②③，则1π1,sin ,24c A B ===，因为3π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A ，所以π6A =，所以()1sin sin 22224C A B =+=⨯+⨯=，因为sin sin a cA C=，所以)114a ⨯==所以111sin 22242ABC S ab C ==⨯=△. 19. （1）解：取AB 的中点G ，连接SG ，因为4SA SB SC SD ====，AB =，则SG AB ⊥，且SG ===所以，正四棱锥S ABCD −的表面积为21442SAB ABCDS SAB SG AB +=⨯⨯⨯+△288=⨯=+（2）解：连接BD 交AC 于点O ，连接SO 、OP ，如下图所示：因为四边形ABCD 是边长为4BD SB SD ====，故SBD 是边长为4的等边三角形，因为ACBD O =，则O 为BD 、AC 的中点，所以，SO BD ⊥，且sin 6042SO SB ==⨯=11603022OSD BSD ∠=∠=⨯=，因为3SP PD =，则334344SP SD ==⨯=，由余弦定理可得2222cos30129233OP SO SP SO SP =+−⋅=+−⨯=，所以，222SP OP SO +=，所以，SP OP ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，因为SA SC =，O 为AC 的中点，则AC SO ⊥，因为SO BD O ⋂=，SO 、BD ⊂平面SBD ，所以，AC ⊥平面SBD ，因为SP ⊂平面SBD ，所以，SP AC ⊥，因为OP AC O ⋂=，OP 、AC ⊂平面PAC ，所以，SP ⊥平面PAC ，因此，点S 到平面PAC 的距离为3SP =.（3）解：在侧棱SD 上存在一点E ，使//BE 平面PAC ，满足2SEEC=，理由如下：取SD 的中点为Q ，因为3SP PD =，则PQ PD =，过Q 作PC 的平行线交SC 于E ，连接BQ 、BE .在BDQ △中，因为O 、P 分别为BD 、DQ 的中点，则//BQ PO ，因为PO ⊂平面PAC ，⊄BQ 平面PAC ，所以//BQ 平面PAC ，由2SE SQEC QP==，则//QE PC ，因为PC ⊂平面PAC ，QE ⊄平面PAC ，所以//QE 平面PAC ，而BQQE Q =，BQ 、QE ⊂平面BEQ ，故面//BEQ 面PAC ，又BE ⊂面BEQ ，则//BE 平面PAC ，此时2SEEC=. 20. （1）数列A 是3−连续等项数列，理由如下:数列:1,1,0,1,0,1,1A −−−中，2435461,0,1a a a a a a ==−====−，即有24(0,1,2)k k a a k ++==，所以数列A 是3−连续等项数列.（2）设集合{{}{}}(,)|1,0,1,1,0,1S x y x y =∈−∈−，则S 中的元素个数为23=9，因为在数列A 中{}1,0,1(1,2,,)i a i N ∈−=，所以1(,)(1,2,,1)i i a a S i N +∈=−，若11N ≥，则1109N −≥>，所以在1223341(,),(,),(,),,(,)N N a a a a a a a a −这1N −个有序数对中，至少有两个有序数对相同，即存在正整数,()s t s t ≠，使得11,t s s t a a a a ++==，所以当项数11N ≥时，数列A 一定是2−连续等项数列，若3N =，数列0,0,1不是2−连续等项数列；若4N =，数列0,0,1,1不是2−连续等项数列；若5N，数列0,0,1,1,0不是2−连续等项数列；若6N =，数列0,0,1,1,0,1−不是2−连续等项数列；若7N =，数列0,0,1,1,0,1,1−不是2−连续等项数列；若8N =，数列0,0,1,1,0,1,1,1−−不是2−连续等项数列；若9N =，数列0,0,1,1,0,1,1,1,1−−−不是2−连续等项数列；若10N =,数列0,0,1,1,0,1,1,1,1,0−−−不是2−连续等项数列，所以N 的最小值为11.（3）因为12,A A 与3A 都是4−连续等项数列，所以存在两两不等的正整数,,(,,2)i j k i j k N <−,使得21123,,,1i N i N i N i a a a a a a a −+−++====−，21123,,,0,j N j N j N j a a a a a a a −+−++====21123,,,1k N k N k N k a a a a a a a −+−++====，下面用反证法证明{}min ,,1i j k =，假设{}min ,,1i j k >，因为{}1113,,,1,0,1i j k N a a a a −−−−∈−，所以1113,,,i j k N a a a a −−−−中至少有两个数相等，不妨设11i j a a −−=，则111122,,,,i j i j i j i j a a a a a a a a −−++++====所以A 是4−连续等项数列，与题设矛盾，所以{}min ,,1i j k =，所以22230N i j k a a a a a +++=====.。

2023-2024学年北京市第一零一中学高一下学期期末考试数学试题+答案解析

2023-2024学年北京市第一零一中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.的值为()A. B. C. D.2.已知复数z满足，则()A. B. C. D.3.如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面()A.没有其他公共点B.仅有这一个公共点C.仅有两个公共点D.有无数个公共点4.已知奇函数的图象的一条对称轴为直线，那么的解析式可以为()A. B.C. D.5.将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折起，折起后点D记为若，则四面体的体积为()A. B. C. D.6.“，”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在中，角所对的边分别为已知，，给出下列五个a的值：①；②；③；④2；⑤其中能使得存在且唯一确定的是()A.①④B.②③C.④⑤D.②④⑤8.在中，，，已知点P满足，且，则()A. B. C. D.9.在中，若，，，则为()A. B. C. D.10.如图，四棱锥中，底面是正方形，各侧棱都相等，记直线SA与直线AD所成角为，直线SA与平面ABCD所成角为，二面角的平面角为，则()A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

11.已知复数z满足，，则z的虚部为__________.12.已知a，b是平面外的两条不同直线．给出下列六个论断：①；②；③；④；⑤；⑥选其中的两个论断作为条件，余下的其中一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________.13.已知，，则__________.14.如图，在平面四边形ABCD中，，，记与的面积分别为，，则的值为__________.15.如图1是唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体如图当这种酒杯内壁的表面积为，半球的半径为Rcm时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积厚度忽略不计的3倍，则的取值范围是__________取16.如图，在棱长为4的正方体中，点P是线段AC上的动点包含端点，点E在线段上，且，给出下列四个结论：①存在点P，使得直线平面；②点P沿直线AC从点A移动到点C的过程中，四面体的体积逐渐减小；③若，则点P轨迹的长度为；④当二面角的平面角的正切值为时，平面截正方体所得截面图形的面积为其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共4小题，共48分。

北京101中学下学期高一年级期末考试数学试卷

北京101中学-下学期高一年级期末考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共10小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

【最新】北京101中学下册第二学期高一年级期末考试数学试卷

北京101中学2019-2020学年下学期高一年级期末考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 已知集合M={|2-4+3<0}，N={|3->1}，则M N=（）A {| 1<<3}B {| 1<<2} D {| <3}2 某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为（）A 90B 100 180 D 3003 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，的值分别为3，2，则输出v的值为（）A 9B 18 20 D 354 重庆市2016年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如图，则这组数据的中位数是（）A 19B 20215D 235 在区间[0，2]上随机取一个实数，若事件“3-<0”发生的概率为61，则实数的值为（） A l B2131D61 6 已知实数，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥--,3,03,01y y x y x 则2+y 的最小值为（）A 11B 54D 27 已知实数，y 满足a<a y （0<a<1），则下列关系式恒成立的是（） A111122+>+y x B ln （2+1）>ln （y 2+1） sin>sinyD 3>y 38 如图，正方体ABD-A 1B 11D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF=21，有下列结论：①A ⊥BE ；②EF ∥平面ABD ；③平面A 1A 1⊥平面BEF ；④△AEF 的面积与△BEF 的面积相等正确的个数为（）A 1B 23D 4二、填空题共6小题9 已知函数f （）=+x8-3（>0），则f （）的最小值是__________10 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为_______11 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是_______（填序号）①对立事件；②不可能事件；③互斥但不对立事件；④对立不互斥事件12 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为_______ 13 已知直线l ⊥平面α，直线⊂平面β，给出下列命题，其中正确命题的序号是_______ ①α∥β⇒l ⊥；②α⊥β⇒l ∥；③l ∥⇒α⊥β；④l ⊥⇒α∥β14 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影由区域⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤-043,0,02y x y x x 中的点在直线+y-2=0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB|=_________三、解答题共5小题解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15 某儿童乐园在“六一儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为，y 奖励规则如下：①若y ≤3，则奖励玩具一个; ②若y ≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由16 如图，在三棱锥V-AB 中，平面V AB ⊥平面AB ，△V AB 为等边三角形，A ⊥B 且A=B ，O ，M 分别为AB ，V A 的中点求证：（1）VB∥平面MO；（2）O⊥平面V AB17 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，05），[05，1），…，[4，45]分成9组制成了如图所示的频率分布直方图（1）求直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85％的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由18 如图所示，在正方体ABD-A1B11D1中，M，N，E分别是AA1，A，AB的中点，求证：（1）平面MEN∥平面A1B；（2）A 1⊥1D ；（3）平面A 1E ⊥平面A 1D19 已知a ∈R ，函数f （）=lg 2（x1+a ）（1）当a=5时，解不等式f （）>0；（2）若关于的方程f （）-lg 2[（a-4）+2a-5]=0的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围；（3）设a>0，若对任意t ∈[21，1]，函数f （）在区间[t ，t+1]上的最大值和最小值的差不超过1，求a 的取值范围参考答案1 B23 B4 B5 A6 B7 D89 42-3 10 2 11 ③ 123113 ①③ 14 32 15 （1）用数对（，y ）表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S={（，y ）| ∈N ，y ∈N ，1≤≤4，l ≤y ≤4}一一对应因为S 中元素的个数是4×4=16，所以基本事件总数为n=16 记“y ≤3”为事件A ，则事件A 包含的基本事件共有5个，即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），所以P （A ）=165，即小亮获得玩具的概率为165（2）记“y ≥8”为事件B ，“3<y<8”为事件事件B 包含的基本事件共有6个，即（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4），所以P （B ）=166=83事件包含的基本事件共有5个，即（1，4），（2，2），（2，3），（3，2），（4，1），所以P （）=165 因为83>165，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率 16 （1）因为O ，M 分别为AB ，V A 的中点，所以OM ∥VB又因为OM ⊂平面MO ，VB ⊄平面MO ，所以VB ∥平面MO（2）因为A=B ，O 为AB 的中点，所以O ⊥AB又因为平面VAB ⊥平面AB ，且O ⊂平面AB ，平面AB 平面V AB=AB ，所以O ⊥平面VAB 17 （1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0，05）中的频率为008×05=004，同理，在[05，1），[15，2），[2，25），[3，35），[35，4），[4，45）中的频率分别为008，020，026，006，004，002由004+008+05×a+020+026+05×a+006+004+002=l ，解得a=030（2）由（1）100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为006+004+002=012由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×012=36000（3）因为前6组的频率之和为004+008+015+020+026+015=088>085，而前5组的频率之和为004+008+015+020+026=073<085，所以25≤<3，由03×（-25）=085-073，解得=29，所以估计月用水量标准为29吨时，85％的居民每月的用水量不超过标准 18 （1）因为M ，N ，E 分别是AA 1，A ，AB 的中点，所以MN ∥A 1，ME ∥A 1B 又因为MN ME=M ，所以平面MEN ∥平面A 1B（2）因为B ⊥平面DD 11，1D ⊂平面DD 1l ，所以B ⊥1D又在平面DD ll 中，1D ⊥D 1，B D 1=，所以1D ⊥平面BD 1A l ，又因为A 1⊂平面BD l A l ，所以A 1⊥1D（3）连结A 1D ，取A 1D 中点F ，取A 1中点O ，连结AF ，OF ，OE ，则AF ⊥A 1D因为1D ⊥平面A A DD l ，AF ⊂平面A A DD l ，所以AF ⊥D ，又1D A 1D=D ，所以AF ⊥平面A 1D ，因为OF21D ，EA 21D ，所以OF EA ，所以四边形OFAE 为平行四边形，所以EO ∥AF ，所以EO ⊥平面A 1D ，又EO ⊂平面A 1E ，所以平面A 1E ⊥平面A 1D 19 （1）lg 2（x 1+5）>0⇔x 1+5>1⇔xx 14+>0⇔（4+1）>0，所以不等式的解为{| >0或<-41} （2）依题意，lg 2（x1+a ）=lg 2[（a-4）+2a-5]，所以x1+a=（a-4）+2a-5，① 可得（a-4）2+（a-5）-1=0，即（+1）[（a-4）-1]=0， ②当a=4时，方程②的解为=-1，代入①式，成立当a=3时，方程②的解为=-1，代入①式，成立当a ≠3且a ≠4时，方程②的解为=-l 或=41-a 若=-1为方程①的解，则x1+a=a-1>0，即a>1 若=41-a 为方程①的解，则x1+a=2a-4>0，即a>2 要使得方程①有且仅有一个解，则1<a ≤2综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则a 的取值范围为1<a ≤2或a=3或a=4 （3）在f （）在区间[t ，t+1]上单调递减依题意，f （t ）-f （t+1）≤1，即lg 2（t 1+a ）-lg 2（11+t +a ）≤1，所以t 1+a ≤2（11+t +a ），即a ≥t 1-12+t =)1(1+-t t t设1-t=r ，则r ∈[0，21]， )1(1+-t t t =)2)(1(r r r --=232+-r r r当r=0时，232+-r r r=0 当0<r ≤21时，232+-r r r =321-+rr 因为函数y=+x2在（0，2）递减，所以r+r 2≥21+4=29，所以321-+r r ≤3291-=32，所以a 的取值范围为a ≥32。

北京市一零一中学2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题含解析

试题解析:
解：(1）取线段的中点，连接，．
因为在△ 中, ，分别为，的中点,所以，．
因为，分别为，的中点，所以，，
所以 , ，所以四边形为平行四边形，所以．
因平面，平面，所以平面．
(2）因为在△ 中, ，分别为，的中点，所以．
所以 ,又为的中点，
【详解】解：（1）中，∵ ,
∴由正弦定理可得，
∴ ，∴ .
结合，可得 .
（2）由正弦定理得，，
∴周长
.
∵ ，∴ ，，
∴ ，故的周长l的最大值为3.
【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、三角恒等变换以及正弦函数的性质,属于基础题.
20. 如图1,在△ 中，，分别为 , 的中点，为的中点，，．将△ 沿折起到△ 的位置，使得平面平面，为的中点,如图2．
13。要想得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点
A. 先向右平移个单位长度,再将横坐标伸长为原来的倍,纵坐标不变
B。先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变
C。横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D. 横坐标变伸长原来的倍,纵坐标不变，再向右平移个单位长度
【详解】(1)在中，D，E分别为棱，中点.
所以 ,
因为平面 , 平面，
所以平面 .
（2）在三棱柱中, ，
因为E，F分别为 , 中点,
所以，
所以是平行四边形，
所以 ,
因为平面 , 平面，
所以平面，
又因为平面， ,
所以平面平面，
所以平面。

2020-2021学年北京市一零一中学高一数学下学期期末考试数学试题含解析

北京市一零一中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共10小题）.1．已知z＝2﹣i，则z++i＝（）A．2﹣2i B．4﹣i C．2+2i D．4+i2．下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（）A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）3．在△ABC中，已知a＝，b＝2，B＝45°，则角A＝（）A．30°或150°B．60°或120°C．60°D．30°4．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．在△ABC中，C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P是AB的中点，则＝（）A．B．4 C．D．66．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，n∥m，n⊂β，则α⊥βB．若m⊂α，α∥β，n⊂β，则n∥mC．若m⊥α，α∥β，n⊥β，则n∥mD．若β⊥α，α∩β＝n，m⊂α，n⊥m，则m⊥β7．若tanθ＝﹣2，则＝（）A．B．C．D．8．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间9．如图，在空间四边形ABCD中，两条对角线AC，BD互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边AB，BC，CD，DA分别相交于与E，F，G，H，记四边形EFGH 的面积为y，设＝x，则（）A．函数y＝f（x）的值域为（0，4〗B．函数y＝f（x）的最大值为8C．函数y＝f（x）在（0，）上单调递增D．函数y＝f（x）满足f（x）＝f（）10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立二、填空题（共6小题）.11．设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝．12．若A为△ABC的内角，且，则的值为．13．如图，已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有对．14．已知不等式对于恒成立，则实数m的取值范围是．15．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是．16．已知函数f（x）＝|cos x|•sin x给出下列五个说法：①f（）＝﹣；②若|f（x1）|＝|f（x2）|，则x1＝x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间〖﹣，〗上单调递增；④函数f（x）的周期为π；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是．三、解答题共4小题．解答应写出文字说明、演算步驟或证明过程．17．在△ABC中，c＝2，C＝30°．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：（1）a的值；（2）△ABC的面积．条件①：2b＝a；条件②：b＝2；条件③：A＝45°．18．为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如图：（Ⅰ）从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；（Ⅱ）从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率；（Ⅲ）为便于普及冬奥知识，现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取10名男生、10名女生作为冬奥宣传志愿者．记这10名男生竞赛成绩的平均数为μ1，这10名女生竞赛成绩的平均数为μ2，能否认为μ1＞μ2，说明理由．19．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M是DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD1∥平面AMC；（Ⅱ）求证：AC⊥BD1；（Ⅲ）在线段BB1上是否存在点P，当＝λ时，平面A1PC1∥平面AMC？若存在，求出λ的值并证明；若不存在，请说明理由．20．对n∈N*，定义．（1）求a2（x）﹣a1（x）的最小值；（2）∀n∈N*，有a n（x）≥A恒成立，求A的最大值；（3）求证：不存在m，n∈N*，且m＞n，使得a m（x）﹣a n（x）为恒定常数．▁▃▅▇█参 *考 *答 *案█▇▅▃▁一、选择题（共10小题）.1．已知z＝2﹣i，则z++i＝（）A．2﹣2i B．4﹣i C．2+2i D．4+i解：由z＝2﹣i，得＝2+i，所以z++i＝2﹣i+2+i+i＝4+i．故选：D．2．下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（）A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）解：令，k∈Z．则，k∈Z．当k＝0时，x∈〖，〗，（0，）⊆〖，〗，故选：A．3．在△ABC中，已知a＝，b＝2，B＝45°，则角A＝（）A．30°或150°B．60°或120°C．60°D．30°解：∵a＝，b＝2，B＝45°，∴由正弦定理，得可得sin A＝＝∴A＝30°或150°∵a＜b，可得A＜B，∴A＝30°故选：D．4．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．5．在△ABC中，C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P是AB的中点，则＝（）A．B．4 C．D．6解：在△ABC中，C＝90°，则•＝0，因为点P是AB的中点，所以＝（+），所以＝•〖（+）〗＝2+•＝2＝||2＝．故选：C．6．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，n∥m，n⊂β，则α⊥βB．若m⊂α，α∥β，n⊂β，则n∥mC．若m⊥α，α∥β，n⊥β，则n∥mD．若β⊥α，α∩β＝n，m⊂α，n⊥m，则m⊥β解：若m⊥α，n∥m，则n⊥α，又n⊂β，则α⊥β，故A正确；若m⊂α，α∥β，n⊂β，则n∥m或n与m异面，故B错误；若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，则n∥m，故C正确；若β⊥α，α∩β＝n，m⊂α，n⊥m，由平面与平面垂直的性质可得m⊥β，故D正确．故选：B．7．若tanθ＝﹣2，则＝（）A．B．C．D．解：因为tanθ＝﹣2，所以＝＝＝＝＝．故选：C．8．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为（0.02+0.04）×1＝0.06＝6%，故选项A正确；对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为（0.04+0.02×3）×1＝0.1＝10%，故选项B正确；对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02＝7.68＞6.5万元，故选项C错误；对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为（0.1+0.14+0.2+0.2）×1＝0.64＞0.5，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D 正确．故选：C．9．如图，在空间四边形ABCD中，两条对角线AC，BD互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边AB，BC，CD，DA分别相交于与E，F，G，H，记四边形EFGH 的面积为y，设＝x，则（）A．函数y＝f（x）的值域为（0，4〗B．函数y＝f（x）的最大值为8C．函数y＝f（x）在（0，）上单调递增D．函数y＝f（x）满足f（x）＝f（）解：∵AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，∴AC∥EF．AC∥HG，BD∥EH．BD∥FG，则四边形EFGH为平行四边形，∵两条对角线AC，BD互相垂直，∴EH⊥EF，则四边形EFGH为矩形，∵＝x，∴由＝1﹣＝1﹣x，即EH＝（1﹣x）BD＝6（1﹣x），同理＝，则EF＝x•AC＝4x，则四边形EFGH的面积为y＝EH•EF＝4x•6（1﹣x）＝24（x﹣x2）＝﹣24（x﹣）2+6，∵x∈（0，1），∴当x＝时，函数取得最大值6，故A，B错误．函数的对称轴为x＝，则函数在（0，）上是单调递增函数，故C正确．∵函数的对称轴为x＝，∴函数y＝f（x）满足f（x）＝f（1﹣x），故D错误．故选：C．10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），两点数和为7的所有可能为（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），P（甲）＝，P（乙）＝，P（丙）＝＝，P（丁）＝＝，A：P（甲丙）＝0≠P（甲）P（丙），B：P（甲丁）＝＝P（甲）P（丁），C：P（乙丙）＝≠P（乙）P（丙），D：P（丙丁）＝0≠P（丙）P（丁），故选：B．二、填空题共6小题11．设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝﹣1 ．解：（1+i）（a+i）＝a﹣1+（a+1）i，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a+1＝0，解得：a＝﹣1，故答案为：﹣112．若A为△ABC的内角，且，则的值为．解：∵A为△ABC的内角，且，∴，解得sin A＝，cos A＝，∴＝．故答案为：．13．如图，已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有7 对．解：根据题意，因为PD垂直于正方形ABCD所在的平面，PD⊂平面PAD，PD⊂平面PCD，PD⊂平面PBD，所以平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面ABCD，平面PBD⊥平面ABCD；因为PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PD，由于AB⊥AD，AD∩PD＝D，所以AB⊥平面PAD，因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD；又CD∥AB，所以CD⊥平面PAD，因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD；因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，因为BC⊥CD，PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD，又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD；因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC，又AC⊥BD，PD∩BD＝D，所以AC⊥平面PBD，又AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD，故一定互相垂直的平面有7对．故答案为：7．14．已知不等式对于恒成立，则实数m的取值范围是（﹣．解：令f（x）＝则f（x）＝＝＝．因为，所以，所以，由于不等式对于恒成立可得m≤f（x）min＝．所以m的取值范围为．故答案为：．15．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是120 ．解：连接CE，BE，DB，则V E−ABCD＝××（6+8）×10×3＝70V D−ABE＝V E−ABD＝V E−ABCD＝30，V C−BEF＝V D−ABE＝50．∴这个羡除的体积V＝V E﹣ABCD+V C﹣BEF＝70+50＝120．故答案为：120．16．已知函数f（x）＝|cos x|•sin x给出下列五个说法：①f（）＝﹣；②若|f（x1）|＝|f（x2）|，则x1＝x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间〖﹣，〗上单调递增；④函数f（x）的周期为π；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是①③．解：①f（）＝|cos|•sin＝＝﹣，正确；②若|f（x1）＝|f（x2）|，即|sin2x1|＝|sin2x2|，则x1＝0，x2＝时也成立，故②不正确；③在区间〖﹣，〗上，f（x）＝|cos x|•sin x＝sin2x，单调递增，正确；④∵f（x+π）≠f（x），∴函数f（x）的周期不是π，不正确；⑤∵函数f（x）＝|cos x|•sin x，∴函数是奇函数，∴f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称，点（﹣，0）不是函数的对称中心，故不正确．故答案为：①③．三、解答题共4小题．解答应写出文字说明、演算步驟或证明过程．17．在△ABC中，c＝2，C＝30°．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：（1）a的值；（2）△ABC的面积．条件①：2b＝a；条件②：b＝2；条件③：A＝45°．解：选条件①时，（1）由于：2b＝a；由于c＝2，C＝30°，所以cos C＝，整理得a＝4；（2）根据题意：b＝2，所以满足a2＝b2+c2，故△ABC为直角三角形；所以．选条件②时：b＝2，由于c＝2，C＝30°，所以cos C＝，所以a＝4，（2）由于c＝2，所以满足a2＝b2+c2，故△ABC为直角三角形；所以．选条件③时：由于A＝45°．C＝30°，c＝2，利用正弦定理：，解得a＝2，（2）在△ABC中，sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝，所以．18．为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如图：（Ⅰ）从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；（Ⅱ）从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率；（Ⅲ）为便于普及冬奥知识，现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取10名男生、10名女生作为冬奥宣传志愿者．记这10名男生竞赛成绩的平均数为μ1，这10名女生竞赛成绩的平均数为μ2，能否认为μ1＞μ2，说明理由．解：（Ⅰ）由茎叶图可知，随机抽取的30名学生中男生有15名，其中竞赛成绩在90分以上的学生有5名，∴随机抽取的15名男生中竞赛成绩在90分以上的频率为，∴从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，该男生的竞赛成绩在90分以上的概率估计为．（Ⅱ）记A i（i＝1，2）表示“第i名男生的竞赛成绩在90分以上”，B j（j＝1，2）表示“第j名女生的竞赛成绩在90分以上”，C表示“这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多”，同（Ⅰ），从该地区参加该活动的女生中随机选1人，该生生竞赛成绩在90分以上的概率估计为＝，则这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率为：P（C）＝P（++++）＝++++＝+++（1﹣）×+＝．（Ⅲ）不能认为μ1＞μ2，理由如下：上述10名男生，10名女生的竞赛成绩的数据是随机的，∴μ1，μ2是随机的，∴无法确定是否有μ1＞μ2．19．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M是DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD1∥平面AMC；（Ⅱ）求证：AC⊥BD1；（Ⅲ）在线段BB1上是否存在点P，当＝λ时，平面A1PC1∥平面AMC？若存在，求出λ的值并证明；若不存在，请说明理由．〖解答〗（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连结BD交AC于N，连结MN．因为ABCD为正方形，所以N为BD中点．…（1分）在△DBD1中，因为M为DD1中点，所以BD1∥MN．…因为MN⊂平面AMC，BD1不包含于平面AMC，…所以BD1∥平面AMC．…（Ⅱ）证明因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD．…因为DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥AC．…因为DD1∩BD＝D，…所以AC⊥平面BDD1．…因为BD1⊂平面BDD1，所以AC⊥BD1．…（Ⅲ）解：当，即点P为线段BB1的中点时，平面A1PC1∥平面AMC．…因为AA1∥CC1，且AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形．所以AC∥A1C1．…取CC1的中点Q，连结MQ，QB．因为M为DD1中点，所以MQ∥AB，且MQ＝AB，所以四边形ABQM是平行四边形．所以BQ∥AM．…同理BQ∥C1P．所以AM∥C1P．因为A1C1∩C1P＝C1，AC∩AM＝A，所以平面A1PC1∥平面AMC．…20．对n∈N*，定义．（1）求a2（x）﹣a1（x）的最小值；（2）∀n∈N*，有a n（x）≥A恒成立，求A的最大值；（3）求证：不存在m，n∈N*，且m＞n，使得a m（x）﹣a n（x）为恒定常数．解：（1）a2（x）﹣a1（x）＝（sin2x﹣cos2x）﹣（sin2x﹣cos x）＝﹣sin2x﹣cos2x+cos x ＝﹣sin2x﹣（1﹣2sin2x）+cos x＝﹣sin2x﹣+sin2x+cos x＝sin2x+cos x﹣＝（1﹣cos2x）+cos x﹣＝﹣cos2x+cos x，令t＝cos x，t∈〖﹣1，1〗，则y＝﹣t2+t，对称轴t＝﹣＝1，所以y max＝﹣×12+1＝．（2）a n＝（sin2x﹣cos nx），因为∀n∈N*，﹣1≤cos nx≤1，所以a n＝（sin2x﹣cos nx）≥＝≥＞0，所以A≤0，所以A的最大值为0．（3）证明：令g（x）＝f m（x）﹣f n（x），下面比较g（x）在x＝0，π，处的函数值，有，由﹣＝cos（nπ）﹣cos（mπ），可得m，n均为偶数，进而cos（），cos（）∈{﹣1，1}，于是g（）∈{0，，﹣，，﹣}，考虑到﹣＞0，于是g（）＝，此时为偶数且为奇数，进而＝﹣，即＝3•，矛盾，综上所述，不存在符合题意的m，n．。