极大似然估计法
概率论与数理统计第七章-1矩估计法和极大似然估计法
μ1 h1 (θ1 , θ2 , μ j h j (θ1 , θ2 , μk hk (θ1 , θ2 ,
, θk ) , θk ) , θk )
, μk ) , μk ) , μk )
数理统计
从这 k 个方程中解出
θ1 g1 ( μ1 , μ2 , θ j g j ( μ1 , μ2 , θk gk ( μ1 , μ2 ,
数理统计
定义 用样本原点矩估计相应的总体原点矩 ,
用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的 连续函数, 这种参数点估计法称为矩估计法 . 矩估计法的具体做法如下 设总体的分布函数中含有k个未知参数 θ1 , θ2 , 那么它的前k阶矩 μ1 , μ2 ,
, θk ,
, μk , 一般
l xi P{ X xi ;1 , 2 , , k } l E ( X l ) l 1 hl (1 , 2 , , k ) x l p ( x; , , , )dx 1 2 k
2 1
b μ1 3( μ2 μ12 )
于是 a , b 的矩估计量为
总体矩
a A1 3( A2 A12 ) 3 n 2 X ( X X ) , i n i 1
3 n 2 b X ( X X ) n i 1 i
样本矩
数理统计
例2 设总体 X 的均值 μ和方差 σ 2 ( 0) 都存
数理统计
点估计问题的一般提法 设总体 X 的分布函数 F ( x; )的形式为已
知, 是待估参数 . X 1 , X 2 ,, X n 是 X 的一个样 本, x1 , x2 ,, xn 为相应的一个样本值 .
4 极大似然估计和广义矩估计
OLS
ˆ x ˆ ML y ˆOLS ML
MLE的线性回归模型的残 差平方和等于OLS的残差 平方和
2 的极大似然估计
2 ˆ ML
1 n 2 ˆ x )2 RSS n 2 ˆ ML ˆ ( yi ML i OLS n i 1 n n
i 1 n i 1
更方便、更容易
极大似然估计的思想： θ 的极大似然估计是使得产生样 本 y1, y2 ,, yn 的最高概率的那个 θ 值，(使得观测到该样本 可能性最大的那个 θ )；即 θ 的极大似然估计是使似然函数 ˆ L(θ) 达到最大的值。记为 θ 似然方程
ML
ˆ ) max L(θ; y), L(θ ML
L(θ) ln L(θ) 0, or 0 θ θ
总体有离散型和连续型两种，离散型总体通过分布列来构 造似然函数，而连续型总体通过密度函数来构造似然函数.
2014-6-4 S( θ)
ln L(θ) Score向量，梯度向量 θ
离散型随机变量极大似然原理
若总体为离散型分布，分布列 P{ X x} f ( x; θ)
n
n
i 1
似然函数 L(θ) f ( xi ; θ), 对数似然 ln L(θ) ln f ( xi ; θ) i 1 i 1 ˆ 极大似然估计就是使得下式成立的 θ
ML
n
ˆ ) max L(θ) L(θ ML
具体求法：由 L(θ) / θ 0 解出极大值点，因函数ln单增,故
上式达到极大的一阶条件是
d ln L( p) N1 N N1 0 dp p 1 p
解之得到p的极大似然估计量
ˆ N1 / N p
最大似然估计及三大检验(Wald-LM-LR)资料
第二章 线性回归模型回顾与拓展 （12-15学时）第四节 三大检验（LR Wald LM ） 一、极大似然估计法（ML ）（一）极大似然原理假设对于给定样本{},Y X ,其联合概率分布存在，(),;f Y X ξ。
将该联合概率密度函数视为未知参数ξ的函数，则(),;f Y X ξ称为似然函数（Likelihood Function ）。
极大似然原理就是寻找未知参数ξ的估计ˆξ，使得似然函数达到最大，或者说寻找使得样本{},Y X 出现的概率最大ˆξ。
（二）条件似然函数VS 无条件似然函数()()(),;;;f Y X f Y X f X ξθϕ=若θ与ϕ没有关系，则最大化无条件似然函数(),;f Y X ξ等价于分别最大化条件似然函数();f Y X θ和边际似然函数();f X ϕ，从而θ的最大似然估计就是最大化条件似然函数();f Y X θ。
（三）线性回归模型最大似然估计Y X u β=+，2(0,)u N I σ→2222()()(,;,)(2)exp{}2nY X Y X L Y X βββσπσσ-'--=-对数似然函数：22()()2222n n Y X Y X l LnL Ln Ln ββπσσ'--==---于是 22241ˆ(22)0ˆˆ21ˆˆ()()0ˆˆˆ22l X Y X X l n Y X Y X βσβββσσσ∂⎧''=--+=⎪⎪∂⎨∂⎪'=-+--=⎪∂⎩得到 12ˆ()1ˆMLML X X X Y e e n βσ-⎧''=⎪⎨'=⎪⎩（三）得分（Score ）和信息矩阵（Information Matrix ）(;,)lf Y X θθ∂=∂称为得分； 12...k l l l l θθθθ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥=∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦得分向量；（Gradient ） 海瑟矩阵（Hessian Matrix ）:2l H θθ∂='∂∂信息矩阵：三*、带约束条件的最小二乘估计（拉格朗日估计）在计量经济分析中，通常是通过样本信息对未知参数进行估计。
最大似然估计法
P{ X x} p x (1 p)1 x , x 0,1.
设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的样本。
似然函数为：
L( p)
i 1
n
P ( x i , p)
i 1
n
p x i (1 p)1 x i
p i 1 (1 p)
n
xi
n
n
xi
i 1
x
i 1
i
0
得，
1 n 1 ˆ n
x x
i i 1 n
n
④所以θ的最大似然估计值为:
x x
i i 1
练习1 : 设总体X的分布律为：
P{ X x} p x (1 p)1 x , x 0,1.
0<p<1, p未知 , 求参数p 的最大似然估计量. 解:总体X的分布律为：
1 n
ˆ使 得 ： 即 取
ˆ ) max L( x , , x ; ) L( x1 , , x n ; 1 n
ˆ与x ,, x 有关，记为 ˆ ( x ,, x ); 1 n 1 n 称其为参数 的最大似然估计值 。 ˆ( X ,, X )称为参数 的最大似然估计量 。
1 ˆ p n
x
i 1
n
i
练习2：设(X1,X2,…Xn)是来自总体X的一个样本
x 1 , X ~ f ( x) 0,
解： θ的似然函数为：
L( )
0 x 1 其它
其中 >0,
L( ) L( x1 ,, x n ; )
p( x ; ), .
i i 1
n
它是的函数。 L( )称为样本的 似然函数 。
参数估计极大似然法
将其取对数,然后对 1 , 2 ,, 2 , , k ) 0 1 ln L( 1 , 2 , , k ) 0 k
该方程组的解 ˆi ˆi (x1, x2 ,, xn ),i 1,2,, k , 即为 i 的极 大似然估计值.
求极大似然估计的一般步骤归纳如下：
（1）求似然函数 L( ) ；
（2）求出 ln L( ) 及方程
d ln L( ) 0 d
；
（3）解上述方程得到极大似然估计值
ˆ ˆ( x , x ,, x ) 1 2 n .
（4）解上述方程得到极大似然估计量
ˆ ˆ( X , X ,, X ) 1 2 n .
令
ˆ( x , x ,, x ) 解此方程得θ的极大似然估计值 1 2 n ,
从而得到θ的极大似然估计量ˆ( X1, X 2 ,, X n ) .
因为 解方程
L( )
与
ln L( )
具有相同的最大值点
d ln L( ) 0 d
也可得θ的极大似然估计值
ˆ( x , x ,, x ) 和θ的极大似然估计量 ˆ( X , X ,, X ) . 1 2 n 1 2 n
~ x d 2 ln L() 且 0 2 d ~ x
~ 从而得出λ的极大似然估计量为 X
例：设总体 X 服从参数为λ 的指数分布，其中λ 未
( x1 , x2 ,, xn ) ( X 1 , X 2 ,, X n ) 为从总体抽取一个样本， 知，
为其样本观测值， 试求参数λ 的极大似然估计值和 估计量.
例:设随机变量X服从泊松分布:
P{ X k}
k e
k!
,
极大似然估计方法
极大似然估计方法极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）方法是一种用于估计参数的统计方法，它基于观测到的样本数据，通过选择最大化观测数据出现的概率的参数值来估计未知参数。
极大似然估计是概率论和统计学中最重要的方法之一，广泛应用于各个领域的数据分析与建模中。
极大似然估计方法的核心思想是基于某一参数下观测数据出现的概率，选择使得这个概率最大的参数值。
具体而言，给定一个观测数据集合X，其来自于一个具有参数θ的概率分布，我们要估计未知参数θ的值。
极大似然估计的目标是找到一个参数值θ^，使得给定θ^条件下观测数据集合X出现的概率最大。
数学上，极大似然估计可以通过最大化似然函数来求解。
似然函数是一个参数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
似然函数的定义如下：L(θ|X) = P(X|θ)数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
极大似然估计的目标是寻找一个参数θ^，使得似然函数最大化，即：θ^ = arg max L(θ|X)为了方便计算，通常将似然函数转化为其对数形式，即对数似然函数：l(θ|X) = log L(θ|X)本文将主要介绍如何利用极大似然估计来估计参数。
具体而言，将分为两个部分：首先是介绍极大似然估计的理论基础，包括似然函数和对数似然函数的定义，以及如何通过最大化似然函数来估计参数；其次是通过一个实际的例子，展示如何使用极大似然估计来求解参数。
理论基础似然函数是极大似然估计的核心概念之一。
似然函数是一个参数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
似然函数的定义如下：L(θ|X) = P(X|θ)数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
似然函数的值越大，则表示给定参数θ的取值越可能产生观测数据X。
对数似然函数是似然函数的对数变换，通常在实际计算中会更加方便。
它的定义如下：l(θ|X) = log L(θ|X)对数似然函数和似然函数存在着一一对应关系，因此在求解参数时，两者等价。
系统辨识--第6章-极大似然估计
2.有色噪声情况
系统差分方程
a(z 1 ) y(k ) b(z 1 ) u(k ) c(z 1 ) (k )
a( z
1 )
1
a1 z
1
an z n
b( z
1 )
b0
b1 z 1
bn z n
c( z 1 ) 1 c1 z 1 cn z n
e(k) y(k) yˆ(k)
1、极大似然法 Ronald Aylmer Fisher (1890～1962) 英国实验遗传学家兼统计学家 把渐进一致性、渐进有效性等作为参 数估计量应具备的基本性质 在1912年提出了极大似然法
6.1 极大似然法
1、极大似然法
辨识准则
以观测值的出现概率最大为准则
思路
设一随机试验已知有若干个结果Ａ,Ｂ,Ｃ,…，如果在一次 试验中Ａ发生了，则可认为当时的条件最有利于Ａ发生， 故应如此选择分布的参数，使发生Ａ的概率最大 。
aˆn
bˆ0
bˆn
cˆ1
T
cˆn
用基本LS辨识获取 任意取值
(2) 计算预测误差(残差)及J值
预测误差：
e(k) y(k) yˆ(k)
指标函数J值：
J
1
n N
e2 (k )
2 k n1
误差方差估计值： ˆ 2 2 J
N
2、动态系统模型参数的极大似然估计
(3)计算梯度矩阵及海赛矩阵
J nN e(k ) e(k )
2J θ 2
1
J
θ
θ θˆ 0
J 称为J的梯度矩阵
θ
2J θ 2
称为J的海赛矩阵
注意：上式中J的梯度矩阵和海赛矩阵，依不同辨识对象，需进行 详细推导，推导出矩阵中每个元素的具体表达式。
极大似然估计法步骤
极大似然估计法步骤极大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是一种常用的参数估计方法，它利用样本数据来估计概率模型的参数。
它的基本思想是选择参数值使得观测到的样本出现的概率最大化。
极大似然估计法被广泛应用于统计学、机器学习以及其他领域。
极大似然估计法的步骤可以概括为以下几个主要步骤：1.确定参数化模型：首先，必须确定概率模型的形式和参数化，以便进行参数估计。
例如，对于二项分布模型，我们需要确定参数p 表示成功概率。
2.构建似然函数：接下来，需要构建似然函数。
似然函数是指在给定模型参数条件下观测到的样本的条件概率密度（或离散情况下的概率质量函数）。
似然函数的形式可以根据不同的概率模型进行定义。
例如，对于离散情况下的伯努利分布，似然函数可以表示为：L(p) = p^k * (1-p)^(n-k)，其中k是观测到的成功次数，n是总的观测次数。
对于连续情况下的正态分布，似然函数可以表示为：L(μ,σ) = (2πσ^2)^(-n/2) * exp[-(1/2σ^2) * Σ(xi-μ)^2]。
3.对数似然函数的求解：通常，为了便于计算和优化，我们会使用对数似然函数进行求解。
对数似然函数和似然函数具有相同的最大值点，但其大大简化了计算过程。
4.最大化对数似然函数：确定参数的MLE估计值等于使得对数似然函数最大化时的参数值。
常见的最大化方法包括数值方法（如牛顿法、梯度下降法等）和解析方法。
对于某些简单的模型，可以通过求导数等条件判断来获得解析解。
例如，对于伯努利分布中的参数p，可以通过求取对数似然函数的一阶导数，并令其等于0，解得MLE估计值为p = k/n。
5.参数估计：得到MLE估计值后，就可以根据估计参数进行进一步的分析和预测了。
通常，MLE估计值具有良好的频率特性，即当样本数量趋近于无穷大时，估计值收敛到真实参数。
极大似然估计法的优点在于其较好的性质和理论基础。
动力学模型的参数辨识方法
动力学模型的参数辨识方法动力学模型的参数辨识方法是指通过实验数据来确定动力学系统中的参数值，以建立准确的数学模型。
在工程领域中，对于复杂的动力学系统，通过参数辨识方法可以提供重要的指导，用于设计和控制系统。
一、参数辨识方法的介绍参数辨识是指通过数学和统计分析方法来获得未知参数的值。
在动力学模型中，参数代表了系统中各个组成部分的特性，确定准确的参数值可以更好地理解和预测系统的行为。
常用的参数辨识方法包括最小二乘法、极大似然估计法、贝叶斯统计方法等。
这些方法根据实验数据和先验知识来优化参数值，以使模型与实际系统的行为最接近。
二、最小二乘法最小二乘法是一种常见的参数辨识方法，其基本思想是尽量减小实际观测值与模型预测值之间的误差平方和。
具体步骤如下：1. 建立动力学模型：根据实际系统的特性和已知信息，建立动力学模型，并确定需要辨识的参数。
2. 收集实验数据：设计实验方案，按照一定的规则收集系统的输入和输出数据。
3. 误差计算：将实验数据代入动力学模型，计算模型预测值与实际观测值之间的误差。
4. 参数优化：通过最小化误差的平方和，求解使误差最小的参数值。
最常用的方法是最小二乘法。
5. 模型验证：使用优化后的参数值重新运行动力学模型，并与实验数据进行比较验证。
三、极大似然估计法极大似然估计法是一种基于统计推断的参数辨识方法，其基本思想是找到使得观测数据出现的概率最大的参数值。
具体步骤如下：1. 假设参数分布：对于待辨识的参数，假设其满足某种概率分布。
2. 建立似然函数：根据假设的参数分布，建立观测数据出现的概率函数，即似然函数。
3. 极大化似然函数：通过调整参数值，使似然函数取得最大值，即确定使观测数据出现概率最大的参数值。
4. 参数估计：根据极大似然估计法得到的参数值作为系统的估计值。
四、贝叶斯统计方法贝叶斯统计方法是一种基于概率理论和贝叶斯定理的参数辨识方法。
与极大似然估计法相比，贝叶斯统计方法更加灵活，能够充分利用先验知识和先验概率。
声发射b值计算公式极大似然估计法
声发射b值计算公式是地震学中用来衡量地震能量大小的重要参数。
在地震监测和研究中，准确地计算声发射b值对于了解地震活动的特征和趋势具有重要意义。
声发射b值的计算方法有很多种，其中极大似然估计法是一种广泛应用且有效的方法。
1. 极大似然估计法简介极大似然估计法是统计学中常用的参数估计方法，它通过最大化样本观测值出现的概率来估计参数的值。
在地震学中，我们可以利用极大似然估计法来计算声发射b值。
2. 声发射b值的定义在地震监测中，声发射b值是指地震活动中释放的能量与震源体积的对数比值，通常用公式表示为：b = log(E/V)。
其中，E表示地震释放的能量，V表示震源体积。
声发射b值的计算对于研究地震活动的规模和能量释放具有重要意义。
3. 极大似然估计法在声发射b值计算中的应用极大似然估计法在声发射b值的计算中具有一定的优势和适用性。
它可以通过对地震能量释放样本数据进行最大似然估计，得到声发射b 值的估计值，从而更准确地衡量地震能量的大小。
4. 公式推导极大似然估计法在声发射b值计算中的具体公式推导过程如下：（1）我们假设地震释放的能量满足某一特定的概率分布，常用的分布包括指数分布、Weibull分布等。
（2）我们利用观测到的地震能量释放数据，构建似然函数。
似然函数反映了在给定参数下观测数据出现的概率。
（3）接下来，通过对似然函数进行最大化，得到声发射b值的极大似然估计值。
这个估计值可以更好地反映地震能量的大小。
5. 应用案例极大似然估计法在声发射b值的计算中已经得到了广泛的应用，并取得了一定的成果。
许多研究表明，采用极大似然估计法计算的声发射b值能够更准确地反映地震能量的释放情况，为地震监测和研究提供了重要的参考依据。
6. 结论极大似然估计法在声发射b值的计算中具有一定的优势和适用性。
通过对地震能量释放数据进行最大似然估计，可以更准确地估计声发射b值，为地震监测和研究提供更可靠的数据支持。
在未来的研究中，极大似然估计法在声发射b值计算中的应用还有待进一步深入和扩展。
极大似然估计的原理和方法
1n x n 0 ,. . . . . ( 1 ) 2 i 2 ln L ( , ) 0 , i 1 令 n 2 n 1 2 ln L ( , ) 0 , ( x ) 0 . . . . . . ( 2 ) 2 i 2 22 2 2 ( )
（二）极大似然原理及数学表述
若一试验有n个可能结果 A 1, 中出现的概率最大。 现做一试验, ,A n,
若事件Ai 发生了, 则认为事件Ai 在这n个可能结果 一次试验就出现的事件（应该）有较大的概率
极大似然估计就是在一次抽样中,若得到观测值
ˆ(x , , x )作为θ的估计值。 x ,x 1, n 则选取 1 n ˆ 使得当 ( x , ,x ) 时,样本出现的概率最大。 1 n
极大似然估计法最早由高斯（C.F.Gauss）提出。 后来为费歇在1912年的文章中重新提出，并且证明 了这个方法的一些性质。极大似然估计这一名称也 是费歇（R.A.Fisher）给的。这是一种目前仍然得 到广泛应用的方法。它是建立在极大似然原理的基 础上的一个统计方法。
（C.F.Gauss）
（R.A.Fisher）
i 1
2 极大似然估计值为 故和 的
1 n ˆ xi x, n i 1
1n ˆ (xi x)2, ni1
2
这一估计值与矩估计值是相同的.
例3 设总体 X 服从 [0, ] 上的均匀分布 ， 0 未知 ， x1 , x2 . , xn 是来自于总体 X 的样本值，求出 的极
大似然估计值.
解
记
x m a x ( x , x , , x ) , ( h ) 1 2 n
4.1 极大似然估计法
• 被解释变量样本的对数似然函数为：
ln L
n
2
ln 2
n
2
ln 2
ln J(yi , ) i
2
1 2
2
[h(yi , ) g(xi , )] i
ln 2 ln 2 + ln J(yi , ) 2 2 2 i n n
x2i xki
其中 h () 和 g () 是非线性函数， 和 是参数。
以上是一般非线性模型的完整描述。
模型参数的一种估计方法是最小二乘法，即最小化
S ( , ) [h( yi , ) g ( xi , )]
i
2
• 模型参数的另一种估计方法是极大似然法。得到广 泛应用。
2
代替 ，可得：
2 2
n 1 2 2 ˆ ˆ , ˆ | y, x) [ln(2 ) ln( ˆ )] ln(| |) ln L( , 2 2 n ui n 1 2 ˆ ln(| U U / |) 2 yi i 1
n 1 2 2 ˆ ˆ , ˆ | y, x) [ln(2 ) ln( ˆ )] ln(| |) ln L( , 2 2 n ui n 1 2 ˆ ln(| U U / |) 2 yi i 1
i =1,2,…,n
ˆ ), 2 ) Yi ~ N ( f (Xi , β
2 ˆ L(β, ) P(Y1 , Y2 ,, Yn )
i ~ N (0, 2 )
1 (2 ) n
n 2
1 2
e
ˆ )) 2 ( Y f ( X , i i 2
简述极大似然估计的基本原理
简述极大似然估计的基本原理极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是统计学中一种常见的方法，用于在给定一些观察数据的情况下，找到一个最有可能产生这些数据的模型参数值。
它的基本思想是，通过分析样本数据来推断总体的分布参数，使所观测到的样本概率最大化。
简言之，MLE方法就是找到一个参数值，使样本数据出现的概率最大。
MLE方法具有很多优点。
它不需要对总体的分布做出假设，而是直接通过样本数据来推断分布参数。
它具有一致性和渐近正态性等优良的性质，使得其估计结果具有较高的可靠性。
它易于计算，常用的最优化方法可以轻松地实现。
下面我将从MLE的基本原理、MLE的求解方法、MLE的优点以及其应用等方面进行详细介绍。
一、MLE的基本原理MLE的基本思想是，给定一组样本数据，找到它们的概率密度函数（或分布函数）的参数，使得这些数据在该概率密度函数下对应的似然函数取最大值。
在统计学的术语中，对于某个参数θ，似然函数L(θ)定义为，给定一组由随机变量X取值得到的样本数据，其在某一条件概率分布f(x|θ)下的概率密度函数值：L(θ) = f(x1,x2,...,xn|θ) = ∏ f(xi|θ)其中∏表示对于所有i从1到n的乘积。
似然函数表示了在给定参数θ的情况下，样本数据出现的概率。
那么，为了确定最佳的参数值θ，我们需要寻找使似然函数L(θ)最大的值。
也就是说，最大化似然函数的值，就是求解MLE问题的目标。
我们有一组观测数据：(2,4,6)。
将这些数据视为从概率分布N(μ,σ^2)中抽取的样本，其中μ和σ^2是分布的参数。
我们可以根据样本数据计算似然函数：L(μ,σ^2) = f(2,4,6|μ,σ^2) = (√(2πσ^2))^-3 × exp(-3/2)exp表示自然常数e的指数形式。
上式中的(√(2πσ^2))^-3是概率密度函数的归一化项，不影响MLE的求解。
极大似然估计
是一个样本值
似然函数为 13
似然函数为
因为 对于满足
即
在
等价于
的任意
有
时,取最大值 14
似然函数为
即
在
故
时,取最大值 的极大似然估计值为:
故
的极大似然估计量为:
15
例5 指数分布的点估计
某电子管的使用寿命 X （单位：小时) 服从指数分布
X:
p(
x;
)
1
e
x
,
x0
( 0)
0 , other
令
解得
解得
p的极大似然估计值
p的极大似然估计量
它与矩估计量是相同的。
9
例2
设总体X的分布列为：
似然估计值。 解：
似然函数为
10
令
即
所以参数
的极大似然估计量为
11
例3
解
设 X1, X2, …, Xn 是取自总体X 的一个样本, ，求参数λ的极大似然估计值。
似然函数为:
12
例4 设
求
解设
未知， 的极大似然估计量. 的概率密度为：
d ln L( ) 0. d
若母体的分布中包含多个参数，
即可令 L 0,i 1, , k.
i
或 ln L 0,i 1, , k.
i
解k个方程组求得1,
,
的极大似然估计值。
k总体X的一
个样本， 试求参数 p 的极大似然估计值.
解：设
是一个样本值。
X的分布列为：
故似然函数为
而 令 8
p(x, )
0,
其他.
2. 取对数：
当 0 < xi < 1, (i=1,2, …,n) 时
用极大似然估计法推出朴素贝叶斯法中的概率估计公式
极大似然估计法是一种常用的概率统计方法，它在统计学领域有着广泛的应用。
朴素贝叶斯法是一种基于贝叶斯定理的分类算法，它在文本分类、垃圾邮件过滤等领域被广泛应用。
本文将通过极大似然估计法推导出朴素贝叶斯法中的概率估计公式，以帮助读者深入理解这一经典的分类算法。
1. 极大似然估计法简介极大似然估计法是一种参数估计方法，它的核心思想是通过已知的样本数据，估计出使样本数据出现的概率最大的参数值。
在数学上，假设有一组观测数据X，我们希望估计出参数θ，使得观测数据X出现的概率P(X|θ)最大。
极大似然估计法就是要找到使得P(X|θ)取得极大值的参数θ。
2. 朴素贝叶斯法简介朴素贝叶斯法是一种基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类算法。
在文本分类问题中，朴素贝叶斯法通过计算每个类别对应的概率，从而实现对文本进行分类。
在朴素贝叶斯法中，需要计算每个特征在每个类别下出现的概率，以及每个类别的先验概率。
3. 朴素贝叶斯法中的概率估计在朴素贝叶斯法中，需要对每个特征在每个类别下的概率进行估计。
以二元特征为例，假设有一个文本分类问题，特征X1表示某个词汇出现在文本中，特征X2表示另一个词汇出现在文本中，那么我们需要估计P(X1|C)和P(X2|C)，其中C表示类别。
根据极大似然估计法，我们可以使用样本数据来估计这些概率。
4. 朴素贝叶斯法中的概率估计公式根据极大似然估计法，我们可以使用样本数据来估计每个特征在每个类别下的概率。
假设训练集中有n个样本，其中属于类别C的样本有nC个，其中特征X1出现的次数为nX1，属于类别C的样本中特征X1出现的次数为nC,X1，则有P(X1|C) ≈ nC,X1/nC。
5. 朴素贝叶斯法中的先验概率估计除了对条件概率进行估计，朴素贝叶斯法还需要对每个类别的先验概率进行估计。
假设训练集中属于类别C的样本占比为nP，总样本数为n，则先验概率P(C)可估计为nP/n。
6. 朴素贝叶斯法的应用朴素贝叶斯法在文本分类、垃圾邮件过滤等领域有着广泛的应用。
极大似然估计法的步骤
极大似然估计法的步骤嘿，咱今儿就来聊聊极大似然估计法的那些步骤哟！你看哈，这极大似然估计法就像是在一堆乱七八糟的线索里找那个最有可能的答案。
就好比你丢了个宝贝，然后你得从各种蛛丝马迹里去推断最有可能是在哪儿丢的。
第一步呢，就是要明确咱要找的那个“宝贝”是啥，也就是确定总体的概率分布模型。
这就好比你得先知道你丢的是个啥东西，是个戒指呀，还是个钥匙呀。
要是你都不知道丢的是啥，那咋找嘛，对吧？第二步呀，就是根据样本数据来构造似然函数。
这就好像是把那些找到的线索都串起来，形成一个能帮你找宝贝的工具。
这个似然函数就像是个指南针，能给你指引个大概方向呢。
第三步呢，可重要啦！就是要找到让这个似然函数最大化的那个参数值。
这就好比你顺着指南针的方向，使劲儿找，找到那个最有可能的地方。
这可得有点耐心和技巧哦，不然找错了地方可就麻烦啦。
第四步，嘿嘿，那就是得出估计结果啦。
就像你终于在那个最有可能的地方找到了你的宝贝，心里那个高兴呀！你想想，要是没有这一步步的来，那不是瞎找嘛！这极大似然估计法就像是个聪明的侦探，能从一堆复杂的情况里找出最关键的线索，然后得出最靠谱的结论。
咱再举个例子哈，比如说你想知道一群学生的考试成绩分布情况。
那你就可以用极大似然估计法呀，先确定个大概的模型，比如正态分布啥的。
然后根据实际的考试成绩数据来构造似然函数，再找到让这个函数最大化的参数，最后不就知道成绩大概是咋分布的啦！哎呀呀，这极大似然估计法是不是挺有意思的呀？它可真是帮我们解决了好多问题呢！让我们能在看似混乱的世界里找到一些规律和答案。
所以呀，可得好好掌握它的步骤，这样才能在需要的时候派上用场呀！总之呢，极大似然估计法就是这么神奇的一个东西，它的步骤就像是一步步解开谜团的钥匙，让我们能更好地理解和分析各种现象。
大家可别小瞧了它哟！。
极大似然估计方法
极大似然估计方法极大似然估计方法是统计学中一种常用的参数估计方法，用于根据已知的样本数据来估计未知的参数值。
该方法的核心思想是选择使得观测到的样本数据出现的概率最大的参数值作为估计值。
在进行极大似然估计之前，首先需要确定一个概率分布模型。
以伯努利分布为例，假设有一组二元观测数据{0,1,1,0,1}，其中1表示成功，0表示失败。
我们希望通过这组数据来估计成功的概率p。
假设成功的概率p服从伯努利分布，则观测到这组数据的概率为p^3*(1-p)^2。
极大似然估计的目标是找到一个使得观测到的样本数据的概率最大的参数值。
通常通过对似然函数取对数，转化为求解极值的问题。
对于上述的伯努利分布模型，我们可以计算出对数似然函数L(p)为3log(p)+2log(1-p)。
为了找到使得L(p)最大的p值，可以对L(p)求导，令导数等于0，并解方程求解。
极大似然估计方法的优点是可以直接利用样本数据来进行参数估计，而无需对概率分布的形式做出过多的假设。
因此，它具有广泛的应用领域。
例如，在医学研究中，可以利用极大似然估计来估计某种疾病的患病率；在金融风险管理中，可以利用极大似然估计来估计某种金融产品的违约概率。
然而，极大似然估计方法也存在一些限制和注意事项。
首先，估计结果的准确性依赖于样本数据的质量和数量。
如果样本数据存在较大的误差或者样本量较小，估计结果可能会失真。
其次，极大似然估计方法对假设的概率分布模型敏感。
如果所选择的模型与真实分布不匹配，估计结果也可能不准确。
因此，在使用极大似然估计方法时，需要对所选择的模型进行合理性检验。
极大似然估计方法是一种常用的参数估计方法，具有广泛的应用领域。
它通过最大化样本数据出现的概率来估计参数值，充分利用了样本数据的信息。
然而，在使用极大似然估计方法时，需要注意样本数据的质量和数量，以及所选择的概率分布模型的合理性。
只有在这些条件满足的情况下，才能得到准确可靠的参数估计结果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《概率论与数理统计》典型教案教学内容：极大似然估计法教学目的：通过本节内容的教学，使学生：1、明确极大似然估计法是在总体分布类型已知的情况下的一种常用的参数估计方法；2、理解极大似然思想；3、掌握求极大似然估计值的一般步骤，会求常见分布参数的极大似然估计值．教学重点：1、对极大似然思想阐述；2、极大似然估计值的求解．教学难点：对不能通过求导方法获得极大似然估计的值的确定．教学时数：２学时．教学过程：引例：某位同学与一位猎人一起外出打猎，一只野兔从前方窜过．只听一声枪响，野兔应声到下，如果要你推测，这一发命中的子弹是谁打的？你就会想，只发一枪便打中，由于猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率，看来这一枪是猎人射中的．这个例子所作的推断就体现了极大似然法的基本思想．一、极大似然思想一般地说，事件A 与参数Θ∈θ有关，θ取值不同，则)(A P 也不同．若A 发生了，则认为此时的θ值就是θ的估计值．这就是极大似然思想．看一例子：例１、设袋中装有许多黑、白球，不同颜色球的数量比为3:1，试设计一种方法，估计任取一球为黑球的概率P ．分析：易知P 的值无非是1/4或3/4．为估计P 的值，现从袋中有放回地任取3只球，用X 表示其中的黑球数，则),3(~P b X ．按极大似然估计思想，对P 的取值进行估计．解：对P 的不同取值，X 取3,2,1,0=k 的概率可列表如下:X ０ １ ２ ３41=P 6427 6427 649 641 43=P 641 649 6427 6427 故根据极大似然思想即知：⎪⎩⎪⎨⎧===3,2,431,0,41ˆk k P ． 在上面的例子中，P 是分布中的参数，它只能取两个值：1/4或3/4，需要通过抽样来决定分布中参数究竟是1/4还是3/4．在给定了样本观测值后去计算该样本出现的概率，这一概率依赖于P 的值，为此需要用1/4、3/4分别去计算此概率，在相对比较之下，哪个概率大，则P 就最象那个．二、似然函数与极大似然估计1、离散分布场合：设总体X 是离散型随机变量，其概率函数为);(θx p ，其中θ是未知参数．设n X X X ,,,21Λ为取自总体X 的样本．n X X X ,,,21Λ的联合概率函数为∏=ni i X p 1);(θ，这里，θ是常量，n X X X ,,,21Λ是变量．若我们已知样本取的值是n x x x ,,,21Λ，则事件},,,{2211n n x X x X x X ===Λ发生的概率为∏=ni i x p 1);(θ．这一概率随θ的值而变化．从直观上来看，既然样本值n x x x ,,,21Λ出现了，它们出现的概率相对来说应比较大，应使∏=ni i x p 1);(θ取比较大的值．换句话说，θ应使样本值n x x x ,,,21Λ的出现具有最大的概率．将上式看作θ的函数，并用)(θL 表示，就有：∏===ni i n x p x x x L L 121);();,,,()(θθθΛ （１）称)(θL 为似然函数．极大似然估计法就是在参数θ的可能取值范围Θ内，选取使)(θL 达到最大的参数值θˆ，作为参数θ的估计值．即取θ，使);,,,(max )ˆ;,,,()(2121θθθθn n x x x L x x x L L ΛΛΘ∈== （２） 因此，求总体参数θ的极大似然估计值的问题就是求似然函数)(θL 的最大值问题．这可通过解下面的方程0)(=θθd dL （３） 来解决．因为L ln 是L 的增函数，所以L ln 与L 在θ的同一值处取得最大值．我们称)(ln )(θθL l =为对数似然函数．因此，常将方程（３）写成： 0)(ln =θθd L d （４） 方程（４）称为似然方程．解方程（３）或（４）得到的θˆ就是参数θ的极大似然估计值．如果方程（４）有唯一解，又能验证它是一个极大值点，则它必是所求的极大似然估计值．有时，直接用（４）式行不通，这时必须回到原始定义（２）进行求解．２、连续分布场合：设总体X 是连续离散型随机变量，其概率密度函数为);(θx f ，若取得样本观察值为n x x x ,,,21Λ，则因为随机点),,,(21n X X X Λ取值为),,,(21n x x x Λ时联合密度函数值为∏=ni i x f 1);(θ．所以，按极大似然法，应选择θ的值使此概率达到最大．我们取似然函数为∏==ni i x f L 1);()(θθ，再按前述方法求参数θ的极大似然估计值．三、求极大似然估计的方法1、可通过求导获得极大似然估计：当函数关于参数可导时，常可通过求导方法来获得似然函数极大值对应的参数值．例２、设某工序生产的产品的不合格率为p ，抽n 个产品作检验，发现有T 个不合格，试求p 的极大似然估计．分析：设X 是抽查一个产品时的不合格品个数，则X 服从参数为p 的二点分布),1(p b ．抽查n 个产品，则得样本n X X X ,,,21Λ，其观察值为n x x x ,,,21Λ，假如样本有T 个不合格，即表示n x x x ,,,21Λ中有T 个取值为１，T n -个取值为０．按离散分布场合方法，求p 的极大似然估计．解：（１）写出似然函数：∏=--=ni x x i i P p p L 11)1()(（２）对)(p L 取对数，得对数似然函数)(p l ：∑∑==--+-=--+=ni i n i i i p p x p n p x p x p l 11)]1ln([ln )1ln()]1ln()1(ln [)(（３）由于)(p l 对p 的导数存在，故将)(p l 对p 求导，令其为０，得似然方程：0)1(11)111(1)(11=-+--=-++--=∑∑==n i i n i i x p p p n p p x p n dp p dl （４）解似然方程得：x x n p n i i ==∑=11ˆ （５）经验证，在x p =ˆ时，0)(22<dpp l d ，这表明x p =ˆ可使似然函数达到最大（６）上述过程对任一样本观测值都成立，故用样本代替观察值便得p 的极大似然估计为：X p=ˆ 将观察值代入，可得p 的极大似然估计值为：nT x p ==ˆ，其中∑==ni i x T 1．若总体X 的分布中含有多个未知参数k θθθ,,,21Λ时，似然函数L 是这些参数的多元函数),,(1k L θθΛ．代替方程（３），我们有方程组),,2,1(0)(ln k i L iΛ==∂∂θ，由这个方程组解得k θθθˆ,,ˆ,ˆ21Λ分别是参数k θθθ,,,21Λ的极大似然估计值．例３、设某机床加工的轴的直径与图纸规定的中心尺寸的偏差服从),(2σμN ，其中2,σμ未知．为估计2,σμ，从中随机抽取100=n 根轴，测得其偏差为10021,,,x x x Λ．试求2,σμ的极大似然估计．分析：显然，该问题是求解含有多个（两个）未知参数的极大似然估计问题．通过建立关于未知参数2,σμ的似然方程组，从而进行求解．解：（１）写出似然函数：212222)(2212)(2)2(21),(σμσμπσσπσμ∑===---=--∏n i i i x n n i x e e L（２）写出对数似然函数：21222)(21)2ln(2),(∑=---=n i i x n l μσπσσμ （３）将),(2σμl 分别对2σμ、求偏导，并令它们都为０，得似然方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=∂∂=-=∂∂∑∑==0)(212),(0)(1),(1242221222n i i n i i x n l x l μσσσσμμσμσμ （４）解似然方程组得：x =μˆ，∑=-=n i i x x n 122)(1ˆσ （５）经验证2ˆ,ˆσμ使),(2σμl 达到极大， （６）上述过程对一切样本观察值成立，故用样本代替观察值，便得2,σμ的极大似然估计分别为：X =μˆ，2122)(1ˆn n i i S X X n =-=∑=σ．２、不可通过求导方法获得极大似然估计：当似然函数的非零区域与未知参数有关时，通常无法通过解似然方程来获得参数的极大似然估计，这时可从定义（２）出发直接求)(θL 的极大值点．例4、设总体X 服从均匀分布),0(θU ，从中获得容量为n 的样本n X X X ,,,21Λ，其观测值为n x x x ,,,21Λ，试求θ的极大似然估计．分析：当写出其似然函数)(θL 时，我们会发现)(θL 的非零区域与θ有关，因而无法用求导方法来获得θ的极大似然估计，从而转向定义（２）直接求)(θL 的极大值．解：写出似然函数：⎩⎨⎧≤≤≤=-其它场合,00,)()()1(θθθn n x x L 为使)(θL 达到极大，就必须使θ尽可能小，但是θ不能小于)(n x ，因而θ取)(n x 时使)(θL 达到极大，故θ的极大似然估计为：)(ˆn X =θ． 进一步，可讨论估计θˆ的无偏性： 由于总体),0(~θU X ，其密度函数与分布函数分别为：⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,00,1)(θθx x p ，⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=θθθx x x x x F ,10,0,0)(，从而)(ˆn X =θ的概率密度函数为：θθθ<<==--y ny y p y F n p n n n 0,)()]([11ˆθθθθθθθ≠+====⎰⎰1)()()ˆ(00ˆ)(n n dy ny dy y yp X E E n n n 这说明θ的极大似然估计)(ˆn X =θ不是θ的无偏估计，但对θˆ作一修正可得θ的无偏估计为：)(11ˆn X nn +=θ． 通过修正获得未知参数的无偏估计，这是一种常用的方法．在二次世界大战中，从战场上缴获的纳粹德国的枪支上都有一个编号，对最大编号作一修正便获得了德国生产能力的无偏估计．综上，可得求极大似然估计值的一般步骤．四、求极大似然估计的一般步骤1、由总体分布导出样本的联合概率函数（或联合密度）；2、把样本联合概率函数（或联合密度）中自变量看成已知常数，而把参数θ看作自变量，得到似然函数)(θL ；3、求似然函数)(θL 的最大值点（常转化为求对数似然函数)(θl 的最大值点）；4、在最大值点的表达式中，用样本值代入就得参数的极大似然估计值．五、极大似然估计的不变性求未知参数θ的某种函数)(θg 的极大似然估计可用极大似然估计的不变原则，证明从略．定理（不变原则）设θˆ是θ的极大似然估计，)(θg 是θ的连续函数，则)(θg 的极大似然估计为)ˆ(θg ． 例5、设某元件失效时间服从参数为λ的指数分布，其密度函数为0,);(≥=-x e x f x λλλ，λ未知．现从中抽取了n 个元件测得其失效时间为n x x x ,,,21Λ，试求λ及平均寿命的极大似然估计．分析：可先求λ的极大似然估计，由于元件的平均寿命即为X 的期望值，在指数分布场合，有λ1)(=X E ，它是λ的函数，故可用极大似然估计的不变原则，求其极大似然估计．解：（１）写出似然函数：∑===-=-∏n i i i x n n i x e eL 11)(λλλλλ（２）取对数得对数似然函数：∑=-=ni i x n l 1ln )(λλλ（３）将)(λl 对λ求导得似然方程为：0)(1=-=∑=ni i x n d dl λλλ （４）解似然方程得：xxnn i i 1ˆ1==∑=λ 经验证，λˆ能使)(λl 达到最大，由于上述过程对一切样本观察值成立，故λ的极大似然估计为：X1ˆ=λ； 根据极大似然估计的不变原则，元件的平均寿命的极大似然估计为：X X E ==λˆ1)(． 五、小结1、极大似然估计的思想；2、求解未知参数极大似然估计的一般步骤；3、极大似然估计的不变原则．五、作业见参考文献1的第278页第4，5，6页．参考文献：1、苏均和主编：概率论与数理统计，上海财经大学出版社．1999年1版．2、茆诗松等编著：概率论与数理统计，中国统计出版社．1999年1版．3、魏振军编：概率论与数理统计三十三讲，中国统计出版社．2000年1版．4、唐生强主编：概率论与数理统计复习指导，科学出版社．1999年1版．。