2014电磁场与电磁波3-恒定电流场 [兼容模式]

Δl
b
Δh
t
E2 t = E1t
n × E2 = n × E1
分界面两侧 E 的切向分量连续。 代入欧姆定律
J1t
σ1
=
J 2t
σ2
【电位的边界条件】
n ⋅ ( J1 − J 2 ) = 0 n × ( E1 − E2 ) = 0
φ1 = φ2 ∂φ1 ∂φ 2 = σ2 σ1 ∂n ∂n
没有达到恒定状态时，由电流连续性方程：
∂ρ σD σ σ − = ∇⋅ J = ∇⋅ ( ) = ∇⋅ D + ∇( ) ⋅ D ∂t ε ε ε
代入：
σ ∇( ) = 0, ε
∂ρ σ =− ρ ε ∂t
∇⋅D = ρ
可得：
可解出积累电荷的弛豫过程：
ρ = ρ0e
−σ εt
= ρ0e
− τt
τ为弛豫时间
则
I = J s ⋅ a⊥ dl
S
电流线密度及其通量
a⊥ 为线元dl在曲面内的法线方向单位矢量。
【电流连续性方程】
考虑一闭合曲面 S 包围的体积 V 。根据电荷守恒 定律，单位时间内净流出S面的电荷应该等于体 积V内电荷的减少，即
dq dq ＝− dt on S dt in V
于是

S
J ⋅ dS = -
∇⋅J = 0
ε ρ = ∇( ) ⋅ J σ
在不均匀媒质中，由于介电常数和电导率是坐标变量 的函数，体积电荷一般不为零。即积累电荷分布在非 均匀媒质中。 对均匀媒质，没有积累电荷的堆积。但在没有达到稳 恒状态之前，即便是均匀导体，其积累电荷也不为0， 需要一个弛豫过程才变为0。
【弛豫过程】
可以看出，
ρs上 ≠ ρs下 ρs上 + ρs下 + ρ s = 0
恒定电场与静电场的比拟
表1 两种场所满足的基本方程和重要关系式 静电场 ( ρ = 0 ) 恒定电场（电源外）
∇ × E = 0 → E = −∇ϕ
∇⋅D =0 D = εE
q = D • dS
S
∇ × E = 0 → E = −∇ ϕ
【例】平板电容器的板面积S=16cm2，板间距离为d=0.2cm −6 ；两板间的介质非理想 ε = 3ε 0 ，漏电导 σ = 4 ×10 S / m 。若在两板之间加恒定电压U=100V，求非理想介质中的 电场强度、体电流 密度、焦耳功率密度、总电流及总的 焦耳功率损耗。 U E = a y = 5 ×104 a y (V m ) 解： d
第三章 恒定电场
电流与电流密度 欧姆定律与焦耳定律 恒定电场的基本方程 恒定电场的边界条件 恒定电场与静电场的比较 接地电阻
恒定电场的基本概念
电流：电荷在电场作用下的宏观定向运动。 恒定电流：不随时间变化的电流。 恒定电场：如果在一个导体回路中有恒定电流 ，回路中必然有一个推动电荷流动的电场，这 个电场也不随时间变化。
l
J ⋅ dS = 0
如果媒质中同时存在“传导”和“极化”现象，下列方 程同样满足：
∇⋅D = ρ

S
D ⋅ dS =Q
D =εE
【导电媒质中的积累电荷分布】
由高斯定理：
εJ ε ε ρ = ∇⋅ D = ∇⋅ (ε E ) = ∇⋅ ( ) = ∇⋅ J + ∇( ) ⋅ J σ σ σ
在恒定电场有：
σ1
J2
n J1
θ1
【折射关系】 因为
J1n = J 2 n
J1t
σ2 θ2
σ1
=
J 2t
σ2
J1t = tan θ1 J1n
J 2t = tan θ 2 J 2n
于是电流线在分界面上的折射角关系为
tan θ1 σ 1 = tan θ 2 σ 2
可见，当电流通过两种不同的导电 媒质分界面时，会发生折射。 如果电流从良导体流入不良导体，则
欧姆定律的微分形式，适用于稳恒与非稳恒情况。
式中 σ 为电导率，单位s/m（ 西门子/米）。 恒定电流与恒定电场相互依存。电流J与电场E方向一致。 电路理论中的欧姆定律由它积分而得，即 U = RI. 欧姆定律的积分形式只适用于稳恒情况，而欧姆定律的微分形式 不仅对稳恒情况，而且对非稳恒情况也适用。
J = σ E = 0.2a y ( A m2 ) p = E • J = 104 (W m3 )
S
I = J • dS = JS =32 ( mA) P = pdV = 0.032 (W )
V
恒定电场的基本方程
恒定电场由积累电荷产生。 恒定电场中积累电荷分布不变，与 静电荷相似。 积累电荷的电场与静电荷的电场公 式一样，满足的场方程也一样。 恒定电场也具有无旋性，可以引入 电位，电位方程与静电场相同。 与静电场相比，恒定电场的基本方 程引入电流连续性方程。
θ1
σ 2 σ1
σ1 tan θ1 = tan θ 2 ≈ 0 σ2
即不良导体中电流线近似垂直于导 体表面，导体表面切向电场近似为 零，故导体表面近似为等位面。
n J1
σ1
J2
θ2
σ2
【定理】存在恒定电流的两种不同的导电媒质的分界面
上一般会有自由电荷密度。 证：自由电荷密度
ρ s = D1n − D2 n = ε1 E1n − ε 2 E2 n
I = J ⋅ dS
S
电流密度
可见，电流强度实质上是电流密度的通量。
面电流密度矢量：其方向为某点正电荷运动的方向， 其大小为与正电荷运动方向垂直的单位长度上的电流 强度。
J s = lim
ΔI dI n = n A m2 ΔS →0 Δl dl
其中： n为电流方向，Δl为该点上 垂直于n的线元， ΔI为线元上通 过的电流。
dl
σ
U
J
Байду номын сангаас
dS
上式称为焦耳定律的微分形式，其中p(W/m3)为焦耳功率 体密度。 在线性各向同性导电媒质中 J =σE ，所以
p = E ⋅ J = σ E2
整个体积内的总消耗功率为
P = pdV = E ⋅ JdV
V V
上式正是电路中的焦耳定律，称为焦耳定律的积分形式。 焦耳定律的积分和微分形式，在恒定电流和时变电流的情 况下都成立。 对于运流电流，电场力对电荷所做的功不变成热量，而是 变成电荷的动能，所以焦耳定律对运流电流不成立。
（3）上下极板的面电荷密度为 Uσ 2 ρs上 = ε1 E1 = d1σ 2 + d 2σ 1 Uσ1 ρs下 = −ε 2 E2 = − d1σ 2 + d 2σ 1 分界面上的面电荷密度为
ε 2 ε1 −ε1σ 2 + ε 2σ 1 U ρs = − J = d1σ 2 + d 2σ 1 σ 2 σ1
边界条件
求恒定电场中不同导电媒质边界条件的方法与求静 电场不同介质边界条件的方法相似。
n
ΔS
J1
n
Δh
s
σ1
σ2
J2
σ1 σ2
a
Δl
b
Δh
t
【电流密度的边界条件】
以分界面上点P 作为观察点，作一小扁圆柱高斯面 （ Δ h → 0 ）。 根据
J ⋅ dS = 0
J1n − J 2 n = 0
由于 J1n = J 2 n = J n ，则 σ 1 E1n = σ 2 E2 n = J n 于是
ρs = ε1
σ2 ε ε −ε2 E2n = 1 − 2 J2n σ1 σ1 σ2
σ2 ε2 ≠ ，则 ρ s ≠ 0 可见，只要 σ 1 ε1
【例】电压U加于面积为S的平行板电容器上，两块极板之间
N

E
外 源

恒定电流的形成
电源内部在局外力的作用下，正电荷不断地移向电源的 正极，负电荷不断地移向负极，因此不断补充电极上的 电荷，使电极上的电荷保持不变，从而维持了导体中的 电流。 电源内部的局外力可用局外场 E ' 表征。这样在电源内部 存在局外场和电场两部分，于是电源内部的欧姆定律微 分形式可表示为
J = σ ( E + E ')
称为全欧姆定理。
P
⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕
E

N
外 源
将 J = σ ( E + E ') 沿整个导体回路积分，得到
ξ = E ′ ⋅ dl =IR
−
+
电路理论中含源电路的欧姆定律
【电源电动势】
电源电动势定义：
ε = E ′ ⋅ dl
−
+
单位正点电荷从负极板移到正极板时电源做的功.
【电源中的全欧姆定律】
当正电荷沿导体从正极板A流到负极板B后，静电力阻止 电荷从负极板移到正极板。 要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力（局外 力）将负极板B的正电荷抵抗电场力搬到正极板A。 这种提供局外力装置称为电源。 电源把其他能量（机械、化学和热能等）转换为电能。
P
⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕
V
dρ dV dt
上式称为电流连续性方程的积分形式。
应用场论中的散度定理，有

于是
S
J ⋅ dS = ∇ ⋅ JdV
V
dρ ∇⋅J + dV = 0 V dt
上式对任意V成立，所以 dρ ∇⋅J + =0 dt 称为电流连续性方程的微分形式。 注意：电流连续性方程不是实验得到的，是根据电荷守 恒定律推论而得。
则有 J 1n ΔS − J 2 n ΔS = 0