人教A版选修1-12.3.1《抛物线及其标准方程》WORD版学案

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人教A版选修1-1教案：抛物线及其标准方程(含答案)

§2.3.1 拋物線及其標準方程【學情分析】：學生已經學習過橢圓和雙曲線，掌握了橢圓和雙曲線的定義。

經歷了根據橢圓和雙曲線的幾何特徵，建立適當的直角坐標系，求橢圓和雙曲線標準方程的過程。

【教學目標】：（1）知識與技能：掌握拋物線定義和拋物線標準方程的概念；能根據拋物線標準方程求焦距和焦點，初步掌握求拋物線標準方程的方法。

（2）過程與方法：在進一步培養學生類比、數形結合、分類討論和化歸的數學思想方法的過程中，提高學生學習能力。

（3）情感、態度與價值觀：培養學生科學探索精神、審美觀和理論聯繫實際思想。

【教學重點】：拋物線的定義和拋物線的標準方程。

【教學難點】：（1）拋物線標準方程的推導；（2）利用拋物線的定義及其標準方程的知識解決實際問題。

【課前準備】：Powerpoint或投影片【教學過程設計】：教學環節教學活動設計意圖一、復習引入拋物線的定義 1. 橢圓的定義：平面內與兩定點F1、F2的距離的和等於常數2a（122F F a<）的點的軌跡. 2．雙曲線的定義：平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等於常數2a（122F F a>）的點的軌跡.3．思考：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌跡，當0＜e＜1時是橢圓，當e>1 時是雙曲線．那麼，當e＝1時它是什麼曲線呢？拋物線的定義：平面內與一個定點和一條定直線l的距離相等的點的軌跡。

點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的准線．學生已經學過橢圓和雙曲線是如何形成的。

通過類似的方法，讓學生瞭解拋物線的形成，從而理解並掌握拋物線的定義。

二、建立拋物線的標準方程如圖，建立直角坐標系xOy，使x軸經過點F且垂直於直線l，垂足為K，並使原點與線段KF的中點重合．設(0)KF p p=>,則焦點F的座標為（2p，0），准線的方程為2px=-．設點M(x，y)是拋物線上任意一點，點M到l的距離為d．由拋物線的定義，拋物線就是點的集合{}P M MF d==．∵MF=222px y⎛⎫-+⎪⎝⎭；d=2px+．∴2222p px y x⎛⎫-++⎪⎝⎭＝．化簡得：22(0)y px p=>．注：22(0)y px p=>叫做拋物線的標準方程．它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸，座標是2p⎛⎫⎪⎝⎭，，准線方程是2px=-．探究：拋物線的標準方程有哪些不同的形式？請探究之後填寫下表。

新人教A版(选修2-1)《抛物线及其标准方程》word学案

抛物线及其标准方程课前预习学案预习目标：⒈理解抛物线的定义；⒉会求抛物线的标准方程.提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案学习目标：㈠知识目标：⒈会求抛物线的标准方程；2.会画抛物线的的图形.㈡能力目标：⒈理解抛物线的定义，会求抛物线的标准方程；⒉进一步加强数形结合思想；学习重点：会利用抛物线的定义、标准方程解决有关问题学习难点：求抛物线的标准方程．学习过程：例1．如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0）例2．圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A ．x 2+ y 2-x -2 y -41=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0 D ．x 2+ y 2-x -2 y +41=0（例1 A ．例2 D ．）当堂检测：1．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（） A ． y 2=-2x B ． y 2=-4xC ． y 2=2xD ． y 2=-4x 或y 2=-36x2．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（）A ．6mB ． 26mC ．4.5mD ．9m3．抛物线的焦点为椭圆14922=+y x 的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为．（1. B ．2. B ．3. 2y =-）五、课后练习与提高： 1．平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是（）A ． y 2=－2xB ． y 2=－4xC ．y 2=－8xD ．y 2=－16x2．抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为． 3.抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（） A.1716 B. 1516C. 78D.04．已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆C ：1)3(22=++y x 外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．（1. C ．2.2，3. B ,4.212x y =-）。

人教A版高中数学选修1-1 2.3.1 抛物线及其标准方程教案

2.1.6 抛物线及其标准方程一、教学目标：1.知识与技能：（1）了解抛物线的定义，几何图形和标准方程（2）会利用定义和标准方程求焦点坐标和准线方程（3）理解P的意义2、过程与方法通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。

并进一步感受坐标法及数形结合的思想。

3.情感态度与价值观进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。

二、教学重点.难点重点：抛物线定义的灵活应用以及抛物线标准方程的求法.难点：抛物线定义的灵活应用以及抛物线标准方程的求法.三、学情分析对于高二的学生，在初中已经学过二次函数的图像是抛物线，研究过抛物线的顶点坐标、对称轴等问题，而我们现在学的圆锥曲线是要从最基本的图形入手来研究抛物线的特征，学生有了对抛物线的简单认识，所以学习这节课是对以前所学内容的进一步加深，符合我们的教育思路“由浅入深，步步深入”。

四、教学方法本节课主要通过数形结合，类比的思想，运用现代化教学手段，通过观察，分析，归纳出双曲线的几何性质，在教学过程中可采取设疑提问，重点讲解，归纳总结，引导学生积极思考，鼓励学生合作交流。

五、教学过程新课引入1.创设情境，引入课题教师导语：我们之前学习了圆锥曲线中的椭圆，双曲线，今天我们开始学习第四节第一小节：抛物线及其标准方程.六、自主学习1.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.抛物线的定义可以从以下几个方面理解、掌握：（1）抛物线的定义还可叙述为“平面内与一个定点F和一条直线l的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线（2）定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1，为离心率2.抛物线的标准方程其特点是：等号一边是某变元的完全平方，等号另一边是另一变元的一次项，这个形式与位置特征相对应当对称轴为x轴时，方程中的一次项就是x的一次项，且符号指示了抛物线的开口方向，为正时开口向右，为负时开口向左；当对称轴为y轴时，方程中的一次项就是y的一次项，且符号指示了抛物线的开口方向，为正时开口向上，为负时开口向下.3.抛物线的四种标准形式方程的区别与联系（1）相同点：①原点在抛物线上；②对称轴为坐标轴；③焦点的非零坐标（指2p 或2p -）是一次项系数的41；④准线与对称轴垂直且垂足与焦点关于坐标原点对称；⑤p 都是代表焦点到准线的距离（称p 为焦参数），∴p ＞（2）不同点；对称轴为x 轴时，方程的右端为±2px ，左端为y 2；对称轴为y 轴时，方程的右端为±2py ，左端为x 2，即方程右端一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向.典型例题：例1、已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程；例2、已知抛物线的焦点是(0,2)F -，求它的标准方程.例3、求过点(3,2)A -的抛物线的标准方程.五、当堂检测1、已知抛物线的标准方程是x y 62=，求它的焦点坐标和准线方程。

抛物线及其标准方程学案doc

抛物线及其标准方程学案一、学情分析：学生已经学习了椭圆和双曲线，对圆锥曲线有了初步的认识．通过曲线与方程的学习已经对解析法有了一定的了解．二、教学法说明： 1.理解抛物线的概念2．掌握抛物线的四种标准方程及其对应的图形 3．培养学生运用数形结合的思想理解有关问题三、重点和难点 1、教学重点：抛物线的定义及四种标准方程2、教学难点：抛物线定义及标准方程的推导四、教学过程：引入: 1.我们对二次函数的图象已经有了哪些认识？ 2.展示生活中抛物线的实例 3.抛物线的生成:动画展示从中发现pc pm=,及动点p 到定点F 和到定直线 l 的距离相等1、定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

（F l ∉）定点F 叫做抛物线的焦点定直线l 叫做抛物的准线2.复习求曲线方程的步骤（36页）3、推导抛物线标准方程体现不同的坐标系建立方式 ,得出标准方程y 2=2px （p ＞0）方程y 2= 2px （p ＞0）叫做焦点在X 轴的正半轴上抛物线的标准方程.其中p 为正常数，它的几何意义是：_______________(,0)2p F 焦点:2px =-准线例1:已知抛物线的标准方程是y 2= 4x ，求它的焦点坐标和准线方程；变式1已知抛物线的标准方程是y = 4x 2，求它的焦点坐标和准线方程；变式2已知抛物线的标准方程是y = 4ax 2，求它的焦点坐标和准线方程；例2、求点A （-3，2）的抛物线的标准方程。

本节课收获1。

抛物线的定义，标准方程与其焦点、准线2。

抛物线的标准方程类型与图象特征的对应关系及判断方法 3。

注重数形结合的思想和分类讨论的思想作业：课本67页练习1、2、3()20y ax bx c a =++≠。

高二数学2.3.1抛物线及其标准方程学案新人教A版选修1-1

F，且 | PF|
＝5，则△ MPF的面积为 (D)
25 3 A． 5 6 B. 4 C． 20 D ． 10
y2 0
解析：依题意设 P 4， y 0 ， y2
0
则 | PF| ＝ | PM| ＝＋ 1＝ 5， 4
∵ y0＝± 4，
1 SΔ ＝ MPF 2| PM| · | y 0| ＝ 10.
F 叫做
2. 关于抛物线的定义．要注意点 F 不在直线 l 上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线． 3．关于抛物线的标准方程．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．由于选取坐标系时，坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的共性与区别在于： (1) p 的几何意义相同，焦参数 p 是焦点到准线的距离，所以 p 恒为正数； (2) 方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向；
2．顶点为原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点
(3 ，－ 2) ，则它的方程是 (A)
2
9
24
2
9
24
A． x ＝－ 2y 或 y ＝ 3x B． y ＝－ 2x 或 x ＝ 3y
C．
x
2＝
4y 3
3．若抛物线
D．
y 2＝－
9x 2
y2＝ 2px 的焦点与椭圆
x2 y2 ＋＝ 1 的右焦点重合，则
62
p 的值为 (D)
A．－ 2 B ． 2 C ．－ 4 D ． 4 4．到定点 (3 ， 5) 与定直线 2x＋ 3y － 21＝ 0 的距离相等的点的轨迹是 (D) A．圆 B ．抛物线 C ．线段 D ．直线解析：点 (3 ， 5) 在直线 2x ＋ 3y － 21＝ 0 上，所以到点 (3 ，5) 与定直线距离相等的点是过 (3 ， 5) 且与直线垂直的直线． 5．已知抛物线关于 x 轴对称，它的定点在坐标原点 O，并且经过点 M(2 ， y0) ，若点 M到该抛物线焦点的距离为 3，则 | OM| ＝ (B)

新教材人教A版选择性必修第一册 3.3.1 抛物线及其标准方程学案

3.3 抛物线3.3.1 抛物线及其标准方程素养目标·定方向课程标准学法解读1．了解抛物线的定义及焦点、准线的概念．2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．1．结合教材实例掌握抛物线的定义．(数学抽象)2．掌握抛物线标准方程中参数p 的几何意义，会求抛物线的标准方程．(数学运算)3．通过抛物线概念的引入和抛物线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力．(数学运算)必备知识·探新知知识点1 抛物线的定义1．定义：平面内与一定点F 和一条定直线l (不经过点F )__距离相等__的点的轨迹． 2．焦点：定点F ． 3．准线：定直线l ．思考1：抛物线的定义中，为什么要加条件l 不经过点F ？提示：若点F 在直线l 上，点的轨迹是过点F 且垂直于直线l 的直线．知识点2 抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程__y 2＝2px (p ＞0)__ __⎝⎛⎭⎫p 2，0____x ＝－p2____y 2＝－2px (p ＞0)__ __⎝⎛⎭⎫－p2，0____x ＝p2____x 2＝2py (p ＞0)__ __⎝⎛⎭⎫0，p 2__ __y ＝－p2____x 2＝－2py (p ＞0)__ __⎝⎛⎭⎫0，－p2____y ＝p2__思考2：抛物线方程中p (p ＞0)的几何意义是什么？提示：p 的几何意义是焦点到准线的距离．关键能力·攻重难题型探究题型一根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程典例1 求下列各条抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y 2＝－12x ；(2)3x 2－4y ＝0；(3)x ＝32y 2；(4)y 2＝ax (a ≠0)．[分析] 先将所给方程转化为标准方程的形式，确定其开口方向，求出p 的值，再写出焦点坐标和准线方程．[解析] (1)由方程y 2＝－12x 知，抛物线开口向左，焦点在x 轴的负半轴上，2p ＝12，所以p ＝6，p2＝3，因此焦点坐标为(－3,0)，准线方程为x ＝3．(2)方程3x 2－4y ＝0可化为x 2＝43y ，抛物线开口向上，焦点在y 轴的正半轴上，2p ＝43，所以p ＝23，p 2＝13，因此焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，13，准线方程为y ＝－13． (3)方程x ＝32y 2可化为y 2＝132x ，抛物线开口向右，焦点在x 轴的正半轴上，2p ＝132，所以p ＝164，p 2＝1128，因此焦点坐标为⎝⎛⎭⎫1128，0，准线方程为x ＝－1128． (4)当a ＞0时，抛物线开口向右，焦点在x 轴的正半轴上，2p ＝a ，所以p ＝a 2，p 2＝a4，因此焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4；当a ＜0时，抛物线开口向左，焦点在x 轴的负半轴上，2p ＝－a ，所以p ＝－a 2，p2＝－a 4，因此焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4．综上可得，当a ≠0时，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4．[规律方法] 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p ，从而得焦点坐标和准线方程，要注意p ＞0，焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴．【对点训练】❶ (1)抛物线x 2＋2y ＝0的准线方程为( C ) A ．x ＝12B ．x ＝－12C ．y ＝12D ．y ＝－12(2)抛物线y ＝－x 2的焦点坐标为( D ) A ．⎝⎛⎭⎫14，0 B ．⎝⎛⎭⎫－14，0 C ．⎝⎛⎭⎫0，14 D ．⎝⎛⎭⎫0，－14 [解析] (1)方程化为x 2＝－2y ，焦点在y 轴的负半轴上，p ＝1，所以准线方程是y ＝12．(2)方程化为x 2＝－y ，焦点在y 轴负半轴上，2p ＝1，所以p 2＝14，故焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－14．题型二求抛物线的标准方程典例2 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y ＝23；(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5； (3)经过点(－3，－1)；(4)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点． [分析] (1)(2)由题意可确定方程形式→求出p →写出抛物线的标准方程(3)设出抛物线的标准方程→代入点的坐标求参数→写出抛物线的标准方程(4)写出焦点坐标→分情况讨论焦点的位置→写出抛物线的标准方程[解析] (1)因为抛物线的准线交y 轴于正半轴，且p 2＝23，则p ＝43，所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y ．(2)已知抛物线的焦点在y 轴上，可设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y．(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝1；6．若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝92∴所求抛物线的标准方程为y2＝－12＝－9y．3x或x(4)对于直线方程为3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(0，－3)时，p2＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x．当焦点为(4,0)时，p2∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x．[规律方法]1．求抛物线标准方程的方法：①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p．②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p．当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my．2．已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定．【对点训练】❷求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(－1,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．[分析]从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p，因此只需一个条件即可．[解析](1)设所求的抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，∵过点(－1,2)，∴4＝－2p·(－1)或(－1)2＝2p·2．∴p ＝2或p ＝14．故所求的抛物线方程为y 2＝－4x 或x 2＝12y ，对应的准线方程分别为x ＝1，y ＝－18．(2)令x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线方程y 2＝16x ；当焦点为(0，－2)时，p2＝|－2|，∴p ＝4，此时抛物线方程为x 2＝－8y ．故所求的抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y ，对应的准线方程分别是x ＝－4，y ＝2．题型三利用抛物线的定义解决轨迹问题典例3 已知动点M (x ，y )满足5(x －1)2＋y 2＝|3x －4y ＋2|，则动点M 的轨迹是( D )A ．椭圆B ．双曲线C ．直线D ．抛物线[解析] 方程5(x －1)2＋y 2＝|3x －4y ＋2|可化为(x －1)2＋y 2＝|3x －4y ＋2|5， (x －1)2＋y 2表示点M (x ，y )到定点(1,0)的距离，|3x －4y ＋2|5表示M (x ，y )到定直线3x－4y ＋2＝0的距离，因此动点M (x ，y )到定点(1,0)的距离等于它到定直线3x －4y ＋2＝0的距离，且定点(1,0)不在定直线3x －4y ＋2＝0上，故动点M 的轨迹是以(1,0)为焦点，以3x －4y ＋2＝0为准线的抛物线．[规律方法] 定义法解决轨迹问题根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时，要注意结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，对所给方程进行适当变形，分析其几何意义，然后结合有关曲线的定义作出判定．【对点训练】❸ 一个动圆经过点A (2,0)，并且和直线l ：x ＝－2相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是__y 2＝8x __．[解析] 设动圆的半径为R ．因为动圆经过点A (2,0)，所以|MA |＝R ．又因为动圆和直线l ：x ＝－2相切，所以圆心M 到直线l ：x ＝－2的距离d ＝R ，即圆心M 到定点A 的距离与到定直线l 的距离相等，故其轨迹是抛物线，且A 是焦点，l 是准线，并且有p2＝2，所以p＝4，故动圆圆心M 的轨迹方程是y 2＝8x ．题型四抛物线的实际应用典例4 一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．[分析] 建立适当的坐标系，通过确定点的坐标确定出抛物线的方程，把卡车的宽度坐标化，利用抛物线解决问题．[解析] 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－a 4，如图所示．设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则⎝⎛⎭⎫a 22＝m ·⎝⎛⎭⎫－a 4，∴m ＝－a ，即抛物线方程为x 2＝－ay ．将(0.8，y 1)代入抛物线方程，得0.82＝－ay 1，即y 1＝－0.82a．欲使卡车通过隧道，应有y 1－⎝⎛⎭⎫－a4＞3，即a 4－0.82a ＞3．∵a ＞0，∴a ＞6＋4 2.41．故使卡车通过的a 的最小整数值为13．[规律方法] 求解抛物线的实际应用问题的基本步骤 (1)建：建立适当的坐标系． (2)设：设出合适的抛物线标准方程． (3)算：通过计算求出抛物线标准方程． (4)求：求出所要求出的量．(5)还：还原到实际问题中，从而解决实际问题．【对点训练】❹ 如图是抛物线形拱桥，当水面在l 处时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 __26__米．[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝my ，将A (2，－2)代入x 2＝my ，得m ＝－2．∴x 2＝－2y ．将B (x 0，－3)代入x 2＝－2y ，得x 0＝6或－6(舍去)，故水面宽为26米．易错警示典例5 设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程．[错解] 准线方程为x ＝－m 4，因为准线与直线x ＝1的距离为3，所以准线方程为x ＝－2，所以－m4＝－2，所以m ＝8，故抛物线方程为y 2＝8x ．[辨析] 题目条件中未给出m 的符号，当m ＞0或m ＜0时，抛物线的准线是不同，错解考虑问题欠周到．[正解] 当m ＞0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知1－⎝⎛⎭⎫－m 4＝3，所以m ＝8．此时抛物线方程为y 2＝8x ；当m ＜0时，准线方程为x ＝－m 4，由条件知－m4－1＝3，所以m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x ．所以所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x ．。

高二数学(人教A版)选修1-1导学案：2.3.1抛物线及其标准方程(无答案)

文华高中高二数学选修1-1§2.3.1《抛物线及其标准方程》导学案学习目标1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程重点难点重点：抛物线的定义及标准方程难点：求抛物线的标准方程学习方法类比、数形结合情感态度与价值观通过坐标系把数与形有机联系起来，通过研究几种圆锥曲线的方程和图像，得到圆锥曲线的几何性质，形成研究曲线的一般方法学习过程一、自学探究(预习教材56页至57页)1.抛物线的定义探究1观察抛物线的作图过程（教材56页图2.3-1），探究抛物线的定义：抛物线的定义：2.抛物线的标准方程要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系. 探究2 设焦点F 到准线l 的距离为(0)p p >，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程. 推导抛物线的标准方程：如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=p （p >0）,那么焦点F 的坐标为)0,2(p，准线l 的方程为2px -=，（自己完成推导过程）（57页）我们把方程22(0)y px p =>叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是xy(1)MK FO D,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程是2p x =-。

在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：（58页探究）图形标准方程焦点坐标准线方程二、例题探究（教材58页例1）例1（1）已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程,（2）已知抛物线的焦点是()0,2F -，求它的标准方程.三、合作探究例2 在抛物线y 2=2x 上求一点P ，使P 到焦点F 与到点A （3，2）的距离之和最小.四、展示提升课本（59页）1. 已知抛物线的准线方程是x =—41，求它的标准方程. 2. 已知抛物线的标准方程是2y 2+5x =0,求它的焦点坐标和准线方程.五、课堂小结1、抛物线的定义；2、抛物线的四种标准方程；3、注意抛物线的标准方程中的字母P 的几何意义本节课我最大的收获是我存在的疑惑有：文华高中高二数学选修1-1《抛物线及其标准方程》节节过关达标检测班级：------------ 组名：------------ 学生姓名：------------1.抛物线y 2=ax (a ≠0)的准线方程是 ( )(A )4a x =-(B)x =4a (C)||4a x =- (D)x =||4a 2.抛物线21x my =（m ≠0）的焦点坐标是（）(A ) （0，4m ）或（0，4m -） (B) （0，4m）(C) （0，m 41）或（0，m 41-） (D) （0，m41）3.根据条件写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F (0,3)，(2)焦点到准线的距离是2.（59页）4.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y 2=20x ；(2)x 2+8y =0.（59页）5.点M 到点（0，8）的距离比它到直线y ＝－7的距离大1，求M 点的轨迹方程。

人教A版高中数学选修抛物线及其标准方程学案

典型例题一例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．（1）y x 42= （2）)0(2≠=a ay x分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．解：（1）2=p Θ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x ay 12=，a p 12=∴①当0>a 时，a p 412=，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：a x 41-=． ②当0<a 时，a p 412-=，抛物线开口向左，∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：ax 41-=．综合上述，当0≠a 时，抛物线2ay x =的焦点坐标为)0,41(a ，准线方程是：ax 41-=．典型例题二例2 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k ．解法一：设),(11y x A 、),(22y x B ，则由：⎩⎨⎧=-=xy kx y 822可得：04)84(22=++-x k x k ．∵直线与抛物线相交，0≠∴k 且0>∆，则1->k ． ∵AB 中点横坐标为：2842221=+=+∴kk x x ，解得：2=k 或1-=k （舍去）．故所求直线方程为：22-=x y ．解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22212188x y x y ==．两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即2121218y y x x y y +=--．421=+x x Θ444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ，448-=∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）．则所求直线方程为：22-=x y ．典型例题三例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切．分析：可设抛物线方程为)0(22>=p px y ．如图所示，只须证明12MM AB =，则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切．证明：作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作lMM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知：BF BB AF AA ==11,在直角梯形A A BB 11中：AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21111=+=+=AB MM 211=∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切．说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四例4（1）设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53，求k 值．（2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P 点坐标．分析：（1）题可利用弦长公式求k ，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P 点坐标．解：（1）由⎩⎨⎧+==kx y x y 242得：0)44(422=+-+k x k x设直线与抛物线交于),(11y x A 与),(22y x B 两点．则有：4,122121k x x k x x =⋅-=+[][])21(5)1(54)(5))(21(22212212212k k k x x x x x x AB -=--=-+=-+=∴ 53)21(5,53=-∴=∴k AB ，即4-=k（2）9=∆S Θ，底边长为53，∴三角形高5565392=⨯=h ∵点P 在x 轴上，∴设P 点坐标是)0,(0x 则点P 到直线42-=x y 的距离就等于h ，即55612402220=+--x 10-=∴x 或50=x ，即所求P 点坐标是（－1，0）或（5，0）．典型例题五例5 已知定直线l 及定点A （A 不在l 上），n 为过A 且垂直于l 的直线，设N 为l 上任一点，AN 的垂直平分线交n 于B ，点B 关于AN 的对称点为P ，求证P 的轨迹为抛物线．分析：要证P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P 点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A 为定点，l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PN PA =且l PN ⊥即可．证明：如图所示，连结P A 、PN 、NB ．由已知条件可知：PB 垂直平分NA ，且B 关于AN 的对称点为P ． ∴AN 也垂直平分PB ．则四边形P ABN 为菱形．即有PN PA =． ..l PN l AB ⊥∴⊥Θ则P 点符合抛物线上点的条件：到定点A 的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线．典型例题六例6 若线段21P P 为抛物线)0(2:2>=p px y C 的一条焦点弦，F 为C的焦点，求证：p F P FP 21121=+．分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．证法一：)0,2(pF Θ，若过F 的直线即线段21P P 所在直线斜率不存在时，则有p F P F P ==21,p p p F P FP 2111121=+=+∴．若线段21P P 所在直线斜率存在时，设为k ，则此直线为：)0)(2(≠-=k px k y ，且设),(),,(222111y x P y x P ．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)2()2(p x k y px k y 得：04)2(22222=++-p k x k p x k 2221)2(k k p x x +=+∴ ①4221p x x =⋅ ②根据抛物线定义有：p x x P P px F P p x F P ++=∴+=+=21211211,2,2 则F P F P F P F P F P F P 21212111⋅+=+4)(2)2)(2(22121212121p x x p x x p x x p x p x p x x +++++=++++= 请将①②代入并化简得：p F P FP 21121=+ 证法二：如图所示，设1P 、2P 、F 点在C 的准线l 上的射影分别是'1P 、'2P 、F '，且不妨设1122P P m n P P '=<='，又设2P 点在F F '、11P P'上的射影分别是A 、B 点，由抛物线定义知，p F F m F P n F P ='==,,12又AF P 2∆∽12BP P ∆，1221P P F P BP AF =∴即nm nn m n p +=--pn m mnn m p 2112)(=+∴=+∴ 故原命题成立．典型例题七例7 设抛物线方程为)0(22>=p px y ，过焦点F 的弦AB 的倾斜角为α，求证：焦点弦长为α2sin 2pAB =．分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题．证法一：抛物线)0(22>=p px y 的焦点为)0,2(p，过焦点的弦AB 所在的直线方程为：)2(tan px y -=α由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(tan 2α消去y 得：0tan )(tan 4tan 422222=+-αααp p x设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+=+=+4)cot 21(tan )2(tan 22122221p x x p p x x ααα又)(tan 2121x x y y -=α[]ααααααααα242222222222122122212sin 2sin 14)cot 1(cot 4sec 44)cot 1()tan 1(4)()tan 1())(tan 1(pp p p p x x x x x x AB =⋅=+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-++=-++=-+=∴即α2sin 2pAB =证法二：如图所示，分别作1AA 、1BB 垂直于准线l ．由抛物线定义有：ααcos cos 11⋅-==+⋅==BF p BB BF p AF AA AF于是可得出：αcos 1-=p AF αcos 1+=pBF αααα22sin 2cos 12cos 1cos 1p pp p BFAF AB =-=++-=+=∴ 故原命题成立．典型例题八例8 已知圆锥曲线C 经过定点)32,3(P ，它的一个焦点为F （1，0），对应于该焦点的准线为1-=x ，过焦点F 任意作曲线C 的弦AB ，若弦AB 的长度不超过8，且直线AB 与椭圆22322=+y x 相交于不同的两点，求（1）AB 的倾斜角θ的取值范围．（2）设直线AB 与椭圆相交于C 、D 两点，求CD 中点M 的轨迹方程．分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C 为抛物线，AB 为抛物线的焦点弦，设其斜率为k ，弦AB 与椭圆相交于不同的两点，可求出k 的取值范围，从而可得θ的取值范围，求CD 中点M 的轨迹方程时，可设出M 的坐标，利用韦达定理化简即可．解：（1）由已知得4=PF ．故P 到1-=x 的距离4=d ，从而d PF = ∴曲线C 是抛物线，其方程为x y 42=．设直线AB 的斜率为k ，若k 不存在，则直线AB 与22322=+y x 无交点． ∴k 存在．设AB 的方程为)1(-=x k y由⎩⎨⎧-==)1(42x k y x y 可得：0442=--k y ky设A 、B 坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则：442121-=⋅=+y y ky y222122122212)1(44)(1))(11(k k y y y y k k y y k AB +=-++=-+=∴∵弦AB 的长度不超过8，8)1(422≤+∴kk 即12≥k 由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k ∵AB 与椭圆相交于不同的两点，32<∴k由12≥k 和32<k 可得：31<≤k 或13-≤<-k故3tan 1≤≤θ或1tan 3-<<-θ 又πθ<≤0，∴所求θ的取值范围是：34πθπ<≤或4332πθπ≤< （2）设CD 中点),(y x M 、),(33y x C 、),(44y x D由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k 9325313231322232)1(2,324222224322132243<+≤∴<≤+-=∴+=+=+-=⋅+=+∴k k k x k k x x x k k x x k k x x ΘΘ则323211522<+-≤k 即3252<≤x ．3)1(2)1(23221222222+-⋅-⋅=+=∴-=xyxykkxxykΘ化简得：032322=-+xyx∴所求轨迹方程为：)3252(032322<≤=-+xxyx典型例题九例9定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线xy=2上移动，求AB的中点到y轴的距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标．分析：线段AB中点到y轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐标问题，因此只要研究A、B两点的横坐标之和取什么最小值即可．解：如图，设F是xy=2的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，又M 到准线的垂线为MN，C、D和N是垂足，则2321)(21)(21=≥+=+=ABBFAFBDACMN．设M点的横坐标为x，纵坐标为y，41+=xMN，则454123=-≥x．等式成立的条件是AB过点F．当45=x时，41221-=-=Pyy，故22122)(212221221=-=++=+xyyyyyy，221±=+yy，22±=y．所以)22,45(±M ，此时M 到y 轴的距离的最小值为45．说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简．典型例题十例10 过抛物线px y 2=的焦点F 作倾斜角为θ的直线，交抛物线于A 、B 两点，求AB 的最小值．分析：本题可分2πθ=和2πθ≠两种情况讨论．当2πθ≠时，先写出AB 的表达式，再求范围．解：(1)若2πθ=，此时p AB 2=．(2)若2πθ≠，因有两交点，所以0≠θ．)2(tan p x y AB -=θ：，即2tan py x +=θ．代入抛物线方程，有0tan 222=--p y p y θ．故θθ22222212csc 44tan 4)(p p p y y =+=-， θθθ2222212212tan csc 4tan )()(p y y x x =-=-．故θθθ422222csc 4)tan 11(csc 4p p AB =+=．所以p p AB 2sin 22>=θ．因2πθ≠，所以这里不能取“=”．综合(1)(2)，当2πθ=时，p AB 2=最小值．说明：(1)此题须对θ分2πθ=和2πθ≠两种情况进行讨论；(2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为θ2sin 2pl =； (3)当2πθ=时，AB 叫做抛物线的通径．通径是最短的焦点弦．典型例题十一例11 过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F 作弦AB ，l 为准线，过A 、B 作l 的垂线，垂足分别为'A 、'B ，则①''FB A ∠为（），②B AF '∠为（）．A ．大于等于︒90B ．小于等于︒90C ．等于︒90D 不确定分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切．解：①点A 在抛物线上，由抛物线定义，则21'∠=∠⇒=AF AA ，又x AA //'轴31∠=∠⇒．∴32∠=∠，同理64∠=∠，而︒=∠+∠+∠+∠1804632，∴︒=∠+∠9063， ∴︒=∠90''FB A ．选C ．②过AB 中点M 作l MM ⊥'，垂中为'M ，则AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21'''=+=+=． ∴以AB 为直径的圆与直线l 相切，切点为'M ．又'F 在圆的外部，∴︒<∠90'B AF ．特别地，当x AB ⊥轴时，'M 与'F 重合，︒=∠90'B AF ．即︒≤∠90'B AF ，选B ．典型例题十二例12 已知点)2,3(M ，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在该抛物线上移动，当凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。

高二数学 2.3.1抛物线及其标准方程导学案新人教A版选修1-1

高中数学 2.3.1抛物线及其标准方程导学案【自主学习】（预习教材P56~ P59）问题：若一个动点(,)p x y到一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？新知1：抛物线平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的；直线l叫做抛物线的．新知2：抛物线的标准方程定点F到定直线l的距离为p（0p>）．建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：图形标准方程焦点坐标准线方程22y px=,02p⎛⎫⎪⎝⎭2px=-试试：抛物线220y x=的焦点坐标是（），准线方程是；抛物线212x y=-的焦点坐标是（），准线方程是．【合作探究】例1 (教材P58例1)（1）已知抛物线的标准方程是26y x=，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是(0,2)F-，求它的标准方程．【目标检测】1：根据下列条件写出抛物线的标准方程：⑴焦点坐标是(3,0)；⑵准线方程是14x=-；⑶焦点到准线的距离是2．（4）焦点在直线240x y --=上．2．抛物线210y x =的焦点到准线的距离是（）．A. 52B. 5C. 152 D. 103．对抛物线24y x =，下列描述正确的是（）．A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为1(0,)16C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为1(0,)164．抛物线280x y +=的准线方程式是（）． A ．2x = B ．2x =- C ．2y = D ．2y =-。

人教A版高中数学选修1-1 2.3.1 抛物线及其标准方程学案

2.1.6 抛物线及其标准方程（学案）一、知识梳理1.把一根直尺固定在图板上直线L 位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着真心直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A ，取绳长等于点A 到直角标顶点C 的长（即点A 到直线L 的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F 用铅笔尖扣着绳子，使点A 到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线这条曲线是什么图形？2. 抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离_______________叫做抛物线定点F 叫做抛物线的________，定直线l 叫做抛物线的_________3. 方程______________叫做抛物线的标准方程它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F _______，它的准线方程是_____________.4.一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：px y 22-=，py x 22=，py x 22-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下(1))0(22>=p px y , 焦点:__________，准线l ：______________(2))0(22>=p py x , 焦点:__________，准线l ：___________(3))0(22>-=p px y , 焦点:_________，准线l ：______________(4))0(22>-=p py x , 焦点:_________，准线l ：_____________5. 抛物线的标准方程有四种不同形式它们的相同点与不同点是什么？二、典例解析探究点一抛物线定义例1 方程[]22)1()3(2-++y x ＝|x －y ＋3|表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线探究点二抛物线的标准方程例2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程.（1）y 2＝－6x ；（2）3x 2＋5y ＝0；（3）y ＝4x 2；（4）y 2＝a 2x (a ≠0).例3 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）准线方程为2y ＋4＝0；（2）过点(3，－4)；（3）焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上.探究点三抛物线定义的应用例4 已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12. （1）求点M 的轨迹方程；（2）是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由.三、当堂检测1．抛物线y ＝2x 2的准线方程为( )A ．y ＝－18B ．y ＝－14C ．y ＝－12D ．y ＝－12．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是( )A.|a |4B.|a |2 C ．|a | D ．－a 23．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x4．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝________．5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a ＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________．6．已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m 的值．。

高中数学人教版A版选修1-1学案：2.3.1 抛物线及其标准方程

2.3.1抛物线及其标准方程[学习目标]1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程.知识点一抛物线的定义把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.知识点二抛物线标准方程的几种形式思考(1)抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中p的几何意义是什么？(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？答案(1)焦点到准线的距离.(2)不一定.当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线；l 不经过点F 时，点的轨迹是抛物线.题型一求抛物线的标准方程例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为(－2,0)； (2)准线为y ＝－1； (3)过点A (2,3)； (4)焦点到准线的距离为52.解(1)由于焦点在x 轴的负半轴上，且p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线的标准方程为y 2＝－8x . (2)∵焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y .(3)由题意，抛物线方程可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)，将点A (2,3)代入，得32＝m ·2或22＝n ·3， ∴m ＝92或n ＝43.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(4)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .反思与感悟求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2＝ay (a ≠0). 跟踪训练1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1) 过点(3，－4)；(2) 焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上.解(1)方法一∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0).把点(3，－4)分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .方法二∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝by (b ≠0). 把点(3，－4)分别代入，可得a ＝163，b ＝－94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0).∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x . 题型二抛物线定义的应用例2如图，已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求此时P 点坐标.解如图，作PQ ⊥l 于Q ，由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，由图可知，求|P A |＋|PF |的最小值的问题可转化为求|P A |＋d 的最小值的问题. 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部.设抛物线上动点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d .由图可知，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72.即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2. ∴点P 坐标为(2,2).反思与感悟抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.跟踪训练2已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为() A.172B.2C.5D.92答案A解析如图，由抛物线定义知|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PF |，则所求距离之和的最小值转化为求|P A |＋|PF |的最小值，则当A 、P 、F 三点共线时， |P A |＋|PF |取得最小值. 又A (0,2)，F (12，0)，∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AF | ＝(0－12)2＋(2－0)2＝172.题型三抛物线的实际应用例3如图所示，一辆卡车高3m ，宽1.6m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍，若拱口宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值.解以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－a 4，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， ∵点B 在抛物线上，∴⎝⎛⎭⎫a 22＝－2p ·⎝⎛⎭⎫－a 4，解得p ＝a 2， ∴抛物线方程为x 2＝－ay .将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a .∴点E 到拱底AB 的距离为a 4－|y |＝a 4－0.64a >3.解得a >12.21，∵a 取整数， ∴a 的最小整数值为13.反思与感悟以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，抛物线的应用主要解题步骤：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用方程求点的坐标.跟踪训练3如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以隧道的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)? 解(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，如图所示，因为点C (5，－5)在抛物线上，解得p ＝52，所以该抛物线的方程为x 2＝－5y . (2)设车辆高h 米，则|DB |＝(h ＋0.5)米，故D (3.5，h －6.5)，代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05米，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.分类讨论思想的应用例4已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且此抛物线上的一点A (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值及抛物线的标准方程.分析由于抛物线的开口方向不确定，因而应注意对抛物线的标准方程形式进行分类讨论，点A (m ，－3)在x 轴下方，从而抛物线的开口可以分向下、向左、向右三种情况，而焦点在x 轴上的情况可以设统一形式y 2＝2ax (a ≠0，当a ＞0时，开口向右，当a ＜0时，开口向左).对于a 的求法可以利用定义法，也可以解方程组.解因为点(m ，－3)在x 轴下方，所以抛物线的开口方向可以向下、向左或向右.当抛物线的开口向下时，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p ＞0)，此时准线方程为y ＝p2.由抛物线的定义，知p2－(－3)＝5，所以p ＝4，所以抛物线的标准方程为x 2＝－8y . 将点A (m ，－3)代入方程，得m ＝±2 6.当抛物线的开口方向向左或向右时，设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，由p ＝|a |，知准线方程可统一成x ＝－a2的形式，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ |a 2＋m |＝5，2am ＝9.解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，m 1＝92，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－1，m 2＝－92，⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝9，m 3＝12，⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－9，m 4＝－12，所以y 2＝2x ，m ＝92；y 2＝－2x ，m ＝－92；y 2＝18x ，m ＝12；y 2＝－18x ，m ＝－12.解后反思由于抛物线的标准方程有四种形式，当焦点的位置不确定时，往往要分类讨论.1.抛物线y ＝－18x 2的准线方程是()A.x ＝132B.x ＝12C.y ＝2D.y ＝4 答案C解析将y ＝－18x 2化为标准形式x 2＝－8y ，由此可知准线方程为y ＝2.2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线的方程为()A.y 2＝8xB.y 2＝4xC.y 2＝2xD.y 2＝±8x 答案D解析由题意知，抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .3．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝()A.12B ．1 C.32D ．2 答案 D解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)，由PF ⊥x 轴知，|PF |＝2，所以P 点的坐标为(1，2)，代入曲线y ＝kx(k >0)得k ＝2，故选D.4.已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是() A.2B.3 C.115D.3716 答案A解析易知直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 的准线，如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为PF 的长度，其中F (1,0)为抛物线y 2＝4x 的焦点. 由图可知，距离和的最小值，即F 到直线l 1的距离 d ＝|4＋6|(－3)2＋42＝2.5.若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝________.答案4解析由双曲线x 23－16y 2p 2＝1得标准形式为x 23－y 2p216＝1，由此c 2＝3＋p 216，左焦点为(－3＋p 216，0)，由y 2＝2px 得准线为x ＝－p2，∴－3＋p 216＝－p 2， ∴p ＝4.1.抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上.2.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型.因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0).。

3.3.1抛物线及其标准方程学案-高二上学期数学人教A版选择性

抛物线及其标准方程【学习目标】1.掌握抛物线的定义及标准方程，明确p的几何意义（重点）.2.会求抛物线的标准方程及焦点坐标，准线方程（难点）.【学科素养】通过对抛物线及其标准方程的学习，提高学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理的数学核心素养.【使用说明】高二年级第一学期、选择性必修第一册专题学习.【学法指导】1.课前认真阅读教材3.3.1抛物线及其标准方程的有关内容；用红笔标注自己不明白的问题或提出你的疑问；用心记住最基础的知识和概念并完成预学单；2．课中积极参与探究学习，完成探究单，在老师导学过程中做好笔记；3．课后通过自主思考或小组合作完成拓展单.【课前—预学单】一、学生预学指导单1、我们学习了椭圆以及双曲线的三种定义，其中，对于第二定义的描述是怎样的呢？2、平面内到定点F的距离与到定直线l(直线l不经过点F)的距离的比是常数e （e=1）的点的轨迹是？【课中—探究单】一、自主探究探究1：阅读教材P130页探究内容，试画出动点M的轨迹？新知：在平面内,与一个________和一条________(___________) 的距离________的点的轨迹叫做________.点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________.想一想1：定义中当直线l经过定点F，则点M的轨迹是什么?l探究2：类比求椭圆、双曲线标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，得出抛F物线的方程？试推导抛物线的标准方程.（建系—设点—列式—化简—得方程）新知：想一想2：如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？二、典例分析例1：求满足下列条件的抛物线的标准方程（1）过点(−2,3).（2）焦点在直线x−y+2=0上.x2的焦点坐标是_____，准线方程是_____.例2：抛物线y=−16例3：（1）已知点M(2,4)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，点M到抛物线C的焦点的距离是（）A.4B.3C.2D.1（2）若F是抛物线y2=2x的焦点，A,B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=6，则线段AB的中点到y轴的距离为_____.三、课堂小结本节课主要学习了哪些内容？【课后—拓展单】一．学生拓展教材P133探究与发现二．课后作业1、必做题：《课时作业》三十七110.2、选做题：《课时作业》三十七1116.。

(新课标)高中数学2.3.1抛物线及其标准方程教案2 新人教A版选修1-1

2、教学例题：
（1）求抛物线方程
①出示例1：已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，求的值、抛物线方程和准线方程.
（教师讲思路→学生板演→小结方法）
②练习:顶点在原点,焦点在上,且过点的抛物线方程是
（2）应用抛物线方程
③出示例2:直线与抛物线交于两点,过两点向抛物线的准线做垂线,垂足分别是 ,则梯形的面积为
⑤.作业教材P69习题2.3 A组3
（新课标）高中数学《2.3.1抛物线及其标准方程》教案2新人教A版选修1-1
上课时间
第周星期第节
课型
课题
2.3抛物线及其标准方程（二）
教学目的
掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形，能够求出抛物线的方程，能够解决简单的实际问题
教学设想
教学重点：求出抛物线的方程.
教学难点：抛物线标准方程的推导过程.
教
学
(作图----抛物线方程-直线交抛物线与两点,则的长是
（3）实际应用问题
教
学
过
程
⑤一辆卡车高3 ,宽1.6 ,欲通过断面为抛物线形的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍.若拱宽为 ,求能使卡车通过的的最小整数值.
(将实际问题转化为数学问题)
3、小结：抛物线的定义;抛物线的标准方程
过
程
一、复习准备：
1.提问：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）
（2）
2.焦点在直线上的抛物线的标准方程是 .
二、讲授新课：
1、教学抛物线方程的求解
①利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化到准线的距离.
②在求抛物线方程时，可以先根据题目的条件做出草图，确定方程的形式后再求参数的值.

新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教学方案〖《抛物线及其标准方程》第一课时参考教学方案〗

《抛物线及其标准方程》第1课时本节在教材中的地位和作用：在初中阶段，抛物线为学生学习二次函数提供了直观的图象感觉；在高中阶段也有着广泛的应用，它在一元二次不等式的解法、求最大（小）值等方面有着重要的作用．但学生并不清楚这种曲线的本质，随着学生数学知识的逐渐完备，尤其是学习了椭圆、双曲线之后，已具备了探讨这个问题的能力．因此，这一节的教学既是与初中阶段二次函数的图象遥相呼应，体现了数学的和谐之美，也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化．根据抛物线定义推出的标准方程，也为以后用代数方法研究抛物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础．我们在教学中采用“创设情景、激发情感、主动发现、主动发展”的教学模式，具体做法如下：（1）通过图片的形象展示及信息技术应用，由学生通过观察、猜想，从而使学生参与知识的获取、抽象、归纳的全过程，得到了抛物线的定义及其应注意的条件，提高学生的综合分析能力．（2）类比椭圆、双曲线标准方程的求解过程，思考→研究讨论→点拨引导，得到抛物线标准方程．通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦．课时分配本节内容分两课时完成．第一课时讲解抛物线的定义及其标准方程；第二课时讲解运用抛物线的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法．1．掌握抛物线的定义、几何图形，明确焦点和准线的意义；2．会推导抛物线的标准方程；3．能够利用给定的条件求抛物线的标准方程．教学难点：抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）．复习旧知在初中，我们学习过了二次函数＝a 2＋b ＋c ，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：（1）＝42，（2）＝－42的图象（展示两个函数图象）：并让学生思考抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴．讲授新课 1．课题引入通过演示课前老师准备的有关图片（交MH 于点M ．拖动点H ，观察点M 的轨迹，你能发现点M 满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论）可以发现，点M 随着H 的运动，始终有|MH |＝|MF |，即点M 与定点F 和定直线的距离相等．（也可以用几何画板度量|MH |，|MF |的值）（定义引入）：我们把平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．（板书）提出问题：定点F与定直线是什么关系？为什么定义里要强调点F不在直线上？如果定点F和定直线之间的距离越来越小，抛物线有什么变化？活动设计：由教师利用多媒体演示，学生观察、讨论．活动结果：发现当点F和直线之间的距离越来越小时，抛物线的开口越来越窄．抛物线的形状实质上是取决于焦距．焦距不同，抛物线就不同．提出问题：定点F越来越靠近直线，并最终落在直线上时，抛物线有什么变化？活动设计：由教师利用多媒体演示，学生观察、讨论．活动结果：曲线退化为一条过点F且垂直于直线的直线．3．抛物线的标准方程探究：从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点M（，）满足到焦点F的距离与到准线的距离相等．那么动点M（，）的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？提出问题：设焦点F到准线的距离为的坐标为（，），过M作MD⊥轴于D，抛物线的集合为：||MF|＝|MD|}．由坐标表示得：错误!错误!的坐标为（，），且设直线的方程为＝－作MD⊥于D，抛物线的集合为：||MF|＝|MD|}．由坐标表示得：错误!＝|＋错误!错误!错误!（，）到的距离为d，抛物线是集合||MF|＝d}．∵|MF|＝错误!错误!错误!错误!错误!错误!到焦点F距离的求解方法：可以转化成点M到准线的距离．4．注重数形结合、分类讨论思想．作业布置课本习题24 A组1，2，3．补充练习1．抛物线2＝的准线方程是____________________．2．抛物线＝－42上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是____________．3．若抛物线2＝2的焦点与椭圆错误!＋错误!＝1的右焦点重合，则的值为（）A．－2 B．2 C．－4 D．44．已知点P在抛物线2＝4上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．（错误!，－1）B．（错误!，1）C．（1，2）D．（1，－2）5．过抛物线＝42的焦点作直线交抛物线于A（1，1），B（2，2）两点，若1＋2＝5，求线段AB的长．1．＝－错误!2．＝－错误!3．D4．A5．解：由方程2＝错误!得，准线方程为＝－错误!，则点A到准线的距离d1＝1＋错误!．点B到准线的距离d2＝2＋错误!．又由抛物线的定义可得：|AF|＝d1，|BF|＝d2．∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝1＋错误!＋2＋错误!＝错误!．本节先用现实生活中的实例引出课题，借助几何画板的演示功能，使学生通过点的运动，观察到抛物线的轨迹的特征．多媒体创设问题情境，让探究式教学走进课堂，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新．学生虽然通过二次函数对抛物线图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关．本节课从实例出发，用多媒体结合。