2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案(七)(理科)

合集下载

2020-2021学年河南省郑州市郊县高二(下)期末数学试卷(理科)

2020-2021学年河南省郑州市郊县高二(下)期末数学试卷(理科)

2020-2021学年河南省郑州市郊县高二(下)期末数学试卷(理科)试题数:23,总分:1501.(单选题,5分)| $\frac{1+2i}{2-i}$ |=()A.1B. $\sqrt{5}$C. $\frac{5}{3}$D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$2.(单选题,5分)若f(x)=cos(x+ $\frac{π}{3}$),则f′( $\frac{π}{6}$)=()A.1B.-1C.- $\frac{1}{2}$D.03.(单选题,5分)新型冠状病毒的潜伏期X(单位:日)近似服从正态分布N(7,σ2),若P(X≤3)=0.128,则可以估计潜伏期大于或等于11天的概率为()A.0.372B.0.256C.0.128D.0.7444.(单选题,5分)给出下列说法:① 若某大学中女大学生的体重y(单位:kg关于身高x(单位:cm)的线性回归方程为$\hat{y}$ =0.849x-85,则当某女大学生身高为172cm时,其体重一定是61.028kg;② 线性回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 一定过样本点的中心( $\overline{x}$ ,$\overline{y}$ );③ 若两个随机变量的线性相关性越强则相关系数r的值越接近于1;④ 在残差图中,残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适,且带状区域的宽度越宽,说明模型拟合精度越高;⑤ 在线性回归模型中,相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,R2越接近于1,表示回归的效果越好.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.45.(单选题,5分)从分别标有0,1,2,…,9的10张卡片中不放回的随机抽取2次,每次抽取1张,则在第一次抽到的卡片标有奇数的条件下第二次抽到的卡片标有偶数的概率是()A. $\frac{5}{18}$B. $\frac{5}{9}$C. $\frac{4}{9}$D. $\frac{7}{9}$6.(单选题,5分)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育;“乐”主要指美育;“射”和“御”就是体育和劳动;“书”指各种历史文化知识;“数”指数学某校园学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,且排课时“射”必须在“御”的后面,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()A.120种B.240种C.480种D.360种7.(单选题,5分)若(1+ $\frac{1}{{x}^{2}}$ )(1+x)n的展开式中各项系数之和为128,则x2的系数为()A.15B.20C.30D.358.(单选题,5分)下列说法中正确的是()A.哥德巴赫猜想属于类比推理B.由平面内不共线的三点确定一个圆可以猜想空间中不共面的四点确定一个球,这是归纳推理C.演绎推理三段论中,若大前提错则结论必然错,若大前提正确则结论必然正确D.反证法是间接证明的一种基本方法,其理论依据是原命题和其逆否命题真假性相同9.(单选题,5分)用数学归纳法证明不等式 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$ +…+ $\frac{1}{{2}^{n-1}}>\frac{n}{2}-1$ (n∈N*,n>1)时,以下说法正确的是()A.第一步应该验证当n=1时不等式成立B.从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是 $\frac{1}{{2}^{k}}$C.从“n=k到n=k+1”左边需要增加(2k-1-1)项D.从“n=k到n=k+1”左边需要增加2k-1项10.(单选题,5分)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列,俗称“杨辉三角形”.若将这些数字依次排列构成数列1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,…,则此数列的第2021项为()A. ${C}_{63}^{3}$B. ${C}_{63}^{4}$C. ${C}_{64}^{3}$D. ${C}_{64}^{4}$11.(单选题,5分)已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}x\frac{x}{lnx},x>1\\{x}^{3}-3x+1,x≤1\end{array}\right.$ ,若方程f(x)=k至少有三个不同的实根,则实数k的取值范围为()A.(e,3)B.(e,3]C.[e,3]D.[e,3)12.(单选题,5分)函数g(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(1)=0,当x>0时,xg(x)-f(x)<0,则使得f(x)<0成立的x的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(0,1)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(-1,0)∪(1,+∞)13.(填空题,5分)已知a>0,则 ${\int }_{0}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$ =___ .14.(填空题,5分)2020年我国进行了第七次全国人口普查,“大国点名,没你不行”.在此次活动中,某学校有6名教师报名成为志愿者,现在有3个不同的社区需要进行普查工作,从这6名志愿者中选派4名,每人去1个社区,每个社区至少有1名志愿者,则不同的选派方案有 ___ 种.15.(填空题,5分)在圆内画1条直线,将圆分割成两部分;画2条相交直线,将圆分割成4部分;画3条直线,将圆最多分割成7部分;画4条直线,将圆最多分割成11部分;…;那么在圆内画10条直线,将圆最多分割成 ___ 部分.16.(填空题,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+b在[0,1]上的最小值为-1,最大值为1,则a+b=___ .17.(问答题,12分)已知曲线f(x)= $\frac{2}{x}$ .求:(1)曲线f(x)在点P(1,2)处的切线方程;(2)过点Q(-3,2)的曲线f(x)的切线方程.18.(问答题,12分)已知函数f(x)=x3-12x+6.(1)求函数f(x)的极值;(2)若函数g(x)=f(x)-a在区间[-5,5]上有三个不同的零点,求实数a的取值范围.19.(问答题,12分)在一次抽样调查中测得5个样本点,得到如表及相关数据.i(1)请从相关系数的角度,分析y=a+bx与=c+k•x-1哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型;(2)根据(1)的判断结果试建立y与x的回归方程(计算结果精确到0.01);(3)在(2)的条件下,设z=y-x且x∈[4,+∞),试求z的最大值(计算结果精确到0.01).参考公式:回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 中, $\hat{b}$ =$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})-({y}_{i}-\overline{y})}{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$ ; $\hat{a}$ =$\overline{y}$ - $\hat{b}$ $\overline{x}$ ,相关系数r=$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}\sum\limits_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}}$ .20.(问答题,12分)某中学为了促进学生对数学文化的了解,举办了一系列的活动,其中一项是在各班内进行数学家和其国籍的连线游戏,且为一一对应的关系,参加连线的同学每连对一个得1分,连错得0分.(1)假定某学生对这些数学家没有了解,只是随机地连线,试求该学生得分X的分布列和数学期望;(2)若某同学的得分X≥2,则称这位同学“对数学文化了解较好”;若得分X<2,则称这位同学“对数学文化了解较差”.某数学老师为了判断学生对数学文化的了解程度是否与学生性别有关,统计了本年级600名学生在本次连线游戏中的得分情况,得到如下2×2列联表,请根据列联表,判断是否有95%的把握认为学生对数学文化的了解程度与学生性别有关?男生女生合计得分X≥2280 120 400得分X<2 120 80 200 合计400 200 600P(K2≥k0)0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.82821.(问答题,12分)已知函数f(x)=e x-a(x+2),其中e为自然对数的底数,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥ $\frac{1}{4}{x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}$ +1-2a在[0,+∞)上恒成立,求a 的取值范围.22.(问答题,10分)在平面直角坐标系中,直线l过点M(2,0),倾斜角为α,以直角坐标系的坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=ρcos2θ+4cosθ.(1)写出直线l的一个参数方程,并求曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C交于不同两点A,B且 $\overrightarrow{MA}$ =-2$\overrightarrow{MB}$ ,求直线l的直角坐标方程.23.(问答题,0分)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证:(1) $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}≤\sqrt{3}$ ;(2) $\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}≥\frac{9}{5}$ .2020-2021学年河南省郑州市郊县高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析试题数:23,总分:1501.(单选题,5分)| $\frac{1+2i}{2-i}$ |=()A.1B. $\sqrt{5}$C. $\frac{5}{3}$D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$【正确答案】:A【解析】:根据已知条件,结合复数模的公式,即可求解.【解答】:解: $|\frac{1+2i}{2-i}|=\frac{|1+2i|}{|2-i|}=\frac{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}{\sqrt{{2}^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1$ .故选:A.【点评】:本题考查了复数模的公式,需要学生熟练掌握公式,属于基础题.2.(单选题,5分)若f(x)=cos(x+ $\frac{π}{3}$),则f′( $\frac{π}{6}$)=()A.1B.-1C.- $\frac{1}{2}$D.0【正确答案】:B【解析】:先求f′(x)再把 $\frac{π}{6}$代入即可解决此题.【解答】:解:∵f′(x)=-sin(x+ $\frac{π}{3}$),∴f′( $\frac{π}{6}$)=-sin$\frac{π}{2}$ =-1.故选:B.【点评】:本题考查导数运算,考查数学运算能力,属于基础题.3.(单选题,5分)新型冠状病毒的潜伏期X(单位:日)近似服从正态分布N(7,σ2),若P(X≤3)=0.128,则可以估计潜伏期大于或等于11天的概率为()A.0.372B.0.256C.0.128D.0.744【正确答案】:C【解析】:利用正态分布曲线的对称性分析求解即可.【解答】:解:因为μ=7,所以P(X≥11)=P(X≤3)=0.128.故选:C.【点评】:本题考查了正态分布曲线的应用,解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性,考查了运算能力,属于基础题.4.(单选题,5分)给出下列说法:① 若某大学中女大学生的体重y(单位:kg关于身高x(单位:cm)的线性回归方程为$\hat{y}$ =0.849x-85,则当某女大学生身高为172cm时,其体重一定是61.028kg;② 线性回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 一定过样本点的中心( $\overline{x}$ ,$\overline{y}$ );③ 若两个随机变量的线性相关性越强则相关系数r的值越接近于1;④ 在残差图中,残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适,且带状区域的宽度越宽,说明模型拟合精度越高;⑤ 在线性回归模型中,相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,R2越接近于1,表示回归的效果越好.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4【正确答案】:B【解析】:利用线性回归方程的特点及两个变量的相关性与相关系数的关系判断可得.【解答】:解:对于① ,把x=172 代入回归方程 $\hat{y}$ =0.849x-85,y′=0.849x-85.712,得到y′=61.028,所以女大学生的体重大约为61.028(kg),不是一定是61.028,故① 错误,对于② ,线性回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 一定过样本点的中心( $\overline{x}$ , $\overline{y}$ ),故② 正确,对于③ ,若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r,的值越接近于±1,故③ 错误,对于④ ,在残差图中,残差点比较均匀地落在水平带状区域中,说明选用的模型比较合适,这样的带状区域宽度越窄,说明模型拟合精度越高,故④ 错误,对于⑤ ,相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,R2越接近于1,表示回归的效果越好,故⑤ 正确.故选:B.【点评】:本题主要考查了命题的真假判断,统计基本知识,线性回归方程及两个变量的相关性,属于基础题.5.(单选题,5分)从分别标有0,1,2,…,9的10张卡片中不放回的随机抽取2次,每次抽取1张,则在第一次抽到的卡片标有奇数的条件下第二次抽到的卡片标有偶数的概率是()A. $\frac{5}{18}$B. $\frac{5}{9}$C. $\frac{4}{9}$D. $\frac{7}{9}$【正确答案】:B【解析】:记事件A为“第一次抽到的卡片标有奇数“,记事件B为“第二次抽到的卡片标有偶数”,利用古典概型的概率公式先求出P(A),P(B),然后利用条件概率的概率公式求解即可.【解答】:解:记事件A为“第一次抽到的卡片标有奇数“,记事件B为“第二次抽到的卡片标有偶数”,所以P(A)= $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ ,P(AB)= $\frac{5}{10}×\frac{5}{9}=\frac{5}{18}$ ,所以 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{5}{18}}{\frac{1}{2}}$ = $\frac{5}{9}$ .故选:B.【点评】:本题考查了古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式的应用,考查了逻辑推理能力,属于基础题.6.(单选题,5分)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育;“乐”主要指美育;“射”和“御”就是体育和劳动;“书”指各种历史文化知识;“数”指数学某校园学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,且排课时“射”必须在“御”的后面,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()A.120种B.240种C.480种D.360种【正确答案】:D【解析】:根据题意,用间接法分析:先计算全部的安排方法数目,而其中“射”排在“御”的后面与“射”排在“御”的前面的排法是相同的,据此分析可得答案.【解答】:解:根据题意,每艺安排一节,连排六节,有 ${A}_{6}^{6}$ =720种排法,其中“射”排在“御”的后面与“射”排在“御”的前面的排法是相同的,故排课时“射”在“御”的后面的排法有 $\frac{1}{2}$ ×720=360种,故选:D.【点评】:本题考查排列组合的应用,注意“射”排在“御”的后面与“射”排在“御”的前面的排法是相同的,属于基础题.7.(单选题,5分)若(1+ $\frac{1}{{x}^{2}}$ )(1+x)n的展开式中各项系数之和为128,则x2的系数为()A.15B.20C.30D.35【正确答案】:C【解析】:直接令x=1即可求得结论.【解答】:解:(1+ $\frac{1}{{x}^{2}}$ )(1+x)n的展开式中各项系数之和为128,令x=1可得:(1+1)•(1+1)n=128⇒n=6;则x2的系数为:${C}_{6}^{2}+{C}_{6}^{4}$ =30.故选:C.【点评】:本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,二项式系数的性质,属基础题.8.(单选题,5分)下列说法中正确的是()A.哥德巴赫猜想属于类比推理B.由平面内不共线的三点确定一个圆可以猜想空间中不共面的四点确定一个球,这是归纳推理C.演绎推理三段论中,若大前提错则结论必然错,若大前提正确则结论必然正确D.反证法是间接证明的一种基本方法,其理论依据是原命题和其逆否命题真假性相同【正确答案】:D【解析】:由归纳推理和类比推理、演绎推理和反证法的概念,可判断正确结论.【解答】:解:哥德巴赫猜想属于归纳推理,故A错误;由平面内不共线的三点确定一个圆可以猜想空间中不共面的四点确定一个球,这是类比推理,故B错误;演绎推理三段论中,若大前提错则结论必然错,只有大前提和小前提均正确,结论才正确,故C错误;反证法是间接证明的一种基本方法,其理论依据是原命题和其逆否命题真假性相同,故D正确.故选:D.【点评】:本题考查推理的几种形式,考查推理能力,属于基础题.9.(单选题,5分)用数学归纳法证明不等式 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$ +…+ $\frac{1}{{2}^{n-1}}>\frac{n}{2}-1$ (n∈N*,n>1)时,以下说法正确的是()A.第一步应该验证当n=1时不等式成立B.从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是 $\frac{1}{{2}^{k}}$C.从“n=k到n=k+1”左边需要增加(2k-1-1)项D.从“n=k到n=k+1”左边需要增加2k-1项【正确答案】:D【解析】:利用数学归纳法的解题方法进行分析,弄清从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式,即可得到答案.【解答】:解:由于n∈N*,n>1,所以第一步应该是验证当n=2时不等式成立,从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是 $\frac{1}{{2}^{k-1}+1}+\frac{1}{{2}^{k-1}+2}+\bullet \bullet \bullet +\frac{1}{{2}^{k}}$ ,共2k-1项.故选:D.【点评】:本题考查了数学归纳法的理解与应用,要掌握用数学归纳法证明恒等式的步骤,考查了逻辑推理能力与运算能力,属于中档题.10.(单选题,5分)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列,俗称“杨辉三角形”.若将这些数字依次排列构成数列1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,…,则此数列的第2021项为()A. ${C}_{63}^{3}$B. ${C}_{63}^{4}$C. ${C}_{64}^{3}$D. ${C}_{64}^{4}$【正确答案】:B【解析】:根据题意,分析可得杨辉三角中,第n行有n项,由此求出前63行的项数,据此分析可得第2021项是第64行的第5项,即可得答案.【解答】:解:根据题意,杨辉三角中,第n行有n项,则前n行共有1+2+……+n=$\frac{n(n+1)}{2}$ 项,则前63行共有 $\frac{63×64}{2}$ =2016项,故第2021项是第64行的第5项,为 ${C}_{63}^{4}$ ,故选:B.【点评】:本题考查归纳推理的应用,注意分析每一行中数字的个数,属于基础题.11.(单选题,5分)已知函数f(x)= $\left\{\begin{array}x\frac{x}{lnx},x>1\\{x}^{3}-3x+1,x≤1\end{array}\right.$ ,若方程f(x)=k至少有三个不同的实根,则实数k的取值范围为()A.(e,3)B.(e,3]C.[e,3]D.[e,3)【正确答案】:C【解析】:对f(x)求导分析f(x)单调性,作出函数图象,结合图使得直线y=k与函数f (x)的图象至少有三个交点,即可得出答案.【解答】:解:当x>1时,f(x)= $\frac{x}{lnx}$ ,则f′(x)= $\frac{lnx-1}{(lnx)^{2}}$ ,令f′(x)=0,得x=e,当1<x<e时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x>e时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以x=e时,f(x)取得最小值f(e)=e,当x≤1时,f(x)=x3-3x+1,则f′(x)=3x2-3,令f′(x)=0,得x=-1或x=1,当-1<x<1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x<-1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以x=-1时,f(x)取得最大值f(-1)=3,所以f(e3)= $\frac{{e}^{3}}{3}$ >3,f( $\sqrt{e}$ )=2 $\sqrt{e}$ >3,f(0)=1<e,f (-2)=-1<e,作出f(x)的大致图象,如图所示:由图可知当k∈[e,3]时,直线y=k与函数f(x)的图象至少有三个交点,从而方程f(x)=k至少有三个不同的实数根.故选:C.【点评】:本题考查函数与方程之间的关系,解题中注意数形结合思想的应用,属于中档题.12.(单选题,5分)函数g(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(1)=0,当x>0时,xg(x)-f(x)<0,则使得f(x)<0成立的x的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(0,1)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(-1,0)∪(1,+∞)【正确答案】:D【解析】:构造函数F(x)= $\frac{f(x)}{x}$ ,由函数的单调性和奇偶性可得原不等式等价于 $\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{F(x)<0}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}{x <0}\\{F(x)>0}\end{array}\right.$ ,结合图象可得.【解答】:解:构造函数F(x)= $\frac{f(x)}{x}$ ,则F(x)为偶函数且x≠0,求导数可得F′(x)= $\frac{f′(x)x-f(x)x′}{{x}^{2}}$ = $\frac{xg(x)-f(x)}{{x}^{2}}$ ,∵当x>0时,xg(x)-f(x)<0,∴F′(x)<0,∴函数F(x)在(0,+∞)单调递减,由函数为偶函数可得F(x)在(-∞,0)单调递增,由f(1)=0可得F(1)=0,∴f(x)<0等价于xF(x)<0等价于 $\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{F(x)<0}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\{F(x)>0}\end{array}\right.$ ,解得x∈(1-,0)∪(1,+∞)故选:D.【点评】:本题考查函数的单调性和导数的关系,构造函数并利用函数的性质是解决问题的关键,属中档题.13.(填空题,5分)已知a>0,则 ${\int }_{0}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$ =___ .【正确答案】:[1] $\frac{π{a}^{2}}{4}$【解析】:根据已知条件,将原式转化为半径为a的 $\frac{1}{4}$ 圆的面积,即可求解.【解答】:解:由定积分的几何意义可知, ${\int }_{0}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$ 表示的是半径为a的 $\frac{1}{4}$ 圆的面积,∴ ${\int }_{0}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$ = $\frac{π{a}^{2}}{4}$.故答案为: $\frac{π{a}^{2}}{4}$ .【点评】:本题考查了定积分的几何含义,需要学生熟练掌握公式,属于基础题.14.(填空题,5分)2020年我国进行了第七次全国人口普查,“大国点名,没你不行”.在此次活动中,某学校有6名教师报名成为志愿者,现在有3个不同的社区需要进行普查工作,从这6名志愿者中选派4名,每人去1个社区,每个社区至少有1名志愿者,则不同的选派方案有 ___ 种.【正确答案】:[1]540【解析】:先从6人中选出4人,再对4人选派即可求解.【解答】:解:先从这6名志愿者中选派4名有C ${}_{6}^{4}$ 种选法,这4名志愿者中.有2名去了同一个社区,其他2名志愿者各去一个社区,故不同的选派方案有C ${}_{6}^{4}{C}_{4}^{2}{A}_{3}^{3}=540$ ,故答案为:540.【点评】:本题考查了排列组合的简单计数问题,考查了学生的运算能力,属于基础题.15.(填空题,5分)在圆内画1条直线,将圆分割成两部分;画2条相交直线,将圆分割成4部分;画3条直线,将圆最多分割成7部分;画4条直线,将圆最多分割成11部分;…;那么在圆内画10条直线,将圆最多分割成 ___ 部分.【正确答案】:[1]56【解析】:根据题意,归纳线段的数目与将圆最多分割成多少部分之间的关系,将n=10代入计算可得答案.【解答】:解:根据题意,在圆内画1条线段,将圆分割成:1+1=2部分;画2条相交线段,将圆分割成:1+1+2=4部分;画3条相交线段,将圆最多分割成:1+1+2+3=7部分;画4条相交线段,将圆最多分割成:1+1+2+3+4=11部分;由此归纳推理,猜想:在圆内画n条线段,两两相交,将圆最多分割成:a n=1+1+2+3+…+n=1+$\frac{n(n+1)}{2}$ 部分,故当n=10时,有a10=1+ $\frac{10×11}{2}$ =56,在圆内画10条直线,将圆最多分割成56部分.故答案为:56.【点评】:本题考查归纳推理的应用,注意分析变化的规律,属于基础题.16.(填空题,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+b在[0,1]上的最小值为-1,最大值为1,则a+b=___ .【正确答案】:[1]-1或5【解析】:先讨论函数f(x)在[0,1]上的单调性,进而确定最大值和最小值在何时取,再建立关于a,b的方程,解方程即可得答案.【解答】:解:$f′(x)=6x^{2}-2ax=6x(x-\frac{a}{3})$ .令f′(x)=0,得x=0或$x=\frac{a}{3}$ .① 当a<0时,函数f(x)在 $(-∞,\frac{a}{3})$ 和(0,+∞)上单调递增,在$(\frac{a}{3},0)$ 上单调递减,所以f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(0)=-1,f(1)=1,代入解得b=-1,a=0,与 a<0矛盾.② 当a=0时,函数f(x)在R上单调递增,所以f(0)=-1,f(1)=1,代入解得$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=-1\end{array}\right.$ .③ 当0<a⩽3时,函数f(x)在(-∞,0)和 $(\frac{a}{3},+∞)$上单调递增,在 $(0,\frac{a}{3})$ 上单调递减,所以f(x)在[0,1]上最小值为 $f(\frac{a}{3})=-\frac{a^{3}}{27}+b$ ,最大值为f(0)=b或f(1)=2-a+b.若 $-\frac{a^{3}}{27}+b=-1,b=1$ ,则 $a=3\sqrt[3]{2}$ ,与0<a⩽3矛盾.若 $-\frac{a^{3}}{27}+b=-1,2-a+b=1$ ,则 $a=3\sqrt{3}$ 或 $a=-3\sqrt{3}$ 或a=0,与0<a⩽3矛盾.④ 当a>3时,函数f(x)在(-∞,0)和 $(\frac{a}{3},+∞)$上单调递增,在 $(0,\frac{a}{3})$ 上单调递减,所以f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)在[0,1]的上最大值为f(0),最小值为f(1),即 $\left\{\begin{array}{l}b=1\\ 2-a+b=-1\end{array}\right.$ ,解得$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=1\end{array}\right.$综上,当 $\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=-1\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=1\end{array}\right.$ 时,函数f(x)在[0,1]上的最小值为-1,最大值为1,所以a+b的值为-1或5.故答案为:-1或5.【点评】:本题考查导数的应用,考查利用导数研究函数的最值,考查分类讨论的数学思想,考查数学抽象和数学运算的核心素养,属于难题.17.(问答题,12分)已知曲线f(x)= $\frac{2}{x}$ .求:(1)曲线f(x)在点P(1,2)处的切线方程;(2)过点Q(-3,2)的曲线f(x)的切线方程.【正确答案】:【解析】:求出原函数的导函数.(1)求出函数在x=1处的导数,得到求出的斜率,再由直线方程的点斜式得答案;(2)设切点为( ${x}_{0},\frac{2}{{x}_{0}}$ ),求出曲线f(x)在切点处的切线方程,代入已知点的坐标,可得切点横坐标,进一步可得过点Q的切线方程.【解答】:解:由f(x)= $\frac{2}{x}$ ,得f′(x)= $-\frac{2}{{x}^{2}}$ .(1)曲线f(x)在点P(1,2)处的切线的斜率k=f′(1)=-2,∴所求切线方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0;(2)设切点为( ${x}_{0},\frac{2}{{x}_{0}}$ ),则所求切线的斜率为$f′({x}_{0})=-\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$ ,∴所求切线方程为 $y-\frac{2}{{x}_{0}}=-\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}(x-{x}_{0})$ ,由点Q(-3,2)在切线上可知, $2-\frac{2}{{x}_{0}}=-\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}(-3-{x}_{0})$ ,整理得: ${{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}-3=0$ ,解得x0=3或x0=-1.故所求的切线方程为2x+9y-12=0或2x+y+4=0.【点评】:本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,关键是区分“在某点处”与“过某点处”,考查运算求解能力,是中档题.18.(问答题,12分)已知函数f(x)=x3-12x+6.(1)求函数f(x)的极值;(2)若函数g(x)=f(x)-a在区间[-5,5]上有三个不同的零点,求实数a的取值范围.【正确答案】:【解析】:(1)对f(x)求导,判断f(x)的单调性,再确定f(x)的极值即可;(2)由条件可知,函数y=f(x)的图像与直线y=a在区间[-5,5]上有3个不同的交点,根据函数f(x)的图象,结合条件求出a的取值范围.【解答】:解:(1)f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).令f′(x)=0,解得x=2或x=-2.当x<-2时,f′(x)>0,当-2<x<2时,f′(x)<0,当x>2时,f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,-2),(2,+∞)上单词递增,在(-2,2)上单调递减,∴函数f(x)的极大值为f(-2)=22,极小值为f(2)=-10.(2)由题意知,方程f(x)=a在区间[-5,5]上有3个不同的实数根,即函数y=f(x)的图像与直线y=a在区间[-5,5]上有3个不同的交点.∵f(5)=71>22,f(-5)=-59<-10,∴结合(1)及函数f(x)的图象,可知-10<a<22,故实数a的取值范围为(-10,22).【点评】:本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值,根据函数的零点求参数的范围,考查了数形结合思想和转化思想,属中档题.19.(问答题,12分)在一次抽样调查中测得5个样本点,得到如表及相关数据.x 0.25 0.5 1 2 41y 16 12 5 2表中t i= $\frac{1}{{x}_{i}}$ .(1)请从相关系数的角度,分析y=a+bx与=c+k•x-1哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型;(2)根据(1)的判断结果试建立y与x的回归方程(计算结果精确到0.01);(3)在(2)的条件下,设z=y-x且x∈[4,+∞),试求z的最大值(计算结果精确到0.01).参考公式:回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 中, $\hat{b}$ =$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})-({y}_{i}-\overline{y})}{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$ ; $\hat{a}$ =$\overline{y}$ - $\hat{b}$ $\overline{x}$ ,相关系数r=$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}\sum\limits_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}}$ .【正确答案】:【解析】:(1)计算相关系数,利用相关系数绝对值的大小判断;(2)把数据代入公式计算;(3)判断函数单调性求最值.【解答】:解:(1)令 $t=\frac{1}{x}$ ,数据整理得:\overline{x})^{2}=9.3$模型y=a+bx的相关系数 ${r}_{1}=\frac{-32.8}{39.86}≈-0.82$ ;模型y=c+kt的相关系数 ${r}_{2}=\frac{38.45}{39.86}≈0.96$;因为|r2|>|r1|,所以y=c+kx-1适宜作为y关于x的回归方程类型.(2) $\overline{t}=\overline{x}=1.55,\overline{y}=7.2$ ;$\hat{k}=\frac{38.45}{9.3}≈4.13,\hat{c}=\hat{y}-\hat{k}\overline{t}≈0.80$所以y关于x的回归方程为 $y=0.80+\frac{4.13}{x}$ .(3) $z=y-x=0.80+\frac{4.13}{x}-x,x≥4$因为 $z=0.80+\frac{4.13}{x}-x$ 在[4,+∞)上单调递减.所以z的最大值为 $0.80+\frac{4.13}{4}-4≈-2.17$ .【点评】:本题考查非线性回归模型、线性回归模型、函数的最值,属于中档题.20.(问答题,12分)某中学为了促进学生对数学文化的了解,举办了一系列的活动,其中一项是在各班内进行数学家和其国籍的连线游戏,且为一一对应的关系,参加连线的同学每连对一个得1分,连错得0分.(1)假定某学生对这些数学家没有了解,只是随机地连线,试求该学生得分X的分布列和数学期望;(2)若某同学的得分X≥2,则称这位同学“对数学文化了解较好”;若得分X<2,则称这位同学“对数学文化了解较差”.某数学老师为了判断学生对数学文化的了解程度是否与学生性别有关,统计了本年级600名学生在本次连线游戏中的得分情况,得到如下2×2列联表,请根据列联表,判断是否有95%的把握认为学生对数学文化的了解程度与学生性别有关?男生女生合计得分X≥2280 120 400得分X<2 120 80 200 合计400 200 600P(K2≥k0)0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828【正确答案】:【解析】:(1)分别求出X值为0,1,2,4的概率,即可得X的分布列,再结合期望公式,即可求解.(2)根据已知条件,运用独立性随机检验公式,即可求解.【解答】:解:(1)由题意可知,X的可能取值为0,1,2,4,则P(X=0)= $\frac{3}{8}$ ,P(X=1)= $\frac{1}{3}$ ,P(X=2)= $\frac{1}{4}$ ,P (X=4)= $\frac{1}{24}$ ,∴X的分布列为(2)由题意可得,K2的现测值为k= $\frac{600×(280×80-120×120)^{2}}{400×200×400×200}=6$ ,∵6>3.841,∴有95%的把握认为学生对数学文化的了解程度与学生性别有关.【点评】:本题考查了离散型随机变量的概率与期望,以及独立性检验公式,需要学生熟练掌握公式,属于中档题.21.(问答题,12分)已知函数f(x)=e x-a(x+2),其中e为自然对数的底数,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥ $\frac{1}{4}{x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}$ +1-2a在[0,+∞)上恒成立,求a 的取值范围.【正确答案】:【解析】:(1)求导函数,根据导数符号与函数单调性之间的关系分a⩽0和a>0两种情况分别求出单调性即可;(2)题意等价于即 $ax⩽e^{x}-\frac{1}{4}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-1$ 在[0,+∞)上恒成立,当x=0时显然成立,当x>0时,等价于 $a⩽\frac{e^{x}}{x}-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{x}$ ,构造新函数求最值即可求出a的取值范围.【解答】:解:(1)f′(x)=e x-a.当a⩽0时,f′(x)>0恒成立,f(x)在R上单调递增,当a>0时,令f′(x)=0,解得x=lna.当x>lna时,f′(x)>0,当x<lna时,f′(x)<0,∴f(x)在(lna,+∞)上单调递增,在(-∞,lna)上单调递减.综上所述,当a⩽0时,f(x)在R上单调递增;当a>0时,f(x)在(lna,+∞)上单调递增,在(-∞,lna)上单调递减.(2)由 $f(x)⩾\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+1-2a$ ,得 $e^{x}-ax-2a⩾\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+1-2a$ ,即 $ax⩽e^{x}-\frac{1}{4}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-1$ 在[0,+∞)上恒成立.当x=0时,0=0,显然成立.当x>0时, $a⩽\frac{e^{x}}{x}-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{x}$ .令 $g(x)=\frac{e^{x}}{x}-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{x},x>0$ ,则$g′(x)=\frac{(x-1)e^{x}}{x^{2}}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{2(x-1)e^{x}-(x^{3}+x^{2}-2)}{2x^{2}}$ = $\frac{2(x-1)e^{x}-(x-1)(x^{2}+2x+2)}{2x^{2}}=\frac{2(x-1)[e^{x}-(\frac{x^{2}}{2}+x+1)]}{2x^{2}}$ .令 $h(x)=e^{x}-(\frac{x^{2}}{2}+x+1),x>0,h′(x)=e^{x}-(x+1)$ ,h′′(x)=e x-1>0,所以h′(x)在(0,+∞)上单调递增,则h′(x)=e x-(x+1)>h′(0)=0恒成立,∴h(x)在(0,+∞)上单调递增.∴h(x)>e0-(0+0+1)=0,∴h(x)>0在(0,+∞)上恒成立,令g′(x)=0,得x=1,∴g(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,∴ $g(x)_{min}=g(1)=e-\frac{7}{4}$ ,∴ $a⩽e-\frac{7}{4}$ ,故所求实数a的取值范围为 $(-∞,e-\frac{7}{4}]$ .【点评】:本题考查导数的应用,考查利用导数研究函数单调性和最值,考查分类讨论的数学思想,考查分离参数在处理恒成立问题中的应用,属于难题.22.(问答题,10分)在平面直角坐标系中,直线l过点M(2,0),倾斜角为α,以直角坐标系的坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=ρcos2θ+4cosθ.(1)写出直线l的一个参数方程,并求曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C交于不同两点A,B且 $\overrightarrow{MA}$ =-2$\overrightarrow{MB}$ ,求直线l的直角坐标方程.【正确答案】:【解析】:(1)根据已知条件,结合参数直线方程的定义,以及极坐标公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2,即可求解.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得t2sin2α-4tcosα-8=0 (α≠0),根据韦达定理,可得 ${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{4cosα}{si{n}^{2}α},{t}_{1}\bullet {t}_{2}=-\frac{8}{si{n}^{2}α}$,再结合条件 $\overrightarrow{MA}$ =-2 $\overrightarrow{MB}$ ,可得tan2α=4,即可求解.【解答】:解:(1)直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ (t为参数),∵ρ=ρcos2θ+4cosθ,∴ρ2=ρ2cos2θ+4ρcosθ,∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2,∴x2+y2=x2+4x,即y2=4x,∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x.(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得t2sin2α-4tcosα-8=0 (α≠0),设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则 ${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{4cosα}{si{n}^{2}α},{t}_{1}\bullet {t}_{2}=-\frac{8}{si{n}^{2}α}$① ,∵ $\overrightarrow{MA}$ =-2 $\overrightarrow{MB}$ ,∴t1=-2t2② ,将② 代入① 可得,tan2α=4,∴k=±2,∴直线l的直角坐标方程为2x-y-4=0或2x+y-4=0.【点评】:本题考查了直线l的参数方程和曲线的极坐标方程,需要学生熟练掌握公式,属于基础题.23.(问答题,0分)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证:(1) $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}≤\sqrt{3}$ ;(2) $\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}≥\frac{9}{5}$ .。

2020-2021学年吉林省延边朝鲜族自治州延吉市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版).docx

2020-2021学年吉林省延边朝鲜族自治州延吉市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版).docx

2020-2021学年吉林省延边朝鲜族自治州延吉市高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题(共12小题).1.若&为离散型随机变量,且&〜B(5, §),则其方差。

(0 =()OA.—B. —C. 1D.39 32.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.某中学高二有10个班,一班有51人,二班有52人,由此得高二所有班人数都超过50人B.根据等差数列的性质,可以推测等比数列的性质C.由6=3+3, 8 = 3+5, 10=3+7,…,得出结论:一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D.平行四边形对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分3.若函数f(.r)=e x+ax - 1的图象经过点(1, e),则曲线y=f(.r)在点(2, f(2))处的切线的斜率4=(')A. . eB. e+1C. e-D. e2+l4.在一次数学测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲:我的成绩比丙高.乙:我的成绩比丙高.丙:甲的成绩比我和乙的都高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙B.乙、丙、甲C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙5.六辆汽车排成一纵队,要求甲车和乙车均不排队头或队尾,且正好间隔两辆车,则排法有()A. 48B. 72C. 90D. 1206.某射手射击所得环数X的分布列如表,已知X的数学期望E(X) =8.9,则y的值为()A.0.8B. 0.4C. 0.6D. 0.27.2019年1月28日至2月3日(腊月廿三至腊月廿九)我国迎来春运节前客流高峰,据统计,某区火车站在此期间每日接送旅客人数X (单位:万)近似服从正态分布N (10, 0.82),则估计在此期间,至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为( )A.竺B.二C. 39D.业128 64 64 1288.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐,殊不知蟋蟀鸣叫的频率x (每分钟鸣叫的次数)与气温y (单位:°C)存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据,建立了v关于x的线性回归方程=0.25x+k,A. 33°CB. 34°CC. 35°CD. 35.5°C9.若把单词“error”的字母顺序写错了,则可能出现的错误写法的种数为(A. 17B. 18C. 19D. 2010.设a=lnV2> b旦馨~,5c=ln5,则a, b, c的大小关系为( )A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. b>c>a11.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美” .现代建筑讲究线条感,曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下:若/ (x)是f (x) 的导函数,f (-r)是f (x)的导函数,则曲线y=f (.r)在点(x, f (x))处的曲率|f" (x) | _K=A-若曲线f (x) =lnx+x与g (x)=石在(1, 1)处的曲率分别(x)]2)2Ki为Ki, K2,——=( )K2A. —B. —C. 4D. 24 212.设函数/ (x)是奇函数f (x) (x£R)的导函数,当x>0时,(x) < - -f (x),X 且/ (1) <0,则使得(寸-9) f (x) <0成立的工的取值范围( )A. ( -3, 0) U (3, +8)B. ( - oo, - 3)U (3, +8)C. ( - 3, 0) U (0, 3)D. ( - 8, -3)U (0, 3)二. 填空题(共4小题,每小题4分,共16分,请将答案写在答题纸上), 4i ,一一—13.已知复数z= °为虚数单位),z表示z的共貌复数,则z=.14.已知(3x2+3.r - 2) (x-1) 5 = ao+flix+- ■ +OJX1,则«2+«4+«6=.15.从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛,则下列说法正确的序号是•①如果4人中男生女生各有2人,那么有30种不同的选法;②如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,那么有28种不同的选法;③如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内,那么有140种不同的选法;④如果4人中必须既有男生又有女生,那么有184种不同的选法.16.已知函数f (x) =lQa2 - 2a[x+3ln (3x) ]+x2+Zn2 (3x),若存在xo使得f (xo)忍*■成立,则实数a的值为 .三、解答题(共6小题,17、18题10分,19、20、21题各12分,22题附加题20分,请写出必要的解答过程)17.已知必七)11二项展开式中,第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8:3.(1)求〃的值;(2)求展开式中/项的系数.18.已知函数f (x) =*+〃,曲线y=f (x)在点(1, £)处的切线方程为3x-3y+l=0.(1)求实数m, n的值;(2)令g (x) =f (x) +破2 - 3。

2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案

2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案

2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案命题教师:张金荣一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合A ={x |y =lg(2x -x 2)},B ={y |y =2x ,x >0},R 是实数集,则(∁R B )∩A 等于( )A .[0,1]B .(0,1]C .(-∞,0]D .以上都不对2.函数f(x)=ln(x-2)-的零点所在的大致区间是( )A .(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)3.函数f(x)=的定义域为( )A . B. C. D.4.设a =60.7,b =0.76,c =log 0.76,则a ,b ,c 的大小关系为 ( )A .c <b <aB .c <a <bC .b <a <cD .a <c <b5.以下说法错误的是( )A .命题“若x 2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2-3x+2≠0”B .“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件C .若p ∧q 为假命题,则p,q 均为假命题D .若命题p:∃x 0∈R,使得+x 0+1<0,则﹁p:∀x ∈R,则x 2+x+1≥06.函数y=lg|x |x 的图象在致是( )7.偶函数y=f (x )在x ∈时,f (x )=x-1,则f(x -1)<0的解集是( )A .{x|-1<x <0B .{x|x <0或1<x <2C .{x|0<x <2D .{x|1<x <28.函数f(x)= 满足对任意成立,则实数a 的取值范围是( )A .B .C .D .9.若不等式x 2+ax+1≥0对于一切x(0,)恒成立,则a 的取值范围是( )A .a≥0B .a≥-2C .a≥-D .a≥-310.已知函数f (x )=的值域为[0,+∞),则它的定义域可以是( )A .(0,1]B .(0,1)C .(-∞,1]D .(-∞,0]11.已知定义在R 上的奇函数f (x ),满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,() A .f (-25)<f (11)<f (80) B .f (80)<f (11)<f (-25)C .f (11)<f (80)<f (-25)D .f (-25)<f (80)<f (11)12.已知a >0且a ≠1,f (x )=x 2-a x ,当x ∈(-1,1)时,均有f (x )<12,则实数a 的取值范围是( ) A .(0,12]∪[2,+∞) B .[14,1)∪(1,4] C .[12,1)∪(1,2] D .(0,14]∪[4,+∞) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a+b= .14.已知函数f(x)是定义在区间上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x-1)<f()的x 的取值范围为__________15.定义:区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1.已知函数y =|log 0.5x |的定义域为[a ,b ],值域为[0,2],则区间[a ,b ]的长度的最大值为________.16.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且对任意的x ∈R 恒有f (x +1)=f (x -1),已知当x ∈[0,1]时f (x )=(12)1-x ,则 ①2是函数f (x )的周期;②函数f (x )在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;③函数f (x )的最大值是1,最小值是0;④当x ∈(3,4)时,f (x )=(12)x -3. 其中所有正确命题的序号是________.三、解答题(共70分)17.(12分)给定两个命题::对任意实数都有恒成立;:关于的方程有实数根;如果P ∨q 为真,P ∧q 为假,求实数的取值范围.18.(12分)对定义在实数集上的函数f (x ),若存在实数x 0,使得f (x 0)=x 0,那么称x 0为函数f (x )的一个不动点.(1)已知函数f (x )=ax 2+bx -b (a ≠0)有不动点(1,1)、(-3,-3),求a 、b ;(2)若对于任意实数b ,函数f (x )=ax 2+bx -b (a ≠0)总有两个相异的不动点,求实数a 的取值范围.19.(12分)已知f (x )为定义在[-1,1]上的奇函数,当x ∈[-1,0]时,函数解析式f (x )=14x -a 2x (a ∈R). (1)写出f (x )在[0,1]上的解析式;(2)求f (x )在[0,1]上的最大值.20.(12分)C D E AB P 经市场调查,某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数,且销售量近似满足g (t )=80-2t (件),价格近似满足f (t )=20-12|t -10|(元). (1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式;(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值.21.(12分)已知函数f (x )的图象与函数h (x )=x +1x +2的图象关于点A (0,1)对称.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若g (x )=f (x )+a x ,g (x )在区间(0,2]上的值不小于6,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4—1: 几何证明选讲.如图,在正ΔABC 中,点D 、E 分别在边BC, AC 上,且,,AD ,BE 相交于点P.求证:(I) 四点P 、D 、C 、E 共 圆;(II) AP ⊥CP 。

陕西省宝鸡市渭滨区2020-2021学年高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

陕西省宝鸡市渭滨区2020-2021学年高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2020-2021学年陕西省宝鸡市渭滨区高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分).1.已知复数z=,则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.下列求导数运算错误的是()A.(x2021+e)'=2021x2020B.(3x)'=3x ln3C.(sin x)'=cos x D.3.曲线f(x)=e x+x在(0,f(0))处的切线方程为()A.y=x+1B.y=x﹣1C.y=2x+1D.y=2x﹣14.物体运动的位移方程是S=10t﹣t2(S的单位为m;t的单位为s),则物体在t=3s的瞬时速度是()A.2m/s B.4m/s C.6m/s D.8m/s5.用反证法证明“已知直线a,b,c,若a∥c,b∥c,则a∥b”时应假设()A.a与b相交B.a与b异面C.a与b相交或异面D.a与b垂直6.若随机变量X~B(6,p),DX=,则EX=()A.1B.2C.3D.47.的展开式中常数项为()A.160B.184C.192D.1868.由曲线,x=1,x=3,x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是()A.2πB.3πC.4πD.9π9.在平面直角坐标系中,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离,类比可得在空间直角坐标系中,点(1,2,3)到平面x+2y+2z﹣4=0的距离为()A.B.C.4D.510.下列说法中错误的是()A.对于两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立B.线性回归直线=b+a一定过样本中心点(,)C.空间正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体五个多面体D.利用合情推理得出的结论一定是正确的11.(1+x)4+(2+x)3+(1+2x)2=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a1+a2+a3+a4=()A.49B.52C.56D.5912.若函数f(x)在R上可导,且满足f(x)>xf'(x),则()A.2f(1)<f(2)B.2f(1)>f(2)C.2f(1)=f(2)D.2f(1)≤f(2)二、填空题(共4个小题,每小题5分,共20分)13.函数的单调减区间是.14.已知某一随机变量X的概率分布列如表所示,且EX=3,则DX=.X a34P0.10.7b15.若函数在x=0和x=1时取极小值,则实数m的取值范围是.16.若把一句话“我爱大中华”的汉字顺序写错了,则可能出现错误的情况共有种.三、解答题(共5小题,满分70分)17.用数学归纳法证明:对任意正整数n,4n+15n﹣1能被9整除.18.已知函数f(x)为一次函数,若函数f(x)的图象过点(1,3),且.(1)求函数f(x)的表达式;(2)若函数g(x)=x2,求函数f(x)与g(x)的图象围成图形的面积.19.已知函数有三个极值点.(1)求c的取值范围;(2)若存在c=27,使函数f(x)在区间[a,a+2]上单调递减,求a的取值范围.20.某企业在产品出厂前必须进行两轮检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售,已知该产品第一轮检测不合格的概率为,第二轮检测不合格的概率为,两轮检测是否合格相互没有影响.(1)求该产品不能销售的概率;(2)如果该产品可以销售,则每件产品可获利40元;如果该产品不能销售,则每件产品亏损20元,已知一箱中有该产品4件,记一箱该产品获利η元,求η的分布列.21.为了迎接期末考试,学生甲参加考前的5次模拟考试,下面是学生甲参加5次模拟考试的数学成绩表:x12345y90100105105100(1)已知该考生的模拟考试成绩y与模拟考试的次数x满足回归直线方程=x+,若把本次期末考试看作第6次模拟考试,试估计该考生的期末数学成绩;(2)把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中,从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究,设抽取考试成绩不等于平均值的个数为η,求出η的分布列与数学期望.参考公式:==,=x+.参考答案一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分).1.已知复数z=,则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解:∵,∴z在复平面内z对应的点为(3,1),在第一象限.故选:A.2.下列求导数运算错误的是()A.(x2021+e)'=2021x2020B.(3x)'=3x ln3C.(sin x)'=cos x D.解:(x2021+e)′=2021x2020,(3x)′=3x ln3,(sin x)′=cos x,.故选:D.3.曲线f(x)=e x+x在(0,f(0))处的切线方程为()A.y=x+1B.y=x﹣1C.y=2x+1D.y=2x﹣1解:由f(x)=e x+x,得f′(x)=e x+x=e x+1,∴f′(0)=e0+1=2,又f(0)=e0=1,∴曲线f(x)=e x+x在(0,f(0))处的切线方程为y﹣1=2(x﹣0),即y=2x+1.故选:C.4.物体运动的位移方程是S=10t﹣t2(S的单位为m;t的单位为s),则物体在t=3s的瞬时速度是()A.2m/s B.4m/s C.6m/s D.8m/s解:∵S′=10﹣2t,S′|t=3=10﹣6=4,∴物体在t=3s的瞬时速度是4m/s.故选:B.5.用反证法证明“已知直线a,b,c,若a∥c,b∥c,则a∥b”时应假设()A.a与b相交B.a与b异面C.a与b相交或异面D.a与b垂直解:a与b的位置关系有a∥b和a与b不平行两种,因此用反证法证明“a∥b”时,应先假设a与b不平行,即a与b相交或异面.故选:C.6.若随机变量X~B(6,p),DX=,则EX=()A.1B.2C.3D.4解:由于随机变量X~B(6,p),DX=,则6p(1﹣p)=,得p=,E(X)=6p=6×=3,故选:C.7.的展开式中常数项为()A.160B.184C.192D.186解:∵的展开式的通项公式为T r+1=•26﹣r•x6﹣2r,令6﹣2r=0,求得r=3,可得展开式中常数项为•23=160,故选:A.8.由曲线,x=1,x=3,x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是()A.2πB.3πC.4πD.9π解:曲线,x=1,x=3,x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是V=πxdx=π×x2=×(23﹣12)=4π.故选:C.9.在平面直角坐标系中,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离,类比可得在空间直角坐标系中,点(1,2,3)到平面x+2y+2z﹣4=0的距离为()A.B.C.4D.5解:根据题意,类比可得在空间直角坐标系中,点(1,2,3)到平面x+2y+2z﹣4=0的距离为=.故选:A.10.下列说法中错误的是()A.对于两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立B.线性回归直线=b+a一定过样本中心点(,)C.空间正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体五个多面体D.利用合情推理得出的结论一定是正确的解:对于A:对于两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立,故A正确;对于B:线性回归直线=b+a一定过样本中心点(,),故B正确;对于C:设正多面体的顶点数为V,棱数为E,面数F,每个面是正m变形(其中整数m ≥3),每个顶点有n条边与之交汇(其中整数n≥3),则mF=2E,nV=2E,与欧拉公式V﹣E+F=2联立,消去F,V得﹣E+=2,即﹣1+=,则=>0,则mn﹣2m﹣2n<0,即(m﹣2)(n﹣2)<4(其中整数m≥3,n≥2),则或或或或,则F=•E=•==4或8或6或20或12,所以正多面体只有正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体,这五种,故C正确;对于D:合情推理得到的结论不一定正确,它是由特殊到一般,其本质就是由特殊猜想一般性结论,结论是否正确可判断,一般前提为真,结论可能为真,故D错误;故选:D.11.(1+x)4+(2+x)3+(1+2x)2=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a1+a2+a3+a4=()A.49B.52C.56D.59解:∵(1+x)4+(2+x)3+(1+2x)2=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4=24+33+32=52,故选:B.12.若函数f(x)在R上可导,且满足f(x)>xf'(x),则()A.2f(1)<f(2)B.2f(1)>f(2)C.2f(1)=f(2)D.2f(1)≤f(2)解:因为f(x)>xf′(x),所以f(x)﹣xf′(x)>0,设F(x)=,F′(x)=<0,所以F(x)在R上单调递减,所以F(2)<F(1),所以<,即f(2)<2f(1),故选:B.二、填空题(共4个小题,每小题5分,共20分)13.函数的单调减区间是(﹣2,4).解:f′(x)=x2﹣2x﹣8=(x﹣4)(x+2),令f′(x)<0,得﹣2<x<4,所以f(x)的单调递减区间为(﹣2,4).故答案为:(﹣2,4).14.已知某一随机变量X的概率分布列如表所示,且EX=3,则DX=0.6.X a34P0.10.7b 解:由题意可得:0.1+0.7+b=1,解得b=0.8,EX=3,可得3=0.1a+3×0.7+4×0.2,解得a=1,DX=0.1×(1﹣3)2+07×(3﹣3)2+0.2×(4﹣3)2=0.6,故答案为:0.6.15.若函数在x=0和x=1时取极小值,则实数m的取值范围是(0,1).解:f′(x)=x3﹣(m+1)x2+mx=x(x﹣m)(x﹣1),当m<0时,在(﹣∞,0)上f′(x)<0,f(x)单调递减,在(m,0)上f′(x)>0,f(x)单调递增,在(0,1)上f′(x)<0,f(x)单调递减,在(1,+∞)上f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=0处取得极大值,在x=1处取得极小值,不合题意,当m=0时,f′(x)=x3﹣x2,f″(x)=3x2﹣2x,所以在(﹣∞,0)上,f″(x)>0,f′(x)单调递增,在(0,)上,f″(x)<0,f′(x)单调递减,在(,+∞)上,f″(x)>0,f′(x)单调递增,又因为f′(0)=0,f′()=()3﹣()2=﹣,f′(1)=0,所以在(﹣∞,0),(0,1)上,f′(x)<0,f(x)单调递减,在(1,+∞)上,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以在x=1处取得极小值,x=0处没有取得极值点,不合题意,当0<m<1时,在(﹣∞,0)上f′(x)<0,f(x)单调递减,在(0,m)上f′(x)>0,f(x)单调递增,在(m,1)上f′(x)<0,f(x)单调递减,在(1,+∞)上f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=0,x=1处取得极小值,合题意,当m=1时,f′(x)=x3﹣2x2+x,f″(x)=3x2﹣4x+1=(3x﹣1)(x﹣1),在(﹣∞,)上,f″(x)>0,f′(x)单调递增,在(,1)上,f″(x)<0,f′(x)单调递减,在(1,+∞)上,f″(x)>0,f′(x)单调递增,又f′()=()3﹣2()2+=,f′(1)=0,f′(0)=0,所以在(﹣∞,0)上,f′(x)<0,f(x)单调递减,在(0,1)上,f′(x)>0,f(x)单调递增,在(1,+∞)上,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以在x=0处取得极小值,x=1处不是极值点,当m>1时,在(﹣∞,0)上f′(x)<0,f(x)单调递减,在(0,1)上f′(x)>0,f(x)单调递增,在(1,m)上f′(x)<0,f(x)单调递减,在(m,+∞)上f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=0处取得极小值,x=1处取得极大值,不合题意,故答案为:(0,1).16.若把一句话“我爱大中华”的汉字顺序写错了,则可能出现错误的情况共有119种.解:根据题意,“我爱大中华”五个字排成一排,有=120种不同的顺序,其中正确的只有1种,则可能出现错误的情况有120﹣1=119种;故答案为:119.三、解答题(共5小题,满分70分)17.用数学归纳法证明:对任意正整数n,4n+15n﹣1能被9整除.【解答】证明:(1)当n=1时,4n+15n﹣1=18,能被9整除,故当n=1时,4n+15n﹣1能被9整除.(2)假设当n=k时,命题成立,即4k+15k﹣1能被9整除,则当n=k+1时,4k+1+15(k+1)﹣1=4(4k+15k﹣1)﹣9(5k﹣2)也能被9整除.综合(1)(2)可得,对任意正整数n,4n+15n﹣1能被9整除.18.已知函数f(x)为一次函数,若函数f(x)的图象过点(1,3),且.(1)求函数f(x)的表达式;(2)若函数g(x)=x2,求函数f(x)与g(x)的图象围成图形的面积.解:(1)根据题意,f(x)为一次函数,设f(x)=kx+b(k≠0),又因为函数f(x)的图象过点(1,3),则有3=k+b,①又由,即f(x)dx=(kx+b)dx=(kx2+bx)=+3b=,②由①②得:k=1,b=2,故f(x)=x+2;(2)由,解可得x1=﹣1,x2=2,所以f(x)与g(x)围成的图形面积为,即S=(x+2﹣x2)dx=(x2+2x﹣)=;故函数f(x)与g(x)的图象围成图形的面积为.19.已知函数有三个极值点.(1)求c的取值范围;(2)若存在c=27,使函数f(x)在区间[a,a+2]上单调递减,求a的取值范围.解:(1)因为函数有三个极值点,则f'(x)=x3﹣3x2﹣9x+c=0有三个不等的实根,设g(x)=x3﹣3x2﹣9x+c,则g'(x)=3x2﹣6x﹣9=3(x﹣3)(x+1),当x∈(﹣∞,﹣1)或(3,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(﹣1,3)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,故,即,解得﹣5<c<27,所以c的取值范围为(﹣5,27);(2)当c=27时,f'(x)=x3﹣3x2﹣9x+27=(x﹣3)2(x+3),由f'(x)<0,可得x<﹣3,所以f(x)在(﹣∞,﹣3)上单调递减,又函数f(x)在区间[a,a+2]上单调递减,所以a+2≤﹣3,故a的取值范围为(﹣∞,﹣5].20.某企业在产品出厂前必须进行两轮检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售,已知该产品第一轮检测不合格的概率为,第二轮检测不合格的概率为,两轮检测是否合格相互没有影响.(1)求该产品不能销售的概率;(2)如果该产品可以销售,则每件产品可获利40元;如果该产品不能销售,则每件产品亏损20元,已知一箱中有该产品4件,记一箱该产品获利η元,求η的分布列.解:(1)设“该产品不能销售”为事件A,则.所以该产品不能销售的概率为;(2)由已知,可知η的可能取值为﹣80,﹣20,40,100,160,所以,,,,,所以η的分布列为:η﹣80﹣2040100160P21.为了迎接期末考试,学生甲参加考前的5次模拟考试,下面是学生甲参加5次模拟考试的数学成绩表:x12345y90100105105100(1)已知该考生的模拟考试成绩y与模拟考试的次数x满足回归直线方程=x+,若把本次期末考试看作第6次模拟考试,试估计该考生的期末数学成绩;(2)把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中,从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究,设抽取考试成绩不等于平均值的个数为η,求出η的分布列与数学期望.参考公式:==,=x+.解:(1)由表可知=,=,则,=100﹣2.5×3=92.5,故回归直线方程为=2.5x+92.5.当x=6时,=2.5×6+92.5=107.5,所以估计该考生的期末数学成绩为107..(2)由题可知随机变量η的所有可能取值为1,2,3,则;;,故随机变量η的分布列为:η123P随机变量η的数学期望.。

2020学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学试题(解析版)

2020学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学试题(解析版)

2020学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学试题一、 单选题1. 已知集合{}2{0,1,2,3,4},|560A B x x x ==-+>,则A B =I ( )A .{0,1}B .{4}C .{0,1,4}D .{0,1,2,3,4}【答案】 C【解析】解一元二次不等式求得集合B ,由此求得两个集合的交集. 【详解】由()()256320x x x x -+=-->,解得2x <,或3x >,故{}0,1,4A B =I .故选C. 【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.2.计算52752C 3A +的值是( ) A .72 B .102 C .5070 D .5100【答案】B【解析】根据组合数和排列数计算公式,计算出表达式的值. 【详解】依题意,原式227576232354426010221C A ⨯=+=⨯+⨯⨯=+=⨯,故选B. 【点睛】本小题主要考查组合数和排列数的计算,属于基础题.3.设23342,log 5,log 5a b c -===,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a c b <<B .a b c <<C .b c a <<D .c b a <<【答案】A【解析】先根据1来分段,然后根据指数函数性质,比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】由于203221-<=,而344log 5log 5log 41>>=,故a c b <<,所以选A. 【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性,考查对数函数的性质,考查比较大小的方法,属于基础题.4.5(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为( ) A .5 B .10 C .20 D .30【答案】D【解析】根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式,列式求得3x 的系数. 【详解】根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式,题目所给表达式中含有3x 的为()3322335512102030C x x C x x x ⋅+⋅=+=,故展开式中3x 的系数为30,故选D.【点睛】本小题主要考查二项式展开式通项公式的应用,考查乘法分配律,属于基础题.5.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,每天的正点率X 服从正态分布2(0.98)N σ,,且(0.97)0.005P X <=,则(0.970.99)P X <<=( )A .0.96B .0.97C .0.98D .0.99【答案】D【解析】根据正态分布的对称性,求得指定区间的概率. 【详解】由于0.98μ=,故(0.970.99)12(0.97)0.99P X P X <<=-⨯<=,故选D. 【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性,考查正态分布指定区间的概率的求法,属于基础题.6.在下列区间中,函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为( )A .1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B .10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C .11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D .13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】先判断函数()f x 在R 上单调递增,由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增,且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内,故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用,属于简单题.应用零点存在定理解题时,要注意两点:(1)函数是否为单调函数;(2)函数是否连续. 7.已知函数()211x f x x +=-,其定义域是[)8,4--,则下列说法正确的是( ) A .()f x 有最大值53,无最小值B .()f x 有最大值53,最小值75C .()f x 有最大值75,无最小值 D .()f x 有最大值2,最小值75【答案】A【解析】试题分析:()2132()11x f x f x x x +==+⇒--在[)8,4--上是减函数()f x 有最大值5(8)3f -=,无最小值,故选A.【考点】函数的单调性.8.已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩,若()22()f a f a ->,则实数a 的取值范围是( ) A .(2,1)-B .(1,2)-C .(,1)(2,)-∞-+∞UD .(,2)(1,)-∞-+∞U【答案】A【解析】代入特殊值对选项进行验证排除,由此得出正确选项. 【详解】若0a =,()()()20212,00,120f f f -===>符合题意,由此排除C,D 两个选项.若1a =,则()()2211f f -=不符合题意,排除B 选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查分段函数函数值比较大小,考查特殊值法解选择题,属于基础题.9.如下图所示的图形中,每个三角形上各有一个数字,若六个三角形上的数字之和为36,则称该图形是“和谐图形”,已知其中四个三角形上的数字之和为二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和.现从0,1,2,3,4,5中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上,则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为( )A .115B .215 C .15D .415【答案】B【解析】先求得二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和为32.然后利用列举法求得在05:一共6个数字中任选两个,和为4的概率,由此得出正确选项. 【详解】令1x =代入5(31)x -得5232=,即二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和为32.从0,1,2,3,4,5中任取两个不同的数字方法有:01,02,03,04,05,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45共15种,其中和为36324-=的有04,13共两种,所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率为215,故选B. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和,考查列举法求古典概型概率问题,属于基础题.10.函数()21()ln 2x f x x e -=+-的图像可能是( )A .B .C .D .【答案】A【解析】分析四个图像的不同,从而判断函数的性质,利用排除法求解。

2019-2020学年河南省中原名校高二下期末数学试题(理)有答案

2019-2020学年河南省中原名校高二下期末数学试题(理)有答案

咼二第二学期数学(理)期末试题第I 卷(选择题)一、选择题:本大题共 12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合 题目要求.1.已知集合U R ,集合Mx|x 24 0,则 C U MA.x | 2x2B.x| 2 x 2C. x | x 2或x 2D. x | x 2或 x 22.设复数z 满足z 2i 2 i 5,则 zA. 2 3iB.2 3i C. 32i D.3 2i2 23.若双曲线 x y_2 . 21 a 0, b 0的离心率为3,则其渐近线方程为a b5.下列四个结论:A. 1B. 2C.①若“ p q ”是真命题,则 p 可能是真命题;②命题 “ X 0 R,X 。

2 X 。

1 0 ”的否定是“ x R, x 2 0 ”; ③“ a 是“ a b 0 ”的充要条件; ④当a 0时,幕函数 a y x 在区间0, 上单调递减.其中正确的结论个数是 A.0 个 B.1 个C. 2 个D. 36.在单调递减等差数列 a n 中,若a 3A. y 2xB.r4.设x R ,向量a2r b XA. -4B.2.51x D. y 2r r r r6 ,且 a//b ,贝U a bD.207.从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动,则所选的不少于1人的概率是A.4B.3C. -555D.8.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线与俯视图如图所示,则其几何体的表面积为女生人数的正视图C.BD 折起,形成的三棱锥A. B. L C. 1 2 D. 1 .32sin x 3 39.函数y ——-x — ,0 U 0,—的图象大致是11 4 41 ~xA- B T C.f x10.如果函数f x在区间D上是增函数,且在区间上是减函数,则称函数 f x在区间D上是缓增x_ 1 3函数,区间D叫做缓增区间.若函数f X -x2 x 在区间D上是缓增函数,则缓增区间D是2 2A . 1,B. 0^.3C.0,1D. 1八311. 若函数f x 1 3 d bx 1 - 2 x 2bx在区间3,5上不是单调函数,则函数0厂、3在R上的极大值为3 2A .2 2 13 3 24 _b -b B. -b — C. 0 D. 2b -3 6 2 3 312. 已知函数 f xx笃k2ln x,若x 2是函数f x的唯一极值点,则实数k的取值范围是x xA . ,eB.0,e C. ,e D. 0,e二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.a13.xcosx 5sin x.a14.曲线f x xlnx在点1,f 1 处的切线方程为______________ . _______15.若将函数y si nx 、、3cosx的图象向右平移0个单位长度得到函数y si nx .. 3 cos x的图象,则的最小值为 _________ .116.已知函数f x x3 2x e x x,其中e是自然对数的底数,若f a 1 f 2a2 0 ,则实数a的e取值范围为_________ .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程(1 )用a 1,d 分别表示T,T 2,T 3,并猜想T n ;(2)用数学归纳法证明你的猜想217.(本题满分12分)已知命题P:函数f xlog 2m x 1是增函数,命题Q: x R, x 2mx 1 0.(1 )写出命题Q 的否命题 Q ,并求出实数 m 的取值范围,使得命题 Q 为真命题;(2)如果P Q 是真命题,P Q 是假命题,求实数 m 的取值范围.18.(本题满分12分)如图,在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中,AB AA 1,E 为BC 的中点.(1)求证:GD 0E ;(2)若二面角B 1 AE D 的大小为90°,求AD 的长.2x 19.(本题满分12分)已知椭圆 —2 b2 1a b0的左、右焦点分别为Fj F 2,A 是椭圆的上顶点,直线AF 2交椭圆于另一点B.(1 )若 F 1AB 90°,求椭圆的离心率;uuuu uum uujr uuu 3(2)若AF 2 2F 2B,AF 1 AB ,求椭圆的方程220.(本题满分12分)设等差数列a n 的公差d 0 ,且a 1 0,记T n1 a .a n 1.21.(本题满分12分)已知f x xlnx,g x x ax 3.(1)求函数f x在区间t,t 2 t 0上的最小值;1 2(3)证明:对一切x 0, , In x x 恒成立.e ex22.(本题满分10 分)选修4-4 :参数方程与极坐标系在平面直角坐标系x xoy 中,直线l 1的参数方程为y2 t ( t 为参数),直线J 的参数方程为 kty(m 为参数),设直线l i ,I 2的交点为P,当变化时,P 的轨迹为曲线•(2 )以坐标原点与C 的交点,求O 为极点, M 的极径•x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设 I 3:cos sin 42 0,M 为 S23.(本题满分 10分)选修 4-5 :不等式选讲已知函数f x2x ax4,g x x 1 x 1.(2 )若不等式f x g x 的解集包含,求实数 a 的取值范围(1 )写出曲线C 的普通方程;(1 )当a 1时,求不等式f X g x 的解集;高二数学(理)答案选择题C 2 . A 3 .D 4 . D 5. B 6 . B A 8 . B 9 . A 10 . D 11 . D 12 . A C 【解析】 因为M x 2x 4 0 x 2 x 2,全集U R , 所以C u M xx 2或x 2,故选C.5A 【解析】利用方程思想求解复数并化简.由(z — 2i )(2 — i ) = 5,得z = 2i + —二2i 2 — i5(2 + i)(2 — i) (2 + i)c c 2 a 2 + b 2 b 2 bD 【解析】由条件e = 3,即a = 3,得尹=—孑一=1 +亍=3,所以a = 2,所以双曲的渐近线方程为y=±#x .故选DD 【解析】:a = (1,x ),b = (2,— 6)且 a // b ,••• — 6— 2x = 0,x = — 3,A a = (1,— 3),a -b = 20 ,故选 D. B 【解析】①若p q 是真命题,则p 和q 同时为真命题, p 必定是假命题;② 命题 “ x ° R, x 02 x 0 1 0” 的否定是 “x R,x 2 x 1 0 ”; ③ “a 5且b 5 ”是“a b 0”的充分不必要条件; ④ y x a y' a x a 1,当a 0时,y' 0,所以在区间0,+ 上单调递减.选B.3 B 【解析】由题知,a 2+ a4 = 2a 3= 2,又t a 2a 4 = 4,数列{a n }单调递减, . 1 3 .八辛 a 4 — a 2 1 .• • a 4 — 2 , a 2 — 2 ・••厶^差 d — 2 = — 2 ・•• a 1 = a 2 — d — 2. A 【解析】设所选女生人数为 X,则X 服从超几何分布,其中 N= 6,M= 2,n — 3,2 1C 2C 4 C 2C 24则 P (X 三 1) — P (X — 1) + P (X = 2) — c :+ c 3 — 5.所以选 A oB 【解析】由正视图与俯视图可得三棱锥 A- BCD 的一个侧面与底面垂直,则它们面积的1.7. 1 . 2. +3. 线4.5.6.7.2的表面积为L2C ;同时有 y' f'(x)4xsinx 2x 4cosx 2x 2 cosx因此k w e .故选A.和为1,另两个侧侧面是边长为1的等边三角形,面积的和为 所以几何体9 . A 【解析】因为函数y f(x)2sinx可化简为 1丄 xf(x)2x 2 sin x 可x 2 1知函数为奇函数关于原点对称,可排除答案32x(2sin x x cosx xcos x) ,贝L 当 x (0,_) 2 2(x 1)f '(x) 0,可知函数在x 附近单调递增,排除答案 B 和D ,故答案选A .1310. D 【解析】抛物线f(x)=十2— x + 2的对称轴是x = 1,其递增区间是1,+ g)当x 》l 时,¥=1x+3 -J 注意到x+ !>23(当且仅当x =3即x=w 时取最小值),11 • D 【解析】 所以缓增区间D 是1 , 3].选D .f '() = x 2- (2 + b)x + 2b = (x - b)( x - 2)函数 f(x)在区间 3,5]上不是单调函数,3<b<5,则由 f '()>0,得 x<2 或 x>b ,由 f '()<0,得2<x<b ,二函数f (x)的极4大值为 f (2) = 2b -3.12. A 【解析】 已知f (x)笃 k(2ln x),则 f (x)x xx 2 3~ x(e xkx), 当x 0时, e xkx > 0恒成立,即kxe_ x令 g(x) g(x)e x (x 1) x 2易知 g(x)min g(1) e (x 2 1)213 .0 14 13 . 【解析】f(x) 14. 【解析】由题意2n 15. -3a(xcosx a16 .5sin x) 0.得f'x)=ln x+ 1,所以f'伟In 1 + 1 = 1,即切线的斜率为 1.因为 f(1)= 0, 、填空题 xcosx 5sinx 为奇函数,故x - y - 1 =因为 y = sin x + 3cos x = 2sin x + 扌,y = sin x — 3cos x = 2sin x — 3,(2)若函数f (x) log 2m x 1是增函数,贝U 2m 1, A mm -(6分) 2又 x R, x 2 mx 1 0为真命题时,由m 24 0m 的取值范围为B m 2 m 2...... 分由“P Q ”为真命题,“P Q ”为假命题,故命题p 、Q 中有且仅有一个真命题 当P 真Q 假时, 实数m 的取值范围为:A CB 152,2 2,2,…10分当p 假 Q 真时,实数m 的取值范围为:(C R A)B‘2 2,2兮 (11)分综上可知实数m的取值范围:2,22,•……分218 •【解析】(1)证明:以D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz ,设AD= a ,则D(0,0,0),A( a, 0,0) ,B( a, 1,0) ,C(0,1,0) ,B 1(a, 1,1) ,C 1(0,1,1) ,0(0,0,1),E 2,1,0,15 .【解析】 所以把 y = 2sin x +扌的图象至少向右平移 年个单位长度可得y 二2sin x -n 的图象.16.【解析】 因为f ( x) x 32x Z e xef(x),所以函数f(x)是奇函数, 因为f'(x) 2xx23x 2 e e 3x2 2 .e x e x 0,所以数f(x)在R 上单调递增,又 f (a 1) f (2a 2) 0 , 即 f (2a 2) f (1 a),所以 2a 2 1 a ,三、解答题 即2a 2解得1,故实数的取值范围为[1,1].217 •【解析】 (1) Q :X omx o•分2若Q 为真命题,则0,解得: m 2,或 m 2故所求实数m 的取值范围为:2,(• 5 分)—* —* a••• C i D= (0 , — i , — i) , D i E= 2, i , — i ,则CTD^D TE^ 0,••• C i D 丄 D i E.(注:可采用几何法证明。

2020-2021学年黑龙江省大庆中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2020-2021学年黑龙江省大庆中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2020-2021学年黑龙江省大庆中学高二(下)期末数学试卷(理科)一、单选题(共12小题,每小题5分,共60分).1.设集合A={﹣1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=()A.{2}B.{2,3}C.{﹣1,2,3}D.{1,2,3,4} 2.z=(i是虚数单位),则z的共轭复数为()A.2﹣i B.2+i C.﹣2﹣i D.﹣2+i3.已知命题p:“∃x∈R,x2﹣x+1<0”,则¬p为()A.∃x∈R,x2﹣x+1≥0B.∃x∉R,x2﹣x+1≥0C.∀x∈R,x2﹣x+1≥0D.∀x∈R,x2﹣x+1<04.已知命题p∨q为真,¬p为真,则下列说法正确的是()A.p真q真B.p假q真C.p真q假D.p假q假5.已知命题p:∀x>0,e x+1>0;命题q:a<b,则a2<b2,下列命题为真命题的是()A.p∧¬q B.p∧q C.¬p∧q D.¬p∧¬q6.如表提供的是两个具有线性相关的数据,现求得回归方程为=0.7x+0.35,则t等于()x3456y 2.5t4 4.5A.4.5B.3.5C.3.15D.37.在新高考改革中,学生可先从物理、历史两科中任选一科,再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科参加高考,现有甲、乙两名学生若按以上选科方法,选三门学科参加高考,则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有()A.24B.30C.48D.608.2020年高校招生实施强基计划,其主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生,聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域,有36所大学首批试点强基计划某中学积极应对,高考前进行了一次模拟笔试,甲、乙、丙、丁四人参加,按比例设定入围线,成绩公布前四人分别做猜测如下:甲猜测:我不会入围,丙一定入围;乙猜测:入围者必在甲、丙、丁三人中;丙猜测:乙和丁中有一人入围;丁猜测:甲的猜测是对的.成绩公布后,四人中恰有两人预测正确,且恰有两人入围,则入围的同学是()A.甲和丙B.乙和丁C.甲和丁D.乙和丙9.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A,B,C三个班级中,要求每个班级至少分到一人,则甲被分到A班的概率为()A.B.C.D.10.二项展开式的第三项系数为15,则的二项展开式中的常数项为()A.1B.6C.15D.2011.已知ABCD为正方形,其内切圆I与各边分别切于E,F,G,H,连接EF,FG,GH,HE.现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子,记事件A:豆子落在圆I内,事件B:豆子落在四边形EFGH外,则P(B|A)=()A.B.C.D.12.已知函数f(x)=|x|e x,若g(x)=f2(x)﹣af(x)+1恰有四个不同的零点,则a取值范围为()A.(2,+∞)B.(e+,+∞)C.(2,e)D.()二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知随机变量X~N(1,σ2),若P(X>2)=0.2,则P(X>0)=.14..15.已知箱子中装有10不同的小球,其中2个红球,3个黑球和5个白球.现从该箱中有放回地依次取出3个小球,若变量ξ为取出3个球中红球的个数,则ξ的方差D(ξ)=.16.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.为了了解A地区足球特色学校的发展状况,某调查机构得到如下统计数据:年份x20142015201620172018足球特色学校y(百个)0.300.60 1.00 1.40 1.70(Ⅰ)根据上表数据,计算y与x的相关系数r,并说明y与x的线性相关性强弱(已知:0.75≤|r|≤1,则认为y与x线性相关性很强;0.3≤|r|<0.75,则认为y与x线性相关性一般;|r|≤0.25,则认为y与x线性相关性较弱);(Ⅱ)求y关于x的线性回归方程,并预测A地区2019年足球特色学校的个数(精确到个).参考公式:r=,(x i﹣)2=10,(y i﹣)2=1.3,,=,=.18.新冠病毒肆虐全球,尽快结束疫情是人类共同的期待,疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器,为确保疫苗安全性和有效性,任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验,周期较长.我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验.相关试验数据统计如表:没有感染新冠病毒感染新冠病毒总计10x A 没有注射重组新冠疫苗注射重组新冠疫苗20y B总计303060已知从所有参加试验的猕猴中任取一只,取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为.(1)根据以上试验数据判断,能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效?(2)若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析,求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率.附:K2=,n=a+b+c+d.P(K2≥k)0.050.0100.0050.001 k 3.841 6.6357.87910.828 19.2019女排世界杯于2019年9月14日到9月29日举行,中国女排以十一胜卫冕女排世界杯冠军,四人进入最佳阵容,女排精神,已经是一种文化.为了了解某市居民对排球知识的了解情况,某机构随机抽取了100人参加排球知识问卷调查,将得分情况整理后作出的直方图如图:(1)求图中实数a的值,并估算平均得分(每组数据以区间的中点值为代表);(2)得分在90分以上的称为“铁杆球迷”,以样本频率估计总体概率,从该市居民中随机抽取4人,记这四人中“铁杆球迷”的人数为X,求X的分布列及数学期望.20.已知函数f(x)=ax+lnx,g(x)=e x﹣1﹣1.(1)讨论函数y=f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)≤g(x)+a在x∈[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.21.如图,过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的点A(2,1)作斜率分别为k1,k2的直线,分别交抛物线E于B,C两点.(1)求抛物线E的标准方程和准线方程;(2)若k1+k2=k1k2,证明:直线BC恒过定点.22.在极坐标系中,曲线,以极点为坐标原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系xOy,曲线C2的参数方程为(t为参数).(1)求C1的直角坐标方程与C2的普通方程;(2)若曲线C1与曲线C2交于A、B两点,且定点P的坐标为(2,0),求|PA|+|PB|的值.参考答案一、单选题(共12小题,每小题5分,共60分).1.设集合A={﹣1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=()A.{2}B.{2,3}C.{﹣1,2,3}D.{1,2,3,4}【分析】根据集合的基本运算即可求A∩C,再求(A∩C)∪B;解:设集合A={﹣1,1,2,3,5},C={x∈R|1≤x<3},则A∩C={1,2},∵B={2,3,4},∴(A∩C)∪B={1,2}∪{2,3,4}={1,2,3,4};故选:D.2.z=(i是虚数单位),则z的共轭复数为()A.2﹣i B.2+i C.﹣2﹣i D.﹣2+i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值.解:∵z==,∴.故选:C.3.已知命题p:“∃x∈R,x2﹣x+1<0”,则¬p为()A.∃x∈R,x2﹣x+1≥0B.∃x∉R,x2﹣x+1≥0C.∀x∈R,x2﹣x+1≥0D.∀x∈R,x2﹣x+1<0【分析】由特称命题的否定为全称命题,注意量词和不等号的变化.解:由特称命题的否定为全称命题,可得命题p:∃x∈R,x2﹣x+1<0,则¬p是∀x∈R,x2﹣x+1≥0.故选:C.4.已知命题p∨q为真,¬p为真,则下列说法正确的是()A.p真q真B.p假q真C.p真q假D.p假q假【分析】命题p∨q为真是真命题,有三种情况:①p、q均为真,②p真q假,③p假q真;由已知条件然后逐项判断即可.解:命题p∨q为真是真命题,有三种情况:①p、q均为真,②p真q假,③p假q真;∵¬p也为真命题,⇒p为假命题,q为真,¬q为假命题,由逻辑连词链接的命题真假逐项判断即可.故选:B.5.已知命题p:∀x>0,e x+1>0;命题q:a<b,则a2<b2,下列命题为真命题的是()A.p∧¬q B.p∧q C.¬p∧q D.¬p∧¬q【分析】容易判断出p是真命题,q是假命题,所以得到p∧¬q为真命题.解:∵∀x>0,e x+1>e1=e>0,∴命题p为真命题,当a=﹣2,b=﹣1时,满足a<b,但不满足a2<b2,∴命题q为假命题,∴p∧¬q为真命题,故选:A.6.如表提供的是两个具有线性相关的数据,现求得回归方程为=0.7x+0.35,则t等于()x3456y 2.5t4 4.5A.4.5B.3.5C.3.15D.3【分析】计算代入回归方程求出,根据平均数公式列方程解出t.解:=,∴=0.7×4.5+0.35=3.5,∴,解得t=3.故选:D.7.在新高考改革中,学生可先从物理、历史两科中任选一科,再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科参加高考,现有甲、乙两名学生若按以上选科方法,选三门学科参加高考,则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有()A.24B.30C.48D.60【分析】以甲,乙所选相同学科是否在物理、历史两科中分为两类,每类中由排列组合公式和基本原理可求.解:分为两类,第一类物理、历史两科中是相同学科,则有C C C=12种选法;第二类物理、历史两科中没相同学科,则有A C A=48种选法,所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有12+48=60种,故选:D.8.2020年高校招生实施强基计划,其主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生,聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域,有36所大学首批试点强基计划某中学积极应对,高考前进行了一次模拟笔试,甲、乙、丙、丁四人参加,按比例设定入围线,成绩公布前四人分别做猜测如下:甲猜测:我不会入围,丙一定入围;乙猜测:入围者必在甲、丙、丁三人中;丙猜测:乙和丁中有一人入围;丁猜测:甲的猜测是对的.成绩公布后,四人中恰有两人预测正确,且恰有两人入围,则入围的同学是()A.甲和丙B.乙和丁C.甲和丁D.乙和丙【分析】本题主要抓住甲、丁的预测是一样的这一特点,则甲、丁的预测要么同时与结果相符,要么同时与结果不符.先假设甲、丁的预测成立,则乙、丙的预测不成立,可推出矛盾,故甲、丁的预测不成立,则乙、丙的预测成立,再分析可得出获奖的是甲和丁.解:由题意,可知:∵甲、丁的预测是一样的,∴甲、丁的预测要么同时与结果相符,要么同时与结果不符.①假设甲、丁的预测成立,则乙、丙的预测不成立,根据甲、丁的预测,丙获奖,乙、丁中必有一人获奖;这与丙的预测不成立相矛盾.故甲、丁的预测不成立,②甲、丁的预测不成立,则乙、丙的预测成立,∵乙、丙的预测成立,∴丁必获奖.∵甲、丁的预测不成立,乙的预测成立,∴丙不获奖,甲获奖.从而获奖的是甲和丁.故选:C.9.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A,B,C三个班级中,要求每个班级至少分到一人,则甲被分到A班的概率为()A.B.C.D.【分析】先利用排列组合求出基本事件总数和甲被分到A班包含的基本事件个数,由此能求出甲被分到A班的概率.解:要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A,B,C三个班级中,要求每个班级至少分到一人,基本事件总数n==36,甲被分到A班包含的基本事件个数m==12,∴甲被分到A班的概率为p=.故选:B.10.二项展开式的第三项系数为15,则的二项展开式中的常数项为()A.1B.6C.15D.20【分析】在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求出r的值,即可求得常数项.解:∵二项展开式的第三项系数为=15,∴n=6,则的二项展开式的通项公式为T r+1=•x6﹣2r,令6﹣2r=0,求得r=3,可得展开式中的常数项为T4==20,故选:D.11.已知ABCD为正方形,其内切圆I与各边分别切于E,F,G,H,连接EF,FG,GH,HE.现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子,记事件A:豆子落在圆I内,事件B:豆子落在四边形EFGH外,则P(B|A)=()A.B.C.D.【分析】由题意,计算正方形EFGH与圆I的面积比,利用对立事件的概率求出P(B|A)的值.解:由题意,设正方形ABCD的边长为2a,则圆I的半径为r=a,面积为πa2;正方形EFGH的边长为a,面积为2a2;∴所求的概率为P(B|A)=1﹣=1﹣.故选:C.12.已知函数f(x)=|x|e x,若g(x)=f2(x)﹣af(x)+1恰有四个不同的零点,则a取值范围为()A.(2,+∞)B.(e+,+∞)C.(2,e)D.()【分析】函数f(x)=|x|e x=,利用导数研究函数的单调性极值即可得出图象,令f2(x)﹣af(x)+1=0,对△=a2﹣4及其a分类讨论,结合图象即可得出.解:函数f(x)=|x|e x=,x≥0,f(x)=xe x,f′(x)=(x+1)e x>0,因此x≥0时,函数f(x)单调递增.x<0,f(x)=﹣xe x,f′(x)=﹣(x+1)e x,可得函数f(x)在(﹣∞,﹣1)单调递增;可得函数f(x)在(﹣1,0)单调递减.可得:f(x)在x=﹣1时,函数f(x)取得极大值,f(﹣1)=.画出图象:可知:f(x)≥0.令f2(x)﹣af(x)+1=0,①△=a2﹣4<0时,函数g(x)无零点.②△=0时,解得a=2或﹣2,a=2时,解得f(x)=1,此时函数g(x)只有一个零点,舍去.a=﹣2,由f(x)≥0,可知:此时函数g(x)无零点,舍去.③△=a2﹣4>0,解得a>2或a<﹣2.解得f(x)=,f(x)=.a<﹣2时,<0,<0.此时函数g(x)无零点,舍去.因此a>2,可得:0<<1<.由g(x)=f2(x)﹣af(x)+1恰有四个不同的零点,∴a>2,0<<,1<.解得:a>+e.则a取值范围为.另解:由g(t)=t2﹣at+1有两根,一个在(0,)上,一个在(,+∞)上,∴△=a2﹣4>0,g()=﹣a•+1<0,解得a>e+.∴a取值范围为.故选:B.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知随机变量X~N(1,σ2),若P(X>2)=0.2,则P(X>0)=0.8.【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴,再由已知结合对称性求解.解:∵随机变量X~N(1,σ2),∴正态分布曲线的对称轴方程为x=1.又P(X>2)=0.2,∴P(X<0)=P(X>2)=0.2,则P(X>0)=1﹣P(X<0)=1﹣0.2=0.8.故答案为:0.8.14..【分析】由于dx=,第一个积分根据积分所表示的几何意义是以(0,0)为圆心,1为半径第一、二象限内圆弧与坐标轴围成的面积,只需求出圆的面积乘以二分之一即可,第二个积分利用公式进行计算即可.解:由于,表示的几何意义是:以(0,0)为圆心,1为半径第一,二象限内圆弧与坐标轴围成的面积=π×1=,又==0,∴原式=.故答案为:.15.已知箱子中装有10不同的小球,其中2个红球,3个黑球和5个白球.现从该箱中有放回地依次取出3个小球,若变量ξ为取出3个球中红球的个数,则ξ的方差D(ξ)=.【分析】先求出每次抽出红球的概率,然后利用ξ~B(3,),由方差的计算公式求解即可.解:由题意,每次抽出红球的概率为,所以ξ~B(3,),故ξ的方差D(ξ)=np(1﹣p)==.故答案为:.16.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为π.【分析】易知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球,作图,求得出该内切球的半径即可求出球的体积.解:因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球,如图,圆锥母线BS=3,底面半径BC=1,则其高SC==2,不妨设该内切球与母线BS切于点D,令OD=OC=r,由△SOD∽△SBC,则=,即=,解得r=,V=πr3=π,故答案为:π.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.为了了解A地区足球特色学校的发展状况,某调查机构得到如下统计数据:年份x20142015201620172018足球特色学校y(百个)0.300.60 1.00 1.40 1.70(Ⅰ)根据上表数据,计算y与x的相关系数r,并说明y与x的线性相关性强弱(已知:0.75≤|r|≤1,则认为y与x线性相关性很强;0.3≤|r|<0.75,则认为y与x线性相关性一般;|r|≤0.25,则认为y与x线性相关性较弱);(Ⅱ)求y关于x的线性回归方程,并预测A地区2019年足球特色学校的个数(精确到个).参考公式:r=,(x i﹣)2=10,(y i﹣)2=1.3,,=,=.【分析】(Ⅰ),,∴y与x线性相关性很强.(Ⅱ)根据公式计算线性回归方程,再令x=2019可得.解:(Ⅰ),,∴y与x线性相关性很强.…………………………(Ⅱ),,∴y关于x的线性回归方程是.当x=2019时,,即A地区2019年足球特色学校有208个.…………………………18.新冠病毒肆虐全球,尽快结束疫情是人类共同的期待,疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器,为确保疫苗安全性和有效性,任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验,周期较长.我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验.相关试验数据统计如表:没有感染新冠病毒感染新冠病毒总计10x A 没有注射重组新冠疫苗注射重组新冠疫苗20y B 总计303060已知从所有参加试验的猕猴中任取一只,取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为.(1)根据以上试验数据判断,能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效?(2)若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析,求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率.附:K2=,n=a+b+c+d.P(K2≥k)0.050.0100.0050.001 k 3.841 6.6357.87910.828【分析】(1)由题意列方程求出y、x和A、B的值;计算K2,对照附表得出结论;(2)由题意计算所求的概率值即可.解:(1)由题知,解得y=5,所以x=30﹣5=25,A=10+25=35,B=20+5=25;所以,故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效;(2)由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只,其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只,所以.19.2019女排世界杯于2019年9月14日到9月29日举行,中国女排以十一胜卫冕女排世界杯冠军,四人进入最佳阵容,女排精神,已经是一种文化.为了了解某市居民对排球知识的了解情况,某机构随机抽取了100人参加排球知识问卷调查,将得分情况整理后作出的直方图如图:(1)求图中实数a的值,并估算平均得分(每组数据以区间的中点值为代表);(2)得分在90分以上的称为“铁杆球迷”,以样本频率估计总体概率,从该市居民中随机抽取4人,记这四人中“铁杆球迷”的人数为X,求X的分布列及数学期望.【分析】(1)由频率分布直方图能求出a,并能估算平均分.(2)记这四人中“铁杆球迷”的人数为X,则X~B(4,0.1),由此能求出X的分布列和数学期望.解:(1)由频率分布直方图得:(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1,解得a=0.030.估算平均分为:=45×0.005×10+55×0.010×10+65×0.020×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.010×10=74.(2)得分在90分以上的称为“铁杆球迷”,由频率分布直方图的性质得得分在90分以上的频率为0.010×10=0.1,以样本频率估计总体概率,从该市居民中随机抽取4人,记这四人中“铁杆球迷”的人数为X,则X~B(4,0.1),P(X=0)==0.6561,P(X=1)==0.2916,P(X=2)==0.0486,P(X=3)==0.0036,P(X=4)==0.0001,∴X的分布列为:X01234P0.65610.29160.04860.00360.0001 E(X)=4×0.1=0.4.20.已知函数f(x)=ax+lnx,g(x)=e x﹣1﹣1.(1)讨论函数y=f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)≤g(x)+a在x∈[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.【分析】(1)先对函数求导,,然后对a进行分类讨论,再结合导数与单调性关系即可求解;(2)由已知不等式可令F(x)=e x﹣1﹣lnx﹣ax﹣1+a,x≥1,然后求导,结合导数研究单调性,即可求解.解:(1)函数f(x)定义域是(0,+∞),,当a≥0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)单调递增,无减区间;当a<0时,函数f(x)在单调递增,在单调递减,(2)由已知e x﹣1﹣lnx﹣ax﹣1+a≥0在x≥1恒成立,令F(x)=e x﹣1﹣lnx﹣ax﹣1+a,x≥1,则,易得F'(x)在[1,+∞)递增,∴F'(x)≥F'(1)=﹣a,①当a≤0时,F'(x)≥0,F(x)在[1,+∞)递增,所以F(x)≥F(1)=0成立,符合题意.②当a>0时,F'(1)=﹣a<0,且当x=ln(a+1)+1时,,∴∃x0∈(1,+∞),使F'(x)=0,即∃x∈(1,x0)时F'(x)<0,F(x)在(1,x0)递减,F(x)<F(1)=0,不符合题意.综上得a≤0.21.如图,过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的点A(2,1)作斜率分别为k1,k2的直线,分别交抛物线E于B,C两点.(1)求抛物线E的标准方程和准线方程;(2)若k1+k2=k1k2,证明:直线BC恒过定点.【分析】(1)设抛物线的方程为x2=ay,代入A(2,1),可得a=4,即可求抛物线E 的标准方程和准线方程;(2)设出AB和AC所在的直线方程,分别把直线和抛物线联立后求得B,C两点的横坐标,再由两点式写出直线BC的方程,把B,C的坐标,k1+k2=k1k2,代入后整理,利用相交线系方程的知识可求出直线BC恒过的定点.【解答】(1)解:设抛物线的方程为x2=ay,则代入A(2,1),可得a=4,∴抛物线E的标准方程为x2=4y,准线方程为y=﹣1;(2)证明:设B(x1,y1),C(x2,y2),则直线AB方程y=k1(x﹣2)+1,AC方程y=k2(x﹣2)+1,联立直线AB方程与抛物线方程,消去y,得x2﹣4k1x+8k1﹣4=0,∴x1=4k1﹣2①同理x2=4k2﹣2②而BC直线方程为y﹣x12=(x﹣x1),③∵k1+k2=k1k2,∴由①②③,整理得k1k2(x﹣2)﹣x﹣y﹣1=0.由x﹣2=0且﹣x﹣y﹣1=0,得x=2,y=﹣3,故直线BC经过定点(2,﹣3).22.在极坐标系中,曲线,以极点为坐标原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系xOy,曲线C2的参数方程为(t为参数).(1)求C1的直角坐标方程与C2的普通方程;(2)若曲线C1与曲线C2交于A、B两点,且定点P的坐标为(2,0),求|PA|+|PB|的值.【分析】(1)直接利用转换关系,在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换;(2)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果.解:(1)曲线,根据,整理得:y2=4x.曲线C2的参数方程为(t为参数)转换为普通方程为:.(2)把直线的参数方程为(t为参数),代入y2=4x,得到:.所以,,所以|PA|+|PB|==.。

高中数学练习题 2020-2021学年新疆伊犁州高二(下)期末数学试卷(理科)

高中数学练习题 2020-2021学年新疆伊犁州高二(下)期末数学试卷(理科)

2020-2021学年新疆伊犁州新源二中高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分且必要条件D .既不充分又不必要条件1.(5分)x >2是x >5的( )A .x +y =0B .x -y =0C .x-y +2=0D .x +y +2=02.(5分)曲线y =2x 2-x 在点(0,0)处的切线方程为( )A .x =±33yB .y =±33xC .y =±32x D .x =±32y3.(5分)双曲线x 24−y 23=1的渐近线所在直线方程为( )√√√√A .0B .1C .2D .34.(5分)函数y =13x 3−x 2-3x +9的零点个数为( )5.(5分)执行图中程序框图,如果输入x 1=2,x 2=3,x 3=7,则输出的T 值为( )A .0B .4C .2D .3A .∃x 0∈R,使得x 02+x 0+1>0B .∀x∈R ,使得x 2+x +1>0C .∀x ∈R ,使得x 2+x +1≤0D .∃x 0∈R ,使得x 02+x 0+1≤06.(5分)命题“∀x ∈R ,使得x 2+x +1>0”的否定是( )A .45B .35C .25D .157.(5分)将一条5米长的绳子随机的切断为两段,则两段绳子都不短于1米的概率为( )A .y 22+x 2=1B .y 22+x 2=1(x ≠0)C .y 22−x 2=1D .y 22+x 2=1(y ≠0)8.(5分)在平面直角坐标系中,已知顶点A (0,−2)、B (0,2),直线PA 与直线PB 的斜率之积为-2,则动点P 的轨迹方程为( )√√A .B .C .D .9.(5分)如图,一个正六角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,直到全部露出水面为止,记时刻t 薄片露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)=0),则导函数y =S '(t )的图象大致为( )10.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出S 的值为0.99,则判断框内可填入的条件是( )二、填空题(本大题共4小题,每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)A.i <100B .i ≤100C .i <99D .i ≤98A .e 4πB .e π+e 2πC .e π-e 3πD .e π+e 3π11.(5分)设函数f (x )=e x (sinx -cosx )(0≤x ≤4π),则函数f (x )的所有极大值之和为( )A .3B .32C .2D .2212.(5分)如图动直线l :y =b 与抛物线y 2=4x 交于点A ,与椭圆x 22+y 2=1交于抛物线右侧的点B ,F 为抛物线的焦点,则AF +BF +AB 的最大值为( )√√13.(5分)某校老年教师90人、中年教师180人和青年教师160人,采用分层抽样的方法调查教师的身体情况,在抽取的样本中,青年教师有32人,则该样本的老年教师人数为.14.(5分)如图,函数y =f (x )的图象在点P 处的切线方程是y =-x +5,则f (3)+f '(3)=.15.(5分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位:千元)的数据如下表:年份2007200820092010201120122013年份代号t 1234567人均纯收入y2.93.33.64.4a5.25.9y 关于t 的线性回归方程为y =0.5t +2.3,则a 的值为.⌢16.(5分)如图,过椭圆x 2a2+y 2b2=1(a >b >1)上顶点和右顶点分别作圆x 2+y 2=1的两条切线的斜率之积为-22,则椭圆的离心率的取值范围是.√17.(10分)一个盒中装有编号分别为1,2,3,4的四个形状大小完全相同的小球.(1)从盒中任取两球,求取出的球的编号之和大于5的概率.(2)从盒中任取一球,记下该球的编号a ,将球放回,再从盒中任取一球,记下该球的编号b ,求|a -b |≥2的概率.18.(12分)已知椭圆C :x 2a2+y2b2=1(a >b >0)的离心率为32,且经过点(1,32),F 1,F 2是椭圆的左、右焦点.(1)求椭圆C 的方程;(2)点P 在椭圆上运动,求|PF 1|•|PF 2|的最大值.√√19.(12分)我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x (吨),一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费,超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a 的值;(2)若该市有110万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,请说明理由;(3)估计居民月均用水量的中位数(精确到0.01)20.(12分)已知函数f (x )=x 2-2x ,g (x )=ax -1,若∀x 1∈[-1,2],∃x 2∈[-1,2],使得f (x 1)=g (x 2),求a 的取值范围.21.(12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆M :(x +1)2+y 2=494的圆心为M ,圆N :(x -1)2+y 2=14的圆心为N ,一动圆与圆M 内切,与圆N 外切.(Ⅰ)求动圆圆心P 的轨迹方程;(Ⅱ)过点(1,0)的直线l 与曲线P 交于A ,B 两点,若OA •OB =-2,求直线l 的方程.→→22.(12分)已知函数f (x )=(x +1)2-alnx .(Ⅰ)讨论函数的单调性;(Ⅱ)若函数f (x )在区间(0,+∞)内任取两个不相等的实数x 1,x 2,不等式f (x 1+1)−f (x 2 +1)x 1−x 2>1恒成立,求a 的取值范围.。

上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题(解析版)

上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题(解析版)
详解:由公理4可知A正确;
若l⊥m,l⊥n,则m∥n或m与n相交或异面,故B错误;
若点A、B不在直线l上,且到l的距离相等,则直线AB∥l或AB与l异面,故C错误;
若三条直线l,m,n两两相交,且不共点,则直线l,m,n共面,故D错误.
故选A.
点睛:本题考查命题的真假判断与应用,着重考查空间中直线与直线之间的位置关系,掌握空间直线的位置关系是判断的基础,对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除,判断.还可以画出样图进行判断,利用常见的立体图形,将点线面放入特殊图形,进行直观判断.

因为

综上所述, 中最小角为 ,故选B.
【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤:
①找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影来完成;
②计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.
(2)作二面角 平面角可以通过垂线法进行,在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线,再过垂足作二面角的棱的垂线,两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直,由此可得二面角的平面角.
【答案】
【解析】
【分析】由已知中球O的半径为1,线段 的长度为 ,求得 ,求出弧AB的长度,即可得出答案.
【详解】解:因为球O的半径为1,A、B是球面上两点,线段 的长度为 ,
在 中, ,
又 ,则 ,
所以A、B两点的球面距离为 .
故答案为: .
5.正方体 中,异面直线 和 所成角的大小为________
所以 取 ,得 .
易知平面 的法向量为 .
由二面角 是锐角,得 .
所以二面角 的余弦值为 .
(3)解:假设存在满足条件的点 .
因为 在线段 上, , ,故可设 ,其中 .

2020届河南省平顶山市高二下期末数学试卷(理科)(有答案)

2020届河南省平顶山市高二下期末数学试卷(理科)(有答案)

河南省平顶山市高二第二学期期末考试数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1.若(x﹣i)i=y+2i,x,y∈R,其中i为虚数单位,则复数x+yi=()A.2+i B.﹣2+i C.1﹣2i D.1+2i2.对任意实数a、b、c,在下列命题中,真命题是()A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件3.若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是()A.18 B.6 C.2 D.24.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC,则A的取值范围是()A.(0,] B.[,π)C.(0,] D.[,π)5.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B.1 C.D.6.已知各项均为正数的等比数列{a n}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.4 B.5 C.6 D.77.设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为()A.10 B.8 C.3 D.28.设F1和F2为双曲线﹣y2=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是()A.1 B.C.2 D.9.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是()A.∃x∈R,f(x)≤f(x0)B.∃x∈R,f(x)≥f(x0)C.∀x∈R,f(x)≤f(x0)D.∀x∈R,f(x)≥f(x0)10.设函数f(x)=xe x,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=﹣1为f(x)的极大值点 D.x=﹣1为f(x)的极小值点11.甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A.150种B.180种C.300种D.345种12.已知椭圆T: +=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与T相交于A,B两点,若=3,则k=()A.1 B.C.D.2二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.曲线y=4x﹣x3在点(﹣1,﹣3)处的切线方程是.14.已知随机变量ξ服从正态分布N(3,100),且P(ξ≤5)=0.84,则P(1≤ξ≤5)= .15.在(x﹣)5的二次展开式中,x2的系数为(用数字作答).16.若规定E={a1,a2,…,a10}的子集{a t1,a t2,…,a k}为E的第k个子集,其中,则E的第211个子集是.三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.已知{a n}为等差数列,且a1+a3=8,a2+a4=12.(1)求{a n}的通项公式;(2)设,求数列{b n}的前n项和.18.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与p,且乙投球2次均未命中的概率为.(Ⅰ)求乙投球的命中率p;(Ⅱ)若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望.19.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.(Ⅰ)证明:平面PQC⊥平面DCQ(Ⅱ)求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值.20.已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,短轴上的两个顶点为A,B(A在B的上方),且四边形AF1BF2的面积为8.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM交于点G,求证:A,G,N三点共线.21.已知函数f(x)=ax﹣(a+1)ln(x+1),其中a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)设f(x)的最小值为g(a),求证:.选修4-4:参数方程与极坐标系22.以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)将直线l:(t为参数)化为极坐标方程;(2)设P是(1)中直线l上的动点,定点A(,),B是曲线ρ=﹣2sinθ上的动点,求|PA|+|PB|的最小值.选修4-5:不等式选讲23.(1)解不等式:|2x﹣1|﹣|x|<1;(2)设a2﹣2ab+5b2=4对∀a,b∈R成立,求a+b的最大值及相应的a,b.河南省平顶山市高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1.若(x﹣i)i=y+2i,x,y∈R,其中i为虚数单位,则复数x+yi=()A.2+i B.﹣2+i C.1﹣2i D.1+2i【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】把等式左边变形,再由复数相等的条件列式求得x,y值,则答案可求.【解答】解:由(x﹣i)i=1+xi=y+2i,得y=1,x=2.∴复数x+yi=2+i.故选:A.2.对任意实数a、b、c,在下列命题中,真命题是()A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】当a=b时,一定有ac=bc.但ac=bc时,且c=0时,a,b可以不相等.即“ac=bc”是“a=b”的必要条件.【解答】解:A、C当c<0时,“ac>bc”即不是“a>b”的必要条件也不是充分条件,故A,C不成立;B、∵当a=b时∴一定有ac=bc.但ac=bc时,且c=0时,a,b可以不相等.即“ac=bc”是“a=b”的必要条件.D、当c=0时,“ac=bc”是“a=b”的充分条件不成立;故选B.3.若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是()A.18 B.6 C.2D.2【考点】7F:基本不等式.【分析】先判断3a与3b的符号,利用基本不等式建立关系,结合a+b=2,可求出3a+3b的最小值【解答】解:由于3a>0,3b>0,所以3a+3b===6.当且仅当3a=3b,a=b,即a=1,b=1时取得最小值.故选B4.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC,则A的取值范围是()A.(0,] B.[,π)C.(0,] D.[,π)【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边,进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围,进而求得A的范围.【解答】解:由正弦定理可知a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC,∴a2≤b2+c2﹣bc,∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A>0∴A的取值范围是(0,]故选C5.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B.1 C.D.【考点】K8:抛物线的简单性质.【分析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A,B的中点横坐标,求出线段AB的中点到y轴的距离.【解答】解:∵F是抛物线y2=x的焦点,F()准线方程x=,设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=,|BF|=,∴|AF|+|BF|==3解得,∴线段AB的中点横坐标为,∴线段AB的中点到y轴的距离为.故选C.6.已知各项均为正数的等比数列{a n}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.4B.5C.6 D.7【考点】8G:等比数列的性质.【分析】由等比数列的性质知,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比数列,即可得出结论.【解答】解:由等比数列的性质知,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比数列,所以a4a5a6=5.故选:B.7.设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为()A.10 B.8 C.3 D.2【考点】7C:简单线性规划.【分析】由题意作出其平面区域,将z=2x﹣y化为y=2x﹣z,﹣z相当于直线y=2x﹣z的纵截距,由几何意义可得.【解答】解:由题意作出其平面区域:将z=2x﹣y化为y=2x﹣z,﹣z相当于直线y=2x﹣z的纵截距,由可解得,A(5,2),则过点A(5,2)时,z=2x﹣y有最大值10﹣2=8.故选B.8.设F1和F2为双曲线﹣y2=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是()A.1 B.C.2 D.【考点】KC:双曲线的简单性质.【分析】设|PF1|=x,|PF2|=y,根据根据双曲线性质可知x﹣y的值,再根据∠F1PF2=90°,求得x2+y2的值,进而根据2xy=x2+y2﹣(x﹣y)2求得xy,进而可求得∴△F1PF2的面积【解答】解:设|PF1|=x,|PF2|=y,(x>y)根据双曲线性质可知x﹣y=4,∵∠F1PF2=90°,∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣(x﹣y)2=4∴xy=2∴△F1PF2的面积为xy=1故选A9.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是()A.∃x∈R,f(x)≤f(x0)B.∃x∈R,f(x)≥f(x0)C.∀x∈R,f(x)≤f(x0)D.∀x∈R,f(x)≥f(x0)【考点】26:四种命题的真假关系.【分析】由x0满足关于x的方程2ax+b=0得出x=x0是二次函数的对称轴,由a>0可知二次函数有最小值.【解答】解:∵x0满足关于x的方程2ax+b=0,∴∵a>0,∴函数f(x)在x=x0处取到最小值是等价于∀x∈R,f(x)≥f(x0),所以命题C错误.答案:C.10.设函数f(x)=xe x,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=﹣1为f(x)的极大值点 D.x=﹣1为f(x)的极小值点【考点】6D:利用导数研究函数的极值.【分析】由题意,可先求出f′(x)=(x+1)e x,利用导数研究出函数的单调性,即可得出x=﹣1为f(x)的极小值点【解答】解:由于f(x)=xe x,可得f′(x)=(x+1)e x,令f′(x)=(x+1)e x=0可得x=﹣1令f′(x)=(x+1)e x>0可得x>﹣1,即函数在(﹣1,+∞)上是增函数令f′(x)=(x+1)e x<0可得x<﹣1,即函数在(﹣∞,﹣1)上是减函数所以x=﹣1为f(x)的极小值点故选D11.甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A.150种B.180种C.300种D.345种【考点】D1:分类加法计数原理;D2:分步乘法计数原理.【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法,1名女同学来自甲组和乙组两类型.【解答】解:分两类(1)甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法;(2)乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法.故共有345种选法.故选D12.已知椭圆T: +=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与T相交于A,B两点,若=3,则k=()A.1 B.C.D.2【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),根据求得y1和y2关系根据离心率设,b=t,代入椭圆方程与直线方程联立,消去x,根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2,进而根据y1和y2关系求得k.【解答】解:A(x1,y1),B(x2,y2),∵,∴y1=﹣3y2,∵,设,b=t,∴x2+4y2﹣4t2=0①,设直线AB方程为,代入①中消去x,可得,∴,,解得,故选B二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.曲线y=4x﹣x3在点(﹣1,﹣3)处的切线方程是x﹣y﹣2=0 .【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.【解答】解:∵y=4x﹣x3,∴f'(x)=4﹣3x2,当x=﹣1时,f'(﹣1)=1得切线的斜率为1,所以k=1;所以曲线在点(﹣1,﹣3)处的切线方程为:y+3=1×(x+1),即x﹣y﹣2=0.故答案为:x﹣y﹣2=0.14.已知随机变量ξ服从正态分布N(3,100),且P(ξ≤5)=0.84,则P(1≤ξ≤5)= 0.68 .【考点】CP:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【分析】先求出P(3≤ξ≤5),再利用正态分布的对称性计算P(1≤ξ≤5).【解答】解:P(3≤ξ≤5)=P(ξ≤5)﹣P(ξ≤3)=0.84﹣0.5=0.34,∴P(1≤ξ≤5)=2P(3≤ξ≤5)=0.68.故答案为:0.68.15.在(x﹣)5的二次展开式中,x2的系数为40 (用数字作答).【考点】DA:二项式定理.【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为2求出x2的系数.【解答】解:,令所以r=2,所以x2的系数为(﹣2)2C52=40.故答案为4016.若规定E={a1,a2,…,a10}的子集{a t1,a t2,…,a k}为E的第k个子集,其中,则E的第211个子集是{a1,a2,a5,a7,a8} .【考点】16:子集与真子集.【分析】根据题意,分别讨论2n的取值,通过讨论计算n的可能取值,即可得答案.【解答】解:∵27=128<211,而28=256>211,∴E的第211个子集包含a8,此时211﹣128=83,∵26=64<83,27=128>83,∴E的第211个子集包含a7,此时83﹣64=19,∵24=16<19,25=32>19,∴E的第211个子集包含a5,此时19﹣16=3∵21<3,22=4>3,∴E的第211个子集包含a2,此时3﹣2=1,20=1,∴E的第211个子集包含a1.∴E的第211个子集是{a1,a2,a5,a7,a8};故答案为:{a1,a2,a5,a7,a8}.三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.已知{a n}为等差数列,且a1+a3=8,a2+a4=12.(1)求{a n}的通项公式;(2)设,求数列{b n}的前n项和.【考点】8E:数列的求和;8F:等差数列的性质.【分析】(1)由已知条件可得,解得a1,d,即可;(2)由a n=2n可得,,利用错位相减法数列{b n}的前n项和为T n.【解答】解:(1)由已知条件可得,…解之得a1=2,d=2,…所以,a n=2n.…(2)由a n=2n可得,,设数列{b n}的前n项和为T n.则,…∴,…以上二式相减得=,…所以,.…18.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与p,且乙投球2次均未命中的概率为.(Ⅰ)求乙投球的命中率p;(Ⅱ)若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望.【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差;C7:等可能事件的概率;CG:离散型随机变量及其分布列.【分析】(Ⅰ)根据乙投球2次均未命中的概率为,两次是否投中相互之间没有影响,根据相互独立事件的概率公式写出乙两次都未投中的概率,列出方程,解方程即可.(II)做出甲投球命中的概率和乙投球命中的概率,因为两人共命中的次数记为ξ,得到变量可能的取值,看清楚变量对应的事件,做出事件的概率,写出分布列和期望.【解答】解:(Ⅰ)根据乙投球2次均未命中的概率为,两次是否投中相互之间没有影响,设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B由题意得解得或(舍去),∴乙投球的命中率为.(Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知ξ可能的取值为0,1,2,3,P(ξ=1)=P(A)P()+•P(B)P()P()=∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望.19.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.(Ⅰ)证明:平面PQC⊥平面DCQ(Ⅱ)求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值.【考点】MJ:与二面角有关的立体几何综合题;LY:平面与平面垂直的判定;MN:向量语言表述面面的垂直、平行关系;MR:用空间向量求平面间的夹角.【分析】首先根据题意以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz;(Ⅰ)根据坐标系,求出、、的坐标,由向量积的运算易得•=0,•=0;进而可得PQ⊥DQ,PQ⊥DC,由面面垂直的判定方法,可得证明;(Ⅱ)依题意结合坐标系,可得B、、的坐标,进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ法向量,进而求出cos<,>,根据二面角与其法向量夹角的关系,可得答案.【解答】解:如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz;(Ⅰ)依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0);则=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,﹣1,0),所以•=0,•=0;即PQ⊥DQ,PQ⊥DC,故PQ⊥平面DCQ,又PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ;(Ⅱ)依题意,有B(1,0,1),=(1,0,0),=(﹣1,2,﹣1);设=(x,y,z)是平面的PBC法向量,则即,因此可取=(0,﹣1,﹣2);设是平面PBQ的法向量,则,可取=(1,1,1),所以cos<,>=﹣,故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣.20.已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,短轴上的两个顶点为A,B(A在B的上方),且四边形AF1BF2的面积为8.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM交于点G,求证:A,G,N三点共线.【考点】KL:直线与椭圆的位置关系;K3:椭圆的标准方程.【分析】(1)椭圆C的离心率,可得b=c,四边形AF1BF2是正方形,即a2=8,b=c=2.(2)将已知直线代入椭圆方程化简得:(2k2+1)x2+16kx+24=0设M(x M,kx M+4),N(x N,kx N+4),G(x G,1),MB方程为:y=,则G(,1),欲证A,G,N三点共线,只需证,,共线,即只需(3k+k)x M x n=﹣6(x M+x N)即可.【解答】解:(1)∵椭圆C的离心率,∴b=c,因此四边形AF1BF2是正方形.…∴a2=8,b=c=2.…∴椭圆C的方程为.…(2)证明:将已知直线代入椭圆方程化简得:(2k2+1)x2+16kx+24=0,…△=32(2k2﹣3)>0,解得:k.由韦达定理得:①,x M•x N=,②…设M(x M,kx M+4),N(x N,kx N+4),G(x G,1),MB方程为:y=,则G(,1),…∴,,…欲证A,G,N三点共线,只需证,共线,即(kx N+2)=﹣x N成立,化简得:(3k+k)x M x n=﹣6(x M+x N)将①②代入易知等式成立,则A,G,N三点共线得证.…21.已知函数f(x)=ax﹣(a+1)ln(x+1),其中a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)设f(x)的最小值为g(a),求证:.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6E:利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)先对函数进行求导,根据导函数大于0原函数单调递增,导函数小于0原函数单调递减可得答案;(2)由(1)可知,f(x)的最小值为,a>0,构造函数设,x∈(0,+∞),利用导数研究函数的单调性和最值,即可证明结论.【解答】解:(1)由已知可得函数f(x)的定义域为(﹣1,+∞),而,∵a>0,x>﹣1,∴当时,f'(x)<0,当时,f'(x)>0,∴函数f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是.(2)由(1)可知,f(x)的最小值为,a>0.要证明,只须证明成立.设,x∈(0,+∞).则,∴φ(x)在区间(0,+∞)上是增函数,∴φ(x)>φ(0)=0,即.取得到成立.设ψ(x)=ln(x+1)﹣x,x∈(0,+∞),同理可证ln(x+1)<x.取得到成立.因此,.选修4-4:参数方程与极坐标系22.以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)将直线l:(t为参数)化为极坐标方程;(2)设P是(1)中直线l上的动点,定点A(,),B是曲线ρ=﹣2sinθ上的动点,求|PA|+|PB|的最小值.【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.【分析】(1)由直线l:(t为参数)消去参数t,可得x+y=,利用即可化为极坐标方程;(2)定点A(,),化为A(1,1).曲线ρ=﹣2sinθ化为ρ2=﹣2ρsinθ,可得直角坐标方程:x2+(y+1)2=1.可得圆心C(0,﹣1).连接AC交直线l于点P,交⊙C于点B,可得|PA|+|PB|的最小值=|AC|﹣r.【解答】解:(1)由直线l:(t为参数)消去参数t,可得x+y=,化为极坐标方程ρcosθ+ρsinθ=;(2)定点A(,),化为A(1,1).曲线ρ=﹣2sinθ化为ρ2=﹣2ρsinθ,∴直角坐标方程为:x2+y2=﹣2y,配方为x2+(y+1)2=1.可得圆心C(0,﹣1).连接AC交直线l于点P,交⊙C于点B,|AC|==,∴|PA|+|PB|的最小值=|AC|﹣r=﹣1.选修4-5:不等式选讲23.(1)解不等式:|2x﹣1|﹣|x|<1;(2)设a2﹣2ab+5b2=4对∀a,b∈R成立,求a+b的最大值及相应的a,b.【考点】R5:绝对值不等式的解法;7G:基本不等式在最值问题中的应用.【分析】(1)对x分情况讨论,去绝对值;然后分别解之;(2)设a+b=x,则原方程化为关于a的一元二次方程的形式,利用判别式法,得到x的范围.【解答】解:根据题意,对x分3种情况讨论:①当x<0时,原不等式可化为﹣2x+1<﹣x+1,解得x>0,又x<0,则x不存在,此时,不等式的解集为∅.②当0≤x<时,原不等式可化为﹣2x+1<x+1,解得x>0,又0≤x<,此时其解集为{x|0<x<}.③当x≥时,原不等式可化为2x﹣1<x+1,解得x<2,又由x≥,此时其解集为{x|≤x<2},∅∪{x|0<x<}∪{x|≤x<2}={x|0<x<2};综上,原不等式的解集为{x|0<x<2}.(2)设a+b=x,则原方程化为8a2﹣12ax+5x2﹣4=0,此方程有实根,则△=144x2﹣4×8(5x2﹣4)≥0,解得,所以a+b的最大值为2,此时a=,b=.。

2020-2021学年河南省郑州市高二(下)期末数学试卷(理科)

2020-2021学年河南省郑州市高二(下)期末数学试卷(理科)

2020-2021学年河南省郑州市高二(下)期末数学试卷(理科)试题数:22,总分:1501.(单选题,5分)若复数z=2-i,则|z|=()A. $\sqrt{3}$B.3C. $\sqrt{5}$D.52.(单选题,5分)已知函数f(x)的导函数是f'(x),且满足f(x)=2lnx+x2f'(1),则f'(1)=()A.-2B.0C.1D.23.(单选题,5分)已知随机变量X的分布列如表.则实数a的值为()B. $\frac{1}{4}$C. $\frac{1}{3}$D. $\frac{1}{2}$4.(单选题,5分)下列四个命题:(1)两个变量相关性越强则相关系数r就越接近于1;(2)两个模型中,残差平方和越小的模型拟合的效果越好;(3)在回归模型中,相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率,R2越接近于1,表示回归效果越好;(4)在独立性检验中,随机变量K2的观测值k越小,判断“X与Y有关系”的把握程度越大.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.45.(单选题,5分)校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛,其中2名男同学,3名女同学.现在他们站成一排合影留念,要求2名男同学站在两端,则有()种不同的站法.A.2B.6C.12D.246.(单选题,5分)用反证法证明命题:若|x-1|+(y-1)2=0,则x=y=1,应提出的假设为()A.x,y至少有一个不等于1B.x,y至多有一个不等于1C.x,y都不等于1D.x,y只有一个不等于17.(单选题,5分)“关注夕阳,爱老敬老”,某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金.如表记录了第x年(2016年为第一年)捐赠现金y(万元)的数据情况.由表中数据得到了y关于x的线性回归方程为 $\hat{y}=\hat{b}x+2.95$ ,预测2021年该商会捐赠现金______万元()B.5.25C.5.65D.4.758.(单选题,5分)2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测.对全市的理科数学成绩进行统计分析,发现数学成绩近似地服从正态分布N(96,52).据此估计:在全市抽取6名高三学生的数学成绩,恰有2名同学的成绩超过96分的概率为()A. $\frac{1}{32}$B. $\frac{15}{32}$C. $\frac{1}{64}$D. $\frac{15}{64}$9.(单选题,5分)九月是某集团校的学习交流活动月,来自兄弟学校的4名同学(甲校2名,乙校、丙校各1名)到总校交流学习.现在学校决定把他们分到1,2,3三个班,每个班至少分配1名同学.为了让他们能更好的融入新的班级,规定来自同一学校的同学不能分到同一个班,则不同的分配方案种数为()A.12B.18C.24D.3010.(单选题,5分)如图,第1个图形是由正三边形“扩展”而来,第2个图形是由正四边形“扩展”而来.以此类推,第n个图形是由正(n+2)边形“扩展”而来,其中n∈N*,那么第8个图形共有()个顶点A.72B.90C.110D.13211.(单选题,5分)若函数f(x)=x3-3x在区间(2a,3-a2)上有最大值,则实数a的取值范围是()A.(-3,1)B.(-2,1)C. $({-3,-\frac{1}{2}})$D.(-2,-1]12.(单选题,5分)已知函数f(x)= $\left\{\begin{array}{l}{8x-m,x≤\frac{1}{2}}\\{x{e}^{x}-2mx+m,x>\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ (e是自然对数)在定义域R上有三个零点,则实数m的取值范围是()A.(e,+∞)B.(e,4)C.(e,4]D.[e,4]13.(填空题,5分)平面内一点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为:$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ .由此类比,空间中一点M(1,1,1)到平面a:x+y+z+3=0的距离为 ___ .14.(填空题,5分)已知m,n是不相等的两个实数,且m,n∈{-1,1,5,8}.在方程mx2+ny2=1所表示的曲线中任取一个,此曲线是焦点在x轴上的双曲线的概率为 ___ .15.(填空题,5分)2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日,2021年也是“十四五”开局之年,必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注.作为当代中学生,需要发奋图强,争做四有新人,首先需要学好文化课.现将标有数字2,0,2,1,7,1的六张卡片排成一排,组成一个六位数,则共可组成 ___ 个不同的六位数.16.(填空题,5分)已知关于x的方程${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在(0,+∞)上有解,则实数a的取值范围是 ___ .17.(问答题,10分)已知复数 $z=3+i+\frac{6m}{1-i}$ (m∈R).(Ⅰ)当实数m取什么值时,复数z是纯虚数;(Ⅱ)当实数m取什么值时,复平面内表示复数z的点位于第一、三象限.18.(问答题,12分)在二项式 ${({{x^2}+\frac{2}{\sqrt{x}}})^m}$ (m∈N*)的展开式中,第三项系数是倒数第三项系数的 $\frac{1}{8}$ .(Ⅰ)求m的值;(Ⅱ)求展开式中所有的有理项.19.(问答题,12分)已知数列{a n}满足${a_1}=\frac{2}{5}$ ,a n+1a n+2a n+1=2a n,(n∈N*).(Ⅰ)计算a2,a3,a4的值;(Ⅱ)猜想数列{a n}的通项公式,并用数学归纳法证明.20.(问答题,12分)已知函数f(x)=x2-(a+4)x+2alnx.(Ⅰ)当a=1时,求函数y=f(x)的极值;(Ⅱ)讨论函数y=f(x)的单调性.21.(问答题,12分)2021年5月14日,郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动.某中学为进一步推进书香校园系列活动,增加学生对古典文学的学习兴趣,随机抽取160名学生做统计调查.统计显示,被调查的学生中,喜欢阅读古典文学的男生有40人,占男生调查人数的一半,不喜欢阅读古典文学的女生有20人.(Ⅰ)完成下面列联表,并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关?项(每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖,每个人等可能获奖)现从这160名同学中选出4名男生,6名女生参加活动,记ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).附:22.(问答题,12分)已知函数f(x)=2x2+xlna,g(x)=ae2x lnx,其中a>0.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为0,求a的值;(Ⅱ)若对任意的x∈(0,1),不等式g(x)-f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围.2020-2021学年河南省郑州市高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析试题数:22,总分:1501.(单选题,5分)若复数z=2-i,则|z|=()A. $\sqrt{3}$B.3C. $\sqrt{5}$D.5【正确答案】:C【解析】:由复数模公式可解决此题.【解答】:解:由复数z=2-i,得|z|= $\sqrt{{2}^{2}+(-1)^{2}}$ = $\sqrt{5}$ .故选:C.【点评】:本题考查复数模的运算,考查数学运算能力,属于基础题.2.(单选题,5分)已知函数f(x)的导函数是f'(x),且满足f(x)=2lnx+x2f'(1),则f'(1)=()A.-2B.0C.1D.2【正确答案】:A【解析】:利用导数的公式求导即可.【解答】:解:$f'(x)=\frac{2}{x}+2x\bullet f'(1)$ ,所以f'(1)=2+2f'(1),解得f'(1)=-2.故选:A.【点评】:本题考查常见函数的导数公式,属于基础题.3.(单选题,5分)已知随机变量X的分布列如表.则实数a的值为()B. $\frac{1}{4}$C. $\frac{1}{3}$D. $\frac{1}{2}$【正确答案】:B【解析】:利用分布列的性质,列出方程求解即可.【解答】:解:由题意可知 $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+a+a$ =1,解得a= $\frac{1}{4}$ .故选:B.【点评】:本题考查离散型随机变量的分布列的性质的应用,是基础题.4.(单选题,5分)下列四个命题:(1)两个变量相关性越强则相关系数r就越接近于1;(2)两个模型中,残差平方和越小的模型拟合的效果越好;(3)在回归模型中,相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率,R2越接近于1,表示回归效果越好;(4)在独立性检验中,随机变量K2的观测值k越小,判断“X与Y有关系”的把握程度越大.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【正确答案】:B【解析】:直接利用相关系数的定义,残差平方和的定义,独立性检测的定义判断(1)(2)(3)(4)的结论.【解答】:解:对于(1),两个变量相关性越强则相关系数r就越接近于±1,故(1)错误;对于(2),两个模型中,残差平方和越小的模型拟合的效果越好,故(2)正确;对于(3),在回归模型中,相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率,R2越接近于1,表示回归效果越好,故(3)正确;对于(4),在独立性检验中,随机变量K2的观测值k越小,判断“X与Y有关系”的把握程度越小,故(4)错误.故选:B.【点评】:本题考查的知识要点:相关系数的定义,残差平方和的定义,独立性检测的定义,主要考查学生对基础知识的理解,属于基础题.5.(单选题,5分)校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛,其中2名男同学,3名女同学.现在他们站成一排合影留念,要求2名男同学站在两端,则有()种不同的站法.A.2B.6C.12D.24【正确答案】:C【解析】:根据题意,依次分析男生、女生的排法,由分步计数原理计算可得答案.【解答】:解:根据题意,分2步进行分析:① 将2名男生安排在两端,有A22=2种排法,② 将3名女生安排在中间三个位置,有A33=6种排法,则有2×6=12种排法;故选:C.【点评】:本题考查排列组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.6.(单选题,5分)用反证法证明命题:若|x-1|+(y-1)2=0,则x=y=1,应提出的假设为()A.x,y至少有一个不等于1B.x,y至多有一个不等于1C.x,y都不等于1D.x,y只有一个不等于1【正确答案】:A【解析】:反设是一种对立性假设,即想证明一个命题成立时,可以证明其否定不成立,由此得出此命题是成立的.【解答】:解:由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立进行推证.命题“x,y∈R,若|x-1|+|y-1|=0,则x=y=1”,用反证法证明时应假设x≠1或y≠1,即x,y至少有一个不等于1.故选:A.【点评】:本题考查了反证法,反证法是命题的否定的一个重要运用,用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧.7.(单选题,5分)“关注夕阳,爱老敬老”,某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金.如表记录了第x年(2016年为第一年)捐赠现金y(万元)的数据情况.由表中数据得到了y关于x的线性回归方程为 $\hat{y}=\hat{b}x+2.95$ ,预测2021年该商会捐赠现金______万元()B.5.25C.5.65D.4.75【正确答案】:D【解析】:利用回归直线过样本中心点求出回归方程的斜率,再进行预测.【解答】:解: $\overline{x}=\frac{2+3+4+5}{4}=3.5,\overline{y}=\frac{3.5+4+4+4.5}{4}=4$ ,因为 $\overline{y}=\hat{b}\overline{x}+2.95,\;\\;即4=3.5\hat{b}+2.95$ 即:$4=3.5\hat{b}+2.95$ ,解得 $\hat{b}=0.3$ ,所以回归方程为 $\hat{y}=0.3x+2.95$ ,2021年为第6年,所以当x=6时, $\hat{y}=0.3×6+2.95=4.75$ .故选:D.【点评】:本题考查线性回归方程的求解及其预测功能,属于基础题.8.(单选题,5分)2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测.对全市的理科数学成绩进行统计分析,发现数学成绩近似地服从正态分布N(96,52).据此估计:在全市抽取6名高三学生的数学成绩,恰有2名同学的成绩超过96分的概率为()A. $\frac{1}{32}$B. $\frac{15}{32}$C. $\frac{1}{64}$D. $\frac{15}{64}$【正确答案】:D【解析】:先利用正态分布对称性,求出抽取1名高三学生,数学成绩超过96分的概率为$\frac{1}{2}$ ,然后在利用二项分布的概率公式求解即可.【解答】:解:由题意可知,数学成绩近似地服从正态分布N(96,52),所以抽取1名高三学生,数学成绩超过96分的概率为 $\frac{1}{2}$ ,故所求概率为 ${C}_{6}^{2}×(\frac{1}{2})^{2}×(1-\frac{1}{2})^{4}=\frac{15}{64}$ .故选:D.【点评】:本题考查了正态分布的性质以及二次分布概率公式的应用,考查了逻辑推理能力与运算能力,属于基础题.9.(单选题,5分)九月是某集团校的学习交流活动月,来自兄弟学校的4名同学(甲校2名,乙校、丙校各1名)到总校交流学习.现在学校决定把他们分到1,2,3三个班,每个班至少分配1名同学.为了让他们能更好的融入新的班级,规定来自同一学校的同学不能分到同一个班,则不同的分配方案种数为()A.12B.18C.24D.30【正确答案】:D【解析】:根据题意,分2步进行分析:① 将4名同学分为3组,要求甲校2名不在同一组,② 将分好的3组安排到3个班级,由分步计数原理计算可得答案.【解答】:解:根据题意,分2步进行分析:① 将4名同学分为3组,要求甲校2名不在同一组,有C42-1=5种分组方法,② 将分好的3组安排到3个班级,有A33=6种安排方法,则有5×6=30种分配方法,故选:D.【点评】:本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.10.(单选题,5分)如图,第1个图形是由正三边形“扩展”而来,第2个图形是由正四边形“扩展”而来.以此类推,第n个图形是由正(n+2)边形“扩展”而来,其中n∈N*,那么第8个图形共有()个顶点A.72B.90C.110D.132【正确答案】:C【解析】:列出顶点数与多边形边数,分析归纳出变化规律,从而解得.【解答】:解:由题意可得第n个图形顶点数1 3+3×3=122 4+4×4=203 5+5×5=304 6+6×6=425 ……6 ……7 ……8 10+10×10=110【点评】:本题考查了数据的分析能力及归纳推理能力,属于中档题.11.(单选题,5分)若函数f(x)=x3-3x在区间(2a,3-a2)上有最大值,则实数a的取值范围是()A.(-3,1)B.(-2,1)C. $({-3,-\frac{1}{2}})$D.(-2,-1]【正确答案】:D【解析】:对f(x)求导得f′(x)=3x2-3,求得其最大值点,再根据f(x)在区间(2a,3-a2)上有最大值,求出a的取值范围.【解答】:解:因为函数f(x)=x3-3x,所以f′(x)=3x2-3,当x<-1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当-1<x<1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以当x=-1时,f(x)取得最大值,又f(-1)=f(2)=2,且f(x)在区间(2a,3-a2)上有最大值,所以2a<-1<3-a2≤2,解得-2<a≤-1,所以实数a的取值范围是(-2,-1].故选:D.【点评】:本题考查导数的综合应用,考查了转化思想,属于中档题.12.(单选题,5分)已知函数f(x)= $\left\{\begin{array}{l}{8x-m,x≤\frac{1}{2}}\\{x{e}^{x}-2mx+m,x>\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ (e是自然对数)在定义域R上有三个零点,则实数m的取值范围是()A.(e,+∞)B.(e,4)C.(e,4]D.[e,4]【正确答案】:C【解析】:利用分段函数的解析式,当$x≤\frac{1}{2}$ 时, $x=\frac{m}{8}$ ,当 $x>\frac{1}{2}$ 时,令h(x)= $\frac{x{e}^{x}}{2x-1}$ ( $x>\frac{1}{2}$ ),由导数研究h (x)的性质,得到当m>e时,f(x)在区间 $(\frac{1}{2},+∞)$上有两个零点,结合题意可知, $\frac{m}{8}≤\frac{1}{2}$ ,求解即可得到m的取值范围.【解答】:解:函数f(x)= $\left\{\begin{array}{l}{8x-m,x≤\frac{1}{2}}\\{x{e}^{x}-2mx+m,x>\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ ,当$x≤\frac{1}{2}$ 时,由8x-m=0,解得 $x=\frac{m}{8}$ ,当 $x>\frac{1}{2}$ 时,由xe x-2mx+m=0,解得 $m=\frac{x{e}^{x}}{2x-1}$ ,令h(x)= $\frac{x{e}^{x}}{2x-1}$ ( $x>\frac{1}{2}$ ),则 $h'(x)=\frac{(2x+1)(x-1)}{(2x-1)^{2}}\bullet {e}^{x}$ ,当 $\frac{1}{2}<x<1$ 时,h'(x)<0,则h(x)单调递减,当x>1时,h'(x)>0,则h(x)单调递增,又h(1)=e,所以当m>e时,f(x)在区间 $(\frac{1}{2},+∞)$上有两个零点,由于f(x)在R上有三个零点,所以 $\frac{m}{8}≤\frac{1}{2}$ ,解得m≤4,综上所述,m的取值范围为(e,4].故选:C.【点评】:本题考查了分段函数的理解与应用,函数与方程的应用,解题的关键是对分段函数分类讨论,考查了逻辑推理能力与化简运算能力,属于中档题.13.(填空题,5分)平面内一点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为:$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ .由此类比,空间中一点M(1,1,1)到平面a:x+y+z+3=0的距离为 ___ .【正确答案】:[1]2 $\sqrt{3}$【解析】:类比点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为:$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ,可计算空间中一点M(1,1,1)到平面a:x+y+z+3=0的距离为.【解答】:解:类比点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为:$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ,可计算空间中一点M(1,1,1)到平面a:x+y+z+3=0的距离为$\frac{|1+1+1+3|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}}}$ =2 $\sqrt{3}$ .故答案为:2 $\sqrt{3}$ .【点评】:本题考查类比推理,考查数学运算能力,属于基础题.14.(填空题,5分)已知m,n是不相等的两个实数,且m,n∈{-1,1,5,8}.在方程mx2+ny2=1所表示的曲线中任取一个,此曲线是焦点在x轴上的双曲线的概率为 ___ .【正确答案】:[1] $\frac{1}{4}$【解析】:由题意m,n在所给的数值取的方法及满足条件的求法分别求出,进而求出其概率.【解答】:解:由题意,任取m,n的方法有A ${}_{4}^{2}$ =4×3=12,双曲线的焦点在x轴上的取法有:C ${}_{3}^{1}$ ×1=3,所以曲线是焦点在x轴上的双曲线的概率为: $\frac{3}{12}$ = $\frac{1}{4}$ ;故答案为: $\frac{1}{4}$ .【点评】:本题考查双曲线的性质及古典概率的求法,属于基础题.15.(填空题,5分)2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日,2021年也是“十四五”开局之年,必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注.作为当代中学生,需要发奋图强,争做四有新人,首先需要学好文化课.现将标有数字2,0,2,1,7,1的六张卡片排成一排,组成一个六位数,则共可组成 ___ 个不同的六位数.【正确答案】:[1]150【解析】:根据题意,用间接法分析:先计算“不考虑0不能在首位的限制”的六位数数目,再排除其中“0在首位”的六位数数目,分析可得答案.【解答】:解:根据题意,先不考虑0不能在首位的限制,用数字2,0,2,1,7,1组成六位数,有C62C42A22=180个六位数,其中0在首位的六位数,有C52C32=30个六位数,则有180-30=150个不同的六位数;故答案为:150.【点评】:本题考查排列、组合的应用,涉及分步、分类计数原理的应用,属于基础题.16.(填空题,5分)已知关于x的方程${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在(0,+∞)上有解,则实数a的取值范围是 ___ .【正确答案】:[1][1,+∞)【解析】:将关于x的方程 ${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在(0,+∞)上有解,转化为a=x2e x-2lnx-x(x>0)有解,构造函数f(x)=x2e x-2lnx-x(x>0),利用导数研究f (x)的取值范围,即可得到答案.【解答】:解:令f(x)=x2e x-2lnx-x(x>0),则f'(x)= $\frac{(x+2)({x}^{2}{e}^{x}-1)}{x}$ ,又y=x2e x在(0,+∞)上单调递增,设x0为方程x2e x-1=0的根,即x0满足 ${{x}_{0}}^{2}{e}^{{x}_{0}}=1$ ,所以 ${e}^{{x}_{0}}={{x}_{0}}^{-2}$ ,两边同时取对数,可得x0=-2lnx0,因为x>0,x+2>0,故当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,则f(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)单调递增,且当x→0时,f(x)→+∞,又 $f({x}_{0})={{x}_{0}}^{2}{e}^{{x}_{0}}-2ln{x}_{0}-{x}_{0}=1-2ln{x}_{0}-{x}_{0}$ =1+x0-x0=1,所以当a≥1时,a=x2e x-2lnx-x(x>0)有解,即关于x的方程 ${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在(0,+∞)上有解,故实数a的取值范围是[1,+∞).故答案为:[1,+∞).【点评】:本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用,解决函数零点或方程根的问题,常用的方法有:(1)方程法(直接解方程得到函数的零点);(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解);(3)方程+图象法(令函数为零,再重新构造两个函数,数形结合分析得解).属于中档题.17.(问答题,10分)已知复数 $z=3+i+\frac{6m}{1-i}$ (m∈R).(Ⅰ)当实数m取什么值时,复数z是纯虚数;(Ⅱ)当实数m取什么值时,复平面内表示复数z的点位于第一、三象限.【正确答案】:【解析】:首先把z化成a+bi的形式(Ⅰ)由a=0且b≠0可解决此问题;(Ⅱ)由ab>0可解决此问题.【解答】:解: $z=3+i+\frac{6m}{1-i}=3+i+\frac{6m(1+i)}{(1-i)(1+i)}=(3+3m)+(1+3m)i$(Ⅰ)当复数z是纯虚数时,有 $\left\{\begin{array}{l}3+3m=0\\1+3m≠0\end{array}\right.$ ,解得m=-1.所以当实数m=-1时,复数z是纯虚数.(Ⅱ)当表示复数z的点位于第一、三象限时,有(3+3m)(1+3m)>0,解得m<-1或$m>-\frac{1}{3}$ ,所以当实数$m∈({-∞,-1})∪({-\frac{1}{3},+∞})$时,表示复数z的点位于第一、三象限.【点评】:本题考查复数的代数表示方法及几何意义,考查数学运算能力,属于中档题.18.(问答题,12分)在二项式 ${({{x^2}+\frac{2}{\sqrt{x}}})^m}$ (m∈N*)的展开式中,第三项系数是倒数第三项系数的 $\frac{1}{8}$ .(Ⅰ)求m的值;(Ⅱ)求展开式中所有的有理项.【正确答案】:【解析】:(Ⅰ)写出二项式的通项公式,根据题意可得关于m的方程,求解即可;(Ⅱ)根据二项式展开式的通项公式,求出展开式中所有的有理项.【解答】:解:(Ⅰ)展开式的通项为: ${T_{r+1}}=C_m^r{({x^2})^{m-r}}{({2{x^{-\frac{1}{2}}}})^r}=C_m^r⋅{2^r}⋅{x^{2m-\frac{5}{2}r}}$ ,依题可得:$C_m^2⋅{2^2}=C_m^{m-2}⋅{2^{m-2}}⋅\frac{1}{8}$ ,解得m=7.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,展开式的通项为${T_{r+1}}=C_7^r⋅{2^r}⋅{x^{14-\frac{5}{2}r}}$ ,当r=0,2,4,6时,对应项是有理项,所以展开式中所有的有理项为:${T_1}=C_7^0⋅{2^0}⋅{x^{14}}={x^{14}}$,${T_3}=C_7^2⋅{2^2}⋅{x^{14-5}}=84{x^9}$ ,${T_5}=C_7^4⋅{2^4}⋅{x^{14-10}}=560{x^4}$ ,${T_7}=C_7^6⋅{2^6}⋅{x^{14-15}}=448{x^{-1}}$ .【点评】:本题考查了二项式定理,二项展开式的通项公式,也考查了利用通项公式求特定项的应用问题,属于中档题.19.(问答题,12分)已知数列{a n}满足${a_1}=\frac{2}{5}$ ,a n+1a n+2a n+1=2a n,(n∈N*).(Ⅰ)计算a2,a3,a4的值;(Ⅱ)猜想数列{a n}的通项公式,并用数学归纳法证明.【正确答案】:【解析】:(Ⅰ)利用数列的递推关系式,通过n的取值,求解数列的前几项即可.(Ⅱ)猜想数列的通项公式,然后利用数学归纳法的证明步骤,证明即可.【解答】:解:(Ⅰ)数列{a n}满足 ${a_1}=\frac{2}{5}$ ,a n+1a n+2a n+1=2a n,(n∈N*).n=1时, ${a_2}=\frac{1}{3}$ ,n=2时,解得 ${a_3}=\frac{2}{7}$ ,n=3时,解得${a_4}=\frac{1}{4}$ .(Ⅱ)猜想: ${a_n}=\frac{2}{n+4}$ .证明:① 当n=1时, ${a_1}=\frac{2}{5}=\frac{2}{1+4}$ ,猜想成立;② 假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即 ${a_k}=\frac{2}{k+4}$ .那么,依题可得${a_{k+1}}=\frac{2{a_k}}{{a_k}+2}=\frac{2⋅\frac{2}{k+4}}{\frac{2}{k+4}+2}=\frac{2}{k+5} =\frac{2}{(k+1)+4}$ .所以,当n=k+1时猜想成立.根① 和② ,可知猜想对任何n∈N*都成立.【点评】:本题考查数列的递推关系式的应用,数学归纳法的应用,是中档题.20.(问答题,12分)已知函数f(x)=x2-(a+4)x+2alnx.(Ⅰ)当a=1时,求函数y=f(x)的极值;(Ⅱ)讨论函数y=f(x)的单调性.【正确答案】:【解析】:(Ⅰ)代入a的值,求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出函数的单调区间,求出函数的极值即可;(Ⅱ)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可.【解答】:解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=x2-5x+2lnx,定义域为(0,+∞),$f'(x)=2x-5+\frac{2}{x}=\frac{2{x^2}-5x+2}{x}=\frac{(2x-1)(x-2)}{x}$ ,令f'(x)=0,解得 $x=\frac{1}{2}$ ,或x=2,当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表:当x=2时,f(x)有极小值,且极小值为f(2)=-6+2ln2.(Ⅱ)函数f(x)定义域为(0,+∞),$f'(x)=2x-(a+4)+\frac{2a}{x}=\frac{2{x^2}-(a+4)x+2a}{x}=\frac{(2x-a)(x-2)}{x}$ ,令f'(x)=0得 $x=\frac{a}{2}$ 或x=2,① 若a≤0,则当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.② 若0<a<4,即 $0<\frac{a}{2}<2$ ,则当$x∈({0,\frac{a}{2}})$ 时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当$x∈({\frac{a}{2},2})$ 时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,③ 若a=4,即 $\frac{a}{2}=2$ ,则当x∈(0,+∞)时,f'(x)≥0,f(x)单调递增,④ 若a>4,即 $\frac{a}{2}>2$ ,则当x∈(0,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当$x∈({2,\frac{a}{2}})$ 时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当$x∈({\frac{a}{2},+∞})$时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上:当a≤0时,f(x)的单调递增区间是(2,+∞),单调递减区间是(0,2);当0<a<4时,f(x)的单调递增区间是 $({0,\frac{a}{2}})$ ,(2,+∞),递减区间是$({\frac{a}{2},2})$ ;当a=4时,f(x)的单调递增区间是(0,+∞),无单调递减区间;当a>4时,f(x)的单调递增区间是(0,2), $({\frac{a}{2},+∞})$,单调递减区间是$({2,\frac{a}{2}})$ .【点评】:本题考查了函数的单调性,极值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是难题.21.(问答题,12分)2021年5月14日,郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动.某中学为进一步推进书香校园系列活动,增加学生对古典文学的学习兴趣,随机抽取160名学生做统计调查.统计显示,被调查的学生中,喜欢阅读古典文学的男生有40人,占男生调查人数的一半,不喜欢阅读古典文学的女生有20人.(Ⅰ)完成下面列联表,并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关?项(每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖,每个人等可能获奖)现从这160名同学中选出4名男生,6名女生参加活动,记ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).附:【正确答案】:【解析】:(Ⅰ)利用已知条件完成列联表,求出K2,即可判断能在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关.(Ⅱ)ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数:2,3,4,5,6,求出概率,得到分布列,然后求解期望.【解答】:解:(Ⅰ)由已知可得调查中男生共有80人,女生有80人,其中喜欢阅读古典文学的有60人故列联表为:40×60)}^2}}{100×60×80×80}=\frac{32}{3}=10.667>7.879$ .故能在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关.(Ⅱ)ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数:2,3,4,5,6,$P(ξ=2)=\frac{C_6^2⋅C_4^4}{C_{10}^6}=\frac{15}{210}=\frac{1}{14}$ ,$P(ξ=3)=\frac{C_6^3⋅C_4^3}{C_{10}^6}=\frac{80}{210}=\frac{8}{21}$ ,$P(ξ=4)=\frac{C_6^4⋅C_4^2}{C_{10}^6}=\frac{90}{210}=\frac{3}{7}$ ,$P(ξ=5)=\frac{C_6^5⋅C_4^1}{C_{10}^6}=\frac{24}{210}=\frac{4}{35}$ ,$P(ξ=6)=\frac{C_6^6⋅C_4^0}{C_{10}^6}=\frac{1}{210}$ .∴ξ的分布列为$E(ξ)=2×\frac{1}{14}+3×\frac{8}{21}+4×\frac{3}{7}+5×\frac{8}{70}+6×\frac{1}{210}=3. 6$ .【点评】:本题考查独立检验思想的应用,离散型随机变量的分布列以及期望的求法,是中档题.22.(问答题,12分)已知函数f(x)=2x2+xlna,g(x)=ae2x lnx,其中a>0.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为0,求a的值;(Ⅱ)若对任意的x∈(0,1),不等式g(x)-f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围.【正确答案】:【解析】:(Ⅰ)求导得f'(x)=4x+lna,由导数的几何意义可得k切=f'(1)=0,解得a即可.(Ⅱ)g(x)-f(x)<0恒成立,可转化为 $\frac{lnx}{x}<\frac{2x+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln{e^{2x}}+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln({a⋅{e^{2x}}})}{a⋅{e^{2 x}}}$ ,设 $h(x)=\frac{lnx}{x}$ ,则上式即为h(x)<h(ae2x),判断h(x)的单调性,进而求出a的取值范围.【解答】:解:(Ⅰ)依题可得f'(x)=4x+lna且f'(1)=0,∵曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为0,∴4+lna=0,∴ $a=\frac{1}{e^4}$ .(Ⅱ)由g(x)-f(x)<0,可得ae2x lnx-(2x2+xlna)<0,整理,得 $\frac{lnx}{x}<\frac{2x+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln{e^{2x}}+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln({a⋅{e^{2x}}})}{a⋅{e^{2 x}}}$ ,设 $h(x)=\frac{lnx}{x}$ ,则上式即为h(x)<h(ae2x),∵ $h'(x)=\frac{1-lnx}{x^2}$ ,令 $h'(x)=\frac{1-lnx}{x^2}=0$ ,得x=e,∴当x∈(0,e)时,h'(x)>0,函数h(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,h'(x)<0,函数h(x)单调递减.又当x∈(0,1)时, $h(x)=\frac{lnx}{x}<0$ ,∴h(x)<h(ae2x),∴只需x<ae2x,即 $a>\frac{x}{e^{2x}}$ ,设 $H(x)=\frac{x}{e^{2x}}$ ,则 $H'(x)=\frac{1-2x}{e^{2x}}$ ,令 $H'(x)=\frac{1-2x}{e^{2x}}=0$ ,得 $x=\frac{1}{2}$ ,∴当$x∈({0,\frac{1}{2}})$ 时,H'(x)>0,H(x)单调递增,当$x∈({\frac{1}{2},1})$ 时,H'(x)<0,H(x)单调递减.∴ $H(x)=\frac{x}{e^{2x}}≤\frac{1}{2e}$ ,∴ $a>\frac{1}{2e}$ ,∴a的取值范围为( $\frac{1}{2e}$ ,+∞).【点评】:本题考查导数的综合应用,不等式恒成立问题,解题中注意转化思想的应用,属于中档题.。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析

2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析

2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科)含解析一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,在每小题中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B=()A.(﹣∞,2]B.[1,2]C.[﹣2,2] D.[﹣2,1]2.已知复数=i,则实数a=()A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.23.将点M的极坐标(4,)化成直角坐标为()A.(2,2)B.C.D.(﹣2,2)4.在同一平面的直角坐标系中,直线x﹣2y=2经过伸缩变换后,得到的直线方程为()A.2x′+y′=4 B.2x′﹣y′=4 C.x′+2y′=4 D.x′﹣2y′=45.如图,曲线f(x)=x2和g(x)=2x围成几何图形的面积是()A.B.C.D.46.10件产品中有3件次品,不放回的抽取2件,每次抽1件,在已知第1次抽出的是次品的条件下,第2次抽到仍为次品的概率为()A.B.C.D.7.下列说法中,正确说法的个数是()①命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0”;②“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件;③集合A={1},B={x|ax﹣1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}.A.0 B.1 C.2 D.38.设某批产品合格率为,不合格率为,现对该产品进行测试,设第ε次首次取到正品,则P(ε=3)等于()A.C32()2×()B.C32()2×()C.()2×()D.()2×()9.在10件产品中,有3件一等品,7件二等品,从这10件产品中任取3件,则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率()A. B.C.D.10.函数f(x)=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,2]B.(﹣∞,2)C.(2,+∞)D.[2,+∞)11.函数y=e sinx(﹣π≤x≤π)的大致图象为()A.B. C. D.12.已知曲线C1:y=e x上一点A(x1,y1),曲线C2:y=1+ln(x﹣m)(m>0)上一点B(x2,y2),当y1=y2时,对于任意x1,x2,都有|AB|≥e恒成立,则m的最小值为()A.1 B.C.e﹣1 D.e+1二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13.已知随机变量X服从正态分布X~N(2,σ2),P(X>4)=0.3,则P(X<0)的值为.14.若函数f(x)=x2﹣alnx在x=1处取极值,则a=.15.如图的三角形数阵中,满足:(1)第1行的数为1;(2)第n(n≥2)行首尾两数均为n,其余的数都等于它肩上的两个数相加.则第10行中第2个数是.16.在平面直角坐标系xOy中,直线1与曲线y=x2(x>0)和y=x3(x>0)均相切,切点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2),则的值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17.在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(φ为参数),直线l过点(0,2)且倾斜角为.(Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的参数方程;(Ⅱ)设直线l与圆C交于A,B两点,求弦|AB|的长.18.在直角坐标系xOy中,已知直线l:(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C:ρ2(1+sin2θ)=2.(Ⅰ)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)设点M的直角坐标为(1,2),直线l与曲线C 的交点为A、B,求|MA|•|MB|的值.19.生产甲乙两种元件,其质量按检测指标划分为:指标大于或者等于82为正品,小于82为次品,现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如表:测试指标[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100)元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6(Ⅰ)试分别估计元件甲,乙为正品的概率;(Ⅱ)在(Ⅰ)的前提下,记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数,求随机变量X的分布列和数学期望.20.设函数f(x)=x3﹣+6x.(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若对∀x∈[1,4]都有f(x)>0成立,求a的取值范围.21.为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在55名男性驾驶员中,平均车速超过100km/h的有40人,不超过100km/h的有15人.在45名女性驾驶员中,平均车速超过100km/h 的有20人,不超过100km/h的有25人.(Ⅰ)完成下面的列联表,并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关.平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计(Ⅱ)以上述数据样本来估计总体,现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆,记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列和数学期望.参考公式与数据:Χ2=,其中n=a+b+c+dP(Χ2≥k0)0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822.已知函数f(x)=﹣alnx+1(a∈R).(1)若函数f(x)在[1,2]上是单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)若﹣2≤a<0,对任意x1,x2∈[1,2],不等式|f(x1)﹣f(x2)|≤m||恒成立,求m的最小值.2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,在每小题中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B=()A.(﹣∞,2]B.[1,2]C.[﹣2,2] D.[﹣2,1]【考点】交集及其运算.【分析】先化简集合A,解绝对值不等式可求出集合A,然后根据交集的定义求出A∩B即可.【解答】解:∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1,x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D.2.已知复数=i,则实数a=()A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.2【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数,再根据复数相等的充要条件列出方程组,求解即可得答案.【解答】解:===i,则,解得:a=1.故选:C.3.将点M的极坐标(4,)化成直角坐标为()A.(2,2)B.C.D.(﹣2,2)【考点】简单曲线的极坐标方程.【分析】利用x=ρcosθ,y=ρsinθ即可得出直角坐标.【解答】解:点M的极坐标(4,)化成直角坐标为,即.故选:B.4.在同一平面的直角坐标系中,直线x﹣2y=2经过伸缩变换后,得到的直线方程为()A.2x′+y′=4 B.2x′﹣y′=4 C.x′+2y′=4 D.x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换.【分析】把伸缩变换的式子变为用x′,y′表示x,y,再代入原方程即可求出.【解答】解:由得,代入直线x﹣2y=2得,即2x′﹣y′=4.故选B.5.如图,曲线f(x)=x2和g(x)=2x围成几何图形的面积是()A.B.C.D.4【考点】定积分在求面积中的应用.【分析】利用积分的几何意义即可得到结论.【解答】解:由题意,S===4﹣=,故选:C.6.10件产品中有3件次品,不放回的抽取2件,每次抽1件,在已知第1次抽出的是次品的条件下,第2次抽到仍为次品的概率为()A.B.C.D.【考点】条件概率与独立事件.【分析】根据题意,易得在第一次抽到次品后,有2件次品,7件正品,由概率计算公式,计算可得答案.【解答】解:根据题意,在第一次抽到次品后,有2件次品,7件正品;则第二次抽到次品的概率为故选:C.7.下列说法中,正确说法的个数是()①命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0”;②“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件;③集合A={1},B={x|ax﹣1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}.A.0 B.1 C.2 D.3【考点】命题的真假判断与应用.【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断,③根据集合关系进行判断.【解答】解:①命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0”正确,故①正确,②由|x|>1得x>1或x<﹣1,则“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件;故②正确,③集合A={1},B={x|ax﹣1=0},若B⊆A,当a=0时,B=∅,也满足B⊆A,当a≠0时,B={},由=1,得a=1,则实数a的所有可能取值构成的集合为{0,1}.故③错误,故正确的是①②,故选:C8.设某批产品合格率为,不合格率为,现对该产品进行测试,设第ε次首次取到正品,则P(ε=3)等于()A.C32()2×()B.C32()2×()C.()2×()D.()2×()【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.【分析】根据题意,P(ε=3)即第3次首次取到正品的概率,若第3次首次取到正品,即前两次取到的都是次品,第3次取到正品,由相互独立事件的概率计算可得答案.【解答】解:根据题意,P(ε=3)即第3次首次取到正品的概率;若第3次首次取到正品,即前两次取到的都是次品,第3次取到正品,则P(ε=3)=()2×();故选C.9.在10件产品中,有3件一等品,7件二等品,从这10件产品中任取3件,则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率()A. B.C.D.【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】先求出基本事件总数,再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数,由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.【解答】解:∵在10件产品中,有3件一等品,7件二等品,从这10件产品中任取3件,基本事件总数n==120,取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22,∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===.故选:C.10.函数f(x)=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,2]B.(﹣∞,2)C.(2,+∞)D.[2,+∞)【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率,令f′(x)=2有解;利用有解问题即求函数的值域问题,求出值域即a的范围.【解答】解:f′(x)=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2>2∴a>2故选C11.函数y=e sinx(﹣π≤x≤π)的大致图象为()A.B. C. D.【考点】抽象函数及其应用.【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数,从而排除A、D两个选项,再看此函数的最值情况,即可作出正确的判断.【解答】解:由于f(x)=e sinx,∴f(﹣x)=e sin(﹣x)=e﹣sinx∴f(﹣x)≠f(x),且f(﹣x)≠﹣f(x),故此函数是非奇非偶函数,排除A,D;又当x=时,y=e sinx取得最大值,排除B;故选:C.12.已知曲线C1:y=e x上一点A(x1,y1),曲线C2:y=1+ln(x﹣m)(m>0)上一点B(x2,y2),当y1=y2时,对于任意x1,x2,都有|AB|≥e恒成立,则m的最小值为()A.1 B.C.e﹣1 D.e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】当y1=y2时,对于任意x1,x2,都有|AB|≥e恒成立,可得:=1+ln(x2﹣m),x2﹣x1≥e,一方面0<1+ln(x2﹣m)≤,.利用lnx≤x﹣1(x≥1),考虑x2﹣m≥1时.可得1+ln(x2﹣m)≤x2﹣m,令x2﹣m≤,可得m≥x﹣e x﹣e,利用导数求其最大值即可得出.【解答】解:当y1=y2时,对于任意x1,x2,都有|AB|≥e恒成立,可得:=1+ln(x2﹣m),x2﹣x1≥e,∴0<1+ln(x2﹣m)≤,∴.∵lnx≤x﹣1(x≥1),考虑x2﹣m≥1时.∴1+ln(x2﹣m)≤x2﹣m,令x2﹣m≤,化为m≥x﹣e x﹣e,x>m+.令f(x)=x﹣e x﹣e,则f′(x)=1﹣e x﹣e,可得x=e时,f(x)取得最大值.∴m≥e﹣1.故选:C.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13.已知随机变量X服从正态分布X~N(2,σ2),P(X>4)=0.3,则P(X<0)的值为0.3.【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【分析】根据随机变量X服从正态分布,可知正态曲线的对称轴,利用对称性,即可求得P (X<0).【解答】解:∵随机变量X服从正态分布N(2,o2),∴正态曲线的对称轴是x=2∵P(X>4)=0.3,∴P(X<0)=P(X>4)=0.3.故答案为:0.3.14.若函数f(x)=x2﹣alnx在x=1处取极值,则a=2.【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】求出函数的导数,得到f′(1)=0,得到关于a的方程,解出即可.【解答】解:∵f(x)=x2﹣alnx,x>0,∴f′(x)=2x﹣=,若函数f(x)在x=1处取极值,则f′(1)=2﹣a=0,解得:a=2,经检验,a=2符合题意,故答案为:2.15.如图的三角形数阵中,满足:(1)第1行的数为1;(2)第n(n≥2)行首尾两数均为n,其余的数都等于它肩上的两个数相加.则第10行中第2个数是46.【考点】归纳推理.【分析】由三角形阵可知,上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ,利用累加法可求.【解答】解:设第一行的第二个数为a 1=1,由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ,即a 2﹣a 1=1,a 3﹣a 2=2,a 4﹣a 3=3,…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2,a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1, ∴a n =(a n ﹣a n ﹣1)+(a n ﹣1﹣a n ﹣2)+…+(a 4﹣a 3)+(a 3﹣a 2)+(a 2﹣a 1)+a 1 =(n ﹣1)+(n ﹣2)+…+3+2+1+1 =+1=,∴a 10==46.故答案为:46.16.在平面直角坐标系xOy 中,直线1与曲线y=x 2(x >0)和y=x 3(x >0)均相切,切点分别为A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2),则的值为.【考点】抛物线的简单性质.【分析】求出导数得出切线方程,即可得出结论.【解答】解:由y=x 2,得y ′=2x ,切线方程为y ﹣x 12=2x 1(x ﹣x 1),即y=2x 1x ﹣x 12, 由y=x 3,得y ′=3x 2,切线方程为y ﹣x 23=3x 22(x ﹣x 2),即y=3x 22x ﹣2x 23, ∴2x 1=3x 22,x 12=2x 23, 两式相除,可得=.故答案为:.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 17.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为(φ为参数),直线l 过点(0,2)且倾斜角为.(Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程;(Ⅱ)设直线l 与圆C 交于A ,B 两点,求弦|AB |的长. 【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】(Ⅰ)圆C 的参数方程为(φ为参数),利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程.由题意可得:直线l 的参数方程为.(Ⅱ)依题意,直线l的直角坐标方程为,圆心C到直线l的距离d,利用|AB|=2即可得出.【解答】解:(Ⅰ)圆C的参数方程为(φ为参数),消去参数可得:圆C的普通方程为x2+y2=4.由题意可得:直线l的参数方程为.(Ⅱ)依题意,直线l的直角坐标方程为,圆心C到直线l的距离,∴|AB|=2=2.18.在直角坐标系xOy中,已知直线l:(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C:ρ2(1+sin2θ)=2.(Ⅰ)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)设点M的直角坐标为(1,2),直线l与曲线C 的交点为A、B,求|MA|•|MB|的值.【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.【分析】(Ⅰ)直线l:(t为参数),消去参数t可得普通方程.曲线C:ρ2(1+sin2θ)=2,可得ρ2+(ρsinθ)2=2,把ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入可得直角坐标方程.(Ⅱ)把代入椭圆方程中,整理得,设A,B对应的参数分别为t1,t2,由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|.【解答】解:(Ⅰ)直线l:(t为参数),消去参数t可得普通方程:l:x﹣y+1=0.曲线C:ρ2(1+sin2θ)=2,可得ρ2+(ρsinθ)2=2,可得直角坐标方程:x2+y2+y2=2,即.(Ⅱ)把代入中,整理得,设A,B对应的参数分别为t1,t2,∴,由t得几何意义可知,.19.生产甲乙两种元件,其质量按检测指标划分为:指标大于或者等于82为正品,小于82为次品,现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如表:测试指标[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100)元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6(Ⅰ)试分别估计元件甲,乙为正品的概率;(Ⅱ)在(Ⅰ)的前提下,记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数,求随机变量X的分布列和数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量及其分布列.【分析】(Ⅰ)利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲,乙为正品的概率.(Ⅱ)随机变量X的所有取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量X的分布列和数学期望.【解答】解:(Ⅰ)元件甲为正品的概率约为:,元件乙为正品的概率约为:.(Ⅱ)随机变量X的所有取值为0,1,2,,,,所以随机变量X的分布列为:X 0 1 2P所以:.20.设函数f(x)=x3﹣+6x.(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若对∀x∈[1,4]都有f(x)>0成立,求a的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)问题转化为在区间[1,4]上恒成立,令,根据函数的单调性求出a的范围即可.【解答】解:(Ⅰ)函数的定义域为R,当a=1时,f(x)=x3﹣x2+6x,f′(x)=3(x﹣1)(x﹣2),当x<1时,f′(x)>0;当1<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0,∴f(x)的单调增区间为(﹣∞,1),(2,+∞),单调减区间为(1,2).(Ⅱ)即在区间[1,4]上恒成立,令,故当时,g(x)单调递减,当时,g(x)单调递增,时,∴,即.21.为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在55名男性驾驶员中,平均车速超过100km/h的有40人,不超过100km/h的有15人.在45名女性驾驶员中,平均车速超过100km/h 的有20人,不超过100km/h的有25人.(Ⅰ)完成下面的列联表,并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关.平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100(Ⅱ)以上述数据样本来估计总体,现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆,记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列和数学期望.参考公式与数据:Χ2=,其中n=a+b+c+dP(Χ2≥k0)0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差;独立性检验;离散型随机变量及其分布列.【分析】(Ⅰ)完成下面的列联表,并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关.求出Χ2,即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关.(Ⅱ)根据样本估计总体的思想,从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆,驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率,X可取值是0,1,2,3,,求出概率得到分布列,然后求解期望即可.【解答】解:(Ⅰ)平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为,所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关.…(Ⅱ)根据样本估计总体的思想,从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆,驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为.X可取值是0,1,2,3,,有:,,,,分布列为X 0 1 2 3P.…22.已知函数f(x)=﹣alnx+1(a∈R).(1)若函数f(x)在[1,2]上是单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)若﹣2≤a<0,对任意x1,x2∈[1,2],不等式|f(x1)﹣f(x2)|≤m||恒成立,求m的最小值.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数的导数,问题转化为a≤x2,求出a的范围即可;(2)问题可化为,设,求出函数的导数,问题等价于m≥x3﹣ax在[1,2]上恒成立,求出m的最小值即可.【解答】解:(1)∵在[1,2]上是增函数,∴恒成立,…所以a≤x2…只需a≤(x2)min=1…(2)因为﹣2≤a<0,由(1)知,函数f(x)在[1,2]上单调递增,…不妨设1≤x1≤x2≤2,则,可化为,设,则h(x1)≥h(x2).所以h(x)为[1,2]上的减函数,即在[1,2]上恒成立,等价于m≥x3﹣ax在[1,2]上恒成立,…设g(x)=x3﹣ax,所以m≥g(x)max,因﹣2≤a<0,所以g'(x)=3x2﹣a>0,所以函数g(x)在[1,2]上是增函数,所以g(x)max=g(2)=8﹣2a≤12(当且仅当a=﹣2时等号成立).所以m≥12.即m的最小值为12.…2016年10月17日。

2019-2020学年陕西省西安中学高二下学期期末(理科)数学试卷 (解析版)

2019-2020学年陕西省西安中学高二下学期期末(理科)数学试卷 (解析版)

2019-2020学年陕西西安中学高二第二学期期末数学试卷(理科)一、选择题(共12小题).1.设集合A={x|x2﹣5x+6>0},B={x|x﹣1<0},则A∩B=()A.(﹣∞,1)B.(﹣2,1)C.(﹣3,﹣1)D.(3,+∞)2.已知a为实数,若复数z=(a2﹣1)+(a+1)i为纯虚数,则=()A.i B.﹣i C.1D.﹣13.已知a=,b=4,c=,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.b>c>a4.如图,y=f(x)是可导函数,直线L:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)=()A.﹣1B.0C.2D.45.天干地支纪年法,源于中国中国自古便有十天干与十二地支十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸,十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,比如说第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”…依此类推,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”“乙亥”,之后地支回到“子”重新开始,即“丙子”…依此类推已知1949年为“己丑”年,那么到新中国成立80周年时,即2029年为()A.己丑年B.己酉年C.壬巳年D.辛未年6.若函数f(x)=kx﹣lnx在区间(1,+∞)为增函数,则实数k的取值范围是()A.B.C.[1,+∞)D.(﹣∞,1]7.若a>b>1,﹣1<c<0,则()A.ab c<ba c B.a c>b cC.log a|c|<log b|c|D.b log a|c|>a log b|c|8.已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为()A.B.C.D.9.若实数x,y满足,则z=2x+y﹣1的最小值()A.1B.3C.4D.910.已知x>0,y>0,且,则x+y的最小值为()A.3B.5C.7D.911.已知函数f(x)=x sin x+cos x+,则不等式f(2x+3)﹣f(1)<0的解集为()A.(﹣2,+∞)B.(﹣1,+∞)C.(﹣2,﹣1)D.(﹣∞,﹣1)12.已知函数g(x)=a﹣x2(≤x≤e,e为自然对数的底数)与h(x)=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是()A.[1,+2]B.[1,e2﹣2]C.[+2,e2﹣2]D.[e2﹣2,+∞)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.欧拉公式e iθ=cosθ+i sinθ把自然对数的底数e,虚数单位i,三角函数cosθ和sinθ联系在一起,充分体现了数学的和谐美,被誉为“数学的天桥”.若复数z满足(e iπ+i)•z=i,则|z|=.14.设a>0,若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=.15.直线y=﹣x+1与曲线y=﹣e x﹣a相切,则a的值为.16.已知函数y=f(x)在R上的图象是连续不断的一条曲线,并且关于原点对称,其导函数f'(x)为,当x>0时,有不等式x2f'(x)>﹣2xf(x)成立,若对∀x∈R,不等式e2x f(e x)﹣a2x2f(ax)>0恒成立,则正整数a的最大值为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(Ⅰ)已知不等式x2﹣ax+a﹣2>0(a>2)的解集为(﹣∞,x1)∪(x2,+∞),求的最小值.(Ⅱ)若正数a、b、c满足a+b+c=2,求证:.18.已知椭圆C:=1,直线l:(t为参数).(Ⅰ)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;(Ⅱ)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求点P的坐标.19.已知函数f(x)=e x cos x﹣x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.20.设函数f(x)=|x+1|+|x﹣2|,g(x)=﹣x2+mx+1.(1)当m=﹣4时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)若不等式f(x)<g(x)在[﹣2,﹣]上恒成立,求实数m的取值范围.21.如图,有一种赛车跑道类似“梨形”曲线,由圆弧和线段AB,CD四部分组成,在极坐标系Ox中,A(2,),B(1,),C(1,),D(2,﹣),弧所在圆的圆心分别是(0,0),(2,0),曲线M1是弧,曲线M2是弧.(1)分别写出M1,M2的极坐标方程:(2)点E,F位于曲线M2上,且,求△EOF面积的取值范围.22.已知函数f(x)=lnx﹣x.(1)若函数y=f(x)+m﹣2x+x2在上恰有两个零点,求实数m的取值范围;(2)记函数,设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个极值点,若,且g(x1)﹣g(x2)≥k恒成立,求实数k的最大值.参考答案一、选择题(共12小题).1.设集合A={x|x2﹣5x+6>0},B={x|x﹣1<0},则A∩B=()A.(﹣∞,1)B.(﹣2,1)C.(﹣3,﹣1)D.(3,+∞)【分析】根据题意,求出集合A、B,由交集的定义计算可得答案.解:根据题意,A={x|x2﹣5x+6>0}={x|x>3或x<2},B={x|x﹣1<0}={x|x<1},则A∩B={x|x<1}=(﹣∞,1);故选:A.2.已知a为实数,若复数z=(a2﹣1)+(a+1)i为纯虚数,则=()A.i B.﹣i C.1D.﹣1【分析】根据纯虚数的定义求出a的值,结合复数的运算法则进行化简即可.解:∵z=(a2﹣1)+(a+1)i为纯虚数,∴,即,即a=1,则z=2i,则====i,故选:A.3.已知a=,b=4,c=,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.b>c>a【分析】可得出,然后可比较a2,b2和c2的大小关系,从而可得出a,b,c的大小关系.解:,∵,且,∴b2>c2>a2,∴b>c>a.故选:D.4.如图,y=f(x)是可导函数,直线L:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)=()A.﹣1B.0C.2D.4【分析】先从图中求出切线过的点,再求出直线L的方程,利用导数在切点处的导数值为切线的斜率,最后结合导数的概念求出g′(3)的值.解:∵直线L:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,∴f(3)=1,又点(3,1)在直线L上,∴3k+2=1,从而k=,∴f′(3)=k=,∵g(x)=xf(x),∴g′(x)=f(x)+xf′(x)则g′(3)=f(3)+3f′(3)=1+3×()=0,故选:B.5.天干地支纪年法,源于中国中国自古便有十天干与十二地支十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸,十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,比如说第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”…依此类推,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”“乙亥”,之后地支回到“子”重新开始,即“丙子”…依此类推已知1949年为“己丑”年,那么到新中国成立80周年时,即2029年为()A.己丑年B.己酉年C.壬巳年D.辛未年【分析】由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列,地支是以12为公差的等差数列,以1949年的天干和地支分别为首项,即可求出答案.解:天干是以10为公差构成的等差数列,地支是以12为公差的等差数列,从1949年到2029年经过80年,且1949年为“己丑”年,以1949年的天干和地支分别为首项,则80÷10=8,则2029的天干为己,80÷12=6余8,则2029的地支为酉,故选:B.6.若函数f(x)=kx﹣lnx在区间(1,+∞)为增函数,则实数k的取值范围是()A.B.C.[1,+∞)D.(﹣∞,1]【分析】求出导函数f′(x),由于函数f(x)=kx﹣lnx在区间(1,+∞)单调递增,可得f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立.解出即可.解:f′(x)=k﹣,∵函数f(x)=kx﹣lnx在区间(1,+∞)单调递增,∴f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立.∴k≥,而y=在区间(1,+∞)上单调递减,∴k≥1.故选:C.7.若a>b>1,﹣1<c<0,则()A.ab c<ba c B.a c>b cC.log a|c|<log b|c|D.b log a|c|>a log b|c|【分析】运用对数函数的单调性和不等式的可乘性,即可得到所求大小关系.解:由﹣1<c<0得0<|c|<1,又a>b>1,可得log|c|a<log|c|b<0,则0>log a|c|>log b|c|,0<﹣log a|c|<﹣log b|c|,a>b>1>0,可得﹣a|log b|c|>﹣b log a|c|,即为b log a|c|>a|log b|c|,故选:D.8.已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为()A.B.C.D.【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除B,D,通过函数的单调性排除C,推出结果即可.解:令g(x)=x﹣lnx﹣1,则,由g'(x)>0,得x>1,即函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,由g'(x)<0得0<x<1,即函数g(x)在(0,1)上单调递减,所以当x=1时,函数g(x)有最小值,g(x)min=g(0)=0,于是对任意的x∈(0,1)∪(1,+∞),有g(x)≥0,故排除B、D,因函数g(x)在(0,1)上单调递减,则函数f(x)在(0,1)上递增,故排除C,故选:A.9.若实数x,y满足,则z=2x+y﹣1的最小值()A.1B.3C.4D.9【分析】将目标函数变形画出相应的直线,将直线平移至A(1,2)时纵截距最大,z 最小解:画出实数x,y满足的可行域,作直线y=﹣2x﹣1+z,再将其平移至A(1,2)时,直线的纵截距最小,z最小为3故选:B.10.已知x>0,y>0,且,则x+y的最小值为()A.3B.5C.7D.9【分析】将x+1+y=2(+)(x+1+y)的形式,再展开,利用基本不等式,注意等号成立的条件.解:∵x>0,y>0,且,∴x+1+y=2(+)(x+1+y)=2(1+1++)≥2(2+2)=8,当且仅当=,即x=3,y=4时取等号,∴x+y≥7,故x+y的最小值为7,故选:C.11.已知函数f(x)=x sin x+cos x+,则不等式f(2x+3)﹣f(1)<0的解集为()A.(﹣2,+∞)B.(﹣1,+∞)C.(﹣2,﹣1)D.(﹣∞,﹣1)【分析】根据条件先判断函数是偶函数,然后求函数的导数,判断函数在[0,+∞)上的单调性,结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可.解:f(﹣x)=﹣x sin(﹣x)+cos(﹣x)+=x sin x+cos x+=f(x),则f(x)是偶函数,f′(x)=sin x+x cos x﹣sin x+x=x+x cos x=x(1+cos x),当x≥0时,f′(x)≥0,即函数在[0,+∞)上为增函数,则不等式f(2x+3)﹣f(1)<0得f(2x+3)<f(1),即f(|2x+3|)<f(1),则|2x+3|<1,得﹣1<2x+3<1,得﹣2<x<﹣1,即不等式的解集为(﹣2,﹣1),故选:C.12.已知函数g(x)=a﹣x2(≤x≤e,e为自然对数的底数)与h(x)=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是()A.[1,+2]B.[1,e2﹣2]C.[+2,e2﹣2]D.[e2﹣2,+∞)【分析】由已知,得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解,构造函数f(x)=2lnx﹣x2,求出它的值域,得到﹣a的范围即可.解:由已知,得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解.设f(x)=2lnx﹣x2,求导得:f′(x)=﹣2x=,∵≤x≤e,∴f′(x)=0在x=1有唯一的极值点,∵f()=﹣2﹣,f(e)=2﹣e2,f(x)极大值=f(1)=﹣1,且知f(e)<f(),故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1.从而a的取值范围为[1,e2﹣2].故选:B.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.欧拉公式e iθ=cosθ+i sinθ把自然对数的底数e,虚数单位i,三角函数cosθ和sinθ联系在一起,充分体现了数学的和谐美,被誉为“数学的天桥”.若复数z满足(e iπ+i)•z=i,则|z|=.【分析】利用欧拉公式可得:e iπ=cosπ+i sinπ=﹣1.代入(e iπ+i)•z=i,化简可得z,再利用模的运算性质即可得出.解:e iπ=cosπ+i sinπ=﹣1.∵(e iπ+i)•z=i,∴(﹣1+i)z=i,∴z=,则|z|===.故答案为:.14.设a>0,若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=.【分析】利用定积分表示图形的面积,从而可建立方程,由此可求a的值.解:由题意,曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为==,∴=a2,∴a=.故答案为:.15.直线y=﹣x+1与曲线y=﹣e x﹣a相切,则a的值为2.【分析】求出原函数的导函数,设直线y=﹣x+1与曲线y=﹣e x﹣a相切于(),得到函数在x=x0处的导数,再由题意列关于x0与a的方程组求解.解:由y=﹣e x﹣a,得y′═﹣e x﹣a,设直线y=﹣x+1与曲线y=﹣e x﹣a相切于(),则.∴,解得.∴a的值为2.故答案为:2.16.已知函数y=f(x)在R上的图象是连续不断的一条曲线,并且关于原点对称,其导函数f'(x)为,当x>0时,有不等式x2f'(x)>﹣2xf(x)成立,若对∀x∈R,不等式e2x f (e x)﹣a2x2f(ax)>0恒成立,则正整数a的最大值为2.【分析】可得函数f(x)为R上的奇函数.令g(x)=x2f(x),则g(x)为奇函数.可得g(x)在[0,+∞)单调递增.函数g(x)在R上单调递增.对∀x∈R,不等式e2x f(e x)﹣a2x2f(ax)>0恒成立,⇔e2x f(e x)>a2x2f(ax)﹣ax⇔g(e x)>g(ax).即只需e x>ax.进而得出答案解:定义在R上的函数f(x)关于原点对称,∴函数f(x)为R上的奇函数.令g(x)=x2f(x),则g(x)为奇函数.g′(x)=x2f'(x)+2xf(x),当x>0时,不等式g′(x)>0,g(x)在[0,+∞)单调递增.∴函数g(x)在R上单调递增.不等式e2x f(e x)﹣a2x2f(ax)>0恒成立,⇔e2x f(e x)>a2x2f(ax)﹣ax⇔g(e x)>g (ax).∴e x>ax.当x>0时,a<=h(x),则h′(x)=,可得x=1时,函数h(x)取得极小值即最小值,h(1)=e.∴a<e.此时正整数a的最大值为2.a=2对于x≤0时,e x>ax恒成立.综上可得:正整数a的最大值为2.故答案为:2.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(Ⅰ)已知不等式x2﹣ax+a﹣2>0(a>2)的解集为(﹣∞,x1)∪(x2,+∞),求的最小值.(Ⅱ)若正数a、b、c满足a+b+c=2,求证:.【分析】(Ⅰ)利用根与系数的关系及基本不等式求解的最小值;(Ⅱ)方法一:直接利用基本不等式结合a+b+c=2证明;方法二:由已知结合柯西不等式证明.【解答】(Ⅰ)解:a>2时,△=a2﹣4(a﹣2)>0,∵不等式x2﹣ax+a﹣2>0(a>2)的解集为(﹣∞,x1)∪(x2,+∞),∴方程x2﹣ax+a﹣2=0的两根为x1,x2,由韦达定理可得x1+x2=a,x1x2=a﹣2,∵a>2,∴a﹣2>0,则,当且仅当a=3时取等号.故的最小值为4;(Ⅱ)证法一:由a、b、c为正数且a+b+c=2,由基本不等式,有,三式相加可得:,∴,即(当且仅当a=b=c时等号成立);证法二:由a、b、c为正数且a+b+c=2,由柯西不等式,∴,即(当且仅当a=b=c时等号成立).18.已知椭圆C:=1,直线l:(t为参数).(Ⅰ)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;(Ⅱ)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求点P的坐标.【分析】(Ⅰ)直接利用三角代换写出椭圆C的参数方程,消去此时t可得直线l的普通方程;(Ⅱ)利用两点间距离公式以及点到直线的距离公式,通过椭圆C上的点P满足到点A 的距离与其到直线l的距离相等,列出方程,即可求点P的坐标.解:(Ⅰ)椭圆C:(θ为为参数),l:x﹣y+9=0.…(Ⅱ)设P(2cosθ,sinθ),则|AP|==2﹣cosθ,P到直线l的距离d==.由|AP|=d得3sinθ﹣4cosθ=5,又sin2θ+cos2θ=1,得sinθ=,cosθ=﹣.故P(﹣,).…19.已知函数f(x)=e x cos x﹣x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.【分析】(1)求出f(x)的导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程即可得到所求方程;(2)求出f(x)的导数,再令g(x)=f′(x),求出g(x)的导数,可得g(x)在区间[0,]的单调性,即可得到f(x)的单调性,进而得到f(x)的最值.解:(1)函数f(x)=e x cos x﹣x的导数为f′(x)=e x(cos x﹣sin x)﹣1,可得曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=e0(cos0﹣sin0)﹣1=0,切点为(0,e0cos0﹣0),即为(0,1),曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1;(2)函数f(x)=e x cos x﹣x的导数为f′(x)=e x(cos x﹣sin x)﹣1,令g(x)=e x(cos x﹣sin x)﹣1,则g(x)的导数为g′(x)=e x(cos x﹣sin x﹣sin x﹣cos x)=﹣2e x•sin x,当x∈[0,],可得g′(x)=﹣2e x•sin x≤0,即有g(x)在[0,]递减,可得g(x)≤g(0)=0,则f(x)在[0,]递减,即有函数f(x)在区间[0,]上的最大值为f(0)=e0cos0﹣0=1;最小值为f()=cos﹣=﹣.20.设函数f(x)=|x+1|+|x﹣2|,g(x)=﹣x2+mx+1.(1)当m=﹣4时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)若不等式f(x)<g(x)在[﹣2,﹣]上恒成立,求实数m的取值范围.【分析】(1)求出f(x)的分段函数的形式,代入m的值,求出g(x)的解析式,通过讨论x的范围,解不等式求出不等式的解集即可;(2)问题等价于g(x)>3恒成立,即g(x)min>3,求出m的范围即可.解:(1)f(x)=|x+1|+|x﹣2|,∴f(x)=,当m=﹣4时,g(x)=﹣x2﹣4x+1,①当x≤﹣1时,原不等式等价于x2+2x<0,解得:﹣2<x<0,故﹣2<x≤﹣1;②当﹣1<x<2时,原不等式等价于x2+4x+2<0,解得:﹣2﹣<x<﹣2+,故﹣1<x<﹣2+;③x≥2时,g(x)≤g(2)=﹣11,而f(x)≥f(2)=3,故不等式f(x)<g(x)的解集是空集;综上,不等式f(x)<g(x)的解集是(﹣2,﹣2+);(2)①当﹣2≤x≤﹣1时,f(x)<g(x)恒成立等价于mx>x2﹣2x,又x<0,故m<x﹣2,故m<﹣4;②当﹣1<x≤﹣时,f(x),g(x)恒成立等价于g(x)>3恒成立,即g(x)min>3,只需即可,即,综上,m∈(﹣∞,﹣).21.如图,有一种赛车跑道类似“梨形”曲线,由圆弧和线段AB,CD四部分组成,在极坐标系Ox中,A(2,),B(1,),C(1,),D(2,﹣),弧所在圆的圆心分别是(0,0),(2,0),曲线M1是弧,曲线M2是弧.(1)分别写出M1,M2的极坐标方程:(2)点E,F位于曲线M2上,且,求△EOF面积的取值范围.【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(2)利用三角形的面积公式和极径的应用及三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.曲线是弧,解:(1)由题意可知:M1的极坐标方程为.记圆弧AD所在圆的圆心(2,0)易得极点O在圆弧AD上.设P(ρ,θ)为M2上任意一点,则在△OO1P中,可得ρ=4cosθ().所以:M1,M2的极坐标方程为和ρ=4cosθ().(2)设点E(ρ1,α),点F(),(),所以ρ1=4cosα,.所以==.由于,所以.故.22.已知函数f(x)=lnx﹣x.(1)若函数y=f(x)+m﹣2x+x2在上恰有两个零点,求实数m的取值范围;(2)记函数,设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个极值点,若,且g(x1)﹣g(x2)≥k恒成立,求实数k的最大值.【分析】(1)由题意得函数y=f(x)+m﹣2x+x2=x2﹣3x+lnx+m(x>0),令h(x)=x2﹣3x+lnx+m(x>0),求导,列表分析随着x的变化f′(x),f(x)变化情况,得当x=1时,h(x)的极小值为h(1)=m﹣2,,h(2)=m﹣2+ln2.若函数y=f(x)+m﹣2x+x2在上恰有两个零点,则即解得m的取值范围.(2)由题意得,求导,令g'(x)=0得x2﹣(b+1)x+1=0的两个根是x1,x2,结合韦达定理得x1+x2=b+1,x1x2=1,因为,所解得:,所以g(x1)﹣g(x2)=2lnx1﹣(x12﹣),(0<x1≤),令,求导,分析单调性,得F(x)min,k≤F(x)min,即可得出答案.解:(1)f(x)=lnx﹣x,∴函数y=f(x)+m﹣2x+x2=x2﹣3x+lnx+m(x>0),令h(x)=x2﹣3x+lnx+m(x>0),则,令h'(x)=0得,x2=1,列表得:x1(1,2)2 h'(x)0﹣0+h(x)单调递减极小值单调递增m﹣2+ln2∴当x=1时,h(x)的极小值为h(1)=m﹣2,又,h(2)=m﹣2+ln2.∵函数y=f(x)+m﹣2x+x2在上恰有两个零点∴即,解得.(2)∵,∴,令g'(x)=0得x2﹣(b+1)x+1=0,∵x1,x2是g(x)的极值点,∴x1+x2=b+1,x1x2=1,∴,∵,∴解得:,∴,=令,则,∴F(x)在上单调递减;∴当时,∴k的最大值为.。

安徽省名校联盟2020-2021学年高二下学期期末联考理科数学试题(含答案解析)

安徽省名校联盟2020-2021学年高二下学期期末联考理科数学试题(含答案解析)

2020-2021学年第二学期期末考试卷高二理科数学满分:150分 考试时间:120分钟注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用O .5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清晰.3.请按照题序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效;在草稿纸、试题卷上的答题无效.4.保持答题卡卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.5.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U =Z ,集合{2,}A y y y =<-∈∣Z ,则UA =( )A .{2}y y ∣B .{2,}y y y ∈∣ZC .{2}y y -∣D .{2,}y y y -∈∣Z 2.已知i 为虚数单位,复数z 满足(2+3i )z =-3+2i ,则z 为( ) A .i B . -I C .1+I D .1-i3.若()2,X N μσ~,则( )A .()()a b P X a P X b >⇒><>B .()()a b P X a P X b >⇒>>>C .2()()1a b P X a P X b μ+=⇒>+>>D .2()()1a b P X a P X b μ+=⇒>+><4.某人在网上购买了100只青岛产的虾,开箱打开发现:虾有白色、灰色两种颜色,统计后并制成下面的表:则可以认为大虾与其颜色有关的概率参考公式:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n =a +b +c +d .)2kA .至多为99.9%B .至少为99.5%C .至多为0.5%D .至少为0.1% 5.执行如图所示的程序框图,输出的结果为( )A .4B .8C .16D .646.直线l 过点(2,1),且与双曲线2214x y -=有且只有一个公共点,则这样的不同直线的条数为( )A .1B .2C .3D .47.在平行四边形ABCD 中,设,CB a CD b ==,E 为AD 的靠近D 的三等分点,CE 与BD 交于F ,则AF =( ) A .3144a b --B .3144a b -+C .1344a b --D .1344a b -8.如图所示,在矩形OABC 内,线段AB 与圆弧ODC 相切于D ,已知矩形的长和宽分别为1,现在向矩形OABC 内随机投一质点,则该质点落在图中阴影部分的概率为( )A .4πB .57C 12+D 129.小张在创业之初,于2020年1月5号交了30%的首付(30万元),贷款买了一台价格为100万元的大型设备,约定:还款期为10年,月息为千分之六,从2020年的2月5号开始以等额本金的形式还贷,即每月还本金712万元及本次还款前一个月未还的本金产生的利息.假设受市场影响,小张在2021年的5月5号开始不能如期还款,故小张当天在网上变卖这台设备,结果只卖出50万元,用来一次性还银行贷款以后,则当天小张还差银行( )A .10.3675万元B .11.2500万元C .11.6175万元D .18.7755万元10.动点P ,Q 分别在函数()e ,()22x f x x g x x =+=-的图象上运动,则||PQ 的最小值为( )11.定义1,0,sgn()0,0,int()1,0,x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩为不超过x 的最大整数,例如int(3.1)3,int(1)=1,int( 1.6)=-=-2,若区间[,]m n (n m -为正整数)在数轴上任意滑动,则区间[,]m n 覆盖数轴上整数的个数为( )A.(1)int(sgn())n m n n -+--B.()int(sgn())n m n n -+-C.(1)sgn(int())n m n n -+--D.(1)sgn(int())n m n n -++-12.235log 3,log 8,log 10的大小关系为( )235 A.log 3log 8log 10>>532 B.log 10log 8log 3>> 325 C.log 8log 3log 10>>352 D.log 8log 10log 3>> 二、填空题:共5小题,每小题4分,共20分.13.sin117sin 243+的值为.14.已知实数x ,y 满足不等式组1,121y x y x y x +⎧⎪--⎨⎪-⎩,若13z x y =+,则z 的最大值为.15.若()202403836220012202x ya x a x y a x y a y -=++++,则20i i a =∑的值为.16.在四棱锥P -ABCD 中,若P A =AB =ADBCD =2∠P AB =2∠P AD =2∠BAD =23π,则四棱锥P -ABCD 外接球表面积为.三、解答题:共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.17.(10分)在等差数列{}n a 中,已知13,a a 分别为复数28z i =+的实部与虚部.(1)求{}n a 的通项公式; (2)令13n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n S . 18.(12分)在三角形ABC 中,已知a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,23A π=. (1)若c =2,B =4π,AD 平分角A 交BC 于D ,求AD 的长; (2)若b ,c为函数2()1f x x =+的两个不同的零点,求BC 边上的高. 19.(12分)小张大学毕业后决定选择自主创业,在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格:项目A项目B项目B 的表格中的两个数据丢失,现用x ,y 代替,但调研时发现:投资A ,B 这两个项目的平均利润率相同.以下用频率代替概率,A ,B 两个项目的利润情况互不影响. (1)求x ,y 的值;(2)小张在进行市场调研的同时,拿到了200万人民币的风险投资.现在小张与投资方共同決定对 A ,B 这两个项目分别投资100万元,请预测小张总利润率的概率分布和总利润的数学期望. 20.(12分)如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为等腰梯形,P A ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,BC =2AD =2AB =2DC =2P A =2,对角线AC 与BD 交于O 点,连接PO . (1)求证:AC ⊥PB(2)过B 点作一直线l 平行于PC ,设Q 为直线l 上除B 外的任意点,设直线PQ 与平面P AC 所成角为θ,求sin θ的取值范围21.(12分)已知函数g (x )的图象与函数ln y x =的图象关于直线y =x 对称,()()ln 1f x g x a x =---,设()f x ' 为函数f (x )的导函数(1)当a =1时,求()f x '的零点;(2)当0<a <1时,设()f x 的最小值为()h a ,求证:()0h a >. 22.(12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,右焦点为F ,过F 作x 轴的垂线交双曲线224x y -=1的两条渐近线于E ,G ,得到三角形OEG 的面积为1. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设P ,M ,N 的三个点都在椭圆C 上,设MN 的中点为Q ,且2PO OQ =,试判断△PMN 的面积是 否为定值,并说明理由.2020-2021学年第二学期期末考试高二理科数学参考答案1.【答案】D【解析】由题意可知,{2,}UA y y y =-∈∣Z ,所以选D2.【答案】A【解析】因为(23)32i z i +=-+,所以32(23)2323i i i z i i i-++===++3.【答案】A【解析】由正态分布曲线得,()()a b P X a P X b >⇒>,所以A 正确,B 错.2()a b P X b μ+=⇒>=()()()()()1P X a P X a P X b P X a P X a ⇒+>=>+<=,所以C ,D 错,所以选A .4.【答案】B【解析】补成如下的2×2列联表:所以22100(40252015)8.2497.87960404555K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,所以我们认为大虾与其颜色有关的概率至少为99.5%. 5.【答案】B【解析】最后输出的结果为211228⨯⨯⨯= 6.【答案】B【解析】因为点(2,1)在渐近线上,所以这样的不同直线l 的条数为2,一条与渐近线平行,另外一条(此时斜率不存在)与双曲线相切. 7.【答案】A【解析】如图,在AD 上取G 点,使得AG =GE =ED ,在BC 上由左到右取K ,H ,使得BK =KH =HC ,连接AK ,GH ,则AK ∥GH ∥EC ,因为DE ∥BC 且13DE BC =,所以14DF DB =(相似比),所以4DBDF =,所以131()444AF AD DF a a b a b =+=-+-=--.8.【答案】D【解析】设圆弧所在圆的圆心为E,因为矩形的长和宽分别为1,所以OC=1,所以∠OEC =23π,EO =2,所以图中阴影部分的面积2 2433S ππ⋅==-阴影OABC的面积为412π-=-. 9.【答案】C【解析】小张在2021年的5月5号这一天差银行贷款本金共计7701561.2512-⨯=万元,当天设备 卖了50万还了银行以后还差银行本金为11.25万,再加上2021年4月5号到5月5号产生的利息为7614770150.3675121000400⎛⎫-⨯⨯== ⎪⎝⎭万元,所以小张还差银行11.25+0.3675=11.6175万元. 10.【答案】B【解析】()e ,()e 1x x f x x f x =+∴=+',设动点()00,P x y ,当()y f x =在P 点处切线与g (x )=2x -2平行,过点P 作直线垂线,垂足为点Q 时,||PQ 取得最小值,即为两平行直线间的距离,亦即点P 到直线2x -y -2=0的距离是||PQ 的最小值.令()00e 12xf x =+=',解得00x =,故P (0,1),所以min ||PQ d ===11.【答案】C【解析】因为n -m 为整数,所以当n 为整数时,m 也为整数,所以此时[m ,n ]覆盖数轴上1n m -+个整数,当n 不是整数时,m 也不是整数,所以此时[m ,n ]数轴上覆盖n -m 个整数,可以验证:区间[m ,n ]覆盖数轴上整数的个数为(1)sgn(int())n m n n -+--,所以选C .12.【答案】C【解析】24log 3log 9=,所以只需比较345log 8,log 9,log 10的大小.设()log (5)(2)x f x x x =+>,因为x >2所以22ln ln(5)ln (5)ln(5)5()0ln (5)ln x x x x x x x x f x x x x x'+--+++==<+,记()ln x x xϕ=,所以()ln 10(2)x x x ϕ=+>>'所以()(5)x x ϕϕ<+所以()f x 在(2,+∞)上单调递减,所以选C .13.【答案】0【解析】sin117°+sin243°=cos27°+(-cos27°)=0 14.【答案】113【解析】作出不等式组1,111,3321,y x y x z x y y x z y x +⎧⎪⎪--=+⇒=-+⎨⎪-⎪⎩所对应的可行域如图,其中C (2,3),当且仅当动直线过点C (2,3)时,则z 的最大值为113.15.【答案】203【解析】()20240212020(1)(2)(1)2rrr r rr r r r r T C x y C x y --+=-=-,所以221,0,0i i i a a *-∈><N在()202403836220012202x ya x a x y a x y a y -=++++中,令1,1x y ==-得,20012319203a a a a a a -+-+-+=,即20i i a =∑的值为203.16.【答案】3π【解析】因为∠BAD =3π,∠BCD =23π,所以A +C =π,即四边形ABCD 四点共圆,四棱锥P -ABCD 的外接球与三棱锥P -ABD 的外接球为同一个,又P A =AB =ADP AB =∠P AD =∠BAD =3π所以三棱锥P -ABD 为正四面体,如图,构造棱长1的正方体,正四面体的外接球即为正方体的外接球,易求得外接球半径R =,所以外接球表面积3S π=.17.【解析】(1)设公差为d ,因为13,a a 分别为复数28z i =+的实部与虚部, 所以132,8,a a ==………………(2分)所以2d =8-2,所以d =3,……………………(3分) 所以1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-即{}n a 通项公式为31n a n =-;……………………(5分) (2)11311n n n n n b a a a a ++==-……………………(7分) 所以1212231111111n n n n S b b b a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111323264n n a a n n +=-=-=++………………(10分) 18.【解析】(1)因为sin sin sin 234A BDA B ππ∠π⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sincoscossin34344ππππ=+=,………………(2分)在三角形ABD 中,由正弦定理得, ,sin sin AD cB BDA∠=,………………(4分) 因为c =2,B =4π,所以2sin 1)sin c B AD BDA ∠⋅===;…………(6分) (2)因为b ,c为函数21y x =+的两个不同的零点,所以1b c bc +==,…………(8分) 在三角形ABC中,由余弦定理得,3a ===……(10分)设BC 边上的高为h ,因为11,sin 22ABCABCSah S bc A ==,所以11sin 22ah bc A=,所以sin 236bc A h a ===……………………(12分) 19.【解析】(1)投资项目A 的平均利润率为10%x 50%+5%×40%-5%×10%=0.065,……………(2分) 投资项目B 的平均利润率为10%40%5%5%10%40%5%[(60%)]x y x x ⨯+-=⨯+--10%40%5%(260%)x =⨯+-,……………………(4分)因为投资A ,B 这两个项目的平均利润率相同所以10%×40%+5%(2x -60%)=0.065,解得x =0.55,y =0.05,…………(6分)(2)预测小张的总利润率为X ,则X 的值为10%,7.5%,5%,2.5%,0,-5%,进一步可以预测小张总利润率的概率分布为………………………………………………(10分)小张总利润为200()200(10%20%7.5%43.5%5%22% 2.5% 6.5%5%E X =⨯⨯+⨯+⨯+⨯-⨯0.5%)13()=万元.…………………………(12分)20.【解析】(1)延长BA 、CD 交于一点R , 因为AD ∥BC ,BC =2AD =2AB =2DC =2a ,所以△RBC 为正三角形,且AD 为三角形RBC 的中位线,即A 为BR 边的中点, 所以CA ⊥BA ,……………………………………………………………………(1分) 因为P A ⊥底面ABCD ,AC ⸦平面ABCD ,所以P A ⊥AC ,…………………(2分)因为 AB P A =A ,所以AC ⊥平面P AB ,PB ⸦平面P AB ,所以AC ⊥PB ;…………………………(4分)(2)由(1)得,AP ,AB ,AC 两两垂直,故以A 为原点,射线AB ,AC ,AP 的方向为x ,y ,z 轴正方向建立空间坐标系,…………………(5分) 显然平面P AC 的法向量为1(1,0,0)=n ,…………………(6分)P (0,0,1),C (00),B (1,0,0),所以PC =(01),PB =(1,0,-1),…………………(7分)因为l ∥PC ,所以可设(1,0,1)1)(1,(1))PQ PB tPC t t =+=-+-=-+其中,0t t ∈≠R ,…………………(9分)2||sin ||||1PQ PQ θ⋅===⋅n n ……………………(10分) 因为,0tt ∈≠R ,所以27422,4t t ∞⎡⎫++∈+⎪⎢⎣⎭,所以sin θ⎛= ⎝⎦,当且仅当14t =-时,sin θ=.………………(12分) 21.【解析】由已知得,()e x g x =,所以()e ln 1()x a f x x a -=--∈R ,定义域为(0,)∞+,1()e x a f x x-=-'为(0,)∞+上的增函数…………………………(2分) (1)当a =1时,11111()e ,(1)e 01x f x f x --'=-=-=', 因为11()e x f x x -=-'为(0,)∞+上的增函数 所以()f x '在(0,)∞+上有唯一的零点1;………………(4分)(2)当0<a <1时,1011(1)e e 10,()101a f f a a-=->-=-'=<',……………………(6分) 因为1()e x a f x x-=-'为(0,)∞+上的增函数 所以1()e x a f x x -=-'在(0,)∞+上有唯一的零点0x ,且0x 为函数f (x )的极小值点,………………(8分)因为()00010,e x a f x x -==', 所以()000001()eln 1ln 1x a h a f x x x x -==--=--……………………(10分) 因为0(,1)x a ∈,且()0001ln 1t x x x =--为(0,)∞+上的减函数, 所以()0(1)0t x t >=0,即()0h a >.…………………………(12分)22.【解析】(1)因为椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为2,所以a =,其中c =1分) 双曲线2214x y -=的两条渐近线的方程为2x y =±, 设FG =t ,则OF =2t ,因为三角形OEG 的面积为1,所以12212t t ⋅⋅=,所以t =22c OF t a ====,所以椭圆C 的方程为22142x y +=;……………………(4分) (2)①当直线MN 的斜率不存在时,因为2PO OQ =,所以Q (-1,0),此时MN 的方程为x =-1,或Q (1,0),此时MN 的方程为x =1将x =-1,代入椭圆方程22142x y +=得,1,M N ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭所以△PMN的面积为11||||3222MN PQ ⋅⋅==, 由椭圆轴对称性得:当MN 的方程为x =1时,△PMN6分) ②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 方程为y =kx +m ,设()()()112233,,,,,M x y N x y P x y ,因为MN 的中点为Q ,且2PO OQ =,所以△PMN 的重心是坐标原点O , 所以12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩, 联立y =kx +m 和22142x y +=, 得()()22222214240,Δ824k x kmx m k m +++-==+-, 当Δ0>时,2121222424,2121km m x x x x k k --+==++ 所以()()3312122242,22121km m x y y y k x x m k k ==-+=-+-=-++, 故224km 2,2121m P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 因为点P 在椭圆上,所以代入椭圆整理得22212k m +=,满足Δ0>, 因而m 与k 满足的等式关系为22212k m +=①,…………………………(9分) 当Δ0>时,12x x -==10分 因为△PMN 的重心是坐标原点O ,所以△PMN 的面积为△OMN 的面积的3倍, 设直线l 与y 轴交与点D ,则D (0,m ).那么△PMN 的面积为1213||2221OD x x k ⨯⨯-=+ 关系式①代入得S =综合①②得,△PMN 12分)。

2020-2021学年广东省深圳市高二(下)期末数学模拟试卷

2020-2021学年广东省深圳市高二(下)期末数学模拟试卷

2020-2021学年广东省深圳市高二(下)期末数学模拟试卷试题数:22,总分:1501.(单选题,5分)已知集合A={x∈Z|x<5},B={y|y=2x},则A∩B=()A.(-∞,5)B.(0,5)C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4}2.(单选题,5分)已知复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位),则z的模为()A. √2B. √3C.2D.33.(单选题,5分)安排4名记者到3家公司做采访,每位记者去一家公司,每家公司至少安排一名记者,不同的安排方法共有()A.16种B.18种C.36种D.81种4.(单选题,5分)半径为√2的球O中有一内接圆柱,当该圆柱的侧面积取得最大值时,则圆柱的体积为()A.πB.2πC.4πD.8π5.(单选题,5分)某艺术机构随机调查了50名学员,其中报名插花艺术或瑜伽的学员共有30名,报名插花艺术的学员共有15名,报名瑜伽的学员共有25名,报名插花艺术且瑜伽的学员人数与该艺术机构学员的总数比值的估计值为()A.0.1B.0.15C.0.2D.0.256.(单选题,5分)为了衡量星星的明暗程度,公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮.1850年,由于光度计在天体光度测量的应用,英国天文学家普森又提出了亮度的概念,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=2.5(lgE 2-lgE 1),其中星等为m k 的星的亮度为E k (k=1,2).已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为2.02和1.77,且当|x|较小时,10x ≈1+2.3x+2.7x 2,则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为( ) A.1.28 B.1.26 C.1.24 D.1.227.(单选题,5分)已知直角梯形ABCD ,A=90°,AB || CD ,AD=DC= 12 AB=1,P 是BC 边上的一点,则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A.[-1,1] B.[0,2] C.[-2,2] D.[-2,0]8.(单选题,5分)设函数 f (x )=xln(x +√1+x 2) ,则不等式f (2x )-f (3x-2)>0的解集为( ) A. (−25,0) B.(0,2) C. (25,2)D. (−∞,−2)∪(25,+∞)9.(多选题,5分)已知圆锥曲线C 的一个焦点为F (0,1),则C 的方程可以为( ) A.y 2=4x B. y =14x 2C. x 2m−1+y 2m =1(0<m <1)D. x 21−m+y 2m =1(0<m <1)10.(多选题,5分)已知函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(x ∈R ,A >0,ω>0,|φ|<π2) 的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )A.直线x=2π3是f(x)图象的一条对称轴B.f(x)图象的对称中心为(−π12+kπ,0),k∈ZC.f(x)在区间[−π3,π6]上单调递增D.将f(x)的图象向左平移π12个单位长度后,可得到一个奇函数的图象11.(多选题,5分)已知a>0,b>0,则下列结论正确的是()A.若a>b,则a3+b3>a2b+ab2B.若a+b2=1,则2a−b≥12C.若log a2020>log b2020>0,则e a−b<abD.若a>1,则a+1a−1≥312.(多选题,5分)如图,正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'的所有棱长均为1,点M为对角线A'D上的动点,设过M且与A'D垂直的平面截此正六棱柱所得截面为σ,则下列说法正确的有()A.σ可以为△AB'F'B.σ可以为四边形C.σ可以为五边形D.σ的面积最大值为√15213.(填空题,5分)已知等差数列{a n},a1+a5=a2+3,则S7=___ .14.(填空题,5分)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点是圆M:(x-3)2+y2=1的圆心,且C的长轴长为10,则该椭圆的离心率等于___ .15.(填空题,5分)据气象台监测,在海滨城市A附近的海面有一台风.台风中心位于A东偏南45°方向、距离城市200√3km的海面P处,并以25km/h的速度向西偏北15°方向移动,则台风中心___ 小时后距离城市A最近.如果台风侵袭范围为圆形区域,半径150km,台风移动的方向与速度不变,那么该城市___ (填“会”或“不会”)受台风侵袭.16.(填空题,5分)3σ准则又称为拉依达准则,它是先假设一组检测数据只含有随机误差,对其进行计算处理得到标准偏差,按一定概率确定一个区间,认为凡超过这个区间的误差,就不属于随机误差而是粗大误差,含有该误差的数据应予以剔除.对于正态分布的随机误差,落在±3σ之外的概率只有0.27%,它在有限次测量中发生的可能性很小,故存在3σ准则.3σ准则是最常用也是最简单的粗大误差判别准则.为估计某精密仪器的测量误差,取其n次结果的平均值得εn~N(0,1n2),为误差使εn在(-0.3,0.3)的概率不小于0.9973,至少要测量___ 次.17.(问答题,10分)在① sinA=√2sinB;② tanB=13;③ −√2cosC(acosB+ bcosA)=c这三个条件中任选一个,补充在下列问题中并解答.问题:在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,b 2+c2−a2bccosB=4√23,且____.(1)求tanA;(2)若△ABC的最大边长为4,求△ABC的面积.18.(问答题,12分)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且a n+1-S n=2,其中n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)在a n与a n+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列,求数列{1d n}前n+1项的和T n+1.19.(问答题,12分)2020年5月14日,中国经济“双循环”首次提出——“要深化供给侧结构性改革,充分发挥中国超大规模市场优势和内需潜力,构建国内国际双循环相互促进的新发展格局”.为了解国内不同年龄段的民众服装消费的基本情况,某服装贸易公司从其网站数据库中随机抽取了1000条客户信息进行分析,这些客户一年的服装消费金额数据如表所示.老年50 125 105 (1)若从这1000位客户中随机选一人,请估算该客户的消费期望;(2)把一年服装消费金额满8千元称为“高消费”,否则称为“低消费”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,判断能否有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关?低消费高消费合计年轻人中老年人合计附表及公式:K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.05 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.82820.(问答题,12分)如图,在四面体ABCD中,△BCD为等边三角形,点M,N分别为棱BD,CD的中点,且AD=AM=BM.(1)证明:AN⊥BD;(2)若二面角A-BD-C的大小为2π3,求二面角A-MN-D的余弦值.21.(问答题,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0),动直线l经过C的焦点F,且与C交于A、B两点.当F为线段AB中点时,|AB|=4.(1)求抛物线方程;(2)问:在x轴上是否存在点Q(异于点F),满足|QB||QA|=|BF||AF|?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.22.(问答题,12分)设函数f(x)=sin(x−π4 )√2e x −x,x∈[−π4,π4].(1)求f(x)的极大值点;(2)若f(x1)=f(x2),且x1≠x2,求证:x1+x2<0.2020-2021学年广东省深圳市高二(下)期末数学模拟试卷参考答案与试题解析试题数:22,总分:1501.(单选题,5分)已知集合A={x∈Z|x<5},B={y|y=2x},则A∩B=()A.(-∞,5)B.(0,5)C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4}【正确答案】:C【解析】:利用交集定义直接求解.【解答】:解:∵集合A={x∈Z|x<5},B={y|y=2x}={y|y>0},∴A∩B={1,2,3,4}.故选:C.【点评】:本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.(单选题,5分)已知复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位),则z的模为()A. √2B. √3C.2D.3【正确答案】:A【解析】:利用复数模的运算性质求解即可.【解答】:解:因为z(1+i)=2i,则|z||1+i|=|2i|,即|z|• √2 =2,=√2.所以|z|=√2故选:A.【点评】:本题考查了复数模的求解,解题的关键是掌握复数模的运算性质,属于基础题.3.(单选题,5分)安排4名记者到3家公司做采访,每位记者去一家公司,每家公司至少安排一名记者,不同的安排方法共有()A.16种B.18种C.36种D.81种【正确答案】:C【解析】:根据题意,分2步进行分析:① 将4名记者分为3组,② 将分好后的三组全排列,安排到三家公司,由分步计数原理计算可得答案.【解答】:解:根据题意,分2步进行分析:① 将4名记者分为3组,有C42=6种分组方法,② 将分好后的三组全排列,安排到三家公司,有A33=6种安排方法,则有6×6=36种安排方法,故选:C.【点评】:本题考查排列组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.4.(单选题,5分)半径为√2的球O中有一内接圆柱,当该圆柱的侧面积取得最大值时,则圆柱的体积为()A.πB.2πC.4πD.8π【正确答案】:B【解析】:根据圆柱的底面为球的截面,由球的截面性质得出圆柱的高h、底面半径r与球的半径R之间的关系,用h和r表示出圆柱的侧面积,利用基本不等式求最值,再计算对应圆柱的体积.【解答】:解:画出球内接圆柱的轴截面,如图所示:设圆柱的高为h,底面半径为r,侧面积为S,)2+r2=R2,则(ℎ2解得h=2 √R2−r2.=2πR2,所以圆柱的侧面积为S=2πrh=4πr• √R2−r2=4π √r2(R2−r2)≤4π• √(r2+R2−r2)24R=1,高为h= √2 R=2.当且仅当r2=R2-r2时取等号,此时球内接圆柱底面半径为r= √22圆柱的体积为:V=πr2h=π•12•2=2π.故选:B.【点评】:本题考查了球与圆柱的组合体应用问题,也考查了利用基本不等式求最值问题,是中档题.5.(单选题,5分)某艺术机构随机调查了50名学员,其中报名插花艺术或瑜伽的学员共有30名,报名插花艺术的学员共有15名,报名瑜伽的学员共有25名,报名插花艺术且瑜伽的学员人数与该艺术机构学员的总数比值的估计值为()A.0.1B.0.15C.0.2D.0.25【正确答案】:C【解析】:由集合原理先求出报名插花艺术且瑜伽的学员,即可求得答案.【解答】:解:由题意根据集合原理可知,报名插花艺术且瑜伽的学员有15+25-30=10名,10÷50=0.2,所以报名插花艺术且瑜伽的学员人数与该艺术机构学员的总数比值的估计值为0.2.故选:C.【点评】:本题考查了用样本数字特征估计总体的数字特征的应用,考查了逻辑推理能力,属于基础题.6.(单选题,5分)为了衡量星星的明暗程度,公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮.1850年,由于光度计在天体光度测量的应用,英国天文学家普森又提出了亮度的概念,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=2.5(lgE 2-lgE 1),其中星等为m k 的星的亮度为E k (k=1,2).已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为2.02和1.77,且当|x|较小时,10x ≈1+2.3x+2.7x 2,则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为( ) A.1.28 B.1.26 C.1.24 D.1.22【正确答案】:B【解析】:把已知数据代入公式计算 E1E 2.【解答】:解:由题意2.02-1.77=2.5(lgE 2-lgE 1),可得 lg E1E 2=0.1 ,∴ E1E 2=100.1≈1+2.3×0.1+2.7×0.12=1.257≈1.26 .故选:B .【点评】:本题考查数学新文化,考查阅读理解能力.解题关键是在新环境中抽象出数学知识,用数学的思想解决问题.7.(单选题,5分)已知直角梯形ABCD ,A=90°,AB || CD ,AD=DC= 12 AB=1,P 是BC 边上的一点,则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A.[-1,1] B.[0,2] C.[-2,2] D.[-2,0] 【正确答案】:D【解析】:P 在BC 上,不妨设 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中0≤λ≤1),把 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为关于λ的函数求解即可.【解答】:解:因为P 在BC 上,不妨设 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 则 PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中0≤λ≤1) 所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ )• PC⃗⃗⃗⃗⃗= AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • PC ⃗⃗⃗⃗⃗ + BP ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ) AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ) AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ •(1-λ) BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ)×2× √2 ×cos135°+λ(1-λ)×( √2 )² =-2(1-λ)+2λ(1-λ) =-2λ2+4λ-2=-2(λ-1)²,因为0≤λ≤1,所以-2(λ-1)²∈[-2,0], 故选:D .【点评】:本题考查平面向量的数量积运算,考查数学转化思想,是中档题.8.(单选题,5分)设函数 f (x )=xln(x +√1+x 2) ,则不等式f (2x )-f (3x-2)>0的解集为( ) A. (−25,0) B.(0,2) C. (25,2)D. (−∞,−2)∪(25,+∞) 【正确答案】:C【解析】:先判断函数f (x )为偶函数,然后利用导数判断函数f (x )的单调性,利用奇偶性以及单调性将不等式等价转化为|2x|>|3x-2|,求解即可.【解答】:解:因为函数 f (x )=xln(x +√1+x 2) , 则f (-x )= (−x )ln [(−x )+√1+(−x )2]=−xln 1√x 2+1+x= xln(x +√1+x 2)=f (x ) ,故函数f (x )为偶函数,当x >0时,f'(x )= ln(x +√1+x 2)+x •1+2x 2√x 2+1x+√x 2+1>0 ,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增,不等式f (2x )-f (3x-2)>0,即f (2x )>f (3x-2), 等价于f (|2x|)>f (|3x-2|), 所以|2x|>|3x-2|,解得 25<x <2 .,所以不等式f (2x )-f (3x-2)>0的解集为 (25,2) .故选:C.【点评】:本题考查了函数性质的综合应用,主要考查了函数奇偶性的判断与应用,函数单调性的判断与应用,含有绝对值的不等式的解法,考查了逻辑推理能力与化简运算能力,属于中档题.9.(多选题,5分)已知圆锥曲线C的一个焦点为F(0,1),则C的方程可以为()A.y2=4xB. y=14x2C. x2m−1+y2m=1(0<m<1)D. x21−m +y2m=1(0<m<1)【正确答案】:BC【解析】:由题意可得焦点在y轴上,可得A不正确,将B中的方程写成标准形式可得B正确,由m的范围,将C中的方程写成标准形式,可得C正确,D中由m的范围,如果分母相等时可得曲线为圆,所以D不正确.【解答】:解:由焦点坐标在y轴,而A中焦点在x轴上,可得A不正确,B中标准形式为x2=4y,所以可得焦点坐标为(0,1),所以B正确;C中,因为m∈(0,1),所以m-1<0,所以双曲线的标准形式为y 2m - x21−m=1,且c2=m+1-m=1,所以可得C正确;D中,因为m∈(0,1),所以当m=1-m时,即m= 12,此时曲线为圆,所以D不正确;故选:BC.【点评】:本题考查圆锥曲线的标准方程的写法及焦点坐标的求法和命题真假的判断,属于基础题.10.(多选题,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是()A.直线x=2π3是f(x)图象的一条对称轴B.f(x)图象的对称中心为(−π12+kπ,0),k∈ZC.f(x)在区间[−π3,π6]上单调递增D.将f(x)的图象向左平移π12个单位长度后,可得到一个奇函数的图象【正确答案】:ABC【解析】:由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得函数的解析式,再利用正弦函数的图象和性质,得出结论.【解答】:解:根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象,可得A=2,14• 2πω= 5π12- π6,∴ω=2.结合五点法作图,可得2× π6+φ= π2,∴φ= π6,即 f(x)=2sin(2x+ π6).令x= 2π3,求得f(x)=-2,为最小值,故直线x=2π3是f(x)图象的一条对称轴,故A正确;令x=- π12+kπ,求得f(x)=0,f(x)图象的对称中心为(−π12+kπ,0),k∈Z,故B正确;在区间[−π3,π6]上,2x+ π6∈[- π2,π2'],函数f(x)单调递增,故C正确;将f(x)的图象向左平移π12个单位长度后,可得到y=2sin(2x+ π3)的图象,故D错误,故选:ABC.【点评】:本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,正弦函数的图象和性质,属于中档题.11.(多选题,5分)已知a>0,b>0,则下列结论正确的是()A.若a>b,则a3+b3>a2b+ab2B.若a+b2=1,则2a−b≥12C.若log a2020>log b2020>0,则e a−b<abD.若a>1,则a+1a−1≥3【正确答案】:ACD【解析】:利用作差法判断A ,利用二次函数的性质判断B ,利用构造函数的单调性判断C ,利用基本不等式判断D .【解答】:解:A :∵a >b ,∴(a 3+b 3)-(a 2b+ab 2)=(a-b )2(a+b )>0,∴A 正确, B :∵a+b 2=1,a >0,b >0,∴0<b <1,∴a -b=-b 2-b+1∈(-1,1),∴2a-b ∈( 12 ,2),∴B 错误, C :由log a 2020>log b 2020>0,则1<a <b , 设函数f (x )= e x x ,f′(x )= e x (x−1)x 2 ,则f (x )在(1,+∞)单调递增,所以f (a )<f (b ),即 e a a < e bb ,则有e a-b <ab ,∴C 正确,D :若a >1,则a+ 1a−1 =a-1+ 1a−1 +1≥2 √1 +1=3,当且仅当a-1= 1a−1 ,即a=2时取等号,∴a+ 1a−1 ≥3,∴D 正确. 故选:ACD .【点评】:本题考查了命题真假的判定,涉及到不等式的性质、函数单调性,属于中档题. 12.(多选题,5分)如图,正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'的所有棱长均为1,点M 为对角线A'D 上的动点,设过M 且与A'D 垂直的平面截此正六棱柱所得截面为σ,则下列说法正确的有( )A.σ可以为△AB'F'B.σ可以为四边形C.σ可以为五边形D.σ的面积最大值为√152【正确答案】:ABD【解析】:利用线面垂直的判定定理即可判断选项A ,将平面AB'F'沿直线A'D 方向平移,分析变化过程中σ的形状,即可判断选项B ,C ,当截面σ为矩形时,其投影面积最大,截面σ的面积最大,求解即可判断选项D .【解答】:解:∵四边形A'ABB'为正方形,∴AB'⊥BA',连接BD,在正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'中,∠ABC=∠BCD=120°,则∠DBC=30°,∴∠ABD=90°,∴AB⊥BD,∵B'B⊥BD,AB∩B'B=B,∴BD⊥平面ABB'A',∵AB'⊂平面ABB'A',∴AB'⊥BD,∵BD∩BA'=B,∴AB'⊥平面A'BD,∴A'D⊥AB',∵B'F'⊥A'D,∴A'D⊥平面AB'F',故选项A正确;由题意可知,截面σ与平面AB'F'平行或重合,亦可视为将平面AB'F'沿直线A'D方向平移,若将平面AB'F'向点A'平移,则σ为三角形;若将平面AB'F'向点D平移,则σ的形状变化过程为:等腰三角形→六边形→矩形(四边形)→六边形→等腰三角形,故选项B正确,选项C错误;因为截面σ与底面ABCDEF所成的角相等,欲使截面σ的面积最大,只需考虑其在底面ABCDEF的投影面积最大,故当截面σ为矩形时,其投影面积最大,设B'C'和E'F'的中点分别为P,Q,则矩形BPQF面积为√152,即σ的面积最大值为√152,故选项D正确.故选:ABD.【点评】:本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等,属于中档题.13.(填空题,5分)已知等差数列{a n},a1+a5=a2+3,则S7=___ .【正确答案】:[1]21【解析】:根据已知条件,结合等差数列的性质,以及等差数列的等差中项,即可求解.【解答】:解:∵{a n}为等差数列,∴2a1+4d=a1+d+3,化简可得,a1+3d=3,即a4=3,∴S7=7a4=7×3=21.故答案为:21.【点评】:本题考查了等差数列的性质,以及等差数列的等差中项,需要学生熟练掌握公式,属于基础题.14.(填空题,5分)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点是圆M:(x-3)2+y2=1的圆心,且C的长轴长为10,则该椭圆的离心率等于___ .【正确答案】:[1] 35【解析】:由圆M的方程可得圆心M的坐标,由题意可得椭圆中的c的值,再由长轴长可得a的值,进而求出椭圆的离心率.【解答】:解:由圆M的方程可得圆心M(3,0),所以由题意可得c=3,由题意2a=10,所以a=5,所以椭圆的离心率e= ca = 35,故答案为:35.【点评】:本题考查椭圆的离心率的求法及由圆的方程可得圆心坐标的方法,属于基础题.15.(填空题,5分)据气象台监测,在海滨城市A附近的海面有一台风.台风中心位于A东偏南45°方向、距离城市200√3km的海面P处,并以25km/h的速度向西偏北15°方向移动,则台风中心___ 小时后距离城市A最近.如果台风侵袭范围为圆形区域,半径150km,台风移动的方向与速度不变,那么该城市___ (填“会”或“不会”)受台风侵袭.【正确答案】:[1]12; [2]不会【解析】:由题意画出图形,求解三角形可得台风中心距A最近时,台风中心B距A与P的距离,可得台风中心距离城市A最近的时间;进一步判断城市A是否受到台风影响.【解答】:解:如图,台风中心沿PB由P向B行驶,当台风中心距A最近时,AB⊥PB,由题意可知,∠APB=30°,又AP=200 √3 km,∴AB=200 √3 ×sin30°=100 √3 km,PB= 200√3 ×cos30°=300km,=12 h.而风速为25km/h,∴ 30025即台风中心12小时后距离城市A最近;∵台风侵袭范围为圆形区域的半径150km,且100√3>150,∴该城市不会受到台风侵袭.故答案为:12;不会.【点评】:本题考查解三角形在实际问题中的应用,考查运算求解能力,是基础题.16.(填空题,5分)3σ准则又称为拉依达准则,它是先假设一组检测数据只含有随机误差,对其进行计算处理得到标准偏差,按一定概率确定一个区间,认为凡超过这个区间的误差,就不属于随机误差而是粗大误差,含有该误差的数据应予以剔除.对于正态分布的随机误差,落在±3σ之外的概率只有0.27%,它在有限次测量中发生的可能性很小,故存在3σ准则.3σ准则是最常用也是最简单的粗大误差判别准则.为估计某精密仪器的测量误差,取其n次结果),为误差使εn在(-0.3,0.3)的概率不小于0.9973,至少要测量的平均值得εn~N(0,1n2___ 次.【正确答案】:[1]10【解析】:利用正态分布的意义以及正态分布曲线的对称性进行分析求解即可.【解答】:解:由题意,正态分布的随机误差落在±3σ之外的概率只有0.27%,所以落在(-3σ,3σ)的概率为0.9973,根据正态曲线的对称性,要使误差εn在(-0.3,0.3)的概率不小于0.9973,则3n≤0.3,解得n≥10.故答案为:10.【点评】:本题考查了正态分布曲线的特点以及曲线所表示的意义,解题的关键是利用正态分布曲线的对称性,属于基础题.17.(问答题,10分)在① sinA=√2sinB;② tanB=13;③ −√2cosC(acosB+ bcosA)=c这三个条件中任选一个,补充在下列问题中并解答.问题:在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,b 2+c2−a2bccosB=4√23,且____.(1)求tanA;(2)若△ABC的最大边长为4,求△ABC的面积.【正确答案】:【解析】:(1)利用余弦定理消去边,得到A、B两角余弦值的关系;联立条件① 或② 或③ 、内角和公式,利用三角恒等变换解出tanA;(2)利用“大角对大边“得c=4,利用正弦定理得a,b的值,再求面积.【解答】:解:(1)由b 2+c2−a2bccosB=2bccosAbccosB=4√23有3cosA=2√2cosB(*),则A、B都是锐角.........(2分)若选① sinA=√2sinB,则sinB=√2*)有cosB=2√2由1=cos2B+sin2B=(√2)2+(2√2)2 = 12sin2A+98cos2A又sin2A+cos2A=1且A是锐角,可得sinA=√55,cosA=2√55,所以tanA=12......................(6分)若选② tanB=13,则cosB=3√1010,又由(*)有cosA=2√55,又sin2A+cos2A=1,可得sinA=√55,所以tanA=12......................(6分)若选③ −√2cosC(acosB+bcosA)=c,由正弦定理有−√2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=−√2cosCsinC=sinC,则cosC=−√22,则C=135°,由(*)有3cosA=2√2cosB=2√2cos(180°−135°−A)=2cosA+2sinA,故tanA=12......................(6分)(2)由① ② ③ 都可得sinA=√55,cosA=2√55,sinB=√1010,cosB=3√1010,sinC=√22,................................(8分)因为sinA<sinB<sinC,所以a<b<c,所以最长边c=4,由正弦定理有asinA =bsinB=csinC,则a=4√105,b=4√55,......................(10分)所以△ABC的面积为12absinC=12×4√105×4√55×√22=85...................(12分)【点评】:本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等知识,渗透数形结合、转化与化归、方程等思想,意在考查学生的逻辑推理,数学运算等核心素养.18.(问答题,12分)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且a n+1-S n=2,其中n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)在a n与a n+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列,求数列{1d n}前n+1项的和T n+1.【正确答案】:【解析】:(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式;(2)利用(1)的结论,进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和.【解答】:解:(1)(解法一)设等比数列{a n}的公比为q,已知a n+1-S n=2,当n≥2时,a n-S n-1=2,两式相减可得a n+1-a n-(S n-S n-1)=0,即a n+1=2a n,则q=2,当n=1时,得a2-a1=2,即a1q-a1=2,解得a1=2,故等比数列{a n}的通项公式为a n=2n,n∈N∗.(解法二)设等比数列{a n}的公比为q,已知a n+1-S n=2,当n=1时,得a2-a1=2,即a1q-a1=2,当n=2时,得a3-s2=2,即a1q2−a1q−a1=2,两式相除可得q2-2q=0,因为q≠0,所以q=2,a1=2,故等比数列{a n}的通项公式为a n=2n,n∈N∗.(2)若在a n与a n+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列,则a n+1=a n+(n+2-1)d n,即为2n+1-2n=(n+1)d n,整理得d n=2nn+1,所以1d n=n+12n,(解法一)T n+1=1d1+1d2+1d3+⋅⋅⋅+1d n+1d n+1,即T n+1=221+322+423+⋅⋅⋅+n+12n+n+22n+1,1 2T n+1=222+323+424+⋅⋅⋅+n+12n+1+n+22n+2,两式相减,得12T n+1=1+122(1−12n)1−12−n+22n+2=32−12n+1−n+22n+2,故数列{1d n }前n+1项的和T n+1=3−n+42n+1.(解法二)T n=1d1+1d2+1d3+⋅⋅⋅+1d n−1+1d n,即T n=221+322+423+⋅⋅⋅+n2n−1+n+12n,1 2T n=222+323+424+⋅⋅⋅+n2n+n+12n+1,两式相减得:12T n=1+122(1−12n−1)1−12−n+12n+1=32−12n−n+12n+1,所以T n=3−n+32n,故数列{1d n }前n+1项的和T n+1=3−n+42n+1.【点评】:本题主要考查数列通项a n与前n项和S n的关系、等比数列的定义、等比等差数列的通项公式、错位相减法求和,考察了学生的运算、逻辑推理等核心素养.19.(问答题,12分)2020年5月14日,中国经济“双循环”首次提出——“要深化供给侧结构性改革,充分发挥中国超大规模市场优势和内需潜力,构建国内国际双循环相互促进的新发展格局”.为了解国内不同年龄段的民众服装消费的基本情况,某服装贸易公司从其网站数据库中随机抽取了1000条客户信息进行分析,这些客户一年的服装消费金额数据如表所示.(2)把一年服装消费金额满8千元称为“高消费”,否则称为“低消费”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,判断能否有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关?附表及公式:K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.【正确答案】:【解析】:(1)求出ξ的可能取值,求出概率,再求解期望即可.(2)利用已知条件求解联列表,然后求解K2,即可判断结果.【解答】:解:(1)随机选一人,设该客户的消费额为ξ千元,则ξ的可能取值为:2,6,10,依题意可得,p(ξ=2)=3001000=310,p(ξ=6)=4001000=25,p(ξ=10)=3001000=310,所以该客户的消费期望是:E(ξ)=2×310+6×25+10×310=6千元.(2)2×2列联表如下:K2=1000×(300×200−100×400)2400×600×700×300≈7.937,因为7.937>6.635,所以有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关.【点评】:该题在国内经济“双循环”的大背景下,选取学生熟知的服装消费分析消费者的消费现状,并以此提供决策依据.本题试图考察随机变量的分布列与数学期望,2×2列联表以及独立性检验.并以此检验学生的数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理等数学核心素养.20.(问答题,12分)如图,在四面体ABCD中,△BCD为等边三角形,点M,N分别为棱BD,CD的中点,且AD=AM=BM.(1)证明:AN⊥BD;(2)若二面角A-BD-C的大小为2π3,求二面角A-MN-D的余弦值.【正确答案】:【解析】:(1)不妨设O为MD的中点,且OD=a,则BD=4a,AD=BM=2a,连接AO,NO,MC,通过△AOD∽△BAD,证明AO⊥BD,MC⊥BD,推出ON || MC,证明ON⊥BD,证明BD⊥平面AON,然后证明AN⊥BD.(2)建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,说明∠AON为二面角A-BD-C的平面角,求出平面AMN的一个法向量,平面DMN的一个法向量,利用空间向量的数量积求解二面角A-MN-D的余弦值即可.【解答】:(1)证明:如图1,不妨设O为MD的中点,且OD=a,则BD=4a,AD=BM=2a,连接AO,NO,MC,∵点M为棱BD的中点,且AM=BM,∴BA⊥AD,即∠BAD=π2,………………(1分)∵ AD BD =12=ODAD,且∠ADO=∠BDA,∴△AOD∽△BAD,∴ ∠AOD=∠BAD=π2,即AO⊥BD,………………(2分)又∵△BCD 为等边三角形,点M 为棱BD 的中点, ∴MC⊥BD ,……………………………………………(3分) ∵点O ,N 分别为MD ,CD 的中点, ∴ON || MC ,∴ON⊥BD ,…………………………………(4分) ∵AO ,ON⊂平面AON ,且AO∩ON=O , ∴BD⊥平面AON ,…………………………(5分) 又∵AN⊂平面AON ,∴AN⊥BD . …………………………………(6分) (2)解:建立如图所示空间直角坐标系O-xyz ,由(1)可知,∠AON 为二面角A-BD-C 的平面角,且 AO =NO =√3a , 若二面角A-BD-C 的大小为 2π3 ,则 ∠AON =2π3,……………………(7分)∴ A (0,−√3a2,3a 2) ,M (a ,0,0), N(0,√3a ,0) ,……………………(8分)∴ MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a ,−√3a 2,3a 2) , MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a ,√3a ,0) , 不妨设平面AMN 的一个法向量为 n ⃗ =(x ,y ,z) ,则 {−x −√3y 2+3z 2=0,−x +√3y =0,解得 {x =√3y ,z =√3y , 令y=1,则 n ⃗ =(√3,1,√3) ,……………………(10分)显然 m ⃗⃗ =(0,0,1) 为平面DMN 的一个法向量, ∴ cos <m ⃗⃗ ,n ⃗ >=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n|⃗⃗⃗⃗ =√31×√7=√217,……………………(11分)二面角A-MN-D 的大小即为 <m ⃗⃗ ,n ⃗ > , ∴二面角A-MN-D 的余弦值为 √217.【点评】:本题以空间四面体为载体,主要涉及到线面垂直的位置关系和二面角的求法,重点考查学生的直观想象,逻辑推理,数学运算等核心素养,是中档题.21.(问答题,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0),动直线l经过C的焦点F,且与C交于A、B两点.当F为线段AB中点时,|AB|=4.(1)求抛物线方程;(2)问:在x轴上是否存在点Q(异于点F),满足|QB||QA|=|BF||AF|?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【正确答案】:【解析】:(1)由题意可得AB与x轴垂直,可得A的横坐标与焦点F的相同,纵坐标为2,代入抛物线的方程可得参数p的值,进而求出抛物线的方程;(2)设直线AB的方程与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积,|QB||QA|=|BF||AF|,可得k QA+k QB=0,进而求出存在这样的点Q满足条件.【解答】:解:(1)∵|AB|=4且F为线段AB中点,∴AB⊥x轴,不妨设点A在x轴上方,设A(p2,2),代入C:y2=2px(p>0),有p2=4且p>0,∴p=2;抛物线方程为y2=4x;(2)假设存在点Q(t,0)满足题意,设直线l AB:x=my+1,A(y124,y1),B(y224,y2),由{y2=4x,x=my+1,可得y2-4my-4=0,所以{y1+y2=4m,y1y2=−4.由 |QB||QA|=|BF||FA| ,得 |BF||QB|=|FA||QA| ,由抛物线定义可知∠AQF=∠BQF ,即k QA +k QB =0, k QA +k QB =y 1y 124−t +y2y 224−t =4(y 1+y 2)(y 1y 2−4t )(y 12−4t)(y 22−4t)=0 ,y 1y 2=4t=-4,t=-1,∴Q (-1,0), 综上所述,存在Q (-1,0)满足题意.【点评】:本题主要考查了抛物线的方程,抛物线的定义,探究性问题,考查了学生的运算能力,逻辑推理等核心素养.属于中档题. 22.(问答题,12分)设函数 f (x )=sin(x−π4)√2ex −x , x ∈[−π4,π4] .(1)求f (x )的极大值点;(2)若f (x 1)=f (x 2),且x 1≠x 2,求证:x 1+x 2<0.【正确答案】:【解析】:(1)根据导数符号与函数单调性之间的关系求出函数f (x )的单调性,进而可求得f (x )的极大值点;(2)不妨设x 1<x 2,则 −π4≤x 1<0<x 2≤π4 ,要证x 1+x 2<0,即证x 1<-x 2,即证f (x 2)=f (x 1)<f (-x 2),构造性函数作差证明即可.【解答】:解:(1)因为 f′(x )=cosx e x−1 , f″(x )=−√2sin(x+π4)e x,由 x ∈[−π4,π4] ,得 sin (x +π4)≥0 ,故f''(x )≤0, 所以f'(x )在 x ∈(−π4,π4) 单调递减,又f'(0)=0, 所以f (x )在 [−π4,0] 单调递增,f (x )在 (0,π4) 单调递减, 所以x=0是f (x )的极大值点,(2)证明:不妨设x 1<x 2,则 −π4≤x 1<0<x 2≤π4, 要证x 1+x 2<0,即证x 1<-x 2,又f (x 1)=f (x 2),且x 1≠x 2,f (x )在 (−π4,0) 单调递增,],即证f(x2)<f(-x2),x2∈(0,π4令函数g(x)=f(x)-f(-x),则g'(x)=f'(x)+f'(-x)=cosx(e x+e-x)-2,记h(x)=cosx(e x+e-x)-2,则h'(x)=-sinx(e x+e-x)+cosx(e x-e-x),设m(x)=h'(x),因为m′(x)=-2sinx(e x-e-x)<0,)上单调递减,且h'(0)=0,h'(x)在(0,π4)上单调递减,且h(0)=0,所以h'(x)<0,h(x)在(0,π4)上单调递减,且g(0)=0,即g'(x)<0,g'(x)在(0,π4所以g(x)<0,即f(x)-f(-x)<0,命题得证.【点评】:本题以基本初等函数的极值、单调性问题和不等式证明为载体,考查学生利用导数分析、解决问题的能力,化归转化思想和逻辑推理、数学运算等核心素养,具有较强的综合性.。

福建省三明市2020_2021学年高二数学下学期期末考试试题含解析

福建省三明市2020_2021学年高二数学下学期期末考试试题含解析

福建省三明市2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分).1.已知复数z满足(1+i)=1﹣i(i是虚数单位),则复数z的虚部为()A.1 B.﹣i C.i D.﹣12.2020年是脱贫攻坚年,为顺利完成“两不愁,三保障”,即农村贫困人口不愁吃、不愁穿,农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障,某市拟派出6人组成三个帮扶队,每队两人,对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶,则不同的派出方法种数共有()A.15 B.60 C.90 D.5403.在研究打鼾与患心脏病的关系中,通过收集数据、独立性检验得到“打鼾与患心脏病有关”的结论,并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的,下列说法中正确的是()A.100个吸烟者中至少有99人打鼾B.如果某人患有心脏病,那么这个人有99%的概率打鼾C.在100个心脏病患者中一定有打鼾的人D.在100个心脏病患者中可能一个打鼾的人也没有4.在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且,则以下四种情形中,对应样本的方差最大的一组是()A.p1=p4=0.15,p2=p3=0.35B.p1=p4=0.45,p2=p3=0.05C.p1=p4=0.25,p2=p3=0.25D.p1=p4=0.35,p2=p3=0.155.已知y=f(x)是R上的可导函数,直线是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)的值等于()A.﹣1 B.0 C.2 D.46.在一次期中考试中,数学不及格的人数占30%,语文不及格占10%,两门都不及格占5%,若一名学生语文及格,则该生数学不及格的概率为()A.B.C.D.7.袋子中装有若干个大小相同、质地均匀的黑球和白球,从中任意摸出一个黑球的概率是,依次从中有放回地摸球,每次摸出一个,累计2次摸到黑球即停止.记3次之内(含3次)摸到黑球的次数为ξ,则P(ξ=2)=()A.B.C.D.8.若,则()A.aln2>bln3>cln5 B.cln5>bln3>aln2C.aln2>cln5>bln3 D.cln5>aln2>bln3二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.某企业退休职工黄师傅退休前后每月各类支出占比情况如图,已知退休前工资收入为6000元/月,退休后每月旅行的金额比退休前每月旅行的金额多450元,则下面结论中正确的是()A.黄师傅退休后储蓄支出900元/月B.黄师傅退休工资收入为5000元/月C.黄师傅退休后每月的衣食住支出与退休前相比未发生变化D.黄师傅退休后的其它支出比退休前的其它支出多50元/月10.下列函数在定义域内是增函数的有()A.y=xB.y=C.y=2x﹣2﹣xD.y=x2﹣2x+lnx11.若随机变量ξ~N(0,2),ϕ(x)=P(ξ≤x),其中x>0,则下列等式成立的有()A.ϕ(﹣x)=1﹣ϕ(x)B.ϕ(2x)=2ϕ(x)C.P(|ξ|<x)=2ϕ(x)﹣1 D.P(|ξ|>x)=2﹣2ϕ(x)12.已知函数f(x)=x+a sin x,g(x)=﹣sin2x,∀x1,x2∈R,且x1<x2时,都有f (x2)﹣f(x1)>2g(x1)﹣2g(x2)成立,则实数a的值可以是()A.B.0 C.D.1三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(x+1)(x﹣1)6展开式中x3项的系数为.14.已知函数,则=.15.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1,z1+z2=,则|z1﹣z2|=.16.若正实数x,y满足,则4x+2y的最小值是.四、解答题:本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),并预测2022年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据:.参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:.18.已知复数z1=a+i,z2=1﹣i(a∈R,i为虚数单位).(1)若z1•z2是纯虚数,求实数a的值;(2)若复数在复平面上对应的点在第二象限,求实数a的取值范围.19.在①若展开式倒数三项的二项式系数之和等于46,②若展开式所有项的系数的和为512,③若展开式中第3项与第4项的系数之比为3:7.这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并且完成下列问题.在二项式的展开式中,______.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中的常数项.20.已知函数f(x)=(x+a)lnx,g(x)=a(lnx﹣1).(1)当a=﹣1时,求函数f(x)的极值;(2)若存在x0∈(0,+∞),使得f(x0)=g(x0)成立,求a的取值范围.21.在中国共产党的坚强领导及全国人民的共同努力下,抗击新冠肺炎疫情工作取得了全面胜利,但随着复工复产的推进,某地的疫情出现了反弹,为了防止疫情蔓延,该地立即开展核酸检测工作.为了提高检测效率及降低医耗成本,采用如下方式进行核酸检测:采集5个人的咽拭子共同组成一个标本,对该标本进行检测,若结果呈阳性,说明5个人中有疑似新冠肺炎感染者,则需要进行第二阶段的检测,直到确定出疑似新冠肺炎感染者为止;若结果呈阴性,则无需再进行检测.已知某个标本的检测结果呈阳性且只有1人是疑似新冠肺炎感染者,现提供第二阶段的两种检测方案:方案甲:逐个检测,直到能确定出疑似新冠肺炎感染者为止;方案乙:先任取3人的咽拭子共同组成一个标本进行检测,若结果呈阳性则表明这3人中有1人是疑似新冠肺炎感染者,然后再逐个检测,直到能确定出疑似感染者为止;若结果呈阴性,则在另外2人中任取1人检测,即可确定出疑似感染者.(1)若ξ表示方案甲所需检测的次数,求ξ的期望;(2)以所需检测次数作为决策依据,采用哪个方案效率更高.22.已知函数f(x)=xe x+a(x+1)2(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.参考答案一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分).1.已知复数z满足(1+i)=1﹣i(i是虚数单位),则复数z的虚部为()A.1 B.﹣i C.i D.﹣1解:由(1+i)=1﹣i,得,∴z=i,则复数z的虚部为1.故选:A.2.2020年是脱贫攻坚年,为顺利完成“两不愁,三保障”,即农村贫困人口不愁吃、不愁穿,农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障,某市拟派出6人组成三个帮扶队,每队两人,对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶,则不同的派出方法种数共有()A.15 B.60 C.90 D.540解:分为三步,第一步给甲县分派有C种,第二步给乙县分派有C种,第三步给丙县分派有C种,则总共有C C C=90种方法.故选:C.3.在研究打鼾与患心脏病的关系中,通过收集数据、独立性检验得到“打鼾与患心脏病有关”的结论,并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的,下列说法中正确的是()A.100个吸烟者中至少有99人打鼾B.如果某人患有心脏病,那么这个人有99%的概率打鼾C.在100个心脏病患者中一定有打鼾的人D.在100个心脏病患者中可能一个打鼾的人也没有解:0.01的统计意义是指“打鼾与患心脏病有关”这个结论出错的概率在0.01以下,而不是心脏病患者中打鼾的比例或概率.故选:D.4.在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且,则以下四种情形中,对应样本的方差最大的一组是()A.p1=p4=0.15,p2=p3=0.35B.p1=p4=0.45,p2=p3=0.05C.p1=p4=0.25,p2=p3=0.25D.p1=p4=0.35,p2=p3=0.15解:根据题意,依次分析选项:对于A,E(x)=1×0.15+2×0.35+3×0.35+4×0.15=2.5,所以D(x)=(1﹣2.5)2×0.15+(2﹣2.5)2×0.35+(3﹣2.5)2×0.35+(4﹣2.5)2×0.15=0.85;对于B,E(x)=1×0.45+2×0.05+3×0.05+4×0.45=2.5,所以D(x)=(1﹣2.5)2×0.45+(2﹣2.5)2×0.05+(3﹣2.5)2×0.05+(4﹣2.5)2×0.45=2.05;对于C,E(x)=1×0.25+2×0.25+3×0.25+4×0.25=2.5,所以D(x)=(1﹣2.5)2×0.25+(2﹣2.5)2×0.25+(3﹣2.5)2×0.25+(4﹣2.5)2×0.25=1.25;对于D,E(x)=1×0.35+2×0.15+3×0.15+4×0.45=2.5,所以D(x)=(1﹣2.5)2×0.35+(2﹣2.5)2×0.15+(3﹣2.5)2×0.15+(4﹣2.5)2×0.35=1.65;B选项对应样本的方差最大.故选:B.5.已知y=f(x)是R上的可导函数,直线是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)的值等于()A.﹣1 B.0 C.2 D.4解:∵直线是曲线y=f(x)在x=3处的切线,∴f′(3)=﹣,∵g(x)=xf(x),∴g′(x)=f(x)+xf′(x)则g′(3)=f(3)+3f′(3)==0.故选:B.6.在一次期中考试中,数学不及格的人数占30%,语文不及格占10%,两门都不及格占5%,若一名学生语文及格,则该生数学不及格的概率为()A.B.C.D.解:记“一名学生语文及格”为事件A,“该生数学不及格”为事件B,所以所求概率为P(B|A)=.故选:A.7.袋子中装有若干个大小相同、质地均匀的黑球和白球,从中任意摸出一个黑球的概率是,依次从中有放回地摸球,每次摸出一个,累计2次摸到黑球即停止.记3次之内(含3次)摸到黑球的次数为ξ,则P(ξ=2)=()A.B.C.D.解:ξ=2表示3次中摸到黑球的次数为2,可能的情况有:①前2次是黑球;②3次中后两次是黑球,第1次是白球;③3次中第1次和第3次是黑球,第2次是白球,所以P(ξ=2)=+=.故选:C.8.若,则()A.aln2>bln3>cln5 B.cln5>bln3>aln2C.aln2>cln5>bln3 D.cln5>aln2>bln3解:设函数f(x)=,f'(x)=,当x∈(0,e)时,f'(x)>0,x∈(e,+∞),f'(x)<0,又f(2)=,当x∈(e,+∞)时,f(x)单调递减,则f(5)<f(4)<f(3),即,∵,∴5c>2a>3b,∴cln5>aln2>bln3.故选:D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.某企业退休职工黄师傅退休前后每月各类支出占比情况如图,已知退休前工资收入为6000元/月,退休后每月旅行的金额比退休前每月旅行的金额多450元,则下面结论中正确的是()A.黄师傅退休后储蓄支出900元/月B.黄师傅退休工资收入为5000元/月C.黄师傅退休后每月的衣食住支出与退休前相比未发生变化D.黄师傅退休后的其它支出比退休前的其它支出多50元/月解:由题意可得,退休前的旅行金额为6000×0.05=300,∵退休后每月旅行的金额比退休前每月旅行的金额多450元,∴黄师傅退休工资收入为/月,故B选项正确,黄师傅退休后储蓄支出5000×0.15=750/月,故A选项错误,黄师傅退休后每月的衣食住支出与退休前的支出占各自工资的占比相同,∵黄师傅退休前后工资不同,∴黄师傅退休后每月的衣食住支出与退休前相比发生变化,故C选项错误,∵黄师傅退休前的其它支出为6000×0.2=1200/月,黄师傅退休后的其它支出为5000×0.25=1250/月,∴黄师傅退休后的其它支出比退休前的其它支出多50元/月,故D选项正确.故选:BD.10.下列函数在定义域内是增函数的有()A.y=xB.y=C.y=2x﹣2﹣xD.y=x2﹣2x+lnx解:因为,所以单调递增,又因为为奇函数,所以在R上单调递增,故选项A正确,当x≤﹣1 时,,在(﹣∞,﹣1]单调递增,当x>﹣1时,y=x2+4x+3在(﹣1,+∞)单调递增,但,所以在R上不是单调递增函数,故选项B不正确,y=2x在R上单调递增,y=﹣2﹣x在R上单调递增,所以y=2x﹣2﹣x在R上单调递增,故选项C正确,恒成立,所以在(0,+∞)单调递增,故选项D正确,故选:ACD.11.若随机变量ξ~N(0,2),ϕ(x)=P(ξ≤x),其中x>0,则下列等式成立的有()A.ϕ(﹣x)=1﹣ϕ(x)B.ϕ(2x)=2ϕ(x)C.P(|ξ|<x)=2ϕ(x)﹣1 D.P(|ξ|>x)=2﹣2ϕ(x)解:因为ϕ(x)=P(ξ≤x),由正态曲线的对称性可得,ϕ(﹣x)=1﹣ϕ(x),故选项A正确;ϕ(2x)=P(ξ≤2x),2ϕ(x)=2P(ξ≤x),故选项B错误;因为ϕ(x)=P(ξ≤x),所以P(ξ<﹣x)=P(ξ>x)=1﹣ϕ(x),则P(|ξ|<x)=1﹣2(1﹣ϕ(x))=2ϕ(x)﹣1,故选项C正确;因为P(ξ<﹣x)=P(ξ>x)=1﹣ϕ(x),所以P(|ξ|>x)=2﹣2ϕ(x),故选项D正确.故选:ACD.12.已知函数f(x)=x+a sin x,g(x)=﹣sin2x,∀x1,x2∈R,且x1<x2时,都有f (x2)﹣f(x1)>2g(x1)﹣2g(x2)成立,则实数a的值可以是()A.B.0 C.D.1解:因为∀x1,x2∈R,且x1<x2时,都有f(x2)﹣f(x1)>2g(x1)﹣2g(x2)成立,所以∀x1,x2∈R,且x1<x2时,都有f(x2)+2g(x2)>f(x1)+2g(x1)成立,令F(x)=f(x)+2g(x)=x+a sin x﹣sin2x,则F(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增,F′(x)=1+a cos x﹣cos2x≥0恒成立,所以1+a cos x﹣[2cos2x﹣1]≥0恒成立,所以﹣cos2x+a cos x+≥0恒成立,所以﹣4cos2x+3a cos x+5≥0恒成立,令t=cos x,﹣1≤t≤1,所以﹣4t2+3at+5≥0在[﹣1,1]上恒成立,当t=0时,不等式显然成立,当0<t≤1时,3a≥4t﹣,由4t﹣在(0,1)递增,所以t=1时,4t﹣取得最大值﹣1,所以3a≥﹣1,即a≥﹣,当﹣1≤t<0时,3a≤4t﹣,由4t﹣在(﹣1,0)上单调递增,可得t=﹣1时,取得最小值1,所以3a≤1,即a≤,综上可得a的取值范围为[﹣,].故选:ABC.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(x+1)(x﹣1)6展开式中x3项的系数为﹣5 .解:由题意可得展开式中含x3项为x+1=(15﹣20)x3=﹣5x3,故答案为:﹣5.14.已知函数,则= 4 .解:根据题意,=2×=2f′(1),而函数,则f′(x)=1+,则有f′(1)=2,故=2f′(1)=4;故答案为:4.15.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1,z1+z2=,则|z1﹣z2|=.解:∵复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1,z1+z2=,∴|z1+z2|==1,∴|z1﹣z2|2=2(|z1|2+|z2|2)﹣|z1+z2|2=3,∴|z1﹣z2|=,故答案为:.16.若正实数x,y满足,则4x+2y的最小值是8 .解:因为y>0,y≥﹣y(lnx+ln),所以y≥y﹣y(lnx+ln),所以﹣lnx≥﹣ln,令f(x)=+lnx,f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以f(x)≥f(),推出x≥,所以4x+2y≥+2y≥8,(当且仅当x=时,取等号),所以4x+2y的最小值为8,故答案为:8.四、解答题:本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.如图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),并预测2022年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据:.参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:.解:由折线图中的数据以及参考数据可得,,,,=40.17﹣4×9.32=2.89,所以,则,故y关于t的线性回归方程为;因为2022年对应的t=12,代入回归方程可得,,所以预测2022年我国生活垃圾无害化处理量为2.13亿吨.18.已知复数z1=a+i,z2=1﹣i(a∈R,i为虚数单位).(1)若z1•z2是纯虚数,求实数a的值;(2)若复数在复平面上对应的点在第二象限,求实数a的取值范围.解:(1)因为复数z1=a+i,z2=1﹣i,所以z1•z2=(a+i)(1﹣i)=a+1+(1﹣a)i为纯虚数,所以a+1=0且1﹣a≠0,所以a=﹣1;(2)复数=,因为复数在复平面上对应的点在第二象限,所以,解得﹣1<a<1,所以实数a的取值范围为(﹣1,1).19.在①若展开式倒数三项的二项式系数之和等于46,②若展开式所有项的系数的和为512,③若展开式中第3项与第4项的系数之比为3:7.这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并且完成下列问题.在二项式的展开式中,______.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中的常数项.解:展开式的第k+1项为,k=0,1,2,⋯,n;若选①,则,又n>0,所以n=9;若选②,则2n=512,解得n=9;若选③,则,解得n=9;(1)当k=4或k=5时,二项式系数最大.所以二项式系数最大的项为和;(2)令,得k=6,所以常数项为.20.已知函数f(x)=(x+a)lnx,g(x)=a(lnx﹣1).(1)当a=﹣1时,求函数f(x)的极值;(2)若存在x0∈(0,+∞),使得f(x0)=g(x0)成立,求a的取值范围.解:(1)当a=﹣1时,f(x)=(x﹣1)lnx,函数f(x)的定义域为(0,+∞),,当0<x<1时,,所以,故f(x)单调递减;当x>1时,,所以,故f(x)单调递增.又f′(1)=0,所以f(x)有极小值f(1)=0,无极大值.(2)f(x)=g(x)⇔﹣a=xlnx,令h(x)=xlnx,h(x)的定义域为(0,+∞),h′(x)=1+lnx,令h′(x)>0,解得;令h′(x)<0,解得.所以h(x)在上单调递减,在上单调递增,,当x→+∞时,h(x)→+∞,所以函数h(x)的值域为.由题意可得,所以.21.在中国共产党的坚强领导及全国人民的共同努力下,抗击新冠肺炎疫情工作取得了全面胜利,但随着复工复产的推进,某地的疫情出现了反弹,为了防止疫情蔓延,该地立即开展核酸检测工作.为了提高检测效率及降低医耗成本,采用如下方式进行核酸检测:采集5个人的咽拭子共同组成一个标本,对该标本进行检测,若结果呈阳性,说明5个人中有疑似新冠肺炎感染者,则需要进行第二阶段的检测,直到确定出疑似新冠肺炎感染者为止;若结果呈阴性,则无需再进行检测.已知某个标本的检测结果呈阳性且只有1人是疑似新冠肺炎感染者,现提供第二阶段的两种检测方案:方案甲:逐个检测,直到能确定出疑似新冠肺炎感染者为止;方案乙:先任取3人的咽拭子共同组成一个标本进行检测,若结果呈阳性则表明这3人中有1人是疑似新冠肺炎感染者,然后再逐个检测,直到能确定出疑似感染者为止;若结果呈阴性,则在另外2人中任取1人检测,即可确定出疑似感染者.(1)若ξ表示方案甲所需检测的次数,求ξ的期望;(2)以所需检测次数作为决策依据,采用哪个方案效率更高.解:(1)方案甲化验次数ξ可能取值为1,2,3,4,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,ξ的期望E(ξ)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.4=2.8.(2)设X表示乙方案所需化验次数,X的可能取值为2,3,P(X=2)=,P(X=3)=1﹣,E(X)==,E(ξ)>E(X),∴方案乙的效率更佳.22.已知函数f(x)=xe x+a(x+1)2(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解:(1)由f(x)=xe x+a(x+1)2,可得f′(x)=(x+1)e x+2a(x+1)=(x+1)(e x+2a),①当a≥0时,由f′(x)>0,可得x>﹣1;由f′(x)<0,可得x<﹣1,即有f(x)在(﹣∞,﹣1)递减;在(﹣1,+∞)递增;②当a<0时,由f'(x)=0得x=﹣1或x=ln(﹣2a);若a=﹣,则f'(x)=(x+1)(e x﹣e﹣1),当x≤﹣1时,f′(x)≥0,当x>﹣1时,f'(x)>0;∴∀x∈R,f'(x)≥0恒成立,即有f(x)在R上递增;若a<﹣时,则ln(﹣2a)>﹣1;由f′(x)>0,可得x<﹣1或x>ln(﹣2a);由f′(x)<0,可得1<x<ln(﹣2a).即有f(x)在(﹣∞,﹣1),(ln(﹣2a),+∞)递增;在(﹣1,ln(﹣2a))递减;若0>a>﹣,则ln(﹣2a)<﹣1,由f′(x)>0,可得x<ln(﹣2a)或x>﹣1;由f′(x)<0,可得ln(﹣2a)<x<﹣1.即有f(x)在(﹣∞,ln(﹣2a)),(﹣1,+∞)递增;在(ln(﹣2a),﹣1)递减.(2)①由(1)可得当a>0时,f(x)在(﹣∞,﹣1)递减;在(﹣1,+∞)递增,且f(﹣1)=﹣,f(0)=a,取b满足b<﹣1且b﹣2<ln.则f(b﹣2)>(b ﹣2)+a(b﹣1)2=a(b2﹣b)>0,∴f(x)有两个零点;②当a=0时,f(x)=xe x,所以f(x)只有一个零点x=0;③当a<0时,若a<﹣时,由(1)知f(x)在(﹣1,ln(﹣2a))递减,在(﹣∞,﹣1),(ln(﹣2a),+∞)递增,又当x≤﹣1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点;当a≥﹣时,由(1)知,f(x)在(﹣1,+∞)单调增,又当x≤﹣1时,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;综上可得,f(x)有两个零点时,a的取值范围为(0,+∞).。

茂名市2020-2021学年高二下学期期末考试 数学试题(含答案)

茂名市2020-2021学年高二下学期期末考试 数学试题(含答案)

茂名市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题一、选择题:每小题5分,共40分.1.已知集合{0,1,2,3,4}A =,{}240B xx x =-<∣,则A B 中元素的个数为( ) A .2 B .3 C .4D .52.已知命题:1p x ∀>,4220212022x x +>,则p ⌝为( ) A .1x ∃≤,4220212022x x +≤ B .1x ∀>,4220212022x x +≤ C .1x ∃>,4220212022x x +≤ D .1x ∀≤,4220212022x x +>3.已知双曲线()222:10,0x y C a b a b2-=>>的一条渐近线为第一象限与第三象限的角平分线,则C 的离心率为( )A B C .2D .34.已知倾斜角为α的直线l 与直线:30l x y '-=平行,则222sin 2cos 2cos sin αααα--的值为( ) A .3- B .57- C .518D .35.冼夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区,现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游,若每个景区至少有1名学生前去,且每名学生只去一个景点,则不同的旅游方案种数为( ) A .120 B .180 C .240 D .360 6.某圆柱的轴截面是周长为4的矩形,则该圆柱的侧面积的最大值是( )A .2π B .π C .32π D .2π7.记ABC ∆的面积为S ,若10AC BC +=,6AB = ,则S 的最大值为( ) A .4 B .6 C .12 D .24 8.草地贪夜蛾是一种起源于美洲的繁殖能力很强的农业害虫,日增长率为8%,若100只草地贪夜蛾经过t 天后,数量落在区间(67210,210⨯⨯⎤⎦内,则t 的值可能为(参考数据:lg1.080.0334≈,lg 20.301≈)( ) A .80B .120C .150D .200二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知复数z 满足()712z i i +=-,则( )A .z 的虚部为12B .z 的共轭复数为3122i -- C .252z =D .z 在复平面内对应的点位于第二象限10.茂名市某单位在定点帮扶贫困村A 村的过程中,因地制宜,优化产业结构,使得该村人均年纯收入逐年提高. A 村村民2016,2017,2019,2020年这4年的人均年纯收入y (单位:万元)与年份代号x 之若y 与x 线性相关,且求得其线性回归方程为2y x =-,则下列说法错误的是( ) A .人均纯收人y (单位:万元)与年份代号x 负相关 B .8m n +=C .从2016年起,每经过1年,村民人均年纯收入约增加1万元D .2023年A 村人均年纯收人约为11万元11.已知函数()()2sin 0,()f x x m ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示,52AB =,则下列结论正确的是( )A .3πω=B .6πϕ=C .把函数()f x 的图象向左平移32个单位长度后得到函数()2cos 3x g x π=-的图象 D .把()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的6π倍,纵坐标不变,得到的函数在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数12.已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数,其导函数为()f x ',若()05f =,且()()2f x f x '->,则使不等式()32xf x e ≤+成立的x 的值不可能为( )A .2-B .1-C .1D .2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量()3,4a =,3b =,()3a b b -⊥,则向量a ,b 夹角的余弦值为 . 14.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a =,234512a a a =,则2a 的值为 ,若()12n n a a n ->≥,则10S = .(本题第一空2分,第二空3分)15.已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数,且()f x 在区间()0,1内单调递减,在区间(1,)∞+上单调递增,写出一个满足条件的函数()f x = .16.在我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.如图,已知三棱柱111ABC A B C -是一“堑堵”,2AC BC ==,1AA D 为11B C 的中点.则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①416S =,②()21512a a a =+,③2n S n tn =+三个条件中任选一个,补充到下面问题并解答.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,23a =, , 若11n n n a b a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T .注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c=. (1)求角B 的大小;(2)若ABC ∆ABC ∆的外接圆半径为3,试判断ABC ∆的形状,并说明理由.19.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,AB BC ⊥,//BC AD ,1AB BC ==,2AD =,3AP =.(1)证明:平面PCD ⊥平面PAC ;(2)求平面PCD 与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值.20.随着智能手机的迅速普及,外卖点餐也开始成为不少人日常饮食中的一部分,但方便群众生活的同时,部分外卖派送人员诸如服务态度差、派送不及时、包装损坏等一系列问题也让市民感到不满,影响了整个行业的持续健康发展.A 市外卖行业协会为掌握本市外卖派送人员的服务质量水平,随机选取了200名外卖派送人员,并针对他们的服务质量细化打分(满分100分),根据他们的服务质量得分分成以下6组:[)40,50,[)50,60,[)60,70,…,[]90,100,统计得出以下频率分布直方图:(1)求这200名外卖派送人员服务质量的平均得分x (每组数据以区间的中点值为代表);(2)A 市外卖派送人员的服务质量得分Z (单位:分)近似地服从正态分布()2,14.31N μ,其中μ近似为样本平均数x .若A 市恰有2万名外卖派送人员,试估计这些外卖派送人员服务质量得分位于区间(]41.88,84.81的人数;(3)为答谢外卖派送人员积极参与调查,该协会决定给所抽取的这200人一定的现金补助,并准备了两种补助方案.方案一:按每人服务质量得分进行补助,每1分补助4元;方案二:以抽奖的方式进行补助,得分不低于中位数t 的可抽奖2次,反之只能抽奖1次.在每次抽奖中,若中奖,则补助200元/次,若不中奖,则只补助100元/次,且假定每次中奖的概率均为25. 问:哪一种补助方案补助总金额更低.参考数据:若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ,即()2~,Z N μσ,则0().6827P Z μσμσ-<≤+=,2205().945P Z μσμσ-<≤+=.21.已知函数()()221xf x ax x e =+-.(1)当1a >时,讨论函数()f x 的单调性;(2)当0x >时,若不等式()3222xf x e x x ≤--恒成立,求实数a 的取值范围.22.已知圆22:20O x y +=与抛物线()2:20C y px p =>相交于M ,N 两点,且8MN =.(1)求C 的标准方程;(2)过点()3,0P 的动直线l 交C 于A ,B 两点,点Q 与点P 关于原点对称,求证:2AQB AQP ∠=∠.参考答案一、选择题1.B 解析:{}1,2,3AB =,故A B 中元素的个数为3.故选B .2.C解析:先变量词,再否结论,故可知命题p 的否定为1x ∃>,4220212022x x +≤.故选C . 3.A解析:由题意可知双曲线的一条渐近线方程为y x =,即1ba=,所以C 的离心率e ==故选A . 4.B解析:由已知得tan 3α=,故2222222sin 2cos 2sin cos cos 2tan 152cos sin 2cos sin 2tan 7ααααααααααα---===----,故选B . 5.C解析:不同的旅游方案种数为2454C ?A 240N ==.故选C .6.B解析:设该圆柱的底面圆半径为r ,高为h ,则()224r h +=,所以22r h +=,该圆柱的侧面积22222r h S rh rh ππππ+⎛⎫==⋅≤= ⎪⎝⎭,当且仅当21r h ==时取等号.故选B . 7.C解析:以AB 的中点为原点,直线AB 为x 轴建立,直角坐标系,由椭圆的定义易知,点C 的轨迹是分别以A ,B 为左、右焦点的椭圆(不含长轴两端点),且3c =,5a =,则4b =,故该椭圆的标准方程为()22102516x y y +=≠,11641222S AB yc =⨯⨯≤⨯⨯=.当且仅当AC BC =时取等号.故选C .8.C解析:由题意得67100(10.08)210100(10.08)210t t ⎧+>⨯⎨+≤⨯⎩,两边取对数得lg1.08lg 24lg1.08lg 25t t >+⎧⎨≤+⎩, 所以lg 240.3014128.77129lg1.080.0334t ++>≈≈≈,且lg 250.3015158.71159lg1.080.0334t ++≤≈≈≈,即()129,159t ∈,对照各选项,只有C 符合.故选C . 二、多项选择题9.ABD解析:因为()()712223111222i i i i z i i i -+---===-=-+++, 所以z 的虚部为12,z 的共轭复数为3122i --,它在复平面内对应的点31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第二象限,故A 正确,B 正确,D 正确;223132222z i i ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭,故C 错误.故选ABD .10.AD解析:由回归直线的斜率为1,得人均年纯收人y (单位:万元)与年份代号x 正相关;A 错误;因为457864x +++==,所以624y =-=,于是得2.1 5.944m n +++=⨯,解得8m n +=,B 正确;由x 每增加1,y 约增1,可知每经过1年,村民人均年纯收人约增加1万元,C 正确;2023年的年份代号为11,故1129y =-=,故可估计2023年A 村人均年纯收人约为9万元,D 错误.故选AD . 11.AD解析:设点A 在x 轴上的投影为C ,则2AC =,3||2BC ===, 3,22C ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭.1333422T ∴=-=, 6T ∴=,263ππω∴==,332sin 2232f πϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 2()22k k ππϕπ∴+=+∈Z ,又||ϕπ<,0ϕ∴=,即()2sin3xf x π=,A 正确;B 正确;332sin 2sin 2cos 232323x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,C 错误;把()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的6π倍,纵坐标不变,得到的函数为62sin 2sin 23x y x ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭,当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,2,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故函数2sin 2y x =在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时为减函数,D 正确,故选AD .12.AB 解析:设()()2x f x F x e -=,则()()()2xf x f x F x e'-+'=. ()()2f x f x '->, ()()20f x f x '∴-+<,()0F x '∴<,即函数()F x 在定义域R 上单调递减.()05f =, ()03F ∴=,∴不等式()32x f x e ≤+等价于()23xf x e-≤,即()()0F x F ≤,解得0x ≥.故不等式的解集为[0,)+∞.故选AB .三、填空题13.15解析:由()3a b b -⊥,得()2330a b b a b b -⋅=⋅-=,所以2133a b b ⋅==, 所以231cos ,53a b a b a b ⋅===⋅+.14.4,2046±解析:由234512a a a =得33512a =,38a ∴=,24a ∴=±.设公比为q ,若()12n n a a n ->≥,则q 为正数,故21422a q a ===,()1010212204612S -==-. 15.21x -(答案不唯一)解析:若()21f x x =-,则()()()2211f x x x f x -=--=-=,所以()f x 为偶函数,当0x >时,()221,01,1,1,x x f x x x ⎧-<<=⎨-≥⎩显然()f x 在区间()0,1内单调递减,在区间()1,+∞上单调递增,故()f x 的解析式可以是()21f x x =-.16.283π解析:如图,取AB 的中点E ,BC 的中点F ,连接EF ,则//EF AC ,且112EF AC ==. 所以EF BC ⊥,又1EF CC ⊥,所以EF ⊥平面11BCC B ,连接DF ,则1DF CC =,且1//DF CC , 所以DF ⊥平面ABC .设该球的球心为O ,设DBC ∆的外心为1O ,连接1OO ,则1OO ⊥平面11BCC B , 所以1// OO EF .连接OE ,EF ,OA ,由E 是ABC∆的外心得OE ⊥平面ABC , 所以// OE DF ,可得四边形1OO FE 为矩形.2CD BD =====,所以DBC ∆为等边三角形,可知1133OE O F DF ===,所以2222273OA OE AE =+=+=⎝⎭, 所以三棱锥D ABC -的外接球的表面积为22843S OA ππ=⋅=. 四、解答题17.解:设数列{}n a 的公差为d .若选①:由23a =,416S =,得113,43416,2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩ 解得11a =,2d =, 所以21n a n =-.因为11n n n a b a +=,所以()()1111212122121n n n n n b ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭.则12311111111...1...2335572121n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 若选②:由23a =,()21512a a a =+,得()()121113,42,a d a a d a +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 解得11a =,2d =, 所以21n a n =-.因为11n n n a b a +=,所以()()1111212122121n n n n n b ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭.则1231111111111...1...1233557212122121n n n T b b b n n n b n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦若选③:因为2n S n tn =+,所以222224S t t =+=+,2111S t t =+=+, 所以22133a S S t =-=+=,解得0t =,则()221(1212)n n n a S S n n n n -=-=--=-≥.因为111a S ==满足上式,所以21n a n =-. 因为11n n n a b a +=,所以()()1111.212122121n n n n n b ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭则1231111111111...1...1233557212122121n n n T b b b n n n b n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦18.解:(1=,=, sin (sin )C B A A=,)sin sin sin B A B A A B +=,3cos sin sin sin B A A B ∴=. sin 0A ≠,3cos sin B B ∴=,即tan B =(0,)B π∈,3B π∴=.(2)ABC ∆为等边三角形.理由如下:1sin 2ABC S ac B ∆==,即1sin23ac π=4ac ∴=,①ABC ∆22b B ∴==.由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-,即2224b a c =+-, 228a c ∴+=,② 由①②得2a c ==, ABC ∴∆为等边三角形. 19.解:(1)在梯形ABCD 中,过点C 作CHAD ⊥于点H .由已知可知1CH AB ==,1AHHD ==,2AC =,CD =所以2224AC CD AD +==,即AC CD ⊥.① 因为AP ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , 所以CD AP ⊥.②由①②及AC AP A =,得CD ⊥平面PAC .又由CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面PAC .(2)因为AB ,AD ,AP 两两垂直,所以以A 为原点,以AB ,AD ,AP 所在的直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系A xyz -,可得()0,0,0A ,()1,0,0B ,()1,1,0C ,()0,2,0D ,()0,0,3P ,()1,1,3PC =-,()0,2,3PD =-. 设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =,则30230n PC x y z n PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,取3y =,则2z =,3x =,则()3,3,2n =.平面PAB 的一个法向量为()0,2,0AD =, 所以 322cos ,22AD n AD n AD n⋅<>==,所以平面PCD 与平面PAB .所以这200名外卖派送人员服务质量的平均得分为70.5. (2)由(1)可知70.5x =,故70.5μ=,所以(](]2,70.5214.31,70.514.3141.88,84].81(μσμσ-+=-⨯+=,而11(2)(22)()0.818622P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ-<≤+=-<≤++-<≤+=. 故2万名外卖派送人员中服务质量得分位于区间(]41.88,84.81的人数约为200000. 818616372⨯=(人).(3)按方案一:所补助的总费用为200420070.5456400x ⨯=⨯⨯=(元)按方案二:设一个人所得补助为Y 元,则Y 的可能取值为100,200,300,400. 由题意知,())12(P x t P x t <=≥=, 133(100)2510P Y ==⨯=,1213319(200)2525550P Y ==⨯+⨯⨯=,1321236(300)25525525P Y ==⨯⨯+⨯⨯=,1222(400)25525P Y ==⨯⨯=,所以Y 的分布列为()10020030040021010502525E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=, 估算补助的总金额为:20021042000⨯=(元).4200056400<,所以选择方案二补助的总金额更低.21.解:(1)()2f x 的定义域为R ,()()222x x f x ax xe x e a '=-=--. 当1a >时,令()0f x '>,得0ln x a <<;令()0f x '<,得0x <,或ln x a >.()f x ∴在(0),-∞上单调递减,在()0,ln a 上单调递增,在(ln ),a +∞上单调递减.(2)由()3222x f x e x x ≤--,得()22210x ax x e x ---≤, 当0x >时,()2210x ax e x ---≤,即2112x e x a x--≤对0x >恒成立. 设()()210x e x g x x x--=>, 则()()()211x x e x g x x---'=. 设()()10x h x e x x =-->,则()1x h x e '=-.0x >,()0h x ∴'>, ()h x ∴在(0,)+∞上单调递增,()()00h x h ∴>=,即1x e x >+,()g x ∴在()0,1上单调递减,在(1,)∞+上单调递增,()()12g x g e ∴≥=-,22a e ∴≤-. a ∴的取值范围是,24(]e -∞-.22.解:(1)由题意得圆心O 到弦MN 的距离2d ==, 则由拋物线和圆的对称性可得M ,N 两点的坐标分别为(2,)4±, 代入C 的方程可得164p =,解得4p =,所以C 的方程为28y x =.(2)法一:当直线l 垂直于y 轴时,不适合题意;当直线l 不垂直于y 轴时,设直线l 方程为3x ky =+,()11,A x y ,()22,B x y .联立方程238x ky y x=+⎧⎨=⎩,可得28240y ky --=, 128y y k ∴+=,1224y y =-,要证明2AQB AQP ∠=∠,只需要证0AQ BQ k k +=,121233AQ BQ y y k k x x +=+++()()()()()()()()12211221121233663333y x y x y ky y ky x x x x ++++++==++++ ()()()()()12121212262(24)6803333ky y y y k k x x x x ++-+⨯===++++, 2AQB AQP ∴∠=∠.法二:当直线l 垂直于y 轴时,不适合题意;当直线l 不垂直于y 轴时,设直线l 方程为3x ky =+,()11,A x y ,()22,B x y . 要证明2AQB AQP ∠=∠,只需要证点B 关于x 轴的对称点()22,E x y -在直线AQ 上即可.直线AQ 方程为211383y x y y +=-,即2112438y x y y +=-, 联立方程238x ky y x=+⎧⎨=⎩,可得28240y ky --=, 128y y k ∴+=,1224y y =-,将2y -代入2112438y x y y +=-, 可得()()22121212112424388y y y y y x y y y --++=--= 1112112424824888y k y y y k y y -⋅+⋅== 223ky x =+=,∴点()22,x y -在直线AQ 上,2AQB AQP ∠=∠∴.。

2020-2021学年新疆乌鲁木齐二十中高二(下)期末数学试卷(理科)

2020-2021学年新疆乌鲁木齐二十中高二(下)期末数学试卷(理科)

2020-2021学年新疆乌鲁木齐二十中高二(下)期末数学试卷(理科)1.(单选题,4分)公共汽车上有10位乘客,沿途5个车站,乘客下车的可能方式有()种.A. A105B. C105C.105D.5102.(单选题,4分)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修2门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()A.12种B.24种C.30种D.36种3.(单选题,4分)某班联欢会原定的3个节目已排成节目单,开演前又增加了2个新节目,如果将这2个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为()A.12B.20C.36D.1204.(单选题,4分)新冠防疫期间,某街道需要大量志愿者协助开展防疫工作.某学校有3名男教师、3名女教师申请成为志愿者,若安排这6名志愿者到3个社区协助防疫工作,每个社区男女教师各1名,则不同的安排方式种数是()A.18B.36C.48D.725.(单选题,4分)(√x -1)5的展开式中,x2的系数为()A.5B.-5C.10D.-106.(单选题,4分)在一个正六边形的六个区域涂色(如图),要求同一区域同一种颜色,相邻的两块区域(有公共边)涂不同的颜色,现有5种不同的颜色可供选择,则不同涂色方案有()A.720种B.2160种C.4100种D.4400种7.(单选题,4分)已知(x+ax )6的展开式中的常数项为-160,则实数a=()A.2B.-2C.8D.-88.(单选题,4分)设随机变量ξ服从正态分布N(1,4),则P(ξ<3)的值为()(参考数据:P(u-σ<ξ<u+σ)=0.6526,P(u-2σ<ξ<u+2σ)=0.9544)A.0.1737B.0.3474C.0.6837D.0.82639.(单选题,4分)A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛,决赛采取“3局2胜”制,若A同学每局获胜的概率均为23,且每局比赛相互独立,则在A先胜一局的条件下,A最终能获胜的概率是()A. 34B. 89C. 79D. 5610.(单选题,4分)对于数据组(x i,y i)(i=1,2,3,⋯,n),如果由线性回归方程得到的对应于自变量x i的估计值是y î,那么将y i- y î称为相应于点(x i,y i)的残差.某工厂为研究某种产品产量x(吨)与所需某种原材料y(吨)的相关性,在生产过程中收集4组对应数据(x,y)如表所示:x 3 4 5 6y 2.5 3 4 m根据表中数据,得出y关于x的线性回归方程为ŷ =0.7x+a,据此计算出样本(4,3)处的残差为-0.15,则表中m的值为()A.3.3B.4.5D.5.511.(填空题,5分)x,y取值如表:x 1 4 5 6y 0.8 m 5.1 5.6 7.4已知y与x线性相关,且求得回归方程为ŷ=x+1,则m=___ .12.(填空题,5分)C101−C102+C103−C104+⋅⋅⋅+C109−C1010 =___ (用数字作答).13.(填空题,5分)某校举行教职工党史知识竞赛.高三年级党支部将从4名80、3名90后和1名00后中选派5人参赛,则80后、90后、00后都至少一人入选的选派方法种数是___ .(用数字作答)14.(填空题,5分)如图,三根绳子上共挂有6只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,每枪只能打破一只气球,而且规定只有打破下面的气球才能打上面的气球,则将这些气球都打破的不同打法数是___ .15.(问答题,8分)有三个同样的箱子,甲箱中有2只红球,6只白球,乙箱中有6只红球,4只白球,丙箱中有3只红球,5只白球.(1)随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球,求三球都为红球的概率;(2)从甲,乙、丙中随机取一箱,再从该箱中任取一球,求该球为红球的概率.16.(问答题,8分)现有甲、乙等6名来自三所大学的大学生(每所大学各2人)志愿者,为响应当地政府生活垃圾分类管理政策的推行,他们被随机分配到3个社区担任“垃圾分类指导员”工作,每个社区分配两名大学生.(1)求甲、乙两人被分配到同一社区的概率;(2)设有X个社区的两名“垃圾分类指导员”来自同一所大学,求X的分布列与数学期望.17.(问答题,8分)随着工作压力的增大,很多家长下班后要么加班,要么抱着手机,陪伴孩子的时间逐渐减少,为了调查A地区家长陪伴孩子的时间,研究人员对200名家长一天陪伴孩子的时间进行统计,所得数据统计如图所示.(Ⅰ)求这200名家长陪伴孩子的平均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);(Ⅱ)若按照分层抽样的方法从陪伴时间在[40,80)的家长中随机抽取7人,再从这7人中随机抽取2人,求至少有1人陪伴孩子的时间在[60,80)的概率;(Ⅲ)为了研究陪伴时间的多少与家长的性别是否具有相关性,研究人员作出统计如表所示,判断是否有99%的把握认为陪伴时间的多少与家长的性别有关.男性 女性 陪伴时间少于60分钟 50 30 陪伴时间不少于60分钟5070附: K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ) ,n=a+b+c+d . P (K 2≥k 0)0.100 0.050 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.82818.(问答题,8分)一场科普知识竞答比赛由笔试和抢答两部分组成,若笔试和抢答满分均为100分,其中5名选手的成绩如表所示:选手 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 笔试(x 分)87909192 95 抢答(y 分)86 89 89 9294对于这5名选手,根据表中的数据,试解答下列两个小题: (1)求y 关于x 的线性回归方程;(2)现要从笔试成绩在90分或90分以上的选手中选出2名参加一项活动,以ξ表示选中的选手中笔试和抢答成绩的平均分高于90分的人数,求随机变量ξ的分布列及数学期望E (ξ).附: b ̂ = ∑(x i −x )ni=1(y i −y )∑(x i−x )2n i=1, a ̂ = y - b ̂ x .19.(问答题,8分)抖音是一款音乐创意短视频社交软件,是一个专注年轻人的15秒音乐短视频社区.用户可以通过这款软件选择歌曲,拍摄15秒的音乐短视频,形成自己的作品.2018年6月首批25家央企集体入驻抖音.一调研员在某单位进行刷抖音时间的调查,若该单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有3人是抖音迷,4人为非抖音迷,现从这7人中随机抽取3人做进一步的详细登记.(ⅰ)用X表示抽取的3人中是抖音迷的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;(ⅱ)设A为事件“抽取的3人中,既有是抖音迷的员工,也有非抖音迷的员工”,求事件A 发生的概率.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案(七)(理科)第Ⅰ卷(选择题)一、选择题1.已知全集U ={1,2,3,4,5},集合A ={1,2,5},{1,3,5}U B =ð,则A∩B =A .{5}B .{2}C .{1,2,4,5}D .{3,4,5} 2.设命题p :∀x >0,2x >log2x ,则⌝p 为 A .∀x >0,2x <log 2x B .∃x 0>0,0202log x x ≤C .∃x 0>0,0202log x x < D .∃x 0>0,0202log x x ≥3.命题“有理数是无限不循环小数,整数是有理数,所以整数是无限不循环小数”是假命题,推理错误的原因是 A .使用了归纳推理 B .使用了类比推理C .使用了“三段论”,但大前提错误D .使用了“三段论”,但小前提错误4.已知某同学在高二期末考试中,A 和B 两道选择题同时答对的概率为23,在A 题答对的情况下,B 题也答对的概率为89,则A 题答对的概率为A .14B .12C .34D .795.五名同学站成一排,若甲与乙相邻,且甲与丙不相邻,则不同的站法有A .36种B .60种C .72种D .108种6.已知函数22,0,()log ,0,x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩≤则“f (x )≤0”是“x≥0”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件7.给出下列两种说法:①已知p 3+q 3=2,求证p +q≤2,用反证法证明时,可假设p +q≥2,②已知a ,b ∈R ,|a|+|b|<1,求证方程x 2+ax +b =0的两根绝对值都小于1,用反证法证明时,可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1,即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是 A .①和②的假设都错误 B .①和②的假设都正确C .①的假设正确,②的假设错误D .①的假设错误,②的假设正确8.在31()2n x x-的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则此展开式中各项系数绝对值之和为A .91()2B .93()2C .81()2D .83()29.已知点P 是曲线31xx e y e -=+上一动点,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的最小值是A .0B .4πC .32πD .43π10.1201(1)2x x dx -+=⎰A .4π+1B .2π+1C .124π+D .1π4+11.36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为36=22×32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2×3+2×32)+(22+22×3+22×32)=(1+2+22)(1+3+32)=91,参照上述方法,可得100的所有正约数之和为A .217B .273C .455D .65112.已知22|log |,02,()814,2,x x f x x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤若存在互不相同的四个实数0<a <b<c <d 满足f (a )=f (b )=f (c )=f (d ),则ab +c +2d 的取值范围是A .(132-,132+)B .(132-,15)C .[132+,15]D .(132+,15)第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题13.已知随机变量ξ服从正态分布N (1,σ2),P (ξ≤4)=0.84,则P (ξ≤-2)=________.14.下表提供了某厂节能降耗技术改造后,在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产耗能y (吨)的几组相对应数据.x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5根据上表提供的数据,求出y 关于x 的线性回归直线方程为$0.70.35y x =+,那么表中t =________.15.按照上级要求,市人民医院决定组建一个医疗小队前往灾区服务.考虑到本院人员具体情况,经院领导研究决定:从4名内科、5名外科、3名儿科医生中,选出4人组建医疗小队,并且要求这三类专业技术人员都至少有一人,则医疗小队组建方式共有________种. 16.函数1()x x f x e +=,ln ()a xg x x=,(a >0).若对任意实数x 1,都存在正数x 2,使得g (x 2)=f (x 1)成立,则实数a 的取值范围是________. 三、解答题17.已知复数z =1+mi (i 是虚数单位,m ∈R ),且(3)z i +g 为纯虚数(z 是z 的共轭复数). (Ⅰ)设复数121m iz i+=-,求|z 1|; (Ⅱ)设复数20172a i z z-=,且复数z 2所对应的点在第四象限,求实数a 的取值范围.18.某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制,发布成绩使用等级制.各等级划分标准如下:85分及以上,记为A 等;分数在[70,85)内,记为B 等;分数在[60,70)内,记为C 等;60分以下,记为D等.同时认定A,B,C为合格,D为不合格.已知某学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内,为了了解该校学生的成绩,抽取了50名学生的原始成绩作为样本进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出样本频率分布直方图如图所示.(Ⅰ)求图中x的值,并根据样本数据估计该校学生学业水平测试的合格率;(Ⅱ)在选取的样本中,从70分以下的学生中随机抽取3名学生进行调研,用X表示所抽取的3名学生中成绩为D等级的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.19.为了调查“五一”小长假出游选择“有水的地方”是否与性别有关,现从该市“五一”出游旅客中随机抽取500人进行调查,得到如下2×2列联表:(单位:人)选择“有水的地方”不选择“有水的地方”合计男90 110 200女 210 90 300 合计300200500(Ⅰ)据此样本,有多大的把握认为选择“有水的地方”与性别有关; (Ⅱ)若以样本中各事件的频率作为概率估计全市“五一”所有出游旅客情况,现从该市的全体出游旅客(人数众多)中随机抽取3人,设3人中选择“有水的地方”的人数为随机变量X ,求随机变量X 的数学期望和方差.附临界值表及参考公式: P (K 2≥k 0)0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 03.8415.0246.6357.87910.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=+⨯+⨯+⨯+,n =a +b +c +d .20.函数f (x )=xlnx -a (x -1)2-x ,g (x )=lnx -2a (x -1),其中常数a ∈R .(Ⅰ)讨论g (x )的单调性;(Ⅱ)当a >0时,若f (x )有两个零点x 1,x 2(x 1<x 2),求证:在区间(1,+∞)上存在f (x )的极值点x 0,使得x 0lnx 0+lnx 0-2x 0>0.21.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为11,2322x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).(Ⅰ)写出椭圆C 的普通方程和直线l 的倾斜角;(Ⅱ)若点P (1,2),设直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,求|PA|·|PB|的值.22.已知函数f (x )=|x +a|-|x -1|.(Ⅰ)当a =-2时,求不等式1()2f x ≥的解集; (Ⅱ)若f (x )≥2有解,求实数a 的取值范围.23.已知曲线C 1,C 2的极坐标方程分别为ρ=2cosθ,32sin()42ρθπ-=,射线θ=φ,4θϕπ=+,4θϕπ=-与曲线C 1交于(不包括极点O )三点A ,B ,C .(Ⅰ)求证:||||2||OB OC OA +=; (Ⅱ)当12ϕπ=时,求点B 到曲线C 2上的点的距离的最小值. 24.设函数f (x )=|x -1|+|2x -1|.(Ⅰ)若对∀x >0,不等式f (x )≥tx 恒成立,求实数t 的最大值M ; (Ⅱ)在(Ⅰ)成立的条件下,正实数a ,b 满足a 2+b 2=2M .证明:a +b≥2ab .高二数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.A 7.D 8.D 9.D 10.A11.A 12.D 二、填空题13.0.16 14.3 15.270 16.[e ,+∞) 三、解答题17.解:∵z =1+mi ,∴1z mi =-. ∴(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i +=-+=+=-g . 又∵(3)z i +g 为纯虚数, ∴30,130.m m +=⎧⎨-≠⎩∴m =-3. ∴z =1-3i . (Ⅰ)13251122i z i i -+==---, ∴2215126||()()222z =-+-=. (Ⅱ)∵z =1-3i , ∴2()(13)(3)(31)13(13)(13)10a i a i i a a iz i i i --++-===--+. 又∵复数z 2所对应的点在第四象限,∴30,10310.10a a +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩∴3,1.3a a >-⎧⎪⎨<⎪⎩ ∴133a -<<.18.解:(Ⅰ)由题意可知,10x +0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1,∴x =0.004.∴合格率为1-10×0.004=0.96.(Ⅱ)样本中C 等级的学生人数为0.012×10×50=6, 而D 等级的学生人数为0.004×10×50=2.∴随机抽取3人中,成绩为D 等级的人数X 的可能取值为0,1,2,∴3638205(0)5614C P X C ====,1226383015(1)5628C C P X C ====, 21263863(2)5628C C P X C ====, ∴X 的分布列为x 0 12P514 1528 328数学期望153213()122828284E X =⨯+⨯==.19.解:(Ⅰ)2500(2101109090)31.2510.828200300300200k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯, ∴有99.9%的把握认为选择“有水的地方”与性别有关;(Ⅱ)估计该市的所有出游旅客中任一人选择“有水的地方”出游的概率为30035005P ==, X 的可能取值为0,1,2,3,由题意,得X ~B (3,35), ∴随机变量X 的数学期望39()355E X =⨯=, 方差3218()35525D X =⨯⨯=. 20.(Ⅰ)解:函数g (x )的定义域为(0,+∞),导函数为1()2g x a x'=-.①当a≤0时,g′(x )>0恒成立,g (x )在定义域(0,+∞)上是增函数; ②当a >0时,1()02g a'=,并且, 在区间(0,12a )上,g′(x )>0,∴g (x )在(0,12a )是增函数; 在区间(12a ,+∞)上,g′(x )<0,∴g (x )在区间(12a,+∞)上是减函数.(Ⅱ)证明:当a >0时,在区间(0,1]上,f (x )<0是显然的,即在此区间上f (x )没有零点;又由于f (x )有两个零点,则必然f (x )在区间(1,+∞)上有两个零点x 1,x 2(x 1<x 2), f′(x )=lnx -2a (x -1),由(Ⅰ)知,f′(x )在区间(0,12a)上是增函数,在区间(12a,+∞)上是减函数. ①若12a ≥,则112a≤,在区间(1,+∞)上,f′(x )是减函数,f′(x )≤f′(1)=0,f (x )在(1,+∞)上单调递减,不可能有两个零点,所以必然有102a <<. ②当102a <<时,在区间(1,12a )上,f′(x )是增函数,f′(x )>f′(1)=0;在区间(12a,+∞)上,f′(x )是减函数.依题意,必存在实数x 0,使得在区间(12a,x 0)上,f′(x )>0,f (x )是增函数;在区间(x 0,+∞)上,f′(x )<0,f (x )是减函数.此时x 0>1,且x 0是f (x )的极大值点.所以f (x 0)>0,且f′(x 0)=0,即2000000ln (1)0,ln 2(1)0,x x a x x x a x ⎧--->⎪⎨--=⎪⎩消去a 得到x 0lnx 0+lnx 0-2x 0>0(x 0>1).设F (x )=xlnx +lnx -2x (x >1),1()ln 1F x x x'=+-. ∵22111()0x F x xx x-''=-=>,∴x >1时,F′(x )单调递增.又F′(1)=0,∴x >1时,F′(x )>0.∴x >1时,F (x )单调递增.又F (1)=-2<0,F (e 2)=2>0.∴存在x 0=e 2>1满足题意. 亦可直接观察得到,x 0=e 2时,e2lne 2+lne 2-2e 2=2>0,满足题意.21.解:(Ⅰ)消去θ得到椭圆C 的普通方程为2214x y +=.直线l 的斜率为3,∴直线l 的倾斜角为3π.(Ⅱ)把直线l 的方程11,232,2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2214x y +=中,得221(1)32(2)142t t +++=, 即213(183)1304t t +++=. ∴t 1·t 2=4,即|PA|·|PB|=4.22.解:(Ⅰ)当a =-2时,1,1,()23,12,1, 2.x f x x x x ⎧⎪=-+<⎨⎪->⎩≤≤当x ≤1时,由1()2f x ≥得112≥,成立,∴x≤1;当1<x≤2时,由1()2f x ≥得1232x -+≥解得54x ≤,∴514x <≤;当x >2时,由1()2f x ≥得112-≥,不成立,∴无解.综上,1()2f x ≥的解集为5{|}4x x ≤.(Ⅱ)∵f (x )=|x +a|-|x -1|≥2有解, ∴f (x )max ≥2.∵|x +a|-|x -1|≤(x +a )-(x -1)=|a +1|, ∴|a +1|≥2,∴a≥1或a≤-3.23.(Ⅰ)证明:依题意|OA|=2cosφ,||2cos()4OB ϕπ=+,||2cos()4OC ϕπ=-, 则||||2cos()2cos()44OB OC ϕϕππ+=++-2[cos cos sin sin cos cos sin sin ]4cos cos 44444ϕϕϕϕϕπππππ-++=22cos 2||OA ϕ=.(Ⅱ)解:∵32sin()42ρθπ-=, ∴3sin cos 2ρθρθ-=. 曲线C 2的直角坐标方程为302x y -+=. 又∵B 极坐标为(1,3π),化为直角坐标为13(,)22, ∴B 到曲线C 2的距离为133||222242d -+==.∴所求距离的最小值为24. 24.(Ⅰ)解:11()|1||21||1||2|f x tx x x tx t x x⇔-+-⇔-+-≥≥≥恒成立min 11(|1||2|)t x x ⇔-+-≤∵1111|1||2||(1)(2)|1x x x x-+----=≥,当且仅当11(1)(2)0x x --≤,即112x ≤≤时取等号,∴t≤1,∴M =1.(Ⅱ)证明:∵a 2+b 2≥2ab ,∴ab≤1. ∴1ab ≤.(当且仅当“a =b”时取等号)①又∵2a bab +≤,∴12ab a b +≤. ∴2ab aba b +≤,(当且仅当“a =b”时取等号)② 由①、②得12ab a b +≤.(当且仅当“a =b”时取等号) ∴a +b≥2ab .。

相关文档
最新文档