2022届高考数学复习题：空间点、直线、平面之间的位置关系
2022年高考数学总复习：空间点、直线、平面之间的位置关系
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1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理
4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)异面直线所成的角
①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．
②范围：⎝⎛⎦
⎤0，π2. 3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
知识拓展
1．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2．异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)。
2021_2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1
平面整体设计教学分析平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.三维目标1.正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质.2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,结合三个公理的应用会证明共点、共线、共面问题.3.通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美,培养学生学习数学的兴趣.重点难点三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？图1长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题.推进新课新知探究提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念;②平面的画法与表示方法;③如何描述点与直线、平面的位置关系？④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？⑧自己总结三个公理的有关内容.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.④确定一条直线需要几个点？⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.⑦文字语言、图形语言、符号语言.⑧平面的基本性质小结.讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图 3.图2 图3 平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD （图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC （图5）.图4 图5③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表： 点A 在直线a 上（或直线a 经过点A ）A∈a 元素与集合间的关系点A 在直线a 外（或直线a 不经过点A ）A ∉a 点A 在平面α内（或平面α经过点A ） A∈α 点A 在平面α外（或平面α不经过点A ）A ∉α④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α.图6 图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若A∈a,B∈a,且A∉α,B∈α,则a⊄α.如图（图7）.⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.如图（图8）.图8公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图9），用符号语言表示为：P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.图9公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.⑧“平面的基本性质”小结：名称作用公理1 判定直线在平面内的依据公理2 确定一个平面的依据公理3 两平面相交的依据应用示例思路1例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图10活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在（2）中，α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α,B∉α,A∈l,B∈l;(2)a⊂α,b⊂β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解：如图11.图112.根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，F∉l;（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，B∉a，C∈β，C∉a. 答案：如图12.图12点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.图13证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内,同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,图14∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,b⊂α.∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d,∴c、d⊂α,即a、b、c、d在同一平面内.点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.思路2例1 如图15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC 与α、β的交线.图15活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路.解：如图16所示，连接CB，∵C∈β,B∈β,∴直线CB⊂β.图16∵直线CB⊂平面ABC，∴β∩平面ABC=直线CB.设直线CB 与直线EF 交于D,∵α∩β=EF,∴D ∈α,D∈平面ABC.∵A∈α,A∈平面ABC ，∴α∩平面ABC=直线AD.变式训练1.如图17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C，请画出直线DE 与平面α的交点P ，并指出点P 与直线BC 的位置关系.图17解：AD 和AC 是相交直线，它们确定一个平面ABC ，它与平面α的交线为直线BC ，DE 平面ABC ，∴DE 与α的交点P 在直线BC 上.2.如图18，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，图18(1)画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2)设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.解：(1)设M 、N 、P 三点确定的平面为α，则α与平面AA 1B 1B 的交线为直线MP ，设MP∩A 1B 1=R ，则RN 是α与平面A 1B 1C 1D 1的交线，设RN∩B 1C 1=Q ，连接PQ ，则PQ 是所要画的平面α与平面BB 1C 1C 的交线.如图18.(2)正方体棱长为8 cm ，B 1R=BM=4 cm ，又A 1N=4 cm ，B 1Q=31A 1N, ∴B 1Q=31×4=34（cm ）.在△PB 1Q 中，B 1P=4 cm ，B 1Q=34cm ，∴PQ=10342121=+Q B P B cm. 点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平面的交点和交线. 例2 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线. 解：如图19,∵A、B 、C 是不在同一直线上的三点,图19∴过A 、B 、C 有一个平面β.又∵AB∩α=P，且AB ⊂β,∴点P 既在β内又在α内.设α∩β=l,则P ∈l,同理可证：Q ∈l,R ∈l,∴P、Q 、R 三点共线.变式训练三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点. 已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l 1、l 2、l 3，且l 1、l 2、l 3不平行. 求证：l 1、l 2、l 3相交于一点.证明：如图20，α∩β=l 1，β∩γ=l 2，α∩γ=l 3，图20∵l 1⊂β，l 2⊂β，且l 1、l 2不平行,∴l 1与l 2必相交.设l 1∩l 2=P ，则P ∈l 1⊂α,P∈l 2⊂γ,∴P∈α∩γ=l 3.∴l 1、l 2、l 3相交于一点P.点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3. 知能训练画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.解：如图21,图21∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B.∴EF为所求.拓展提升O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.解：如图22,连接A1C1、AC，图22因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.课堂小结1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性.2.通过三个公理介绍了平面的基本性质，及作用.3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题.作业课本习题2.1 A组5、6.11。
2021_2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1
• 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公
理2的推理2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所
以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．
• 规律总结：(1)证明点线共面的主要依据：公理1、公理2及其 推论．
• [证明] 如右图所示，
• ∵PA∩PB＝P， • ∴过PA，PB确定一个平面α. • ∴A∈α，B∈α. • ∵A∈l，B∈l， • ∴l⊂α. • ∴PA，PB，l共面．
3. 证明多点共线问题
• 例题3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，
BC∩α＝Q，如图．求证：P、Q、R三点共线．
自主预习
1．平面
描述
几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出 来的，是无限___延__展_____的
通常把水平的平面画成一个__平__行__四__边__形__，并且其锐 角画成45°，且横边长等于其邻边长的___2__倍，如图 1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强 立体感，被遮挡部分用__虚__线___画出来，如图2所示
练习1
(1)若点 M 在直线 a 上，a 在平面 α 内， 则 M，a，α 间的关系可记为________.
(2) 根 据 右 图 ， 填 入 相 应 的 符 号 ： A________平面 ABC，A________平面 BCD， BD________平面 ABC，平面 ABC∩平面 ACD ＝________.
• (2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有 ”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在 和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不 能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定 一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在 性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．
2021_2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1
空间中直线与直线之间的位置关系基础巩固一、选择题1．异面直线是指( )A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[答案] D[解析] 对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．对于C，如右图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D．规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项．2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有( )A．3条B．4条C．6条D．8条[答案] C[解析] 画一个正方体，不难得出有6条．3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则( )A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面[答案] D[解析] a、b、c的位置关系有下面三种情况，如图所示，由图形分析可得答案为D．4．空间两个角α、β的两边对应平行，若α＝60°，则β为( )A．60° B．120°C．30° D．60°或120°[答案] D[解析] 由等角定理知α、β相等或互补．所以β＝60°或120°.5．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD 所成的角为( )A．30° B．45°C．60° D．90°[答案] A[解析] 取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，故选A．6．下列命题中，正确的结论有( )①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] B[解析] ②④是正确的．二、填空题7．如图所示，在三棱锥P－ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有________对．[答案] 3[解析] AP与BC异面、BP与AC异面、PC与AB异面．8．如图所示，六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，底面是正六边形．(1)A 1F 1与BD 所成角的度数为________. (2)C 1F 1与BE 所成角的度数为________. [答案] 30° 60° 三、解答题9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱CC 1，BB 1，DD 1中点．求证：∠BGC ＝∠FD 1E . [分析]利用平行公理证明两角对应的边平行，再利用等角定理证明两角相等．[解析] 因为E ，F ，G 分别是正方体的棱CC 1，BB 1，DD 1的中点，所以CE 綊GD 1，BF 綊GD 1.所以四边形CED 1G 与四边形BFD 1G 均为平行四边形．所以GC ∥D 1E ，GB ∥D 1F .因为∠BGC与∠FD 1E 的方向相同，所以∠BGC ＝∠FD 1E .10．如图，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．[分析] 根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE 与DC 的平行线，换句话说，平移BE (或CD )．设想平移CD ，沿着DA 的方向，使D 移向E ，则C 移向AC 的中点F ，这样BE 与CD 所成的角即为∠BEF 或其补角，解△EFB 即可获解．[解析] 取AC 的中点F ，连接BF 、EF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点， ∴EF ∥CD ，∴∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角)． 在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52.在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22.在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰△EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. 能力提升一、选择题1．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( ) A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．异面或相交[答案] D[解析] 如图所示，a 、b 是异面直线，AB 、AC 都与a 、b 相交，AB 、AC 相交；AB 、DE 都与a 、b 相交，AB 、DE 异面．2．已知a 、b 、c 均是直线，则下列命题中，必成立的是( ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 也相交C ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cD ．若a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 也是异面直线 [答案] C[解析] 由平行公理可知C 正确，而其他可举反例说明错误．3．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )A ．梯形B ．矩形C ．平行四边形D ．正方形 [答案] D[解析] ∵E 、F 、G 、H 分别为中点，如图． ∴FG 綊EH 綊12BD ，HG 綊EF 綊12AC ，又∵BD ⊥AC 且BD ＝AC ，∴FG ⊥HG 且FG ＝HG ，∴四边形EFGH 为正方形．4．点E 、F 分别是三棱锥P －ABC 的棱AP 、BC 的中点，AB ＝6，PC ＝8，EF ＝5，则异面直线AB 与PC 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°[答案] D[解析] 如图，取PB 的中点G ，连结EG 、FG ，则EG 綊12AB ，GF 綊12PC ，则∠EGF (或其补角)即为AB 与PC 所成的角，在△EFG 中，EG ＝12AB ＝3，FG ＝12PC ＝4，EF ＝5，所以∠EGF ＝90°.二、填空题5．如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与AD 1异面且与AD 1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条．[答案] 1[解析] 与AD 1异面的面对角线分别为：A 1C 1，B 1C ，BD ，BA 1，C 1D ，其中只有B 1C 和AD 1所成的角为90°.6．如图所示，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若BD ＝2，AC ＝4，则四边形EFGH 的周长为________.[答案] 6[解析]⎭⎪⎬⎪⎫EH 綊12BDFG 綊12BD ⇒EH ＝FG ＝12BD ＝1， 同理EF ＝GH ＝12AC ＝2，∴四边形EFGH 的周长为6. 三、解答题7．如图，在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若EF ＝3，求异面直线AD 、BC 所成角的大小．[解析] 如图，取BD 的中点M ，连接EM 、FM .因为E 、F 分别是AB 、CD 的中点，所以EM 綊12AD ，FM 綊12BC ，则∠EMF 或其补角就是异面直线AD 、BC 所成的角．AD ＝BC ＝2，所以EM ＝MF ＝1，在等腰△MEF 中，过点M ，作MH ⊥EF 于H ， 在Rt △MHE 中，EM ＝1，EH ＝12EF ＝32，则sin ∠EMH ＝32，于是∠EMH ＝60°， 则∠EMF ＝2∠FMH ＝120°.所以异面直线AD 、BC 所成的角为∠EMF 的补角，即异面直线AD 、BC 所成的角为60°. 8．如图，两个三角形ABC 和A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′，BB ′，CC ′交于同一点O ，且AO OA ′＝BO OB ′＝CO OC ′＝23. (1)求证：AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′； (2)求S △ABCS △A ′B ′C ′的值．[分析]用平面几何知识可以证明两条直线平行；用等角定理可以证明两个角相等，从而可以证明两个三角形相似．[解析] (1)证明：因为AA ′与BB ′交于点O ，且AO OA ′＝BO OB ′＝23，所以AB ∥A ′B ′.同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′.(2)解：因为A ′B ′∥AB ，AC ∥A ′C ′，且AB 和A ′B ′，AC 和A ′C ′方向相反． 所以∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，所以△ABC ∽△A ′B ′C ′，且AB A ′B ′＝AO OA ′＝23. 所以S △ABCS △A ′B ′C ′＝(23)2＝49.[点评] 空间等角定理是空间几何体中衡量角的关系的依据，考查时方向有二：一是直接利用定理判断角的关系；二是利用角的相等证明三角形相似．解答时要注意角的两边是否平行及角的方向，其中方向容易被忽略，证明时要特别注意回答时要作出说明．。
高考数学第一轮复习：《空间点、直线、平面的位置关系》
高考数学第一轮复习：《空间点、直线、平面的位置关系》最新考纲1.理解空间直线、平面位置关系的定义．2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.【教材导读】1．分别在两个平面内的直线就是异面直线吗？提示：不是．异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线，指的是找不出一个平面同时经过这两条直线，分别在两个平面内的直线可以平行、异面或相交．2．空间直线与平面、平面与平面的位置关系有哪些？提示：直线与平面的位置关系有：相交、平行、在平面内．平面与平面的位置关系有：平行、相交．1．平面的基本性质及相关公(定)理文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内判断直线在平面内公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α确定平面、直线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的寻找两平面的交线；证明线共点公共直线公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行//m n证明线线平行两角相等或互补的定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补A A'∠=∠A Aπ'∠+∠=判断或证明两角相等或互补2．空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥b a∥αα∥β交点个数000相交关系图形语言符号语言a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 交点个数11无数个其他关系图形语言符号语言a，b是异面直线aα交点个数0无数个3.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；(2)范围：0，π2.【重要结论】经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线．1．以下四个命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．(A)0 (B)1(C)2 (D)3B解析：①正确，若有三点共线，则四点必共面；②错误，当A、B、C共线时，A、B、C、D、E不一定共面；③错误，在正方体中，BC与AB共面，BC与CC1共面，但AB与CC1异面；④错误，也可以是空间四边形．2.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C l，直线AB∩l＝M，过A、B、C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()(A)点A(B)点B(C)点C但不过点M(D)点C和点MD解析：通过A、B、C三点的平面γ，即是通过直线AB与点C的平面，M∈AB，∴M ∈γ，而C∈γ.又∵M ∈β，C ∈β，∴γ和β的交线必通过点C 和点M .3．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6答案：C4．正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，直线BB 1与AD 1所成的角为( ) (A)π3 (B)π4 (C)π6(D)π2 B 解析：如图，因为BB 1∥AA 1，所以∠A 1AD 1为直线BB 1与AD 1所成的角， 在Rt △AA 1D 1中，∠A 1AD 1＝π4.5．若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是________________． 答案：b 与α相交或bα或b ∥α考点一 平面的基本性质及应用如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，AA 1的中点．求证： (1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．解析：(1)如图，连接EF，CD1，A1B.因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.又A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，C，D1，F四点共面．(2)因为EF∥CD1，EF＜CD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理p∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直线DA.所以CE，D1F，DA三线共点．【反思归纳】(1)证明点共面或线共面的常用方法①直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．②同一法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．③辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．(2)证明空间点共线问题的方法①公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．(3)证明三线共点的方法先选取两线交于一点，再证明该点在第三条线上即可．【即时训练】如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC，，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解：C，D，F，E四点共面，证明如下：∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH.∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．法二如图所示，延长FE，DC分别与AB的延长线交于点M，M′，∴B为MA的中点．中点．∴M与M′重合．即EF与CD相交于点M(M′)，∴C，D，F，E四点共面．考点二空间两直线的位置关系(1)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠ 2.有以下四个结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线．其中正确结论的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．解析：(1)过N作NP⊥BB1于点P，连接MP，可证AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN，①正确．过M、N分别作MR⊥A1B1、NS⊥B1C1于点R、S，则当M不是AB1的中点、N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M、N分别是AB1、BC1的中点时，A1C1∥RS，∴A1C1与MN可以异面，也可以平行，故②④错误．由①正确知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥平面A1B1C1D1，故③对．综上所述，其中正确的序号是①③.(2)平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：(1)①③(2)3【反思归纳】(1)空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，常常利用线面垂直的性质来解决．(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题．【即时训练】(1)下列四个结论：①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行．②两条直线没有公共点，则这两条直线平行．③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行．④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为()(A)0 (B)1(C)2 (D)3(2)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()(A)AC⊥BD(B)AC∥截面PQMN(C)AC＝BD(D)异面直线PM与BD所成的角为45°答案：(1)A(2)C考点三异面直线所成的角问题已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()(A)32(B)155(C)105(D)33解析：解法一如图所示，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AB 1＝5，AD 1＝ 2.在△B 1D 1C 1中，∠B 1C 1D 1＝60°，B 1C 1＝1，D 1C 1＝2，所以B 1D 1＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以cos ∠B 1AD 1＝5＋2－32×5×2＝105，选择C.解法二 如图，设M ，N ，P 分别为AB ，BB 1，B 1C 1的中点，连接MN ，NP ，MP ，则MN ∥AB 1，NP ∥BC 1，所以∠PNM 或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．易知MN ＝12AB 1＝52，NP ＝12BC 1＝22.取BC 的中点Q ，连接PQ ，MQ ，可知△PQM 为直角三角形，PQ ＝1，MQ ＝12AC .在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋1－2×2×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7，所以AC ＝7，MQ ＝72.在△MQP 中，MP ＝MQ 2＋PQ 2＝112，则在△PMN 中，cos ∠PNM ＝MN 2＋NP 2－PM 22·MN ·NP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫11222×52×22＝－105，所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105.答案：C【反思归纳】 (1)求异面直线所成角的常用方法及类型常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点、空间某特殊点)作平行线平移； 补形平移．(2)求异面直线所成角的三个步骤 ①作：通过作平行线，得到相交直线．②证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．③求：通过解三角形，求出该角．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC 所成的角的余弦值为________．解析：如图取A1B1的中点F，连EF，则EF∥BC，∠AEF是异面直线AE与BC所成的角，设正方体的棱长为a，可得AE＝32a，AF＝52a，在△AEF中，运用余弦定理得cos∠AEF＝23，即异面直线AE与BC所成角的余弦值为23.借助正方体判定线面位置关系下列命题正确的是()(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行(B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行(C)若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行(D)若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行解析：若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线不一定平行，还有可能相交，也可能异面，故A错．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面可能平行，也可能相交，故B错．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可能平行，也可能垂直．故D错．正确的只有C.故选C.易错提醒：(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比，从而误选A.(2)不会利用正方体作出判断，考虑问题不全面，从而误选B或D.课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．设α、β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ()(A)若l⊥β，则α⊥β(B)若α⊥β，则l⊥m(C)若l∥β，则α⊥β(D)若α∥β，则l∥mA解析：依题意，若l⊥β，lα，则α⊥β，故A正确；若α⊥β，则l与m可能平行、垂直或异面，B错误；若l∥β，则α与β平行或相交，C错误；若α∥β，则l与m平行或异面，D错误，选A.2．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是()①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．(A)1(B)2(C)3 (D)4A解析：对于①，m，n的位置关系可能为相交、平行或异面，①错误；对于②，易知是正确的；对于③，直线n可能与平面β平行、相交或直线n在平面β内，③错误；对于④，易知正方体的相邻两个侧面的对角线在底面的射影互相垂直，但这两条直线显然不垂直，所以④错误．综上所述，真命题的个数为1，故选A.3．已知ABC－A1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱，M是B1C1的中点，则下列命题正确的是()(A)在棱AB上存在点N，使MN与平面ABC所成的角为45°(B)在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45°(C)在棱AC上存在点N，使MN与AB1平行(D)在棱BC上存在点N，使MN与AB1垂直B解析：如图，设该直三棱柱的棱长为2，过点M作MP⊥BC交BC于点P，连接AP，则MP＝2，AP＝ 3.因为2＞3，故在棱AA1上存在点N，使得MN与平面BCC1B1所成角的大小为45°.故选B.4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°C解析：延长CA到点D，使得AD＝AC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°，故选C.5．下列命题正确的是()①三点确定一个平面；②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面；④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面．A．①③B．①④C．②④D．②③C解析：注意考查所给的问题：①不在同一条直线上的三点确定一个平面，原说法错误；②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，该说法正确；③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，可能相交或平行于另一个平面，原说法错误；④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面，该说法正确．综上可得：命题正确的是：②④.故选C.6．在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC所成角为60°，且AD＝3，则BC等于________．解析：将该四面体放入长方体中，如图，在直角三角形CBE中，CE＝3，∠BCE＝60°，＝2 3.所以斜边BC＝3cos 60°答案：2 37．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点，给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确的结论的序号都填上)解析：AM与C1C异面，故①错；AM与BN异面，故②错．易知③④正确．答案：③④8.如图所示，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD、BC的中点，则异面直线AN、CM所成的角的余弦值是________．解析：连接ND，取ND中点为E，则ME∥AN，则∠EMC为异面直线AN、CM所成的角，因为AN＝ND＝MC＝32－12＝22，所以ME＝2，CE＝(2)2＋12＝3，则cos∠EMC＝CM2＋ME2－CE22CM·ME＝8＋2－32×22×2＝78.答案：789．A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD 与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾，故直线EF与BD是异面直线．(2)解：取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.能力提升练(时间：15分钟)10．下列说法错误的是()(A)两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内(B)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(C)如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直(D)如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行D解析：选项A，B，C均正确，故排除．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线不一定平行，D错误．故选D.11．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C 与BE所成角的余弦值为()(A)15(B)31010(C)1010(D)35B解析：如图连结A 1B .由题意知A 1D 1∥BC ，所以四边形A 1D 1CB 为平行四边形，故D 1C ∥A 1B .所以∠A 1BE 为异面直线D 1C 与BE 所成的角．不妨设AA 1＝2AB ＝2，则A 1E ＝1，BE ＝2，A1B ＝5，在△A 1BE 中，cos ∠A 1BE ＝A 1B 2＋EB 2－A 1E 22A 1B ·EB ＝5＋2－12×5×2＝31010，故选B. 12．直线AE 与平面A 1BCD 1所成角的正切值为( )(A)22(B)12 (C)32 (D) 2A 解析：连接AB 1交A 1B 于F ，连接EF ，由于AF ⊥A 1B ，AF ⊥BC ，所以AF ⊥平面A 1BCD 1，所以角FEA 为所求线面角，其正切值为AF EF ＝221＝22.故选A.13．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________．(填正确条件的序号)①x，y，z为直线；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x为直线，y，z为平面解析：本题考查线面之间的位置关系，易知③正确．答案：③14．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P 在其表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于________．解析：如图，分别取BB1，CC1的中点E，F，连接AE，EF，FD，则BN⊥平面AEFD，设M在平面ABB1A1中的射影为O，过MO与平面AEFD平行的平面为α，所以总能使MP 与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，又矩形AEFD的周长为2＋5，所以所求轨迹的周长为2＋ 5.答案：2＋ 515．如图，AC是圆O的直径，B、D是圆O上两点，AC＝2BC＝2CD＝2，P A⊥圆O所在的平面，P A＝3，点M在线段BP上，且BM＝13BP.(1)求证：CM∥平面P AD；(2)求异面直线BP与CD所成角的余弦值．解：(1)作ME⊥AB于E，连接CE，如图，则ME∥AP.∵ME面P AD，AP面P AD，∴ME∥面P AD.因为AC是圆O的直径，AC＝2BC＝2CD＝2，所以AD⊥DC，AB⊥BC所以∠BAC＝∠CAD＝30°，∠BCA＝∠DCA＝60°，AB＝AD＝3，因为BM＝13BP，所以BE＝13BA＝33，tan∠BCE＝BEBC＝33，所以∠BCE＝∠ECA＝30°＝∠CAD，所以EC∥AD.∵EC面P AD，AD面P AD∴EC∥面P AD.又ME∩CE＝E，所以平面MEC∥平面P AD，又CM平面MEC，CM/ 平面P AD，所以CM∥平面P AD.(2)过点A作平行于BC的直线交CD的延长线于G，作BF∥CG，交AG于F，连接PF，如图所示，则∠PBF为异面直线BP与CD所成的角，设∠PBF＝θ. 易知AF＝1，PB＝6，BF＝2，PF＝2，故cos θ＝PB2＋BF2－PF22PB·BF＝6＋4－426×2＝64.即异面直线BP与CD所成角的余弦值为64.。
高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习27 空间点、直线、平面之间的位置关系
sin
∠C1BO
=
C1O BC1
=
1 2
∠C1BO = 30°
C
直线 BC1 与平面 ABCD 所成的角为 ∠C1BC = 45° ，故选项 D 正确．综上，答案选 ． ABD
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(1)证明点或线共面：
①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②
而 EF ⊥ 平面 BDD1，又因为 EF ⊂ 平面 BDD1，所以平面 B1EF ⊥ 平面 BDD1，所以 A 选项正确；
对于 B 选项：因为平面 A1BD ∩ 平面 BDD1= BD ,由上述过程易知平面 B1EF ⊥ 平面 A1BD 不成立；
对于 C 选项：由题意知直线 AA1 与直线 B1E 必相交，故平面 B1EF// 平面 A1AC 有公共点，从而 C 选
高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习 考点知识 27 空间点、直线、平面之间的位置关系
（1. 2022 年甲卷理 7 文 9）在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中，已知 B1D 与平面 ABCD 和平面 AA1B1B 所成
的角均为30° ，则
． ． 与平面 所成的角为 A AB = 2AD B AB
cosθ=
。 cosθ1·cosθ2
③向量法求异面直线所成的角
1．公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
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推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．异面直线判定的一个定理 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
A1C
⊥
l
，即
2022高三总复习数学 空间点、直线、平面之间的位置关系(含解析)
空间点、直线、平面之间的位置关系A级——基础达标1．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论正确的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析：选D如图①，∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，但OB与O1B1不平行，故排除A、B；如图②，∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，此时OB∥O1B1，故排除C，故选D.2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线α和直线b可能平行或异面或相交，故选A.3．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2BB1，则AB1与BC1所成角的大小为() A．30°B．60°C．75°D．90°解析：选D将正三棱柱ABC-A1B1C1补为四棱柱ABCD-A1B1C1D1，连接C1D，BD(图略)，则C1D∥B1A，∠BC1D为所求角或其补角．设BB1＝2，则BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，BD＝23，又因为BC1＝C1D＝6，所以∠BC1D＝90°.4.如图所示，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：选A连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．5.(多选)如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则()A．GH＝2EFB．GH≠2EFC．直线EF，GH是异面直线D．直线EF，GH是相交直线解析：选BD如图，取棱CC1的中点N，A1D1的中点M，连接EM，MH，HN，NG，FG，AC，A1C1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵MH∥A1C1∥AC∥FG，∴M，H，F，G四点共面，同理可得E，M，G，N四点共面，E，F，H，N四点共面，∴E，M，H，N，G，F六点共面，均在平面EFGNHM内，∵EF∥HN，HN∩HG＝H，HN，HG，EF⊂平面EFGNHM，∴EF与GH是相交直线．由正方体的结构特征及中位线定理可得EF＝HN＝NG＝FG ＝EM＝MH，∴3EF＝GH，即GH≠2EF.故选B、D.6．(多选)(2021·潍坊模拟)已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈平面α，点B，D∈平面β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法错误的是()A．当CD＝2AB时，M，N不可能重合B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当直线AB，CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交D．当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行解析：选ACD A选项，当CD＝2AB时，若A，B，C，D四点共面且AC∥BD时，则M，N两点能重合，可知A错误；B选项，若M，N重合，则AC∥BD，则AC∥平面β，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交，可知B正确；C选项，当AB与CD相交，且AC∥l时，直线BD与l平行，可知C错误；D选项，当AB与CD是异面直线时，MN 不可能与l平行，可知D错误．故选A、C、D.7．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．答案：58．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面PAD的位置关系为，平面AEF与平面ABCD的交线是．解析：由题易知EF∥BC，BC∥AD，所以EF∥AD，故EF∥平面PAD，因为EF∥AD，所以E，F，A，D四点共面，所以AD为平面AEF与平面ABCD的交线．答案：平行AD9.如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件时，四边形EFGH为正方形．解析：(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝12AC，EH＝12BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.答案：(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD10.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，过点A，P，C1的平面截正方体所得的截面为M，则截面M的面积为．解析：如图，取A1D1，AD的中点分别为F，G.连接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F为A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝52，PG綊CD，AF綊D1G.由题意易知CD綊C1D1，∴PG綊C1D1，∴四边形C1D1GP为平行四边形，∴PC1綊D1G，∴PC1綊AF，∴A，P，C1，F四点共面，∴四边形APC1F为菱形．∵AC1＝3，PF＝2，过点A，P，C1的平面截正方体所得的截面M为菱形APC1F，∴截面M的面积S＝12AC1·PF＝12×3×2＝62.答案：6 211.如图，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，求证：P，Q，R三点共线．证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴AC⊂β，BD⊂β，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点都是平面α与平面β的公共点．∴点P，Q，R都在平面α与平面β的交线上，故P，Q，R三点共线．12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，求证：(1)EF綊E1F1；(2)∠EA1F＝∠F1CE1.证明：(1)如图，连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF綊12BD.同理可证E1F1綊12B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，则BD綊B1D1.所以EF綊E1F1.(2)取A1B1的中点M，连接F1M，BM，则MF1綊B1C1，又B1C1綊BC，所以MF1綊BC.所以四边形BMF1C为平行四边形，所以BM∥CF1.因为A1M＝12A1B1，BE＝12AB，且A1B1綊AB，所以A1M綊BE，所以四边形BMA1E为平行四边形，所以BM∥A1E，所以A1E∥CF1.同理可证A1F∥CE1.因为∠EA1F的两边与∠F1CE1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠F1CE1.B级——综合应用13．(多选)(2021·海南模拟)关于正方体ABCD-A1B1C1D1有如下四个说法，其中正确的是()A ．若点P 在直线BC 1上运动，则三棱锥A -D 1PC 的体积不变B ．若点P 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点，则P 点的轨迹是直线A 1D 1 C ．若点P 在线段BC 1(含端点)上运动，则直线AP 与DC 所成角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π3 D ．若点P 在线段BC 1(含端点)上运动，则直线AP 与D 1C 所成的角一定是锐角解析：选AB 对于A ，由BC 1∥AD 1，可得BC 1∥平面AD 1C ， 则点P 到平面AD 1C 的距离不变， 由△AD 1C 的面积为定值，可知点P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A -D 1PC 的体积不变，故A 正确； 对于B ，若点P 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点， 则P 点的轨迹是平面A 1BCD 1与平面A 1B 1C 1D 1的交线A 1D 1，故B 正确；对于C ，直线AP 与DC 所成角即为∠PAB ，当P 与C 1重合时，∠PAB 最大，且tan ∠PAB ＝2，所以∠PAB <π3，故C 错误；对于D ，当P 与C 1重合时，AP 与D 1C 所成的角为π2，故D 错误．所以其中说法正确的是A 、B.14.如图，若P 是△ABC 所在平面外一点，PA ≠PB ，PN ⊥AB ，N 为垂足，M 为AB 的中点，则PN 与MC 之间的位置关系是 ．解析：法一：∵PA ≠PB ，PN ⊥AB ，N 为垂足，M 是AB 的中点，∴点N 与点M 不重合．∵N ∈平面ABC ，P ∉平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，N ∉CM ，∴由异面直线的判定方法可知，直线PN 与MC 为异面直线．法二(反证法)：假设PN 与MC 不是异面直线，则存在一个平面α，使得PN ⊂α，MC ⊂α，于是P ∈α，C ∈α，N ∈α，M ∈α.∵PA ≠PB ，PN ⊥AB ，N 为垂足，M 是AB 的中点， ∴点M 与点N 不重合．∵M ∈α，N ∈α，∴直线MN ⊂α，∵A ∈MN ，B ∈MN ，∴A ∈α，B ∈α，即A ，B ，C ，P 四点均在平面α内，这与点P在平面ABC外相矛盾．∴假设不成立．故PN与MC为异面直线．答案：异面直线15.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m.CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD.试证明：EG＝FH.解：(1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.所以E，F，G，H四点共面．(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．因为EHBD ＝AEAE＋EB＝mm＋1，所以EH＝mm＋1BD.同理可得FG＝nn＋1BD.由EH＝FG，得m＝n.故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．(3)证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB.所以EF∥AC.又EH∥BD，所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°.从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.C级——迁移创新16.如图，AB，CD是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面．已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为2π，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么曲线．解：如图，设⊙O 的半径为R ，母线VB ＝l ，则圆锥侧面展开图的中心角为2πR l ＝2π，∴R l ＝22，∴sin ∠BVO ＝22， ∴圆锥的母线与轴的夹角α＝∠BVO ＝π4.连接OE ，∵O ，E 分别是AB ，VB 的中点， ∴OE ∥VA .∴∠VOE ＝∠AVO ＝∠BVO ＝π4，∴∠VEO ＝π2，即VE ⊥OE .又∵AB ⊥CD ，VO ⊥CD ，AB ∩VO ＝O ， ∴CD ⊥平面VAB . ∵VE ⊂平面VAB ， ∴VE ⊥CD .又∵OE ∩CD ＝O ，OE ，CD ⊂平面CDE ， ∴VE ⊥平面CDE .∴∠VOE 是截面与轴线的夹角， ∴截面的轴线夹角大小为π4.由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面CDE 与圆锥面的截线为一抛物线．。
2022年高考考点完全题数学(文)考点通关练习题 第六章 立体几何 42 Word版含答案
考点测试42 空间点、直线、平面间的位置关系一、基础小题1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件答案 A解析“两条直线为异面直线”⇒“两条直线无公共点”．“两直线无公共点”⇒“两直线异面或平行”．故选A.2．下列命题正确的个数为( )①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④假如两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确．3. 如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M答案 D解析∵A、B∈γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.依据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．4．以下四个命题中：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 B解析①正确，否则三点共线和第四点必共面；②错，如图三棱锥，能合题意但A、B、C、D、E不共面；③错，从②的几何体知；空间四边形为反例可知，④错．5．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )A．肯定是异面直线B．肯定是相交直线C．不行能是平行直线D．不行能是相交直线答案 C解析由已知得，直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不行能为平行直线，若b∥c，则a ∥b，与已知a、b为异面直线相冲突．6．使直线a，b为异面直线的充分不必要条件是( )A．a⊂平面α，b⊄平面α，a与b不平行B．a⊂平面α，b⊄平面α，a与b不相交C．a∥直线c，b∩c＝A，b与a不相交D．a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝l，a与b无公共点答案 C解析对A：a与b可能有交点；对B，D：a与b可能平行，故选C.对C：可用反证法，若b与a不异面，而且a∩b＝∅，则a∥b.又a∥c，从而b∥c，与b∩c＝A冲突．7. 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是( )A．45° B．60°C．90° D．120°答案 B解析如图，连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C交BC1于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝22a，故两直线所成的角即为∠HGB＝60°.8. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．答案③④解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．二、高考小题9．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交答案 D解析解法一：如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确，选D.解法二：由于l分别与l1，l2共面，故l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l 与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，从而l1∥l2，与l1，l2是异面直线冲突，故l至少与l1，l2中的一条相交，选D.10．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由于直线a和直线b相交，所以直线a与直线b有一个公共点，而直线a，b分别在平面α，β内，所以平面α与β必有公共点，从而平面α与β相交；反之，若平面α与β相交，则直线a与直线b可能相交、平行、异面．故选A.11．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论肯定正确的是( )A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案 D解析如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取l1为BC，l2为CC1，l3为C1D1.满足l1⊥l2，l2⊥l3.若取l4为A1D1，则有l1∥l4；若取l4为DD1，则有l1⊥l4.因此l1与l4的位置关系不确定，故选D.三、模拟小题12．已知直线l和平面α，无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l( )A．相交B．平行C．垂直D．异面答案 C解析当直线l与平面α平行时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，当直线l⊂平面α时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，当直线l与平面α相交时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l垂直．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是( )A．与AC，MN均垂直B．与AC垂直，与MN不垂直C．与AC不垂直，与MN垂直D．与AC，MN均不垂直答案 A解析由于DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又由于AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，由于OM ⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2，则OM＝1＋2＝3，MN＝1＋1＝2，ON＝1＋4＝5，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.14．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四周体ABCD(如图2)，则在空间四周体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )A ．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直答案 C解析在题图1中，AD⊥BC，故在题图2中，AD⊥BD，AD⊥DC，又由于BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面，故选C.15．下列正方体或四周体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四点不共面的一个图是( )答案 D解析解法一：(利用“经过两条平行直线，有且只有一个平面”推断)对选项A，易推断PR∥SQ，故点P、Q、R、S共面；对选项B，易推断QR∥SP，故点P、Q、R、S共面；对选项C，易推断PQ∥SR，故点P、Q、R、S共面；而选项D中的RS、PQ为异面直线，故选D.解法二：如图，可知选项A、B中的四点共面．对于选项C，易知可构成平行四边形．故选D.16．三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC、AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，则A1B与AC1所成角的正弦值为( )A．1 B．13C．33D．63答案 D解析如图所示，把三棱柱补形为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，则BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角，设AB＝a，在△A1BD1中，A1B＝a，BD1＝3a，A1D1＝2a，∴sin∠A1BD1＝63，故选D.17．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________．(写出全部真命题的序号)①若直线m⊥α，则在平面β内，肯定不存在与直线m平行的直线；②若直线m⊥α，则在平面β内，肯定存在很多条直线与直线m垂直；③若直线m⊂α，则在平面β内，不肯定存在与直线m垂直的直线；④若直线m⊂α，则在平面β内，肯定存在与直线m垂直的直线．答案②④解析对于①，若直线m⊥α，假如α、β相互垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线，故①错误；对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的全部直线，则在平面β内，肯定存在很多条直线与直线m垂直，故②正确；对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，肯定存在与直线m垂直的直线，故③错误，④正确．一、高考大题1．四周体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四周体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H. (1)求四周体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形．解(1)由该四周体的三视图可知BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，∴AD⊥平面BDC，∴四周体ABCD的体积V＝13×12×2×2×1＝23.(2)证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理，EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．2．一个正方体的平面开放图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)推断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.解(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：由于ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH.由于ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH. 由于EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.二、模拟大题3．如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M为PC的中点．(1)求证：PC⊥AD；(2)在棱PB上是否存在一点Q，使得A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；(3)求点D到平面PAM的距离．解(1)证明：取AD的中点O，连接OP，OC，AC，由于ABCD是∠ABC＝60°的菱形，所以∠ADC＝60°，AD＝CD，所以△ACD是正三角形，所以OC⊥AD，又△PAD是正三角形，所以OP⊥AD，又OC∩OP＝O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，所以AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，所以PC⊥AD.(2)存在．当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面．证明：取棱PB的中点Q，连接QM，QA，由于M为PC的中点，所以QM∥BC，在菱形ABCD中，AD∥BC，所以QM∥AD，所以A，Q，M，D四点共面．(3)点D到平面PAM的距离即为点D到平面PAC的距离，由(1)可知PO⊥AD，由于平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P－ACD的高，在Rt△POC中，PO＝OC＝3，PC＝6，在△PAC中，PA＝AC＝2，PC＝6，边PC上的高AM＝PA2－PM2＝102，所以S△PAC＝12PC·AM＝12×6×102＝152，设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D －PAC ＝V P －ACD ，得13S △PAC ·h ＝13S △ACD ·PO ，即13×152·h ＝13×34×22×3，解得h ＝2155，所以点D 到平面PAM 的距离为2155.4. 如图所示，平面四边形ADEF 所在的平面与梯形ABCD 所在的平面垂直，AD ⊥CD ，AD ⊥ED ，AF ∥DE ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ＝2AD ＝2ED ＝xAF .(1)若四点F 、B 、C 、E 共面，AB ＝a ，求x 的值； (2)求证：平面CBE ⊥平面EDB .解 (1)∵AF ∥DE ，AB ∥DC ，AF ∩AB ＝A ，DE ∩DC ＝D ， ∴平面ABF ∥平面DCE .∵四点F ，B ，C ，E 共面，∴FB ∥CE ， ∴△ABF 与△DCE 相像．∵AB ＝a ，∴ED ＝a ，CD ＝2a ，AF ＝2ax，由相像比得AF ED ＝AB CD ，即2ax a ＝a 2a， 所以x ＝4.(2)证明：不妨设AB ＝1，则AD ＝AB ＝1，CD ＝2，在Rt △BAD 中，BD ＝2，取CD 中点为M ，则MD 与AB 平行且相等，连接BM ，可得△BMD 为等腰直角三角形，因此BC ＝2，由于BD 2＋BC 2＝CD 2，所以BC ⊥BD ，又由于平面四边形ADEF 所在的平面与梯形ABCD 所在的平面垂直，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，ED ⊥AD ，所以ED ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥DE ，又由于BD ∩DE ＝D ，∴BC ⊥平面EDB ，∵BC ⊂平面ECB ，∴平面CBE ⊥平面EDB .5．如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .证明 (1)由于AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又由于E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .由于EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .同理EG ∥平面ABC .又EF ∩EG ＝E ， 所以平面EFG ∥平面ABC .(2)由于平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ， 所以AF ⊥平面SBC ，由于BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC .又由于AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 由于SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA .6. 如图，在直二面角E －AB －C 中，四边形ABEF 是矩形，AB ＝2，AF ＝23，△ABC 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，PF ＝3.(1)证明：FB ⊥面PAC ；(2)求异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值． 解 (1)证明：易得FB ＝4， cos ∠PFA ＝cos ∠BFA ＝32， 在△PAF 中，PA ＝PF 2＋FA 2－2PF ·FA ·cos∠PFA＝9＋12－2×3×23×32＝ 3. ∵PA 2＋PF 2＝3＋9＝12＝AF 2，∴PA ⊥BF .∵平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF ∩平面ABC ＝AB ，AB ⊥AC ，∴AC ⊥平面ABEF . ∵BF ⊂平面ABEF ，∴AC ⊥BF . ∵PA ∩AC ＝A ，∴BF ⊥平面PAC .(2)过P 作PM ∥AB ，PN ∥AF ，分别交BE ，BA 于M ，N ，∠MPC 或其补角为PC 与AB 所成的角．连接MC ，NC . 易得PN ＝MB ＝32，AN ＝32，NC ＝AN 2＋AC 2＝52，BC ＝22，PC ＝PN 2＋NC 2＝7，MC ＝MB 2＋BC 2＝352，cos ∠MPC ＝14＋7－3542·12·7＝－327＝－3714.∴异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值为3714.。
高考数学一轮复习专题训练—空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系考纲要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．知识梳理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥b a∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l6独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α3.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． (2)范围：⎝⎛⎦⎤0，π2.1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．3．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )(4)若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误．(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误．(4)由于a 不平行于平面α，且a ⊄α，则a 与平面α相交，故平面α内有与a 相交的直线，故错误．2．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 连接B 1D 1，D 1C ，则B 1D 1∥EF ，故∠D 1B 1C 或其补角为所求的角．又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ，∴∠D 1B 1C ＝60°.3.如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形； (2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形． 答案 (1)AC ＝BD (2)AC ＝BD 且AC ⊥BD 解析 (1)∵四边形EFGH 为菱形，∴EF ＝EH ，∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形，∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ，∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .4．(2020·东北三省三校质检)已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⊄α，a ⊄β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是( ) A ．相交或平行 B ．相交或异面 C ．平行或异面 D ．相交、平行或异面答案 D解析 依题意，直线b 和c 的位置关系可能是相交、平行或异面．5．(2021·日照调研)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A ．l 与l 1，l 2都不相交 B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交 答案 D解析 由于l 与直线l 1，l 2分别共面，故直线l 与l 1，l 2要么都不相交，要么至少与l 1，l 2中的一条相交．若l ∥l 1，l ∥l 2，则l 1∥l 2，这与l 1，l 2是异面直线矛盾．故l 至少与l 1，l 2中的一条相交．6．(2021·郑州质检)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2，则异面直线AC 和BC 1所成角的余弦值是( ) A.8525 B ．455C ．855D ．4525答案 A解析 如图，连接AD 1，CD 1，则∠D 1AC (或其补角)就是异面直线AC 和BC 1所成的角，易知AC ＝5，AD 1＝25，CD 1＝13，由余弦定理得cos ∠D 1AC ＝AD 21＋AC 2－CD 212AD 1·AC ＝8525.考点一 平面的基本性质及应用1．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )答案 D解析 对于A ，PS ∥QR ，故P ，Q ，R ，S 四点共面；同理，B ，C 图中四点也共面；D 中四点不共面．2.如图所示，平面α∩平面β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是( )A ．直线ACB ．直线ABC ．直线CD D ．直线BC答案 C解析 由题意知，D ∈l ，l ⊂β，所以D ∈β， 又因为D ∈AB ，所以D ∈平面ABC ，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.3．在三棱锥A－BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG ＝P，则点P()A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上答案 B解析如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.感悟升华 1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．2．证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上．3．证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．考点二空间两直线的位置关系【例1】(1)(2021·广州六校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，有下列四个结论：①AP与CM是异面直线；②AP，CM，DD1相交于一点；③MN∥BD1；④MN∥平面BB1D1D.其中所有正确结论的序号是()A．①④B．②④C．①③④D．②③④(2)(2019·全国Ⅲ卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线答案(1)B(2)B解析(1)连接MP，AC(图略)，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，又面A1ADD1∩面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一点，则①不正确，②正确．③令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.因为M，N分别是C1D1，BC的中点，所以ON ∥D 1M ∥CD ，ON ＝D 1M ＝12CD ，则四边形MNOD 1为平行四边形，所以MN ∥OD 1， 因为MN ⊄平面BD 1D ，OD 1⊂平面BD 1D ， 所以MN ∥平面BD 1D ，③不正确，④正确． 综上所述，②④正确．(2)取CD 的中点O ，连接ON ，EO ，因为△ECD 为正三角形，所以EO ⊥CD ，又平面ECD ⊥平面ABCD ，平面ECD ∩平面ABCD ＝CD ，EO ⊂平面ECD ，所以EO ⊥平面ABCD .设正方形ABCD 的边长为2，则EO ＝3，ON ＝1，所以EN 2＝EO 2＋ON 2＝4，得EN ＝2.过M 作CD 的垂线，交CD 于点P ，连接BP ，则MP ＝32，CP ＝32，所以BM 2＝MP 2＋BP 2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＋22＝7，得BM ＝7，所以BM ≠EN .连接BD ，BE ，因为四边形ABCD 为正方形，所以N 为BD 的中点，即EN ，MB 均在平面BDE 内，所以直线BM ，EN 是相交直线，故选B.感悟升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面，平行和垂直的判定．异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．【训练】 (1)(2021·河南名校联考)已知空间三条直线l ，m ，n ，若l 与m 垂直，l 与n 垂直，则( ) A ．m 与n 异面 B ．m 与n 相交 C ．m 与n 平行D ．m 与n 平行、相交、异面均有可能(2)(2021·宜宾质检)四棱锥P －ABCD 的所有棱长都相等，M ，N 分别为P A ，CD 的中点，下列说法错误的是( )A ．MN 与PD 是异面直线B ．MN ∥平面PBC C ．MN ∥ACD ．MN ⊥PB答案 (1)D (2)C解析 (1)因为m ⊥l ，n ⊥l ，结合长方体模型可知m 与n 可以相交，也可以异面，还可以平行．(2)如图所示，取PB 的中点H ，连接MH ，HC ，由题意知，四边形MHCN 为平行四边形， 且MN ∥HC ，所以MN ∥平面PBC ， 设四边形MHCN 确定平面α，又D ∈α， 故M ，N ，D 共面，但P ∉平面α，D ∉MN ， 因此MN 与PD 是异面直线； 故A ，B 说法均正确．若MN ∥AC ，由于CH ∥MN ，则CH ∥AC ， 事实上AC ∩CH ＝C ， C 说法不正确；因为PC ＝BC ，H 为PB 的中点， 所以CH ⊥PB ，又CH ∥MN ， 所以MN ⊥PB ，D 说法正确． 考点三 异面直线所成的角【例2】 (1)(经典母题)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15B ．56C ．55D ．22(2) (2021·衡水检测)如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE ＝14SB ，则异面直线SC 与OE 所成角的正切值为( )A.222B ．53C ．1316D ．113答案 (1)C (2)D解析 (1)如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM .易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角或其补角．因为在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2， DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝52， DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝ 5.所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理， 得cos ∠MOD ＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×1×52＝55.故异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.(2)如图，过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，连接CF ，则∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角．∵SE ＝14SB ，∴SE ＝13BE .又OB ＝3，∴OF ＝13OB ＝1.∵SO ⊥OC ，SO ＝OC ＝3，∴SC ＝3 2. ∵SO ⊥OF ，∴SF ＝SO 2＋OF 2＝10. ∵OC ⊥OF ，∴CF ＝10. ∴在等腰△SCF 中，tan ∠CSF ＝102－⎝⎛⎭⎫3222322＝113. 【迁移1】 若将例2中(1)条件“AA 1＝3”变为“AA 1＝2”，其它条件不变，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为________． 答案 45解析 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1(或其补角)为异面直线A 1B 与AD 1所成的角． 连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，易得A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，∴cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212A 1B ·BC 1＝45.故异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.【迁移2】 若将例2中(1)题条件“AA 1＝3”变为“异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为910”．试求AA 1的值． 解 设AA 1＝t ，∵AB ＝BC ＝1， ∴A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝t 2＋1.∴cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝t 2＋1＋t 2＋1－22×t 2＋1×t 2＋1＝910. 解之得t ＝3，则AA 1＝3.感悟升华 综合法求异面直线所成角的步骤： (1)作：通过作平行线得到相交直线．(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)．(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．立体几何中的截面问题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题．立体几何中截面问题涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性较强，培养学生直观想象和逻辑推理等数学核心素养．【典例】 (2018·全国Ⅰ卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A.334B ．233C ．324D ．32答案 A解析 如图，依题意，平面α与棱BA ，BC ，BB 1所在直线所成角都相等，容易得到平面AB 1C 符合题意，进而所有平行于平面AB 1C 的平面均符合题意．由对称性，知过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中心的截面面积应取最大值，此时截面为正六边形EFGHIJ .易知正六边形EFGHIJ 的边长为22，将该正六边形分成6个边长为22的正三角形． 故其面积为6×34×⎝⎛⎭⎫222＝334.思维升华 作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：(1)确定平面的条件；(2)三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理．【训练】 (2021·雅礼中学检测)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，M 、N 分别是BB 1和A 1C 1的中点，则平面AMN 截“堑堵”ABC －A 1B 1C 1所得截面图形的面积为( )A.2213B ．4213C.273 D ．473答案 A解析 延长AN ，与CC 1的延长线交于点P ，则P ∈平面BB 1C 1C ，连接PM ，与B 1C 1交于点E ，连接NE ，得到的四边形AMEN 是平面AMN 截“堑堵”ABC －A 1B 1C 1所得截面图形，由题意解三角形可得NE ＝ME ＝173，AM ＝AN ＝5，MN ＝ 6. ∴△AMN 中MN 边上的高h 1＝52－⎝⎛⎭⎫622＝142，△EMN 中MN 边上的高h 2＝⎝⎛⎭⎫1732－⎝⎛⎭⎫622＝146.∴AMN 截“堑堵”ABC －A 1B 1C 1所得截面图形的面积S ＝S △AMN ＋S △EMN ＝12MN ·(h 1＋h 2)＝12×6⎝⎛⎭⎫142＋146＝2213.A 级 基础巩固一、选择题1．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是( ) A ．① B ．①④C ．②③D ．③④答案 B解析 显然命题①正确．由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错． 命题③中，两个平面重合或相交，③错．三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确．2. (2020·重庆一中月考)如图，α∩β＝l ，A ，B ∈α，C ∈β，且C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M答案 D解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．3．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c答案 C解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．4.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面 答案 A解析 连接A 1C 1，AC (图略)，则A 1C 1∥AC ， ∴A 1，C 1，A ，C 四点共面， ∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1， 又M ∈平面AB 1D 1，∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上， 同理A ，O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上． ∴A ，M ，O 三点共线．5．在三棱锥S －ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面答案 B解析 如图所示，连接SG 1并延长交AB 于M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN .由题意知SM 为△SAB 的中线，且SG 1＝23SM ，SN 为△SAC 的中线，且SG 2＝23SN ，∴在△SMN 中，SG 1SM ＝SG 2SN ，∴G 1G 2∥MN ，易知MN 是△ABC 的中位线，∴MN ∥BC ， ∴G 1G 2∥BC .6．在各棱长均相等的四面体ABCD 中，已知M 是棱AD 的中点，则异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为( ) A.23B ．25C ．36D ．26答案 C解析 设四面体ABCD 的棱长为2，取CD 的中点N ，连接MN ，BN ，∵M 是棱AD 的中点， ∴MN ∥AC ，∴∠BMN (或其补角)是异面直线BM 与AC 所成的角． ∵BM ＝BN ＝22－12＝3， MN ＝12AC ＝1，∴在△BMN 中，cos ∠BMN ＝BM 2＋MN 2－BN 22BM ·MN ＝3＋1－32×3×1＝36，∴异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为36. 二、填空题7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．答案 4解析因为AB∥CD，由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与另外四个侧面相交．8.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．答案 2解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角．因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.9.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析还原成正四面体ADEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．易知GH与EF异面，BD与MN异面．又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确的序号是②③④.三、解答题10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求异面直线AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求异面直线A1C1与EF所成角的大小．解(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C 与AC所成的角就是异面直线AC与A1D所成的角．在△AB1C中，AB1＝AC＝B1C，所以∠B1CA＝60°.故异面直线A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)连接BD ，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，所以EF ⊥AC . 所以EF ⊥A 1C 1.故异面直线A 1C 1与EF 所成的角为90°.11．(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1.证明：(1)当AB ＝BC 时，EF ⊥AC ； (2)点C 1在平面AEF 内．证明 (1)如图，连接BD ，B 1D 1.因为AB ＝BC ，所以四边形ABCD 为正方形，故AC ⊥BD .又因为BB 1⊥平面ABCD ，于是AC ⊥BB 1.又BD ∩BB 1＝B ，所以AC ⊥平面BB 1D 1D .由于EF ⊂平面BB 1D 1D ， 所以EF ⊥AC .(2)如图，在棱AA 1上取点G ，使得AG ＝2GA 1，连接GD 1，FC 1，FG .因为ED 1＝23DD 1，AG ＝23AA 1，DD 1綉AA 1，所以ED 1綉AG ，于是四边形ED 1GA 为平行四边形，故AE ∥GD 1.因为B 1F ＝13BB 1，A 1G ＝13AA 1，BB 1綉AA 1，所以B 1FGA 1是平行四边形，所以FG 綉A 1B 1，所以FG 綉C 1D 1，四边形FGD 1C 1为平行四边形，故GD 1∥FC 1.于是AE ∥FC 1.所以A ，E ，F ，C 1四点共面，即点C 1在平面AEF 内．B 级 能力提升12．(2021·昆明诊断)如图，已知二面角A -BD -C 的大小为π3，G ，H 分别是BC ，CD 的中点，E ，F 分别在AD ，AB 上，AE AD ＝AF AB ＝13，且AC ⊥平面BCD ，则以下说法不正确的是( )A ．E ，F ，G ，H 四点共面B ．FG ∥平面ADCC ．若直线FG ，HE 交于点P ，则P ，A ，C 三点共线D ．若△ABD 的面积为6，则△BCD 的面积为3答案 B解析 由AE AD ＝AF AB ＝13知EF 綉13BD . 又GH 綉12BD ，∴EF ∥GH ， 因此E ，F ，G ，H 共面，A 项正确；假设FG ∥平面ADC 成立，因为平面ABC ∩平面DAC ＝AC ，所以FG ∥AC ，又G 是BC 的中点，所以F 是AB 的中点，与AF AB ＝13矛盾，B 项不正确； 因为FG ⊂平面ABC ，P ∈FG ，所以P ∈平面ABC ，同理P ∈平面ADC ，因为平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，所以P ∈AC ，所以P ，A ，C 三点共线，因此C 正确；易知S △BCD ＝cos π3·S △ABD ＝12×6＝3，D 正确． 13．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 是底面ABCD 的中心，过O 点作一条直线l 与A 1D 平行，设直线l 与直线OC 1的夹角为θ，则cos θ＝________.答案 36 解析 如图所示，设正方体的表面ABB 1A 1的中心为P ，容易证明OP ∥A 1D ，所以直线l 即为直线OP ，角θ即∠POC 1.设正方体的棱长为2，则OP ＝12A 1D ＝2，OC 1＝6，PC 1＝6， 则cos ∠POC 1＝2＋6－62×2×6＝123＝36. 14.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值．解 (1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4，所以四棱锥O －ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83. (2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE ，又M 为OA 中点，∴ME ∥OC ， 则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，即DE2＋EM2＝MD2，∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，∴tan∠EMD＝DEEM＝23＝63.∴异面直线OC与MD所成角的正切值为6 3.。
2022年高考数学立体几何专题复习8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
.
答案 (1)C
π
(2)
6
解析 (1)取 DD1 的中点 F,连接 AC,EF,AF,则 EF∥CD,故∠AEF 为异面直线
AE 与 CD 所成的角.设正方体边长为 2a,则易知
AE=√ 2 + 2 =3a,AF=√ 2 + 2 = √5a,EF=2a.
(3)2 +(2)2 -(√5)2
解题心得 共面、共线、共点问题的证明
(1)证明点或线共面问题的两种方法:①首先由所给条件中的部分线(或点)
确定一个平面,然后证其余的线(或点)在这个平面内;②将所有条件分为两
部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.
(2)证明点共线问题的两种方法:①先由两点确定一条直线,再证其他各点
都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定直线上.
3.(2020浙江,6)已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是
“l,m,n两两相交”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由条件可知,当m,n,l在同一平面内时,三条直线不一定两两相交,有可
能两条直线平行;或三条直线平行;反过来,当空间中不过同一点的三条直
连接BF并延长,交AD于点N,因为CF=2FA,可得N为AD的中点,所以M,N重合,
所以EF和BD1共面,且
1
=
1
,
2
=
1
,所以
2
1
=
,所以EF∥BD1,故选D.
考向2 异面直线的判定
【例3】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的
2022届高考数学一轮复习专练35空间点直线平面之间的位置关系含解析
专练35 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．“点P在直线m上，m在平面α内”可表示为()A．P∈m，m∈αB．P∈m，m⊂αC．P⊂m，m∈αD．P⊂m，m⊂α2．在空间中，可以确定一个平面的条件是()A．两两相交的三条直线B．三条直线，其中一条与另两条分别相交C．三个点D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点3．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面的个数为()A．4个B．3个C．2个D．1个4．若直线l1与l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交5．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是()A．过P只能作一条直线与平面α相交B．过P可作无数条直线与平面α垂直C．过P只能作一条直线与平面α平行D．过P可作无数条直线与平面α平行6．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l, 直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M7．使直线a，b为异面直线的充分不必要条件是()A．a⊂平面α，b⊄α，a与b不平行B．a⊂平面α，b⊄α，a与b不相交C．a∥直线c，b∩c＝A，b与a不相交D．a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝l，a与b无公共点8．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M 是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面10.(多选)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别是DE，BE，EF，EC的中点，则下列结论正确的是A．DE与MN平行B．BD与MN为异面直线C．GH与MN成60°角D．DE与MN垂直二、填空题11．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条．12．在所有棱长都相等的三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个命题：(1)BC∥平面PDF；(2)DF∥平面P AE；(3)平面PDF⊥平面ABC；(4)平面PDF⊥平面P AE.其中正确命题的序号为________．专练35空间点、直线、平面之间的位置关系1．B2．D当三条直线相交于同一点时，可以确定一个或三个平面，故A、B错；当三点共线时，不能确定一个平面，故C错，故选D.3．A首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，故最多可确定4个平面．4．D由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．5．D过平面α外一点P，可以作无数条直线与α相交，但垂直α的只有一条，故A、B、C均错，D正确．6．D∵A、B∈γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．7．C对A，a与b可能有交点，对于B、D，a与b可能平行，C显然正确．8．B取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD 的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝32，CP＝32，所以BM2＝MP2＋BP2＝(32)2＋(32)2＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B.9．B对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确．综上可知选B.10．BCD将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B，C)DEF，如图．由正四面体的结构特征知A错误，B正确．对于C，依题意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF＝60°，故GH与MN成60°角，故C正确．对于D，连接GF，AG，点A在平面DEF上的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，∴DE⊥AF，而AF∥MN，∴DE与MN垂直，故D正确．11．5解析：与AB和CC1都相交的棱为BC，与AB相交且与CC1平行的棱为AA1，BB1，与AB 平行且与CC1相交的有CD，C1D1，故符合条件的棱有5条．12．(1)(4)解析：如图所示，记DF交AE于点M，连接PM.(1)∵D，F分别为AB，AC的中点，∴DF∥BC.∵DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，(1)正确．(2)∵DF∩AE＝M，AE⊂平面P AE，∴DF∩平面P AE＝M，(2)错误．(3)假设平面PDF⊥平面ABC，∵AC＝AB，E为BC中点，∴AE⊥BC，又DF∥BC，∴AE⊥DF.∵平面PDF∩平面ABC＝DF，AE⊄平面PDF，∴AE⊥平面PDF.又∵PF⊂平面PDF，∴PF⊥AE.∵P A＝PC，F为AC中点，∴PF⊥AC.∵AC∩AE＝A，∴PF⊥平面ABC.∴PF⊥DF.∵三棱锥P－ABC的棱长都相等，D，F分别是AB，AC的中点，∴PD＝PF，∴PF与DF不垂直．故假设不成立，(3)错误．(4)∵三棱锥P－ABC的所有棱长都相等，∴PF＝PD.又DM∥BC，M为DF中点，∴DM⊥PM，DM⊥AM.∵AM，PM⊂平面P AE，AM∩PM＝M，∴DM⊥平面P AE.又DM⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面P AE，(4)正确．。
2022版高考数学人教A版：课时作业四十空间点、直线、平面之间的位置关系
【解析】易知 EH∥BD∥FG，且 EH＝21 BD＝FG， 同理 EF∥AC∥HG，且 EF＝12 AC＝HG， 显然四边形 EFGH 为平行四边形． 要使平行四边形 EFGH 为菱形需满足 EF＝EH， 即 AC＝BD； 要使平行四边形 EFGH 为正方形需满足 EF＝EH 且 EF⊥EH， 即 AC＝BD 且 AC⊥BD. 答案：AC＝BD AC＝BD 且 AC⊥BD
该几何体的表面积是 3＋12 ×2×1＋12 ×2×1＋12 ×1× 22＋12 ＋12 × 6 ×( 5 )2－
6 2
2
＝5＋
5 2
＋
21 2
.
答案：1
5＋
5 2
＋
21 2
8．如图所示，在三棱锥 A-BCD 中，E，F，G，H 分别是棱 AB，BC，CD， DA 的中点，则当 AC，BD 满足条件________时，四边形 EFGH 为菱形；当 AC，BD 满足条件________时，四边形 EFGH 是正方形．
3．(2021·金华模拟)已知在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，M，N 分别为 AC，B1C1
的中点，E，F 分别为 BC，B1B 的中点，则直线 MN 与直线 EF，平面 ABB1A1
的位置关系分别为( )
A．平行、平行
B．异面、平行
C．平行、相交
D．异面、相交
【解析】选 B.
因为在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，M，N 分别为 AC，B1C1 的中点，E，F 分别 为 BC，B1B 的中点，所以 EF⊂ 平面 BCC1B1，MN∩平面 BCC1B1＝N，N∉EF， 所以由异面直线判定定理得直线 MN 与直线 EF 是异面直线．取 A1C1 中点 P， 连接 PN，PM，则 PN∥B1A1，PM∥A1A，因为 AA1∩A1B1＝A1，PM∩PN＝P， 所以平面 PMN∥平面 ABB1A1，因为 MN⊂ 平面 PMN，所以直线 MN 与平面 ABB1A1 平行．
2022届高考数学一轮复习课时作业： 空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系1．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c2．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是()A．①B．①④C．②③D．③④3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()A B C D4.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC5.(2020·兰州模拟)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的余弦值为()A.23B．53C.52D．2556．(多选)(2020·北京通州区期末改编)设点B为⊙O上任意一点，AO垂直于⊙O所在的平面，且AO＝OB，对于⊙O所在平面内任意两条相互垂直的直线a，b，有下列结论，其中正确的有()A．当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角B．当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角C．直线AB与a所成角的最小值为45°D．直线AB与a所成角的最小值为60°7．已知AE是长方体ABCD-EFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有________条．8．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为________．9．在下列四个图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)①②③④10.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊12AD，BE綊12F A，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？11.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．能力提高1.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB ＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为()A．12B．－12C．32D．－322.(多选)(2020·山东泰安一中、宁阳一中联考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法正确的是()A．无论点F在线段BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1DB．当F为BC1的中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且A1E EF＝2C．无论点F在线段BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成的角都不可能是30°D．当F为BC1的中点时，直线A1F与平面BDC1所成的角最大，且为60°3.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD.试证明：EG＝FH.空间点、直线、平面之间的位置关系1．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥cC[若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.]2．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是()A．①B．①④C．②③D．③④B[①显然正确；②错误，三条平行直线可能确定1个或3个平面；③若三个点共线，则两个平面相交，故③错误；④显然正确．故选B.]3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()A B C DD[A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．]4.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BCC[由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D 在平面ABC 与平面β的交线上．又因为C ∈平面ABC ，C ∈β，所以点C 在平面β与平面ABC 的交线上，所以平面ABC ∩平面β＝CD .]5.(2020·兰州模拟)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若点E 为BC 的中点，点F 为B 1C 1的中点，则异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为( ) A.23 B ．53 C.52 D ．255B [不妨设正方体的棱长为1，取A 1D 1的中点G ，连接AG ，易知GA ∥C 1E ，则∠F AG (或其补角)为异面直线AF 与C 1E 所成的角．连接FG (图略)，在△AFG 中，AG ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52，AF ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝32，FG ＝1， 于是cos ∠F AG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－122×32×52＝53，故选B.] 6．(多选)(2020·北京通州区期末改编)设点B 为⊙O 上任意一点，AO 垂直于⊙O 所在的平面，且AO ＝OB ，对于⊙O 所在平面内任意两条相互垂直的直线a ，b ，有下列结论，其中正确的有( )A ．当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角B ．当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角C ．直线AB 与a 所成角的最小值为45°D ．直线AB 与a 所成角的最小值为60°BC [如图，AO ＝OB ，直线a ⊥b ，点D ，M 分别为BC ，AC 的中点，则∠ABC 为直线AB 与a 所成的角，∠MDO 为直线AB 与b 所成的角．设AO ＝OB ＝1，若∠ABC ＝60°，则OM ＝OD ＝MD ，所以∠MDO ＝60°，故B 正确，A 不正确；因为AB 与⊙O 所在平面所成的角为45°，即直线AB 与平面内所有直线所成角中的最小角为45°，所以直线a与直线AB所成角的最小值为45°，故C正确，D不正确．故选BC.]7．已知AE是长方体ABCD-EFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有________条．4[如图，作出长方体ABCD-EFGH.在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH、GF、BC、CD.共4条．]8．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为________．30°[如图，设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中位线．由此可得GF∥AB，且GF＝12AB＝1，GE∥CD，且GE＝12CD＝2，∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角．又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF.因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，sin∠GEF＝GFGE＝12，可得∠GEF＝30°，∴EF与CD所成角的度数为30°.]9．在下列四个图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)①②③④②④[图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN 共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．]10.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊12AD，BE綊12F A，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？[解](1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊12AD.又BC綊12AD，∴GH綊BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)∵BE綊12AF，G为F A的中点，∴BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．11.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．[解](1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF 与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.能力提高1.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为()A．12B．－12C．32D．－32A[如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，FO，OG，GE，GF，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，∴∠FEG或其补角为异面直线AC与BD所成的角．设AB＝2a，则EG＝EF＝2a，FG＝a2＋a2＝2a，∴△EFG是等边三角形，∴∠FEG＝60°，∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为12，故选A.]2.(多选)(2020·山东泰安一中、宁阳一中联考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法正确的是()A．无论点F在线段BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1DB．当F为BC1的中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且A1E EF＝2C．无论点F在线段BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成的角都不可能是30°D．当F为BC1的中点时，直线A1F与平面BDC1所成的角最大，且为60°ABC[对于A选项，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C1，A1B(图略)，易知B1D⊥平面A1BC1，又A1F⊂平面A1BC1，∴A1F⊥B1D，故A正确；对于B选项，如图，当F为BC 1的中点时，连接B1C，A1D，B1C与BC1交于点F，A1F与B1D共面于平面A1B1CD，且必相交，交点为E，易知△A1DE∽△FB1E，所以A1EEF＝DA1B1F＝2，故B正确；对于C选项，点F从点B移至点C1，异面直线A1F与CD所成的角先变小再变大，当F为BC1的中点时，异面直线A1F与CD所成的角最小，此时该角的正切值为22，最小角大于30°，故C正确；对于D选项，点F从点B移至点C1，直线A1F与平面BDC1所成的角先变大再变小，当F为BC1的中点时，设点O为A1在平面BDC1上的投影，连接OF(图略)，则直线A1F与平面BDC1所成角的最大角的余弦值为OFA1F＝6662＝13，则最大角大于60°，故D错误．故选ABC.]3.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD.试证明：EG＝FH.[解](1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.所以E，F，G，H四点共面．(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．因为EHBD＝AEAE＋EB＝mm＋1，所以EH＝mm＋1BD.同理可得FG＝nn＋1BD，由EH＝FG，得m＝n.故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．(3)证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，所以EF∥AC，又EH∥BD，所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.。
2021_2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1
平面[基础巩固]1．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是( )解析：A错误，因为两平面的交线没有画出，且被遮住的部分没有画成虚线或者不画；B，C都错误，因为被遮住的部分没有画成虚线或者不画．答案：D2．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是( )A．A∈l，l∉αB．A∈l，l⊄αC．A⊂l，l⊄αD．A⊂l，l∈α解析：注意点与直线、点与平面之间的关系是元素与集合间的关系，直线与平面之间的关系是集合与集合之间的关系．故选B.答案：B3．(2016·襄阳五中)给出下列三个命题：①A，B，C三点确定一个平面；②若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面；③已知平面α，直线l和点A，B，若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α.其中正确命题的序号是________．解析：①中，只有不共线的三点可以确定一个平面，因此①错误；②中，由于两条直线相交，则必然确定一个平面，因此②正确；③中，由于点A，B既在直线l上又在平面α内，即直线l上的两点在平面α内，所以直线l在平面α内，即l⊂α，因为③正确．综上可知，正确命题的序号是②③.答案：②③4．(2016·运城一中)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是B1C1，C1D1的中点，且AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.(1)求证：D，B，E，F四点共面；(2)求四边形BDFE 的面积．解：(1)如图，连接B 1D 1，交A 1C 1于点M .∵BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1.又E ，F 分别是B 1C 1，C 1D 1的中点，∴EF ∥B 1D 1，∴EF ∥BD ，∴D ，B ，F ，E 四点共面．(2)连接PQ ，由分析知四边形BDFE 是等腰梯形，PQ 为高．设正方体的棱长为a ，则BD ＝B 1D 1＝2a ，EF ＝12B 1D 1＝22a ，BE ＝DF ＝52a ， ∴PQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫24a 2＝324a ， ∴四边形BDFE 的面积S ＝12(BD ＋EF )·PQ ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋22a ·324a ＝98a 2. [能力提升]1．下列推理错误的是( )A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂αB ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ，B ，C ∈α，A ，B ，C ∈β，且A ，B ，C 不共线⇒α与β重合解析：当l ⊄α，A ∈l 时，也有可能A ∈α，如l ∩α＝A .答案：C2．用符号表示“点A 在直线l 上，在平面α外”为( )A ．A ∈l ，A ∉αB ．A ∈l ，A ⊄αC ．A ⊂l ，A ⊄αD ．A ⊂l ，A ∉α解析：“点A 在直线l 上”用“A ∈l ”表示，“点A 在平面α外”用“A ∉α”表示．故选A.答案：A3．空间四点A ，B ，C ，D 共面而不共线，那么这四点中( )A ．必有三点共线B ．必有三点不共线C ．至少有三点共线D ．不可能有三点共线解析：空间四点A、B、C、D共面而不共线，则至少有一点不在其余点中的两点确定的直线上，如C∉AB，无论C点在何位置，C、A、B不共线．答案：B4．如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C 三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过( )A．点AB．点BC．点C，但不过点DD．点C和点D解析：根据基本性质判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．答案：D5．(2016·绵阳中学)下列命题正确的是( )A．一条直线和一点确定一个平面B．两条相交直线确定一个平面C．四点确定一个平面D．三条平行直线确定一个平面解析：根据一条直线和直线外的一点确定一个平面，知A不正确；B显然正确；C中四点不一定共面，故C不正确；三条平行直线可以确定一个平面或三个平面，故D不正确．故选B.答案：B6．(2016·桐乡一中)已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点．若α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．解析：因为m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l，所以点P在直线l上，所以P∈l.答案：P∈l7．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.解析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.答案：C8． (2016·黄石二中)在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的所有棱中，既与AB 共面，又与CC 1共面的棱有________条．解析：作图并观察可知既与AB 共面，又与CC 1共面的棱有CD ，BC ，BB 1，AA 1，C 1D ，共5条．答案：59. (2015·河北省邢台一中月考)在空间四边形ABCD 中，H ，G 分别是AD ，CD 的中点，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，且CF FB ＝AE EB ＝13.求证：直线EH ，BD ，FG 相交于一点．解：如图所示，连接EF ，GH .∵H ，G 分别是AD ，CD 的中点，∴GH ∥AC ，且GH ＝12AC . ∵CF FB ＝AE EB ＝13， ∴EF ∥AC ，且EF ＝34AC . ∴GH ∥EF ，且GH ≠EF .∴EH 与FG 相交，设交点为P .∵EH ⊂平面ABD ，∴P ∈平面ABD .同理P ∈平面BCD .又∵平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴P ∈BD .∴直线EH ，BD ，FG 相交于一点．10．如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l .(1)画出直线l ；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求PB 1的长．解：(1)设过D ，M ，N 三点的平面为α，α与平面AA 1D 1D 的交线为直线DM ，设DM ∩D 1A 1＝Q .由于D 1A 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以Q ∈平面A 1B 1C 1D 1，所以α与平面A 1B 1C 1D 1的交线为QN ，则QN 即为所要画的直线l .如下图所示．(2)设QN ∩A 1B 1＝P ，△A 1MQ ≌△AMD ，所以A 1Q ＝AD ＝A 1D 1，即A 1是QD 1的中点， 所以A 1P ＝12D 1N ＝14a ，即PB 1＝34a .。
2022年高考数学二轮复习：空间点直线平面之间的位置关系
2022年高考数学二轮复习：空间点、直线、平面之间的位置关系[考情分析]高考对此部分的考查，一是空间线面关系的命题的真假判断，以选择题、填空题的形式考查，属于基础题；二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合命题，一般以选择题、填空题或解答题的第(1)问的形式考查，属中档题．考点一空间直线、平面位置关系的判定核心提炼判断空间直线、平面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题．(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断．例1(1)(2021·青岛模拟)若α，β表示两个不同的平面，m为平面α内一条直线，则() A．“m∥β”是“α∥β”的充分不必要条件B．“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件C．“m⊥β”是“α⊥β”的必要不充分条件D．“m⊥β”是“α⊥β”充要条件答案 B解析A中，若m∥β，根据面面平行的判定定理不能得到α∥β，A错误；B中，若α∥β，根据面面平行的性质定理可得m∥β，又因为m∥β不能推出α∥β，所以B 正确；C，D中，若α⊥β，根据面面垂直的性质定理不能推出m⊥β，C，D错误．(2)(多选)(2021·漳州模拟)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，得四边形BFD1E，在以下结论中，正确的是()A．四边形BFD1E有可能是梯形B．四边形BFD1E在底面ABCD内的射影一定是正方形C．四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1DD．四边形BFD1E面积的最小值为62第1 页共17 页。
第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 (精讲)(解析版)-2023年高考数学一轮复习
第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 (精讲）目录第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析题型一：基本事实的应用 题型二：空间两条直线的位置关系 题型三：立体几何中的截线(截面)问题角度1：立体几何中的截线 角度2：立体几何中的截面 题型四：异面直线所成角第四部分：高考真题感悟知识点一：与平面有关的基本事实及推论1、与平面有关的三个基本事实（1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面数学语言：A ,B ,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α,使A α∈,B α∈,B α∈. （2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内数学语言：A l ∈,B l ∈,且A α∈,B α∈⇒l α⊂（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线数学语言：P α∈,且P β∈ ⇒l αβ=,且P l ∈2、基本事实1的三个推论推论1:经过一条直线与这条直线外一点,有且只有一个平面; 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.知识点二：空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系 图形语言符号语言 a ba ααβ相交关系 图形语言图形a b A =a A α=l αβ=语言独有关系图形语言图形语言a与b是异面直线aα⊂1、基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行数学符号语言；若直线a b c b,则a c2、等角定理①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补②图形语言：③符号语言：OA O A'',OB O B''⇒AOB A O B'''∠=∠或180AOB A O B'''∠+∠=④作用：判断或证明两个角相等或互补知识点四：异面直线所成角（1）异面直线的概念不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（2）异面直线的画法画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托（3）异面直线的判定①定义法 ②两直线既不平行也不相交 （4）异面直线所成角取值范围：090θ<≤1．（2022·全国·高一课时练习）从圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．相交或平行 【答案】B由母线的定义可知：该垂线与母线是平行的 故选：B2．（2022·全国·高一课时练习）在三棱锥S ABC -中，与SA 是异面直线的是( ) A ．SB B ．SC C ．BC D ．AB 【答案】C根据异面直线的定义可知：在三棱锥S ABC -中，与SA 是异面直线的是BC 故选：C3．（2022·全国·高一课时练习）已知AB PQ ∥，BC QR ∥，若30ABC ∠=︒，则PQR ∠等于( )A ．30B ．30或150︒C ．150︒D ．以上结论都不对 【答案】B由题可知：AB PQ ∥，BC QR ∥，且30ABC ∠=︒ 根据空间等角定理可知：PQR ∠为30或150︒ 故选：B4．（2022·全国·高一课时练习）如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则四边形EFGH 是()A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形【答案】B=，可知四边形EFGH为平行四边形根据中位线定理可知：EF//HG且EF HG故选：B5．（2022·全国·高一课时练习）若直线l在平面α外，则l与平面α的公共点个数为( ) A．0 B．0或1 C．1 D．2【答案】B直线l在平面α外，则直线l与平面α相交或者平行，当直线l与平面α相交时，公共点的个数是1个，当直线l与平面α平行时，公共点的个数是0个，故选：B典型例题例题1．（2022·北京市第十二中学高一期末）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．两个平面可以只有一个公共点C．三条平行直线一定共面D．三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面【答案】D对于A，因为不共线的三点确定一个平面，故A错误；对于B，若两个平面有一个公共点，那么就有一条经过该点的公共直线，即交线，该交线上有无数个公共点，故B错误；对于C，三条平行直线可能共面，也可能有一条在另外两条确定的平面外，故C错误；对于D，当三条直线两两相交，三个交点不重合时，三条直线共面，当三条直线两两相交于一个点时，这三条直线可能在同一个平面内，也可能不共面，此时其中任意两条直线都可确定一个平面，即可确定3个平面，故D正确，故选：D例题2．（2022·江苏·高一课时练习）下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面.其中正确的是___________.【答案】④解①根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故①不对；②根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故②不对；③由异面直线的定义知，两条直线不一定确定一个平面，故③不对；④因梯形的一组对边平行，所以由“两条平行确定一个平面”知，梯形是一个平面图形，又因三角形的三个顶点不共线，故④对；⑤比如空间四边形则不是平面图形，故⑤不对；⑥比如空间六边形则不是平面图形，故⑥不对；⑦两两相交于同一点的三条直线，如三棱锥的三个侧面，它们确定了三个平面，故⑦不对．故答案为：④．题型归类练A B C D共面而不共线，那么这四点中（）1．（2022·北京·101中学高一期末）空间四点,,,A．必有三点共线B．至多有三点共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线【答案】B如下图所示，A，C，D均不正确，只有B正确.故选：B.2．（2022·湖北·高一阶段练习）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．一条直线和该直线外一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两条直线确定一个平面【答案】B不共线的三点确定一个平面，A错误；易知B正确；空间四边形无法确定一个平面，C错误；两条相交直线或平行直线确定一个平面，D 错误. 故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的个数是（ ）①两两相交的三条直线可确定一个平面②两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行 ③过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行 ④和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D对于①，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故①错误；对于②，两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故②错误； 对于③，过平面外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故③正确； 对于④，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或相交直线，故④错误． ∴正确的命题只有一个．故选：D4．（2022·山西·平遥县第二中学校高一期中）在空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF 与GH 能相交于点P ，那么（ ） A ．点P 不在直线AC 上 B ．点P 必在直线BD 上 C ．点P 必在平面ABC 内 D ．点P 必在平面ABC 外【答案】CCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，有E ∈平面ABC ，F ∈平面ABC ，则直线EF ⊂平面ABC ，同理，直线GH ⊂平面ADC ，因EF 、GH 能相交于点P ，即,P EF P GH ∈∈， 因此P ∈平面ABC ，P ∈平面ADC ，而平面ABC 平面ADC AC =，于是有P ∈AC ，A 不正确，C 正确，D 不正确；又直线AC 与BD 没有公共点，即点P 不在直线BD 上，B 不正确. 故选：C题型二：空间两条直线的位置关系典型例题例题1．（2022·四川成都·高一期末（理））如图，两个正方形ABCD ，ADEF 不在同一个平面内，点P ，Q 分别为线段EF ，CD 的中点，则直线FQ 与PB 的关系是（ ）A ．相交B ．平行C ．异面D ．不确定【答案】C取AB 的中点G ，连接,,GQ GF EQ ，则//GQ AD ，又//AD EF ，∴//GQ EF ，则,,,G Q E F 确定平面GQEF ，又FQ ⊂平面GQEF ，P ∈平面GQEF ，P FQ ∉，B ∉平面GQEF ， ∴直线FQ 与PB 是异面直线. 故选：C.例题2．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一阶段练习）在空间内，如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是______． 【答案】异面或平行如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是异面或平行. 故答案为：异面或平行.例题3．（2022·上海虹口·高二期末）在空间，如果两个不同平面有一个公共点，那么它们的位置关系为________． 【答案】相交在空间，如果两个不同平面有一个公共点，则这两个平面相交. 故答案为：相交.题型归类练1．（2022·山西忻州·高一期末）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（ ）A ．直线CD 与直线GH 异面B ．直线CD 与直线EF 共面C ．直线AB 与直线EF 异面D ．直线GH 与直线EF 共面【答案】B如图，点C 与点G 重合，故A 错误；∵CE BD ∥，且CE BD =，∴四边形CDBE 是平行四边形，∴CD EF ∥，∴CD 与EF 是共面直线，故B 正确；∵AB EF B ⋂=，∴AB 与EF 相交，故C 错误；∵EF ，GH 不在一个平面内，且EF 与GH 既不平行也不相交，∴EF ，GH 是异面直线，故D 错误. 故选：B.2．（2022·全国·高一）正方体中，点P ，O ，R ，S 是其所在棱的中点，则PQ 与RS 是异面直线的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C对于A ，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接AC ，11A C ，则11//AC A C ，如图，因为点P ，Q ，R ，S 是其所在棱的中点，则有//PQ AC ，11//RS A C ，因此//PQ RS ，则直线PQ 与RS 共面，A 错误；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接AC ，QS ，PR ，如图，因为点P ，Q ，R ，S 是其所在棱的中点，有//AP CR 且AP CR =，则四边形APRC 为平行四边形，即有AC PR //，又//QS AC ，因此//QS PR ，直线PQ 与RS 共面，B 错误； 对于C ，在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，因为点P ，Q ，R ，S 是其所在棱的中点，有1//RS BB ，而1BB ⊂平面11ABB A ，RS ⊄平面11ABB A ， 则//RS 平面11ABB A ，PQ ⊂平面11ABB A ，则直线PQ 与RS 无公共点，又直线PQ 与直线1BB 相交，于是得直线PQ 与RS 不平行，则直线PQ 与RS 是异面直线，C 正确； 对于D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1A B ，1D C ，PS ，QR ，如图，因为11//A D BC 且11A D BC =，则四边形11A D CB 为平行四边形，有11//A B D C ，因为点P ，Q ，R ，S 是其所在棱的中点，有1//PS A B ，1//QR D C ，则//PS QR ，直线PQ 与RS 共面，D 错误.故选：C3．（2022·全国·高二课时练习）已知a 和l 是异面直线，b 和l 也是异面直线，则直线a 和b 的位置关系是______． 【答案】平行或相交或异面长方体中，如上图示：当111,,a AA l BC b D C ===时，直线a ，b 异面； 当11,,a AA l BC b DD ===时，直线a ，b 平行； 当111,,a AA l BC b A B ===时，直线a ，b 相交； 故答案为：平行或相交或异面题型三：立体几何中的截线(截面)问题 角度1：立体几何中的截线，截面典型例题例题1．（2022·山东青岛·高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为BC ，1CC 的中点，则平面AEF 截正方体所得的截面多边形的形状为（ ） A ．三角形 B ．四边形C ．五边形D ．六边形【答案】B解：如图，把截面AEF 补形为四边形1AEFD ，连接1AD ，1BC ，因为E ，F 分别为BC ，1CC 的中点，则1//EF BC ， 又在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AD BC 所以1//EF AD ，则1,,,A D F E 四点共面.则平面AEF 截正方体所得的截面多边形的形状为四边形. 故选：B.例题2．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高一阶段练习）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱BC 的中点，则过1B ，E ，D 三点的平面截正方体的截面周长为________． 【答案】25如图，取11A D 的中点为F ，连接1,FD B F ，取AD 的中点为G ，连接,FG BG ， 在正方形11A D DA 中，因为F 、G 分别为所在棱的中点，故1//FG AA ，1FG AA = 而11//BB AA ，11BB AA =，故1//FG BB ，1FG BB =， 故四边形1FGBB 为平行四边形，故11//,=,FB GB FB GB在正方形ABCD 中，因为E 、G 分别为所在棱的中点，故//,=GD BE GD BE ，故四边形DGBE 为平行四边形，故//,=,DE GB DE GB 故11//,=FB DE FB DE ，故四边形1FB ED 为平行四边形，故1,,,F B E D 四点共面，故过1B ，E ，D 三点的平面截正方体的截面为平行四边形1FB ED . 又11514DE B E ==+5425=故答案为：25例题3．（2022·广西钦州·高一期末）如图，沿正方体相邻的三个侧面的对角线截得一个体积为43的三棱锥，则该正方体的棱长为________．【答案】2设该正方体的棱长为a ，则3114323a ⨯=，解得2a =故答案为：2例题4．（2022·广东韶关·高一期末）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11B C 的中点，则过B 、E 、1D 三点的平面截正方体所得的截面图形的面积为（ ） A ．5 B 6C ．26D ．46【答案】C设平面1BED 交棱AD 于F ，由正方体性质及平面与平面平行的性质定理得1//ED BF ，1//D F BE ， 由勾股定理可得四边形1D FBE 5 所以1D FBE 是菱形，且F 为AD 的中点， 取11A D 的中点M ，连接,FM ME ，则2222222211122223D B DD BD DD AB AB =+++++= 22222222EF FM ME =+==+故11232262D FBE D B FE S ⋅⨯===故选：C ．题型归类练1．（2021·安徽·安庆九一六学校高二阶段练习（理））在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有222c a b =+.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下一个三条侧棱两两垂直的三棱锥O LMN -，如果用1S ，2S ，3S 表示三个侧面面积，4S 表示截面面积，那么类比得到的结论是A ．4123S S S S =++B ．41232222S S S S =++ C ．41233333S S S S =++D ．41234444S S S S =++【答案】B建立从平面图形到空间图形的类比，与可得类比得到41232222S S S S =++，故选B ．2．（多选）（2022·浙江温州·高一期末）用一个平面去截一个几何体， 所得截面的形状是正方形， 则原来的几何体可能是（ ） A ．长方体 B ．圆台C ．四棱台D ．正四面体【答案】ACD解：对于A ：若长方体的底面为正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故A 正确；对于B ：圆台的截面均不可能是正方形，故B 错误；对于C ：若四棱台的底面是正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故C 正确；对于D ：如图所示正四面体S ABC -，将其放到正方体中，取SB 的中点E ，SC 的中点D ，取AB 的中点F ，AC 的中点DG ，依次连接EF 、FG 、GD 、DE ，由正方体的性质可知截面DEFG 为正方形，故D 正确；故选：ACD3．（2022·江苏盐城·高二期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AB BC AB BC CC ⊥===，点P 在棱BC 上运动，则过点P 且与1A C 垂直的平面α截该三棱柱所得的截面周长的最大值为_________．【答案】326取AC 中点为M ,连接1C M 交1A C 于O ,连接MB ,所以112,22CM AC CC ===,2MB ,所以116,23C M AC ==221122C B BC CC =+=1A OCCOM ,111112MO CO CM OC A O A C ∴===,所以1111,33OM C M CO A C ==,()2222211129OM OC C M A C CM +=+==,故11A C C M ⊥,又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ,其交线为AC ,且MB AC ⊥,因此MB ⊥平面11ACC A ,故1A C BM ⊥,因此1A C ⊥平面1MBC ,故平面//α平面1MBC ，因为点P 在棱BC 上运动，故当点P 运动到点B 时，此时截面最大，进而周长最大，此时周长为112622326MB MC C B ++=故答案为：3264．（2022·浙江·杭十四中高一期末）“牟合方盖”是我国古代数学家构造的一个几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）．已知这个牟合方盖与正方体内切球的体积之比为4:π，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为__________．【答案】83正方体的体积为3128V ==，正方体的内切球体积为3244π1π33V =⨯=.所以牟合方盖的体积为34416π3π3V =⨯=，正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为13168833V V -=-= 故答案为：835．（2021·全国·高二课时练习）如图所示是一个三棱锥，欲过点P 作一个截面，使得截面与底面平行，该怎样在侧面上画出截线？【答案】见解析在面SAB 内过点P 作//PE AB ，交SB 于点E ，在面SAC 内过点P 作//PF AC ，交SC 于点F ，连接EF . 则面//PEF 面ABC ，面PEF 为所作截面. 证明：∵//PE AB ，PE ⊄平面ABC ，AB 平面ABC ，//PE ∴平面ABC ，同理可证//PF 平面ABC ，PEPF P =，∴平面//PEF 平面ABC .题型四：异面直线所成角典型例题例题1．（2022·重庆南开中学高一期末）正四面体P ABC -中，D 是PA 中点，则异面直线CD 与PB 所成角的余弦值是（ ） A ．12 B 3C 2D 33 【答案】B解：取AB 的中点M ，连接,DM CM ， 因为D 是PA 中点， 所以DM PB ∥且12DM PB =， 所以CDM ∠即为异面直线CD 与PB 所成角的平面角， 设2AB =，则1,3DM CD CM ===则2223cos 2231CD DM CM CDM CD DM +-∠==⋅⨯⨯即异面直线CD 与PB 3故选：B.例题2．（2022·江苏·高一课时练习）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且4AB BC CD ===，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为（ ）A 2B 3C 3D 2【答案】C取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，如下图所示：因为M 、N 分别为AD 、AC 的中点，则//MN CD 且122MN CD ==，所以，异面直线BM 与CD 的夹角为BMN ∠或其补角，因为AB ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，AB BC ∴⊥，则2242AC AB BC =+= 1222BN AC ∴==1232BM AD ==222BN MN BM ∴+=， 所以，BN MN ⊥，则3cos MN BMN BM ∠==. 故选：C.例题3．（2022·天津·耀华中学高一期末）如图，已知空间四边形ABCD 的四条边以及对角线的长均为2，M ､N 分别是BC 与AD 的中点，则异面直线AM 和CN 所成角的余弦值为___________.【答案】23如图：连接MD ，设O 为MD 的中点，连接,ON OC ， 则12ON AM =且//ON AM ， 所以ONC ∠为异面直线AM 和CN 所成的角（或补角）， 由题意可得3AM CN DM === 所以131322ON AM MO DM ====22137416OC MC MO =+=+=， 在CON 中由余弦定理可得：222337216416cos 23332ON CN OC ONC ON CN +-+-∠===⋅⨯⨯，故答案为：23题型归类练1．（2022·四川南充·高二期末（文））将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为2π3，11A B 长为π3，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧，则异面直线1B C 与OA 所成的角的余弦值为（ ）A 3B 3C 2D ．13【答案】C作出过点1B 的圆柱的母线1B B ，连接,BC OB ，如图，则有111π3AOB AO B ∠=∠=，而2π3AOC ∠=，即有π3BOC ∠=，OBC 为正三角形，π3OBC AOB ∠=∠=，因此，//BC OA ，1BCB ∠是异面直线1B C 与OA 所成的角， 由1BB ⊥平面OBC 得1BB BC ⊥，而11BC OB OA AA BB ====，从而有1π4BCB ∠=，12cos BCB ∠=所以异面直线1B C 与OA 2故选：C2．（2022·四川内江·高二期末（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC ⊥面11ACC A ，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）A ．25B 5C 5D ．35【答案】C连接1CB 交1BC 于D ，若E 是AC 的中点，连接,BE ED ，由111ABC A B C -为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：D 是1CB 的中点， 所以1//ED AB ，故直线1BC 与直线1AB 夹角，即为ED 与1BC 的夹角BDE ∠或补角， 若1BC =，则1CE =，5BD CD ==BC ⊥面11ACC A ，EC ⊂面11ACC A ，则CB CE ⊥，而1EC CC ⊥，又1BC CC C =，1,BC CC ⊂面11BCC B ，故EC ⊥面11BCC B ， 又CD ⊂面11BCC B ，所以CE CD ⊥.所以2232ED CD CE =+，222BE CB CE + 在△BDE 中222592544cos 2532BD ED BE BDE BD ED +-+-∠===⋅⨯⨯. 故选：C3．（2022·湖北恩施·高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱BC ，11A B 的中点，则异面直线EF 与1DC 所成角的余弦值为______．3如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 的中点G ，连结FG ,GE ,可知11DC AB GF ∥∥，则异面直线EF 与1DC 所成的角为∠EFG 或其补角．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则22112FG AG A F =+，222116EF FB BB BE ++2226EG AG AB BE ++=2223cos 2EF FG EG EFG EF FG +-∠==⋅ 34．（2022·湖北武汉·高一期末）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，其中1,2AD AB ==，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且直线PB 与CD 25，则四棱锥P ABCD -的外接球体积为___________.6π如图，因为//AB CD ，故PBA ∠或其补角为异面直线PB 与CD 所成的角， 因为PA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，故PA AB ⊥，故PBA ∠为锐角，故25cos PBA ∠=525PB ==1PA =.将该四棱锥补成如图所示的长方体：1146++ 故外接球的体积为33446633R πππ=⨯=⎝⎭. 6π.5．（2022·湖南·高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AB 的中点，则异面直线1D E 与1BC 所成角的正切值为________. 2如图所示，连接1AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11BC AD ∥，则1AD E ∠为异面直线1D E 与1BC 所成的角或其补角，不妨设该正方体的棱长为2，由正方体的性质可得AE ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A 可得AE ⊥1AD ， 在1Rt AED 中，11121,22,tan AE AE AD AD E AD ==∠=21．（2021·全国·高考真题（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ） A ．π2B ．π3C ．π4D．π6【答案】D如图，连接11,,BC PC PB ，因为1AD ∥1BC ， 所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB PC ⊥，又111PC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=， 所以1PC ⊥平面1PBB ，所以1PC PB ⊥， 设正方体棱长为2，则1111122,22BC PC D B === 1111sin 2PC PBC BC ∠==，所以16PBC π∠=. 故选：D2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在四边形ABCD 中，//BC AD ，12AB BC CD AD ===，P 为空间中的动点，2PA PB AB ===，E 为PD 的中点，则动点E 的轨迹长度为（ ） A 2 B 3C 2π D 3π【答案】D解：如图，作AP 的中点F ，连接EF ，BF ．因为//EF AD ，//AD BC ， 所以//EF BC ．因为12EF AD =，12BC AD =，所以EF BC =， 故四边形EFBC 为平行四边形，则有//CE BF ，且=CE BF ，则有点F 的轨迹长度与点E 的轨迹长度相同，过点F 作FH AB ⊥于H ，则点F 的轨迹是以H 为圆心FH 长为半径的圆，且3FH =， 故点F3π．故选：D ．3．（2022·全国·模拟预测）已知正方体中1111ABCD A B C D -，E ，G 分别为11A D ，11C D 的中点，则直线1A G ，CE 所成角的余弦值为（ ） A 30B 30C 45D 145【答案】C 如图所示：取AB 的中点F ，连接EF ，CF ，易知1A G CF ∥，则∠ECF （或其补角）为直线1A G 与CE 所成角．不妨设2AB =，则5CF =6EF 3EC =，由余弦定理得45cos 235ECF ∠⨯⨯1A G 与CE 45故选：C ．4．(多选）（2022·全国·高考真题）已知正方体1111ABCD A B C D -，则（ ） A ．直线1BC 与1DA 所成的角为90︒ B ．直线1BC 与1CA 所成的角为90︒ C ．直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45︒ D ．直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒【答案】ABD如图，连接1B C 、1BC ，因为11//DA B C ，所以直线1BC 与1B C 所成的角即为直线1BC 与1DA 所成的角，因为四边形11BB C C 为正方形，则1B C ⊥1BC ，故直线1BC 与1DA 所成的角为90︒，A 正确；连接1A C ，因为11A B ⊥平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，则111A B BC ⊥， 因为1B C ⊥1BC ，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC CA ⊥，故B 正确； 连接11A C ，设1111AC B D O =，连接BO ，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，1C O ⊂平面1111D C B A ，则11C O B B ⊥， 因为111C O B D ⊥，1111B D B B B ⋂=，所以1C O ⊥平面11BB D D ， 所以1C BO ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角， 设正方体棱长为1，则12C O =12BC =1111sin 2C O C BO BC ∠==， 所以，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为30，故C 错误；因为1C C ⊥平面ABCD ，所以1C BC ∠为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，易得145C BC ∠=，故D 正确. 故选：ABD5．（多选）（2022·湖北·模拟预测）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 分别在棱BC 、1CC 上，CP x =，CQ y =，[]0,1x ∈，[]0,1y ∈且220x y +≠，过A 、P 、Q 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -得到截面多边形，则（ ）A ．x y =时，截面一定为等腰梯形B ．1x =时，截面一定为矩形且面积最大值为2C ．存在x ，y 使截面为六边形 D．存在x ，y 使1BD 与截面平行【答案】BD对A ，1x y ==时，截面为矩形，故A 错；对B ，当1x =时，点P 与点B 重合，设过A 、P 、Q 三点的平面交1D D 于M ，则因为平面11AA D D ∥平面11BB C C ，故PQ AM ∥，且AB PQ ⊥，此时截面为矩形，当点Q 与点1C 重合时面积最大，此时截面积122S =B 正确；对C ，截面只能为四边形、五边形，故C 错； 对D ，当12x =，13y =时，延长1B B 交QP 延长线于N ，画出截面APQM 如图所示.此时因为BP CP =，BN CQ ∥，故Rt BPN Rt CPQ ≅，则13BN CQ ==.由面面平行的截面性质可得ADMPCQ ，2AD PC =，故223MD QC ==，此时113MD =，故1MD BN =且1MD BN ∥，故平行四边形1MD BN ，故1MN D B ∥，根据线面平行的判定可知1BD 与截面平行，故D 正确．故选：BD。
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2022届高考数学复习题：空间点、直线、平面之间的位置关系1．在空间中，可以确定一个平面的条件是()A．两两相交的三条直线B．三条直线，其中的一条与另外两条分别相交C．三个点D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点解析：两两相交的三条直线，它们可能相交于同一点，也可能不相交于同一点，当三条直线相交于同一点时，这三条直线可能不在同一个平面内，A错；条件中另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，三条直线不能确定一个平面，B错；空间三个点可能不在同一条直线上，也可能在同一条直线上．当三个点在同一条直线上时，经过这三个点的平面有无数个，C错；因为三条直线两两相交于不同的点，所以三个交点不在同一条直线上，由公理2知，这三条直线可以确定一个平面，D正确．选D.答案：D2．下列说法错误的是()A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行解析：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，A正确，排除A；过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直，B正确，排除B；如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直，C 正确，排除C；如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线不一定平行，D错误，选D.答案：D3．下列命题中，真命题的个数为()①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.A．1B．2C．3 D．4解析：根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.答案：B4．在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线()A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条解析：在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1、EF、BC分别有交点P、M、N，如图，故有无数条直线与直线A1B1、EF、BC都相交．答案：D5．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．答案：A6．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b，又aα，bβ，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．答案：A7．在四面体ABCD中，若AB＝CD＝3，AC＝BD＝2，AD ＝BC＝5，则直线AB与CD所成角的余弦值为()A．－13B．－14C.14 D.13答案：D8．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a平面α，b平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；aα，bβ，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①9.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.答案： 210．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC 1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．答案：511.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB＝90°，BC解析：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，12．(2021·联考)已知直线m，l，平α，β，且m⊥α，lβ，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③解析：对于①，若α∥β，m⊥α，lβ，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又lβ，所以α⊥β，故④正确．选A.答案：A13.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()A.12B．－12C.32D．－32答案：A14．α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的是() A．若α∩β＝m，nα，m⊥n，则α⊥βB．若α⊥β，α∩β＝m，α∩γ＝n，则m⊥nC．若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β解析：对于选项A，直线n是否垂直于平面β未知，所以平面α不一定垂直于平面β，选项A错误；对于选项B，由条件只能推出直线m与n共面，不能推出m⊥n，选项B错误；对于选项C，命题“若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线”的逆否命题是“若直线m垂直于平面α内的无数条直线，则m垂直平面α”，这不符合线面垂直的判定定理，选项C错误；对于选项D，因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m⊥α，所以α∥β，选项D正确．选D.答案：D15.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为P A，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P AD.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：将展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为P A，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B平面P AD，E∈平面P AD，E AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面P AD与平面BCE不一定垂直，④错．故选B.答案：B16．若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，给出下列结论：①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)解析：对于①，如图1，AE，CF分别为BD边上的高，由三角形全等可知DE＝BF，当且仅当AD＝AB，CD＝BC时，E，F重合，此时AC⊥BD，所以当四面体ABCD为正四面体时，每组对棱相互垂直，故①错误；对于②，因为AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，所以四面体四个面全等，所以四面体ABCD每个面的面积相等，故②正确；对于③，当四面体为正四面体时，同一个顶点出发的任意两条棱的夹角均为60°，此时四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180°，故③错误；对于④，如图2，G，H，I，J为各边中点，因为AC＝BD，所以四边形GHIJ为菱形，GI，HJ相互垂直平分，其他同理可得，所以连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，故④正确；对于⑤，从A点出发的三条棱为AB，AC，AD，因为AC ＝BD，所以AB，AC，AD可以构成三角形，同理可得其他，所以从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长，故⑤正确．综上所述，正确的结论为②④⑤.答案：②④⑤17.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．解析：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所成平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.。