高考数学平面向量及其应用习题及答案

一、多选题

1．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =

B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22

()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足2

2

2

a b

a b +=+，则a 与b 垂直

D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2

π

2．在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6

A a c π

===则角C 的大小

是( ) A ．

6

π B ．

3

π C ．

56

π D ．

23

π 3．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°

D ．()

//2a a b +

4．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且

AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）

A ．1A

B CE ⋅=- B ．0OE O

C +=

C ．3OA OB OC ++=

D ．ED 在BC 方向上的投影为

76

5．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b

C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立

D ．在ABC 中，

sin sin sin +=+a b c

A B C

6．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）

A ．已知A 、

B 、

C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =

C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=

D ．已知()1

2a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 7．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等边三角形

8．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥

B ．2a b +=

C ．2a b -=

D ．,60a b =︒

9．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)-

B ．(6,15)

C ．(2,3)-

D ．(2,3)

10．（多选题）下列命题中，正确的是（ ） A ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b +≤+； B ．若0a b ⋅=，则00a b ==或； C ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b ⋅≤ D ．若,a b 共线，则||||a b a b ⋅=± 11．下列命题中，正确的有（ ）

A ．向量A

B 与CD 是共线向量，则点A 、B 、

C 、

D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2

α

为第二或第四象限角 C ．函数1

cos 2

y x =+

是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ∆中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形

12．点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等边三角形

13．已知ABC ∆的面积为3

2

,且2,b c ==,则A =( ) A ．30°

B ．60°

C ．150°

D ．120°

14．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等

B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量

C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >

D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 15．已知,a b 为非零向量,则下列命题中正确的是( ) A ．若a b a b +=+,则a 与b 方向相同 B ．若a b a b +=-,则a 与b 方向相反 C ．若a b a b +=-,则a 与b 有相等的模 D ．若a b a b -=-,则a 与b 方向相同

二、平面向量及其应用选择题

16．在ABC ∆中，601ABC A b S ∆∠=︒=，，则2sin 2sin sin a b c

A B C

-+-+的值等于

（ ）

A B C D ．17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ∆的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ∆的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形

D ．等边三角形

18．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若

sin cos sin a b c

A B B

===ABC ∆的面积为（ ）

A ．2

B ．4

C

D ．19．已知,a b 是两个单位向量，则下列等式一定成立的是( ) A ．0a b -=

B ．1a b ⋅=

C ．a b =

D ．0a b ⋅=

20．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，c =45B =︒，则sin C 的值等于（ ）

A ．

441

B ．

45

C ．

425

D ．

41

21．ABC ∆内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为（ ） A ．1:4

B ．4:5

C ．2:3

D ．3:5

22．在ABC ∆中，设2

2

2AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A ．垂心

B ．内心

C ．重心

D ． 外心

23．在ABC 中，若()()

0CA CB CA CB +⋅-=，则ABC 为（ ） A ．正三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．无法确定

24．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，

()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当01

05

t <<

时，夹角θ的取值范围为（ ） A ．0,3π⎛⎫

⎪⎝⎭

B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．2,23ππ⎛⎫

⎪⎝

⎭

D ．20,

3π⎛⎫ ⎪⎝⎭

25．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为